ANLISIS NUMRICO Asignatura Clave:FIM002 Numero de Crditos: 7 Tericos: 4 Prcticos: 3 INSTRUCCIONES PARA OPERACIN ACADMICA: ElSumariorepresentaunreto,losContenidossonlosejestemticos,los Activosunaorientacininicialpararesolverloylasntesisconcluyente,como Posibilidaddeintegracinconceptualcorresponderalofactibledeun punto de vista temtico amplio. La visin global de los asuntos resueltos como TitularAcadmico,teofreceroportunidadesdediscusinquese enriquecern en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad deestudio,tesirvesdelosasesoresyanalizaslaciberinformacindisponible posicionndotedelosescenariosinformativosadecuados.Losperiodosde evaluacinsonherramientasdeaprendizaje.Laacreditacinesun consenso de relacin con el nivel de competencia. Mantn informado a tu tutor detusavancesacadmicosyestadodenimo.Seleccionatushorariosde asesoras.Serecomiendaaltitular(estudiante)quealiniciarsuactividad de dilucidacin, lea cuidadosamente todo el texto guin de la asignatura. Paraunamejorfacilitacin,eldocumentolopresentamosentresmbitos:1.- Relacindelasunidades,2.-Relacindeactivos,3.-PrincipiaTemtica consistente en informacin inicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIAS: Apartirdeunarealidad,plantearenunlenguajealgortmico,los problemas a resolver.Realizar clculos de manera ptima, en exactitud y tiempo. Desarrollar sus habilidades de pensamiento complejo Reforzar el pensamiento lgico y simblico Estimularelpensamientocreativoapartirdelasposibilidadesde diversidadycambioenlaestructuramatemticadelosfenmenos fsicos. SUMARIO:Desarrollarelespritucientficodeasombro,observacin, bsqueda y entendimiento del comportamiento fsico de la naturaleza, haciendo unamezcladematemticasycienciasdelacomputacinparadarorigena herramientasquecoadyuvarnaresolverproblemasdecienciaeingeniera. considerando temas desde la perspectiva del matemtico, al crear o establecer unalgoritmo;delcientficodelacomputacin,alimplementarloensoftwareo modificarloparasuoptimofuncionamientoenundispositivoparticular;odel quien resuelve un problema una vez que el modelo matemtico ha sido creado. CONTENIDO: Unidad ISistemas de numeracin Unidad IIErrores Unidad IIISistemas de ecuaciones lineales Unidad IVInterpolacin polinmica y diferenciacin aproximada Unidad VRaices de ecuaciones Unidad VIAproximacin de funciones Unidad VIIMtodos numricos de integracin ACTIVOS UNIDAD I SISTEMAS DE NUMERACION I.1.- Introduccin. I.2.- El sistema binario. I.3.- Operaciones. I.4.- Ejercicios. Actividad.-Transformacionesdelsistemadecimalalostresdiferentes sistemas de esta unidad y viceversa. UNIDAD II ERRORES II.5.- Error de redondeo y aritmtica de computadora. II.6.- Error y exactitud II.7.- Error inherente y precisin fija. II.8.- Propagacin del error (en los clculos aritmticos) II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo. II.10.- La frmula del error y las interpolaciones ptimas. Actividad.-Observarlosconocimientosadquiridosenlosdispositivosde numeracin de las computadoras. UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES III.11.- Sistemas de n ecuaciones con n incgnitas. III.12.- Forma matricial de los sistemas lineales. III.13.- Resolucin de sistemas por el mtodo de Gauss-Jordan. Actividad.-Aplicarlosconocimientosadquiridosparadarlesolucinalos sistemas de ecuaciones. UNIDAD IV INTERPOLACIN POLINMICA Y DIFERENCIACIN APROXIMADA IV.14.- Introduccin. IV.15.- Interpolacin lineal y cuadrtica. IV.16.- Formas de Lagrange IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton IV.18.- La frmula del error y las interpolaciones ptimas. Actividad.-Aplicarlosmtodosdelasolucingeneralylasolucinparticular para solucionar los ejercicios propuestos al final.

