Análisis Funcional Trabajo Final La Transformada de...

Análisis Funcional

Trabajo Final

La Transformada de Fourier

Olea, María Mercedes

Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

28 de abril de 2012

Resumen

En este trabajo, primero haremos una introducción a la Transformada de Fourier, denire-

mos transformada y antitransformada, enunciaremos y probaremos resultados importantes.

En la segunda sección explicaremos nociones de la teoria de distribuciones que serán de util-

idad para la sección siguiente

En la tercer sección estudiaremos la transformada de Fourier para funciones con dominios

abiertos de Rn y para distribuciones, para eso enunciaremos y probaremos los Teoremas de

Paley-Wiener. Por último veremos Lema de Sobolev, que es un ejemplo de un problema local

donde aplicamos tecnicas de transformación de Fourier.

1

Análisis Funcional Trabajo Final

Índice

1. Introducción a la transformada de Fourier 3

1.1. La transformada de Fourier en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. La transformada de Fourier en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. La transformada de Fourier en L2(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Introducción a la teoria de distribuciones 10

2.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Los espacios C∞(Ω) y DK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Convoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Distribuciones y la transformada de Fourier 18

3.1. La medida de Lebesgue normalizada y la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 183.2. El Teorema de Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. El Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Distribuciones Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5. Teoremas de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6. Lema de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Departamento de Matemática - UNLP Hoja 2 de 36

La Transformada de Fourier Trabajo Final

1. Introducción a la transformada de Fourier

1.1. La transformada de Fourier en R

Si f : R → R es una función continua de soporte compacto, digamos sop(f) ⊆ [−M,M ] y Les tal que L/2 > M , podemos extender periódicamente a f con período L y hacer su desarrollo enserie de Fourier. Formalmente, tenemos que:

f(x) =∑n∈N

cn(L)e2πi( nL)x

con

cn(L) =1

L

L/2∫−L/2

f(t)e−2π( nL)tdt

Entonces, para todo x ∈ [−M,M ],

f(x) =∑n∈N

1

L

L/2∫−L/2

f(t)e−2πi( nL)tdte2πi( n

L)x

f(x) =∑n∈N

1

L

∞∫−∞

f(t)e−2πi( nL)tdte2πi( n

L)x

ya que f ≡ 0 en R− [−M,M ].

Entonces, si denimos

f(nL

):=

∞∫−∞

f(t)e−2πi nLtdt

y pensamos que f es una función sucientemente "buena", tomando limite para L tendiendo a∞, tenemos que

∑n∈N

1

Lf (n/L) e2π( n

L)x −→∞∫−∞

f(t)e2πiξtdξ

Por lo tanto, tendríamos que:

f(x) =

∞∫−∞

f(t)e2πiξtdξ

donde



f(ξ) =

∞∫−∞

f(x)e−2πiξtdx

esto motiva la siguiente

Denición 1.1. Dada f ∈ L1(R), denimos su transformada de Fourier como

f(ξ) =

∞∫−∞

f(x)e−2πixξdx

Observación 1.2. También usaremos para la transformada de Fourier la notación F := f

Proposición 1.3. Dada f ∈ L1(R), valen las siguientes propiedades:

1. f|ξ|→∞→ 0

2. f ∈ L∞y∥∥∥f∥∥∥

∞≤ ‖f‖1

3. f es continua en R.

Demostración. 1. |f(ξ)| = |∫Rn

f(x)e−2πixξdx ≤∫Rn

|f(x)|dx = ‖f‖1

2. Lo hacemos por densidad:

Veamos primero que vale para funciones simples:

Si g =k∑j=1

cjχRj siendo Rj =n∏i=1

[ajl , bjl ], entonces:

χ(ξ) =

∫Rn

χRje−2πixξdx

=

∫R

χ[aj1,b

j1]

(x1)χ[aj2,b

j2]

(x2) · · ·χ[ajn,b

jn]

(xn)e−2πix1ξ1 · · · e−2πixnξndx

=n∏l=1

∫R

χ[ajl ,b

jl ]

(xl)e−2πixlξldxl

Calculemos χ[a,b]

χ[a,b] =

∫R

χ[a,b](x)e−2πixξdx =

b∫a

e−2πixξdx

e−2πixξ

−2πiξ

∣∣∣ba

=e−2πibξ

−2πiξ− e−2πiaξ

−2πiξ

ξ→∞→ 0



Entonces ∫R

χ[ajl ,b

jl ]


ξ→∞→ 0

Luego,

n∏l=1

∫R

χ[ajl ,b

jl ]


ξ→∞→ 0

con lo cual,

χRj

ξ→∞→ 0

Por linealidad de la transformada de Fourier, g(ξ)ξ→∞→ 0.

Dados f ∈ L1(Rn) y ε > 0, existe g simple medible tal que ‖f − g‖1 <∞∣∣∣f(ξ)∣∣∣ =

∣∣∣f(ξ)− g(ξ) + g(ξ)∣∣∣

≤∣∣∣ (f − g)(ξ)

∣∣∣+ |g(ξ)| ≤ ‖f − g‖1 + |g(ξ)|

3. Sea ξ ∈ Rn, ξ jo

f(ξ + h)− f(ξ) =

∫Rn

f(x)(e−2πix(ξ+h) − e−2πixξ

)dx =

∫Rn

e−2πixξ(e−2πixh − 1

)f(x)dx

Luego,

∣∣∣f(ξ + h)− f(ξ)∣∣∣ ≤ ∫

Rn

∣∣∣e−2πixξ∣∣∣ |f(x)|

∣∣∣e−2πixh − 1∣∣∣ dx

|f(x)|∣∣∣e−2πixh − 1

∣∣∣ ≤ 2 |f(x)| ∈ L1(Rn).

Por Teorema de Convergencia Dominada podemos armar que f es continua.

Proposición 1.4. Dada f ∈ L1(R)

1. Si f ′ ∈ L1(R) entonces f ′(ξ) = 2πiξf(ξ).

2. (xf)(ξ) = (−1/2πi)(f)′(ξ)



Lema 1.5. (de Parseval)

Si f, g ∈ L1(R) entonces

∞∫−∞

f(ξ)g(ξ)dξ =

∞∫−∞

f(ξ)g(ξ)dξ

Demostración.∞∫−∞

f(ξ)g(ξ)dξ =

∞∫−∞

∞∫−∞

(f(x)e−2πixξdx

)g(ξ)dξ

Aplicando Teorema de Fubini obtenemos que

∞∫−∞

∞∫−∞

e−2πixξg(ξ)dξf(x)dx =

∞∫−∞

f(x)g(x)dx

Denición 1.6. Dada g ∈ L1(R) continua en el origen y tal que g(0) = 1, denimos, para todo

t > 0

Ag,tf(x) =

∞∫−∞

f(ξ)g(tξ)e2πixξdξ

Observación 1.7. La transformada de Fourier en Rn se construye de manera análoga, es decir, sif ∈ L1(Rn), entonces

f(ξ) =

∫Rn

f(x)e2πixξdx

y vale lo mismo que enunciamos para la transformada de f ∈ L1(R).

Del mismo modo, valen las cuentas para Ag,tf , es decir,

Ag,t =

∫Rn

f(ξ)g(tξ)e2πixξdξ = (f ∗ ϕt)(x)

con ϕ(x) = g(−x) y ϕt(x) = (1/tn)ϕ(x/t)

1.2. La transformada de Fourier en Rn

Lema 1.8. Sea ϕ ∈ L1(Rn) tal que∫ϕ = 1 y sea ϕt(x) = (1/tn)ϕ(x/t). Entonces

1. Si f ∈ L∞(Rn) y es continua en x, (f ∗ ϕt)(x)t→0−→ f(x)

2. Si f ∈ Lp(Rn) para algún p ∈ [1,∞), (f ∗ ϕt)Lp

−→ f



Demostración. 1. Primero observemos que como∫φ = 1 entonces

∫φt = 1. Luego

(f ∗ φt)(x)− f(x) =

∫Rn

f(x− y)φt(y)dy − f(x) =

∫Rn

[f(x− y)− f(x)]φt(y)dy

Ahora, dado ε > 0, sabemos que existe δ > 0 tal que |f(x− y)− f(x)| < ε si |y| < δ. Entonces

|f ∗ φt(x)− f(x)| ≤∫Rn

|f(x− y)− f(x)| |φt(y)| dy

=

∫|y|<δ

|f(x− y)− f(x)| |φt(y)| dy +

∫|y|≥δ

|f(x− y)− f(x)| |φt(y)| dy

≤ ‖φ‖1 + 2 ‖f‖∞∫|y|≥δ

|φt(y)| dy < Cε

pues: ∫|y|≥δ

|φt(y)| dy =

∫|y|≥δ

1

tn

∣∣∣φt(yt)∣∣∣ dy =

∫|z|>δ/t

φ(z)dz

y esta última integral tiende a cero cuando t→ 0.

