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Análisis de Datos en Psicología II Tema 5
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Análisis de varianza de un factor Tema 5
1. Introducción al análisis de varianza
2. ANOVA de efectos fijos, completamente aleatorizado
(A-EF-CA)
3. ANOVA de efectos fijos, con medidas repetidas (A-EF-MR)
4. Medidas de tamaño del efecto
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Objetivo: Estudiar la relación entre dos variables:
1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.
Puede tener más de dos niveles (J) Permite comparar entre sí dos o más medias, a diferencia de la prueba t. Ejemplo: Se está estudiando la relación entre el método de enseñanza y el aprendizaje de una materia. Se aplican tres métodos a tres grupos de sujetos diferentes: enseñanza presencial, enseñanza por internet y autodidacta. Se calcula la nota media en el examen de cada grupo. VI: Método: presencial, internet, autodidacta VD: Puntuación del examen
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¿Son iguales las tres medias poblacionales? Efectos fijos: Los niveles de la VI los establece el experimentador. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Fijar 10, 50 y 70 decibelios. Efectos aleatorios: Los niveles de la VI se toman al azar. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Tomar tres niveles entre 10 y 100 db. al azar. Completamente aleatorizado: Los sujetos se asignan al azar, y son distintos en cada grupo de la variable independiente. Medidas repetidas: Los mismos sujetos pasan por todas las condiciones (niveles de la VI o tratamientos).
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ANOVA efectos fijos, completamente aleatorizado (A-EF-CA) Se forman J grupos con diferentes sujetos en cada uno. 1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 =...= µJ (todas las µj son iguales) H1: µj ≠ µ j' (alguna µj es distinta a las otras) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste
Estructura de los datos: J : Número de niveles del factor (o VI) . nj : Nº de observaciones en el nivel j del factor. N : nº total de observaciones (si todas las nj son iguales: N = J x n)
Niveles del factor (VI) Observaciones: (VD)
Totales Tj
A 1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T1 A 2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T2 . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .. . .
. . . A j Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj Tj . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .. . .
. . . A J Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ TJ
T
i : Sujeto j : Nivel de la V.I.
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Sumas de cuadrados: La varianza de la VD es:
∑∑= =
−=J
j
n
iijn
j
YYN
S1 1
22 )(1
SCESCISCT
)()()( 222
+=
−+−=− ∑∑∑∑∑∑j i
jijj i
jj i
ij YYYYYY
SC Total = SC Intergrupos + SC Error
∑=
−=J
j j
j
NT
n
TSCI
1
22
∑∑∑== =
−=J
j j
jJ
j
n
iij n
TYSCE
j
1
2
1 1
2
NTYSCT
J
j
n
iij
j 2
1 1
2∑∑= =
−=
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Tabla de ANOVA:
Fuentes de Variación
Sumas de
cuadrados
gradosde
libertad
Medias cuadráticas Estadístico
FV SC gl MC F
Intergrupos SCI J-1 1−J
SCI MCE
MCI
Error SCE N-J JN
SCE−
Total SCT N-1 Distribución: F ~ F J-1, N-J 4. Zona crítica: F ~ 1-α F J-1, N-J 5. Decisión: Rechazar H0 si F cae en la zona crítica
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Si se rechaza concluimos que no todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dónde están las diferencias.
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Ejemplo: Se forman tres grupos de 6 alumnos y a cada uno se le aplica un método de enseñanza. Los datos del examen son: Presencial 4,8 7,1 5,4 6,8 8,6 6,2Internet 4,9 6,1 5,4 3,6 4,2 2,4Autodidacta 1,5 6,4 3,9 5,3 2,4 3,1Realizar el ANOVA con α = 0,05
J = 3 T1 = 38,9 n = 6 T2 = 26,6 N = Jn = (6)3 = 18 T3 = 22,6
T = 88,1 ∑∑ =i j
ijY 87,4892
1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 = µ3 H1: µj ≠ µ j' 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste
∑ −=j j
j
NT
nT
SCI22
05,2420,43125,45518
1,886
6,226,269,38 2222
=−=
−++
=
∑∑∑ −=j j
j
j iij n
TYSCE
22
62,3425,45587,489 =−= SCT = SCI + SCE = 58,67
FV SC gl MC F
Inter 24,05 J-1 = 2 12,025 5,21
Error 34,62 N-J =15 2,308
Total 58,67 N-1=17 Distribución F 2, 15
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4. Zona crítica F ~ 0,95 F 2, 15 = 3,68 5. Decisión Cómo 5,21 > 3,68 rechazamos H0 No todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dónde están las diferencias.
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ANOVA de un factor con medidas repetidas (A-EF-MR) Objetivo: Estudiar la relación entre dos variables:
1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.
