Anlisis matemtico

El estudio delconjunto de Mandelbrotque es un objeto fractal con autosimilaridad estadstica involucra diversas reas delanlisis matemtico, el anlisis de la convergencia, la teora de la medida, la geometra y la teora de la probabilidad y la estadstica.Elanlisises una rama de la cienciamatemticaque estudia losnmeros reales, loscomplejosy objetos matemticos deducidos a partir de ellos, as como lasfuncionesentre esos conjuntos y construcciones implicadas entre ellos. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulacin rigurosa del concepto delmitey estudia conceptos comocontinuidad,integracin, varios enfoques y ladiferenciabilidadde diversas formas, sucesiones y series1.Una de las diferencias entre ellgebray el anlisis es que en este segundo recurre a construcciones que involucran sucesiones de un nmero infinito de elementos, mientras que lgebra usualmente es finitista.Historia[editar]Matemticos griegos comoEudoxo de CnidosyArqumedeshicieron un uso informal de los conceptos delmiteyconvergenciacuando usaron elmtodo exhaustivopara calcular el rea y volumen de regiones y slidos. De hecho, elnmero fue aproximado usando el mtodo exhaustivo. En laIndiadel siglo XII el matemticoBhaskaraconcibi elementos del clculo diferencial, as como el concepto de lo que ahora conocemos como elTeorema de Rolle.En el siglo XIV, el anlisis matemtico se origina conMadhava, en el Sur de Asia, quien desarroll ideas fundamentales como la expansin deseries infinitas, las series de potencias,series de Taylor, y laaproximacinracional de series infinitas. Adems desarroll las series de Taylor de funciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, y estim la magnitud de los errores de clculo truncando estas series. Tambin desarrollfracciones continuasinfinitas, integracin trmino a trmino, y las serie de potencias depi. Sus discpulos de laEscuela de Keralacontinuaron su trabajo hasta el siglo XVI.El anlisis en Europa se origina en el siglosiglo XVII, en el queNewtonyLeibnizinventan elclculo. Ahora sabemos que Newton desarroll el clculo infinitesimal unos diez aos antes que Leibniz. Este ltimo lo hizo en 1675 y public su obra en 1684, aproximadamente veinte aos antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton haba comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos ms tempranamente. Esta actitud sirvi de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusin que podra haber sido evitada si otro gran matemtico,Fermat, no hubiera tenido tambin la inexplicable costumbre de no hacer pblicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto lageometra analtica2como el anlisis matemtico.3En dicho siglo y en elsiglo XVIII, ciertos temas sobre el anlisis como elclculo de variaciones, lasecuaciones diferencialesyecuaciones en derivadas parciales, elanlisis de Fouriery lasfunciones generadorasfueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicacin. Las tcnicas del Clculo fueron aplicadas con xito en la aproximacin deproblemas discretosmediante los continuos. El primer desarrollo orgnico del anlisis matemtico se debe al matemtico suizo y miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, Leonhard Euler (1707-1783), en sus obras Introduccin al anlisis en 2 tomos, Clculo diferencial en 1 tomo, Clculo integral en 3 tomos.4

Aproximacinde una funcin "onda cuadrada" discontinua mediante una serie de funciones trigonomtricas continuas y diferenciables.A todo lo largo del siglo XVIII la definicin del concepto defuncinestuvo sujeta a debate entre los matemticos. En elsiglo XIX,Cauchyfue el primero que estableci el clculo sobre unos firmes fundamentos lgicos mediante el uso del concepto desucesin de Cauchy. Tambin inici la teora formal delAnlisis complejo.Poisson,Liouville,Fouriery otros, estudiaronecuaciones en derivadas parcialesy elAnlisis armnico.Mediado dicho siglo,Riemannintroduce su teora de laintegracin. En el ltimo tercio delsiglo XIXWeierstrasslleva a la aritmetizacin del anlisis, ya que pensaba que el razonamiento geomtrico era engaoso por naturaleza, e introduce la definicin - delmite. Entonces los matemticos empezaron a preguntarse si no estaran asumiendo la existencia de ciertocontinuodenmeros realessin probar su existencia.Dedekindentonces construye los nmeros reales mediante lascortaduras de Dedekind. Sobre la misma poca, los intentos de refinar los teoremas deintegracin de Riemannllevaron hacia el estudio del tamao de losconjuntos de discontinuidadde funciones reales.Tambin, funciones monstruos (funcionescontinuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningn punto,Curva que llena el espacio,Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este contextoJordandesarroll su teora demedida,Cantorlo hizo con lo que ahora se llamateora de conjuntos, yBaireprueba elTeorema de la categora de Baire. A principios delsiglo XX, el clculo se formaliza usando lateora de conjuntos.Lebesgueresuelve el problema de la medida, yHilbertintroduce losespacios de Hilbertpara resolverecuaciones integrales. La idea deespacios vectoriales normadosestuvo en cierne, y en losaos 1920Banachcrea elAnlisis funcional. Uno de los ltimos aportes al anlisis, es el de J. Dieudonn, enfocando espacios mtricos, espacios normados, espacios de Hilbert, espacios de funciones continuas, clculo diferencial, funciones analticas, teora espectral elemental.5Subdivisiones[editar]Se ha discutido mucho cuntas y qu ramas compondran el anlisis, ya que a medida que la disciplina se desarrolla diversas ramas que previamente eran independientes acaban formando parte de un mismo cuerpo y en ocasiones parecen emerger ramas independientes. El anlisis matemtico incluye los siguientes campos: Anlisis real, esto es, el estudio formalmenterigurosode las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio delmites, yseries. Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales Geometra diferencial, que exitiende los mtodos del anlisis real sobre espacios eucldeos a espacios topolgicos ms generales. Integracin y teora de la medida, que generaliza en concepto de clculo integral y de medida. Teora de la probabilidad, que en gran medida comparte formalismo con la teora de la medida, a partir de la aximatizacin deKolmogrov. Anlisis numricoencarga de disearalgoritmospara, a travs denmerosy reglas matemticas simples, simular procesos matemticos ms complejos aplicados a procesos del mundo real. Anlisis no real, que extiende el anlsis real a cuerpos diferentes de los nmeros reales. Anlisis complejo, que estudia funciones que van delplano complejohacia s mismo y que son complejo-diferenciables, lasfunciones holomorfas. Anlisisp-dico, el anlisis en el contexto de losnmerosp-dicos, que difiere de forma interesante y sorprendente de su homlogo real y complejo. Anlisis no estndar, que investiga ciertosnmeros hiperrealesy sus funciones y da un tratamientorigurosode los nmeros infinitesimales y los infinitamente grandes. Anlisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los deespacios de Banachyespacios de Hilbert. Anlisis armnico, que trata de lasseries de Fouriery de sus abstracciones[citarequerida]y adiciones analticas subarmnicas. Geometra analtica Topologa Topologa diferencial, que generaliza el anlisis real y complejo de varias variables a espacios topolgicos ms generales queo. Topologa algebraica Grupos de Lie Otras reas: Geometra algebraica