Analisis de SP en Ambiente de Mercados Electricos

Analisis de Sistemas de Potencia

en Ambiente de Mercados Electricos1

Universidad de Castilla-La Mancha

Analisis de Sistemas de Potencia en

Ambiente de Mercados Electricos

Prof. Dr. Federico Milano

E-mail: [email protected]

Tel.: +34 926 295 219

Departamento de Ingenierıa Electrica, Electronica y Automatica

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Presentacion - 1




Curso de Educacion Continua

Analisis de Sistemas de Potencia en

Ambiente de Mercados Electricos

Universidad Centroamericana “Jose Simeon Canas”

invita

Departamento de Ciencias Energeticas y Fluıdicas





¡Muchas Gracias!

! Ing. Rigoberto Contreras

! Prof. Ismael Sanchez





Quien soy

! Federico Milano obtuvo de la Universidad de Genoa, Italia,

el grado de Ingenierıa Electrica y Ph.D. en Ingenierıa

Electrica.

! Ha trabajado en el Departamento de Ingenierıa Electrica y

Computacion de la Universidad de Waterloo, Canada, y

actualmente es Profesor Asistente de Ingenierıa Electrica en

la Universidad de Castilla-La Mancha, Espana.

! Sus campos de investigacion son Estabilidad de Voltaje,

Mercados Electricos y Analisis y Control de Sistemas de

Potencia.





Agradecimientos

! Esto seminario esta basado en parte en el curso ECE664

impartido por el Prof. Dr. C. Canizares de la Universidad

de Waterloo, Ontario, Canada, y en el curso “Mercados

Electricos” impartido por el Prof. Dr. A. J. Conejo de la

Universidad de Castilla-La Mancha, Espana.

! Deseo dar las gracias al Prof. Dr. C. Canizares y al Prof.

Dr. A. J. Conejo por compartir esto material.





Horario

Fecha Horas Tema

Lunes 25 Julio 2005 14:00-18:00 Introduccion

Martes 26 Julio 2005 14:00-18:00 Cierre de Mercado

Miercoles 27 Julio 2005 14:00-18:00 Flujo de Carga Optimo

Jueves 28 Julio 2005 14:00-18:00 Analisis de Seguridad

Viernes 29 Julio 2005 14:00-18:00 Modelos Avanzados





Introduccion (25 Julio)

! Objetivos.

! Definiciones.

! Marco centralizado y liberalizado.

! Arquitecturas de mercados electricos.

! Ejemplos de mercados electricos reales.

! Introduccion a PSAT.





Modelos de Cierre de Mercado (26 Julio)

! Subasta monoperiodo.

! Precio de cierre de mercado.

! Arranque y parada generadores.

! Subasta multiperiodo.

! Subasta con equilibrio walrasiano.

! Ejemplos en PSAT.





Flujo de Carga Optimo (27 Julio)

! Modelo del sistema electrico de potencia.

! Flujo de carga.

! Flujo de carga optimo.

! Restricciones y saturaciones.

! Precios nodales (Locational Marginal Prices).

! Ejemplos en PSAT.





Analisis de Seguridad (28 Julio)

! Definiciones.

! Conceptos basicos de estabilidad transitoria.

! Conceptos basicos de estabilidad de tension.

! Continuation Power Flow (CPF).

! Available Transfer Capability.

! Metodo directos.

! Ejemplos en PSAT.





Modelos Avanzados (29 Julio)

! Servicios auxiliares.

! Reserva de energıa y seguridad.

! Flujo de carga con restricciones de seguridad.

! Precio de la energıa y de la seguridad.

! Analisis de contingencias.

! Ejemplos en PSAT.

! Desarrollos futuros.

! Consideraciones finales.





Referencias

! G. B. Sheble, Computational Auction Mechanism for

Restructured Power Industry Operation, Kluwer Academic

Publishers, 1999.

! M. Ilic, F. D. Galiana and L. H. Fink, Power System

Restructuring: Enginerring and Economics, Kluwer

Academic Press, 1998.

! D. S. Kirschen and G. Strbac, Fundamentals of Power

System Economics, Wiley, 2004.





Referencias

! P. Kundur, Power System Stability and Control, Mc Graw

Hill, 1994.

! P. Sauer and M. Pai, Power System Dynamics and Stability,

Prentice Hall, 1998.

! A. R. Bergen and V. Vittal, Power Systems Analysis,

Second Edition, Prentice-Hall, 2000.

! C. A. Canizares, Editor, Voltage stability assessment:

concepts, practices and tools, IEEE-PES Power System

Stability Subcommittee Special Publication, SP101PSS,

May 2003.





Referencias

! M. Ilic and J. Zaborszky, Dynamics and Control of Large

Electric Power Systems, Wiley, New York, 2000.

! J. Arrillaga and C. P. Arnold, Computer analysis of power

systems, John Wiley, 1990.

! I. S. Duff, A. M. Erisman and J. K. Reid, Direct Methods

for Sparse Matrices, Oxford Science Publications, 1986.

! J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical

Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, 1993.





Referencias

! Sobre los mercados electricos:

http://www.uclm.es/area/gsee/Archivos%20Pag-

web/presen mercados.htm

! Sobre la estabilidad de los sistemas electricos:

http://thunderbox.uwaterloo.ca/∼claudio/papers/papers.html

! Sobre PSAT:

http://www.power.uwaterloo.ca/∼fmilano/





Contents

Presentacion

Introduccion

Introduccion a PSAT

Modelos de Cierre de Mercado

Modelo del Sistema Electrico

Flujo de Carga

Flujo de Carga Optimo

Analisis de Estabilidad

Servicios Auxliares

Reserva de Energıa y Seguridad





Restricciones de Estabilidad Transitoria

Restricciones de Estabilidad de Tension

Consideraciones Finales





Objetivos

! Describir la arquitectura de los mercados electricos y los

principales modelos de despacho y de cierre de mercado.

! Revisar los modelos basicos de un sistema de potencia y los

conceptos de estabilidad y seguridad de un sistem electrico

de potencia.

! Ilustrar la teorıa a traves de ejemplos praticos y utilizando

una herriamenta software libre y de codigo abierto (PSAT).

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Introduccion - 1




Marcos Regulatorios

! “Monopoly” (monopolio): la competencia no esta permitida

en ningun nivel.

! “Purchasing Agency”: hay competencia entre los

generadores, pero hay una unica empresa que compra la

energıa al por mayor.

! “Wholesale Competition”: hay competencia en la compra y

venta de energıa al por mayor. Los usuarios finales compran

en regimen de monopolio a las empresas distribudoras.

! “Retail Competiton” (competencia minorista): la

competencia esta permitida en todos los niveles.





Marcos Regulatorios

! Resumiendo:

" Marco regulatorio centralizado.

" Marco regulatorio liberalizado.

! En los ultimos anos la industria electrica de numerosas

partes del mundo ha pasado de un marco centralizado a un

marco regulatorio de libre competencia (reestructuracion).





Marcos Regulatorio Centralizado

! Responde a un monopolio en el que el operador central

controla todos los componentes del sistema.

! Este operador tiene acceso a los datos economicos y

tecnicos de los generadores, de los consumidores, y de la red

de transporte.

! La funcion objetivo es que el coste total de explotacion sea

mınimo.





¿Por Que un Marco Liberalizado?

! Los costes y el rendimiento de pequenos generadores es

ahora comparable con los costes de las grandes plantas.

! La posible competencia en la generacion conlleva la

necesidad de una reestructuracion de las interconexiones.

! Los precios en algunas zonas eran mucho mayor que en

otras zonas. Se supone que un marco competitivo limita

estas diferencias.





¿Por Que un Marco Liberalizado?

! Necesidad de utilizar de forma mas eficiente las plantas

existentes (reestructuracion de la generacion).

! Hay tambien razones polıticas e ideologicas:

" En Europa se quiere llegar a un unico mercado europeo.

" En Sur America se quiere mejorar la ineficiencia de las

actuales empresas de produccion y transporte de la

energıa.

" En UK, fue el producto del gobierno de los

Conservadores en 1988 (en contra de los sindacatos).





Marcos Regulatorio Liberalizado

! Los agentes participantes tienen libre acceso a la red de

transporte y compiten entre sı segun las reglas del mercados

electrico en el que participan (IMO).

! No hay un operador central, mas bien un operador del

sistema (ISO) que asegura un correcto funcionamiento del

sistema (fiabilidad, seguridad y calidad).





Actividades del Operador del Sistema

! El operador del sistema realiza una serie de actividades que

pueden modificar las potencias ası como se obtiene de las

reglas del mercado electrico.

! Algunos ejemplos:

" Gestion de las congestiones.

" Analisis de contingencias.

" Estudios de estabilidad (tension, frecuencia, angulo).

" Mantenimiento.

" (Servicios auxiliares.)





Mercados Electricos Competitivos

! Los mercados electricos competitivos se rigen por las leyes

del libre mercado y son supervisados por el operador del

sistema como agente independiente.

! Los precios de la electricidad se regulan mediante la ley de

la oferta y de la demanda.

! Cada participante en el mercado tiene un objetivo distinto

y trata de alcanzar su optimo particular.






! Clasificacion temporal:

" Mercado a largo plazo: el horizonte temporal es mas que

un ano de adelanto respeto a las operaciones reales. Es

un problema de planificacion y de decisiones para las

inversiones.

" Mercado a medio plazo: de una semana a un ano antes

de las operaciones reales. Mercados financiarios. Es

fundamental una prevision de los precios de la energıa y

un analisis de riesgo.

" Mercado a corto plazo: se hace cada semana, cada dıa o

cada hora.






! Clasificacion en base al contrato:

" “Auction market”: los generadores y los consumidores

proporcionan ofertas y demandas de energıa. El

operador de mercado seleccionas las ofertas y la

demandas aceptadas mediante subasta.

" “Bilateral contracts market”: El generador y el

consumidor de energıa se ponen de acuerdo y llevan a

cabo un contrato particular.





Funcion Objetivo

! La funcion objetivo es generalmente maximizar el beneficio

social.

! Algunos ejemplos:

" Los generadores tratan de maximizar la diferencia entre

sus costes de produccion de la energıa y el precio actual

de la energıa.

" Los consumidores tratan de comprar la energıa al

mınimo precio posible.





Modelos de Mercados Electricos Competitivos

! La operacion de un mercado electrico competitivo se lleva a

cabo generalmente en dos etapas distintas:

" La etapa de cierre de mercado.

" La etapa de ajustes tecnicos.





Cierre de Mercado

! Los participantes realizan las ofertas de compra y venta de

energıa como base para la obtencion de los perfiles de

generacion y demanda y para la obtencion del precio de la

electricidad en cada unidad de tiempo del horizonte

temporal.

! El modelo de cierre de mercado es especifico de cada uno de

los mercados competitivos.





Ajustes Tecnicos

! Si la etapa de cierre de mercado no proporciona un estado

factible del sistema, el operador de sistema efectua la etapa

de ajustes tecnicos.

! El operador de sistema intenta conseguir un estado factible

del sistema (al menor coste posible).

! Una consecuencia es la variacion de los precios de la

electricidad.






! Es posible realizar de forma conjunta la etapa de cierre de

mercado y la etapa de los ajustes tecnicos.

! Por ejemplo a traves de un flujo de carga optimo. Del punto

de vista matematico es la solucion optima.

! El flujo de carga optimo es la solucion mas adecuada en un

marco centralizado.

! La tendencia actual es moverse hacia un flujo de carga

optimo.





Casuıstica Zonal

! Tambien el modelo de la red es especıfico de cada uno de los

mercados competitivos.

" Sistema con una unica zona.

" Numero de zonas inferior al numero de nudos.

" Cada nudo del sistema es una zona.





Sistema con una unica zona

! No hay flujo de potencias.

! Aparece solo un precio marginal de sistema.

! Se utiliza en Inglaterra y Gales, California y Suecia.

1

1 2

2 3

i

j

Sistema

Nudoficticio





Numero Zonas < Numero Nudos

! Las conexiones entre las zona se llaman lıneas interzonales.

! En cada zona hay un nudo ficticio.

! Cada zona tiene asociado un precio marginal zonal.

! Se utiliza en Noruega y California.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

i

i

i

j

j

j

Nudo

Nudo

Nudo

Lınea

Lınea

Lıneainterzonal

interzonal

interzonal

ficticio

ficticio

ficticio





Numero Zonas = Numero Nudos

! Se representan todas las lıneas del sistema.

! Se pueden representar las saturaciones.

! Cada nudo tiene asociado un precio marginal nodal.

! Se utiliza en PJM.

Bus 4

(GENCO 1)

Bus 1

(GENCO 2)

Bus 2 Bus 3

Bus 6

(ESCO 3)

Bus 5

(ESCO 2)

(ESCO 1)

(GENCO 3)





Modelos Particulares: PJM

! El modelo de mercado de Pennsylvania-Jersey-Mariland

(PJM) tiene en cuenta las restricciones de la red.

! Se maximiza el beneficio social utilizando restricciones de

balance de potencia en cada nudo, lımites de transporte

para cada lınea, lımites de generacion y lımites de demanda.

! Cada nudo es una zona distinta y tiene asociado un precio

nodal.

! No hay la etapa de ajustes tecnicos.





Modelos Particulares: Inglaterra y Gales

! Unicamente se considera una zona en el procedimiento de

cierre de mercado.

! No hay restricciones relacionadas con la interconexiones.

! Se obtiene un unico precio marginal de sistema.

! En la etapa de ajuste tecnicos cada nudo pasa a ser una

zona y solo intervienen en el problema los generadores,

considerandose las cargas fijas.





Modelos Particulares: California

! El procediemiento de cierre de mercado toma todo el

conjunto del sistema como una unica zona (no hay lıneas

interzonales).

! Sin embargo, se considera que cada participante en el

mercado debe cobrar o pagar de acuerdo con el precio

marginal asociado al coordinador de balance al que esta

sometido.

! Se realiza una division zonal en la etapa de ajustes tecnicos

y se consideran los lımites de flujos de potencia en las lıneas

interzonales.





Modelos Particulares: Noruega

! En el procedimiento de cierre de mercado se usa el estado

previsto del sistema, en cada hora del horizonte temporal.

! Se lleva a cabo una particion del sistema en dos o mas

zonas.

! Los participantes cobran o pagan segun los precios

marginales asociados con cada zona.

! En la etapa de ajustes tecnicos cada nudo se considera una

zona diferente y los participantes cobran o pagan segun los

precios marginales asociados con cada nudo.





Modelos Particulares: Suecia

! Similar al modelo de Noruega, pero se considera una unica

zona en el procedimiento de cierre de mercado, como en el

caso de Inglaterra y Gales.

! Entonces todos los participantes deben cobrar o pagar su

produccion o demanda de acuerdo con el precio marginal

del sistema.





Herramientas Software

! Las herramientas software para el analisis de los sistemas

electricos se pueden dividir en dos tipos:

" Software comercial.

" Software para educacion e investigacion.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Introduccion a PSAT - 1





! Software comercial:

" PSS/E

" EuroStag

" Simpow

" CYME

" PowerWorld

" Neplan






! Los sofwtare comerciales siguen una filosofıa “all-in-one” y

son generalmente herramientas robustas, fiables y rapidas.

! Aunque sean herramientas completas, estos software pueden

resultar poco flexibles para la investigacion o demasiado

complicados para la educacion

! Aun mas importante, las herramientas comerciales estan

“cerradas” y no permiten modifcaciones estructurales.






! Para la investigacion, la flexibilidad y la posibilidad de

anadir de forma rapida nuevos algoritmos son

caracterısticas fundamentales.

! Existen muchas herramientas software de “codigo abierto”

para investigacion, generalmente para aplicaciones muy

especıficas.

! Por ejemplo, UWPFLOW proporciona una algoritmo de

flujo de carga de continuacion (“continuation power flow”)

extremadamente robusto.






! C y FORTRAN proporcionan codigo muy rapido. Sin

embargo necesitan buenas capacidades de programacion y

no son adecuados para un desarrollo rapido de las

aplicaciones.

! Existen muchos lenguajes de alto nivel, como por ejemplo

Matlab, Mathematica y Modelica. Estos lenguajes son muy

populares entre los investigadores y en las universidades.

! En el campo de la ingenierıa electrica, Matlab resulta ser la

eleccion preferida.






! Ejemplos de herramientas para el analisis de los sistemas

electricos en Matlab:

" Power System Toolbox (PST)

" MatPower

" Voltage Stability Toolbox (VST)

" Power Analysis Toolbox (PAT)

" Educational Simulation Tool (EST)

" Power system Analysis Toolbox (PSAT)






! Comparaciones:

Package PF CPF OPF SSA TD EMT GUI EGR

EST ! ! ! !

MatEMTP ! ! ! !

MatPower ! !

PAT ! ! ! !

PSAT ! ! ! ! ! ! !

PST ! ! ! !

SPS ! ! ! ! ! !

VST ! ! ! ! !






! Las caracterısticas ilustradas en la tabla anterior son las

siguientes:

" “Power flow” (PF)

" “Continuation power flow” y analisis de estabilidad de

tension (CPF-VS)

" “Optimal power flow” (OPF)

" “Small signal stability analysis” (SSA)

" “Time domain simulation” (TD)

" “Graphical user interface” (GUI)

" Editor grafico de redes (EGR)






! Un aspecto importante pero a menudo olvidado es que

Matlab tambien es un software comercial y cerrado.

! La rutinas internas de Matlab no pueden ser modificadas.

! Para permitir la rapida difusion de las ideas y el progreso

de la investigacion, ambos software y plataforma tienen que

ser libres (Richard Stallman).

! Una alternativa a Matlab es el proyecto GNU/Octave.





Caracterısticas de PSAT

! PSAT es codigo abierto.

! PSAT funciona bajo los mas comunes sistemas operativos.

! PSAT proporciona las siguientes rutinas:

1. Continuation Power Flow (CPF);

2. Optimal Power Flow (OPF);

3. Small signal stability analysis;

4. Time domain simulations.






! PSAT utiliza el calculo vectorial y las ventajas de las

matrices dispersas de Matlab, por lo tanto resulta

relativamente rapido.

! PSAT contiene interfaces con UWPFLOW y GAMS, lo que

permite aumentar las capacidades de PSAT de solucionar

problemas de flujo de carga de continuacion y flujo de carga

optimo.





Esquema de PSAT

AnalysisStatic

Simulink Other DataFormat

DataFiles

SavedResults

OutputText Results

Save GraphicOutput

LibrarySimulink

Settings

SimulinkModel

Conversion Power Flow &

InitializationState Variable

ConversionUtilities

Time Domain

Simulation

Small Signal

Stability

DynamicAnalysis

Optimal PF

Continuation PF

PMU Placement

CommandHistory

PlottingUtilities

GAMS

UWpflow

Interfaces

Output

PSAT

InputModels

User Defined

Models





Difusion de PSAT

PSAT users






! Para un analisis completo y preciso de los sistemas

electricos, PSAT proporciona muchos modelos estatico y

dinamicos de componentes.

! Los modelos dinamicos incluyen cargas no convencionales,

maquina sıncronas y sus regulaciones, transformadores de

regulacion, FACTS, aerogeneradores, y pilas de combustible.






! Ademas de los algoritmos y de los modelos matematicos,

PSAT contiene tambien:

1. Interfaz grafica amigable;

2. Editor de esquemas bajo Simulink;

3. Conversion de datos de y a otros formados;

4. Posibilidad de anadir nuevos modelos;

5. Utilizacion de lınea de comando.






! No todas las caracterısticas estan disponibles bajo

GNU-Octave:

Funcion Matlab GNU/Octave

Continuation power flow ! !

Optimal power flow ! !

Small signal stability analysis ! !

Time domain simulation ! !

GUIs and Simulink library !

Data format conversion ! !

User defined models !

Command line usage ! !





Como Empezar

! Se puede arrancar PSAT escribiendo en la lınea de comando

de Matlab:

>> psat

Esto comando crea todas las estructuras de datos y lanza la

ventana principal del programa.

! Todas las rutinas implementadas en PSAT se pueden lanzar

de esta ventana principal.





Como Empezar

! Ventana principal de PSAT:





Librerıa de Simulink

! PSAT proporciona una herramienta en ambiente Simulink

para dibujar los esquemas topologicos de lo sistemas

electricos.

! Sin embargo, las rutinas de calculo no utilizan Simulink.

! Una consecuencia de esta caracterıstica es que PSAT puede

funcionar con Octave, que de momento no tiene un

equivalente de Simulink.





Librerıa de Simulink

! Librerıa de PSAT construida en el ambiente Simulink:





Otras Caracterısticas

! PSAT proporciona tambien unas funciones para la

conversion de los datos de y a otros formatos y para crear

nuevos modelos. Esto tendrıa que fomentar el desarrollo y

la popularidad del programa.