UNIDAD V APROXIMACIN DE FUNCIONES V.19.- Aproximacin discreta de mnimos cuadrados. V.20.- Aproximacin de Pade. Actividad.-Aplicarsusconocimientosenelanlisisdelltimocensode poblacinefectuadoporelINEGIcorrespondientealestadode Sinaloa. UNIDAD VI RAICES DE ECUACIONES VI.21.- Obtencin de races, introduccin. VI.22.- Localizacin de races no repetidas. Actividad.- Anlisis de la forma general de las ecuaciones cuadrtica y cbica. UNIDAD VII MTODOS NUMRICOS DE INTEGRACIN VII.23.- Introduccin. VII.24.- Cuadratura numrica. Actividad.- El criterio del rea bajo la curva para problemas especficos. ESCENARIOS INFORMATIVOS: Asesores Locales Asesores Externos Disposicin en Internet Puntualidad en Intranet Fuentes Directas e Indirectas Bibliografa Disposicin en Internet: Pginas WEB: http://lal.cs.byu.edu/lal/hol-documentation.html http://www.eecs.umich.edu/gasm/ BIBLIOGRAFA: AUBENELL, A.; Benseny, A. 1993tiles Bsicos de Clculo Numrico Editorial Labor BURDEN, R.L.; Faires, J.D. 1985Anlisis Numrico.Grupo Editorial Iberoamrica MELVIN J. Maron, Robert J. Lpez 1999Anlisis Numrico, un Enfoque Prctico.Editorial CECSA. ANLISIS NUMRICO PRINCIPIA TEMATICA: 1.1.- En unsistema numricoposicionalse selecciona unnmerocomo base. Enelsistemadecimallabaseelegidaeseldiez,probablementeporque los dedos son una conveniente ayuda para contar, sin embargo es posible utilizarotrosnmeroscomobasesparalossistemasnumricos.Por ejemplo, si se decide emplear el cinco como base (esto es contar grupos decinco),entoncespuedencontarselas17letrasAsiguientesdeeste modo: ( A A A A A ) ( A A A A A ) ( A A A A A) A A tres cincos +` dos unos yescribir325osea,realmenteenelsistemanumricodecimalloque ocurre es que ese grupo de letras se cuentan de la manera siguiente: ( A A A A A A A A A A ) A A A A A A A UN DIEZ + SIETE UNOS yseescribe1710,esdecirelnumerodiecisieteenbase10esigualal nmero treinta y dos en base 5. delamismaformasiseseleccionael8comobase,lasletraspudieran agruparse de esta manera: ( A A A A A A A A ) ( A A A A A A A A ) A dos ochos + un uno yconcluiramosque:17=325=218observandoquecuandolabasees diez, no se escribe. Considrese ahora el problema de pasar los nmeros que no son de base 10 a nuestro sistema decimal. porejemplo:aquenmerocorrespondeel435 ennuestrosistema decimal? En primer lugar debemos recordar que, en el sistema decimal los nmeros pueden escribirse en una forma desarrollada, por ejemplo: 342=(3x102 )+(4x10)+(2x100 ) comopuedeobservarse,cuandose representaennotacindesarrolladacadadgitodelnmero342,se multiplica porla potenciaadecuadadediez ( queesla base empleada). De modo semejante, al escribirse en notacin desarrollada cada dgito del numeral43cinco,debemultiplicarseporlapotenciaadecuadadecinco(la base utilizada). por lo que, 43cinco = ( 4x5 ) + ( 3x50 ) = 23 notequea0=1paraa0.Deestamanera,100=1y2x100=2y adems que cuando el exponente es uno, no se escribe. Ejemplo: represente en notacin decimal los siguientes nmeros:a).- 432cinco b).- 312ocho c).- 547sieted).- 342seis 1.2.-Elsistemabinario.-Estesistemautilizasolamentelosdgitos0y1,yla agrupacin se realiza de dos en dos. En aos recientes, las computadoras electrnicasqueutilizanestesistema,hanrevolucionadolatecnologay las ciencias, debido a la rapidez con que realizan clculos que le llevaran aoscompletosalhombre.Laventajadelsistemabinarioesqueenun numeral, cada posicin contiene exactamente uno de dos valores posibles (01).Enestecasopuedenusarseinterruptoreselctricoscon solamente dos posiciones, prendido o apagado, para designar los valores de cadaposicin.Ahoraobservemoscomo convertirnmeros de labase dos a la base decimal. Escriba en notacin decimal el nmero 101dos. Solucin: 101dos= ( 1 x 22 ) + ( 0 x 2 ) + ( 1 x 20 ) = 4 + 0 + 1 = 5. Ahora, consideremos el proceso inverso, es decir, cambie el nmero 15 al sistema binario: solucin: podemos usar tambin el proceso de agrupamiento, sin embargo existeotromtodoparahacerlo,sellamadedivisionessucesivasy consiste en lo siguiente: hacer divisiones sucesivas entre la base (en este casoesdos)deestasuerte,aldividir15entre2,seobtienecomo cociente al 7 y el residuo es 1, cuando se divide el 7 entre 2 el cociente es 3 y el residuo es uno, y de la misma forma cuando se divide el 3 entre 2 el cociente es 1 y el residuo es 1, por lo que: 15 = 1111dos. 15 2 = 7 --------------1 7 2 = 3 ------------- 1 3 2 = 1 ------------- 1 Ejemplo: cambie al sistema binario los nmeros: 8, 33, 41, 56 y 67. 1.3.-Operacionesen elsistemabinario.- Lasoperacionesdesumayrestaen estesistema,seefectansiguiendoelmismoprocesoqueenelsistema decimal,teniendopresentequeencualquierbase,elnumeral10 representaalabase,detalmaneraque:enbasedos,10representaal nmero dos.y cuando la base no es diez, deber leer 10 como uno-cero, nunca como diez. Ejemplos: sume 10102 y 11112 y reste 1112 de 11102 1.4.- Ejercicios.- Una cmara instalada en una sonda espacial tom fotografas del planeta Marte y las envi en forma de seales de radio hacia la tierra, endondeunacomputadorarecibilasfotografasenformade numeralesbinariosformadosporseisbits.Elsombreadodecadapunto, enlafotografafinal,fuedeterminadoporesosseisbits.Elnumeral 0000002indicabaunpuntoblancoyelnumeral1111112denotabaun puntonegro.Los62numeralesintermediosrepresentabandistintos sombreadosqueibandelgrisalnegro.paraobtenerunafotografa completa se necesitaban 40,000 puntos. 1.- si uno de los numerales recibidos fue el 1101112 puede decir a que numeral decimal corresponde? 2.-Elpuntoquecorrespondealnumeralrecibidoenelinciso anteriorrepresentaunasombradecolorgriscercanaalblancooal negro? 3.-Culeselnumeralbinarioquerepresentaraelgrismsclaro que no llegue al blanco? 4.-Culeselnumeralbinarioqueconstituiraelgrismsoscuro que no llegue al negro? 5.-Puededecirquenumeralbinariorepresentaraelsombreado correspondiente al nmero 31? II.5.-Errorderedondeoyaritmticadecomputadora.-Cuandoseusauna calculadoraocomputadoraparahacerclculosnumricos,debe considerarse un error inevitable que es el llamado error de redondeo. Este errorseoriginaporquelaaritmticarealizadaenunamquinainvolucra nmerosconsolounnmerofinitodedgitos,conelresultadodeque muchosclculosserealizanconrepresentacionesaproximadasdelos nmerosverdaderos.Enunacomputadoratpica,solounsubconjunto relativamentepequeodelsistemadelosnmerosrealesseusapara representaratodoslosnmerosreales.Estesubconjuntocontienesolo nmerosracionales,positivosynegativos,yalmacenanunaparte fraccionaria, llamada la mantisa, junto con una parte exponencial , llamada lacaracterstica.Porejemplo,unnmerodepuntoflotanteenprecisin simpleusadoenlaIBM3703000consisteen1dgitobinario(bit) indicador del signo, un exponente de 7 bits en base 16, y una mantisa de 24bits.Como24bitscorrespondeaentre6y7dgitosdecimales, podemossuponerqueestenmerotiene,porlomenos,seiscifras decimalesdeprecisinparaelsistemadenumeracindepuntoflotante. Elexponentedesietebitsdaunrangode0a127,perodebidoalos exponentes usadoselrangoes,realmente, entre 164y+63,oseaque, se resta automticamente 64 del exponente listado. Considere por ejemplo el nmero de mquina: 01000010101100110000010000000000 El bit ms a la izquierda es cero, lo cual indica que el nmero es positivo. Los siguientes siete bits, 1000010, son equivalentes al nmero decimal: 1x26 + 0x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 66 yseusanparadescribirlacaracterstica.Losveinticuatrobitsfinales indican que la mantisa es: 1.