2. Por la desigualdad integral de Minkowski,

‖f ∗ φt − f‖p ≤∫Rn

‖f(• − y)− f(•)‖p |φt(y)| dy =

∫Rn

wp(y) |φt(y)| dy

donde wp(z) := ‖f(• − y)− f(•)‖p. Pero wp(tz)→ 0 cuando t→ 0 y podemos aplicar Teorema

de convergencia Dominada pues ‖wp‖∞ ≤ 2 ‖f‖p y φ ∈ L1(Rn).

Teorema 1.9. Si f ∈ (Lp(Rn) ∩ L1(Rn)) y g ∈ L1(Rn) es tal que∫Rn

g = 1, entonces Ag,tf −→ f

cuanto t −→ 0 en Lp para todo 1 ≤ p <∞.

Además, si p =∞ y f es continua en x, entonces Ag,tf(x) −→ f(x).

Demostración. Vimos en la observación (1.7) que Agtf = f ∗ φt donde g(−x) = φ(x). Por lo tanto,el resultado se deduce del Lema anterior.

Teorema 1.10. 1. Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ L1 ∩ Lp, entonces

f(x) = limt→0

∫Rn

f(ξ)e−πt|ξ|2e2πixξdξ en Lp

2. Si p =∞ y f es continua en x, entonces

f(x) = limt→0

∫Rn

f(ξ)e−πt|ξ|2e2πixξdξ puntualmente



3. En consecuencia, volviendo al caso general, si g es continua en el origen,

g(0) = limt→0

∫Rn

g(ξ)e−πt|ξ|2dξ

y si g ∈ L1(R), podemos aplicar Teorema de convergencia Dominada y resulta

g(0) =

∫Rn

g(ξ)dξ

Teorema 1.11. (de Inversión). Si f ∈ L1(Rn) y f ∈ L1(Rn), entonces

f(x) =

∫Rn

f(ξ)e2πixξdξ

Demostración. Considero g(x) = e−π|x|2

, como g es continua g(tξ)t→0−→ g(0).

Por Teorema anterior,

f(x) = limt→0

∫Rn

f(ξ)e−πt|ξ|2

e2πixξdξ en L1(Rn)

Por hipotesis, f(ξ) ∈ L1(Rn) entonces∣∣∣f(ξ)e−πt|ξ|2

e2πixξ∣∣∣ ≤ ∣∣∣f(ξ)

∣∣∣ ∈ L1(Rn)

estamos bajo las condiciones del Teorema de Convergencia Dominada, entonces

f(x) =

∫Rn

f(ξ)e2πixξdξ.

Denición 1.12. Denimos la antitransformada de Fourier como

f(x) =

∫Rn

f(ξ)e2πixξdξ

1.3. La transformada de Fourier en L2(Rn)

Teorema 1.13. Si f ∈ (L1(Rn) ∩ L2(Rn)), entonces f ∈ L2(Rn) y∥∥∥f∥∥∥

2= ‖f‖2.

Demostración. Sea g(x) = f(−x).

Por hipótesis f ∈ L1(Rn), podemos transformar Fourier a f y como f(−x) = g(x) tambiénpodemos transformar Fourier a g:



g = f = f

Si llamamos h a la convolución de las funciones f y g, tenemos que

h = f ∗ g = f g = f f =∣∣∣f ∣∣∣2 .

Como f ∈ L1(Rn) y g ∈ L1(Rn) entonces h ∈ L1(Rn)

Veamos que h = f ∗ g es acotada:

|h(x)| = |(f ∗ g)(x)| =

∣∣∣∣∣∣∫Rn

f(x− y)g(y)dy

∣∣∣∣∣∣ ≤∫Rn

|f(x− y)g(y)| dy = ‖fg‖1 ≤ ‖f‖2 ‖g‖2

Veamos ahora que h es continua:

|h(x0 + k)− h(x0)| =

∣∣∣∣∣∣∫Rn

f(x0 + k − y)g(y)dy −∫Rn

f(x0 − y)g(y)dy

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∫Rn

(f(x0 + k − y)− f(x0 − y)) g(y)dy

∣∣∣∣∣∣ ≤∫Rn

|f(x0 + k − y)− f(x0 − y)| |g(y)| dy

≤ ‖f(x0 + k •)− f(x0 •)‖2 ‖g‖2k→0−→ 0

Luego, como h ∈ L1(Rn) y h es continua en el orígen,

h(x) = limt→0

∫Rn

h(ξ)e−πt|ξ|2

e2πixξdξ

entonces

h(0) = limt→0

∫Rn

h(ξ)e−πt|ξ|2

dξ

Además se cumple que h ≥ 0, pues∣∣∣f ∣∣∣ ≥ 0, con lo que podemos aplicar el Lema de Fatou:

h ≥∫Rn

limt→0h(ξ)e−πt|ξ|2

dξ =

∫Rn

h(ξ)dξ

Luego h ∈ L1(Rn). Aplicamos Teorema de Inversión:

h(x) =

∫Rn

h(ξ)e2πixξdξ

por lo tanto



h(0) =

∫Rn

h(ξ)dξ =

∫Rn

∣∣∣f(ξ)∣∣∣2 dξ =

∥∥∥f∥∥∥2

2(1)

Por otro lado,

h(0) = (f ∗ g)(0) =

∫Rn

f(y)g(−y)dy =

∫Rn

f(y)f(y)dy =

∫Rn

|f(y)|2 dy = ‖f‖22 (2)

Por (1) y (2) obtenemos que∥∥∥f∥∥∥

2= ‖f‖2 y f ∈ L2(Rn).

2. Introducción a la teoria de distribuciones

La teoria de distribuciones surge de la existencia de funciones no diferenciables.

Desde el comienzo del cálculo diferencial se intuye la necesidad de extender estas nociones demodo que las operaciones fundamentales del análisis se puedan realizar siempre y sin hipótesis com-plicadas de validez.

Se trata de obtener una noción generalizada de diferenciación que permita derivar funciones (enprincipio) que no lo son en sentido ordinario y poder aplicar el cálculo en su forma original.

El otro antecedente principal del origen de las distribuciones está relacionado con el anterior,aunque tiene unas raíces más proximas: se trata de las funciones generalizadas que fueron aparecien-do cada vez con mas frecuencia en diversas áreas del análisis, ligadas a las ecuaciones diferenciales oa los distintos cálculos operacionales que fueron surgiendo (transformada de Fourier, transformadade Laplace).

2.1. Conceptos previos

Sea X un espacio vectorial sobre K (con K = R o C)

Denición 2.1. Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio topológico (X,τ) en el

que X es un K-espacio vectorial, y la topología τ es de Hausdor y cumple que las operaciones

vectoriales

X ×X 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ X y

K×X 3 (λ, x)

son continuas, cuando en X ×X y en K×X se usan las topologías producto.

Observar que Tx : X → X dada por Tx(y) = x + y es un homeomorsmo, con lo cual podemos

calcular los entornos de x ∈ X como

Oτ (x)=x+Oτ (0):=x+ U = Tx(U) : U ∈ Oτ (0) .



Denición 2.2. Una función p : X → R es una seminorma si dados x, y ∈ X y λ ∈ K, se cumple

que

1. p(x) ≥ 0

2. p(λx) = |λ| p(x)

3. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

Denición 2.3. Sea X un K espacio vectorial.

1. Una familia F de seminormas de X se llama separadora si para cada par de puntos x 6= yexiste p ∈ F tal que p(x − y) 6= 0. Entonces la familia de funciones dz,p : X → R+, con

dz,p(x) = p(x− z), separa puntos de X.