! Algunos de los formados suportados son: IEEE CDF, EPRI,

PTI, PSAP, PSS/E, CYME, MatPower, PST, NEPLAN. La

conversion se puede hacer a traves de una interfaz amigable.





Conversion de y a Otros Formados

! Interfaz para la conversion de los datos:





Creacion de Nuevos Modelos

! La creacion de nuevos modelos tendrıa que fomentar el

desarrollo de PSAT por los usuarios.

! El usuario tiene que definir las ecuaciones y las variables del

modelo que quiere construir y PSAT se ocupa de escribir la

funcion y arreglar todos los detalles de programacion.

! El nuevo modelo se puede instalar en el programa y

compartirlo con otros usuarios.

! Si ya no se necesita el modelo, se puede quitarlo de forma

automatica.





Creacion de Nuevos Modelos

! Editor para la creacion de nuevos modelos:





Utilizacion de Lınea de Comando

! Es posible utilizar PSAT de lınea de comando. Esta

caracterıstica permite utilizar PSAT en las siguientes

situaciones:

1) Si los comandos graficos no son disponibles o van muy

lentos (por ejemplo utilizacion remota de un servidor).

2) Si se quiere utilizar PSAT como “scripting” o dentro otros

programas.

3) Si PSAT funciona bajo Octave.






! El sistema electrico esta modelado como un sistema de

ecuaciones algebraico-deferenciales (DAE):

x = f(x, y, p)

0 = g(x, y, p)

donde x son las variables de estado x ∈ Rn; y son las

variables algebraicas y ∈ Rm; p son las variables

independientes p ∈ R!; f son las ecuaciones diferenciales

f : Rn × Rm × R! $→ Rn; y g son las ecuaciones algebraicas

g : Rm × Rm × R! $→ Rm.






! PSAT usa estas ecuaciones en todoas las rutinas, es decir

flujo de carga, CPF, OPF, “small signal stability analysis”

y analisis en el tiempo.

! Las ecuaciones algebraicas g se obtienen como la suma de

todas la potencias suministradas en los nudos:

g(x, y, p) =

!

"gp

gq

#

$ =

!

"gpm

gqm

#

$−%

c!Cm

!

"gpc

gqc

#

$ ∀m ∈ M

donde gpm y gqm son los flujos de potencia en las lıneas de

transporte, M es el conjunto de los nudos, Cm y [gTpc, g

Tqc]

T

son el conjunto y las potencias suministradas al nudo m.





Modelos de los Componentes

! PSAT es “component-oriented”, es decir los componentes

estan definidos de forma independiente de los algoritmos

principales.

! Cada componente esta definido como un conjunto de

ecuaciones no lineales algebraico-diferenciales, como sigue:

xc = fc(xc, yc, pc)

Pc = gpc(xc, yc, pc)

Qc = gqc(xc, yc, pc)

donde xc son las variables de estado, yc las variables

algebraicas (V y !) y pc son las variables independientes.

! Las ecuaciones diferenciales se anaden en cola al vector

general de ecuaciones diferenciales de toda la red.





Modelos de los Componentes

! La ecuaciones y las matrices jacobianas estan definidas en

una funcion que se utiliza por ambos analisis estatico y

dinamico.

! Ademas, el componente esta definido por una estructura de

datos, que es una variable global, y que contiene todas las

informaciones sobre el componente.





Modelos de los Componentes: Ejemplo

! Considerese por ejemplo la carga de tipo “exponential

recovery” (ERL).

! Las ecuaciones algebraico-diferenciales son como sigue:

xc1 = −xc1/TP + P0(V/V0)"s − P0(V/V0)

"t

xc2 = −xc2/TQ + Q0(V/V0)#s − Q0(V/V0)

#t

Pc = xc1/TP + P0(V/V0)"t

Qc = xc2/TQ + Q0(V/V0)#t

donde P0, Q0 y V0 son las potencias y la tension inicial,

como se obtienen de la solucion del flujo de carga.

! Observese que se tiene que conectar una carga PQ

constante al nudo de la carga ERL para determinar

correctamente P0, Q0 y V0.






! Definicion de los datos de la carga ERL:

Column Variable Description Unit

1 - Bus number int

2 Sn Power rating MVA

3 Vn Active power voltage coe!cient kV

4 fn Active power frequency coe!cient Hz

5 TP Real power time constant s

6 TQ Reactive power time constant s

7 "s Static real power exponent -

8 "t Dynamic real power exponent -

9 #s Static reactive power exponent -

10 #t Dynamic reactive power exponent -






! Las cargas ERL estan definidas en la estructura de datos

Erload, como sigue:

1. con: datos de las cargas ERL.

2. bus: ındices de los nudos de las cargas.

3. dat: potencias y tensiones iniciales (P0, Q0 y V0).

4. n: numero total de cargas ERL.

5. xp: ındices de las variables de estado xc1 .

6. xq: ındices de las variables de estado xc2 .





Ejemplo

! En este ejemplo se ilustran algunas caracterısticas de PSAT

a traves de unos analisis estaticos y dinamicos del sistema

IEEE de 14 nudos.

! Todos estos datos se pueden bajar de la pagina web de

PSAT:

http://www.power.uwaterloo.ca/∼fmilano/





Ejemplo

! Sistema IEEE de 14 nudos:

Bus 14|V| = 1.0207 p.u.<V = !0.2801 rad

Bus 13|V| = 1.047 p.u.<V = !0.2671 rad

Bus 12|V| = 1.0534 p.u.<V = !0.2664 rad

Bus 11|V| = 1.0471 p.u.<V = !0.2589 rad

Bus 10|V| = 1.0318 p.u.<V = !0.2622 rad

Bus 09|V| = 1.0328 p.u.<V = !0.2585 rad

Bus 08|V| = 1.09 p.u.

<V = !0.2309 rad

Bus 07|V| = 1.0493 p.u.<V = !0.2309 rad

Bus 06|V| = 1.07 p.u.<V = !0.2516 rad

Bus 05|V| = 1.016 p.u.<V = !0.1527 rad

Bus 04|V| = 1.012 p.u.<V = !0.1785 rad

Bus 03|V| = 1.01 p.u.<V = !0.2226 rad

Bus 02|V| = 1.045 p.u.<V = !0.0871 rad

Bus 01|V| = 1.06 p.u.<V = 0 rad

Breaker

Breaker





Ejemplo

! Solucion del flujo de carga:





Ejemplo

! Flujo de carga de continuacion (interfaz):





Ejemplo

! Flujo de carga de continuacion (graficas):





Ejemplo

! Curvas de nariz de la tension en el nudo 14 para distintas

contingencias:

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

!c

Volt

age

[p.u

.]

Base Case

Line 2-4 Outage

Line 2-3 Outage





Ejemplo

! Flujo de carga optimo (interfaz):





Ejemplo

! Comparacion entre OPF y CPF:

Contingency BCP !! MLC ALC

[MW] [p.u.] [MW] [MW]

None 259 0.7211 445.8 186.8

Line 2-4 Outage 259 0.5427 399.5 148.6

Line 2-3 Outage 259 0.2852 332.8 73.85

! Por la definicion de las potencias de los generadores y de las

cargas PG yPL, vale la relacion "c = "" + 1.





Ejemplo

! Simulacion en el tiempo:

" Se ha utilizado un aumento de carga del 40% con

respeto al nivel inicial. Sin PSS en el nudo 1, una

bifurcacion de Hopf ocurre por una contingencia en la

lınea 2-4 (oscilaciones no amortiguadas de los angulos de

los generadores).

" Se hizo tambien un estudio del sistema con el PSS en el

nudo 1 y un aumento de carga de 40%. En esta

condicion el sistema es estable.





Ejemplo

! Simulacion en el tiempo (sin PSS):

0 5 10 15 20 25 300.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002"1 - Bus 1

"2 - Bus 2

"3 - Bus 3

"4 - Bus 6

"5 - Bus 8

Generator

Speeds

[p.u

.]

Time [s]





Ejemplo

! Calculo de los autovalores (con PSS):

!1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0 0.2!10

!8

!6

!4

!2

0

2

4

6

8

10

Real

Ima

g





Referencias

! F. Milano, “An Open Source Power System Analysis

Toolbox”, scheduled for publication on the IEEE

Transactions on Power Systems, Vol. 20, No. 3, August

2005, 8 pages, available at

http://www.power.uwaterloo.ca/∼fmilano/.





Interfaz PSAT-GAMS

! GAMS es una potente herramienta para solucionar

problemas de optimizacion.

" Programacion lineal y lineal entera mixta (CPLEX).

" Programacion no lineal (CONOPT y MINOS).

! El objetivo es crear una interfaz entre PSAT y GAMS.





Interfaz PSAT-GAMS

! El ambiente PSAT proporciona una interfaz grafica y la

base de datos necesarios para el estudio de las redes

electricas.

! GAMS proporciona un ambiente eficiente y “sencillo” de

programacion de problemas de optimo.

! La interfaz permite disfrutar de las ventajas de Matlab

(entorno grafico) y de GAMS (solvers potentes y robustos)





Interfaz PSAT-GAMS

! Esquema de funcionamiento de la interfaz:

PSAT/GAMS

Interface

P S A TNetwork &

Market DataVisualization

Tools

Graphic

Input Data Market Solution

Interface

Matlab/GAMSfm_gams.m

G A M SGAMS

Library

psatout.gms

psatsol.mpsatglobs.gms

psatdata.gms

Matlab

Workspace

GAMS

Environment

GAMS Model

OPF





Interfaz PSAT-GAMS

! Interfaz grafica amigable:





Interfaz PSAT-GAMS

! Modelos disponibles:

" Subasta monoperiodo.

" Subasta multiperiodo.

" Flujo de carga optimo.

" Flujo de carga optimo con restricciones de estabilidad de

tension.

" Maximizacion del margen de seguridad.





Referencias

! F. Milano, “A Graphical and Open-Source Matlab-GAMS

Interface for Electricity Markets Models”, Noveno Congreso

Hispano-Luso de Ingenierıa Electrica, 29 June - 2 July

2005, Marbella, Spain.





Coste Total de Explotacion

! En un marco generalizado, la funcion objetivo es minimizar

el coste total de explotacion.

Min.Pi

%

i

Ci(Pi)

! Las restricciones son:

! Balance de energıa (no se consideran las perdidas):

%

i

Pi = 0

! Lımites de potencias:

Pi ≤ Pmaxi

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Modelos de Cierre de Mercado - 1




Coste Total de Explotacion

! Se puede escribir el problema anterior como un problema

min-max :

Max.$

Max.%i

Min.Pi

%

i

Ci(Pi) − #%

i

Pi −%

i

$i(Pmaxi − Pi)

! donde # y $i son los multiplicadores de Lagrange del

balance y de las inecualidades.





Equivalencia con el Beneficio Social

! Sabiendo que:

Max.x1,x2,...,xn

%

i

fi(xi) =%

i

Max.xi

fi(xi)

! Se obtiene:

Max.$

%

i

Max.%i

Min.Pi

[Ci(Pi) − #Pi − $i(Pmaxi − Pi)]





Equivalencia con el Beneficio Social

! El problema de minimizar el coste total de explotacion

(marco centralizado) es por lo tanto equivalente a n

problemas de maximizar el beneficio particular de cada

participante (marco liberalizado).

! Observese que, sin lımites Pmaxi , se tiene que maximizar,

por cada participante:

Ci(Pi) − #Pi

! Dado el precio #, el objetivo es minimizar los costes.





Subasta Monoperiodo

! La formulacion completa de un modelo general de subasta

monoperiodo es como sigue:

! Funcion objetivo:

Min.PGi,PDj ,&m

[%

i

CGi(PGi) −%

i

CDi(PDi)] (1)

! Observese que las potencias de demanda tienen un signo

“−” porque la carga tiene signo contrario a la generacion

(hay que minimizar el pago #PDj − CDj(PDj)).





Subasta Monoperiodo

! Balance de potencia por zona:

%

i!Gz

PGi −%

j!Dz

PDj −%

m,n!Iz

Pmn = 0 (2)

! Flujos de potencias en las lıneas interzonales:

Pmn =1

xmn(!m − !n) ∀{m, n} ∈ I (3)





Subasta Monoperiodo

! Balances de potencia impuestos por los coordinadores de

balance:

%

i!Gs

PGi −%

j!Ds

PDj = 0 (4)

! Capacidad de transporte de las lıneas interzonales

−Pmaxmn ≤ Pmn ≤ Pmax

mn ∀{m, n} ∈ I (5)





Subasta Monoperiodo

! Lımites de generacion:

PminGi ≤ PGi ≤ Pmax

Gi ∀i ∈ G (6)

! Lımites de consumo:

PminDj ≤ PDj ≤ Pmax

Dj ∀j ∈ D (7)





Subasta Monoperiodo

! Ejemplos de mercados reales:

Modelo PJM IyG CAL NOR SUE

Zonas k = n k = 1 k = 1 k < n k = 1

(1) ! ! ! ! !

(2) ! ! ! !

(3) ! !

(4) !

(5) ! !

(6) ! ! ! ! !

(7) ! ! ! ! !





Medidas de eficiencia economica

! Excedente de los productores:

SG =%

i!G

[#iPGi − CGi(PGi)]

! Excedente de los consumidores:

SD =%

j!D

[CDj(PDj) − #jPDj ]





Medidas de eficiencia economica

! Excedente de comercializacion:

SM =%

j!D

#jPDj −%

i!G

#iPGi

! Beneficio social:

SS = SG + SD + SM





Precio de Cierre de Mercado

! El precio de cierre de mercado (PCM) es el precio que los

productores cobran y a lo que los consumidores compran la

energıa electrica.

! El PCM se define, de forma general, como:

PCM =dC

dPD

! donde C es la funcion objetivo y PD la potencia de la

demanda.






! Si se considera el balance de potencia:

%

i!G

PGi −%

j!D

PDj = 0 (8)

! El PCM resulta ser el multiplicador de Lagrange # asociado

con esta ecuacion:

PCM = #






! Para demonstrar de forma general esta afirmacion,

considerese la siguiente propiedad.

! Dado un problema de optimo:

Min.x,a

z = f(x, a)

! sujeto a:

h(x) + a = 0 : #

! donde (x, a) es el vector de las variables, a ∈ R.






! La funcion lagrangiana del problema vale:

L = f(x, a) − #(h(x) + a)

! Sea el punto de optimo (x", a").






! Considerese ahora el problema de optimo:

Min.x

z = f(x, a")

! sujeto a:

h(x) + a" = 0 : #

! El punto de optimo es x".






! Entonces, la variacion de la funcion lagrangiana con respeto

al parametro a" vale:

dL

da"=

df

da"− # = 0

! y finalmente:

dz

da"= #






! Esta propiedad es util a la vez de considerar el problema de

cierre de mercado.

! Dado el balance de potencia:

%

i!G

PGi −%

j!D

PDj + a" = 0 (9)

! sea a" = 0.






! La variacion da" se puede ver como una variacion

infinitesima de la potencia de la carga.

! Entonces:

dz

da"=

dC

dPD= #

! Observese que no se hace ninguna hipotesis sobre la

ecuacion de balance (puede ser escalar, vectorial, etc.).





Ejemplo 1

! Red de tres nudos:

Bus3

Bus2

Bus1





Ejemplo 1

! Datos de los generadores:

Unit PminGi Pmax

Gi C0i C1i

1 0.1 0.6 6 9.8

2 0.1 0.6 4 10.7

3 0.1 0.6 8 12.6

! Carga: PL = 1 p.u.





Ejemplo 1

! Modelo de Inglaterra y Gales (no red).

! Vector de generacion:

[PG1, PG2, PG3] = [0.6, 0.3, 0.1] p.u.

! Precio marginal del sistema (PCM):

PCM = # = 10.7 $/h





Ejemplo 1

! Modelo de Noruega.

! Zona 1: nudo 1. Zona 2: nodus 2 y 3. Lımites en las lıneas

interzonales 1-2 y 1-3: Pmaxij = 0.2 p.u.


[PG1, PG2, PG3] = [0.4, 0.5, 0.1] p.u.

! Precios marginales zonales:

[#1, #23] = [9.8, 10.7] $/h





Ejemplo 1

! Modelo de PJM con Pmaxij = 0.4 p.u en todas las lıneas.


[PG1, PG2, PG3] = [0.4, 0.4, 0.2] p.u.

! Precios marginales nodales:

[#1, #2, #3] = [9.8, 10.7, 12.6] $/h

! Saturaciones en las lıneas 1-3 y 2-3.





Ejemplo 1

! El modelo PJM proporciona las mismas soluciones del

modelo Inglaterra y Gales si no se consideran las

saturaciones en las lıneas.

! Si no se fijan los lımites de saturacion, el modelo con una

unica zona y el modelo con una zona por cada nudo son

equivalentes (precio de cierre de mercado unico para toda la

red).





Ejemplo 1

! Para definir las zonas, solo hay que eliminar las conexiones

entre cada zona.

Bus23

Bus1





Ejemplo 2

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo 2

! Datos:

Bus Participant Ci Pmax

i [$/MWh] [MW]

1 GENCO 1 (S1) 9.7 20

2 GENCO 2 (S2) 8.8 25

3 GENCO 3 (S3) 7 20

4 ESCO 1 (D1) 12 25

5 ESCO 2 (D2) 10.5 10

6 ESCO 3 (D3) 9.5 20





Ejemplo 2

! Solucion grafica (no saturaciones):

0 20 6555

7

8.8

9.5

9.7

10.5

25 35 45

GENCO 3

MW

A

GENCO 1

ESCO 2

ESCO 1

$/MWh

12

MCP =ESCO 3

GENCO 2





Ejemplo 2

! Solucion grafica con demanda inelastica Ptot = 55 MW (no

saturaciones):

MCP =

GENCO 3

0 20 6555

7

8.8

9.7

45

$/MWh ESCO 1 + ESCO 2 + ESCO 3

GENCO 1

B

GENCO 2

MW





Ejemplo 3

! Mercado diario en Espana (www.omel.es):





Ajustes Tecnicos

! Considerese el caso de eliminacion de las saturaciones.

! Funcion objetivo:

Min."PGi,"PDj ,&m

[%

i

CGi(PGi + ∆PGi) −%

i

CDi(PDi + ∆PDj)]

(10)

! donde ∆PGi y ∆PDj son los ajustes de potencia.





Ajustes Tecnicos

! Balance de potencia por zona:

%

i!Gz

(PGi+∆PGi)−%

j!Dz

(PDj+∆PDj)−%

m,n!Iz

Pmn = 0 (11)

! Flujos de potencias en las lıneas interzonales:

Pmn =1

xmn(!m − !n) ∀{m, n} ∈ I (12)





Ajustes Tecnicos

! Balances de potencia impuestos por los coordinadores de

balance:

%

i!Gs

∆PGi −%

j!Ds

∆PDj = 0 (13)

! Capacidad de transporte de las lıneas interzonales

−Pmaxmn ≤ Pmn ≤ Pmax

mn ∀{m, n} ∈ I (14)





Ajustes Tecnicos


PminGi ≤ PGi + ∆PGi ≤ Pmax

Gi ∀i ∈ G (15)

! Lımites de consumo:

PminDj ≤ PDj + ∆PDj ≤ Pmax

Dj ∀j ∈ D (16)





Ajustes Tecnicos

! Ejemplos de mercados reales:

Modelo PJM IyG CAL NOR SUE

Zonas k = n k = n k < 1 k = n k = n

Part. Cargas no no sı sı sı

(1) ! ! ! !

(2) ! ! ! !

(3) ! ! ! !

(4) !

(5) ! ! ! !

(6) ! ! ! !

(7) ! ! !





Ajustes Tecnicos

! De los cinco ejemplos de mercados reales lo que proporciona

las soluciones (generalmente) mas economicas es el modelo

de PJM.

! Este resultados era esperable porque el modelo PJM

considera de forma conjunta el problema de cierre de

mercado y las restricciones tecnicas.

! La ventaja de los otros modelos es una mayor

“transparencia” para los participantes.





Ejemplo

! Ajustes tecnicos debidos a las saturaciones en el mercado

diario en Espana (www.omel.es):





Subasta Multiperiodo

! Programar la generacion para alimentar la demanda por un

horizonte temporal al coste mınimo incluyendo el arranque

y la parada (unit commitment) de los generadores.

! Restricciones:

" Restricciones tecnicas.

" Restricciones de seguridad (conjunto predefinido de

contingencias, reserva, etc.).






! Coste de la energıa:

" Generalemente se asume un coste cuadratico o lineal a

tramos y convexo.

" Bloques discretos de potencias.

" Se utilizan variables discretas para representar

no-convexidad.






! Otros costes:

" Coste de arranque. Se asume constante o funcion

exponencial del tiempo que el generador ha estado

parado.

" Coste de parada.

" Coste de la reserva de potencia.






! Restricciones tecnicas:

" Potencias generadas maximas y mınimas.

" Lımites de flujo en las lıneas de transporte.