(1/2)1 + 1.(1/2)3 + 1.(1/2)4 + 1.(1/2)7 + 1.(1/2)8 +1.(1/2)14 como consecuencia, este nmero de mquina representa precisamente al nmero decimal: +|(1/2)1+(1/2)3+(1/2)4+(1/2)7+(1/2)8+(1/2)14|1666-64= 179.015625. sin embargo, el siguiente nmero de mquina ms pequeo es: 01000010101100110000001111111111 = 179.0156097412109375 mientras que el nmero de mquina ms grande siguiente es: 01000010101100110000010000000001 = 179.0156402587890625 Estosignificaquenuestronmerodemquinaoriginaldeberepresentar no solamente a 179.015625, sino a un nmero infinito de nmeros reales queestnentreestenmeroysusnmerosdemquinamscercanos. parasermsprecisos,elnmerodemquinaoriginalseusapara representar cualquier nmero real en el intervalo: | 179.01561737060546875 179.01563262939453125 | II.6.- Error y exactitud. Estudio de errores.- Definicin Loserroresnumricossegeneranconelusodeaproximacionespara representarcantidadesmatemticas.Estosincluyenerroresde truncamientoqueresultanderepresentaraproximadamenteun procedimientomatemticoexacto,yloserroresderedondeoquese producen cuando los nmeros tienen un lmite de cidras significativas que se usan para representar nmeros exactos. Para los dos tipos de errores, larelacinentreelresultadoexactooverdaderoyelaproximadoesta dadapor:Valorverdadero=aproximacin+error(1.1)Reordenandola ecuacin1.1seencuentraqueelerrornumricoesigualaladiferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es: Et = valor verdadero - aproximacin (1.2) DondeEt seusaparadenotarelvalorexactodelerror.Seincluyeel subndicetparadenotarquesetratadelerrorverdadero.Comoyase menciono brevemente, esto contrasta con los otros casos , donde se debe emplear una estimacin aproximada del error.Undefectodeestadefinicinesquenotomaenconsideracinelorden de magnitud del valor que se esta probando. Por ejemplo, un error de un centmetroesmuchomassignificativosiseestmidiendounremache queunpuente.Unamanerademedirlasmagnitudesdelascantidades que se esta evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, Error relativo fraccional = error verdadero / valor verdadero. Donde, como ya se dijo, en la ecuacin (1.2), El error relativo tambin se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Et = (error verdadero / valor verdadero)100 %. (1.3) Donde Et denota el error relativo porcentual verdadero. II.7.- Error inherente y precisin fija. Exactitud y precisin. Loserroresasociadosconlosclculosymedidassepueden caracterizar observando su exactitud y precisin. La exactitud se refiere a que tan cercano est el valor calculado o medido con el verdadero. La precisin, se refiere a que tan cercano est un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.Paralamayoradelosnmerosrealesx,undispositivodigitalno almacenax,sinoelnumerodelamaquinafl(x)queaproximaax.El error de f l(x) se llama error de redondeo o error inherente al almacenar x. As,Error inherente = x - f l(x) Sieldispositivoesunacalculadoraquealmacenamantisasakdgitos decimales,seobtieneelfl(x)masexactoredondeadoxaks.Por ejemplo , si k = 4 y la calculadora redondea al almacenar, entonces ) 1 ,.. 6667 . ,..( 10 6667 . ) ( .. .. .. ...... 066666 . 01511 = = + = = =E M x x fl como a almacenari se x As el error inherente de almacenar x = 1/15 en este dispositivo es 30000011000006667151) (= = x fl x II.8.- Propagacin del error (en los clculos aritmticos) Fuentes de error en los dispositivos digitales 1)Errorhumano:errorcometidoporelprogramador,operadoro usuario. 2)Error de redondeo: nombre general dado a los errores producidos al realizararitmticaen un dispositivode precisin fija.Principiaconel errorinherenteyluegosepropagaenvirtuddelerrorescondido,la adicininsignificante,laampliacindelerrory/olacancelacin sustractiva. 3)Errorportruncamiento(odiscretizacin):elerrorqueocurrecuando se usa una frmula que es solo aproximada. Consideracinprctica,cuandoredondear?:Dosimportantesreglas prcticas.Primero,nuncaredondeeunarespuestaintermedia.Lamejor manera de asegurar esto es hacer que el dispositivo digital los almacene; sidebenseranotadosamanovaloresintermedios,asegresedeusar variosdgitosdeseguridadmasquelaexactituddeseada.Segundo, redondee siempre una respuesta final teniendo en mente que la exactitud delarespuestafinalestlimitadaporlaexactituddeldispositivo computacional, Mostraremos un procedimiento perfectamente razonable, el cual llamamos aritmticadeprecisinfijaomasespecficamentearitmticaks,puede conducir a una variedad de errores. TablaI.4.1,almacenamientodenmerosenundispositivoqueredondeaaa 4s Valor exactoValor almacenado Error inherenteError relativo u = 122.9572fl(u) = 123.0fl(u) = -0.0428fl(u) = -0.3E-3 v = 124.1498fl(v) = 124.1fl(v) = +0.0498fl(v) = +0.40E-3 w = 0.014973fl(w) = 0-01497 fl(w) = +0.000003 fl(w) = +0.20E-3 z = 457.932fl(z) = 457,900fl(z) = +32fl(z) = +0.70E-4 LatablaI.4.1,examinaelerrorinherentedeunacalculadoraque almacena cuatro dgitos significativos redondeados, as que M = 0.5 . 10-3 . Aunque los errores inherentes varan en tamao para este dispositivo a 4s hipottico, ningn error inherente relativo excede M en magnitud como lo predice: M x flEx flx fl x=) () () ( LatablaI.4.2,usau,v,w,yzdelatablaI.4.1paramostrarcomola aritmticaa4spropagaelerrorderedondeo.LatablaI.4.3resumelos tiposderedondeopropagadoilustradoenlatablaI.4.2.Observemos primeroqueunaadicininsignificantehacequefl(u)fl(w)seredondee simplemente fl(u). Tabla I.4.2, propagacin del error al realizar aritmtica a 4s en aproximaciones almacenadas. x y exactox y (4s)fl(x) fl(y)fl(x) + fl(y) V + z = 458055.1498458100fl(v)+fl(z) = 458023.1fl(v)+fl(z) = 458000 u w = 122.942227 122.9fl(u) fl(w) = 122.98503fl(u) -fl(w) = 123.0 v * z = 0.56394234E80.5639E+8fl(v) * fl(z) = 0-5636749E8 fl(v)*fl(z) =0.5637E+8 u / w = 8211.928138212fl(u)/fl(w) = 8216.43287 fl(u) / fl(w) = 8216. u v = -0.1926 -0.1926fl(u) fl(v) = -0-1fl(u) fl(v) = -0.1000 En la tabla 1.4.2, fl(v)+fl(w), fl(u)-fl(w), fl(u) * fl(z) y fl(u) / fl(w) tienen errores en elcuartodgitosignificativoauncuandofl(u),fl(v),fl(w)yfl(z)seredondearon correctamentea4s.Estalentaacumulacindelerroreneldgitomenos significativo es redondeo escondido. TablaI.4.3,Tiposdeerrorpropagadocuandolosoperandostienenerrorde redondeo NOMBRE DEL ERRORDESCRIPCIN DEL ERROR Adicin insignificanteLa adicin o (sustraccin) de dos nmeros cuyas magnitudes son tan diferentes que la suma (o diferencia) se redondea al numero mayor.Redondeo escondidoEl error en el kesimo digito significativo de x y que puede ocurrir aun si x & y se redondean correctamente a ks. Ampliacin del error La multiplicacin de un numero errneo por un numero grande (en magnitud) o su divisin entre un numero cercano a ceroCancelacin sustractiva La resta de dos nmeros casi iguales (o, de manera equivalente, la suma de un numero con casi su negativo) . LaampliacindelerrorsucedienlatablaI4.2,cuandoelproductofl(v)*fl(z) amplifico el error de fl(v) [y, en menor extensin, el error de fl(z)] ,Aunque los errores representan errores relativos aceptablemente pequeos porque estn eneldigitomenossignificativodefl(v)*fl(w)yfl(u)/fl(w),nosonnmeros pequeos. 07187 . 4 8216 92813 . 8211 ) ( / ) ( /2136 . 2423 56370000 2136 . 563942234 ) ( * ) ( _ *) ( / ) () ( ) (= = == = =w fl u fl v uz fl v fl z vw fl u flz fl v fl