2. Llamaremos σ(X,F) a la menor topología sobre X que hace a las funciones dz,p continuas.

Proposición 2.4. Sea X un K-espacio vectorial, y sea σ(X,F) la topología inducida por una familia

de seminormas F que separa puntos de X. Dada una red x = (xi)i∈I en X, se tiene que

xi converge a x ∈ X con σ(X,F) si y sólo si p(xi − x) converge a 0 en R, para toda p ∈ F .

Denición 2.5. Sea X un K-espacio vectorial

1. Un conjunto C ⊂ X se dice convexo si tC + (1− t)C ⊂ C para todo 0 ≤ t ≤ 1.

2. Un conjunto B ⊂ X se dice balanceado si αB ⊂ B para todo α ∈ K con |α| ≤ 1.

3. Un conjunto E ⊂ X es acotado si a cada entorno del 0 en X, le corresponde un s > 0 tal

que E ⊂ tV para cada t > s.

Denición 2.6. Sea X un EVT:

1. X es localmente convexo si cada punto tiene una base de entornos que consiste de abiertos

convexos.

2. X es localmente compacto si cada punto tiene un entorno cuya clausura es compacta.

3. X es metrizable si τ es compatible con una métrica d.

4. X es un F -espacio si su topología τ es inducida por una métrica completa e invariante por

traslaciones.

5. X es un espacio de Fréchet si es localmente convexo y un F -espacio.

Teorema 2.7. Si X es un espacio vectorial topológico que satisface el primer axioma de numer-

abilidad, es decir todo punto tiene una base de entornos numerable. Entonces existe una métrica den X que es compatible con la topología de X e invariante por traslaciones.



Demostración. Consideremos el 0, por la observación anterior existe Vn una base del 0 tal que

Vn+1 + Vn+2 + Vn+3 + Vn+4 ⊂ Vn n = 1, 2, . . .

Sea D el conjunto de todos los racionales r de la forma

r =∞∑n=1

cn(r)2−n

donde cada ci(r) es 0 o 1 y sólo para nitos valores es 1. Estos es, cada r ∈ D satisface 0 ≤ r ≤ 1.Sea A(r) = X si r ≥ 1; para cualquier r ∈ D, denimos

A(r) = c1(r)V1 + c2(r)V2 + · · ·

Notar que en realidad esta suma es nita. Denimos

f(x) = ınf r : x ∈ A(r) x ∈ X y

d(x, y) = f(x− y) (3)

Para ver que d satisface las condiciones deseadas veamos la siguiente propiedad

A(r) +A(s) ⊂ A(r + s) (x ∈ X, y ∈ X). (4)

Asumamos que vale (4) y luego lo probamos.Como cada A(s) contiene al 0, por (4) se tiene que

A(r) ⊂ A(r) +A(t− r) ⊂ A(t) (si r < t.) (5)

Esto es A(r) esta totalmente ordenado por la inclusión de conjuntos. Veamos que

f(x+ y) ≤ f(x) + f(y) (x ∈ X, y ∈ X) (6)

Podemos asumir que el lado derecho de la desigualdad es < 1. Fijemos ε > 0. Existen r y s enD tal que

f(x) < r, f(y) < s y r + s < f(x) + f(y) + ε.

Esto es x ∈ A(r), y ∈ A(s), y (4) implica que x+ y ∈ A(r + s). Ahora se tiene que,

f(x+ y) ≤ r + s < f(x) + f(y) + ε

como ε es arbitrario se tiene que vale (6).Como cada A(r) es balanceado (cada Vi lo es) f(x) = f(−x) (x ∈ A(r) ⇔ −x ∈ A(r)). Es claro

que f(0) = 0. Si x 6= 0 luego x /∈ Vn = A(2−n) para algún n y entonces f(x) ≥ 2−n > 0.Con estas propiedades hemos probado que (3) dene una métrica invariante por traslaciones en

X. Las bolas abiertas centradas en 0 son los conjuntos abiertos

Bδ(0) = x : f(x) < δ =⋃r<δ

A(r).



Si δ < 2−n, luego Bδ(0) ⊂ Vn. Luego Bδ(0) es una base de entornos del 0 para la topologíade X. Con esto probamos que d es compatible con la topología de X.

Para completar la prueba nos queda ver que vale (4). Si r + s ≥ 1, luego A(r + s) = X y secumple trivialmente (4). Ahora supongamos que r + s < 1, usaremos la siguiente proposición:

Si r, s y r + s están en D y cn(r) + cn(s) 6= cn(r + s) para algún n luego en el menor n para el

cual eso ocurre tenemos que cn(r) = cn(s) = 0 y cn(r + s) = 1.Sea αn = cn(r), βn = cn(s), γn = cn(r + s). Si αn + βn = γn para todo n luego por(5)

A(r) +A(s) = A(r+ s). Ahora si esto no pasa, sea N el menor el índice para el cual αN +βN 6= γN .Luego por la proposición que citamos tenemos que αN = βN = 0 y γN = 1. Luego

A(r) ⊂ α1V1 + · · ·+ αN−1VN−1 + VN+1 + VN+2 + · · ·

⊂ α1V1 + · · ·+ αN−1VN−1 + VN+1 + VN+1.

donde estas contenciones valen por como se eligió la base Vn.

De manera similar,

A(s) ⊂ β1V1 + · · ·+ βN−1VN−1 + VN+1 + VN+1.

Como αn + βn = γn para todo n < N tenemos entonces que

A(r) +A(s) ⊂ γ1V1 + · · ·+ γN−1VN−1 + VN ⊂ A(r + s)

pues γN = 1.

Denición 2.8. Supongamos que X e Y son espacios vectoriales topológicos y ∆ : X → Y es lineal,

∆ se dice acotado si ∆(E) es acotado si E es acotado.

Teorema 2.9. Sea ∆ un funcional lineal en un espacio vectorial topológico X. Supongamos que

∆x 6= 0 para algún x ∈ X. Luego son equivalentes:

1. ∆ es continuo.

2. El núcleo N (∆) es cerrado.

3. N (∆) no es denso en X.

4. ∆ es acotado en algún entorno V de 0.

2.2. Los espacios C∞(Ω) y DKEmpezaremos esta sección con algo de notación y terminología que se usará en el desarrollo de

la teoría distribucional.

El término multi-índice denota una n-upla α = (α1, α2, · · · , αn) de números enteros no negativosαi.

A cada multi-índice α se le asocia un operador diferencial



Dα =

(∂

∂x1

)α1

· · ·(∂

∂xn

)αn

cuyo orden es |α| = α1 + · · ·+ αn.

Si |α| = 0, Dαf = f .

Denición 2.10. Una función compleja f denida en un conjunto abierto no vacío Ω ⊂ Rnpertenece a C∞(Ω) si Dαf ∈ C(Ω) para cada multi-índice α.

Denición 2.11. El soporte de una función f (denida en un espacio topológico cualquiera) es la

clausura de x : f(x) 6= 0.

Denición 2.12. Si K es un subconjunto compacto de Rn, DK denota el espacio de todas las

funciones f ∈ C∞(Rn) cuyo soporte está contenido en K.

Deniremos una topología en C∞(Ω), que hace a este espacio un espacio de Fréchet y ademáses tal que DK es un subespacio cerrado de C∞(Ω) para K ⊂ Ω.

Para esto, elegimos compactos Ki (i = 1, 2, 3, . . .) tal que Ki ⊂ Koi+1 y Ω =

⋃i=1,2,...

Ki (por

ejemplo pueden tomarse Ki = Bi(x)∩Ω, x ∈ Ω, son compactos relativos a Ω y cumplen lo pedido).Denimos las seminormas pN en C∞(Ω), N = 1, 2, 3, . . ., de la siguiente forma

pN (f) = max |Dαf(x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N .

Esta es una familia de seminormas separadora, pues si f 6= g entonces f − g 6= 0, luego existeα multi-índice tal que Dα(f − g) 6= 0, tomando N = |α| obtenemos que pN (f − g) 6= 0. Por ladenición (2.3) y el Teorema (2.7) estas seminormas denen una topología en C∞(Ω) que hace deeste espacio un espacio vectorial topológico localmente convexo y metrizable.