Puede tener dos o más niveles (J) Los mismos sujetos pasan por los J niveles de la VI. Ejemplo: Se está estudiando el efecto del color de las señales de tráfico en la distancia a la que pueden ser percibidas. Se crean varias señales de color rojo, verde y azul. A un grupo de sujetos se les muestran todas las señales y se mide la distancia en metros en que empiezan a identificarlas. El objetivo es contrastar si dicha distancia depende del color.
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1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 =...= µJ (todas las µj son iguales) H1: µj ≠ µ j' (alguna µj es distinta) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad Aditividad. (los tratamientos no interactúan con los sujetos) 3. Estadístico de contraste
Estructura de los datos: J : Número de niveles del factor n : Nº de sujetos N : nº total de observaciones (N = J x n)
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Niveles
del factor (VI) Sujetos
Totales
T+j A1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T+1 A2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T+2 . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .. . .
. . . Aj Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj T+j . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .. . .
. . . AJ Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ T+J
Totales Ti+ T1+ T2+ . . . Ti+ . . . Tn+ T SC Total = SC Intergrupos +
SC Intersujetos + SC Error
SCT = SCI + SCB + SCE
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NTYSCT
J
j
n
iij
2
1 1
2∑∑= =
−=
∑=
+ −=J
j
j
NT
nT
SCI1
22
NT
JTSCB
n
i
i2
1
2
−= ∑=
+
NT
JT
nT
YSCEJ
j
n
i
n
i
iJ
j
jij
2
1 1 1
2
1
22∑∑ ∑∑
= = =
+
=
+ +−−=
FV SC gl MC F
Intergrupos SCI J-1 MCI MCI/MCEIntersujetos SCB n-1
Error SCE (J-1)(n-1) MCE Total SCT N-1
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Distribución: F ~ F J-1, (J-1) (n-1) 4. Zona crítica: F ~ 1-α F J-1, (J-1) (n-1) 5. Decisión: Rechazar H0 si F cae en la zona crítica
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Ejemplo. Se toma un grupo de 7 personas y se les muestran señales de distintos colores. Se mide la distancia en que empiezan a reconocer cada señal. (α=0,01) Niveles del Sujetos factor (VI) 1 2 3 4 5 6 7 T+j
Rojo 25 21 32 24 19 22 26 169Verde 14 16 18 15 14 17 15 109Azul 21 19 16 18 22 17 20 133Ti+ 60 56 66 57 55 56 61 411
J=3 N = 21 n = 7 ΣΣY2 = 8453
214118453
22
1 1
2 −=−= ∑∑= = N
TYSCTJ
j
n
iij
= 8453 - 8043,86 = 409,14
86,80437
133109169 22222
−++
=−= ∑ +
j
j
NT
nT
SCI = 260,57
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NT
JTSCB
i
i22
−= ∑ +
SCE = SCT - SCI - SCB = 118,1
FV SC gl MC F Intergrupos 260,57 2 130,38 13,25 Intersujetos 30,47 6 F ~ F 2, 12
Error 118,1 12 9,84 Total 409,14 20
Zona crítica: F ~ 0,99 F 2, 12 = 6,93 Decisión: Rechazar H0
47,30
86,80433
61565557665660 2222222
=
−++++++
=
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Medidas de tamaño del efecto Estimación de la proporción de varianza explicada
eta2: SCTSCI2 =η
epsilon2: SCT1)MCE-(-SCI2 J
=ε
omega2: MCESCT1)MCE-(-SCI2
+=
Jϖ Ejemplo: Métodos de enseñanza
41,067,5805,24
SCTSCI2 ===η
33,067,58
308,2)2(05,24SCT
1)MCE-(-SCI2 =−
==Jε
32,0308,267,58
308,2)2(05,24MCESCT1)MCE-(-SCI2 =
+−
=+
=Jϖ
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Formulario del tema 5 A-EF-CA
∑=
−=J
j j
j
NT
n
TSCI
1
22
∑∑∑== =
−=J
j j
jJ
j
n
iij n
TYSCE
j
1
2
1 1
2
NTYSCT
J
j
n
iij
j 2
1 1
2∑∑= =
−=
gli = J – 1 gle = N – J glt = N - 1
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1−=JSCIMCI
JNSCEMCE
−=
MCEMCIF=
F ~ F J-1, N-J
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A-EF-MR
NTYSCT
J
j
n
iij
2
1 1
2∑∑= =
−=
∑=
+ −=J
j
j
NT
nT
SCI1
22
NT
JTSCB
n
i
i2
1
2
−= ∑=
+
NT
JT
nT
YSCEJ
j
n
i
n
i
iJ
j
jij
2
1 1 1
2
1
22∑∑ ∑∑
= = =
+
=
+ +−−=
gli = J – 1 glb = n – 1
gle = (J-1)(n-1) glt = N-1
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Medidas de tamaño del efecto:
SCTSCI2 =η
SCT1)MCE-(-SCI2 J
=ε
MCESCT1)MCE-(-SCI2
+=
Jϖ