Laamplificacindelerrorpuedeentoncesproducirerroresabsolutosqueson inaceptablemente grandes en ciertas situaciones. Eltipomasdevastadordeerrorderedondeopropagadoeslacancelacin sustractiva. Para ver por que, compare las siguientes dos restas: u = 122.9572fl(u) = 123.0 v = 123.1498fl(v) = 123.1 u v = -0.1926 fl(u) fl(v) = - 0.1 [= fl(u) fl(v) ] Obsrvesequelasustraccindedosnmerosredondeadoscasiiguales cancelalaexactituddelosdgitosprincipalessignificativos.Alasustraccin sustractivatambinseleconocecomocancelacincatastrficaporquea diferencia de los otros tipos de redondeo propagado, puede producir errores en el digito significativo principal despus de una sola operacin aritmtica.

II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo. Puestoqueelerrorderedondeopropagadoiniciaconelerrorinherente,los usuariosinteligentesdelosmtodosnumricosconocenlaprecisindel dispositivo de clculo, as que pueden usar la: Estrategiadelamantisacompleta.Paraminimizarelerrorinherente, introduzcavaloresdeentradacontantosdgitossignificativoscomopuedan almacenarseen eldispositivo (porsupuestoque seaconocidala precisin del digito significativo del dispositivo).Porejemplo.As,enundispositivoa7s,deberaproporcionarsecomo 3.141593 (no como 3.14). Mejor aun , haga que el propio dispositivo lo calcule por si mismo. Digamos este sencillo truco nos da con la precisin nominal del dispositivo cualquiera que seaE forma similar, ex debe programarse como ExP(x), no como 2.718**x, (lo cual restringelaexactitudprobableaseguradaa4sindependientementedela precisin del dispositivo). Algunas veces, los valores de entrada de un calculo son conocidos con menos dgitosexactosquelaprecisindeldispositivo.Enestascondiciones aconsejamos lo siguiente.. Estrategiaderespuestafinal,Redondeelarespuestafinalaunaexactitud conocida. Por ejemplo, si un clculo bien condicionado resulta 23.3876 y el dato de entradamenosexactoseconocesoloconexactituda3s,entoncesla respuesta debe anotarse como 23.4 es decir, redondeada a 3s. Es aconsejable unanotadequeincluso23.4podraserinexactosisesabequeelclculo estuvo mal condicionado. Otra estrategia til para limitar la propagacin del error de redondeo es la: Estrategiadeoperacionesmnimas,paraayudaraminimizarelerrorde redondeoescondido,evalulasexpresionesmatemticasenunaformaque requieraelmenornmerodeoperacionesaritmticassiemprequealhacerlo no permita la posibilidad de cancelacin sustractiva.Como un ejemplo sencillo, u = y-8 se evala mejor en cuatro pasos ) .. .. .. .. (1; * ; * ; recproco un y ciones multiplica tresuu u u u u u u y y u La estrategia de operaciones mnimas solo toma la exactitud en consideracin . Si tambin se desea una ejecucin rpida, tome en cuenta que las adiciones (estassonmasrpidasquelasmultiplicaciones,lascualessonmasrpidas quelasdivisiones;yasuvez,estasoperaciones aritmticassonmasrpidas que la mayora de las evaluaciones de funciones internas).Como un ejemplo ms, compararemos la forma exponencial usual de: ) ( .......... 1324 . 5 ) 834 . 56 ) 98 . 56 ) 19 2 ((( ) (.. .. .. .. ..) ...( .......... 1324 . 5 834 . 56 98 . 56 19 2 ) (2 3 4B x x x x x panidada forma en e equivalent su aA x x x x x p+ + =+ + =

Ambasformasrequierencuatroadiciones/sustraccionesycuatro multiplicaciones por una potencia de x. Sin embargo, la evaluacin (A) requiere el clculo adicional de x4, x3 y x2, el clculo adicional posiblemente genere con (a)maserrorderedondeoquecon(b).Estaeslaraznporloquese recomienda la:

Estrategiademultiplicacinanidada,Evalulospolinomiosenforma anidada. Elalgoritmodeladivisinsinttica(tambinconocidocomoelmtodode Horner)paralaevaluacindeunpolinomioenformaanidada.Ellectorque hayarealizadoladivisinsintticamanualmentepodrreconocerloenel siguiente ejemplo que se muestra. Encontrar p(x) = {[(1c-9.5)c + 28.49]c + -28.417}c + 2.5662 para cuando c = -2 -21-9.528.49-28.4172.5662 +-2.023.00-102.98262.794 1-11.551.49-131.397265.3602 = p(-2) ) 2 (3602 . 265397 . 131 49 . 51 2 5 . 11 3) () ( + + = xx x xx xx p Estrategiadeldgitodeseguridad,Nuncaredondeevaloresintermedios.Si usteddebeanotarlosyreintroducirlos,hgaloconunoscuantosdgitosde seguridad mas que la exactitud deseada en la respuesta final. Estrategiadeprecisinparcial,Cuandohagaunasumaacumuladaen un ciclo, hgalo usando precisin extendida siempre que este disponible. INTERPOLACIN. III.10.- Introduccin. Cada10aosselevantauncensodepoblacin.Enlasiguientetablase incluyen datos de la poblacin, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.

POB (en miles)01002003001930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000AOPOBLACION Al revisar los datos anteriores, podramos preguntarnos si es posible utilizarlos para obtener una estimacin razonable de la poblacin que habra en: digamos, en 1965, incluso en el ao 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por mediodeunafuncinquecorrespondaalosdatosdisponibles.Esteproceso recibe el nombre de Interpolacin. Lapalabrainterpolacin,significapasarunacurvaporunconjuntodadode puntos. Matemticamente el problema de interpolacin es.Hastahacepoco,lasfuncionestrascendenteseranevaluadasenforma rutinariausandointerpolacinsobreunatabla.Aunquelascalculadorasde bolsilloylascomputadorashanhechoinnecesariaengranmedidatales interpolaciones,lanecesidaddeinterpolarpersiste.Porejemplolos especialistas en estadstica, los cientficos y los ingenieros necesitan a menudo estimacionesexactasbasadasenunnmerolimitadodepuntostabuladosde un libro de consulta o de la impresin de una computadora, y herramientas de cortecontroladasporcomputadorasrequierendeseguircurvasespecificadas por un conjunto de puntos fijos.

