Anlisis EstructuralResistencia y Deflexin de vigas de acero

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ContenidosArtculosDefinicinAnlisis estructural Esfuerzo interno Elasticidad (mecnica de slidos) Resistencia de materiales Tensor tensin Flexin mecnica Tensin mecnica Viga Esfuerzo cortante Coeficiente de Poisson Tensor deformacin Pilar Ley de elasticidad de Hooke Mdulo de Young Rigidez Constante elstica Teora de placas y lminas Mecnica de slidos deformables Fuerza Isotropa 1 1 2 5 12 17 18 22 24 29 29 31 34 36 38 41 44 47 51 53 61

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 62 63

Licencias de artculosLicencia 64

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DefinicinAnlisis estructuralAnlisis estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos que actan sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria.

Mtodos de anlisis estructuralDeterminacin de esfuerzosEl tipo de mtodo empleado difiere segn la complejidad y precisin requerida por los clculos: As para determinar esfuerzos sobre marcos o prticos se usa frecuentemente el mtodo matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexin Cuando se trata de analizar elementos ms pequeos o con forma irregular donde pueden producirse concentraciones de tensiones se usan mtodos numricos ms complejos como el Mtodo de los elementos finitos.

Modelo materialDentro del anlisis estructural es importante modelizar el comporamiento de los materiales empleados mediante una ecuacin constitutiva adecuada. Los tipos modelos de materiales ms frecuentes son: Modelo elstico lineal e istropo. Modelo elstico lineal otrotrpico. Modelos de plasticidad y viscoplasticidad. Modelos de dao.

ReferenciaEnlaces externos Resea histrica del anlisis estructural (http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4080020/ Lecciones/Capitulo 1/NACIMIENTO DEL ANALISIS ESTRUCTURAL .htm)

Esfuerzo interno

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Esfuerzo internoEn ingeniera estructural, los esfuerzos internos son magnitudes fsicas con unidades de fuerza sobre rea utilizadas en el clculo de piezas prismticas como vigas o pilares y tambin en el clculo de placas y lminas.

DefinicinLos esfuerzos internos sobre una seccin transversal plana de un elemento estructural se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estticamente equivalentes a la distribucin de tensiones internas sobre el rea de esa seccin. As, por ejemplo, los esfuerzos sobre una seccin transversal plana de una viga es Representacin grfica de las tensiones o componentes del tensor tensin en un punto de un cuerpo. igual a la integral de las tensiones t sobre esa rea plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la seccin de la viga (o espesor de la placa o lmina) y los tangentes a la seccin de la viga (o superficie de la placa o lmina): Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales , es decir, perpendiculares, al rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes , es decir, tangenciales, al rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

Esfuerzos en vigas y pilaresPara un prisma mecnico o elemento unidimensional los esfuerzos se designan como: Esfuerzo normal (Nx) Esfuerzo cortante total (V, T o Q) Esfuerzo cortante segn Y (Vy) Esfuerzo cortante segn Z (Vz) Dado un sistema de ejes ortogonales, en que el eje X coincide con el eje baricntrico de un elemento unidimensional con seccin transversal uniforme los anteriores esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre cada seccin transversal: En un abuso de lenguaje, es comn tambin denominar esfuerzos a: Momento torsor (Mx) Momento flector Momento flector segn Z (Mz) Momento flector segn Y (My) Bimomento (B)

Esfuerzo interno Donde es el alabeo seccional de la seccin transversal.

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Cada uno de estos esfuerzos van asociados a cierto tipo de tensin: tensin normal, el esfuerzo normal (traccin o compresin) implica la existencia de tensiones normales , pero estas tensiones normales tambin pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos tambin provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional. tensin tangencial, por otro lado los esfuerzos cortantes y el momento torsor implican la existencia de tensiones tangenciales .

Clculo prctico de esfuerzos en prismasConsideremos la viga o prisma mecnico que se observa en la primera figura y supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoesttica. Supondremos tambin que sobre este prisma actan fuerzas externas activas en el plano de su eje baricntrico (o lnea recta que uno los baricentros de todas las secciones transversales rectas del prisma). El primer paso es dividir el rgido en dos bloques ms pequeos. Quedan determinados los bloques 1 y 2 de la figura. Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas actuando (P1 y P1). Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado isoestticamente, as que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas tambin y corresponden a la accin del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1 pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la seccin recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el momento resultante de la distribucin de tensiones sobre el rea recta A. Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el plano del eje baricntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un momento perpendicular a mismo plano. Llamaremos a la fuerza R2-1 del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos M2-1. La fuerza R2-1 puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal en el plano que se halla contenida. Llamaremos R2-1,y a la fuerza descompuesta en sentido vertical y R2-1,x a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos que el sistema de fuerzas en equilibrio que est formado por: Las fuerzas activas externas sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas P1 y P2. Las fuerzas reactivas R2-1,x, R2-1,y y el momento M2-1. A las fuerzas reactivas R2-1,x, R2-1,y y al momento M2-1 se los conocen como esfuerzos internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal (N = R2-1,x), el esfuerzo de corte (Q = R2-1,y) y el Momento flector (Mf = M2-1).

Esfuerzo interno

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Clculo de tensiones en prismasEn piezas prismticas sometidas a flexin compuesta (no esviada y sin torsin), el clculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una pieza simtrica en la que el centro de gravedad est alineado con el centro de cortante y con un canto total suficientemente pequeo comparado con la longitud de la pieza prismtica, de tal manera que se pueda aplicar la teora de Navier-Bernouilli, el tensor tensin de una viga viene dado en funcin de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones normal () y tangencial () pueden determinarse a partir de los esfuerzos internos . Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecnico, las tensiones asociadas a la extensin, flexin y cortante resultan ser:

Donde

es el coeficiente que relaciona la Tensin cortante mxima y la tensin cortante promedio de la seccin.

Un criterio frecuentemente empleado para las vigas metlicas es verificar que en todas las secciones se verifique la siguiente condicin:

Siendo la tensin ltima o tensin admisible normalmente definida en trminos del lmite elstico del material. Para piezas prismticas susceptibles de sufrir pandeo el clculo anterior no conduce a un diseo seguro, ya que en ese caso se subestima la tensin normal susceptible de desarrollarse en la pieza.

Esfuerzos en placas y lminasEn un elemento bidimensional, parametrizado por dos coordenadas y , el nmero de esfuerzos que deben considerarse es mayor que en elementos unidimensionales: Esfuerzos de membrana, segn la direccin de la lnea coordenada , coordenada , Esfuerzos cortantes: Esfuerzos de flexin, . , segn la direccin de la lnea

Clculo de esfuerzos en placasEn una lmina sometida fundamentalmente a flexin en la que se desprecia la deformacin por cortante y los esfuerzos de membrana se llama lmina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores segn dos direcciones mtualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor . Estos esfuerzos estn directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:

Donde: , es el coeficiente de Poisson del material de la placa. , es la rigidez en flexin de la placa, siendo: el mdulo de Young del material de la placa.

Esfuerzo interno es el espesor de la placa.