" Restricciones temporales:

# Tiempos mınimos de arranque y de parada.

# Lımites de rampas.

# “Must-run”.

# Contaminacion y restricciones ambientales.






! Restricciones de seguridad:

" El sistema tiene que sobrevivir tras todas las

contingencias plausibles, sin corte involuntario de carga.

" Es necesario incluir el balance de potencia

post-contingencia para cada tipo de reserva.

" Restricciones de estabilidad (tension, angulo, frecuencia).

" De momento no consideramos las restricciones de

seguridad.






! Variables continuas:

" Pg,t: potencias de la generacion.

" !t: angulos de las tensiones de los nudos.

! Variables discretas:

" ut: estado on/off.

" yt: arranque de los generadores.

" zt: parada de los generadores.






! Parametros:

" C0t: Vector de costes fijos.

" C1t: Vector de costes lineales.

" C2t: Vector de costes cuadraticos.

" Pmaxg : Vector de potencias maximas.

" Pming : Vector de potencias mınimas.

" Pdt: Vector de la demanda.






! Parametros:

" Csut : Vector de costes de arranque.

" Csdt : Vector de costes de parada.

" rup: Vector de rampa de subida.

" rdn: Vector de rampa de bajada.

" Tup: Vector de tiempos mınimos de arranque.

" Tdn: Vector de tiempos mınimos de parada.






! Formulacion lineal:

! Funcion objetivo:

Min.

&%

i

Ct(Pgt, ut) + (Csut )T yt + (Csd

t )T zt

'

! Balance de potencia:

Pgt − Pdt − B! = 0







diag(Pming )ut ≤ Pgt ≤ diag(Pmax

g )ut

! Lımites de transporte:

−Pmaxf ≤ H!t ≤ Pmax

f






! Restricciones temporales:

" Lımites de rampas:

Pgt#1 − Pgt ≤ rup

Pgt − Pgt#1 ≤ rdn

Pming ≤ rup ≤ rdn

" Logica de arranque y de parada:

yt − zt − ut + ut+1 = 0

yt + zt − 1 ≤ 0






! Modelo mas detallado de subasta multiperiodo.

! Funcion objetivo:

Max. G =%

t!T

%

j!J

CDjPDj

(t)

−%

t!T

%

i!I

(CSiPSi

(t) + CSUiwi(t) + CSDi

zi(t))

! donde CSU y CSD son los costes de arranque y parada de

los generadores.






! Lımites de las ofertas de productores y consumidores:

PSmin iui(t) ≤ PSi

(t) ≤PSi(t) ∀i ∈ I, ∀t ∈ T

QGmin iui(t) ≤ QGi

(t)≤QGmax iui(t) ∀i ∈ I, ∀t ∈ T






! Los lımites de las ofertas de los productores tienen en

cuenta si el generador esta aceptado en el mercado o no en

periodo t.

! PSi(t) representa la maxima potencia en salida del

generador i y tiene en cuenta la maxima potencia, los

lımites de rampas y los lımites de arranque y parada.






! Lımites de arranque y lımites de rampa de subida:

PSi(t) ≤ PSmaxi

[ui(t) − zi(t + 1)]

+zi(t + 1)SDi ∀i ∈ I, ∀t ∈ T

PSi(t) ≤ PSi

(t − 1) + RUiui(t − 1)

+SUiwi(t) ∀i ∈ I, ∀t ∈ T






! Lımites de parada y lımites de rampa de bajada:

PSi(t− 1) ≤ PSi

(t) + RDiui(t) + SDizi(t) ∀i ∈ I, ∀t ∈ T






! Restricciones de tiempo mınimo “on-line”:

#i%

t=1

(1 − ui(t)) = 0 ∀i ∈ I

k+UTi#1%

'=t

ui(%) ≥ UTiwi(t) ∀i ∈ I,

∀t = Γi + 1 . . . T − UTi + 1T%

'=t

(ui(%) − wi(t)) ≥ 0 ∀i ∈ I,

∀t = T − UTi + 2 . . . T






! Restricciones de tiempo mınimo “off-line”:

$i%

t=1

ui(t) = 0 ∀i ∈ I

t+DTi#1%

'=t

(1 − ui(%)) ≥ DTizi(t) ∀i ∈ I,

∀t = Πi + 1 . . . T − DTi + 1T%

'=t

(1 − ui(%) − zi(t)) ≥ 0 ∀i ∈ I,

∀t = T − DTi + 2 . . . T






! donde Γi y Πi son los numeros de periodos i en los que el

generador tiene que estar en lınea o fuera de lınea,

respectivamente.






! Finalmente, logicas de arranque y parada:

wi(t) − zi(t) = ui(t) − ui(t − 1) ∀i ∈ I,∀t ∈ T

wi(t) + zi(t) ≤ 1 ∀i ∈ I,∀t ∈ T

! Estas ecuaciones se necesitan para evitar que un generador

este arrancado y parado al mismo tiempo.






! Para inicializar la subasta multiperiodo, hay que fijar el

estado inicial de los generadores, es decir los valores de las

variables de arranque y parada.

! Esto se puede hacer solucionando una subasta monoperiodo

o en base a soluciones anteriores.

! La subasta monoperiodo se puede obtener directamente del

modelo de la subasta multiperiodo fijando el horizonte

temporal T = {1}.






! El precio de cierre de mercado o, si se consideran las

saturaciones, los precios nodales no se pueden definir si hay

variables discretas.

! Los multiplicadores de Lagrange no tienen un sentido fısico

si hay variables discretas.






! Para poder definir los precios, primero hay que solucionar el

problema con variables discretas.

! Dada la solucion, se fijan las variables discreta al valor

optimo encontrado el paso anterior.

! Se soluciona otra vez el problema de cierre de mercado (n

problemas independientes por cada t).

! Los multiplicadores de Lagrange de esta ultima solucion son

los precios marginales.





Ejemplo 1

! Red de tres nudos:

Bus3

Bus2

Bus1





Ejemplo 1

! Datos:

Unit PminGi Pmax

Gi C0i C1t rdw, rup T up T dw

1 0.1 0.6 6 9.8 0.05 2 2

2 0.1 0.6 4 10.7 0.1 3 2

3 0.1 0.6 8 12.6 0.15 2 2





Ejemplo 1

! Demanda:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 550

60

70

80

90

100

110

120

hour [h]





Ejemplo 1

! Generacion:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

hour [h]

PSBus1

PSBus2

PSBus3





Ejemplo 1

! Precio de cierre de mercado:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 59.8

9.9

10

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

hour [h]

LMPBus1

LMPBus2

LMPBus3





Ejemplo 1

! Generacion con lımites de flujo Pmaxij = 0.4:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

hour [h]

PSBus1

PSBus2

PSBus3





Ejemplo 1

! Precios nodales con lımites de flujo Pmaxij = 0.4:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 59.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

hour [h]

LMPBus1

LMPBus2

LMPBus3





Ejemplo 2

! Precio de la energıa en cada hora para el mercado diario en

Espana:





Bibliografıa

! A. L. Motto, F. D. Galiana, A. J. Conejo, J. M. Arroyo,

“Network-Constrained Multiperiod Auction for a

Pool-Based Electricity Market”, IEEE Transactions on

Power Systems, vol. 17, pp. 646-653, August 2002.





Subasta Multiperiodo Decentralizada

! El operador de sistema envıa los precios nodales a los

productores.

! Los productores maximizan el beneficio individual con este

precio.






! Funcion objetivo:

Max.PGi

[#" − CGi(PGi, ui)]

! si:

Pr" =1

2

(#" − C1i)2

C2i− C0i ≥ 0

! entonces ui = 1 y PGi = ($!#ai)bi

.

! en caso contrario, ui = 0.






! Si el problema no es convexo, no es dicho que el problema

centralizado sea equivalente al problema centralizado.

! En este caso, por el marco centralizado:

! Algunas centrales con ui = 1 pueden tener Pr < 0.

Pr" =1

2

(#" − C1i)2

C2i− C0i > 0 y u"

i = 1

! Algunas centrales con ui = 0 pueden perder la

posibilidad de ganar dinero.

Pr" =1

2

(#" − C1i)2

C2i− C0i < 0 y u"

i = 0






! Las no-convexidades son:

! Costes fijos.

! Costes de arranque y de parada.

! PminGi > 0.

! El problema decentralizado puede no converger nunca.





Price Maker

! “Price Maker” (que fija el precio) es un productor que

oferta energıa y, por lo tanto, con sus ofertas fija el precio

de la electricidad.

! El objetivo es programar una oferta horaria

(“self-scheduling”) que maximize el beneficio del productor

de energıa.





Price Maker

! Por cada hora se supone que se conozca el precio de cierre

de mercado ası como la curva de demanda y de oferta.

! Estas informaciones son disponibles en muchos mercados

reales, como por ejemplo, el mercado de Espana, de

California y de New England.

! Se necesita esta informacion para permitir a los price maker

de prever sus curvas “cantidad-precio”.





Price Maker

! La curva cantidad-precio #t(qt) por una hora dada

proporciona el precio de cierre de mercado en funcion de la

cantidad de potencia del price maker aceptada en la subasta

en esa hora.

! La curva cantidad-precio se conoce tambien como curva de

demanda residual.

! Permite maximizar el beneficio de cada generador en el

mercado diario.





Price Maker

! Curva cantidad-precio #t(qt).

35

30

25

20

15

10

5

0

0 1 2 3 4 5 6 7

Precio [$/MWh]

Cantidad [GW]





Price Maker

! Problema de optimo no lineal:

! Funcion objetivo:

Max.pt,i,qt

T%

i=1

&

#t(qt)qt −m%

i=1

ct,i

'

! sujeto a:

pt,i ∈ Πi i = 1, . . . , m; t = 1, . . . , T

qt =m%

i=1

pt,i t = 1, . . . , T





Price Maker

!(T

i=1 #t(qt)qt es la ganancia total del productor.

!(T

i=1

(mi=1 ct,i es el coste total de produccion.

! Πi es la region de factibilidad de la unidad i que produce la

potencia pi.

! El coste ct,i es la suma de los costes fijos, coste lineales a

tramos, costes de arranque y costes de parada.





Bibliografıa

! S. de la Torre, J. M. Arroyo, A. J. Conejo, and J.

Contreras, “Price Maker Self-Scheduling in Pool-Based

Electricity Market: Mixed-Integer LP Approach”, IEEE

Transaction on Power Systems, vol. 17, no. 4, pp.

1037-1042, November 2002.





Price Taker

! “Price taker” (que acepta el precio) es un productor (por

ejemplo una planta termica) que no puede alterar el precio

de cierre de mercado.

! En esta condicion el problema de maximizar el beneficio se

divide en sub-problemas independientes.

! Cada sub-problema es maximizar el beneficio de cada

generador del mismo productor, es decir, encontrar la

estrategia de oferta de precio mas conveniente.





Price Taker

! Entonces el problema se puede reducir al analisis de un

unico generador.

! En el modelo del price taker, se supone que la incertitumbre

del precio sea elevada.

! El precio en cada hora #t es por lo tanto una variable

aleatoria de la que se tiene que proporcionar el valor

esperado Et{#t}.





Price Taker

! Problema de optimo no lineal:

! Funcion objetivo:

Max.pt

E1,...,t

)T%

i=1

#tpt

*

−T%

i=1

ct

! sujeto a:

pt ∈ Π t = 1, . . . , T





Price Taker

! E1,...,t

+(Ti=1 #tpt

,es la ganancia total esperada.

!(T

i=1 ct es el coste total de produccion.

! Π es la region de factibilidad del generador.

! El coste ct es la suma de los costes fijos, coste lineales a

tramos, costes de arranque y costes de parada.





Price Taker

! Tambien el beneficio Bt en la hora t logrado por el

productor es una variable aleatoria.

! El valor promedio se puede calcular como sigue:

Bavgt = #est

t p"t − c"t

! Varianza:

VarBt(Bt) = ($est

t )2(p"t )2





Bibliografıa

! A. J. Conejo, F. J. Nogales, and J. M. Arroyo, “Price Taker

Bidding Strategy Under Price Uncertainty”, IEEE

Transaction on Power Systems, vol. 17, no. 4, pp.

1081-1088, November 2002.





Subasta con Equilibrio Walrasiano

! El operador de mercado proporciona los costes de cada hora

del dıa.

! Cada productor programa su produccion para maximizar su

beneficio.

! Los productores proporcionan el programa de produccion al

operador de mercado.






! Cada consumidor programa su demandas para maximizar

su beneficio.

! Los consumidores proporcionan sus demandas al operador

de mercado.

! El operador de mercado determina el desequilibrio de

potencia en cada hora (demanda menos produccion).






! Si el desequilibrio horario es bastente pequeno, el proceso

termina.

! Si el desequilibrio horario es mayor que el umbral mınimo, el

operador de mercado modifica los precios horarios de forma

proporcional al desequilibrio horario y se repite el proceso.





Ejemplo

! Demandas: 35 y 60 MW (2 periodos).

! Generacion:

Generator Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3

PmaxGi 29 20 20

PminGi 5 5 10

rup 10 5 20

rdw 10 5 20

P 0Gi 25 10 10

Ci 1 4 5





Ejemplo

! Unidad 1:

Bloque 1 2 3

C1ik 1 4 5

PmaxGik 5 12 12

PminGik 0 0 0





Ejemplo

! “Self scheduling” de la unidad 1:

! Funcion objetivo:

Max. "1(PG111 + PG112 + PG113) +

"2(PG121 + PG122 + PG123) −

(PG111 + PG121) − 4(PG112 + PG122)

−5(PG113 + PG123)





Ejemplo

! Sujeto a:

0 ≤ PG111 ≤ 5 0 ≤ PG121 ≤ 5

0 ≤ PG112 ≤ 12 0 ≤ PG122 ≤ 12

0 ≤ PG113 ≤ 12 0 ≤ PG123 ≤ 12

5u11 ≤ (PG111 + PG112 + PG113) ≤ 29u11

5u12 ≤ (PG121 + PG122 + PG123) ≤ 29u12





Ejemplo

! Sujeto a:

(PG111 + PG112 + PG113) − 25 ≤ 10

(PG121 + PG122 + PG123) − (PG111 + PG112 + PG113) ≤ 10

25 − (PG111 + PG112 + PG113) ≤ 10

(PG111 + PG112 + PG113) − (PG121 + PG122 + PG123) ≤ 10

u11, u12 ∈ {1, 0}





Ejemplo

! Primera solucion:

Hora 1 2

Precio 5.156 7.044

Bloque 1 2 3 Total 1 2 3 Total

Unidad 1 5 12 12 29 5 12 12 29

Unidad 2 10 0 0 10 10 5 0 15

Unidad 3 0 0 0 0 10 5 5 20

Total - - - 39 - - - 64





Ejemplo

! Segunda solucion:

Hora 1 2

Precio 5.155 7.043

Bloque 1 2 3 Total 1 2 3 Total

Unidad 1 5 12 12 29 5 12 12 29

Unidad 2 5 0 0 5 10 0 0 10

Unidad 3 0 0 0 0 10 5 5 20

Total - - - 34 - - - 59





Bibliografıa

! A. L. Motto, F. D. Galiana, A. J. Conejo and M. Huneault,

“On Walrasian Equilibrium for Pool-Based Electricity

Markets”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 17,

no. 3, pp. 774-781, August 2002.






! El modelo del sistema electrico que vamos a ilustrar se

limita a las ecuaciones de los generadores, de las cargas y de

la red de transporte en regimen permanente.

! Tambien hay que considerar los lımites de operacion y de

seguridad del sistema.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Modelo del Sistema Electrico - 1





! Modelo del generador en regimen permanente:

" El generador proporciona una potencia P al sistema y

mantiene la tension V constante, siempre y cuando las

potencias activas y reactivas esten dentro sus lımites

(“capability curve”):

Pmin ≤ P ≤ Pmax

Qmin ≤ Q ≤ Qmax






! Por lo tanto el generador es un nudo PV :

P = constanteQ = incognita

V = constante& = incognita

! Si se alcanzan los lımites de la potencia reactiva Q, el nudo

se convierte en PQ:

P = constanteQ = constante

V = incognita& = incognita






! Nudo de saldo (“slack bus”):

" El modelo fasorial necesita una referencia de fase.

" En la practica habitual se elige un generador “grande”

como referencia de fase, porque se supone que este

generador pueda funcionar como “saldo” de potencia.

P = incognitaQ = incognita

V = constante& = 0

Pslack =%

L

PL + Plosses −%

G

PG






! Entonces, si Q alcanza un lımite:

P = incognitaQ = constante

V = incognita& = 0






! Modelo de la carga:

" En la practica habitual, las cargas se conectan al sistema

electrico a traves de un transformador de tomas

variables (ULTC).

" Entonces, la mayorıa de las cargas en regimen

permanente se modelan como potencias constantes en el

sistema, es decir, como nudos PQ:

P = constanteQ = constante

V = incognita& = incognita






! Red de transporte:

" La red de transporte en corriente alterna se compone de

lıneas y transformadores que se pueden modelar como

sigue:

Vi Vk

a"" : 1

a""Vk

SiSk

Ii Ik

Ik/a""Z

Y2Y1






! Entonces:

Si = ViI"i

= Vi

!

---"

(Vi − a"&Vk)

.1

Z

/

0 12 3Y

+ViY1

#

444$

"

= Vi

!

-"(Y + Yi)

"

0 12 3Y!

ii

V"i + (−a"&Y)"

0 12 3Y!

ik

V"k

#

4$

! Ecuaciones similares valen para Sk.






! Entonces, para un sistema con N nudos interconectados a

traves de una red de transporte en corriente alterna, se

puede definir una matriz N × N de las admitancias:

2

66666666666664

I1

I2

...

Ii

...

IN

3

77777777777775

=

2

66666666666664

Y11 Y12 · · · Y1i · · · Y1N

Y21 Y22 · · · Y2i · · · Y2N

......

. . ....

. . ....

Yi1 Yi2 · · · Yii · · · YiN

......

. . ....

. . ....

YN1 YN2 · · · YNi · · · YNN

3

77777777777775

2

66666666666664

V1

V2

...

Vi

...

VN

3

77777777777775

I|{z}

node injections

= Ybus V|{z}

node voltages






! donde:

Ybus =

5666667

666668

Yii =(N

k=11

Zik+(

Yi

= suma de todos los Y’s conectados al nudo i

Yij = − 1Zij

= negativo de Y entre los nudos i y j





Flujo de Carga

! Ecuaciones del flujo de carga.

! Metodos de solucion:

" Newton-Raphson.

" Desacoplado rapido.

" Flujo de carga en continua.

! Ejemplos.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Flujo de Carga - 1




Flujo de Carga

! El punto de trabajo en regimen permanente de un sistema

electrico de potencia se obtiene solucionando las ecuaciones

de flujo de carga (“power flow problem”).

! El modelo del sistema para el flujo de carga corresponde a

un punto de equilibrio del sistema.





Ecuaciones de Flujo de Carga

! En regimen permanente, un sistema con n generadores G y

m cargas L se puede modelar como:

SG1

SGn

SL1

SLm

VG1

VGn

VL1

VLm

Ybus (N $ N)

N = n + m

Red deTransporte





Flujo de Carga Equations

! Entonces las inyecciones de potencia en cada nudo son:

Si = Pi + jQi

= ViI"i

= Vi

N%

k=1

Y"ikV

"k

= Vi"!i

N%

k=1

(Gij − jBij)Vk" − !k

Si =

57

8SGi

para nudos de generacion

−SLipara nudos de carga






! Esto lleva a dos ecuaciones para cada nudo:

∆Pi(!, V, Pi) =

Pi −N%

k=1

ViVk[Gik cos(!i − !k) + Bik sin(!i − !k)] = 0

∆Qi(!, V, Qi) =

Qi −N%

k=1

ViVk[Gik sin(!i − !k) − Bik cos(!i − !k)] = 0

! Y dos variables para cada nudo:

" Nudos PQ → Vi y !i

" Nudos PV → !i y Qi

" Nudo de saldo → Pi y Qi






! Estas ecuaciones se conocen como “power mismatch

equations”.

! Las ecuaciones estan sujetas a restricciones (desigualdades)

que representan los lımites de control:

0.95 ≤ Vi ≤ 1.05 para todos los nudos

Qmini≤ Qi ≤ Qmaxi

para los nudos de generacion






! Resumiendo, los datos tıpicos de flujo de carga son:

Nudo Parametros Variables

PQ P , Q V , !

PV P , V Q, !

saldo V , ! P , Q






! Para el analisis de flujo de carga con restricciones, los

modelos estandar pueden cambiar si se alcanzan los lımites:

Nudo Parametros Variables

PQ P , Vmax,min Q, !

PV P , Qmax,min V , !

saldo Qmax,min, ! P , V

! El analisis de flujo de carga de continuacion (CPF) es

mucho mas fiable y robusta para llevar a cabo un analisis de

flujo de carga con restricciones.






