análisis dimensional
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Se considera una magnitud física a todo aquello susceptible a ser
medido. Es todo lo que se puede medir.
Las magnitudes físicas se clasifican en:
a. Por su origen:
Fundamentales:
Son aquellas magnitudes consideradas bases para las magnitudes derivadas. Pueden ser:
ABSOLUTAS:
Son aquellas que están en función de la LONGITUD, MASA, TIEMPO.
MAGNITUD SIMBOLO
LONGITUD L
MASA M
TIEMPO T
TECNICAS:
Son aquellas que están en función de la LONGITUD, FUERZA Y TIEMPO.
MAGNITUD SIMBOLO
LONGITUD L
FUERZA F
TIEMPO T
NOTA 1
Como vemos en las magnitudes
fundamentales técnicas no se encuentra definida la masa, sino la fuerza. Por lo tanto
la masa se pone en función de la fuerza.
EJEMPLOS:
La densidad en el sistema absoluto:
[𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅] =[𝑴𝒂𝒔𝒂]
[𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏]=
𝑴
𝑳𝟑= 𝑴𝑳−𝟑
La densidad en el sistema técnico:
[𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅] =[𝑴𝒂𝒔𝒂]
[𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏]=
𝑴
𝑳𝟑=
𝑭𝑳−𝟏𝑻𝟐
𝑳𝟑= 𝑭𝑳−𝟒𝑻𝟐
¡Amigos! Un ejemplo de magnitud es cuando medimos el largo, el ancho y el alto de una mesa.
ANÁLISIS DIMENSIONAL
MAGNITUDES FÍSICAS
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑥 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 [𝐹] = 𝑀𝐿𝑇−2 𝑀 = 𝐹𝐿−1𝑇2
Derivadas :
Son aquellas que se derivan de las magnitudes fundamentales.
b. Por su naturaleza:
Escalares:
Son aquellas magnitudes que poseen un valor numérico y
una unidad de medida. Por ejemplo tiempo, masa, rapidez y espacio recorrido.
4 KG
Valor
numerico
Unidad de
medida Vectoriales:
Son aquellas magnitudes que poseen un valor numérico, una unidad de medida y una dirección. Ejemplo fuerza,
velocidad, aceleración y desplazamiento.
4 N , 37º
Valor
numerico
Unidad de
medidaDireccion
NOTA 2 ¡AMIGOS!
A veces solemos confundir el espacio recorrido con el desplazamiento.
¡No te preocupes! Para esto hacemos el siguiente ejemplo.
10 m 10 m
4 m
A C
B
Espacio recorrido = AB+BC = 20m
Desplazamiento = une el punto inicial con el punto final = 4m También podemos concluir que en el espacio recorrido importa la trayectoria mientras que en el desplazamiento no.
MUCHO OJO….
Si el niño va de regreso el desplazamiento es cero. Miremos la explicación.
4mIda
Vuelta 4m= 4m - 4m=0
Ejemplo de magnitudes
derivadas son: la
presión, la velocidad y
la fuerza, etc.
Un vector es un ente matemático que sirve para expresar o representar magnitudes vectoriales. Se representa por medio de
una flecha. Tiene los siguientes elementos.
Punto de
origen
Direccion
Sentido
Mod
ulo
OPERACIÓNES CON VECTORES
a) SUMA DE VECTORES Dos o más vectores se pueden sumar siempre y cuando tengan la
misma unidad de medida. Al resultado se le conoce como vector resultante. Ejemplo:
1V4V
3V2V
Para sumar vectores, vamos a escoger cualquier vector y partimos de él .Juntamos sentido con origen uno después de otro.
1V
4V
3V
2V
R
Donde:
R: Resultante
NOTA 3
Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye
un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector su paralela. Geométricamente el modulo del vector resultante se obtiene
trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores.
O
DIAGONAL
A
B
ANÁLISIS VECTORIAL
VECTOR
1 2 3 4R V V V V
El modulo del vector resultante se le conoce como LEY DE COSENOS se determina así:
𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 𝜃
Cuando un vector se descompone en dos vectores formando
un ángulo de 90º, entonces se denomina descomposición rectangular.
0
y
x
A
A.Sen
A.Cos
LA LEY DE SENOS:
O
RESULTANTE
A
B
𝜶 + 𝜷 = 𝜽
𝐴
sen 𝛽=
𝐵
sen 𝛼=
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
sen 𝜃
b) DIFERENCIA DE VECTORES.
La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo los extremos de los vectores.
O
A
B
D
De la suma de vectores:
B+D=A D=A-B
El modulo del vector diferencia de determina aplicando la LEY DE COSENOS.
𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝜃
C) PRODUCTO DE DOS VECTORES PRODUCTO ESCALAR
Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector resultante es otro vector de igual dirección.
El vector se puede
descomponer en la
cantidad que uno desee
como máximo y en dos
vectores como minino.
¡IMPORTANTE!
El modulo del vector resultante es igual al
módulo del vector diferencia
Se representa: A B número
Ejemplo:
3,8,4
2,5,7
A
B
3,8,4 2,5,7
3 2 8 5 4 7
74
A B
A B x x x
A B
Por definición:
2 2 2 2 2 2
os
74 3 8 4 2 5 7 os
os 0.88
28.35
A B A B C
C
C
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección
es perpendicular a los dos vectores.
Se representa: A X B Vector
Ejemplo:
3,8,4 2,5,7A B
3 8 4
2 5 7
i j k
AX B
8 4 3 4 3 8
5 7 2 7 2 5AX B i j k
8 7 5 4 3 7 2 4 3 5 2 8AX B x x i x x j x x k
36 13AX B i j k
36, 13, 1AX B
38.29AX B
Por definición:
2 2 2 2 2 238.29 3 8 4 2 5 7
0.45
27.38
A B A B sen
Sen
Sen
VECTOR UNITARIO Es aquel vector que presenta como característica que su modulo
es igual a 1.
1u
Se define como:
Vectoru
Modulo
O
A
Au
NOTA 4
Si dos vectores son paralelos / /A B se cumple:
A B
A Bu u
El vector unitario de A es igual al vector unitario de B
EN EL PLANO CARTESIANO
y
x
i
-j
-i
j
Ejemplo:
Si el vector A tiene como módulo 20 cm y de dirección 37º .Hallar el vector A.
X YA A A
16 12A i j
16,12A …. El vector A
Hallar su módulo.
2 216 12A
20A
Hallar el vector unitario de A.
A
Au
A
16,12
20Au
16 12,
20 20Au
4 3,
5 5Au
A
Au
A
LA ÚNICA INFORMACIÓN QUE
DA UN VECTOR UNITARIO ES LA
DIRECCIÓN DEL VECTOR.
COSENOS DIRECTORES
Son los cosenos de los ángulos que forma el vector a con el eje x y el eje y.
0
y
x
A
XY
,A x yu Cos Cos
Ejemplo:
0
y
x
A
37
53
37 , 53Au Cos Cos
4 3,
5 5Au
Recordemos:
1u
2 2 1x yCos Cos
2 2 1x yCos Cos
VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO
z
y
j
-k
-j
k -i
-i
x
COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO
Son los cosenos de los ángulos que forma el vector a con el eje x , el eje y pero también con el eje z.
0
z
y
y
x
x
z
A
, ,A x y zu Cos Cos Cos
2 2 2 1x y zCos Cos Cos
CÁLCULO DE UN VECTOR ENTRE DOS PUNTOS
0
y
x
AB
8,12A
3,5B
AB A B
8,12 3,5AB
8 3,12 5AB
5,7AB
5 ,7AB i j