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Clculo de tensiones en placasLas tensiones sobre una placa son directamente calculables a partir de los esfuerzos anteriores:

Vase tambin mecnica de slidos deformables Elasticidad (mecnica de slidos) flexin mecnica torsin mecnica

Enlaces externos Concepto de esfuerzo, en virtual.unal.edu.co [1] (10-03-09)

Referencias[1] http:/ / www. virtual. unal. edu. co/ cursos/ sedes/ palmira/ 5000155/ lecciones/ lec1/ 1_2. htm

Elasticidad (mecnica de slidos)En fsica e ingeniera, el trmino elasticidad designa la propiedad mecnica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la accin de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Fundamentacin tericaLa elasticidad es estudiada por la teora de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecnica de slidos deformables. La teora de la Una varilla elstica vibrando, es un ejemplo de sistema donde la energa elasticidad (TE) como la mecnica de slidos potencial elstica se transforma en energa cintica y viceversa. (MS) deformables describe cmo un slido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera slo trata slidos en que las deformaciones son termodinmicamente reversibles. La propiedad elstica de los materiales est relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un slido de sufrir transformaciones termodinmicas reversibles. Cuando sobre un slido deformable actan fuerzas exteriores y ste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energa potencial elstica y por tanto se producir un aumento de la energa interna. El slido se comportar elsticamente si este

Elasticidad (mecnica de slidos) incremento de energa puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el slido es elstico.

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Teora de la Elasticidad LinealUn caso particular de slido elstico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones estn relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuacin constitutiva:

Cuando eso sucede decimos que tenemos un slido elstico lineal. La teora de la elasticidad lineal es el estudio de slidos elsticos lineales sometidos a pequeas deformaciones de tal manera que adems los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinacin lineal de las componentes del tensor deformacin del slido. En general un slido elstico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplir esta condicin. Por tanto la teora de la elasticidad lineal slo es aplicable a: Slidos elsticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estn relacionadas linealmente (linealidad material). Deformaciones pequeas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos estn relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformacin lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformacin de un slido (linealidad geomtrica). Debido a los pequeos desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.

Tensin

Componentes del tensor tensin en un punto P de un slido deformable.

La tensin en un punto se define como el lmite de la fuerza aplicada sobre una pequea regin sobre un plano que contenga al punto dividida del rea de la regin, es decir, la tensin es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional de slido y de la orientacin del plano escogido para calcular el lmite. Puede probarse que la normal al plano escogido n y la tensin t en un punto estn relacionadas por: Donde T es el llamado tensor tensin, tambin llamado tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simtrica 3x3:

Elasticidad (mecnica de slidos)

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Donde la primera matriz es la forma comn de escribir el tensor tensin en fsica y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniera. Dada una regin en forma de ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un slido elstico tensionado las componentes xx, yy y zz dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ngulos del ortoedro, mientras que las componentes xy, yz y zx estn relacionadas con la distorsin angular que convertira el ortoedro en un paraleleppedo.

DeformacinEn teora lineal de la elasticidad dada la pequeez de las deformaciones es una condicin necesaria para poder asegurar que existe una relacin lineal entre los desplazamientos y la deformacin. Bajo esas condiciones la deformacin puede representarse adecuadamente mediante el tensor deformacin infinitesimal que viene dada por:

Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos (dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios desplazamientos. Las componentes estn linealmente relacionadas con los desplazmientos mediante esta relacin:

Ecuaciones constitutivas de Lam-HookeLas ecuaciones de Lam-Hooke son las ecuaciones constitutivas de un slido elstico lineal, homogneo e istropo, tienen la forma:

En el caso de un problema unidimensional, = 11, = 11, C11 = E y la ecuacin anterior se reduce a: Donde E es el mdulo de elasticidad longitudinal o mdulo de Young y G el mdulo de elasticidad transversal. Para caracterizar el comportamiento de un slido elstico lineal e istropo se requieren adems del mdulo de Young otra constante elstica, llamada coeficiente de Poisson () y el coeficiente de temperatura (). Por otro lado, las ecuaciones de Lam para un slido elstico lineal e istropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma: Ciertos materiales muestran un comportamiento slo aproximadamente elstico, mostrando por ejemplo variacin de la deformacin con el tiempo o fluencia lenta. Estas deformaciones pueden ser permanentes o tras descargar el cuerpo pueden desaparecer (parcial o completamente) con el tiempo (viscoplasticidad, viscoelasticidad). Adems algunos materiales pueden presentar plasticidad es decir pueden llegar a exhibir pqueas deformaciones permanentes, por lo que las ecuaciones anteriores en muchos casos tampoco constituyen una buena aproximacin al comportamiento de estos materiales.

Elasticidad (mecnica de slidos)

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Ecuaciones de equilibrioEquilibrio interno Cuando las deformaciones no varan con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensin representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen b = (bx,by,bz) en todo punto del slido, lo cual implica que el campo de tensiones satisface estas condiciones de equilibrio:

Equilibrio en el contorno Adems de las ltimas ecuaciones deben cumplirse las condiciones de contorno, sobre la superficie del slido, que relacionan el vector normal a la misma n = (nx,ny,nz) (dirigido hacia el exterior) con las fuerzas por unidad de superficie que actan en el mismo punto de la superficie f = (fx,fy,fz):

Problema elsticoUn problema elstico lineal queda definido por la geometra del slido, las propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible encontrar un campo de tensiones internas sobre el slido (que permitir identificar los puntos que soportan ms tensin) y un campo de desplazamientos (que permitir encontrar si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso). Para platear el problema elstico son necesarias las nociones que han sido descritas en las secciones anteriores, que describen las tensiones, las deformaciones y los desplazamientos de un cuerpo. Todas estas magnitudes vienen descritas por 15 funciones matemticas: Las seis componentes del tensor de tensiones Las tres componentes del vector de desplazamientos: Las seis componentes del tensor de deformaciones: y . y . .

Para comprobar si se cumplen estas relaciones, formadas por 15 funciones, el siguiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan para describir completamente el estado de un cuerpo. Una condicin necesaria para ello es que el nmero de ecuaciones disponibles coincida con el nmero de incgnitas. Las ecuaciones diponibles son: Las tres ecuaciones de equilibrio de Cauchy. Las seis ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant, que aseguran que se los desplazamientos y deformaciones estn adecaudamente relacionados. Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elstico lineal istropo y homogneo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lam-Hooke. Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el nmero de incgnitas. Un mtodo comn es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A su vez el resultado de esta sustitucin se puede introducir en las ecuaciones de

Elasticidad (mecnica de slidos) equilibrio de Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas paraciales y tres desplazamientos como incgnita. De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incognitas. La formulacin ms simple para resolver el problema elstico es la llamada formulacin de Navier, esta formulacin reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier: Que con el operador Nabla y el operador de Laplace se dejan escribir como:

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Mediante consideraciones energticas se puede demostrar que estas ecuaciones presentan una nica solucin.

Elasticidad y Diseo mecnicoEn ingeniera mecnica es frecuente plantear problemas elsticos para decidir la adecuacin de un diseo. En ciertas situaciones de inters prctico no es necesario resolver el problema elstico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los mtodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometra involucrada en el diseo mecnico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolucin exacta del problema elstico inabordable desde el punto de vista prctico. En esos casos se usan habitualmente mtodos numricos como el Mtodo de los elementos finitos para resolver el problema elstico de manera aproximada. Un buen diseo normalmente incorpora unos requisitos de: resistencia adecuada, rigidez adecuada, estabilidad global y elstica.

Teora de la Elasticidad no LinealEn principio, el abandono del supuesto de pequeas deformaciones obliga a usar un tensor deformacin no lineal y no infinitesimal, como en la teora lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformacin lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Adems matemticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulacin de ese supuesto incluyen fenmenos de no linealidad geomtrica (pandeo, abolladura, snap-through,...). Si adems de eso el slido bajo estudio no es un slido elstico lineal nos vemos obligados a substituir la ecuaciones de Lam-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no linealidad material. Adems de las mencionadas existen otras no linealidades en una teora de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de no linealidad seran:[1] El tensor deformacin no se relaciona linealmente con el desplazamiento , concretamente es una aplicacin cuadrtica del gradiente de deformacin: . Para muchos materiales la ecuacin constitutiva es no lineal. Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el slido, escrito en trminos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son nolineales: y . Donde es el difeomorfismo que da la relacin entre los puntos antes y despus de la deformacin. En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones experesados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuracin

Elasticidad (mecnica de slidos) deformada aparece una presin normal a la superficie, eso comporta que Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la deformacin, o de la inyectividad en el caso de contactos que evian la autopenetracin del slido deformado tambin imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no lineales.