II.7.- Interpolacin lineal y cuadrtica. Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los puntosdistintosde(x0,y0)y(x1,y1).Esteproblemaeselmismoqueelde aproximarunafuncinf,paralacualf(x0)=y0yf(x )=y1,pormediodeun polinomiodeprimergrado,interpolandoentreocoincidiendocon,losvalores de f en los puntos dados . Consideremos el polinomio 10 1001 01) () () () () ( yx xx xyx xx xx p+= Cuando x = x0,) ( . 0 . 1 ) (0 0 1 0 0x f y y y x P = = + =Y cuando x = x1,) ( . 1 . 0 ) (1 1 1 0 1x f y y y x P = = + = As que P tiene las propiedades requeridas. La tcnica usada para construir a P es el mtodo de interpolacin usado con frecuenciaenlastablastrigonomtricasologartmicas.Loquepuedeserno estanobvioesquePeselnicopolinomiodegrado1omenorconla propiedaddeinterpolacin.Esteresultado,sinembargo,sesigue inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80.Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado n. Si x1, x2, ....,xk, k > n son nmeros distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x)= Q(x) para todo valor de x . Parageneralizarelconceptodeinterpolacinlineal,consideremosla construccin de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)), (x1,f(x1)),.....,(xn,f(xn))(verfiguraXII.A).Elpolinomiolinealquepasapor(x0, f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes . ) () () ( ........ ,.........) () () (0 1011 010x xx xx L yx xx xx L==cuandox=x0 ,f(x0)=1,mientrasqueL1(x0)=0.Cuandox=x1,Lo(x1)=0, mientras L1(x1) = 1 Y F

P X X0 x1 x2 xn Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente Lnk(x)conlapropiedaddequeLn, k(xi)=0cuandoiKyLn,k(x k)=1.Para satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i k se requiere que el numerador de Ln,,k contenga el termino: ) )...( )( ).....( )( (1 1 1 0 n k kx x x x x x x x x x + ............................(II.B) Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x = xk. Por lo tanto. = + + = =nk ii i kin k k k k k kn k kk nx xx xx x x x x x x xx x x x x x x xx L0 1 1 01 1 0,) () () )...( )( )...( () )...( )( )...( () (En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k

Y

x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X Lainterpolacinpolinomicadedospuntossellamainterpolacinlineal.En forma similar, la interpolacin de tres puntos se llama interpolacin cuadrtica. II.8.- Formas de Lagrange de Pk m (x). AhoraqueseconocelaformadeLn,,kesFcildescribiralpolinomio interpolante. Este polinomio se llama Polinomio interpolante de lagrange y se define en el teorema siguiente. Teorema:Sixo,x1,..,xn sonnmeros(n+1)diferentesyfesuna funcincuyosvaloresestndadosenestospuntos,entoncesexisteunnico polinomio P de grado a lo mas n con la propiedad de que: n k cada para x p x fk k,....., 1 ,. 0 .. .. ....... )......... ( ) ( = =

Este polinomio esta dado por: == + + =nkk n k n n n nx L x f x L x f x L x f x P0, , 0 , 0), ( ) ( ) ( ) ( .. .......... ) ( ) ( ) ( . ,......, 1 ,.. 0 .. .. ..........) () (... ..........) )... )( )...( )( () )...( )( )...( )( () ( ,01 1 1 01 1 1 0n k cada parax xx xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx k Lnnk ii i kin k k k k k k kn k k== ==+ + Escribiremos L n,k (x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusin de su grado.. Ejemplo: Usando los nmeros o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el polinomiointerpolantedesegundogradoparaf(x)=1/xnecesitamos determinar primero los coeficientes polinmicos L0, L1, L2: ). 5 5 . 4 2 (31) 5 . 2 4 )( 2 4 () 5 . 2 )( 2 () () 32 24 2 4 (31) 4 5 . 2 )( 2 5 . 2 () 4 )( 2 () (10 5 . 6) 4 2 )( 5 . 2 2 () 4 )( 5 . 2 . () (2120+ = = + = =+ = =x xx xx Lx xx xx Lx xx xx L Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25 325 . 0 ) 3 ( ) 3 ( ... .......... .. 3 / 1 ) 3 ( .. .. ..15 . 1 425 . 0 2 05 . 0 .....) 5 5 . 4 (325 . 0) 32 24 4 (34 . 0) 10 5 . 6 ( 5 . 0 ......) ( ) ( ) (2 2 220= =+ =+ + + + + ===P f es f a on aproximaci unax xx x x x x xx L x f x Pkk k II.9.- Diferencias divididas y la forma de Newton. Losmtodosparadeterminarlarepresentacinexplicitadeunpolinomio interpolanteapartirdedatostabuladosseconocencomomtodosde diferenciadividida.Estosmtodosseusaronmasconpropsitodecomputo antesdequeelequipodecomputodigitalllegaraaserfcilmentedisponible. Sinembargo,losmtodospuedenusarsetambinparaderivartcnicaspara aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Supongamosque PneselpolinomiodeLagrangedegradoalomasnquecoincideconla funcin f en los nmeros distintos xo, x1,..., xn. Las diferencias divididas de f con respectoax0,x1,....,xn,sepuedenderivardemostrandoquePntienela representacin ) )...( )( (( ... ) )( ( ) ( ) (1 1 0 1 0 2 0 1 0 + + + + =n n nx x x x x x a x x x x a x x a a x P ..(A) con constantes apropiadas a0, a1, ....,an Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede escribirseenlaformadelaecuacin(A),entoncesevaluandoPn enx0deja solamente el termino constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0). Similarmente,cuandoPnseevalaenx1losnicostrminosquedistintosde ceros en la evaluacin de Pn(x1) son la constante y el trmino lineal. ) ........() ( ) (1 : ..); ( ) ( ) ( ) (0 10 11 0 1 0Bx xx f x fa que asix f x P x x a x fn== = + Aquintroducimosloqueseconocecomonotacindediferenciadividida.La diferencia dividida cero de la funcin f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es simplemente la evaluacin de f en x i , || ). (i ix f x f =

Lasdiferenciasdivididasrestantessedefineninductivamente;laprimera diferenciadivididadefconrespectoax i yxi+1,sedenotaporf[xi,xi+1]yesta definida como | || | ||i ii ii ix xx f x fx x f=+++111,