! El nudo de saldo puede ser unico o distribuido.

! Esto depende de como se reparten las perdidas.

" En el modelo con nudo de saldo unico, todas las

perdidas estan balanceadas por el nudo de saldo.

" En el modelo con nudo de saldo distribuido, las perdidas

se comparten entre todos o algunos de los generadores.






! El modelo con nudo de saldo distribuido se basa en el

concepto de centro de potencia generalizado.

! Esto se obtiene incluyendo en las ecuaciones de flujo de

carga una varibale kG y escribiendo otra vez los balances de

potencias activas como sigue:

nG%

i

(1 + kG'i)PGi−

nP%

i

PLi− Plosses = 0

! El parametro 'i permite ajustar el peso de la participacion

de cada generador a las perdidas.

! En el modelo con nudo de saldo unico, 'i = 0 para todos los

generadores menos el nudo de saldo.





Solucion del Flujo de Carga

! Las ecuaciones del flujo de carga se pueden escribir en la

forma siguiente:

F (z) = 0

! Hay 2 ecuaciones para cada nudo, con 2 parametros y 2

incognitas para cada nudo; el problema tiene un tamano de

2N .

! Como estas ecuaciones no son lineales (debido a las

funciones seno y coseno), en la practica habitual la solucion

se obtiene a traves de metodos numericos, como por

ejemplo Newton-Raphson (NR).






! Un metodo NR “robusto” se puede plantear como sigue:

1. Se comienza con una tentativa inicial, generalmente V 0i = 1,

!0i = 0, Q0

Gi = 0, P 0slack = 0 (“flat start”).

2. En cada iteracion k(k = 0, 1, 2, . . .), se calcula la matriz

jacobiana dispersa:

(F

(z

999zk

= Jk =

!

---"

(F1(z1

|zk . . . (F1(zN

|zk

.... . .

...(FN

(z1|zk . . . (FN

(zN|zk

#

444$

2N$2N






3. Se encuentra ∆zk solucionando el siguiente sistema lineal

(la matriz dispersa Jk no se invierte, se factoriza, para

ahorrar tiempo):

Jk∆zk = −F (zk)

4. Se calculan los nuevos valores de las incognitas para la

iteracion siguiente, donde & es un control de paso constante

que garantiza la convergencia (0 < & < 1):

zk+1 = zk + &∆zk






5. El procedimiento termina cuando:

‖F (zk+1)‖ = max |Fi(zk+1)| ≤ )

! Esto es en principio el metodo que utiliza la funcion

fsolve() de Matlab. Esta funcion puede utilizar matrices

jacobianas numericas o analıticas.






! Si se calculan solo las incognita ! y V utilizando el metodo

NR (la potencia reactiva de los generadores y la potencia

activa del nudo de saldo se puede calcular luego):

Jk∆zk = −F (zk)

⇒

!

"H M

N L

#

$

!

" ∆!k

∆V k/V k

#

$ = −

!

"∆P (!k, V k)

∆Q(!k, V k)

#

$






! Donde:

H =(∆P

(!

999(&k,V k)

M = V(∆P

(V

999(&k,V k)

N =(∆Q

(!

999(&k,V k)

L = V(∆Q

(V

999(&k,V k)






! Si se hace la hipotesis que:

" (!i − !k) < 10%, entonces

cos(!i − !k) ≈ 1

sin(!i − !k) ≈ !i − !k

" Las resistencias en al red de transporte son pequenas, es

decir R - X, entonces Gij - Bik.

! Las matrices M y N se pueden despreciar, y:

H ≈ V kB&V k

M ≈ V kB&&V k






! Entonces se puede “desacoplar” el sistema lineal resultante:

B&∆!k = −∆P (!k, V k)/V k

B&&∆V k = −∆Q(!k, V k)/V k

donde B&& el la parte imaginaria de la matriz Ybus, y B& es

la parte imaginaria de la matriz de las admitancias

calculada despreciando las resistencias, es decir B&& .= B&.






! El metodo desacoplado rapido es el siguiente:

1. Se empieza con una tentativa inicial, generalmente

!0i = 0, V 0

i = 1.

2. Se soluciona ∆!k → B&∆!k = −∆P (!k, V k)/V k.

3. Se actualiza → !k+1 = !k + ∆!k.

4. Se soluciona ∆V k → B&&∆V k = −∆Q(!k, V k)/V k.

5. Se actualiza → V k+1 = V k + ∆V k.

6. Se calculan las potencia incognitas de los generadores y

se controlan los lımites.

7. Se repite el proceso para k = 1, 2, . . ., hasta la

convergencia.






! Este metodo necesita un numero relativamente grande de

pasos en comparacion con el metodo NR robusto.

! Es bastante mas rapido, porque no se tiene que recalcular la

factorizacion de la matriz jacobiana en cada iteracion.

! La convergencia depende de la tentativa inical y no hay

garantia de convergencia, en particular si la red de

transporte tiene grandes resistencias.





Flujo de Carga en Continua

! Se desprecian las potencias reactivas.

! Todas los modulos de las tensiones valen 1 p.u.

! Relacion lineal entre potencia activas y angulos de las

tensiones.





Flujo de Carga en Continua

! Flujo de potencia entre dos nudos m y n:

Pmn =1

xmn(!m − !n)

! En forma matricial:

P = B!

! Errores hasta el 20% respeto al flujo de carga completo.





Ejemplo 1

! Los datos del sistema son los siguientes:

P1P2

Q

1 2

3

Todas las lıneas:

200 MVA

200 MVA

138 kV

X = 0.1 p.u.

B = 0.2 p.u.

0.9 p.f. retraso

V1 = 1, !1 = 0, V2 = 1, V3 = 1, y P2 = P1/2.

! Determınense los angulos !2 y !3 y la potencia reactiva Q a

traves de las ecuaciones de flujo de carga.





Ejemplo 1

! La matriz Ybus vale:

Y11 = Y22 = Y33 =2

jX+ 2

.jB

2

/= −j19.8

Y12 = Y13 = Y23 = −1

jX= j10

⇒ Ybus = j

!

--"

−19.8 10 10

10 −19.8 10

10 10 −19.8

#

44$ = j

!

--"

B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

#

44$





Ejemplo 1

! Ecuacion de balance ∆P1:

∆P1 = P1 −3%

k=1

V1Vk[G1k cos(!1 − !k) + B1k sin(!1 − !k)]

0 = P1 −3%

k=1

B1k sin(−!k)

= P1 + B12 sin(!2) + B13 sin(!3)

= P1 + 10 sin(!2) + 10 sin(!3)





Ejemplo 1

! Ecuacion de balance ∆Q1:

∆Q1 = Q1 −3%

k=1

V1Vk[G1k sin(!1 − !k) − B1k cos(!1 − !k)]

0 = Q1 +3%

k=1

B1k cos(−!k)

= Q1 − 19.8 + 10 cos(!2) + 10 cos(!3)





Ejemplo 1


∆P2 = P2 −3%

k=1


0 = P1/2 −3%

k=1

B2k sin(!2 − !k)

= 0.5P1 + 10 sin(!2) + 10 sin(!2 − !3)





Ejemplo 1


∆Q2 = Q2 −3%

k=1


0 = Q2 +3%

k=1

B2k cos(!2 − !k)

= Q1 + 10 cos(!2) − 19.8 + 10 cos(!2 − !3)





Ejemplo 1


∆P3 = P3 −3%

k=1


0 = −0.9 −3%

k=1

B3k sin(!3 − !k)

= −0.9 + 10 sin(!3) + 10 sin(!3 − !2)





Ejemplo 1


∆Q3 = Q3 −3%

k=1


0 = Q −:

1 − 0.92 +3%

k=1

B3k cos(!3 − !k)

= Q − 0.436 + 10 cos(!3) + 10 cos(!3 − !2) − 19.8





Ejemplo 1

! Entonces se tienen 6 ecuaciones y 6 incognitas, es decir !2,

!3, P1, Q1, Q2, y Q que se pueden obtener con la funcion

fsolve() de Matlab’s:

>> global lambda

>> lambda = 1;

>> z0 = fsolve(@pf_eqs,[0 0 0 0 0 0], optimset(’Display’,’iter’))

Norm of First-order Trust-region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius

0 7 0.945696 18 1

1 14 0.000661419 0.705901 0.0205 1

2 21 9.98637e-18 0.0257331 2.52e-09 1.76

Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.

z0 =

-0.0100 -0.0500 0.6000 -0.1870 -0.1915 0.2565





Ejemplo 1

! Donde lambda se usa para simular una variacion de carga

con factor de potencia constante y pf eqs.m vale:

function F = pf_eqs(z)

global lambda

d2 = z(1);

d3 = z(2);

P1 = z(3);

Q1 = z(4);

Q2 = z(5);

Q = z(6);

F(1,1) = P1 + 10*sin(d2) + 10*sin(d3);

F(2,1) = Q1 - 19.8 + 10*cos(d2) + 10*cos(d3);

F(3,1) = 0.5*P1 - 10*sin(d2) - 10*sin(d2-d3);

F(4,1) = Q2 + 10*cos(d2) - 19.8 + 10*cos(d2-d3);

F(5,1) = -0.9*lambda - 10*sin(d3) - 10*sin(d3-d2);

F(6,1) = Q - 0.436*lambda + 10*cos(d3) + 10*cos(d3-d2) - 19.8;





Ejemplo 1

! Observese que en medida que (lambda) aumenta, surgen

problemas de convergencia:

lambda = 20;

z0 = fsolve(@pf_eqs,[0 0 0 0 0 0], optimset(’Display’,’iter’))



0 7 396.67 360 1

1 14 246.008 1 143 1

.

.

.

9 70 2.68094e-07 0.179729 0.000311 25.9

10 77 7.43614e-16 0.00127159 1.64e-08 25.9

Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.

z0 =

-0.2501 -1.2613 12.0000 7.0658 4.8031 20.1667





Ejemplo 1

! Los problemas aumentan hasta que ya no se obtiene

ninguna convergencia:

lambda = 22;

z0 = fsolve(@pf_eqs,[0 0 0 0 0 0], optimset(’Display’,’iter’))



0 7 480.33 396 1

1 14 310.93 1 168 1

.

.

.

90 595 0.00622095 0.0211144 0.0322 0.0211

91 602 0.00621755 0.0211144 0.0155 0.0211

Maximum number of function evaluations reached: increase options.MaxFunEvals.

z0 =

-0.3322 -1.7225 13.1600 11.8633 8.5479 29.1072





Ejemplo 1

! Este es un ejemplo de problema de flujo de carga “atıpico”.

! Los programas comerciales no pueden solucionar el

problema anterior ası como estaba planteado.

! Vamos a solucionar un problema estandar.





Ejemplo 2

! Ejemplo de flujo de carga estandar: red de 6 nudos.

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo 2

! Datos de los generadores y de las cargas.

Participant PL0 QL0 PG0

[MW] [MVar] [MW]

GENCO 1 0 0 90

GENCO 2 0 0 140

GENCO 3 0 0 60

ESCO 1 90 60 0

ESCO 2 100 70 0

ESCO 3 90 60 0





Ejemplo 2

! Datos de las lıneas.

Line Rij Xij Bi/2

i-j [p.u.] [p.u.] [p.u.]

1-2 0.1 0.2 0.02

1-4 0.05 0.2 0.02

1-5 0.08 0.3 0.03

2-3 0.05 0.25 0.03

2-4 0.05 0.1 0.01

2-5 0.1 0.3 0.02

2-6 0.07 0.2 0.025

3-5 0.12 0.26 0.025

3-6 0.02 0.1 0.01

4-5 0.2 0.4 0.04

5-6 0.1 0.3 0.03





Ejemplo 2

! Estadısticas:

Buses 6

Lines 11

Generators 3

Loads 3





Ejemplo 2

! Estadıstica de la solucion:

Number of iterations: 4

Maximum p mismatch [p.u.] 0.00000

Maximum q mismatch [p.u.] 0.00000

Power rate [mva] 100.00000





Ejemplo 2

! Solucion del flujo de carga:

Bus V Phase P gen Q gen P load Q load

[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]

Bus1 1.05000 0.02534 0.90000 0.31409 0.00000 0.00000

Bus2 1.05000 0.00000 1.39875 0.65025 0.00000 0.00000

Bus3 1.05000 #0.03529 0.60000 0.70318 0.00000 0.00000

Bus4 0.98592 #0.04064 #0.00000 #0.00000 0.90000 0.60000

Bus5 0.96854 #0.07261 #0.00000 #0.00000 1.00000 0.70000

Bus6 0.99121 #0.07350 0.00000 0.00000 0.90000 0.60000





Ejemplo 2

! Solucion grafica del flujo de carga:

GENCO 3GENCO 2

GENCO 1

ESCO 3

ESCO 2

ESCO 1

Bus6|V| = 0.9912 p.u.

<V = !0.0735 rad

Bus5|V| = 0.9685 p.u.

<V = !0.0726 rad

Bus4|V| = 0.9859 p.u.

<V = !0.0406 rad

Bus3|V| = 1.05 p.u.

<V = !0.0352 rad

Bus2|V| = 1.05 p.u.<V = 0 rad

Bus1|V| = 1.05 p.u.

<V = 0.0253 rad





Ejemplo 2

! Flujos en las lıneas:

From bus To bus Line P flow Q flow P loss Q loss

[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]

Bus2 Bus3 1 0.15013 "0.06035 0.00106 "0.06087

Bus3 Bus6 2 0.50254 0.51335 0.00957 0.02700

Bus4 Bus5 3 0.07867 "0.03415 0.00128 "0.07385

Bus3 Bus5 4 0.24653 0.19035 0.01178 "0.02548

Bus5 Bus6 5 "0.01938 "0.09487 0.00051 "0.05607

Bus2 Bus4 6 0.60904 0.36580 0.02326 0.02578

Bus1 Bus2 7 0.11245 "0.07650 0.00142 "0.04127

Bus1 Bus4 8 0.40302 0.22486 0.01013 "0.00097

Bus1 Bus5 9 0.38453 0.16574 0.01360 "0.01023

Bus2 Bus6 10 0.44108 0.14075 0.01415 "0.01169

Bus2 Bus5 11 0.30954 0.16881 0.01199 "0.00483





Ejemplo 2

! Totales:

Generacion activa [p.u.] 2.89875

Generacion reactiva [p.u.] 1.66752

Carga activa [p.u.] 2.80000

Carga reactiva [p.u.] 1.90000

Perdidas activas [p.u.] 0.09875

Perdidas reactivas [p.u.] !0.23248






! El flujo de carga optimo es un problema de programacion

no lineal.

! El objetivo es, como habitual, maximizar el beneficio social:

Max. G =%

j!J

cDj(PDj

) −%

i!I

cSi(PSi

)

! La funciones monotonas de los costes cDjy cSi

pueden ser

funciones no lineales (generalmente cuadraticas).

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Flujo de Carga Optimo - 1





! Ecuaciones del flujo de carga (lado red):

Ph = V 2h (gh + gh0)

− Vh

n#%

!'=h

V!(gh! cos(!h − !!) + bh! sin(!h − !!))

∀h ∈ B

Qh = −V 2h (bh + bh0)

+ Vh

n#%

!'=h

V!(gh! sin(!h − !!) − bh! cos(!h − !!))

∀h ∈ B






! Ecuaciones del flujo de carga (lado participantes):

Ph =%

i!Ih

(PGi0 + PSi) −

%

j!Jh

(PL0j+ PD0j

)

∀h ∈ B

Qh =%

i!Ih

QGi−%

j!Jh

(PL0j+ PD0j

) tan(*Di)

∀h ∈ B






! V y ! representan los fasores de las tensiones.

! Las cargas se modelan como potencias constantes.

! PG0 y PL0 tienen en cuenta potencias fijas como

" Generadores “must-run”.

" Carga no interruptibles.

" Contratos bilaterales.






! Las ventajas de utilizar las ecuaciones de flujo de carga sin

simplificaciones son dos:

" Ambos balances de potencia activa y reactiva estan

asegurados.

" Las perdidas estan modeladas de forma muy precisa.






! Lımites de la oferta y de la demanda:

PSmini≤ PSi

≤ PSmaxi∀i ∈ I

PDminj≤ PDj

≤ PDmaxj∀j ∈ J






! Lımites de potencia reactiva y de tension:

QGmini≤ QGi

≤ QGmaxi∀i ∈ I

Vminh≤ Vh ≤ Vmaxh

∀h ∈ B






! Lımites termicos en las lıneas de transporte:

Ihk(!, V ) ≤ Ihkmax ∀(h, k) ∈ N

Ikh(!, V ) ≤ Ikhmax

! Ihk e Ikh son las corrientes en las lıneas de transporte.






! Los lımites de seguridad se modelan en la practica habitual

como lımites de potencias activas en las lıneas de transporte:

Phk(!, V ) ≤ Phkmax ∀(h, k) ∈ N

Pkh(!, V ) ≤ Pkhmax

! El calculo de Phkmax y Phkmax se hace fuera de lınea.





Precios Marginales Nodales

! Los precios marginales nodales se pueden definir a traves de

la funcion lagrangiana del sistema:

L = G − #T f(!, V, QG, PS , PD)

− µTPS max

(PSmax − PS − sPS max)

− µTPS min

(PS − sPS min)

− µTPD max

(PDmax − PD − sPD max)

− µTPD min

(PD − sPD min)

− µTIij max

(Imax − Iij − sIij max)

− µTIji max

(Imax − Iji − sIji max)






! (sigue)

− µTQG max

(QGmax − QG − sQG max)

− µTQG min

(QG − QG min − sQG max)

− µTVmax

(Vmax − V − sVmax)

− µTVmin

(V − Vmin − sVmin)

µs(%

i

ln si)






! De las condiciones de optimo (KKT) se obtiene:

(L/(PSi= CSi

− #PSi+ µPSmaxi

− µPSmini

( ;L/(PDi= −CDi

+ #PDi+ #QDi

tan(*Di)

+ µPDmaxi− µPDmini

! *Dies el factor de potencia de la carga i.






! Y, finalmente, los precios marginales (“Locational Marginal

Prices”, LMP):

LMPSi= #PSi

= CSi+ µPSmaxi

− µPSmini

LMPDi= #PDi

= CDi+ µPDmini

− µPDmaxi

! Estas formulas se llaman tambien formulas de

decomposicion.






! Observese que los precios marginales son coherentes con la

definicion de variacion del coste respeto a la variacion de la

energıa:

LMP =dC

dP

! Esta propriedad viene directamente del desarrollo de la

funcion lagrangiana.

! Es inmediato averiguar que hay un precio por cada nudo.






! Otra formula de descomposicion propuesta:

LMPi = (1 −(PL

(Pi)#p −

(QL

(Pi#p

−!%

j=1

µI#j max

(P!j

(Pi

! Se pueden definir tambien precios marginales para la

potencias reactivas si se incluye en la funcion objetivo el

coste de estas potencias.





Precios de las Saturaciones

! Los precios de las saturaciones (“Nodal Congestion Prices”,

NCP) se pueden calcular utilizando una formula de

descomposicion.

NCP =<(fT

(y

=#1 (hT

(y(µmax − µmin)






! y son los fasores de las tensiones en los nudos ([!, V ]).

! h son las desigualdades correspodientes a los flujos en las

lıneas.

! µmax y µmin son las variables duales (multiplicadores de

Lagrange) asociadas con las desigualdades.






! Se puede reescribir NCP en cada nudo como sigue:

NCPi =nk%

k=1

(µPik max − µPik min)(Pik

(Pi

+nk%

k=1

(µIik max − µIik min)(Iik

(Pi

! nk es el numero de las lıneas conectadas al nudo i.





Bibliografıa

! K. Xie, Y-H. Song, J. Stonham, E. Yu, and G. Liu,

“Decomposition Model and Interior Point Methods for

Optimal Spot Pricing of Electricity in Deregulation

Environments”, IEEE Transactions on Power Systems, vol.

14, no. 1, pp. 39-50, Feb. 2000.





Ejemplo 1

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo 1


Participante C Pbidmax PL0 QL0 PG0 QGlim

[$/MWh] [MW] [MW] [MVar] [MW] [MVar]

GENCO 1 9.7 20 0 0 90 ±150

GENCO 2 8.8 25 0 0 140 ±150

GENCO 3 7.0 20 0 0 60 ±150

ESCO 1 12.0 25 90 60 0 0

ESCO 2 10.5 10 100 70 0 0

ESCO 3 9.5 20 90 60 0 0





Ejemplo 1

! Datos de las lıneas.