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DeformacinUna deformacin elstica finita implica un cambio de forma de un cuerpo, debido a la condicin de reversibilidad ese cambio de forma viene representado por un difeomorfismo. Formalmente si representa la forma del cuerpo antes de deformarse y la forma del cuerpo despus de deformarse, la deformacin viene dada por que no es otra un difeomordismo: El tensor deformacin puede definirse a partir del gradiente de deformacin cosa que la matriz jacobiana de la transformacin anterior:

Existen diversas representaciones alternativas segn se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar (X, Y, Z) o las coordenadas sobre el cuerpo deformado (x, y, z): El primero de los dos tensores deformacin recibe el nombre de tensor de deformacin de Green-Lagrange, mientras que el segundo de ellos es el tensor deformacin de Almansi. Adems de estos tensores en las ecuaciones constitutivas, por simplicidad de clculo, se usan los tensores de Cauchy-Green derecho e izquierdo:

Ecuaciones constitutivasExisten muchos modelos de materiales elsticos no lineales diferentes. Entre ellos destaca la familia de materiales hiperelsticos, en los que la ecuacin constitutiva puede derivarse de un potencial elstico W que representa la energa potencial elstica. Este potencial elstico comnmente es una funcin de los invariantes algebraicos del tensor deformacin de Cauchy-Green: En este tipo de materiales el tensor tensin de Cauchy viene dado en funcin del potencial elstico y el tensor espacial de Almansi mediante la expresin:[2]

Donde: Un material elstico lineal es un caso particular de lo anterior donde: (#)

Aproximacin hasta sengundo ordenSi se desarrolla (#) hasta primer orden se obtiene la ecuacin constitutiva de la elasticidad lineal para un slido istropo, que depende slo de dos constantes elsticas:

Donde en esa expresin al igual que en las siguientes se aplicar el convenio de sumacin de Einstein para subndices repetidos. Un material cuya ecuacin constitutiva tiene la forma lineal anterior se conoce como material de Saint Venant-Kirchhoff. Si se desarrolla la expresin (#) hasta segundo orden entonces aparecen cuatro constantes elsticas ms: Un material cuya ecuacin constitutiva viene dada por la ecuacin anterior se conoce como material de Murnaghan.[3] En componentes se tiene: O equivalentemente:

Elasticidad (mecnica de slidos) Donde: es la deformacin volumtrica.

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El modelo de Murnaghan anterior representa la generalizacin ms obvia de un material de Saint Venant-Kirchhoff, aunque en la prctica es de inters limitado la expresin anterior, ya que Novozhilov[4] mediante argumentos termodinmicos sugiere que la respuesta de un material slo debe contener potencias impares del tensor deformacin.

Vase tambin Mecnica de medios continuos Mecnica de slidos deformables problema elstico Stephen Timoshenko: Considerado el padre de la Ingeniera Mecnica moderna.

Referencia[1] [2] [3] [4] Philippe C. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. 1, pp. 250-251. J. R. Atkin & N. Fox, 1980, p. 65-67. Murnaghan, F. D. (1937): "Finite deformations of an elastic solid", en American Journal of Mathematics, 59, pp. 235-260. V. V. Novozhilov (1953): Foundations of Non-linear Theory of Elasticity, Graylock Press, Rochester

Bibliografa Ciarlet, Philippe G. (en ingls). Mathematical Elasticity: Volume I: Three Dimensional Elasticity. North-Holland. ISBN 0-444-81776-X. Atkin, Raymond John; Fox, Norman (en ingls). An introduction to the Theory of Elasticity. North-Holland. ISBN 0-486-44241-1.

Enlaces externos Apuntes de Elasticidad (http://santiagomarquezd.googlepages.com/Apunteselasticidad.zip)

Resistencia de materiales

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Resistencia de materialesLa resistencia de materiales clsica es una disciplina de la ingeniera mecnica y la ingeniera estructural que estudia los slidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algn modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relacin entre las fuerzas aplicadas, tambin llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Tpicamente las simplificaciones geomtricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicacin de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. Para el diseo mecnico de elementos con geometras complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar tcnicas basadas en la teora de la elasticidad o la mecnica de slidos deformables ms generales. Esos problemas planteados en trminos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con mtodos numricos como el anlisis por elementos finitos.

Enfoque de la resistencia de materialesLa teora de slidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para ciertas geometras aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosas, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y lminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el clculo de esfuerzos internos definidos sobre una lnea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Adems las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a travs de cierta hiptesis cinemtica. En resumen, para esas geometras todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones. El esquema terico de un anlisis de resistencia de materiales comprende: Hiptesis cinemtica establece como sern las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismticas las hiptesis ms comunes son la hiptesis de Bernouilli-Navier para la flexin y la hiptesis de Saint-Venant para la torsin. Ecuacin constitutiva que establece una relacin entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hiptesis cinemtica y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos particulares de las ecuaciones de Lam-Hooke. Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos. Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores. En las aplicaciones prcticas el anlisis es sencillo, se construye un esquema ideal de clculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican frmulas preestablecidas en base al tipo de solicitacin que presentan los elementos. Esas frmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Ms concretamente la resolucin prctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos: 1. Clculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en funcin de las fuerzas aplicadas. 2. Anlisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relacin entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitacin y de la hiptesis cinemtica asociada: flexin de Bernouilli, flexin de Timoshenko, flexin esviada, traccin, pandeo, torsin de Coulomb, teora de Collignon para tensiones cortantes, etc.

Resistencia de materiales 3. Anlisis de rigidez, se calculan los desplazamientos mximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hiptesis cinemtica o bien a la ecuacin de la curva elstica, las frmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

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Hiptesis cinemticaLa hiptesis cinemtica es una especificacin matemtica de los desplazamientos de un slido deformable que permite calcular las deformaciones en funcin de un conjunto de parmetros incgnita. El concepto se usa especialmente en el clculo de elementos lineales (e.g. vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hiptesis cinemtica se pueden obtener relaciones funcionales ms simples. As pues, gracias a la hiptesis cinemtica se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del slido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.

Hiptesis cinemtica en elementos linealesLa resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecnicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baricntrico. Eso significa que por ejemplo para calcular una viga en lugar de espeficar los desplazamientos de cualquier punto en funcin de tres coordenadas, podemos expresarlos como funcin de una sola coordenada sobre el eje baricntrico, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales relativamente simples. Existen diversos tipos de hiptesis cinemticas segn el tipo de solicitacin de la viga o elemento unidimensional: Hiptesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos a flexin cuando las deformaciones por cortante resultan pequeas. Hiptesis de Timoshenko, que se usa para los elementos lineales sometidos a flexin en un caso totalmente general ya que no se desprecia la deformacin por cortante. Hiptesis de Saint-Venant para la extensin, usada en piezas con esfuerzo normal para zonas de la viga alejadas de la zona de aplicacin de las cargas. Hiptesis de Saint-Venant para la torsin, se usa para piezas prismticas sometidas a torsin y en piezas con rigidez torsional grande. Hiptesis de Coulomb, se usa para piezas prismticas sometidas a torsin y en piezas con rigidez torsional grande y seccin circular o tubular. Esta hiptesis constituye una especializacin del caso anterior.