EJEMPLO LafuncindeBesseldeprimeraclasedeordencerofueconsideradaenel ejemplo3delaseccin3.2(Anlisisnumrico,RichardL.Burden)Enese ejemplo,seusaronvariospolinomiosinterpolantesparaaproximarf(1.5), usando los datos que estn en las primeras tres columnas de la siguiente tabla IxiF[xi]F[xi-1, xi]F[xi-2, xi-1, xi]F[xi-3,........, xi]F[xi-4,, xi] 01.00.7651977 -0.4837057 11.30.6200860-0.1087339 -0.5489460 0.0658784 21.64554022-0.04944330.0018251 -0.5786120 0.0680685 31.90.28181860.0118183 -0.5715210 42.20.1103623 Lasrestantescuatrocolumnasdelatablacontienendiferenciasdivididas calculadasusandounalgoritmo(Algoritmodelaformuladediferencia interpolante de Newton). LoscoeficientesdelaformadediferenciadivididaprogresivadeNewtondel polinomiointerpolante estn a lolargodeladiagonal enlatabla. Elpolinomio es ) 9 . 1 )( 6 . 1 )( 3 . 1 )( 0 . 1 ( 0018251 . 0 . ..........) 6 . 1 )( 3 . 1 )( 0 . 1 ( 0658784 . 0 . ..........) 3 . 1 )( 0 . 1 ( 1087339 . 0 ) 0 . 1 ( 4837057 . 0 7651977 . 0 ) (4 + + =x x x xx x xx x x x P se verifica fcilmente que P4(1.5) =0.5118200. Cuando las (k-1)diferencias divididas II.10.- La formula del error y las interpolaciones optimas. Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si cesunaxnotabulada,entonceselnumeropk,m(x)obteniendoevaluandopk, m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de interpolacin[xk,xm]entoncessedicequepk,m(x)interpolaaf(x)deotra manera,(porejemplo,yaseaquecxm),sedicequepk,m(c(c) extrapola a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta: Dadoquec,quvaloresdemykhacenapk,m(c)aproximaraf(c)con mayor exactitud? Paraayudaracontestarlasiguientepreguntausaremoselsiguienteteorema de LagrangeTEOREMASila(n+1)esimaderivada def(n+1)existeenelintervalocerrado maspequeoquecontieneacyan+1nodosinterpoladosxk,...,xk+n, entonces hay una en este intervalo tal que ) )....( )( ()! 1 () () ( ) (1 1) 1 (, + +++ += k k inn k kx c x c x cnfc P c f El teorema implica que para una c dada y n, el error absoluto n k k i n k kx c x c x c producto al al proporcion es c P c f+ + + ..... . .. .. .. .. ) ( ) (1 , (C) Donde |c - xi| es la distancia de c a xi en la recta numrica . As el error de la aproximacin f(c) Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeo en los casos en quexk*cxk+n(interpolacin),quecuandolosxk,....,xk+nestnenelmismo lado que c (extrapolacin); y cuando se interpola, se supone que el error ser mayor para c entre dos xi ampliamente espaciadas (oscilaciones polinomicas) y menor para una c cerca de un xi . Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolacin) y el espacio entre dos nodos es razonablementeuniforme,entonceselproductodelos|c-xi|.en(C)esmas grandecuandocestacercadeun puntoextremode[xk,xk+n]ymaspequeo cuandocestacercadelcentrode[xk,xk+n].As,paraunacdada,la aproximacinmasexactadef(c)conunpolinomiodeinterpolacinden+1 puntos, es probable que sea ) ( ) (,c p c fn k k += , donde: ).. ( ) ( , ,c p c pn k k n k k + += usandolosn+1nodossucesivosxk,...xk+nquemejor centren a c. Nosreferimosalnumero) ( ,c pn k k +comolainterpolacinoptimadenesimo gradoparaf(c).Elcircunflejo()esparaindicarqueeslaprobablemente optima.As,cuandoseinterpola,lasinterpolacionesoptimas,las interpolaciones optimas se obtienen como sigue:TABLA II.10.1,Interpolaciones optimas denesimogradopara c=c1,c2,c3 de la figuraII.10.A NPk, k+n(c1)Pk, k+n(c2)Pk, k+n(c3) 0Pk, k (c1) =P0,0(c1)Pk, k(c2) =P2,2(c2)Pk, k(c3) =P2,2(c3) 1Pk,k+1(c1) =p0,1(c1)Pk,k+1(c2) =p1,2(c2)Pk,k+1(c3) =p2,3(c3) 2Pk,k+2(c1) =p0,2(c1)Pk,k+2(c2) =p1,3(c2)Pk,k+2(c3) =p1,3(c3) 3Pk,k+3(c1) =p0,3(c1)Pk,k+3(c2) =p0,3(c1)Pk,k+3(c3) =p1,4(c3) 4Pk,k+4(c1) =p0,4(c1)Pk,k+4(c2) =p0,4(c1)Pk,k+4(c3) =p0,4(c3) C1 C2 C3

X0 X1 X2 X3 X4 Figura II.10.A, Extrapolacin de f(c1) e interpolacin de f(c2) y f(c3) EJEMPLO HallarkylamparalascualesPk,m(c)eslaaproximacinoptimaacusando los cinco puntosPO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curvax y =a)si c es 8; b) se c es 21.) 5826 . 4 21 .. .. 8284 . 2 8 : ( y Nota xkfkPk,k+1(8)Pk,k+2(8)Pk,k+3(8)Pk,k+4(8) XO = 00 8 = 8.00 X1 = 11-4/3 = -1.333 10/3 = 3.333 12/5 = 2.400 X2 = 4243/15 = 2.867118/45 = 2.62 14/5 = 2.800 128/45= 2.844 X3 = 93592/210=2.819 20/7 = 2.857 X4 = 164 C = 8 Elelementosubrayadodecadacolumna,paraelcualelintervalode interpolacincentramejorac=8,observequelasinterpolacionesoptimas subrayadasestnigualmentedistribuidasaunoyotroladodelalnea punteada en c = 8 Elvalormsexactodelatabla,eselpuntoconvalorde2.819,queusasolo tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos es el menos exacto de las interpolaciones optimas. X0X1 X2 C X3 X4

0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo. III.11.-Unsistemadeecuacioneslineales,esunaformacindeecuacionesde primer grado, ya que estas reciben el nombre de lineales debido precisamente aquesitrazamoslagrficadecualquieradeellas,elresultadosersiempre una lnea recta. Generalmente se habla de sistemas de n ecuaciones con n incgnitas. por ejemplo: 5x 3y = 1210x 6y = 245x + y = 96x+ 3y = -9 2x 3y = 310x 15y = 153x y = 7 3x + 4y = -2 Son sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. x + 3y + z = 5x y + z = 4 3x +6y 2z = 32x y z = 9 2x 3y + 3z = 6x 3y + 2z = 12 Son sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. III.12.-Cualquiersistemadeecuaciones,sepuederepresentarpordosarreglos matemticos que reciben el nombre de matriz, por ejemplo los primeros casos de los sistemas anteriores quedarn debidamente representados de la manera siguiente: ((