Lınea Rij Xij Bi/2 Pmax Imax

i-j [p.u.] [p.u.] [p.u.] [MW] [A]

1-2 0.1 0.2 0.02 15.4 37

1-4 0.05 0.2 0.02 50.1 133

1-5 0.08 0.3 0.03 42.9 122

2-3 0.05 0.25 0.03 21.6 46

2-4 0.05 0.1 0.01 68.2 200

2-5 0.1 0.3 0.02 33.6 103

2-6 0.07 0.2 0.025 52.1 132

3-5 0.12 0.26 0.025 26.1 95

3-6 0.02 0.1 0.01 65.0 200

4-5 0.2 0.4 0.04 9.8 26

5-6 0.1 0.3 0.03 2.2 29





Ejemplo 1

! Flujo de carga optimo con lımites termicos Imax.

Participante V " PBID P0 Pago

[p.u.] [$/MWh] [MW] [MW] [$/h]

GENCO 1 1.100 9.02 0.00 90 -812

GENCO 2 1.100 8.98 25 140 -1481

GENCO 3 1.100 9.14 20 60 -1100

ESCO 1 1.021 9.56 25 90 1062

ESCO 2 1.013 9.65 10 100 1062

ESCO 3 1.040 9.43 8.07 90 925

TOTALES T = 323.1 MW PayIMO = 62 $/h

Perdidas = 11.8 MW





Ejemplo 1

! Flujo de carga optimo con lımites de seguridad Pmax.


[p.u.] [$/MWh] [MW] [MW] [$/h]

GENCO 1 1.100 9.70 14.4 90 -1013

GENCO 2 1.100 8.80 2.4 140 -1253

GENCO 3 1.084 8.28 20.0 60 -663

ESCO 1 1.028 11.64 15.6 90 1229

ESCO 2 1.013 10.83 0.0 100 1083

ESCO 3 1.023 9.13 20.0 90 1005


Perdidas = 11.2 MW





Ejemplo 2

! Red de 24 nudos:

10

18

21

22

17

23

19 2016

14

24

13

11

3 9

6

85

4

721

12

15

132 kV

230 kV





Ejemplo 2

! Red de 24 nudos (modelo en PSAT):IEEE One Area RTS!96

Bus124

Bus123

Bus122

Bus121

Bus120Bus119

Bus118

Bus117

Bus116

Bus115

Bus114

Bus113

Bus112Bus111

Bus110Bus109

Bus108

Bus107

Bus106

Bus105

Bus104

Bus103

Bus102Bus101





Ejemplo 2

! Ofertas de los generadores:

Nudo Generador c0 c1 c2

[$/h] [$/p.u.h] [$/p.u.2h]

1, 2 1, 2, 5, 6 0.017 24.842 36.505

1, 2 3, 4, 7, 8 0.035 10.239 3.840

7 9-11 0.00 17.974 2.748

13 12-14 0.0058 18.470 1.011

15 15-19 0.011 21.227 37.937

15, 16, 23 20, 21, 30, 31 0.011 9.537 0.559

18, 21 22, 23 0.058 5.230 0.007

22 24-29 0 1 0

23 32 0.016 9.587 0.315





Ejemplo 2

! Ofertas de los consumidores:Nudo PD0

PDmaxPDmin

[p.u.] [p.u.] [p.u.]

1 1.188 1.4256 0.9504

2 1.067 1.2804 0.8536

3 1.98 2.376 1.584

4 0.814 0.9768 0.6512

5 0.781 0.9372 0.6248

6 1.496 1.7952 1.1968

7 1.375 1.65 1.1

8 1.881 2.2572 1.5048

9 1.925 2.31 1.54

10 2.145 2.574 1.716

13 2.915 3.498 2.332

14 2.134 2.5608 1.7072

15 3.847 4.6164 3.0776

16 1.1 1.32 0.88

18 3.663 4.3956 2.9304

19 1.991 2.3892 1.5928

20 1.408 1.6896 1.1264





Ejemplo 2

! Potencias de los generadores:

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Pote

nci

a[p

.u.]

Generador





Ejemplo 2

! Potencias de los consumidores:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Pote

nci

a[p

.u.]

Consumidores





Ejemplo 2

! Tensiones de los nudos:

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ten

siones

[p.u

.]

Nudos





Ejemplo 2

! Precios marginales (LMP):

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

LM

P[$

/M

Wh]

Nudos





Ejemplo 2

! Precios de saturaciones (NCP):

0 5 10 15 20 25!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0

0.2

0.4

0.6

NC

P[$

/M

Wh]

Nudos





Analisis de Estabilidad

! Estabilidad de angulo.

" Pequenas perturbaciones.

" Estabilidad transitoria.

! Estabilidad de frecuencia

! Estabilidad de tension.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Analisis de Estabilidad - 1




Estabilidad de Angulo

! Definiciones.

! Pequenas perturbaciones.

" Bifurcaciones de Hopf.

! Estabilidad transitoria.

" Analisis en el tiempo.

" Metodos directos.

$ Criterio de igualdad de areas.

$ Funcion energıa.

! Aplicaciones.





Definicion de Estabilidad de Angulo

! De la clasificacion IEEE-CIGRE (IEEE/CIGRE Joint Task

Force on Stability) Terminos y Definiciones, “Definitions

and Classification of Power System Stability”, IEEE Trans.

Power Systems and CIGRE Technical Brochure 231, 2003:

Voltage StabilityVoltage StabilityAngle Stability

StabilityStability

Stability

Stability

Stability

Voltage

Transient

FrequencyRotor Angle

Power System

Large SmallSmall Disturbance

Disturbance Disturbance

Long Term

Long Term

Short Term Short Term

Short Term





Definicion de Estabilidad de Angulo

! “Estabilidad de angulo de rotor se refiere a la capacidad de

las maquinas sıncronas de un sistema electrico

interconectado de mantener el sincronismo tras

experimentar una perturbacion. Depende de la capacidad

de mantener o restablecer el equilibrio entre par

electromagnetico y par mecanico de cada maquina sıncrona

del sistema.”

! En este caso, el problema es evidente a causa de las

oscilaciones de angulo y de frecuencia de algunos

generadores que puede llevar a la perdida de sincronismo

con otras maquinas.





Pequenas Perturbaciones

! “Estabilidad de angulo de rotor por pequenas perturbaciones

(o pequenas senales) se refiere a la capacidad de un sistema

electrico de mantener el sincronismo tras pequenas

perturbaciones. Las perturbaciones se consideran

suficientemente pequenas, para que la linealizacion del

sistema permita un analisis preciso del sistema.”

! Este problema esta asociado en la practica habitual con la

aparicion de oscilaciones no amortiguadas en el sistema a

causa de una falta de suficiente par amortiguador.





Pequenas Perturbaciones

! En teorıa, este fenomeno puede ser asociado con un punto

de equilibrio estable que pasa a ser inestable a causa de una

bifurcacion de Hopf.

! Generalmente la causa es una contingencia (por ejemplo el

apagon del 1996 en la costa oeste de EE.UU.)





Estabilidad Transitoria

! “Estabilidad de angulo de rotor por grandes perturbaciones

o estabilidad transitoria, como se suele definir, se refiere a la

capacidad de un sistema electrico de mantener el

sincronismo tras una importante perturbacion, como por

ejemplo una falta trifasica en una lınea de transporte. La

respuesta del sistema resultante implica grandes variaciones

de los angulos de los generadores y esta condicionada por la

relacion no lineal entre potencia y angulo.”.

! La no linealidades del sistema causan la respuesta del

sistema. En este caso la linealizacion no funciona.






! Para pequenas perturbaciones, el problema es determinar si

el punto de equilibrio resultante es estable o inestable

(analisis de los autovalores) o un punto de bifurcacion (por

ejemplo una bifurcacion de Hopf).

! Para grandes perturbaciones, el punto de equilibrio del

sistema tras la perturbacion puede existir y ser estable,

pero es posible que el sistema no pueda alcanzar ese punto.






! Los conceptos basicos y los metodos de analisis son:

" Pre-contingencia (condicion inicial): el sistema funciona

en condiciones “normales” asociados con un punto de

equilibrio estable.

" Contingencia (trayectoria de la falta): una grande

perturbacion, como por ejemplo un cortocircuito o la

intervencion de un interruptor, fuerza el sistema a

moverse del punto inicial.






! (sigue)

" Post-contingencia (despeje de la falta): la contingencia

generalmente fuerza las protecciones del sistema a

despejar (“clear”) la falta; el problema es entonces

determinar si el sistema resultante es estable, es decir si

el sistema permanece relativamente intacto y las

trayectorias en el tiempo asociadas convergen a un punto

de trabajo “razonable”.






! Este analisis esta basado en la teorıa no lineal.

! Se puede ver como el problema de determinar si la

trayectoria de la falta en el punto de despeje (“clearance”)

esta dentro o fuera de la region de estabilidad

post-contingencia del punto de equilibrio estable.





Analisis en el Tiempo

! Dada la complexidad de los sistemas de potencia, el analisis

mas fiable es el estudio en el tiempo (integracion numerica).

! Por ejemplo, para un sistema con un generador y una carga:

Generador

E#"& V1"&1 V2"&2

jxLjx#

G

PG + jQG PL + jQL

#jxC






! Las ecuaciones diferenciales (ODE) para el modelo mas

sencillo de generador (modelo transitorio de eje directo) y

despreciando el AVR y los lımites de generacion vale:

+ =1

M(Pd − E&V2B sin ! − DG+)

! = + −1

DL(E&V2B sin ! − Pd)

V2 =1

%[−V 2

2 (B − BC) + E&V2B cos ! − kPd]

donde

B =1

X=

1

X &G + XL






! El objetivo es determinar cuanto tiempo despues de la falta

el operador tiene que conectar una compensacion reactiva

BC .

! La contingencias es un rapido aumento del valor de la

reactancia X.

! La contingencia es “grande” porque el punto de equilibrio

estable desaparece.

! Se puede solucionar el problema con unas simulaciones

completas en el tiempo, siendo M = 0.1, DG = 0.01,

DL = 0.1, % = 0.01, E& = 1, Pd = 0.7, k = 0.25, BC = 0.5.






! Para una contingencia X = 0.5 → 0.6 en tf = 1 s, con

conexion de BC para tc = 1.4 s lleva a un sistema estable:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V2

"$

E#

tc

tf

t [s]






! Si se conecta BC en tc = 1.5 s, el sistema es inestable:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

V2

"$

E#

tc

tf

t [s]





Metodos Directos

! La integracion en el tiempo es pesada. Pues se han

propuestos metodos directos de analisis de estabilidad

basados en la teorıa de estabilidad de Lyapounov.

! La idea es definir una “energıa” o una funcion de Lyapounov

,(x, xs) con determinadas caracterısticas para obtener una

“medida” directa de la region de estabilidad A(xs) asociada

con el punto de equilibrio estable post-contingencia xs.

! La energıa del sistema es generalmente una buena funcion

de Lyapounov, porque conlleva una “medida” de

estabilidad.





Metodos Directos

! El ejemplo de la bola rodante es util para explicar la idea

basica detras de este metodo:

)v

h

m

u.e.p.1

u.e.p.2

s.e.p.

! Hay 3 puntos de equilibrio: uno estable (fondo de la

“valle”), dos inestables (“cima” de la colina).





Metodos Directos

! La energıa de la bola es una buena funcion de Lyapounov o

funcion de energıa transitoria (“Transient Energy

Function”, TEF):

W = Wkinetic + Wpotential

= WK + WP

=1

2mv2 + mgh

= ,([v, h]T , 0)





Metodos Directos

! La energıa potencial en el punto de equilibrio estable es

cero, y presenta maximos locales en los puntos de equilibrio

inestables (WP1 y WP2).

! El punto de equilibrio inestable “mas cercano” es u.e.p.1siendo WP1 < WP2.





Metodos Directos

! Le estabilidad de este sistema se puede calcular utilizando

esta energıa:

" Si W < WP1, la bola permanece en la “valle”, es decir el

sistema es estable, y converge a un punto de equilibrio

estable para t → ∞.

" Si W > WP1, la bola puede o puede que no llegue al

punto de equilibrio estable, dependiendo del

amortiguamiento (test no concluyente).

" Cuando la energıa potencial de la bola WP (t) alcanza el

valor maximo respeto al tiempo t, el sistema sale de la

“valle”, es decir el sistema es inestable.





Metodos Directos

! Si el amortiguamiento es “grande”, el “valle” corresponde a

la region de estabilidad.

! En este caso, la frontera de estabilidad (A(xs) corresponde

a la “cresta” donde se posicionan lo puntos de equilibrio

inestables, es decir WP es maximo localmente.

! Cuanto mas pequeno el amortiguamiento, tanto mayor la

diferencia entre la cresta y (A(xs).

! Para amortiguamiento cero, (A(xs) esta definida por WP1.





Metodos Directos

! El test de estabilidad directo proporciona una condicion

necesaria pero no suficiente:

,(x, xs) < c ⇒ x ∈ A(xs)

,(x, xs) > c ⇒ ¡No concluyente!

donde el valor de c esta asociado con un maximo local de la

funcion de “energıa potencial”.





Metodos Directos

! Para el ejemplo generador-red de potencia infinita,

despreciando los lımites y el AVR:

Generador Sistema

E#"& V "0V1"&1 V2"&2

jxL jxthjx#

G

PG + jQG PL + jQL

! = + = +r − +0

+ =1

M

.PL −

E&V

Xsin ! − D+

/

X = X &G + XL + Xth





Metodos Directos

! La energıa cinetica del sistema vale:

WK =1

2M+2

! Y la energıa potencial vale:

WP =

>(Tc − Tm)d!

≈

>(Pc − Pm)d! → in p.u. for +r ≈ +0

≈

> &

&s

(PG − PL)d! ≈

> &

&s

(E&V

X− PL)d!

≈ −E&V B(cos ! − cos !s) − PL(! − !s)

donde !s es el punto de equilibrio estable de sistema.





Metodos Directos

! WP muestra un perfil muy similar al ejemplo de la bola

rodante:

E#VX

PG

WF

WF1

WF2

min

max

max

estable

inestableinestable

$s

$s $u1

$u1

$u2

$u2





Metodos Directos

! Entonces, la funcion de Lyapounov o TEF del sistema vale:

TEF = ,(x, xs)

= ,([!, +]T , [!s, 0]T )

=1

2M+2 − E&V B(cos ! − cos !s)

−PL(! − !s)

! Con un criterio similar a lo utilizado para la bola rodante:

" Si TEF < WP1 ⇒ el sistema es estable.

" Si TEF > WP1 ⇒ no concluyente para D > 0

(“rozamiento”).

" Si TEF > WP1 ⇒ inestable para D = 0 (poco realista).





Metodos Directos

! Esto es equivalente a comparar “areas” en el plano PG -!

(Criterio de igualdad de areas o “Equal Area Criterion”,

EAC):

PG

PL

$(0) = $spre$spost

$(tc)$u1post

pre-contingencia

post-contingencia

contingencia (falta)

$

tiempo de despeje de la falta





Metodos Directos

! Entonces, comparando la area “acelerante”:

Aa =

> &(tc)

&spre

(PL − PGfault)d!

=

> &(tc)

&spre

.PL −

E&V

Xfault

/d!

! con la area “desacelerante”:

Ad =

> &spost

&(tc)(PGpost

− PL)d!

=

> &spost

&(tc)

.E&V

Xpost− PL

/d!





Metodos Directos

! En conclusion:

" Si Aa < Ad ⇒ el sistema es estable para tc.

" Si Aa > Ad ⇒ no conluyente para D > 0.

" Si Aa > Ad ⇒ inestable para D = 0 (poco realista).





Metodos Directos: Ejemplo 1

! Un generador de 60 Hz con una reactancia transitoria del

15% esta conectado a una red de potencia infinita con

tension 1 p.u. a traves de dos lıneas de transporte iguales

con reactancia del 20% y resistencia despreciable. El

generador esta produciendo 300 MW con factor de potencia

0.9 en adelanto cuando ocurre una falta trifasica en la

mitad de una de las lıneas; la falta es despejada por un

interruptor de la misma lınea.

! Sea la base de potencia de 100 MVA. Determınese el tiempo

crıtico de despeje para el generador si se desprecia el

amortiguamiento y la inercia vale H = 5 s.

! Sea D = 0.1 s. Determınese el nuevo valor del tiempo

crıtico de despeje.






! Condicion pre-contingencia o inicial:

PGpre= PL =

E&V

Xpresin !spre

QL = −V 2

Xpre+

E&V

Xprecos !spre






! Donde:

Xpre = 0.15 +0.2

2= 0.25

PL =300 MW

100 MVA

3 =E&

0.25sin !spre

QL = 3 tan(cos#1 0.9)

1.4530 = −1

0.25+

E&

0.25cos !spre






⇒ E&ipre

= E& sin !spre

= 0.75

E&rpre

= E& cos !spre

= 1.3633

E& =?

E&2rpre

+ E&2ipre

= 1.5559

!spre= tan#1

@E&

ipre

E&rpre

A

= 28.82% = 0.5030 rad






! Condiciones durante la falta:

PGfalta=

E&V

Xfaltasin !

=1.5559

Xfaltasin !

donde, se utiliza una transformacion Y-∆ porque la falta

esta en la mitad de una de las lıneas:

jXfault

E#!$ V !0

j0.1 j0.1

j0.2

j0.15






Xfalta =0.15 × 0.2 + 0.1 × 0.2 + 0.15 × 0.1

0.1⇒ PGfalta

= 2.394 sin !

Aa =

> &(tcc)

&spre

(PL − PGfalta)d!

=

> &(tcc)

0.503(3 − 2.394 sin !)d!

= 3(!(tcc) − 0.503) + 2.394(cos !(tcc) − cos(0.503))

= 3!(tcc) + 2.394 cos !(tcc) − 3.6065






! Condiciones post-contingencia:

Xpost = 0.15 + 0.2 = 0.35

⇒ PGpost=

E&V

Xpostsin !

= 4.446 sin !

⇒ 3 = 4.446 sin !spost

!spost= 42.44%

= 0.7407 rad






⇒ Ad =

> *#&spost

&(tcc)(PGpost

− PL)d!

=

> 2.4

&(tcc)(4.446 sin ! − 3)d!

= −4.446(cos 2.4 − cos !(tcc)) − 3(2.4 − !(tcc))

= 3!(tcc) + 4.446 cos !(tcc) − 3.9215






Aa = Ad

= 3!(tcc) + 2.394 cos !(tcc) − 3.6065

= 3!(tcc) + 4.446 cos !(tcc) − 3.9215

⇒ !(tcc) = 81.17%

= 1.4167 rad






! Durante la falta:

! = +

+ =1

M

.PL −

E&V

Xfaltasin !

/

M =H

-f

=5 s

-60 Hz= 0.0265 s2

⇒ ! = +

+ = 37.70(3 − 2.394 sin !)






! A traves de la integracion numerica de estas ecuaciones

para !(0) = !spre= 28.82%:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3520

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

$[d

eg]

t [s]






! Para D = 0.1 y el tiempo de despeje de tc = 0.27 s, el

sistema es estable:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!10

!5

0

5

10

$[d

eg]

"[d

eg]

t [s]

t [s]






! Para el tiempo de despeje de tc = 0.28 s, el sistema es

inestable; pues tcc ≈ 0.275 s:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

500

1000

1500

2000

2500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

40

$[d

eg]

"[d

eg]

t [s]

t [s]






! Los casos generador-motor (es decir sistema-sistema) se

pueden tambien estudiar con el criterio de igualdad de

areas, si se define una inercia equivalente

M = M1M2/(M1M2), y un amortiguamiento equivalente

D = MD1/M1 = MD2/M2.

! Para el ejemplo generador-carga, despreciando la

impedancia interna del generador y asumiendo una

regulacion “instantanea” del AVR.

V1"&1 V2"&2

jxL

PG + jQG PL + jQL






! Se puede demostrar que las funciones “energıa”, con o sin

lımites del generador, valen:

WK =1

2M+2

WP = −B(V1V2 cos ! − V10V20 cos !0)

+1

2B(V 2

2 − V 220) +

1

2B(V 2

1 − V 210)

−Pd(! − !0) + Qd ln

.V2

V20

/− QG ln

.V1

V10

/

! Se puede estudiar la estabilidad de este sistema a traves de

la evaluacion de la “energıa” como explicado en el ejemplo

anterior para TEF = ,(x, x0) = WK + WP .






! Entonces para V1 = 1, XL = 0.5, Pd = 0.1, y Qd = 0.25Pd,

la energıa potencial WP (!, V2) que define la region de

estabilidad respeto al punto de equilibrio estable vale:

0

0.5

1

1.5

2

!400

!200

0

200

4000

1

2

3

4

5

6

7

8

V2&

WP

s.e.p.

u.e.p.saddle

node






! Simulando la contingencia crıtica XL = 0.5 → 0.6 para

Pd = 0.7 y despreciando los lımites, los perfiles de las

“energıas” son:

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6!0.4

!0.3

!0.2

!0.1

0

0.1

0.2 Wp

Wk+Wp

TE

F

t [s]






! El punto de “salida” en (A(xs) esta aproximadamente en el

punto de maxima energıa potencial.