Sea x ∈ Ω, el funcional f 7→ f(x) es continuo con esta topología, pues si fi es una red en C∞(Ω)que converge a f . Por la Proposición (2.4) pN (fi − f) → 0 para N = 1, 2, . . ., esto nos dice enparticular que (fi−f)(x)→ 0 o sea fi(x) converge a f(x). Es claro que DK es la intersección de losespacios nulos de estos funcionales con x variando en el complemento de K. Luego por el Teorema(2.9) tenemos que DK es cerrado en C∞(Ω).

Una base de entornos del 0 es

VN = f ∈ C∞(Ω) : pN (f) < 1/N N = 1, 2, . . .

Si fi es una sucesión de Cauchy en C∞(Ω) y N es jo, luego fi − fj ∈ VN si i, j son su-cientemente grandes. Esto es |Dαfi −Dαfj | < 1/N en KN , si |α| ≤ N . Si cada Dαfi converge(uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω) a una función gα. En particular fi(x)→ g0(x).Luego g0 ∈ C∞(Ω) y gα = Dαg0, entonces fi → g0 en la topología de C∞(Ω) .

Por lo tanto C∞(Ω) es un espacio de Fréchet y entonces lo mismo vale para cada DK (por sersubespacios cerrados).

Observación 2.13. DK es un espacio de Fréchet.

Denición 2.14. Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto no vacío. Para cada compacto K ⊂ Ω, tenemos

el espacio de Frechet DK . La unión de estos espacios DK sobre todos los compactos K contenidos

en Ω, es el espacio de funciones de prueba D(Ω).



Denición 2.15. Sea Ω ⊂ Rn abierto no vacío.

1. para cada compacto K ⊂ Ω, τK denota la topología en DK dada por las seminormas pN .

2. β es la colección de todos los conjuntos W ⊂ D(Ω) convexos, balanceados, tales que DK ∩W ∈τK para cada compacto K ⊂ Ω.

3. τ es la colección de uniones de conjuntos de la forma φ+W con φ ∈ D(Ω) y W ∈ β.

Los siguientes Teoremas arman que τ es una topología y las propiedades que cumple.

Teorema 2.16. Valen que

1. τ es una topología en D(Ω) y β es una base del 0 para τ .

2. τ hace a D(Ω) un espacio vectorial topológico localmente convexo.

Teorema 2.17. Valen que

1. Un conjunto convexo y balanceado de D(Ω) es abierto si y solo si V ∈ β.

2. La topología τK de cualquier DK ⊂ D(Ω) coincide con la topología de τ relativa a DK .

3. Si E es un subconjunto acotado de D(Ω) entonces E ⊂ DK para algún K ⊂ Ω y existen

números MN <∞ tales que para cada φ ∈ E se satisfacen las siguientes igualdades:

‖φ‖N ≤MN para N = 0, 1, 2, · · ·

4. Si φi es una sucesión de Cauchy en D(Ω) entonces φi ⊂ DK para algún K ⊂ Ω y

limi,j→∞ ‖φi − φj‖N = 0 para N = 0, 1, 2, · · ·

5. Si φi → 0 en la topología de D(Ω), existe un compacto K ⊂ Ω que contiene al soporte de cada

φi y Dαφi

i→∞→ 0 uniformemente, para cada multí-índice α.

6. En D(Ω) cada sucesión de Cauchy, converge.

Teorema 2.18. Supongamos que ∆ es una aplicación lineal de D(Ω) es un espacio localmente

convexo Y. Son equivalentes:

1. ∆ es contínua.

2. ∆ es acotada.

3. Si φi → 0 en D(Ω) entonces ∆φi → 0 en Y.

4. Las restricciones de ∆ a cada DK ⊂ D(Ω) son contínuas.

Corolario 2.19. Cada operador diferencial Dα es contínuo de D(Ω) en D(Ω).

Denición 2.20. Un funcional lineal en D(Ω) contínuo con respecto a τ se llama una distribución.

Denición 2.21. El espacio de todas las distribuciones en Ω se denota D′(Ω).



Teorema 2.22. Si ∆ es un funcional lineal en D(Ω), las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ∆ ∈ D′(Ω).

2. A cada compacto K ⊂ Ω le corresponde un número entero no negativo N y una constante

C <∞ tal que:

|∆φ| ≤ C ‖φ‖N

para cada φ ∈ DK .

2.3. Convoluciones

Denición 2.23. Si u es una función en Rn y x ∈ Rn, denimos:

(τxu)(y) = u(y − x) y u(y) = u(−y) para y ∈ Rn

Notar que:

(τxu)(y) = u(y − x) = u(x− y).

Por esto, si u y v son funciones complejas en Rn, podemos denir la convolución de u y v como:

(u ∗ v)(x) =

∫Rn

u(y)(τxv)(y)dy

Esto hace que sea natural denir

(u ∗ φ)(x) = u(τxφ) con u ∈ D′(Rn), φ ∈ D(Rn), x ∈ Rn

La relación ∫(τxu).v =

∫u.(τ−xv)

válida para funciones u y v, hace que sea natural denir la traslación τxu para u ∈ D′ como:

(τxu)(φ) = u(τ−xφ) para φ ∈ D, x ∈ Rn

Teorema 2.24. Supongamos u ∈ D′, φ ∈ D y ψ ∈ D. Entonces,

1. τx(u ∗ φ) = (τxu) ∗ φ = u ∗ (τxφ) para toda x ∈ Rn

2. u ∗ φ ∈ C∞ y

Dα(u ∗ φ) = (Dαu) ∗ φ = u ∗ (Dαφ)

para todo multi-índice α

3. u ∗ (φ ∗ ψ) = (u ∗ φ) ∗ ψ



Demostración. Probaremos 1. y 2. porque lo necesitaremos en la sección siguiente:

Para todo y ∈ Rn ,

(τx(u ∗ φ))(y) = (u ∗ φ)(y − x) = u(τy−xφ)

((τxu) ∗ φ)(y) = (τxu)(τyφ) = u(τy−xφ)

(u ∗ (τxφ))(y) = u(τy ˇ(τxφ)) = u(τy−xφ)

Se usaron las relaciones:

τyτ−x = τy−x

ˇ(τxφ) = τ−xφ

nos dá 1.

Si aplicamos u a ambos lados de la identidad

τx ˇ(Dαφ) = (−1)|α|Dα(τxφ)

obtenemos que:

(u ∗ (Dαφ))(x) = ((Dαu) ∗ φ)(x).

Para probar el resto de 2. sea e un vector unitario de Rn y ponemos

ηr = r−1(τ0 − τre) (r > 0).

Por lo visto en (2.24)

ηr(u ∗ φ) = u ∗ (ηrφ) (7)

si r → 0, ηrφ→ Deφ en ζn, donde De denota la derivada direccional en la dirección e.

Por lo tanto,

τx( ˇ(ηrφ))→ τx ˇ(Deφ) en ζn

para cada x ∈ Rn tal que

limr→0(u ∗ (ηrφ))(x) = (u ∗ (Deφ))(x) (8)

Por (7) y (8) obtenemos que

De(u ∗ φ) = u ∗ (Deφ)

y la iteración de la última igualdad nos dá 2.



3. Distribuciones y la transformada de Fourier

3.1. La medida de Lebesgue normalizada y la transformada de Fourier

Denición 3.1. La medida normalizada de Lebesgue en Rn, es la medida mn denida por:

dmn(x) = (2π)−(n2 )dx

Observación 3.2. El espacio de Lebesgue Lp, o Lp(Rn), será normado mediante mn:

‖f‖p =

∫Rn

|f |pdmn

1p

(1 ≤ p <∞)

Observación 3.3. Dadas f, g ∈ Rn, es conveniente redenir su convolución en términos de lamedida de Lebesgue, como:

(f ∗ g)(x) =

∫Rn

f(x− y)g(y)dmn(y)

cuando existe la integral.