Hiptesis cinemtica en elementos superficialesPara placas y lminas sometidas a flexin se usan dos hiptesis, que se pueden poner en correspondencia con las hiptesis de vigas Hiptesis de Love-Kirchhoff Hiptesis de Reissner-Mindlin

Ecuacin constitutivaLas ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lam-Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales. Para elementos lineales en el clculo de las secciones, las tensiones sobre cualquier punto (y,z) de la seccin puedan escribirse en funcin de las deformaciones como:

Resistencia de materiales

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En cambio para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexin como las placas la especializacin de las ecuaciones de Hooke es:

Adems de ecuaciones constitutivas elsticas, en el clculo estructural varias normativas recogen mtodos de clculo plstico donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad.

Ecuaciones de equivalenciaLas ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribucin de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

Elementos linealesEn elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometra y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relacin entre esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensin para una pieza prismtica:

Elementos bidimensionalesPara elementos bidimensionales es comn tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los esfuerzos se componen de 4 esfuerzos de membrana (o esfuerzos axiles por unidad de rea), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de membrana usando un conjunto de coordenadas ortogonales sobre una lmina de Reissner-Mindlin:

Donde

son los radios de curvatura en cada una de las direcciones coordenadas y z es la altura sobre la

superficie media de la lmina. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de rea vienen dados por: El tensor tensin de una lmina general para la que valen las hiptesis de Reissner-Mindlin es:

Un caso particular de lo anterior lo constituyen las lminas planas cuya deformacin se ajusta a la hiptesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal

Resistencia de materiales deformada. Esa hiptesis es una muy buena aproximacin cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de rea en funcin de las tensiones vienen dados por: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensin para una lmina de Love-Kirchhoff:

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Ecuaciones de equilibrioLas ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elstico en trminos de los esfuerzos en lugar de las tensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones generales de la teora de la elasticidad lineal:

Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuacin, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales.

Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectosEn una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:

Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionalesLas ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexin anlogas a las ecuaciones de la seccin anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):

Relacin entre esfuerzos y tensionesEl diseo mecnico de piezas requiere: Conocimiento de las tensiones, para verificar si stas sobrepasan los lmites resistentes del material. Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si stos sobrepasan los lmite de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento diseado. En general el clculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teora de la elasticidad, sin embargo cuando la geometra de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho ms simple mediante los mtodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elstico.

Resistencia de materiales

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Elementos lineales o unidimensionalesEl clculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinacin de las frmula de Navier para la flexin, la frmula de Collignon-Jourawski y las frmulas del clculo de tensiones para la torsin. El clculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir mtodos directos como la ecuacin de la curva elstica, los teoremas de Mohr o el mtodo matricial o a partir de mtodos energticos como los teoremas de Castigliano o incluso por mtodos computacionales.

Elementos superficiales o bidimensionalesLa teora de placas de Love-Kirchhoff es el anlogo bidimensional de la teora de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte el clculo de lminas es el anlogo bidimensional del clculo de arcos. El anlogo bidimensional para una placa de la ecuacin de la curva elstica, es la ecuacin de Lagrange para la deflexin del plano medio de la placa. Para el clculo de placas tambin es frecuente el uso de mtodos variacionales.

Relacin entre esfuerzos y desplazamientosOtro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia de materiales es el estudio de la rigidez. Ms concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado. El clculo de las deformaciones a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios mtodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las frmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuacin de la curva elstica.

ReferenciaBibliografa Timoshenko S., Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3 Den Hartog, Jacob P., Strength of Materials, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0 Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3 Monlen Cremades, Salvador, Anlisis de vigas, arcos, placas y lminas, Universidad Politcnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6

Enlaces externos Resistencia de materiales, en virtual.unal.edu.co (http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/ 5000155/index.html) (10-03-09)

Vase tambin Conceptos de resistencia de materiales: rigidez, equilibrio mecnico, flexin, torsin. Mecnica de slidos deformables: tensin, deformacin, elasticidad. Elementos resistentes lineales: vigas, pilares, celosas, arcos. Elementos resistentes superficiales: placas y lminas, membranas. Mtodos de clculo: clculo de esfuerzos, teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr, mtodo matricial de la rigidez. Stephen Timoshenko: Considerado el padre de la Ingeniera Mecnica moderna.

Tensor tensin

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Tensor tensinEn mecnica de medios continuos, el tensor tensin o tensor de tensiones es el tensor que da cuenta de la distribucin de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.

Tipos de tensor tensin

Componentes del tensor tensin en un punto P de un slido deformable.

Tensor tensin de Cauchy

Representacin grfica de las componentes del tensor tensin en una base ortogonal.

El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribucin de tensiones internas sobre la geometra de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simtrico definido sobre la geometra deformada con las siguientes propiedades: 1. . 2. . 3. . La tercera propiedad significa que este tensor vendr dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simtrica. Cabe sealar que en un problema mecnico a priori es difcil conocer el tensor tensin de Cauchy ya que este est definido sobre la geometra del cuerpo una vez deformado, y sta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeas, en ingeniera y aplicaciones prcticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de clculo excesivo si todas las deformaciones mximas son inferiores a 0,01). Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensin de Cauchy viene dado por una matriz simtrica, cuyas componentes son:

Tensor tensin La segunda forma es la forma comn de llamar a las componentes del tensor tensin en ingeniera.

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Primer tensor tensin de Piola-KirchhoffLos tensores de Piola-Kirchhoff TR se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometra ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relacin entre ambos tensores viene dada por:

Donde F es el tensor gradiente de deformacin. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simtrico (ver segundo tensor tensin de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensin de Piola-KirchhoffEste tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometra previa a la deformacin y que adems sea simtrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qu ser simtrico. El segundo tensor tensin de Piola-Kirchhoff viene dado por:

Vase tambin Mecnica de medios continuos Elasticidad (mecnica de slidos) Teorema de Rivlin-Ericksen Tensor deformacin

Flexin mecnicaEn ingeniera se denomina flexin al tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a su eje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es dominante frente a las otras. Un caso tpico son las vigas, las que estn diseadas para trabajar, principalmente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lminas. El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. El esfuerzo que provoca la flexin se denomina momento flector.

Flexin mecnica

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Flexin en vigas y arcosLas vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexin. Geomtricamente son prismas mecnicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la seccin transversal de las vigas. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de vigas y arcos: La hiptesis de Navier-Bernouilli. La hiptesis de Timoshenko.

Teora de Navier-BernoulliLa teora de Navier-Bernoulli para el clculo de vigas es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Navier-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto mximo o altura de la seccin transversal. Para escribir las frmulas de la teora de Navier-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometra, una viga es de hecho un prisma mecnico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la seccin transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas es curvilneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de seccin recta la tensin el caso de flexin compuesta esviada la tensin viene dada por la frmula de Navier:

Donde: son los segundos momentos de rea (momentos de inercia) segn los ejes Y y Z. es el momento de rea mixto o producto de inercia segn los ejes Z e Y. son los momentos flectores segn las direcciones Y y Z, que en general vararn segn la coordenada x. es el esfuerzo axial a lo largo del eje. Si la direccin de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuacin anterior se simplifica notablemente. Adems si se considera el caso de flexin simple no-desviada las tensiones segn el eje son simplemente:

Por otro lado, en este mismo caso de flexin simple no esviada, el campo de desplazamientos, en la hiptesis de Bernoulli, viene dada por la ecuacin de la curva elstica:

Donde: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin inicial sin cargas. representa el momento flector a lo largo de la ordenada x. el segundo momento de inercia de la seccin transversal. el mdulo de elasticidad del material. representa las cargas a lo largo del eje de la viga.