! Pues, el tiempo crıtico de despeje vale:

tcc ≈ 1.42 s

! Resultados similares se pueden obtener a traves de un

metodo “trial-and-error”.





Metodos Directos: Conclusiones

! Las ventajas de la funcion de Lyapounov son:

" Permite un analisis de estabilidad muy rapido.

" Se puede utilizar como ındice de estabilidad.





Metodos Directos: Conclusiones

! Los problemas son:

" La funcion de Lyapounov depende del modelo; en la

practica habitual, se pueden encontrar solo funciones

“energıa” aproximadas.

" Si el test falla, no es concluyente.

" Se tiene que conocer con adelanto el estado

post-contingencia, porque la funcion energıa se define

con respeto al punto de equilibrio estable del sistema

post-contingencia.

! Se puede utilizar solo como metodo aproximado de analisis

de estabilidad





Aplicaciones de Estabilidad Transitoria

! En la practica habitual, los estudios de estabilidad

transitoria se hacen con simulaciones en el tiempo y

metodos “trial-and-error”.

! Ahora se pueden hacer estos estudios en tiempo real para

sistemas muy grandes.

! La idea es determinar si un conjunto de contingencias

“realistas” llevan a la inestabilidad (ranking de

contingencias). Esto permite definir el valor del ATC en las

interconexiones para un punto de equilibrio asignado.






! Entonces, la maxima cargabilidad del sistema puede ser

afectada por el “tamano” de la region de estabilidad, lo que

conlleva a la definicion de un valor de ATC “verdadero”.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ETC ATC TRM

TTC

PeorContingencia

HBHB

OP

V2

Pd






! Los tiempos crıticos de despeje no son un problema para las

protecciones rapidas que existen ahora.

! Se han propuestos metodos directos simplificados como el

“Extended Equal Area Cirterion” (Y. Xue et al., “Extended

Equal Area Criterion Revisited”, IEEE Transactions on

Power Systems, Vol. 7, No. 3, Aug. 1992, pp. 1012-1022).

Este metodo ha sido testado para el pre-ranking en lınea de

contingencias y va a ser implementado en algunos sistemas

en EE.UU.





Estabilidad de Frecuencia

! Definiciones.

! Conceptos basicos.

! Aplicaciones practicas.





Definicion de Estabilidad de Frequencia






Stability

Stability

StabilityStability

Stability

Voltage

Transient


Power System



Long Term

Long Term

Short TermShort Term

Short Term





Definicion de Estabilidad de Frequencia

! “Estabilidad de frecuencia se refiere a la capacidad de un

sistema electrico de mantener la frecuencia constante tras

una grave trastorno del sistema por causa de un importante

desequilibrio entre generacion y carga.”

! Entonces, el analisis de estabilidad de frecuencia se

concentra en estudiar la estabilidad de todo el sistema para

cambios rapidos en el balance generacion-carga.





Conceptos de Estabilidad de Frecuencia

! Estas variaciones de frecuencia por causa de desequilibrios

entre generacion y carga son comunes.

! Se puede llegar a condiciones inestables por causa de la

intervencion de reles de frecuencia lado generacion o lado

carga.

! Se pueden solucionar los problemas de frecuencia o bien con

un control manual o bien a traves de sistemas de regulacion

automatica.

! Los reguladores de potencia de los generadores regulan

variaciones locales de frecuencia.





Aplicaciones de Estabilidad de Frecuencia

! Los reguladores de frecuencia centralizados, como por

ejemplo los reguladores “Area Control Error” (ACE),

pueden regular el intercambio de potencia entre areas

distintas a traves de una regulacion del error de frecuencia

entre las areas.

! El apagon del 28 de octubre de 2003 en Italia es un ejemplo

de apagon debido a un problema de estabilidad de

frecuencia.





Estabilidad de Tension

! Definiciones.

! Conceptos basicos.

! Flujo de carga de continuacion.

! Metodos Directos.

! Indices.

! Aplicaciones practicas.

! Ejemplos.





Definicion de Estabilidad de Tension






Stability Stability

Stability

Stability

Stability

Voltage

Transient


Power System



Long Term

Long Term

Short Term

Short Term

Short Term






! “La estabilidad de un sistema electrico es la capacidad de

un sistema electrico, para una dada condicion de trabajo

inicial, de recuperar una condicion de trabajo de equilibrio

estable tras una perturbacion fısica, siendo la mayorıa de

las variables limitadas, de forma que el sistema se quede

practicamente intacto.”

! “Estabilidad de tension se refiere a la capacidad de un

sistema electrico de mantener tensiones constantes en todos

los nudos en el sistema tras experimentar una perturbacion,

dada una condicion de trabajo inicial.”






! La incapacidad de la red de transporte de proporcionar

potencia a las cargas lleva al problema de “collapso de

tension”.

! Este problema esta asociado con la “desaparicion” de un

punto de equilibrio estable debido a una bifurcacion silla o

una bifurcacion lımite, generalmente a causa de

contingencias (por ejemplo el apagon del 14 de Agosto de

2003 en Norte America).





Conceptos de Estabilidad de Tension

! Los conceptos de bifurcacion silla y bifurcacion lımite se

pueden explicar de forma sencilla a traves de un ejemplo:

V1"&1 V2"&2

jxL

PG + jQG PL + jQL






! Despreciando por simplicidad las perdidas, las dinamicas

electromagneticas, y la impedancia transitoria en el modelo

transitorio de eje directo, el generador se puede modelar

como sigue:

!1 = +1 = +r − +0

+1 =1

M(Pm − PG − DG+1)






! La carga se puede modelar utilizando un modelo mixto.

! Para P , despreciando las dinamicas de tension (Tpv = 0) y

la dependencia de la tension (& = 0):

PL = Kpff2 + Kpv[V "2 + TpvV2]

⇒ PL = Pd + DL+2

!2 = +2 =1

DL(PL − Pd)






! Para Q, despreciando la dependencia de la frecuencia

(Kqf = 0) y la dependencia de la tension (. = 0)

QL = Kqff2 + Kqv[V #2 + TqvV2]

⇒ QL = Qd + % V2

V2 =1

%(QL − Qd)






! Las ecuaciones de flujo de carga de la red de transporte

valen:

PL = −V1V2

XLsin(!2 − !1)

PG =V1V2

XLsin(!1 − !2)

QL = −V 2

2

XL+

V1V2

XLcos(!2 − !1)

QG =V 2

1

XL−

V1V2

XLcos(!1 − !2)

! Finalmente, como no hay perdidas:

Pm = Pd






! Entonces, definiendo:

! = !1 − !2

+ = +1

⇒ ! = + − +2

las ecuaciones del sistema son:

+ =1

M

.Pd −

V1V2

XLsin ! − DG+

/

! = + −1

DL

.V1V2

XLsin ! − Pd

/

V2 =1

%

.−

V 22

XL+

V1V2

XLcos ! − Qd

/






! Observese que estas ecuaciones representan tambien un

sistema con un generador y una carga dinamica sin AVR y

con XL que incluye X &G, donde V1 representa E&

G.

! Se puede suponer que la demanda de potencia en regimen

permanente tenga un factor de potencia constante, es decir

Qd = kPd

! Si se tienen en cuenta los lımites de potencia reactiva del

generador, y se desprecia X &G, se obtiene un sistema DAE.






! Para QGmin ≤ QG ≤ QGmax :

+ =1

M

.Pd −

V10V2

XLsin ! − DG+

/

! = + −1

DL

.V10V2

XLsin ! − Pd

/

V2 =1

%

.−

V 22

XL+

V10V2

XLcos ! − Qd

/

0 = QG −−V 2

10

XL+

V10V2

XLcos !

con

x = [+, !, V2]T y = QG

p = V10 " = Pd






! Para QG = QGmin,max :

+ =1

M

.Pd −

V1V2

XLsin ! − DG+

/

! = + −1

DL

.V1V2

XLsin ! − Pd

/

V2 =1

%

.−

V 22

XL+

V1V2

XLcos ! − Qd

/

0 = QGmin,max −V 2

1

XL+

V1V2

XLcos !

con

x = [+, !, V2]T y = V1

p = QGmin,max " = Pd






! Todos los puntos de equilibrio para un sistema con y sin

lımites se pueden obtener solucionando el problema de flujo

de carga:

0 = Pd −V10V20

XLsin !0

0 = kPd +V 2

20

XL−

V10V20

XLcos !0

0 = QG0 −V 2

10

XL+

V10V20

XLcos !0






! La estabilidad de estos puntos de equilibrio se obtiene de la

matriz de estado:

! Sin lımites o para QGmin ≤ QG ≤ QGmax :

Dxs|0 =

!

--"

−DG

M −V10V20MXL

cos !0 − V10MXL

sin !0

1 −V10V20DLXL

cos !0 − V10DLXL

sin !0

0 −V10V20'XL

sin !0 −2 V20'XL

+ V10'XL

cos !0

#

44$







Dxs|0 =!

--"

−DG

M −V10V20MXL

cos !0 − V10MXL

sin !0

1 −V10V20DLXL

cos !0 − V10DLXL

sin !0

0 −V10V20'XL

sin !0 −2 V20'XL

+ V10'XL

cos !0

#

44$

−

!

--"

− V10MXL

sin !0

− V10DLXL

sin !0

V20'XL

cos !0

#

44$

B−2

V10

%XL+

V20

%XLcos !0

C#1

!

--"

0

−V10V20XL

sin !0

V10XL

cos !0

#

44$

T






! Sean XL = 0.5, M = 1, DG = 0.01, DL = 0.1, % = 0.01,

k = 0.25.

! Con la ayuda de Matlab y la rutina de flujo de carga de

continuacion de PSAT, para el sistema sin lımites y

V1 = V10 = 1, la solucion del flujo de carga permite hallar

las curva PV o de “nariz” (diagrama de bifurcacion):






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

+ = Pd

x3

=V

2

s.e.p.

u.e.p.

SNB






! La bifurcacion silla (“Saddle-Node Bifurcation”, SNB)

corresponde a un punto donde la matriz de estado Dxs|0 es

singular (un autovalor es cero).

! Esto esta generalmente asociado con una singularidad del

jacobiano de las ecuaciones de flujo de carga DzF |0.

! Sin embargo, en sistemas dinamicos mas complejos, la

singularidad de la matriz de estado no siempre corresponde

a la singularidad de la matriz jacobiana de flujo de carga, y

viceversa.






! Observese que el punto SNB corresponde al valor maximo

de "max = Ps max ≈ 0.78. Esta es la razon por la que se

define este punto como punto de maxima carga o

“cargabilidad”.

! Para una carga mayor que Pd max, no hay ninguna solucion

del flujo de carga.

! Este punto se llama tambien punto de colapso de tension.






! Si se modela una “contingencia” para "0 = Pd0 = 0.7

aumentando XL = 0.5 → 0.6:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

+ = Pd

x3

=V

2

operatingpoint

contingency

XL = 0.5

XL = 0.6






! La solucion dinamica termina con el colapso de tension:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!1

0

1

2

3

4

5

6

Voltage collapse

Operating point Contingency

V2

V1

&,

t [s]






! Para el sistema con lımites y QGmax,min = ±0.5, la curva PV

o de “nariz” vale:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

+ = Pd

x3

=V

2

s.e.p.

u.e.p.

LIB






! En este caso, el punto de maxima cargabilidad

"max = Pd max ≈ 0.65 corresponde al punto donde el

generador alcanza su lımite de maxima potencia reactiva

QG = QG max = 0.5, y entonces ya no hay la regulacion de

tension V1.

! Este punto se llama punto de bifurcacion lımite

(“Limit-Induced Bifurcation”, LIB).

! “Mas alla” del punto LIB, no existen soluciones del

problema de flujo de carga, debido al mecanismo de

recuperacion (“recovery”) del AVR.

! En este caso el punto LIB es tambien un punto de colapso

de tension.






! Si se modela una “contingencia” para "0 = Pd0 = 0.6

aumentando XL = 0.5 → 0.6:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

+ = Pd

x3

=V

2

operatingpoint

contingency

XL = 0.5

XL = 0.6






! La solucion dinamica conduce al colapso de tension:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2!1

0

1

2

3

4

5

6

Operating point Contingency

Voltage collapse

V2

V1

&,

t [s]






! El colapso se puede evitar utilizando la compensacion

paralelo o serie:

V1"&1 V2"&2

jxL

PG + jQG PL + jQL

#jxC






! En este caso, las ecuaciones del sistema son:

! Para QGmin ≤ QG ≤ QGmax :

+ =1

M(Pd − V10V2BL sin ! − DG+)

! = + −1

DL(V10V2BL sin ! − Pd)

V2 =1

%[−V 2

2 (BL − BC) + V10V2BL cos ! − kPd]

0 = QG − V 210BL + V10V2BL cos !

donde

BL =1

XLBC =

1

XC







+ =1

M(Pd − V10V2BL sin ! − DG+)

! = + −1

DL(V10V2BL sin ! − Pd)

V2 =1

%[−V 2

2 (BL − BC) + V10V2BL cos ! − kPd]

0 = QGmin,max − V 210BL + V10V2BL cos !






! Estas ecuaciones generan las siguientes curvas PV :

! Sin lımites:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

+ = Pd

V2

Bc = 0

Bc = 0

Bc = 0.5

XL = 0.5

XL = 0.6

XL = 0.6






! Con lımites:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

+ = Pd

V2

Bc = 0

Bc = 0

Bc = 0.5

XL = 0.5

XL = 0.6

XL = 0.6






! Utilizando la compensacion en t = 1.3 s sin lımites:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Apply compensation

Contingency

Operating point

V2

V1

&,

t [s]






! Utilizando la compensacion en t = 1.3 s con lımites:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Apply compensation

Contingency

Operating point

V2

V1

&,

t [s]





Flujo de Carga de Continuacion

! Estas curvas PV o de nariz se obtienen utilizando un flujo

de carga de continuacion (“Continuation Power Flow”,

CPF).

! Esto metodo halla las soluciones del problema de flujo de

caraga

F (z, p, ") = 0

para cambios del parametro ".





Flujo de Carga de Continuacion

! Los pasos del algoritmo son los siguientes:

+

+

+1

+2

z1

z2

1. Predictor3. Corrector

2. Parametrizacion

("z1, "+1)

(z0, +0)

! Este metodo “garantiza” la convergencia.





Predictor

! Metodo del vector tangente:

DzF |1dz

d"0123t1

−(F

("

99991

⇒ ∆z1 =k

‖t1‖0123"+1

t1

("z1, "+1)

(z1, +1)

(z2, +2)





Predictor

! Es un buen metodo para seguir “de cerca” la curva PV ,

pero es relativamente lento.

! El vector tangente t define las “sensibilidades” en cada

punto de la solucion de flujo de carga.

! Se puede tambien utilizar este vector como un ındice para

prever la proximidad de un punto de bifurcacion silla, en

lugar de utilizar el valor del autovalor mımimo que es muy

no lineal en funcion de ".





Predictor

! Metodo de la secante:

∆z1 = k(z1a − z1b)

∆"1 = k("1a − "1b)

("z1, "+1)

(z1a, +1a)

(z1b, +1b)

(z2, +2)





Predictor

! Este metodo es mas rapido pero puede tener problemas de

convergencia para “angulos agudos” (por ejemplo lımites):

(z1a, +1a)

(z1b, +1b)

(z2, +2)





Parametrizacion

! Se usa para evitar las singularidades en el paso predictor.

! Metodos:

" Local : se cambia una zi ∈ z con ", por ejemplo se “da la

vuelta” a la curva PV .

" Longitud de arco (s): se asume z1(s) y "1(s); luego se

soluciona para ∆z1 y ∆"1:

DzF |1∆z1 +(F

("

99991

+ ∆"1 = 0

∆zT1 ∆z1 + ∆"2

1 = k

! No se necesita parametrizacion si se “corta” el paso del

predictor.





Corrector

! La idea es anadir una ecuacion a las ecuaciones de

equilibrio, es decir solucionar para (z, ") en un dado punto

p:

F (z, p, ") = 0

#(z, ") = 0

! Estas ecuaciones son no singulares para una eleccion

adecuada de #(·).





Corrector

! Metodo de la interseccion perpendicular:

+

z

("z1, "+1)

(z1, +1)

(z2, +2)

F (z, p, ") = 0

(z1 + ∆z1 − z)T ∆z1 + ("1 + ∆"1 − ")∆"1 = 0





Corrector

! Metodo de la parametrizacion local:

+

z

("z1, "+1)

(z1, +1)

(z2, +2)

F (z, p, ") = 0

" = "1 + ∆"1 or zi = zi1 + ∆zi1





Metodos Directos

! Permiten encontrar directamente el punto de maxima carga

(bifurcacion silla o lımite).

! Este problema se puede establecer como un problema de

optimizacion:

Max. "

s.t. F (z, p, ") = 0

zmin ≤ z ≤ zmax

pmin ≤ p ≤ pmax





Metodos Directos

! Si se desprecian los lımites, la solucion para un dado valor

del parametro de control (p = p0) del problema de

optimizacion asociado, segun las condiciones de KKT, es el

siguiente:

F (z, p0, ") 0 → punto de equilibrio

DTz F (z, p0, ")w = 0 → condicion de singularidad

DT+ F (z, p0, ")w = −1 → condicion w .= 0

! Esto lleva a una bifurcacion silla y corresponde a las

ecuaciones del punto silla con “autovector izquierdo” (w).





Metodos Directos

! La solucion de estas ecuaciones no lineales no converge si el

punto de maxima carga es una bifurcacion lımite.

! En este caso, se tiene que solucionar el siguiente problema

de optimizacion:

Max. "

s.t. F (z, p0, ") = 0

zmin ≤ z ≤ zmax

utilizando metodos “estandar” (por ejemplo el metodo del

punto interno).

! La solucion de este problema de optimizacion es un punto

de bifurcacion silla o lımite.





Metodos Directos

! Observese que si se permite que los parametros de control p

cambien, el problema cambia en un problema de

maximizacion del margen de carga.

! Se pueden hallar otros problemas de optimizacion no solo

para maximizar el margen de carga, si no tambien para

maximizar el beneficio social.





Indices

! Un ındice de estabilidad sirve para controlar la proximidad

del colapso de tension en aplicaciones “on-line”.

! Por ejemplo, el mımino autovalor real de la matriz

jacobiana del sistema se puede utilizar como una “medida”

de la proximidad de un punto de bifurcaion silla, como la

matriz es singular en este punto.

! Existen muchos ındices, pero los mas utiles o “populares”

son los siguientes:

" Mınimo valor singular.

" Reserva de potencia reactiva.





Indices

! El mınimo valor singular es simplemente el mınimo valor

singular de la matriz jacobiana de las ecuaciones de flujo de

carga en funcion de ":





Indices

! Observaciones:

" Computacionalmente barato.

" Comportamiento muy no lineal, en particular cuando se

alcanzan los lımites de regulacion.

" No se puede utilizar para prever la proximidad a una

bifurcacion lımite.

" Util en algunas aplicaciones de flujo de carga optimo

para representar las restricciones de estabilidad de

tension.





Indices

! El ındice de reserva de potencia reactiva consiste en

controlar la “diferencia” entre la potencia reactiva generada

por los generadores y el lımite maximo de potencia reactiva,

por ejemplo:





Indices

! Observaciones:

" Computacionalmente barato.

" Comportamiento muy no lineal.

" Funciona solo para el generador “correcto”, es decir el

generador con lo que esta asociada la bifurcacion lımite.

" No se puede utilizar para evaluar la proximidad a una

bifurcacion silla.





Aplicaciones de Estabilidad de Tension

! Estos conceptos y metodos estan actualmente utilizados en

aplicaciones reales a traves del calculo de las curvas PV .

! Estas curvas se obtienen o bien a traves de una serie de

flujos de carga “continuos” o bien utilizando un metodo

CPF.

! En ambos casos, las curvas de “nariz” se calculan con

respeto a cambios de la carga, en la forma siguiente:

PL = PL0 + "∆PL

QL = QL0 + "∆QL






! Las variaciones de las potencias de los generadores, menos

la del nudo de saldo, se definen como

PG = PG0 + "∆PG

! Para el modelo de nudo de saldo distribuido:

PG = PG0 + (" + kG)∆PG

para todos los generadores, donde kG es una variable que

sustituye la potencia del nudo de saldo.






! La capacidad disponible de potencia (“Available Transfer

Capability”, ATC) de la red de tranporte se obtiene

generalmente como (definicion del NERC):

ATC = TTC + ETC + TRM

! Se puede asociar el ATC al margen de maxima carga "max

del sistema si se tienen en cuenta las contignencias N-1.






! La capacidad total de potencia (“Total Transfer

Capability”, TTC) es el nivel de maxima carga del sistema

teninendo en cuenta el criterio de contingencia N-1, es decir

"max para la contigencia del caso peor.