Denición 3.4. Para cada t ∈ Rn, la caracteristica et es la función denida como:

et(x) = eit·x = ei(t1x1+···+tnxn) (x ∈ Rn)

Observación 3.5. Cada et satisface la ecuación:

et(x+ y) = et(x)et(y)

Observación 3.6. Dada una función f ∈ L1(Rn), vamos a redenir la Transformada de Fourier

en términos de la medida de Lebesgue, como:

f(t) =

∫Rn

fe−tdmn (t ∈ Rn)

Notar que

f(t) = (f ∗ et)(0)

Observación 3.7. Si α es un multiíndice, entonces

Dα = (i)−|α|Dα =

(1

i

∂

∂x1

)α1

· · ·(

1

i

∂

∂xn

)αn

Denición 3.8. Denimos el operador traslación como:

(τxf)(y) = f(y − x)

Teorema 3.9. Si f, g ∈ L1(Rn), x ∈ Rn, entonces



1. τxf = e−xf

2. exf = τxf

3. (f ∗ g) = f g

4. Si λ > 0 y h(x) = f(x/λ), entonces h(t) = λnf(λt)

Demostración. 1. Por las deniciones del operador traslación τx y de la caracteristica et, tenemosque:

τxf(t) =

∫(τxf) · e−t =

∫f · τ−xe−x =

∫f · e−t(x)e−t = e−x(t)f(t)

2. Por la misma razón, tenemos que:

exf(t) =

∫exfe−t =

∫fe−(t−x) = (τxf)(t)

3. sale aplicando el Teorema de Fubini.

4. sale haciendo un cambio de variables en la denición de f .

Denición 3.10. Sea f ∈ C∞(Rn) tal que

sup|α|≤Nsupx∈Rn(1 + |x|2)N |(Dαf)(x)| <∞ (9)

para N = 0, 1, 2, · · ·Las funciones que cumplen esto se denominan de rápido decrecimiento y lo denotaremos por

ζn.

En otras palabras, se requiere que P ·Dαf sea una función acotada en Rn para todo polinomio

P y para todo multi-índice α.

Observación 3.11. ζn forman un espacio vectorial, en la que la colección numerable de normas(9), dene localmente una topología convexa y es invariante por traslaciones.

Teorema 3.12. 1. ζn es un espacio de Fréchet.

2. Si P es un polinomio, g ∈ ζn y α es un multiíndice, entonces cada una de las siguientes

asignaciones:

f → Pf

f → gf

f → Dαf

es una aplicación lineal continua, de ζn a ζn.

3. Si f ∈ ζn y P es un polinomio, entonces:



P (D)f = P f

P f = P (−D)f

4. La transformada de Fourier es una aplicación lineal continua, de ζn a ζn.

Observación 3.13. Para la demostración, necesitaremos la Fórmula de Leibnitz:

Si f, g ∈ C∞(Ω) entonces

Dα(fg) =∑β≤α

cαβ

(Dα−βf

)(Dβg

)Demostración.

1. Que ζn es localmente convexo e invariante por traslaciones, se deduce de la observación (3.11).Veamos ahora que ζn es un espacio completo, para eso, tomemos fi una sucesión en ζn. Paratodo par de multi-índices α y β, las funciones xβDαfi(x) convergen uniformemente a una funciónacotada gαβ si i→∞.Se sigue que gαβ(x) = xβDαg00(x) y por lo tanto, fi → g00 pues si α = β = 0, entoncesxβDαfi = x0D0fi = fi.Con esto, ζn es completo.

2. Si f ∈ ζn entonces Dαf ∈ ζn.Por fórmula de Leibnitz,

Dα(Pf) =∑β≤α

cαβ

(Dα−βP

)(Dβf

)y

Dα(gf) =∑β≤α

cαβ

(Dα−βg

)(Dβf

)entonces Pf y gf ∈ ζn. La continuidad es consecuencia del Teorema del Gráco Cerrado.

3. Si f ∈ ζn, por lo visto en 2. Pf ∈ ζn también. Como

(P (D)f) ∗ et = f ∗ P (D)et = f ∗ P (t)et = P (t) [f ∗ et]

evaluamos estas funciones en el origen de Rn y obtenemos

(P (D)f)(t) = P (t)f(t)

Si t = (t1, · · · , tn) y t′ = (t1 + ε, t2, · · · , tn), ε 6= 0 entonces:

f(t′)− f(t)

iε=

∫Rn

x1f(x)e−ix1ε − 1

ix1εe−ix·tdmn(t)

aplicamos Teorema de Convergencia Dominada, x1f ∈ L1 y



−1

i

∂

∂t1f =

∫Rn

x1f(x)e−ix·tdmn(t).

éste es el caso P (x) = x1, el caso general es por iteración.

4. Supongamos que f ∈ ζn y que g(x) = (−1)|α|xαf(x) entonces g ∈ ζn.Por 3. g = Dαf y P ·Dαf = P · g = (P (D)g), que es una función acotada, P (D)g ∈ L1(Rn), estoprueba que f ∈ ζn.Si fi → f en ζn entonces fi → f en L1(Rn). Mas aún, fi(t)→ f(t) para todo t ∈ Rn. La continuidadde f → f de ζn en ζn se sigue del Teorema del Gráco Cerrado.

Lema 3.14. Si φn está denida en Rn como:

φn(x) = e−12|x|2

entonces φn ∈ ζn, φn = φn y

φn(0) =

∫Rn

φndmn

Demostración. Claramente, φn ∈ ζn y φ1 satisface la ecuación diferencial

y′ + xy = 0 (10)

y aplicando la parte c) del Teorema (3.12) armamos que φ1 satisface (10) y por lo tanto, φ1/φ1

es constante.

Como φ1(0) = 1 y

φ1(0) =

∫R

φ1dm1 = (2π)−1/2

∞∫−∞

e(−1/2)x2dx = 1

concluimos que φ1 = φ1.

Luego,

φn(x) = φ1(x1) · · ·φ1(xn) (x ∈ Rn)

Con lo cual,

φn(t) = φ1(t1) · · · φ1(tn) (t ∈ Rn)

esto muestra que φn = φn para todo n. Como φn(0) =∫φndmn por denición y por lo visto

recién, obtenemos lo querido.



3.2. El Teorema de Inversión

Teorema 3.15. (de Inversión)

1. Si g ∈ ζn, entonces

g(x) =

∫Rn

gexdmn (x ∈ Rn) (11)

2. La transformada de Fourier es una aplicación lineal, continua, biyectiva, de ζn a ζn, de período4, con inversa también continua.

3. Si f ∈ L1(Rn), f ∈ L1(Rn) y

f0(x) =

∫Rn

f exdmn

entonces f(x) = f0(x) c.t.p.

Demostración. Si f, g ∈ L1(Rn), podemos aplicarle el Teorema de Fubini a la integral doble:∫Rn

∫Rn

f(x)g(y)e−ix·ydmn(x)dmn(y)

para obtener la igualdad: ∫Rn

∫Rn

fgdmn =

∫Rn

∫Rn

fgdmn (12)

Para probar la primer parte, tomemos g ∈ ζn, φ ∈ ζn, f(x) = φ(x/λ), donde λ > 0.Por el Teorema (3.9), la ecuación (12) queda:∫

Rn

g(t)λnφ(λt)dmn(t) =

∫Rn

φ(yλ

)g(y)dmn(y)

o, haciendo un cambio de variables,∫Rn

g

(t

λ

)φ(t)dmn(t) =

∫Rn

φ

(t

λ

)g(t)dmn(y) (13)

si λ → ∞, g(tλ

)→ g(0) y φ

( yλ

)→ φ(0), de manera que podemos aplicar el Teorema de

Convergencia Dominada a las dos integrales de (13). El resultado es:

g(0)

∫Rn

φdmn = φ(0)

∫Rn

gdmn (g, φ ∈ ζn) (14)

si pensamos a φ como la función φn del Lema (3.14), la ecuación (14) dá el caso x = 0 de lafórmula de inversión (11). El caso general se sigue mediante el Teorema (3.9),

g(x) = (τ−xg)) (0) =

∫Rn

τ−xgdmn =

∫Rn

gexdmn.



Esto completa la demostración de la primera parte del Teorema.

Para probar 2. introducimos la notación Φg = g.

La fórmula de inversión (11) muestra que Φ es biyectiva en ζn, ya que g = 0 implica que g = 0.También:

Φ2g = g

Recordemos que g(x) = g(−x). Luego, Φ4g = g. Se sigue que Φ : ζn → ζn.La continuidad de la Φ la probamos en el Teorema (3.12). Para probar la continuidad de Φ−1,

usamos que Φ−1 = Φ3.

