UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELA DE INGENIERIA

CABUDARE ESTADO LARA

MARIA VIRGINIA GIMENEZ

C.I.: 19.105.815

ANALISIS NUMERICO

MÉTODOS NUMÉRICOS

Análisis numérico. Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores

en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

Métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible

formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor : Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido.

Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es=(0.5x 102-2)%=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es

Definición de Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas,

Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una

característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos

aritméticos.

STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para

Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw

Hill, México, S.A de C.V., 1987. PAG. 1

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a

fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una

computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y

resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente

para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de

computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n

de los principios científicos básicos.

NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software,

Edit. Prentice Hall, México, 1992. PREFACIO..

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes

de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se

requieren los pasos siguientes.

- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar

perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y

los resultados deseados.

- Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también

algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el

problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

- Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o

algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los

errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de

prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera

que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

- Producción. Es la ultima etapa en la que solo se proporcionan datos de

entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento

completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el

que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit. Limusa, México,

1980. PROLOGO.

Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el

trabajo que ejecuta la maquina.

Identificación y definición de objetos. Descripción matemática.

Análisis Numérico.

Programación de la computadora.

Verificación del programa.

Producción.

Interpretación.

La maquina sigue una serie de pasos o también denominado método numérico la

respuesta final para el usuario debe interpretar los resultados para ver lo que

significan en función de las combinaciones del objetivo que el sistema

propuesto debe satisfacer.

Mc CRACKEN Daniel D. Métodos numéricos y programación fortran. Con

aplicaciones en ingeniería y ciencias. Pagina 14.

Si un problema de cálculo (científico) tiene una solución analítica que es :

imposible (p. ej. despejar tan x = x + 2), o

impracticable (p. ej. sistema lineal de orden 80),

Acudimos a un método numérico, que aporta :

una solución numérica estimada, de cierta precisión limitada, que, por lo

tanto, lleva un error asociado, que es importante analizar.

Figura 1: Análisis Numérico

Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y

secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de

los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar

asociados constituye el Análisis Numérico.

De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy

especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de

errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto

su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los

textos de ``Métodos Numéricos" más que la de los textos de ``Análisis

Numérico".

MODELO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS.

Un ejemplo de algoritmos puede ser la multiplicación de 2 números enteros en

donde tenemos varias opciones de algoritmos para resolver el ejercicio.

Una puede ser como aprendimos en la primaria, otra con sumas repetidas, otra

usando calculadora, otra aplicando logaritmos, otra mas usar el :

ALGORITMO RUSO

ENTRADA ALGORITMO SALIDA

28 28 28 13

x13 28 14 26

84 : 7 52

28 28 3 104

------ ----- 1 208

364 364 0 364

Los métodos numéricos surgen junto con las matemáticas desde épocas

remotas aunque en aquella época estos procedimientos fueron muy tardados en

resolver problemas, los elementos básicos consistían en operaciones

aritméticas.

Con el surgimiento de las computadoras en los años cuarentas, donde las

operaciones fundamentales fueron las aritméticas se hizo una notable

contribución a las ciencias ya que los métodos numéricos y las computadoras

embonaron y coincidieron para servirse una de la otra.

En las Ciencias y la Ingeniería en la actualidad son indispensables los métodos

numéricos en la solución de problemas por lo tanto se justifica el aprendizaje

de éstos métodos como herramientas matemáticas.

TEORIA DE ERRORES. Errores

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados

de un error que es conveniente estimar.

En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en

otras, en cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser:

a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede

llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de

una simple división basadas en las del cálculo diferencial), y

a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los

errores.

Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los

errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales

problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas,

haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución de cada una

en cada caso.

Fuentes de error

Son tres, que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas:

Inherentes. Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de en

lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga al output.

Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad,

que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia

variables específicas en rangos particulares, de modo que puedan

tomarse precauciones especiales en esos casos.

Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el

problema está mal condicionado. Los errores de input son causantes de

imprecisión en los resultados.

Truncamiento. Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos,

tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el

cálculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el cálculo de

derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud de los

resultados.

Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen

estudiarse algunas propiedades asociadas con los errores, en estos casos

es al error de truncamiento al que se refiere, , que se expresa en

función de algún parámetro conveniente, h, que tiende a 0 (o a ) cuando

el error es nulo.

Es frecuente comparar:

convergencia:

cuando

comportamiento asintótico

cuando Estimación real del error:

para

todo

Redondeo.

Velocidad de convergencia:

Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones

(cifras significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a

acumularse.

A modo de ejemplo, podemos calcular los errores inherentes, de truncamiento,

de redondeo y total resultantes de la evaluación de sí el input es 0.3333,

se aproxima por una serie de Taylor con cuatro términos.

y las operaciones se hacen con cuatro cifras:

CLASIFICACION DE LOS ERRORES

ERRORES INHERENTES. Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas

de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por

verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.

ERRORES POR REDONDEO. Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del

punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste

en el último dígito que se toma en cuenta.

ERRORES POR TRUNCAMIENTO. Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los

compiladores ejecutan éstas funciones utilizando series infinitas de términos,

pero es difícil llevar a cabo éstos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie

tendrá que ser truncada.

__

X = X + Ex

donde

X = cantidad verdadera

__

X = cantidad aproximada

Ex = error absoluto

__

Ex = |X – X |

El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia

entre la cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades fisicas.

FORMA RELATIVA.

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error

absoluto entre la cantidad verdadera, generalmente expresado como

porcentaje ya que no tiene unidades.

__

Erx = Ex / X Ex / X

EJEMPLO:

Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:

error absoluto error relativo

A = ( 100 + 1 )m Ea = 1m Era = Ea = 1m = 0.01 = 1%

X 100m

B = ( 8 + 0.8 )ft Eb = 0.8ft Erb = Eb = 0.8ft = 0.1 = 10% B 8ft

PROPAGACION DEL ERROR.

Se dice que existe una propagación en los errores cuando al realizar

operaciones con números que ya tienen errores y que por su naturaleza y las

operaciones generan nuevos errores.

Normalmente se efectúan en las operaciones aritméticas, (no importa cual sea

su orígen).

PROPAGACION DE LA SUMA. Error absoluto

X = X + Ex X+Y = (X+Ex) + (Y+Ey)

Y = Y + Ey X+Y = (X+Y) + (Ex+Ey)

(X+Y)-(X+Y) = Ex + Ey

Ex+y = Ex + Ey

Error relativo

Erx+y = Ex+y = Ex + Ey

X+Y X + Y

PROPAGACION DE LA RESTA.

Error absoluto Error relativo

X – Y = (X+Ex) – (Y+Ey) Erx-y = Ex-y = Ex-Ey

X – Y = (X – Y ) + (Ex-Ey) X – Y X – Y

( X – Y ) – ( X – Y ) = Ex – Ey

Ex-y = Ex – Ey

PROPAGACION DE LA MULTIPLICACION.

Error absoluto Error relativo

X*Y = (X+Ex)*(Y+Ey) Erxy = XEy+YEx

X*Y = XY+XEy+YEx+ExEy XY

XY-XY = XEy + YEx Erxy = XEy + YEx

Exy = XEy + YEx XY XY

Erxy = Ex + Ey

X Y

PROPAGACION DE LA DIVISION.

Error absoluto Error relativo

X = X+Ex Ex - XEy

Y (Y+Ey) Erx = Y Y = Ex - Ey

X = X + Ex - XEy - ExEy y X X Y

Y Y Y Y Y Y

X – X = Ex – Xey = Ex Erx = Ex - Ey

Y Y Y Y y y X Y