! Los compromisos de potencia (“Existent Transmission

Commitments”, ETC) representan el nivel actual de carga

del sistema mas las reservas de potencia.

! El margen de fiabilidad (“Transmission Reliability Margin”,

TRM) es un margen adicional que tiene en cuenta otras

contingencias (por ejemplo N-2).






! Por ejemplo, en WECC, se tiene que operar el sistems con

una seguridad mınima de 5% de “distancia” del punto de

maxima carga teniendo en cuenta las contingencias:





Ejemplo

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo

! Curvas PV (bifurcacion silla SNB):

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(1 + !)

Bu

s V

olta

ges

[p

.u.]

VBus4

VBus5Operating Point

SNB

⇒ "max ≈ 2.6 p.u.





Ejemplo

! Curvas PV (bifurcacion lımite LIB):

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(1 + !)

Bu

s V

olta

ges

[p

.u.]

VBus4

VBus5

LIB1

LIB2

LIB3

⇒ "max ≈ 1.6 p.u.





Ejemplo

! CPF con lımites de seguridad:

Parametro de carga Carga total Variable Lımite

1 + + [MW] Bifurcacion

1.4226 459.5 I4"2max termico

1.4316 462.4 V5minseguridad de tension

1.4767 477.0 QG2max LIB

1.5457 499.3 I1"4max termico

1.5459 499.3 QG1max LIB


1.5731 508.1 I3"5max termico

1.5811 510.7 I6"3max termico

1.6043 518.2 I2"5max termico

1.6117 520.6 I5"1max termico


1.6261 525.2 QG3max LIB





Ejemplo

! Calculo de Pmaxij :

Lınea Contingencia Pij Pmaxij

2-3 1-5 0.15013 0.22452

3-6 2-5 0.50254 0.62959

4-5 3-5 0.07867 0.11511

3-5 1-5 0.24653 0.31823

5-6 1-2 0.0199 0.02523

2-4 3-5 0.60904 0.72198

1-2 2-4 0.11245 0.1899

1-4 2-5 0.40302 0.47836

1-5 2-5 0.38453 0.50879

2-6 2-4 0.44108 0.51417

2-5 1-2 0.30954 0.36198





Bibliografıa

! C. A. Canizares, editor, “Voltage Stability Assessment:

Concepts, Practices and Tools,” IEEE-PES Power System

Stability Subcommittee Special Publication, SP101PSS,

August 2002. IEEE-PES WG Report Award 2005.

! Mas detalles sobre este documento se encuentran en:

http://thunderbox.uwaterloo.ca/˜claudio/claudio.html/#VSWG





Servicios Auxiliares

! En los mercados electricos, la electricidad es un producto.

! Sin embargo, la gestion del sistema electrico necesita unos

cuantos servicios.

! En un marco liberalizado, los servicios pueden ser sujetos a

competencia y ser asociados a un mercado.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Servicios Auxliares - 1





! Los servicios auxiliares o complementarios (“ancillary

services”) son servicios necesarios para garantizar el

transporte de la energıa de los generadores a los

consumidores con el nivel adecuado de fiabilidad y

seguridad.

! En el marco centralizado estos servicios no se distinguen del

“servicio” energıa electrica, porque son necesarios.






! Principales servicios auxiliares:

! Regulacion secundaria de frecuencia (“Automatic

Generation Control”, AGC).

! “Spinning reserve”. Reserva de potencia disponible

inmediatamente.

! “Non-spinning reserve”. Reserva de potencia disponible

dentro de 10 minutos.






! Principales servicios auxiliares (sigue):

! “Replacement reserve”. Reserva de potencia disponible

dentro de 30-60 minutos.

! Regulacion de tension y de potencia reactiva.

! “Black start”.





Reserva de los Generadores

! La reserva de los generadores es la potencia que no esta

utilizada actualmente por las cargas pero puede estar

disponible en un marco temporal definido.

! En un marco generalizado la reserva tiene un coste asociado

que se anade a la funcion objetivo:

C(PR) =%

i=1,NR

CRiPRi





Reserva de los Generadores

! Lımites de reserva:

PRmin i≤ PRi

≤ PRmax ii = 1, . . . , NR

! Lımites de compatibilidad con la oferta y demanda de

potencia:

PSi + PRi≤ PSmax i

i = 1, . . . , NR%

i=1,NR

PRi≤

%

i+1,ND

PDi






! Se requiere que el sistema pueda soportar un conjunto de

contingencias “razonables”.

! ¿Cuanta reserva tiene que tener el sistema, y cuanta cada

generador?

! ¿Que precio esta asociado con la reserva?

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Reserva de Energıa y Seguridad - 1





! Funcion objectivo:

Min. {%

i!I

Ci(ui, Pgi) −%

j!J

Bj(Pdj)

+(qupg )T Rup

g + (qupd )T Rup

d

+(qdowng )T Rdown

g + (qdownd )T Rdown

d }






! sujeto a:

Pg − Pd − B! = 0 : µ

P kg − P k

d − B!k = 0 : µk, ∀k ∈ K

Pf = H!

P kf = H!k ∀k ∈ K






! (sigue):

−P f ≤ Pf ≤ P f

−Pkf ≤ P k

f ≤ Pkf ∀i ∈ I,∀k ∈ K

uiP gi ≤ Pgi ≤ uiP gi ∀i ∈ I

uiPkgi ≤ P k

gi ≤ uiPkgi ∀i ∈ I,∀k ∈ K






! (sigue):

P d ≤ Pd ≤ P d

P kd ≤ P k

d ≤ Pkd ∀k ∈ K

Pg − Rdowng ≤ P k

g ≤ Pg + Rupg ∀k ∈ K

Pd − Rdownd ≤ P k

d ≤ Pd + Rupd ∀k ∈ K






! En el caso de demanda fija, se obtiene que los balances de

potencia valen:%

Pgi − B! = P totd : µ

%P k

gi = P totd : µk, ∀k ∈ K

! Observese que P totd es un parametro compartido por las

ecuaciones de balance pre y post-contingencias.






! De aquı se puede facilmente deducir que el coste de cierre

de mercado vale:

" =dC

dP totd

= µ +%

k

µk

! El precio marginal de la seguridad vale entonces:

"S =%

k

µk

! Es posible que µk = 0 por algunos k ∈ K.






! Tambien se pueden definir los pagos o ingresos de cada

participante al mercado.

! Por ejemplo el ingreso del generador i por la venta de la

reserva vale:

rgi = "Si (Rup

gi + Rdowngi )

! De forma similar, el ingreso de la carga j por la venta de la

reserva vale:

rdj = "Sj (Rup

dj + Rdowngj )






! Ejemplo:

Bus 1 Bus 2

Bus 3

Gen 1 Gen 2

Gen 3

Load






! Datos de los generadores:

Gen. P g P g a C0 qupg qdown

g

[MW] [MW] [$/MW] [$] [$/Mw/h] [$/Mw/h]

1 2.4 50 50.0 10.0 1.0 0.25

2 2.4 50 3.0 0.5 0.3 0.02

3 2.4 50 19.9 5.0 0.7 0.10






! Reparto optimo de las potencias [MW]:

Sin seguridad Con seguridad

Part. Power Power Up-Res. Down-Res.

Gen 1 0 2.4 7.6 0.0

Gen 2 45 43.8 0.0 16.2

Gen 3 5 3.8 36.2 0.0

Load 50 50 0.0 0.0






! Acciones correctivas [MW]:

Contingencia

Part. Gen 1 Gen 2 Gen 3 Line 1-3

Gen 1 - 10.0 10.0 2.4

Gen 2 43.8 - 40.0 27.6

Gen 3 6.2 40.0 - 20.0

Load 50.0 50.0 50.0 50.0






! Reservas nodales [MW]:

Up-Reserve Down-Reserve

Bus Generacion Carga Total Generacion Carga Total

1 7.6 0.0 7.6 0.0 0.0 0.0

2 0.0 0.0 0.0 16.2 0.0 16.2

3 36.2 0.0 36.2 0.0 0.0 0.0






! Multiplicadores de Lagrange [$/MWh]:

Contingencia

Bus Pre Gen 1 Gen 2 Gen 3 Line 1-3

1 11.11 0.0 0.7 0.3 -0.02

2 3.02 0.0 0.7 0.0 -0.02

3 19.20 0.0 0.7 0.6 0.00






! Precios nodales [$/MWh]:

Sin Seguridad Con Seguridad

Bus Energıa Energıa Seguridad

1 11.45 12.09 0.98

2 3.00 3.70 0.68

3 19.90 20.50 1.30






! Ingresos del mercado de la reserva [$]:

Up-Reserve Down-Reserve

Bus Generacion Demanda Generacion Demanda

1 7.45 0 0.00 0

2 0.00 0 11.02 0

3 47.06 0 0.00 0






! J. M. Arroyo and F. D. Galiana, “Energy and Reserve

Pricing in Security and Network-Constrained Electricity

Markets”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 20,

pp. 634-643, May 2005.





OPF Estocastico con Restricciones de Seguridad

! Si un generador es poco fiable pero barato, ¿tendrıa que ser

programado antes que otro generador que sea muy fiable

pero caro?

! ¿Es necesario programar la reserva de generacion para todas

las posibles contingencias, aunque algunas tengan muy

pocas probabilidades de ocurrir?






! Como hipotesis, admitimos que sea permitido el “load

shedding” (quitar carga) no voluntario, para contingencias

plausibles, siempre que la carga prevista no suministrada

(“expected load not served”, ELNS) sea menor que a nivel

fijado o que se tenga en cuenta en el proceso de

optimizacion su impacto en el coste de la energıa.






! Sea Ak la disponibilidad del generador k.

! Sea Uk = 1 − Ak la no disponibilidad del generador k, o la

probabilidad que le generador no este disponible cuando se

necesite.

! Bajo hipotesis de OPF stocastico con restricciones de

seguridad, una contingencia sencilla (como por ejemplo, la

perdida de un generador k), puede comportar una perdida

de carda, Lk > 0.






! La contingencia sencilla de un generador k tiene la

probabilidad:

probk = Uk

NGD

i=1,i '=k

(Ai)

! La carga no suministrada durante el evento k respeta la

siguientes desigualdades:

Lk ≥ 0

Lk ≥ d −NG%

i=1,i '=k

(gi + Rupgi )






! La contingencia doble de dos generadores j y k tiene la

probabilidad:

probk = UjUk

NGD

i=1,i '=j,k

(Ai)

! La carga no suministrada durante el evento j, k respeta la

siguientes desigualdades:

Ljk ≥ 0

Ljk ≥ d −NG%

i=1,i '=j,k

(gi + Rupgi )






! La carga prevista no suministrada ELNS vale

ELNS ≥%

k

(probk)Lk






! Formulacion del problema de OPF estocastico con

restricciones de seguridad.

! Funcion objetivo:

Min.N%

i=1

(Ci(g0i ) + qup

gi Rupgi ) + V OLL · ELNS

! V OLL es el coste de carga perdida (“value of lost load”).






! sujeto a:

NG%

i=1

(g0i = d

gmini ≤ g0

i ≤ gmaxi

ELNS ≥%

k

(probk)Lk

Lk ≥ 0

Lk ≥ d −NG%

i=1,i '=k

(gi + Rupgi )

0 ≤ Rupgi ≤ gmax

i − g0i

Rupgi ≤ rampmax

i





OPF con Restricciones de Estabilidad Transitoria

! La estabilidad transitoria esta asociada a la perdida de

sincronismo de uno o mas generadores.

! Se han propuesto unos cuantos metodos para incluir las

restricciones de estabilidad transitoria en una flujo de carga

optimo.

" Metodo global.

" Metodo secuencial.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Restricciones de Estabilidad Transitoria - 1





! Metodo global:

" Por cada instante de la simulacion en el tiempo, se

convierte el modelo de estabilidad transitoria en un

conjunto de ecuaciones algebraicas.

" El conjunto de ecuaciones no lineales se incluye en el

problema de flujo de carga.

" El problema resultante es en general un problema de

programacion no lineal de gran tamano.






! Referencia de un metodo global:

" L. Chen, A. Ono, Y. Tada, H. Okamoto and R. Tanabe,

“Optimal Power Flow Constrained by Transient

Stability”, Proc. of POWERCON 2000, University of

Western Australia, Pert, 4-7 december 2000.






! Metodo secuencial:

" Las restricciones de estabilidad transitoria son

traducidas como restricciones estandar de un flujo de

carga optimo.

" Por ejemplo se definen los lımites Pmaxij en las lıneas de

transporte para que una falta no produzca inestabilidad

transitoria.

" El tamano del problema de flujo de carga queda

invariado.






! Referencia de un metodo secuencial:

" A. Bettiol, D. Ruiz-Vega, D. Ernst, L. Wehenkel and M.

Pavella, “Transient Stability-Constrained Optimal Power

Flow”, Proc. of IEEE Budapest Powertech, Budapest,

Hungary, August 29 - September 2, 1999.





Restricciones de Estabilidad de tension

! Modelos de mercados con restricciones de estabilidad de

tension:

" Flujo de carga optimo “all-in one”.

" Metodo iterativo: etapa de solucion del metodo de cierre

de mercado y etapa de ajustes con restricciones de

estabilidad.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Restricciones de Estabilidad de Tension - 1




Restricciones de Estabilidad de tension

! Vamos a analizar cuatro metodos:

" Flujo de carga optimo multiobjetivo.

" Flujo de carga optimo con inclusion de contingencias.

" Subasta monoperiodo con ajustes tecnicos a traves de

CPF.

" Flujo de carga con ajustes tecnicos a traves de CPF.





Flujo de Carga Multiobjetivo

! El modelo propuesto es el siguiente:

Min. G = − +1(CTDPD − CT

S PS) − +2"c

s.t. f(!, V, QG, PS , PD) = 0 → Flujo de carga

f(!c, Vc, QGc, "c, PS , PD) = 0 → Flujo de carga crıtico

"cmin ≤ "c ≤ "cmax → Margen de carga






! (sigue)

0 ≤ PS ≤ PSmax → Lımites de oferta

0 ≤ PD ≤ PDmax → Lımites de demanda

Iij(!, V ) ≤ Iijmax → Lımites termicos

Iji(!, V ) ≤ Ijimax

Iij(!c, Vc) ≤ Iijmax

Iji(!c, Vc) ≤ Ijimax






! (sigue)

QGmin ≤ QG ≤ QGmax → Lımites de reactiva

QGmin ≤ QGc≤ QGmax

Vmin ≤ V ≤ Vmax → Lımites de tension

Vmin ≤ Vc ≤ Vmax






! Se ha introducido un segundo conjunto de ecuaciones y

desigualdades con subındice c.

! Estas ecuaciones representan el punto de trabajo “crıtico”,

es decir el punto de maxima carga del sistema.

! Este punto puede ser asociado con una bifurcacion (silla o

lımite) o un lımite de seguridad (tension o flujo en una lınea

de transporte.)






! El modelo de la carga es como sigue:

PG = PG0 + PS

PL = PL0 + PD

PGc= (1 + "c + kGc

)PG

PLc= (1 + "c)PL






! Las perdidas se distribuyen entre todos los generadores a

traves de la variable kGc.

! PG0 y PL0 modelan potencias fijas (generada o consumida).






! "c representa la maxima “cargabilidad” del sistema.

! Se puede utilizar "c como una medida de la estabilidad o de

la seguridad del sistema.

! La maxima condicion de carga (“Maximum Loading

Condition”, MLC) se define como sigue:

MLC = (1 + "c)ΣPDi






! En la funcion objetivo:

" +1 representa el peso del beneficio social.

" +2 representa el peso de la seguridad.

" Se puede utilizar un unico peso +, siendo +1 = (1 − +) y

+2 = +.






! El modelo que se ha presentado es para demanda elastica.

! Se puede representar la demanda inelastica simplemente

imponiendo CDi= 0 y PDi

= PDimax.

! El problema con demanda inelastica puede no tener

solucion.






! Se incluyen tambien lımites para "c:

" "cmin garantiza que la solucion tenga un mınimo nivel de

seguridad.

" "cmax evita que se obtengan soluciones con un nivel

demasiado grande, y que por lo tanto sean soluciones

poco no “economicas”.






! Observese que la funcion objetivo no es un puro beneficio

social.

! Esto significa que los multiplicadores de Lagrange de la

ecuaciones de balance no son los precios marginales de la

energıa.

! Para obtener los precios, hay que solucionar otra vez el

problema con "c = ""c (el valor de la solucion optima). La

solucion queda la misma, pero ahora los multiplicadores son

los precios marginales.






! De las condiciones de optimalidad (KKT) se obtiene:

(L/(PSi= CSi

− #PSi+ µPSmaxi

− µPSmini

− #cPSi(1 + ""

c + k"Gc

) = 0

( ;L/(PDi= −CDi

+ #PDi+ #QDi

tan(*Di)

+ µPDmaxi− µPDmini

+ #cPDi(1 + ""

c)

+ #cQDi(1 + ""

c) tan(*Di) = 0






! Y, finalmente, los precios marginales (“Locational Marginal

Prices”, LMP):

LMPSi= #PSi

= CSi+ µPSmaxi

− µPSmini

− #cPSi(1 + ""

c + k"Gc

)

LMPDi= #PDi

= CDi+ µPDmini

− µPDmaxi

− #cPDi(1 + ""

c) − #cQDi(1 + ""

c) tan(*Di)

− #QDitan(*Di

)






! El pago debido al operador independiente de mercado

(“Independent Market Operdator”) PayIMO vale:

PayIMO =%

i

CSiPGi

−%

i

CDiPLi





Ejemplo

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo


Participante C Pbidmax PL0 QL0 PG0 QGlim

[$/MWh] [MW] [MW] [MVar] [MW] [MVar]

GENCO 1 9.7 20 0 0 90 ±150

GENCO 2 8.8 25 0 0 140 ±150

GENCO 3 7.0 20 0 0 60 ±150

ESCO 1 12.0 25 90 60 0 0

ESCO 2 10.5 10 100 70 0 0

ESCO 3 9.5 20 90 60 0 0





Ejemplo

! Flujo de carga optimo con lımites de seguridad Pmax.


[p.u.] [$/MWh] [MW] [MW] [$/h]

GENCO 1 1.100 9.70 14.4 90 -1013

GENCO 2 1.100 8.80 2.4 140 -1253

GENCO 3 1.084 8.28 20.0 60 -663

ESCO 1 1.028 11.64 15.6 90 1229

ESCO 2 1.013 10.83 0.0 100 1083

ESCO 3 1.023 9.13 20.0 90 1005


Perdidas = 11.2 MW MLC = 520 MW





Ejemplo

! Flujo de carga con restricciones de estabilidad de tension.


[p.u.] [$/MWh] [MW] [MW] [$/h]

GENCO 1 1.100 8.94 0.0 90 -805

GENCO 2 1.100 8.91 25.0 140 -1470

GENCO 3 1.100 9.07 20.0 60 -726

ESCO 1 1.021 9.49 25.0 90 1091

ESCO 2 1.013 9.57 10.0 100 1053

ESCO 3 1.039 9.35 8.0 90 916

TOTALES T = 323 MW PayIMO = 59 $/h

Perdidas = 12.0 MW MLC = 539 MW





Ejemplo

! Demanda total y "c en funcion de + (caso elastico):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9280

300

320

340

Weigthing Factor "

T (

MW

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.5

0.6

0.7

0.8

Weigthing Factor "

!c

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8280

300

320

340

T (

MW

)

Loading Margin !c

"





Ejemplo

! PS , PD y LMPs en funcion de + (caso elastico):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

5

10

15

20

25

Weigthing Factor "

Po

wer

Bid

s (M

W)

PS Bus 1

PS Bus 2

PS Bus 3

PD Bus 4

PD Bus 5

PD Bus 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.96

7

8

9

Weigthing Factor "

LM

Ps

($/

MW

h)

#Bus 1#

Bus 2#

Bus 3#

Bus 4#

Bus 5#

Bus 6





Ejemplo

! LMP del nudo 6 en funcion de la carga PD3 (caso elastico):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 96

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

PD

(MW)

LM

P (

$/M

Wh

)

"





Ejemplo

! Demanda total y "c en funcion de + (caso inelastico):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9322

322.5

323

323.5

324

Weigthing Factor "

T (

MW

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.62

0.64

0.66

0.68

Weigthing Factor "

!c





Ejemplo

! PS , PD y LMPs en funcion de + (caso inelastico):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

10

20

30

Weigthing Factor "

Po

wer

Bid

s (M

W)

PS Bus 1

PS Bus 2

PS Bus 3

PD Bus 4

PD Bus 5

PD Bus 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.98.8

9

9.2

9.4

9.6

9.8

LM

Ps

($/

MW

h)

#Bus 1#

Bus 2#

Bus 3#

Bus 4#

Bus 5#

Bus 6





Bibliografıa

! F. Milano, C. A. Canizares, and M. Invernizzi,

“Multiobjective Optimization for Pricing System Security

in Electricity Markets”, IEEE Transactions on Power

Systems, vol. 18, no. 2, pp. 596-604, May 2003.