Flexin mecnica

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Teora de Timoshenko

Esquema de deformacin de una viga que ilustra la diferencia entre la teora de Timoshenko y la teora de Euler-Bernouilli: en la primera i y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La diferencia fundamental entre la teora de Euler-Bernouilli y la teora de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la seccin se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximacin vlida slo para piezas largas en relacin a las dimensiones de la seccin transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flector. En la teora de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es vlida tambin para vigas cortas, la ecuacin de la curva elstica viene dada por el sistema de ecuaciones ms complejo:

Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la segunda llegamos a la ecuacin de la curva elstica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:

Flexin en placas y lminasUna placa es un elemento estructural que puede presentar flexin en dos direcciones perpendiculares. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de placas y lminas: La hiptesis de Love-Kirchhoff La hiptesis de Reissner-Mindlin. Siendo la primera el anlogo para placas de la hiptesis de Navier-Bernouilli y el segundo el anlogo de la hiptesis de Timoshenko.

Flexin mecnica

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Teora de Love-KirchhoffLa teora de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Love-Kirchhoff para las mismas y es anloga a la hiptesis de Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada slo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeo en relacin a su largo y ancho. Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas cartesianas con (x, y) segn el plano que contiene a la placa, y el ese z se tomar segn la direccin perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones segn las dos direcciones perpendiculares de la placa son:

Donde: , es el segundo momento de rea por unidad de ancho. , son los momentos flectores por unidad de ancho, que pueden relacionarse con el campo de desplazamientos verticales w(x,y) mediante las siguientes ecuaciones: Para encontrar la flecha que aparece en la ecuacin anterior es necesario resolver una ecuacin en derivadas parciales que es el anlogo bidimensional a la ecuacin de la curva elstica:

El factor:

se llama rigidez flexional de placas.

Teora de Reissner-MindlinLa teora de Reissner-Mindlin es el anlogo para placas de la teora de Timoshenko para vigas. As en esta teora, a diferencia de la teora ms aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez deformada la placa no tiene por qu coincidir con el vector normal a la superficie media deformada.

ReferenciaBibliografa Timoshenko, Stephen; Godier J.N.. McGraw-Hill. ed. Theory of elasticity. Ortiz Berrocal, Luis. McGraw-Hill. ed. Resistencia de Materiales. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7651-512-3. Monlen Cremades, S., Anlisis de vigas, arcos, placas y lminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Vase tambin Fibra neutra Pendientes y deformaciones en vigas

Tensin mecnica

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Tensin mecnicaEn fsica e ingeniera, se denomina tensin mecnica a la fuerza por unidad de rea en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un cuerpo, material o medio continuo.

Componentes del tensor tensin en un punto P de un slido deformable.

Un caso particular es el de tensin uniaxial, que se define en una situacin en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un rea A. En ese caso la tensin mecnica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega (sigma) y viene dada por:

La tensin mecnica se expresa en unidades de fuerza divididas por unidades de rea. En el Sistema Internacional, en N/m o pascales (Pa). La definicin anterior se aplica tanto a fuerzas localizadas como fuerzas distribuidas, uniformemente o no, que actun sobre una superficie. Si se considera un cuerpo sometido a tensin y se imagina un corte mediante un plano imaginario que lo divida en dos, sobre cada punto del plano de corte se puede definir un vector tensin t que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitrio normal n al plano . En ese caso se puede probar que t y n estn relacionados por una aplicacin lineal T o campo tensorial llamado tensor tensin:

Tensin uniaxial (problemas unidimensionales)El concepto de esfuerzo longitudinal parte en dos observaciones simples sobre el comportamiento de cables sometidos a tensin: 1. Cuando un cable se estira bajo la accin de una fuerza F, se observa que el alargamiento unitario L/L es proporcional a la carga F dividida por el rea de la seccin transversal A del cable, esto es, al esfuerzo, de modo que podemos escribir

donde E es una caracterstica del material del cable llamado mdulo de Young. 2. El fallo resistente o ruptura del cable ocurre cuando la carga F superaba un cierto valor Frupt que depende del material del cable y del rea de su seccin transversal. De este modo queda definido el esfuerzo de ruptura

Estas observaciones ponen de manifiesto que la caracterstica fundamental que afecta a la deformacin y al fallo resistente de los materiales es la magnitud , llamada esfuerzo o tensin mecnica. Medidas ms precisas ponen de manifiesto que la proporcionalidad entre el esfuerzo y el alargamiento no es exacta porque durante el estiramiento

Tensin mecnica del cable la seccin transversal del mismo experimenta un estrechamiento, por lo que A disminuye ligeramente. Sin embargo, si se define la tensin real = F/A' donde A' representa ahora el rea verdadera bajo carga, entonces se observa una proporcionalidad correcta para valores pequeos de F. El coeficiente de Poisson se introdujo para dar cuenta de la relacin entre el rea inicial A y el rea deformada A' . La introduccin del coeficiente de Poisson en los clculos estimaba correctamente la tensin al tener en cuenta que la fuerza F se distribua en un rea algo ms pequea que la seccin inicial, lo cual hace que > s.

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Principio de CauchySea un medio continuo deformado, entonces en cada subdominio existe un campo vectorial , llamado campo de tensiones, tal que las fuerzas de volumen siguientes ecuaciones de equilibrio: y el campo de tensiones satisfacen las

Este principio fue enunciado por Augustin Louis Cauchy en su forma ms general, aunque previamente Leonhard Euler haba hecho una formulacin menos general. De este principio puede demostrarse el teorema debido a Cauchy para el tensor tensin que postula que el principio de Cauchy equivale a la existencia de una aplicacin lineal, llamada tensor tensin con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. Con el principio, enunci tambin los dos postulados que definen la actuacin de los vectores sobre una superficie

Tensin normal y tensin tangencialSi consideramos un punto concreto de un slido deformable sometido a tensin y se escoge un corte mediante un plano imaginario que lo divida al slido en dos, queda definido un vector tensin t que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal n al plano definida mediante el tensor tensin:

Usualmente ese vector puede descomponerse en dos componentes que fsicamente producen efectos diferentes segn el material sea ms dctil o ms frgil. Esas dos componentes se llaman componentes intrnsecas del vector tensin respecto al plano y se llaman tensin normal o perpendicular al plano y tensin tangencial o rasante al plano, estas componentes vienen dadas por:

Anlogamente cuando existen dos slidos en contacto y se examinan las tensiones entre dos puntos de los dos slidos, se puede hacer la descomposicin anterior de la tensin de contacto segn el plano tangente a las superficies de ambos slidos, en ese caso la tensin normal tiene que ver con la presin perpendicular a la superficie y la tensin tangencial tiene que ver con las fuerzas de friccin entre ambos.

Tensin mecnica

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Bibliografa Luis Ortiz Berrocal: Resistencia de materiales, Ed. McGraw-Hill/Interamericana de Espaa, Madrid, 1990. Dietrich Braess: Finite Element, pp.250-251, Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997.

Vase tambin Tensin cortante Tensor tensin Tensor deformacin Deformacin

Enlaces externos Artculos sobre tensin en ingls [1] por Andrs Melo y Geraint Wiggins, formato.PDF

Referencias[1] http:/ / www. soi. city. ac. uk/ ~geraint/ papers/ afm-aisb. pdf

VigaEn ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento con modelo de prisma mecnico.

Flexin terica de una viga apoyada-articulada sometida a una carga puntual centrada F.