3 23 5 ((

312 ((((

+ + + +3 3 22 6 31 3 1 ((((

635 Endondelaprimeramatrizdecadacasorecibeelnombredematrizdelos coeficientesnumricos,mientrasquelassiguientessellamanmatricesdelas constantes por el lado derecho de las ecuaciones. III.13.-Pararesolverlossistemaslinealesdeecuacionesexistentresoperaciones permitidassobreellassinprovocarquelasecuacionessealterenysonlas siguientes: 1.-LaecuacinEi puede multiplicarse por cualquier constante ( lambda)diferentedeceroyutilizarlaecuacinresultanteenlugarde Ei, esta operacin se simboliza mediante Ei Ei 2.-.-LaecuacinEipuedemultiplicarseporcualquierconstante( lambda)diferentedecero,sumaralaecuacinEj,yutilizarlaecuacin resultante en lugar de Ej, esta operacin se simboliza mediante Ei + Ej Ej 3.-LasecuacionesEiyEjsepuedenintercambiar,estaoperacinse simboliza mediante: Ei Ej. El mtodo de Newton, consiste en, usando estas operaciones permitidas, hacer queelsistemadeecuacionestomeunaformatriangularreducidaendonde todosloselementosdeladiagonalprincipaldelamatrizdecoeficientesdel sistemasehagan1,mientrasquetodoslosdemselementosdeellasean0. dedondeserndespejadoslosvaloresdelasvariablesdelsistemayasse obtendr la solucin al sistema que se este tratando. INTERPOLACIN. IV.14.- Introduccin. Cada10aosselevantauncensodepoblacin.Enlasiguientetablase incluyen datos de la poblacin, en miles de habitantes, de 1940 a 1990. POB (en miles)01002003001930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000AOPOBLACION Al revisar los datos anteriores, podramos preguntarnos si es posible utilizarlos para obtener una estimacin razonable de la poblacin que habra en: digamos, en 1965, incluso en el ao 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por mediodeunafuncinquecorrespondaalosdatosdisponibles.Esteproceso recibe el nombre de Interpolacin. Lapalabrainterpolacin,significapasarunacurvaporunconjuntodadode puntos. Matemticamente el problema de interpolacin es.Hastahacepoco,lasfuncionestrascendenteseranevaluadasenforma rutinariausandointerpolacinsobreunatabla.Aunquelascalculadorasde bolsilloylascomputadorashanhechoinnecesariaengranmedidatales interpolaciones,lanecesidaddeinterpolarpersiste.Porejemplolos especialistas en estadstica, los cientficos y los ingenieros necesitan a menudo estimacionesexactasbasadasenunnumerolimitadodepuntostabuladosde un libro de consulta o de la impresin de una computadora, y herramientas de cortecontroladasporcomputadorasrequierendeseguircurvasespecificadas por un conjunto de puntos fijos.

IV.15.- Interpolacin lineal y cuadrtica. Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los puntosdistintosde(x0,y0)y(x1,y1).Esteproblemaeselmismoqueelde aproximarunafuncinf,paralacualf(x0)=y0yf(x )=y1,pormediodeun polinomiodeprimergrado,interpolandoentreocoincidiendocon,losvalores de f en los puntos dados . Consideremos el polinomio 10 1001 01) () () () () ( yx xx xyx xx xx p+= Cuando x = x0,) ( . 0 . 1 ) (0 0 1 0 0x f y y y x P = = + =Y cuando x = x1,) ( . 1 . 0 ) (1 1 1 0 1x f y y y x P = = + =As que P tiene las propiedades requeridas. La tcnica usada para construir a P es el mtodo de interpolacin usado con frecuenciaenlastablastrigonomtricasologartmicas.Loquepuedeserno estanobvioesquePeselnicopolinomiodegrado1omenorconla propiedaddeinterpolacin.Esteresultado,sinembargo,sesigue inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80.Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado n. Si x1, x2, ....,xk, k > n son nmeros distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x)= Q(x) para todo valor de x . Parageneralizarelconceptodeinterpolacinlineal,consideremosla construccin de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)), (x1,f(x1)),.....,(xn,f(xn))(verfiguraXII.A).Elpolinomiolinealquepasapor(x0, f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes . ) () () ( ........ ,.........) () () (0 1011 010x xx xx L yx xx xx L==cuandox=x0 ,f(x0)=1,mientrasqueL1(x0)=0.Cuandox=x1,Lo(x1)=0, mientras L1(x1) = 1 Y F

P X X0 x1 x2 xn Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente Lnk(x)conlapropiedaddequeLn, k(xi)=0cuandoiKyLn,k(x k)=1.Para satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i k se requiere que el numerador de Ln,,k contenga el termino: ) )...( )( ).....( )( (1 1 1 0 n k kx x x x x x x x x x + ............................(II.B) Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x = xk. Por lo tanto. = + + = =nk ii i kin k k k k k kn k kk nx xx xx x x x x x x xx x x x x x x xx L0 1 1 01 1 0,) () () )...( )( )...( () )...( )( )...( () (En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k

Y

x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X Lainterpolacinpolinmicadedospuntossellamainterpolacinlineal.En forma similar, la interpolacin de tres puntos se llama interpolacin cuadrtica. IV.16.- Formas de Lagrange de Pk m (x). AhoraqueseconocelaformadeLn,,kesFcildescribiralpolinomio interpolante. Este polinomio se llama Polinomio interpolante de lagrange y se define en el teorema siguiente. Teorema:Sixo,x1,..,xn sonnmeros(n+1)diferentesyfesuna funcincuyosvaloresestndadosenestospuntos,entoncesexisteunnico polinomio P de grado a lo mas n con la propiedad de que: n k cada para x p x fk k,....., 1 ,. 0 .. .. ....... )......... ( ) ( = =