Inclusiones de las Contingencias

! Es posible modificar el modelo visto antes para tener en

cuenta un analisis de congencias N-1.

! Las contingencias se incluyen modificando las ecuaciones

“crıticas”, es decir quitando las lıneas, una a la vez.






! Las contingencias posibles son en general muchas, pero no

todas afectan la solucion del flujo de carga.

! Se pueden utilizar distintos metodos para seleccionar las

contigencias mas crıticas.

" Metodo iterativo.

" Ranking de las contingencias a traves de un analisis de

sensibilidad.






! Metodo iterativo:

S

k-2Critical Outage

Yes=

Continuation power flow

Set P and P as

directionsgenerator and load

SATC =

No

YesNo

D

N-1 contingency criteria

considering

contingency that creates

the lowest SATC

OPF solution with the

Initial VSC-OPF solution

c!k = 0, SATC =

without contingencies

< $

OR

kCritical Outage

k-1kSATC - SATC

maxk > k

k k-1min{SATC , SATC }

END

k = k + 1






! Ranking de las contingencias a traves de un analisis de

sensibilidad:

pij = Pij(Pij

("c≈ Pij("c)

Pij("c) − Pij("c − ))

)

! Se seleccionan solo las 5 lıneas asociadas con las 5 mayores

sensibilidades.






! Los dos metodos son equivalentes.

! Los dos metodos pueden no llegar a seleccionar la misma

lınea como “peor” contingencia.

! Pero sı terminan encontrando lıneas en la misma zona, que

es la zona crıtica para la estabilidad de tension.






! Como se tienen en cuenta las contingencias, "c es una

medida de un ATC del sistema (SATC):

SATC = "c · T − K

! T es la demanda total y K tiene en cuenta contingencias

N-2 (K = 0 en los ejemplos).

! Segun la practica habitual, el ATC se refiere a lımites en las

lıneas interzonales.

! No obstante, observese que la definicion del NERC de ATC

no habla de lıneas interzonales.





Ejemplo

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo

! Datos de los productores y de los consumidores:

Participante C Pmax PL0 QL0 PG0 QGlim

($/MWh) (MW) (MW) (MVar) (MW) (MVar)

GENCO 1 9.7 30 0 0 67.5 ±150

GENCO 2 8.8 37.5 0 0 103 ±150

GENCO 3 7.0 30 0 0 45 ±150

ESCO 1 12.0 37.5 67.5 45 0 0

ESCO 2 10.5 15 75 52.5 0 0

ESCO 3 9.5 30 67.5 45 0 0





Ejemplo

! Datos de las lıneas:

Lınea i-j Rij (p.u.) Xij (p.u.) Bi/2 (p.u.) Pmax (MW) Imax (A)

1-2 0.1 0.2 0.02 11.74 200

1-4 0.05 0.2 0.02 39.84 200

1-5 0.08 0.3 0.03 50.44 200

2-3 0.05 0.25 0.03 18.27 200

2-4 0.05 0.1 0.01 57.69 200

2-5 0.1 0.3 0.02 33.11 200

2-6 0.07 0.2 0.025 43.32 200

3-5 0.12 0.26 0.025 23.04 200

3-6 0.02 0.1 0.01 47.45 200

4-5 0.2 0.4 0.04 7.73 200

5-6 0.1 0.3 0.03 2.19 200





Ejemplo

! Flujo de carga con lımites de potencia activa Pmaxij :

Participante V LMP NCP PBID P0 Pago

p.u. ($/MWh) ($/MWh) (MW) (MW) ($/h)

GENCO 1 1.1000 9.70 1.26 13.99 67.5 -790

GENCO 2 1.1000 8.45 0.00 0.00 103 -867

GENCO 3 1.1000 7.00 -1.50 20.55 45.0 -459

ESCO 1 1.0415 11.71 2.96 24.56 67.5 1078

ESCO 2 1.0431 10.36 1.60 2.31 75.0 799

ESCO 3 1.0575 9.51 0.88 6.60 67.5 704


Perdidas = 6.2 MW SATC = 0.3 MW





Ejemplo

! Flujo de carga con restricciones de estabilidad ("cmin = 0.1)

y ninguna contingencia.


p.u. ($/MWh) ($/MWh) (MW) (MW) ($/h)

GENCO 1 1.1000 9.16 -0.012 0.0 67.5 -618

GENCO 2 1.1000 9.06 0.00 37.5 103 -1270

GENCO 3 1.1000 9.15 0.029 30.0 45.0 -686

ESCO 1 1.0302 9.60 0.143 37.5 67.5 1008

ESCO 2 1.0313 9.60 0.172 15.0 75.0 864

ESCO 3 1.0526 9.39 0.131 11.9 67.5 745

TOTALES T = 274.4 MW PayIMO = 43.9 $/h






Ejemplo

! Sensibilidades pij y SATC por la primera dos iteraciones del

metodo iterativo.

Lınea i-j |Pij | (p.u.) pij SATC1 (MW) SATC2 (MW)

1-2 0.0463 -0.0219 194.9 200.4

1-4 0.6768 0.3957 110.8 116.2

1-5 0.5263 0.3023 202.9 210.9

2-3 0.1208 0.1114 205.5 210.6

2-4 1.3872 0.8649 83.5 86.4

2-5 0.5100 0.3226 184.4 189.8

2-6 0.6211 0.4014 194.4 202.6

3-5 0.5487 0.3258 185.0 190.5

3-6 0.9591 0.5331 165.6 160.4

4-5 0.0351 0.0357 192.4 200.6

5-6 0.1031 0.0656 197.9 206.2





Ejemplo


y contingencia en la lınea 2-4.


p.u. ($/MWh) ($/MWh) (MW) (MW) ($/h)

GENCO 1 1.1000 9.11 -0.013 0.0 67.5 -615

GENCO 2 1.1000 9.02 0.00 37.5 103 -1263

GENCO 3 1.1000 9.12 0.030 30.0 45.0 -684

ESCO 1 1.0312 9.55 0.139 36.0 67.5 989

ESCO 2 1.0313 9.56 0.170 15.0 75.0 860

ESCO 3 1.0518 9.35 0.133 13.3 67.5 756







Ejemplo


y contingencia en la lınea 1-4.


p.u. ($/MWh) ($/MWh) (MW) (MW) ($/h)

GENCO 1 1.1000 8.78 -0.046 0.0 67.5 -671

GENCO 2 1.1000 8.81 0.00 0.0 103 -1045

GENCO 3 1.1000 8.91 0.029 30.0 45.0 -722

ESCO 1 1.0490 9.15 0.082 0.0 67.5 670

ESCO 2 1.0276 9.33 0.152 11.3 75.0 898

ESCO 3 1.0431 9.18 0.137 19.3 67.5 880







Bibliografıa

! F. Milano, C. A. Canizares, and M. Invernizzi, “Voltage

Stability Constrained OPF Market Models Considering N-1

Contingency Criteria”, Electric Power System Research, no.

74, pp. 27-36, March 2005.





Subasta Monoperiodo y Seguridad

! El algoritmo es el siguiente:

! c

c!

Compute transactionimpact (sensitivities)

or curtailable load i

Pick generators i and jfor rescheduling

Calculate(k+1)

(k+1)

Transaction Contribution Factorand rescheduling cost

Adjust step length

Y

Initialization

N

>= 1

Y

Update last rescheduling

N

amount and cost

or curtailable load?generator for rescheduling

Available

k=k+1

Total rescheduling costs






! Primero se calula la subasta monoperiodo.

! Con la solucion actual P kS y P k

D se hace un analisis de CPF

con contingencias N-1 y se determina el "kc .

! En este analisis vale:

SATCk = "kc






! Si "kc > 1 el procedimiento termina, porque el sistema tiene

margen de seguridad frente a contingencias.

! Si "kc < 1 hay que hacer la etapa de ajustes.






! Se evalua el nuevo "k+1c

"(k+1)c ≈ "(k)

c +d"

dPSi

9999

(k)

c

∆P (k)Si

+d"

dPSj

9999

(k)

c

∆P (k)Sj

! La carga tambien se puede variar para aumentar "k+1c :

"(k+1)c ≈ "(k)

c −d"

dPDi

9999

(k)

c

∆P (k)Di






! En este metodo, los costes adicionales de los ajustes no se

reparten entre todos los participantes.

! Solo pagan los ajustes los que tienen que variar sus

potencias.

! El coste de los ajustes (“Transaction Contribution Factor”,

TCF) vale:

TCF(k)i =

d"/dpi|(k)c p(k)

i(j d"/dpj |

(k)c p(k)

j






! El criterio de convergencia es "(k+1)c > 1.

! Si el procedimiento termina por k = m, se ajustan las

potencias de los generadores y de los consumidores para que

el SATC sea el mismo "(m+1)c ≈ 1.






! Por lo tanto:

∆P (m)Si

= −∆P (m)Sj

=1 − "(m)

c

d"/dPSi|(m)c − d"/dPSj

|(m)c

o

∆P (m)Di

=1 − "(m)

c

d"/dPDi|(m)c






! Este metodo permite definir los costes de saturaciones:

• Generadores:

PSi= P (0)

Si+

m%

k=1

∆P (k)Si

NCPSi=

1

PSi

m%

k=1

TCF(k)i SCk

• Cargas:

PDi= P (0)

Di−

m%

k=1

∆P (k)Di

NCPDi=

1

PDi

m%

k=1

TCF(k)i SCk





Ejemplo

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo

! Solucion por el caso elastico:

0 20 6555

7

8.8

9.5

9.7

10.5

25 35 45

GENCO 3

MW

A

GENCO 1

ESCO 2

ESCO 1

SATC

$/MWh

12

MCP =ESCO 3

GENCO 2





Ejemplo

! Solucion por el caso inelastico:

0 20 6555

7

8.8

9.7

45

$/MWh ESCO 1 + ESCO 2 + ESCO 3

GENCO 1

B

GENCO 2

MWSATC

GENCO 3

MCP =





Ejemplo

! Ajustes y costes de la seguridad (caso elastico):

k !P(k)G1

!P(k)G2

!(k)c SCk

[MW] [MW] [$/h]

1 5 -5 0.90094 1

2 5 -5 0.95647 1

3 3 -3 0.992 0.6

4 1 -1 1.0042 0.2





Ejemplo

! TCF (caso elastico):

k 1 2 3 4

TCF(k)1 0 0 0 0

TCF(k)2 0.0166 0.0607 0.08 0.0813

TCF(k)3 0 0.0324 0.0772 0.1077

TCF(k)4 0.8554 0.8198 0.7767 0.7555

TCF(k)5 0.1082 0.087 0.0662 0.0556

TCF(k)6 0.0199 0 0 0





Ejemplo

! Subasta monoperiodo con ajustes (caso elastico):

Nudo Part. V NCP PS or PD

i [p.u.] [$/MWh] [MW]

1 S1 1.05 0.0 15.14

2 S2 1.05 0.0129 11.9

3 S3 1.05 0.005 21.63

4 D1 0.966 0.0917 25.00

5 D2 0.956 0.0246 10.00

6 D3 0.984 0.002 10.00





Ejemplo

! Flujo de carga (caso elastico):


i [p.u.] [$/MWh] [MW]

1 S1 1.1 0.8675 9.49

2 S2 1.1 0.0 3.58

3 S3 1.1 0.0874 20.00

4 D1 1.0224 2.2347 25.00

5 D2 1.0177 1.0185 4.68

6 D3 1.0431 0.3450 2.29





Ejemplo

! Subasta monoperiodo con ajustes (caso inelastico):


i [p.u.] [$/MWh] [MW]

1 S1 1.05 0.6726 18.99

2 S2 1.05 0.0 23.73

3 S3 1.05 1.501 9.49

4 D1 0.9663 1.2597 25.00

5 D2 0.9555 1.4345 10.00

6 D3 0.9812 4.6284 13.00





Ejemplo

! Flujo de carga (caso inelastico):


i [p.u.] [$/MWh] [MW]

1 S1 1.1 0.8791 17.72

2 S2 1.1 0.0 17.64

3 S3 1.1 -1.9092 15.10

4 D1 1.0217 2.4537 25.00

5 D2 1.0122 0.8353 10.00

6 D3 1.0359 2.6933 13.00





Bibliografıa

! C. A. Canizares, H. Chen, F. Milano, and A. Singh,

“Transmission Congestion Management and Pricing in

Simple Auction Electricity Markets”, International Journal

of Emerging Electric Power Systems, vol. 1, issue 1, article

1, 28 pages, 2004.





Flujo de Carga Optimo con Ajustes

! El esquema del algoritmo es el siguiente:





k = 0

k ⇐ k + 1

Power Flow:

Optimal

Continuation Power Flow:

yesno

Sensitivity Analysis:

Stop

"0 = 0

compute x(k), x(k), p(k), #(k)

compute ∆p(k)

determine "(k) using p(k) + ∆p(k)

|"(k) − "(k#1)| < )

as power directions based on an

N-1 contingency criterion

for a given ∆"






! El metodo es iterativo.

! Se soluciona un flujo de carga optimo con restricciones de

estabilidad de tension.

! La funcion objetivo es el beneficio social. En esta etapa no

se optimiza ".

! " = ".






! El modelo propuesto es el siguiente:

Min. f = − (CTDPD − CT

S PS)

s.t. g(!, V, QG, PS , PD) = 0 → Flujo de carga

g(!, V , QG, ", PS , PD) = 0 → Flujo de carga crtico

" = " → Margen de carga






! (sigue)

0 ≤ PS ≤ PSmax → Lımites de oferta

0 ≤ PD ≤ PDmax → Lımites de demanda

Iij(!, V ) ≤ Iijmax → Lımites termicos


Iij(!, V ) ≤ Iijmax







! (sigue)

QGmin ≤ QG ≤ QGmax → Lımites de reactiva

QGmin ≤ QG ≤ QGmax

Vmin ≤ V ≤ Vmax → Lımites de tension

Vmin ≤ V ≤ Vmax






! La solucion del flujo de carga optima se utiliza para hallar

un analisis de sensibilidad.

! Del analisis de sensibilidad se calculan las variaciones de las

potencias ∆pk.






! Desarrollo de las sensibilidades:

df

d"

9999"

=df

d""= −#+

df

dgpi

9999"

=df

dg"pi

= −#gpi






! Entonces:

df

dpi

9999"

=df

dgpi

9999"

dgpi

dpi

9999"

= −#gpi∇pi

gpi

! y, finalmente:

dpi

d"

9999"

=dpi

df

9999"

df

d"

9999"

=#+

#gpi∇pi

gpi






! En forma escalar:

dPSi

d"

9999"

=1

(1 + "" + k"G)

#+

#gPi

dPDi

d"

9999"

= −1

(1 + "")

#+

#gPi






! Las variaciones ∆pk se utilizan para un analisis de CPF con

contingencias para hallar el nuevo valor de "k+1.

! Con este nuevo valor "k+1 se repite el flujo de carga optimo.

! El procedimiento termina cuando no se pueda aumentar

mas ".





Ejemplo 1

! Red de 6 nudos:

Bus 3

(GENCO 2)

Bus 2 (GENCO 3)

(ESCO 3)

(ESCO 1)

(ESCO 2)

Bus 4

Bus 5

(GENCO 1)

Bus 1

Bus 6





Ejemplo 1

! Demanda total (caso elastico sin contingencias):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8285

290

295

300

305

310

315

320

325

TTL ! Multiobjective VSC!OPFTTL ! CPF!OPF technique

Loading parameter +

Tota

lTra

nsa

ctio

nLev

el[M

W]





Ejemplo 1

! Ofertas aceptadas (caso elastico sin contingencias):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0

5

10

15

20

25

PSBus1PSBus2PSBus3PDBus4PDBus5PDBus6

Loading parameter +

Acc

epte

dPow

erB

ids

[MW

]





Ejemplo 1

! Precios nodales (caso elastico sin contingencias):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.86

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

LMPBus1

LMPBus2

LMPBus3

LMPBus4

LMPBus5

LMPBus6

Loading parameter +

Loca

lM

arg

inalPri

ces

[$/M

Wh]





Ejemplo 1

! Sensibilidades (caso elastico sin contingencias):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8!1

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bus 1Bus 2Bus 3Bus 4Bus 5Bus 6

Loading parameter +

dp/d+





Ejemplo 2

! Red de 24 nudos (RTS 96):

10

18

21

22

17

23

19 2016

14

24

13

11

3 9

6

85

4

721

12

15

132 kV

230 kV





Ejemplo 2

! Demanda total (caso elastico, contingencias en la lınea

3-24):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83160

3180

3200

3220

3240

3260

3280

Loading parameter +

Tota

lTra

nsa

ctio

nLev

el[M

W]





Ejemplo 2

! Algunas ofertas aceptadas (caso elastico, contingencias en la

lınea 3-24):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.880

100

120

140

160

180

200

220

240

260

PDBus 3

PSBus 7

PDBus 8

PDBus 10

PSBus 13

PDBus 14

Loading parameter +

Acc

epte

dPow

erB

ids

[MW

]





Ejemplo 2

! Precios nodales (caso elastico, contingencias en la lınea

3-24):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.821.5

22

22.5

23

23.5

24

24.5

LMPBus 3

LMPBus 7

LMPBus 8

LMPBus 10

LMPBus 13

LMPBus 14

Loading parameter +

Loca

lM

arg

inalPri

ces

[$/M

Wh]





Ejemplo 2

! Sensibilidades (caso elastico, contingencias en la lınea 3-24):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8!0.6

!0.5

!0.4

!0.3

!0.2

!0.1

0

0.1

Bus 3Bus 7Bus 8Bus 10Bus 13Bus 14

Loading parameter +

dp/d+





Bibliografıa

! F. Milano, C. A. Canizares, and A. J. Conejo,

“Sensitivity-based Security-constrained OPF Market

Clearing Model”, accepted for publication on IEEE

Transactions on Power Systems, 10 pages, June 2005.





Unas Crıticas a los Mercados Electricos

! En general, los precios han subido pasando de un marco

centralizado a un marco liberalizado.

! Los modelos de cierre de mercado suponen un regimen de

libre mercado ideal, es decir infinitos generadores y

consumidores.

! En el caso real hay muy pocas empresas de produccion de la

energıa (tres en Espana). Esto puede llevar a oligopolios.

! En un oligopolio no valen las reglas de libre mercado, mas

bien la teorıa de los juegos.

San Salvador, 25-29 Julio 2005 Consideraciones Finales - 1





! Existe una diferencia fundamental entre mercados electricos

y mercados competitivos de otros productos (por ejemplo,

telefonıa movil, transporte aereo, etc.)

! En los sistemas electricos se tiene que averiguar en cada

instante el balance de potencia:

%PGi −

%PDi − Pperdidas = 0

! Si no se consigue el balance, hay apagones. Esto es una

consecuencia del hecho que la energıa electrica no se puede

almacenar de forma barata.

! En mercados no electricos, si no se consigue el balance de

demanda y oferta, hay esperas.






! Los mercados decentralizados tienen problemas para

realizar una regulacion de sistema (por ejemplo,

regulaciones secundarias de frecuencia y de tension).

! En algunos casos los gobiernos no quieren un mercado

liberalizado por razones de seguridad (por ejemplo en

Francia, debido al elevado numero de plantas nucleares).






! Poder de mercado:

1

2

3

PL = 30 MW

Pmax13 = 20 MW

Pmax23 = 50 MW

Pmax3 = 30 MW

Pmax2 = 15 MW

! Un ejemplo de poder de mercado ocurrio en Ontario en el

2002.





Futuras Lıneas de Investigacion

! En el PES Meeting de San Francisco, Junio 2005, se hizo la

primera reunion del “Electricity Market Economics

Subcommittee”.

! Este es el unico “subcommittee” con la palabra “market”

en el tıtulo.

! Se ha hablado de los temas de mayor interes y de las

futuras lıneas de investigacion.






! La tendencia actual es ir hacia metodos de cierre de

mercado lo mas posible detallados y fiables.

! Resumiendo:

" La programacion lineal entera mixta es adecuada para

metodo de cierre de mercado con horizonte temporal de

un dıa o mas.

" La programacion no lineal es auspicable para metodos

de cierre de mercado horarios o de “last minute”.

" Desarrollo de metodos estocasticos.






! Unos temas de interes:

" Necesidad de incluir restricciones de seguridad

(estabilidad) adecuadas para dar las correctas senales

economicas a los participantes al mercado.

" Estudios de fiabilidad (“reliability”) de los mercados

electricos.

" Modelos estandar (“benchmarks”).





¡Muchısimas gracias por vuestra atencion!


Analisis de SP en Ambiente de Mercados Electricos

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