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ANALISIS DIMENSIONAL

CONCEPTO

El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo puramente matemático.

El Análisis Dimensional es el estudio matemático de

las relaciones que guardan entre si todas las

magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada

puede ser expresada como una combinación

algebraica de las magnitudes fundamentales.

FINES

• Relacionar una magnitud física cualquiera con otras elegidas como fundamentales.

• Establecer el grado de verdad de una fórmula física.

• Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

FÓRMULA DIMENSIONAL

Es una igualdad que nos indica la dependencia fija de

una magnitud cualquiera respecto de las que son

fundamentales. En el Sistema Internacional las unidades elegidas como fundamentales son las siguientes:

MAGNITUD FUNDAMENTAL UNIDAD BÁSICA

Nombre Símbolo Nombre Símbolo

1. Longitud L metro m

2. Masa M Kilogramo kg

3. Tiempo T Segundo s

4. Intensidad de Corriente Eléctrica

I ampere A

5. Temperatura Termodinámica

Ɵ Kelvin K

6. Intensidad Luminosa J candela cd

7. Cantidad de Sustancia N mol mol

El operador empleado para trabajar una ecuación o fórmula dimensional serán los corchetes [ ], los mismos que encierran a una magnitud, así [trabajo] se lee “fórmula dimensional del trabajo”. En general en el sistema internacional la fórmula dimensional de una magnitud derivada “x” se expresará por la matriz siguiente:

[x] = La Mb Tc Id θe Jf Ng

a, b, c, d, e, f, g = Son números racionales

Para determinar la fórmula dimensional de la velocidad se empleará la siguiente fórmula física:

��������� ��������

��� ��

Pero como la distancia es una magnitud fundamental que es longitud L y el tiempo es T, entonces:

��� ���

���

� �

�

� ����

Que es la fórmula dimensional de la velocidad.

TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA

Esta tabla es sólo un extracto.

MAGNITUDES DERIVADAS

Fórmula Dimensional

Area, Superficie L2 Volumen L3 Velocidad LT-1 Aceleración LT-2 Fuerza LMT-2 Momento, Torque L2MT-2 Trabajo, Energía y Calor L2MT-2 Potencia L2MT-3 Presión L-1MT-2 Velocidad angular T-1

Aceleración angular T-2 Período T Frecuencia T-1 Impulso LMT-1 Voltaje, Potencial L2MT3I-1 Resistencia L2MT3I-2 Carga eléctrica IT Campo eléctrico LMT3I-1 Capacidad eléctrica L-2M-1T4I2 Densidad L-3M Peso Específico L-2MT-2 Cantidad de movimiento LMT-1 Coeficiente de dilatación Θ-1

Calor específico L2T-2 Θ-1 Carga magnética LI Inducción magnética MT-2I-1 Flujo Magnético L2MT-2I-1 Iluminación L-2J

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ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras o no lo son o tienen exponentes (dimensiones) desconocidas. Ejemplos: a) [A] LT-1 + [B] LMT = LMT-2

Donde las incognitas son magnitudes A y B

b) Lx T-y = L3 T-2 Donde las incógnitas son los exponentes x y también llamadas dimensiones.

REGLAS 1. Al operar con ecuaciones dimensionales, se

pueden emplear todas las reglas algebraicas excepto las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma especie da como resultado otra magnitud de la misma especie. a) [AB] = [A] [B]

b)

=

D

C

D

C

c) [An] = [A]n d) L + L + L = L e) T – T – T = T

2. La fórmula dimensional de todo ángulo, función trigonométrica, logaritmo y en general toda cantidad adimensional o número es la unidad. [30 rad] = 1 [Sen 30°] = 1 [45] = 1 [Log 2] = 1

3. Las expresiones que son exponentes no tienen unidades.

4. Toda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.

M

LT = LM-1T

3T

L = LT-3

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL o de FOURIER

En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional. La ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.