Para probar 3. usamos la igualdad (12) con g ∈ ζn. Introducimos la fórmula de inversión (11)en (12) y usamos el Teorema de Fubini, para obtener∫

Rn

f0gdmn =

∫Rn

fgdmn (g ∈ ζn) (15)

por 2. las funciones g cubren todo ζn. Como D(R) ⊂ ζn, la igualdad (15) implica que:∫Rn

(f0 − f)φdmn = 0

para toda φ ∈ D(Rn), por lo tanto, para toda φ continua con soporte compacto. Resulta quef0 − f = 0 ctp.

Teorema 3.16. Si f ∈ ζn y g ∈ ζn, entonces:

1. f ∗ g ∈ ζn

2. fg = f ∗ g

Demostración. Por la parte 3. del Teorema (3.9),

f ∗ g = f g

o, en la notación del Teorema anterior,

Φ(f ∗ g) = Φf · Φg (16)

con f y g en lugar de f y g, la ecuación (16) queda:

Φ(f ∗ g) = Φ2f · Φ2g = f g = ˇ(fg) = Φ2(fg) (17)

Ahora aplicamos Φ−1 a ambos lados de la ecuación (17), para obtener 2.

Notar que fg ∈ ζn; por lo tanto 2. implica que f ∗ g ∈ ζn y esto dá 1. donde la transformada deFourier vá de ζn a ζn.



3.3. El Teorema de Plancherel

Teorema 3.17. (de Plancherel) Hay una isometria lineal ψ : L2(Rn)→ L2(Rn), que está univoca-

mente determinada por:

ψf = f para todaf ∈ ζn

Observación 3.18. La igualdad ψf = f se extiende de ζn a L1 ∩ L2, donde ζn es denso enL2, así como en L1. El dominio de ψ es L2, ya denimos f para toda f ∈ L1 y la igualdadψf = f siempre que ambas estén denidas. Por lo tanto, ψ extiende la transformada de Fouri-er de L1 ∩ L2 a L2. Esta extensión ψ de llama transformada de Fourier (a veces se le dicetransformada de Fourier-Plancherel), y la notación f se sigue utilizando, en lugar de ψf , paracualquier f ∈ L2(Rn).

Demostración. Si f y g ∈ ζn, por Teorema de inversión,∫Rn

fg =

∫Rn

g(x)dmn(x)

∫Rn

f(t)eix·tdmn(t) =

∫Rn

f(t)dmn(t)

∫Rn

g(x)eix·tdmn(x)

La última integral es la conjugada compleja de g(t). De este modo, obtenemos la fórmula de Parseval:∫Rn

fgdmn =

∫Rn

f gdmn (f, g ∈ ζn) (18)

Si g = f , la ecuación (18) es:

‖f‖2 =∥∥∥f∥∥∥

2(f ∈ ζn) (19)

Notar que ζn es denso en L2(Rn) por la misma razón que ζn es denso en L1(Rn). La igualdad(19) muestra que f → f es una isometría en el subespacio denso ζn de L2(Rn) en ζn. Siguiendo,f → f es la unica extensión continua Ψ : L2(Rn) → L2(Rn) y esta Ψ es una isometria lineal enL2(Rn).

Observación 3.19. La fórmula de Parseval (18) vale para cualesquiera f, g ∈ L2(Rn).

Observación 3.20. Que la transformada de Fourier es una L2-isometria, es uno de los resultadosmas importantes de éste trabajo.

3.4. Distribuciones Temperadas

Teorema 3.21. (de la relación entre ζn y D(Rn))

1. D(Rn) es denso en ζn

2. La aplicacion identidad de D(Rn) en ζn, es continua.

Observación 3.22. Consideraremos la topología usual de D(Rn) y ζn, que denimos en la secciónanterior y en la denición (3.10)



Demostración. Tomemos f ∈ ζn, ψ ∈ D(Rn) tal que ψ = 1 sobre la bola unitaria de Rn y pongamos

fr(x) = f(x)ψ(rx) (x ∈ Rn, r > 0)

entonces fr ∈ D(Rn).

Si P es un polinomio y α es un multi-índice, entonces

P (x)Dα(f − fr)(x) = P (x)∑β≤α

cαβ(Dα−βf)(x)r|β|Dβ[1− ψ](rx)

Nuestra elección de ψ muestra que Dβ[1−ψ](rx) = 0 para todo multi-índice β cuando |x| ≤ 1/r.Como f ∈ ζn, tenemos que P.Dα−βf ∈ C0(Rn) para todo β ≤ α.

Se sigue que la suma anterior tiende a 0 uniformemente en Rn cuando r → 0. Así, fr → f en ζny queda demostrada la primer parte del Teorema.

Probemos ahora la segunda parte del Teorema:

Si K es un conjunto compacto en Rn, la topología inducida en DK por ζn ...

Denición 3.23. Si i : D(Rn) → ζn es la aplicación identidad, L es un funcional lineal continuo

en ζn y si

uL = L i (20)

entonces la continuidad de i dada por el Teorema anterior, muestra que uL ∈ D′(Rn). DadosL1 y L2 dos funcionales lineales distintos en ζn, por la densidad de D(Rn) en ζn, no pueden dar la

misma u.

La ecuación (20) describe un isomorsmo de espacios vectoriales entre ζ ′n y ζn por un lado, y

un cierto espacio de distribuciones por otro.

La distribución que surge se denomina temperada.

Las distribuciones temperadas son precisamente aquellas u ∈ D′(Rn) que tienen extensión continua

a ζn.

En vista de las observaciones realizadas anteriormente, es usual identicar uL con L. Las dis-

tribuciones temperadas en Rn son, entonces, los miembros de ζ ′n.

Ejemplo 3.24. Toda distribución con soporte compacto, es temperada.

Ejemplo 3.25. Si µ es una medida de Borel positiva en Rn tal que∫Rn

(1 + |x|2)−kdµ(x) <∞

para algún entero positivo k, entonces µ es una distribución temperada.



Teorema 3.26. Si α es un multiíndice, P es un polinomio, g ∈ ζn y u es una distribución temperada,

entonces las distribuciones:

1. Dαu

2. Pu

3. gu

también son temperadas.

Demostración. Por Teorema (3.12) y las deniciones, tenemos que:

1. (Dαu)(f) = (−1)|α|u(Dαf)

2. (Pu)(f) = u(Pf)

3. (gu)(f) = u(gf)

Luego, como u es temperada, 1. 2. y 3. también lo son.

Denición 3.27. Para u ∈ ζ ′n denimos:

u(φ) = u(φ) (φ ∈ ζn)

donde φ→ φ es una aplicación continua de ζn en ζn, y como u es continua en ζn, se deduce queu ∈ ζ ′n.

Observación 3.28. Hemos asociado a cada distribución temperada u, su transformada de Fourieru, que es también una distribución temperada.

Teorema 3.29. 1. La transformada de Fourier es una aplicación continua, lineal, biyectiva, de

ζ ′n en ζ ′n, de período 4, con inversa también continua.

2. Si u ∈ ζ ′n y P es un polinomio, entonces

(P (D)u) = Pu

Pu = P (−D)u

Demostración. Veamos 1.

Sea W un entorno del 0 en ζ ′n, existen funciones φ1, · · · , φk ∈ ζn tales que:u ∈ ζ ′n : |u(φi)| < 1 para 1 ≤ i ≤ k

⊂W.

Denimos:

V =u ∈ ζ ′n :

∣∣∣u(φi)∣∣∣ < 1 para 1 ≤ i ≤ k

entonces V es un entorno del 0 en ζ ′n, donde



u(φ) = u(φ) (φ ∈ ζn, u ∈ ζ ′n) (21)

Observemos que si u ∈ V , entonces u ∈W . Esto prueba la continuidad de Φ, donde Φu = u.

Φ tiene periodo 4 en ζn, la igualdad (21) muestra que Φ tiene periodo 4 en ζ ′n, esto es queΦ4u = u para toda u ∈ ζ ′n, por lo tanto, Φ es biyectiva y Φ−1 = Φ3 es continua.

Para ver 2. usaremos el teorema anterior:

(P (D)u) (φ) = (P (D)u)(φ)

= u(P (−D) φ

)= u

(P φ)

= u (Pφ) = (Pu) (φ)

(P (−D) u) (φ) = u (P (D)φ) = u(

(P (D)φ))

= u(Pφ)

= (Pu)(φ)

=(P u)

(φ)

donde φ ∈ ζn arbitraria.