Viga

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Teora de vigas de Euler-BernoulliLa teora de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el clculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son slidos deformables, en teora de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales. Los inicios de la teora de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos bsicos de la teora de vigas para la flexin simple de una viga que flecte en el plano XY son:

Esquema de deformacin de una viga que ilustra la diferencia entre la teora de Timoshenko y la teora de Euler-Bernoulli: en la primera i y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

1. Hiptesis de comportamiento elstico. El material de la viga es elstico lineal, con mdulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable. 2. Hiptesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical slo depende de x: uy(x, y) = w(x). 3. Hiptesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra slo sufren desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0. 4. La tensin perpendicular a la fibra neutra se anula: yy= 0. 5. Hiptesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado. Las hiptesis (1)-(4) juntas definen la teora de vigas de Timoshenko. La teora de Euler-Bernouilli es una simplificacin de la teora anterior, al aceptarse la ltima hiptesis como exacta (cuando en vigas reales es slo aproximadamente cierta). El conjunto de hiptesis (1)-(5) lleva a la siguiente hiptesis cinemtica sobre los desplazamientos:

Viga

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Deformaciones y tensiones en vigasSi se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a: A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lam-Hooke, asumiendo :

Donde E es el mdulo de elasticidad longitudinal, o mdulo de Young, y G el mdulo de elasticidad transversal. Es claro que la teora de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energa de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teora de Timoshenko en la cual:

Esfuerzos internos en vigasa partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que est sometida una seccin de una viga sometida a flexin simple en la teora de Euler-Bernouilli: Donde: A rea de la seccin transversal, Iz el momento de inercia segn el eje respecto al cual se produce la flexin. La ltima de estas ecuaciones es precisamente la ecuacin de la curva elstica, una de las ecuaciones bsicas de la teora de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrioLas ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicacin de las ecuaciones de la esttica a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo seran la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo est en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y adems la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la direccin tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones slo se pueden cumplir si la variacin de esfuerzo cortante y momento flector estn relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

Clculo de tensiones en vigasEl clculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variacin de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la frmula adecuada segn la viga est sometida a flexin, torsin, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensin de una viga viene dado en funcin de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecnico, las tensiones asociadas a la extensin, flexin, cortante y torsin resultan ser:

Donde:

Viga son las tensiones sobre la seccin transversal: tensin normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsin y cortante. , son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsin. , son propiedades de la seccin transversal de la viga: rea, segundos momentos de rea (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo. Las tensiones mximas sobre una seccin transversal cualquiera de la viga pueden a su vez ser calculadas en trminos de estas componentes del tensor tensin:

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En vigas metlicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algn punto la tensin equivalente de Von Mises supere una cierta tensin ltima definida a partir del lmite elstico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:

Materiales utilizadosA lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales; el ms idneo de los materiales tradicionales ha sido la madera, puesto que puede soportar grandes esfuerzos de traccin, lo que no sucede con otros materiales tradicionales ptreos y cermicos, como el ladrillo. La madera sin embargo es material ortotrpico que presenta diferentes rigideces y resistencias segn los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales. Por esa razn, el clculo moderno de elementos de madera requiere bajo solicitaciones complejas un estudio ms completo que teora la de Navier-Bernouilli, anteriormente expuesta. A partir de la revolucin industrial, las vigas se fabricaron en acero, que es un material istropo al que puede aplicarse directamente la teora de vigas de Euler-Bernouilli. El acero tiene la ventaja de ser un material con una relacin resistencia/peso superior a la del hormign, adems de que puede resistir tanto tracciones como compresiones mucho ms elevadas. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, en arquitectura, se ha venido usando hormign armado y algo ms tardamente el pretensado y el postensado. Estos materiales requieren para su clculo una teora ms compleja que la teora de Euler-Bernouilli.

Construccin de vigas de hormign pretensado en Alcal la Real, Jan, Espaa.

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.

Viga

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Vase tambinTeora de vigas: Curva elstica Pendientes y deformaciones en vigas Flexin de vigas Prisma mecnico

Otros elementos constructivos: Arco Cercha Dintel Acero laminado Pilar Prtico Puente viga Voladizo

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre vigas. Commons Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas [1] Teora de vigas (eFunda) [2] cabierta.uchile.cl: Vigas de peso mnimo [3]

Referencias[1] http:/ / citywiki. ugr. es/ wiki/ Imagen:Formulario_Vigas. pdf [2] http:/ / efunda. com/ formulae/ solid_mechanics/ beams/ theory. cfm [3] http:/ / cabierta. uchile. cl/ revista/ 12/ educacion/ 12_2/ index. html

Esfuerzo cortante

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Esfuerzo cortanteEl esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la seccin transversal de un prisma mecnico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q Este tipo de solicitacin formado por tensiones paralelas est directamente asociado a la tensin cortante. Para una pieza prismtica se relaciona con la tensin cortante mediante la relacin:

Vase tambin esfuerzo interno tensin cortante

Enlaces externos Esfuerzo cortante, en virtual.unal.edu.co [1]

Referencias[1] http:/ / www. virtual. unal. edu. co/ cursos/ sedes/ palmira/ 5000155/ lecciones/ lec1/ 1_4. htm

Coeficiente de PoissonEl coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ) es una constante elstica que proporciona una medida del estrechamiento de seccin de un prisma de material elstico lineal e istropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al fsico francs Simeon Poisson.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usado

Coeficiente de Poisson

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Materiales istroposSi se toma un prisma mecnico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de traccin aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razn entre el alargamiento longitudinal producido divido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la direccin de la carga aplicada. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la frmula usual para el Coeficiente de Poisson es:

Para un material istropo elstico perfectamente incompresible, este es igual a 0.5. La mayor parte de los materiales prcticos en la ingeniera rondan entre 0.0 y 0.5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales augticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinmicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo [-1, 0.5).

Ley de Hooke generalizadaConociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una direccin producir deformaciones sobre los dems ejes, lo que a su vez producir esfuerzos en todos lo ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:

Materiales ortotrpicosPara materiales ortotrpicos (como la madera), el cociente entre la deformacin unitaria longitudinal y la deformacin unitaria transversal depende de la direccin de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrpico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en funcin de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las 12 constantes elsticas habituales que definen el comportamiento de un material elstico ortotrpico, slo 9 de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los mdulos de Young principales:

Coeficiente de Poisson

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Valores para varios materialesPara ver el valor del coeficiente de Poisson para varios materiales consultar los valores del coeficiente de Poisson del Anexo:Constantes elsticas de diferentes materiales.

Vase tambin Mdulo de elasticidad longitudinal (E) Mdulo de elasticidad transversal (G)

Enlaces externos (Ingls) Materiales Augticos [1]

Referencias[1] http:/ / silver. neep. wisc. edu/ ~lakes/ Poisson. html

Tensor deformacinEl tensor deformacin o tensor de deformaciones es un tensor simtrico usado en mecnica de medios continuos y mecnica de slidos deformables para caracterizar el cambio de forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de deformacin tiene la forma general:

Donde cada una de las componentes del anterior tensor es una funcin cuyo dominio es el conjunto de puntos del cuerpo cuya deformacin pretende caracterizarse. El tensor de deformaciones est relacionado con el tensor de tensiones mediante las ecuaciones de Hooke generalizadas, que son relaciones de tipo termodinmico o ecuaciones constitutivas para el material del que est hecho el cuerpo. Tngase en cuenta que estas componentes ij) en general varan de punto a punto del cuerpo y por tanto la deformacin de cuerpos tridimensionales se representa por un campo tensorial.