Si: ��� � ��� ��� es dimensionalmente correcto entonces se debe cumplir que:

��� ��� ���

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Aplicando las reglas del análisis dimensional,

responde lo siguiente:

• L + L + … = L

• T – T = ….

• [π] = …

• [Sen (ab)] = …

• [log x] = …..

• (…) – (LT-1) = LT-1

• (LMT2) + (…) = (…) (LMT2)

• L1T-2 = LxTy entonces x = …; y = …

• T-1 = LxTy entonces x = …; y = …

• LT-2 = L2xMx+yTz entonces x = …; y = … 2. Hallar la fórmula dimensional de P en la siguiente

ecuación: P = (Densidad)(Velocidad)²

a) LMT-1 b) LM-1T-2 c) LMT2 d) L-1MT-2 e) MT-2

3. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea se tiene que:

x = d Sen (abx) donde [x] = L, [a] = T ¿cuál es la fórmula dimensional de “b”? a) T-1 b) L-1 c) LT d) L-1T-1 e) L2

4. Encontrar la fórmula dimensional de A para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea.

G = ( )

AT

CosbLL

.4

2

22 θπ −

G = Aceleración de la gravedad b = distancia T = Periodo a) L b) L2 c) L3 d) L-3M e) L4

3

5. Hallar la fórmula dimensional de “P” si la ecuación es homogénea.

P = ...3232

221

21 +++ BABABA

Donde: A1, A2, A3 … = Velocidad B1, B2, B3 … = Tiempo a) L2T-1 b) LT-1 c) L2 d) LT2 e) L3

6. La ecuación es dimensionalmente homogénea

a = )(.2

θθ CtgQr

bTgp

S

d +

a = Aceleración S = Área r y t = Distancia Q = Calor Hallar la fórmula dimensional de “b” a) L5M3T-1 b) L6MT-4 c) L7MT-4 d) L4MT-2 e) ML3T-2

7. Determinar la fórmula dimensional de α para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea

(αP)2 + (βF)3 = π

P = Presión F = Fuerza π = 3,14159 a) LM-1T2 b) L-1M-1T2 c) LMT2 d) L-1MT-2 e) L0

8. Hallar las fórmulas dimensionales de α y β si la expresión es dimensionalmente correcta (homogénea)

αa + βb = ab - δ a = Distancia; b = Masa

a) [α] = M; [β] = LT-1

b) [α] = L; [β] = M

c) [α] = L-1; [β] = M

d) [α] = M; [β] = L

e) [α] = M-1; [β] = L

9. Hallar la fórmula dimensional de “x” si la expresión es homogénea

x = º301

25

Sen

A

V

RM +−

donde: A = masa a) L b) M c) MT-1 d) L2M e) M2

10. Hallar la fórmula dimensional de C en la siguiente

expresión:

−= 12

2

CTE

mv

o ePP

v=velocidad m=masa E=energía T=temperatura P=potencia. a) L b) Tθ c) θ2 d) θ-1 e) Mθ

11. La fórmula física del periodo del péndulo está dada

por: T = 2πLxgy. Hallar las dimensiones “x” e “y” T = Tiempo L = Longitud del péndulo g = Aceleración de gravedad

π = 3,1416 a) 1/4, -1/4 b) 1/2, -1/2 c) 1/5, -1/5 d) -1/6, 1/6 e) 1, 2

12. La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, hallar los valores de “x” e “y”

F = Pωx + mVy/r Donde: r = Radio; F = Fuerza m = masa; P = Cantidad de movimiento V = Velocidad;

ω = Velocidad angular a) 1; -2 b) 1; 2 c) 2; -1 d) 4; 3 e) 0; 1

13. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: P = dxVytz Donde: P : Potencia (unidad = m²kgs-3) d : Densidad (masa/volumen) V : Velocidad T: Tiempo Hallar el valor de 3(y-3x)/(y-z) a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