El siguiente lema se utilizara para la demostración del próximo Teorema:

Lema 3.30. Si w = (1, 0, · · · , 0) ∈ Rn, φ ∈ ζn y

φε (x) =φ (x+ εw)− φ (x)

ε(x ∈ Rn), ε > 0,

entonces φεε→0−→ ∂φ

∂x1, en la topología de ζn.

Demostración. Para ver que φεε→0→ ∂φ

∂x1en la topología de ζn, veamos que la transformada de Fourier

de φε − ∂φ∂x1

tiende a 0 en ζn, esto es:

ψεφε→0→ 0 en ζn (22)

donde

ψε(y) =eiεy1 − 1

ε− iy1 (y ∈ Rn, ε > 0)

Si P es un polinomio y α es un multi-índice, entonces

P.Dα(ψεφ) =∑β≤α

cαβP.(Dα−βφ).(Dβψε) (23)

Realizando un cálculo simple tenemos que

∣∣Dβψε(y)∣∣ ≤

εy2

1 si |β| = 0

ε |y1| si |β| = 1

ε|β|−1 si |β| > 1

El lado izquierdo de (23) tiende a 0, uniformemente en Rn, si ε→ 0. La denición de topologíaen ζn muestra que se cumple (22).



Denición 3.31. Si u ∈ ζ ′n y φ ∈ ζn, entonces:

(u ∗ φ) (x) = u(τxφ)

(x ∈ Rn)

Observación 3.32. La operación * anterior está bien denida pues τxφ ∈ ζn para todo x ∈ Rn.

Teorema 3.33. Si φ ∈ ζn y u es una distribución temperada, entonces:

1. u ∗ φ ∈ C∞(Rn) y

Dα (u ∗ φ) = (Dαu) ∗ φ = u ∗ (Dαφ)

para todo α multi-índice.

2. u ∗ φ tiene una distribución temperada.

3. u ∗ φ = φu

4. (u ∗ φ) ∗ ψ = u ∗ (φ ∗ ψ) para toda ψ ∈ ζn

5. u ∗ φ = φu

Demostración. 1. La igualdad Dα(u ∗ φ) = u ∗ (Dαφ) ha sido probada en el Teorema (2.24), puesla convolución conmuta con traslaciones. Esto también muestra que(

τ−εw − τ0

ε

)(u ∗ φ) = u ∗

(τ−εw − τ0

ε

)φ.

El Lema (3.30) nos dá que Dα(u ∗ φ) = u ∗ (Dαφ) si α = (1, 0, · · · , 0). Iterando este caso partic-ular, obtenemos 1.

2. Sea pN (f) denotando la norma (9) para f ∈ ζn. La desigualdad

1 + |x+ y|2 ≤ 2(1 + |x|2)(1 + |y|2) para x, y ∈ Rn

muestra que

pN (τxf) ≤ 2N (1 + |x|2)NpN (f) para x ∈ Rn, f ∈ ζn. (24)

Como u es un funcional lineal contínuo en ζn y las normas pN determinan una topología de ζn,entonces existe un N y un C <∞ tales que

|u(f)| ≤ CpN (f) para f ∈ ζn. (25)

Por (24) y (25),

|(u ∗ φ)(x)| =∣∣u(τxφ)

∣∣ ≤ 2N .CpN (φ)(1 + |x|2)N ,

lo que demuestra 2.

3. u ∗ φ tiene una transformada de Fourier en ζ ′n. Si ψ ∈ D(Rn) con soporte K entonces:



(u ∗ φ)(ψ) = (u ∗ φ)(ψ) =

∫Rn

(u ∗ φ)(x)ψ(−x)dmn(x)

=

∫−K

u[ψ(−x)τxφ

]dmn(x) = u

∫−K

ψ(−x)τxφdmn(x)

u(

ˇφ ∗ ψ)

= u(φ ∗ ψ

)= u

(φψ)

de manera que (u ∗ φ

)(ψ) =

(φu)

(ψ) (26)

4. En la ecuación (26), los dos terminos son iguales para cualquier ψ ∈ ζn. Por lo tanto,

(u ∗ φ)(ψ) = u(

ˇφ ∗ ψ)

o lo que es lo mismo,

((u ∗ φ) ∗ ψ) (0) = (u ∗ (φ ∗ ψ)) (0). (27)

Si reemplazamos ψ por τxψ en (27) obtenemos lo querido.

5. Finalmente,

u ∗ φ = φu = φu.

Por 3. y por la igualdad φu =φu obtenemos 5.

3.5. Teoremas de Paley-Wiener

Uno de los Teoremas clásicos de Paley y Wiener caracteriza a las funciones enteras de tipoexponencial (de variable compleja), cuya restricción al eje real está en L2, como son las transformadasde Fourier de funciones en L2 con soporte compacto. Daremos dos Teoremas análogos, uno parafunciones en C∞ con soporte compacto y otra para distribuciones con soporte compacto.

Denición 3.34. Si Ω es un conjunto abierto de Cn, y si f es una función continua compleja en

Ω, se dice que f es holomorca en Ω si lo es en cada variable separadamente. Esto es que, si

(a1, · · · , an) ∈ Ω y si

gi(λ) = f(a1, · · · , ai−1, ai + λ, ai+1, · · · , an)

cada una de las funciones g1, · · · , gn son holomorcas es algún entorno del 0 en C.

Una función que es holomorca en todo Cn se llama entera.



Un punto de Cn puede denotarse como z = (z1, · · · , zn), donde zk ∈ C. Si zk = xk + iyk,x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), entonces escribimos z = x+ iy.

Los vectores x = Re(z) e y = Im(z) son las partes real e imaginaria de z respectivamente.

Vamos a pensar a Rn como el conjunto de todos los z ∈ Cn con Im(z) = 0.

Las notaciones:

|z| = (|z1|2 + · · ·+ |zn|2)1/2

|Im(z)| = (y21 + · · ·+ y2

n)1/2

zα = zα11 · · · zαn

n

z · t = z1t1 + · · ·+ zntn

ez(t) = eiz·t

pueden ser usadas para cualquier multi-indice α y cualquier t ∈ Rn.

Lema 3.35. Si f es una función entera en Cn, que tiende a cero en Rn, entonces f = 0.

Demostración. Lo probaremos por inducción sobre n.

Consideremos que el caso n = 1 es conocido.

Sea Pk con la siguiente propiedad de f : Si z ∈ Cn, tiene al menos k coordenadas reales, entoncesf(z) = 0. Pn está dado y P0 está probado. Asumimos que Pi es verdadero para 1 ≤ i ≤ n.

Tomemos a1, · · · , ai reales. La función gi de la denición anterior es 0 en el eje real, luego es 0para todo λ ∈ C. Se sigue que Pi−1 es verdadero.

Denición 3.36. Denimos rB como el conjunto x ∈ Rn : |x| ≤ r

Teorema 3.37. 1. Si φ ∈ D(Rn) tiene soporte en rB y si

f(z) =

∫Rn

φ(t)e−iz·tdmn(t) (28)

entonces f es entera y existen constantes γN <∞ tales que

|f(z)| ≤ γN (1 + |z|)−Ner|Im(z)| (z ∈ Cn, N = 0, 1, 2, · · · ) (29)

2. Inversamente, si una función f cumple la condición (29), entonces existe φ ∈ D(Rn), consoporte rB tal que se cumple (28).



Demostración. Veamos 1. Si t ∈ rB entonces∣∣e−iz.t∣∣ = ey.t ≤ e|y||t| ≤ er|Im(z)|.

El integrando de (28) ∈ L1(Rn) para todo z ∈ Cn y f está bien denida en Cn. Trivialmente, fes continua y por teorema de Morera podemos armar que f es entera.Integrando por partes obtenemos:

zαf(z) =

∫Rn

(Dαφ)(t)e−iz.tdmn(t).

Por lo tanto,

|zα| |f(z)| ≤ ‖Dαφ‖1 er|Im(z)| (30)

y la desigualdad (29) se desprende de la desigualdad (30).

Veamos ahora 2. Supongamos que f es una función entera que satisface (29) y denimos

φ(t) =

∫Rn

f(x)eit.xdmn(x) con t ∈ Rn. (31)

Notemos primero que, por (29), (1 + |x|)Nf(x) ∈ L1(Rn) para todo N . Luego, por Teorema(3.12) parte 3. podemos armar que φ ∈ C∞(Rn).