Tipos de tensores de deformacinEn mecnica de medios continuos se distingue entre varios tipos de tensores para representar la deformacin. Los tensores finitos de deformacin miden la verdadera deformacin, pueden usarse tanto deformaciones grandes como pequeas y pueden dar cuenta de no-linealidades geomtricas. Cuando las deformaciones son pequeas con bastante adecuacin se puede usar el tensor infinitesimal de deformaciones que se obtiene despreciando algunos trminos no-lineales de los tensores finitos. En la prctica ms comn de la ingeniera para la mayora de aplicaciones prcticas se usan tensores infinitesimales. Adems para los tensores finitos se diferencia entre tensores materiales y tensores espaciales segn sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.

Tensor deformacin

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Tensor infinitesimal de deformacin Tensor inifitesimal de Green-Cauchy, o tensor ingenieril de deformaciones, es el usado comnmente en ingeniera estructural y que constituye una aproximacin para caracterizar las deformaciones en el caso de muy pequeas deformaciones (inferiores en valor absoluto a 0,01). En coordenadas cartesianas dicho tensor se expresa en trminos de las componentes del campo de desplazamientos como sigue: Donde: representa el campo vectorial de desplazamientos del cuerpo, es decir, la diferencia entre la posicin final e inicial de cada punto y x1 = x, x2 = y y x3 = z son las coordenadas tomadas sobre la forma geomtrica original del cuerpo. son las coordenadas de cada punto material del cuerpo. Las componentes del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admiten interpretaciones fsicas relativamente simples: El elemento diagonal ii, tambin denotado i, representa los cambios relativos de longitud en la direccin i, direccin dada por el eje Xi). La suma 11+22+33 es igual al cambio de volumen relativo del cuerpo. Los elementos ij (= 1/2ij) (i j) representan deformaciones angulares, ms concretamente la variacin del ngulo recto entre las direcciones ortogonales i y j. Por tanto la distorsin o cambio de forma viene caracterizada por 3 componentes de este tensor deformacin (12, 13, 23).

Tensores finitos de deformacinTodos estos tensores se construyen a partir del tensor gradiente de deformaciones (tensores materiales) o bien de su inverso (tensores espaciales). Si pensamos que una deformacin es una aplicacin: donde K es el conjunto de puntos del espacio ocupados por el slido (o medio continuo) antes de la deformacin y K' el conjunto de puntos del espacio ocupados despus de la deformacin. Entonces podemos definir tensor gradiente de deformaciones como el jacobiano de TD:

Donde (x,y,z) representan las coordenadas de un punto genrico antes de la deformacin y (x',y',z' ) las coordenadas del mismo punto despus de la deformacin. En funcin de este tensor gradiente de deformaciones se definien los siguientes tensores finitos de deformacin: Tensor Deformacin material de Green-Lagrange. Se puede obtener a partir del tensor gradiente de deformacin y su transpuesta:

O bien en funcin del campo de desplazamientos:

Tensor espacial (finito) de Almansi. Se puede obtener a partir del inverso del tensor gradiente de deformacin y su traspuesto de un modo similar a como se obtena el tensor material y es la contrapartida "espacial" del tensor de Green-Lagrange:

Tensor deformacin Tensor material (finito) de Finger (por Josef Finger (1894))

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Clculo de magnitudes del slido deformadoSi se conce el tensor deformacin de un slido y las dimensiones originales de un cuerpo, pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo deformado.

Variaciones de longitud

Variaciones angularesSi se consideran dos curvas, dos rectas o dos aristas de un slido deformado que se cruzan en un punto P del slido, la relacin entre el ngulo incial (antes de la deformacin) y final (despus de la deformacin) que forman dichas direcciones calcularse a partir de la siguiente expresin:

Donde: , son los vectores unitarios tangentes a las dos curvas o direcciones en el punto de corte. , son las deformaciones unitarias medidas a lo largo de esas dos direcciones. , son el ngulo entre las dos direcciones antes de la deformacin y el ngulo despus de la deformacin. Para deformaciones angulares pequeas la expresin anterior puede aproximarse mediante la relacin aproximada:

sta ltima es la expresin ms comnmente usada en las aplicaciones prcticas e ingenieriles. Cuando las dos direcciones son perpendiculares la expresin anterior se vuelve tan simple como:

Variaciones de volumenDado un punto de un slido deformable la relacin entre el volumen final V' de un entorno arbitrariamente pequeo alrededor de dicho punto y el volumen inicial V puede expresarse mediante la relacin diferencial: La relacin de densidad final y densidad incial dado que la masa se conserva es inversa de la relacin anterior.

Direccin principales de deformacinLocalmente la deformacin de un slido se puede representar por acotramientos o estiramientos en tres direcciones mtualmente perpendiculares. En cada punto de un slido deformable las direcciones principales son precisamente las tres direcciones en las que se producen los estiramientos que localmente caracterizan la deformacin. Desde un punto de vista algebraico las direcciones principales pueden calcularse considerando los valores y vectores propios del tensor deformacin en el punto estudiado.

Tensor deformacin

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Vase tambin Deformacin Tensin mecnica Tensor tensin

PilarEn ingeniera y arquitectura un pilar es un elemento vertical (o ligeramente inclinado) sustentante exento de una estructura, destinado a recibir cargas verticales para transmitirlas a la cimentacin y que, a diferencia de la columna, tiene seccin poligonal. Lo ms frecuente es que sea cuadrado o rectangular, pero puede ser tambin octogonal, aunque por priorizar su capacidad portante, se proyecta con libertad de formas. En la arquitectura del Antiguo Egipto se habla de pilares hathricos, por esculpirse en ellos la diosa Hathor o de pilares osiracos por tener representado al dios Osiris. En la arquitectura medieval, eran comunes soportes circulares masivos, llamados pilares de tambor, pilares cruciformes o pilares compuestos. En la arquitectura gtica se utilizaba el pilar fasciculado que estaba formado por un haz de baquetones, generalmente adosados a un ncleo central. En la Baslica de San Pedro en Roma, Bramante utiliz pilares ricamente articulados, como se puede ver en la planta de la figura. A veces, y a imitacin de la columna, puede presentar tambin tres partes: basa, fuste y capitel. Si en lugar de exento va adosado al muro se denomina pilastra.

EstructuraEn la construccin contempornea es el elemento predominante para trasmitir cargas verticales, pudiendo estar realizado en diversos materiales: bloques de fbrica, hormign armado, acero, madera, etc.

Modo tpico de fallo estructural en pilares por pandeo.

Alineamiento de pilares.

Pilar

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Planta original de Bramante para la Baslica de San Pedro.

Los pilares reciben a las vigas que componen los forjados transmitiendo a travs de stas las cargas que afectan a toda el rea de influencia del pilar. En forjados sin vigas la transmisin se produce a travs de un baco. El rea de su seccin viene dado principalmente por la carga de pandeo y el momento flector que el pilar deba soportar.

ReferenciasPilares en un viaducto.

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index. php/ Pilar), publicada en espaol bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 (http:/ / creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es). Wikcionario tiene definiciones para pilar.Wikcionario

Ley de elasticidad de Hooke

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Ley de elasticidad de HookeEn fsica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

siendo el alargamiento, L la longitud original, E: mdulo de Young, A la seccin transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elsticos hasta un lmite denominado lmite elstico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, fsico britnico contemporneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo public en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de aos ms tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensin, as la fuerza").

