Análisis Matemático I Tema 8: Vector gradienterpaya/documentos/AnalisisI/2017-18/Pres... ·...
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Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales: motivacion
Notacion
X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω
Motivacion
f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ X
Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites
Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:
lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0
f (a+ sv)− f (a)s
= λy
No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional
Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccionalSi f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas direccionales
Derivadas direccionales
Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1
Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:
ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [
f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0
Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:
f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım
t→0
ϕu(t)−ϕu(0)t
= lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)
f es direccionalmente derivable en a cuando
es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccionalSi f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a
y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial
Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Caso X = RN : derivadas parciales
Derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN
Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN
Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que
f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y
la k-esima derivada parcial de f en a se define por
∂ f∂xk
(a) def= f ′ek(a) = lım
t→0
f (a+ tek)− f (a)t
f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN
Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a) ∈ Y
Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcialSi f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a
y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk
(a) = D f (a)ek
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de un campo vectorial
Caso Y = RM
Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a
si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,
∂ f∂xk
(a) =(
∂ f1∂xk
(a) ,∂ f2∂xk
(a) , . . . ,∂ fM∂xk
(a))∈ RM
f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM
El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial
se reduce al caso de un campo escalar
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)
lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivadas parciales de campos escalares
Notacion alternativa para las derivadas parciales
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω
Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN
)donde: a+ te1 =
(a1 + t , a2, . . . ,aN
)y a+ teN =
(a1, . . . ,aN−1 , aN + t
)lımt→0
f (a+ tek)− f (a)t
= α ∈ R
⇐⇒ lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
= α
Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:
∂ f∂xk
(a) = lımxk→ak
f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak
∀k ∈ IN
Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :
∂ f∂x
(a,b) = lımx→a
f (x,b)− f (a,b)x−a
y∂ f∂y
(a,b) = lımy→b
f (a,y)− f (a,b)y−b
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Derivabilidad parcial en un abierto
Funcion derivada parcial
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN
f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable
cuando lo es en todo punto x ∈ Ω
Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk
(x) , de Ω en R
es la k-esima funcion derivada parcial de f
Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)∈ Ω , se tiene:
∂ f∂xk
(x) =∂ f∂xk
(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
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Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (I)
Caso N = 2
Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R
Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:
∂ f∂x
(x0,y0) = lımx→x0
f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0
;∂ f∂y
(x0,y0) = lımy→y0
f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0
En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir
∂ f∂x
(x,y) = lımw→x
f (w,y)− f (x,y)w− x
;∂ f∂y
(x,y) = lımw→y
f (x,w)− f (x,y)w− y
Ejemplo
f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:
∂ f∂x
(x,y) = ex seny ,∂ f∂y
(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2
Observese que∂ f∂x
= f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
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Repaso de las derivadas parciales (II)
Segundo ejemplo
f (ρ,θ) =(
ρ cosθ , ρ senθ)
∀(ρ,θ) ∈ R2
Componentes: f = (x,y) donde
x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2
Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)
x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:
∂x∂ρ
(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ
(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ
(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ
(ρ,θ) = ρcosθ
Observese que:∂x∂θ
=−y , y∂y∂θ
= x
f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:
∂ f∂ρ
(ρ,θ) =(
cosθ , senθ),
∂ f∂θ
(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ
)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
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Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
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Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Gradiente de un campo escalar
Definicion de gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω
El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:
∇ f (a) =N
∑k=1
∂ f∂xk
(a)ek =(
∂ f∂x1
(a) ,∂ f∂x2
(a) , . . . ,∂ f∂xN
(a))
Relacion entre la diferencial y el gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:
(1) f es diferenciable en a
(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
lımx→a
f (x)− f (a)−(
∇ f (a)∣∣x−a
)‖x−a‖
= 0
Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(
∇ f (a)∣∣x
)∀x ∈ RN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
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Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente
El espacio normado L(RN ,R)
Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea
Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN
Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖
Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN
Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,
Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a
∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
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Funcion gradiente
La funcion gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable
La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f
Componentes: ∇ f =(
∂ f∂x1
,∂ f∂x2
, . . . ,∂ f∂xN
)
Continuidad
Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:
D f es continua en a
∇ f es continua en a∂ f∂xk
es continua en a , para todo k ∈ IN
Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk
∈C(Ω) ∀k ∈ IN
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
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Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion fısica del gradiente
Derivadas direccionales y gradiente
Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo
Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0
f (a+ tu)− f (a)t
∀u ∈ S
f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud
en la direccion y sentido del vector u
Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :
f ′u(a) =(
∇ f (a)∣∣u
)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S
En la direccion y el sentido del vector gradiente,
el campo aumenta lo mas rapidamente posible,
a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud
En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible
∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S
a es un punto crıtico o estacionario del campo f
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
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Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
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Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
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Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
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Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0
(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Interpretacion geometrica del vector gradiente
Superficies en forma explıcita
Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua
Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)
): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3
Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω
Otros dos tipos de superficie explıcita:
Σ1 = (
f (y,z),y,z)
: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z
): (x,z) ∈ Ω
con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω
Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean
z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x
(x0,y0) , β0 =∂ f∂y
(x0,y0)
Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1
)=
(∂ f∂x
(x0,y0) ,∂ f∂y
(x0,y0) ,−1)
es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Extremos absolutos y relativos
Extremos absolutos
/0 6= A , f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A
f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A
extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto
Extremos relativos
E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A
f tiene en a un maximo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)
f tiene en a un mınimo relativo, cuando
∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)
extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo
extremo relativo ; extremo absoluto
extremo absoluto ; extremo relativo
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico
Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente
Puntos crıticos de un campo escalar
Condicion necesaria de extremo relativo
/0 6= A ⊂ RN , f : A → R
Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A
y es parcialmente derivable en el punto a
entonces ∇ f (a) = 0
Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0
se dice que f tiene en a un punto crıtico