Ahora, armamos que la integral

∞∫−∞

f(ξ + iη, z2, · · · , zn)ei[t1(ξ+iη)+t2z2+···+tnzn]dξ (32)

es independiente de η, para reales t1, · · · , tn y complejos z1, · · · , zn arbitrarios.

Veamos esta independencia:

Sea Γ un camino rectangular en el plano (ξ + iη), con un borde sobre el eje real, otro bordesobre la recta η = η1 y cuyos bordes se mueven fuera del innito.

Como Γ es una región simplemente conexa, por Teorema de Cauchy generalizado (resultadovisto en la materia Funciones Analíticas), la integral (32) sobre Γ es 0. Como f satisface (29), laintegral sobre el borde vertical tiende a 0. Se sigue que (32) es la misma para η = 0 como paraη = η1. Así demostramos la armación.

Lo mismo se puede hacer para las otras coordenadas. Por lo tanto, por (31) concluimos que:

φ(t) =

∫Rn

f(x+ iy)eit.(x+iy)dmn(x)



para toda y ∈ Rn.

Veamos la recíproca:Dado t ∈ Rn, t 6= 0, elegimos y = λt

|t| , donde λ > 0, entonces

t.y = λ |t| , |y| = λ∣∣∣f(x+ iy)eit.(x+iy)∣∣∣ ≤ γN (1 + |x|)−Ne(r−|t|)λ

y por lo tanto,

|φ(t)| ≤ γNe(r−|t|)λ∫Rn

(1 + |x|)−Ndmn(x) (33)

donde N es tan grande que la última integral es nita. Sea ahora λ → ∞. Si |t| > r, ladesigualdad (33) muestra que φ(t) = 0, entonces φ tiene su soporte en rB.

Teorema 3.38. 1. Si u ∈ D′(Rn) con soporte en rB, de orden N y si

f(z) = u(e−z) (z ∈ Cn) (34)

entonces f es entera, la restricción de f a Rn es la transformada de Fourier de u y existe una

constante γ <∞ tal que

|f(z)| ≤ γ(1 + |z|)Ner|Im(z)| (z ∈ Cn) (35)

2. Reciprocamente, si f es una función entera en Cn que satisface la ecuación (35) para ciertos

N y γ, entonces existe u ∈ D′(Rn) con soporte en rB, tal que se cumple (34).

Observación 3.39. La notación u a veces se usa para denotar la extensión a Cn dada por (34). Porlo tanto u(z) = u(e−z) para z ∈ Cn. Esta extensión suele llamarse Transformada de Fourier-

Laplace de u.

Demostración.

3.6. Lema de Sobolev

Si Ω es un subconjunto abierto de Rn, no se ha denido la transformada de Fourier para funcionescuyo dominio en Ω o para distribuciones en Ω. Sin embargo, las tecnicas de transformación de Fouriera veces pueden ser utilizadas para estudiar problemas locales. El Lema de Sovolev es ejemplo deesto.

Denición 3.40. Una función compleja medible f, denida en una conjunto abierto Ω ⊂ Rn,se dice que es localmente L2 en Ω si ∫

K

|f |2 dmn <∞

para todo compacto K ⊂ Ω.



Denición 3.41. Una distribución u ∈ D′(Ω) es localmente L2 si existe una función g que es

localmente L2 en Ω, tal que

u(φ) =

∫Ω

gφdmn

para toda φ ∈ D(Ω).

Denición 3.42. Una función f tiene una distribución derivada Dαf si existe una función g

que es localmente L2 tal que ∫Ω

gφdmn = (−1)|α|∫Ω

fDαφdmn

para toda φ ∈ D(Ω).

Denición 3.43. La clase C(p)(Ω) consiste en, para cada entero no negativo p, aquellas funciones

complejas f en Ω cuyas derivadas Dαf existen para cada multi-índice α tal que |α| ≤ p y son

funciones continuas en Ω.

Observación 3.44. Escribiremos Dfi para el operador diferencial (∂/∂xi)

k.

Lema 3.45. (de Sovolev)

Supongamos que n, p, r son enteros, n > 0, p ≥ 0 y r > p + (n/2). Si f es una función en

un conjunto abierto Ω ⊂ Rn cuyas distribuciones derivadas Dki f son localmente L2 en Ω, para

1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ k ≤ r, entonces existe una función f0 ∈ C(p)(Ω) tal que f0(x) = f(x) para x ∈ Ωctp.

Demostración. Existencia :

Por hipótesis, existen funciones gik que son localmente L2 en Ω y que satisfacen:∫Ω

gikφdmn = (−1)k∫Ω

fDki φdmn con φ ∈ D(Ω),

para 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ k ≤ r.Sea ω un conjunto abierto cuya clausura K es un subconjunto compacto de Ω.

Elegimos ψ ∈ D(Ω) tal que ψ = 1 en K y denimos F en Rn como:

F (x) =

ψ(x)f(x) si x ∈ Ω

0 si x /∈ Ω

entonces F ∈ (L2 ∩ L1)(Rn).

Usaremos la siguente fórmula de Leibnitz:

Dα(fg) =∑β≤α

cαβ(Dα−βf)(Dβg)



válida para toda f y g ∈ C∞(Ω).

En Ω, esta fórmula nos dá que:

Dri =

r∑s=0

(r

s

)(Dr−s

i ψ)(Dsi f) =

r∑s=0

(r

s

)(Dr−s

i ψ)gis

En el complemento Ω0 del soporte de ψ,DriF = 0. Estas dos distribuciones coinciden en Ω∩Ω0.

Por lo tanto, la DriF originalmente denida es una distribución en Rn, está actualmente en L2(Rn),

para 1 ≤ i ≤ n, pues las funciones (Dr−si ψ)gis están en L2(Ω).

Aplicando el Teorema de Plancherel a F,Dr1F, · · · , Dr

nF , muestra que:∫Rn

∣∣∣F ∣∣∣2 dmn <∞ (36)

y ∫Rn

y2ri

∣∣∣F (y)∣∣∣2 dmn(y) <∞ (1 ≤ i ≤ n). (37)

De

(1 + |y|)2r < (2n+ 2)r(1 + y2r1 + · · ·+ y2r

n )

donde |y| = (y21 + · · ·+ y2

n)1/2, (36) y (37) implican que∫Rn

(1 + |y|)2r∣∣∣F (y)

∣∣∣2 dmn(y) <∞. (38)

Si J denota la integral (38) y si σn es el volumen (n − 1)-dimensional de la esfera unitaria enRn, la desigualdad de Schwartz nos dá que:

∫Rn

(1 + |y|)p∣∣∣F (y)

∣∣∣ dmn(y)

2

≤ J∫Rn

(1 + |y|)2p−2rdmn(y)

= Jσn

∞∫0

(1 + t)2p−2rtn−1dt <∞,

2p− 2r + n− 1 < −1. Hemos probado que:∫Rn

(1 + |y|)p∣∣∣F (y)

∣∣∣ dmn(y) <∞. (39)

Denimos

Fω(x) =

∫Rn

F (y)eix.ydmn(y) (x ∈ Rn).



Por la parte 3. del Teorema de Inversión, Fω = F ctp en Rn. Mas aún, (39) implica queyαF (y) ∈ L1 cuando |α| ≤ p. Iterando la demostración de la parte 3. del Teorema (3.12), concluimosque

Fω ∈ C(p)(Rn).

Nuestra función f dada coincide con F en ω. Por lo tanto, f = Fω ctp en ω.

Unicidad:

Si ω′ es otro conjunto como ω, la pueba de la existencia nos dá una función Fω′ ∈ C(p)(Rn), quecoincide con f ctp en ω′. Luego, Fω′ = Fω en ω′ ∩ω. La función f0 querida puede ser denida en Ωcomo:

f0(x) = Fω(x) si x ∈ ω.



Referencias

[1] Walter Rudin, Functional Analysis.

[2] Walter Rudin, Fourier Analysis on groups.

[3] Walter Rudin, Real and Complex Analysis.

[4] Ricardo Durán, Análisis Armónico, apuntes de cátedra, curso 2010 (UBA)


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