Ley de Hooke para los resortesLa forma ms comn de representar matemticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuacin del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongacin o alargamiento producido:

donde k se llama constante elstica) del resorte y siguiente ecuacin:

es su elongacin o variacin que experimenta su longitud. asociada al estiramiento del resorte viene dada por la

La energa de deformacin o energa potencial elstica

Es importante notar que la

antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitucin. Definiremos

ahora una constante intrnseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos as la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrnseca, se tiene:

Llamaremos misma distancia y

a la tensin en una seccin del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que a la constante de un pequeo trozo de muelle de longitud a la . Por la al alargamiento de ese pequeo trozo en virtud de la aplicacin de la fuerza

tomamos como origen de coordenadas, ley del muelle completo:

Tomando el lmite:

que por el principio de superposicin resulta:

Que es la ecuacin diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como ecuacin de onda unidimensional que describe los fenmenos ondulatorios (Ver: Muelle elstico). La velocidad de propagacin de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Ley de elasticidad de Hooke

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Ley de Hooke en slidos elsticosEn la mecnica de slidos deformables elsticos la distribucin de tensiones es mucho ms complicada que en un resorte o una barra estirada slo segn su eje. La deformacin en el caso ms general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores estn relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lam-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un slido elstico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Caso unidimensionalEn el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una direccin dada son irrelevantes o se pueden ignorar = 11, = 11, C11 = E y la ecuacin anterior se reduce a: donde E es el mdulo de Young.

Caso tridimensional istropoPara caracterizar el comportamiento de un slido elstico lineal e istropo se requieren adems del mdulo de Young otra constante elstica, llamada coeficiente de Poisson (). Por otro lado, las ecuaciones de Lam-Hooke para un slido elstico lineal e istropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en trminos del mdulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Ley de elasticidad de Hooke

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Vase tambin Prueba de tensin Constante elstica

Mdulo de YoungEl mdulo de Young o mdulo elstico longitudinal es un parmetro que caracteriza el comportamiento de un material elstico, segn la direccin en la que se aplica una fuerza. Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de Young tiene el mismo valor para una traccin que para una compresin, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor mximo denominado lmite elstico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el cientfico ingls Thomas Young. Tanto el mdulo de Young como el lmite elstico son distintos para los diversos Diagrama tensin - deformacin. El mdulo de Young viene representado por la materiales. El mdulo de elasticidad es una tangente a la curva en cada punto. Para materiales como el acero resulta constante elstica que, al igual que el lmite aproximadamente constante dentro del lmite elstico. elstico, puede encontrarse empricamente con base al ensayo de traccin del material. Adems de este mdulo de elasticidad longitudinal, puede definirse en un material el mdulo de elasticidad transversal.

Materiales istroposMateriales linealesComo se ha explicado para un material elstico lineal el mdulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensin dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de la tensin y de la deformacin que aparecen en una barra recta estirada que est fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el mdulo de elasticidad:

Donde: es el mdulo de elasticidad longitudinal. es la presin ejercida sobre el rea de seccin transversal del objeto. es la deformacin unitaria en cualquier punto de la barra.

Mdulo de Young La ecuacin anterior se puede expresar tambin como:

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Por lo que dadas dos barras o prismas mecnicos geomtricamente idnticos pero de materiales elsticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idnticas, se inducirn mayores tensiones cuanto mayor sea el mdulo de elasticidad. De modo anlogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuacin anterior rescrita como:

nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor mdulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es ms rgido.

Materiales no linealesCuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensin-deformacin no tiene ningn tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresin anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al mdulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensin de estiramiento y la deformacin obtenida no son directamente proporcionales. Para estos materiales elsticos no-lineales se define algn tipo de mdulo de Young aparente. La posibilidad ms comn para hacer esto es definir el mdulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformacin unitaria que experimenta en la direccin de aplicacin del esfuerzo:

Donde: es el mdulo de elasticidad secante. es la variacin del esfuerzo aplicado es la variacin de la deformacin unitaria La otra posibilidad es definir el mdulo de elasticidad tangente:

Materiales anistroposExisten varias "extensiones" no-excluyentes del concepto. Para materiales elsticos no-istropos el mdulo de Young medido segn el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elsticas Ex, Ey y Ez tales que el mdulo de Young en cualquier direccin viene dado por: y donde son los cosenos directores de la direccin en que medimos el mdulo de Young respecto a tres

direcciones ortogonales dadas.

Mdulo de Young

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Dimensiones y unidadesLas dimensiones del mdulo de Young son Unidades sus unidades son o, ms contextualmente, . . En el Sistema Internacional de

Valores para varios materialesPara ver el valor del mdulo de elasticidad para varios materiales consultar los valores del mdulo de elasticidad longitudinal del Anexo:Constantes elsticas de diferentes materiales.

Vase tambin Coeficiente de Poisson Mdulo de elasticidad transversal Constante elstica

Enlaces externos Medicin del mdulo de elasticidad de Young (pdf) [1] Medida del mdulo de elasticidad [2]

Referencias[1] http:/ / www. fisicarecreativa. com/ informes/ infor_mecanica/ young97. pdf#search=%22%22m%C3%B3dulo%20de%20elasticidad%22%22 [2] http:/ / www. sc. ehu. es/ sbweb/ fisica/ solido/ din_rotacion/ alargamiento/ alargamiento. htm

Rigidez

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RigidezEn ingeniera, la rigidez es la capacidad de un objeto slido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos. Los coeficientes de rigidez son magnitudes fsicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razn entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicacin de esa fuerza.

Para barras o vigas se habla as de rigidez axial, rigidiez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

Rigideces de prismas mecnicosEl comportamiento elstico de una barra o prisma mecnico sometido a pequeas deformaciones est determinado por ocho coeficientes elsticos. Estos coeficientes elsticos o rigideces depende de: 1. La seccin transversal, cuanto ms gruesa sea la seccin ms fuerza ser necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables ms gruesos para arriostrar debidamente los mstiles de los barcos que son ms largos, o que para hacer vigas ms rgidas se necesiten vigas con mayor seccin y ms grandes. 2. El material del que est fabricada la barra, si se frabrican dos barras de idnticas dimensiones geomtricas, pero siendo una de acero y la otra de plstico la primera es ms rgida porque el material tiene mayor mdulo de Young (E). 3. La longitud de la barra elstica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geomtricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma seccin transversal y fabricadas del mismo material, la barras ms larga sufrir mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrar menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones. Funcionalmente las rigideces genricamente tienen la forma:

Donde: Si es una magnitud puramente geomtrica dependiente del tamao y forma de la seccin transversal, E es el mdulo de Young, L es la longitud de la barra y i y i son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se est examinando. Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elstico dentro de una estructura.

Rigidez

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Rigidez axialLa rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicacin de cargas segn su eje. En este caso la rigidez depende slo del rea de la seccin transveral (A), el mdulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

Rigidez flexionalLa rigidez flexional de una barra recta es la relacin entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ngulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra est empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de seccin uniforme existen dos coeficientes de rigidez segn el momento flector est dirigido segn una u otra direccin principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

Donde

son los segundos momentos de rea de la seccin transversal de la barra.

Rigidez frente a cortanteLa rigidez frente a cortante es la relacin entre los desplazamientos verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de seccin uniforme existen dos coeficientes de rigidez segn cada una de las direcciones principales:

Rigidez mixta flexin-cortanteEn general debido a las caractersticas peculiares de la flexin cuando el momento flector no es constante sobre una barra prismtica aparecen tambin esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexin aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexin. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexin, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexin que para una barra recta resulta ser igual a:

Rigidez torsionalLa rigidez torsional en una barra recta de seccin uniforme es la relacin entre el momento torsor aplicado en un de sus extremos y el ngulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

Donde G el mdulo elstico transversal, J es el momento de inercia torsional y L la longitud de la barra.

Rigidez

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Rigideces en placas y lminasDE manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces dependen del material y de la geometra, en este caso el espesor de la placa o lmina. Las rigideces en este caso tienen la forma genrica:

Donde: son respectivamente el mdulo de Young y el coeficiente de Poisson. es el espesor del elemento bidimensional. es un entero y .

Rigidez de membranaLa rigidez de membrana es el equivalente bi