14. La ecuación dimensionalmente homogénea siguiente:

a = bX cY dZ a = potencia útil b = densidad absoluta c = radio de curva d = velocidad lineal Hallar x + y + z a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. La velocidad de una onda transversal en una cuerda elástica se establece con: v = FX uY donde: F = tensión en la cuerda u = densidad lineal de cuerda (Kg/m) Hallar su fórmula física a) v = F u b) v = F / u

c) v = √ (F/u) d) v = F / u2 e) v = F / u3

4

TAREA DOMICILIARIA

1. Determinar la fórmula dimensional de “G”

G = 2

2

)()tan)((

Masa

ciaDisFuerza

a) L-1MT-3 b) LMT-3 c) L3M-1T-2 d) L-2MT-1 e) L

2. La siguiente ecuación nos define la velocidad V en función del tiempo (T) de un cuerpo que se desplaza sobre una superficie horizontal

V = AW Cos(WT) Hallar: [W] a) LMT-1 b) LT-1 c) T-1 d) T-2 e) T-3

3. La fórmula de la energía está dada por:

E = ( )z

wSen

Si w = Ángulo de incidencia Hallar [z] a) M-1L-2T2 b) ML2 c) M-1L2T d) MLT-1 e) LT-1

4. La ecuación de estado de un gas ideal es

pV= nRT p = presión, V=volumen n=cantidad de sustancia T= temperatura termodinámica Determinar la fórmula dimensional de la constante Universal de los gases R a) 1 b) L2M2T-2

c) L2M2T-2θ-1

d) L2MT-2θ-1N-1

e) L2M3T-2θ-1N-2

5. Indique la fórmula que no satisface el principio de

homogeneidad dimensional, si se sabe que: d = Desplazamiento; V0 = Velocidad inicial V = velocidad final, a = Aceleración, g = Aceleración de gravedad, t = tiempo, h = altura.

a) (V)2 = (V0)2 + 2ad b) d =

g

SenV θ2)( 20

c) d = (V0).t+2

1at2 d) h =

g

SenV

2

2)( 0 θ

e) t = g

SenV θ02

6. Dadas las siguientes expresiones encontrar [A]:

VC

BA =+

F

C

BA =+ 2)(

V: Velocidad F: Fuerza a) MLT-1 b) MT c) MT-3 d) MT-1 e) L2

7. El volumen del fluido que pasa en unidad de tiempo por un tubo capilar, está colocado por:

V = PI

R

n 8.

1 4π

R = Radio I = Longitud P = Presión Hallar la fórmula dimensional de la viscosidad n: a) L-1MT-1 b) L2MT-2 c) LMT-2 d) L-1MT-2 e) LT-3

8. Cuál será la fórmula dimensional de x para que la

expresión sea dimensionalmente correcta:

x = )( 22 nbm

W

+

W : Trabajo m : Masa h : Altura a) L2 b) ML2 c) MT2 d) T-2 e) T-3

9. La velocidad de una partícula en el interior de un fluido está dada por la fórmula:

V = RnmI

V

c

t

b

t

ba

)2(0

−+

+++

V0; V = Velocidad t = Tiempo R = Radio I, m, n = Números Hallar las dimensiones de: E = (bc)/a² a) LT-2 b) L1/2T-1 c) L2T3 d) T-3 e) L

10. Hallar la fórmula dimensional de “x” e “y”

2º37.3 yALSenDxV =+

V = Velocidad A = Área D = Densidad L = Longitud a) ML, L2T b) ML3T, LT c) ML2, LT-1 d) ML-4T, ML-7 e) L2, T-1

11. En la siguiente ecuación homogénea:

HF = pωx + m0r

V y

Hallar x . y F: Fuerza m0 = Masa V=Velocidad r = Radio de giro p: Cantidad de movimiento (masa.velocidad)

ω : Velocidad angular (ángulo/tiempo) a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

12. La ecuación que se muestra nos da la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre:

h = 2

1 p gy tz

h = Altura t = Tiempo p = Peso g = 9,8 m/s²

Determinar el valor de: E = z yx +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 2 e) 22