Este polinomio esta dado por: == + + =nkk n k n n n nx L x f x L x f x L x f x P0, , 0 , 0), ( ) ( ) ( ) ( .. .......... ) ( ) ( ) ( . ,......, 1 ,.. 0 .. .. ..........) () (... ..........) )... )( )...( )( () )...( )( )...( )( () ( ,01 1 1 01 1 1 0n k cada parax xx xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx k Lnnk ii i kin k k k k k k kn k k== ==+ + Escribiremos L n,k (x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusin de su grado.. Ejemplo: Usando los nmeros o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el polinomiointerpolantedesegundogradoparaf(x)=1/xnecesitamos determinar primero los coeficientes polinmicos L0, L1, L2: ). 5 5 . 4 2 (31) 5 . 2 4 )( 2 4 () 5 . 2 )( 2 () () 32 24 2 4 (31) 4 5 . 2 )( 2 5 . 2 () 4 )( 2 () (10 5 . 6) 4 2 )( 5 . 2 2 () 4 )( 5 . 2 . () (2120+ = = + = =+ = =x xx xx Lx xx xx Lx xx xx L Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25 325 . 0 ) 3 ( ) 3 ( ... .......... .. 3 / 1 ) 3 ( .. .. ..15 . 1 425 . 0 2 05 . 0 .....) 5 5 . 4 (325 . 0) 32 24 4 (34 . 0) 10 5 . 6 ( 5 . 0 ......) ( ) ( ) (2 2 220= =+ =+ + + + + ===P f es f a on aproximaci unax xx x x x x xx L x f x Pkk k IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton. Losmtodosparadeterminarlarepresentacinexplicitadeunpolinomio interpolanteapartirdedatostabuladosseconocencomomtodosde diferenciadividida.Estosmtodosseusaronmasconpropsitodecomputo antesdequeelequipodecomputodigitalllegaraaserfcilmentedisponible. Sinembargo,losmtodospuedenusarsetambinparaderivartcnicaspara aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Supongamosque Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo mas n que coincide con la funcin fenlosnmerosdistintosxo,x1,...,xn.Lasdiferenciasdivididasdefcon respectoax0,x1,....,xn,sepuedenderivardemostrandoquePntienela representacin ) )...( )( (( ... ) )( ( ) ( ) (1 1 0 1 0 2 0 1 0 + + + + =n n nx x x x x x a x x x x a x x a a x P ..(A) con constantes apropiadas a0, a1, ....,an Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede escribirseenlaformadelaecuacin(A),entoncesevaluandoPnenx0deja solamente el trmino constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0).Similarmente, cuando Pn se evala en x1 los nicos trminos distintos de ceros en la evaluacin de Pn(x1) son la constante y el termino lineal . ) ........() ( ) (1 : ..); ( ) ( ) ( ) (0 10 11 0 1 0Bx xx f x fa que asix f x P x x a x fn== = + Aquintroducimosloqueseconocecomonotacindediferenciadividida.La diferencia dividida cero de la funcin f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es simplemente la evaluacin de f en x i , || ). (i ix f x f =

Lasdiferenciasdivididasrestantessedefineninductivamente;laprimera diferenciadivididadefconrespectoax i yxi+1,sedenotaporf[xi,xi+1]yesta definida como | || | ||i ii ii ix xx f x fx x f=+++111,

EJEMPLO LafuncindeBesseldeprimeraclasedeordencerofueconsideradaenel ejemplo3delaseccin3.2(Anlisisnumrico,RichardL.Burden)Enese ejemplo,seusaronvariospolinomiosinterpolantesparaaproximarf(1.5), usando los datos que estn en las primeras tres columnas de la siguiente tabla IxiF[xi]F[xi-1, xi]F[xi-2, xi-1, xi]F[xi-3,........, xi] F[xi-4,, xi] 01.00.7651977 -0.4837057 11.30.6200860-0.1087339 -0.5489460 0.0658784 21.64554022-0.04944330.0018251 -0.5786120 0.0680685 31.90.28181860.0118183 -0.5715210 42.20.1103623 Lasrestantescuatrocolumnasdelatablacontienendiferenciasdivididas calculadasusandounalgoritmo(Algoritmodelaformuladediferencia interpolante de Newton).LoscoeficientesdelaformadediferenciadivididaprogresivadeNewtondel polinomiointerpolante estn a lolargodeladiagonal enlatabla. Elpolinomio es ) 9 . 1 )( 6 . 1 )( 3 . 1 )( 0 . 1 ( 0018251 . 0 . ..........) 6 . 1 )( 3 . 1 )( 0 . 1 ( 0658784 . 0 . ..........) 3 . 1 )( 0 . 1 ( 1087339 . 0 ) 0 . 1 ( 4837057 . 0 7651977 . 0 ) (4 + + =x x x xx x xx x x x P se verifica fcilmente que P4(1.5) =0.5118200. Cuando las (k-1)diferencias divididas IV.18.- La formula del error y las interpolaciones ptimas. Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si cesunaxnotabulada,entonceselnumeropk,m(x)obteniendoevaluandopk, m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de interpolacin[xk,xm]entoncessedicequepk,m(x)interpolaaf(x)deotra manera,(porejemplo,yaseaquecxm),sedicequepk,m(c(c) extrapola a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta: Dadoquec,quvaloresdemykhacenapk,m(c)aproximaraf(c)con mayor exactitud? Paraayudaracontestarlasiguientepreguntausaremoselsiguiente teorema de LagrangeTEOREMASila(n+1)esimaderivadadef(n+1)existeenelintervalo cerrado maspequeoque contiene a cy a n+ 1 nodosinterpolados xk, ...,xk+n, entonces hay una en este intervalo tal que ) )....( )( ()! 1 () () ( ) (1 1) 1 (, + +++ += k k inn k kx c x c x cnfc P c f El teorema implica que para una c dada y n, el error absoluto n k k i n k kx c x c x c producto al al proporcion es c P c f+ + + ..... . .. .. .. .. ) ( ) (1 , (C) Donde|c-xi|esladistanciadecaxienlarectanumrica.Asel error de la aproximacin f(c) Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeo en los casos en que xk* c xk+n (interpolacin), que cuando los xk,....,xk+n estn en el mismo lado que c (extrapolacin); y cuando se interpola, se suponequeelerrorsermayorparacentredosxiampliamente espaciadas (oscilaciones polinomicas) y menor para una c cerca de un xi . Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolacin) y el espacio entre dos nodos es razonablementeuniforme,entonceselproductodelos|c-xi|.en(C)esmas grandecuandocestacercadeun puntoextremode[xk,xk+n]ymaspequeo cuandocestacercadelcentrode[xk,xk+n].As,paraunacdada,la aproximacinmasexactadef(c)conunpolinomiodeinterpolacinden+1 puntos, es probable que sea) ( ) (,c p c fn k k += , donde: ).. ( ) ( , ,c p c pn k k n k k + += usandolosn+1nodossucesivosxk,...xk+nquemejor centren a c.Nosreferimosalnumero) ( ,c pn k k +comolainterpolacinoptimadenesimo gradoparaf(c).Elcircunflejo()esparaindicarqueeslaprobablemente optima.As,cuandoseinterpola,lasinterpolacionesoptimas,las interpolaciones optimas se obtienen como sigue: TABLA II.10.1,Interpolaciones ptimas denesimogradopara c=c1,c2,c3 de la figuraII.10.A NPk, k+n(c1)Pk, k+n(c2)Pk, k+n(c3) 0Pk, k (c1) =P0,0(c1)Pk, k(c2) =P2,2(c2)Pk, k(c3) =P2,2(c3) 1Pk,k+1(c1) =p0,1(c1)Pk,k+1(c2) =p1,2(c2)Pk,k+1(c3) =p2,3(c3) 2Pk,k+2(c1) =p0,2(c1)Pk,k+2(c2) =p1,3(c2)Pk,k+2(c3) =p1,3(c3) 3Pk,k+3(c1) =p0,3(c1)Pk,k+3(c2) =p0,3(c1)Pk,k+3(c3) =p1,4(c3) 4Pk,k+4(c1) =p0,4(c1)Pk,k+4(c2) =p0,4(c1)Pk,k+4(c3) =p0,4(c3) C1 C2 C3

X0 X1 X2 X3 X4 Figura II.10.A, Extrapolacin de f(c1) e interpolacin de f(c2) y f(c3) EJEMPLO HallarkylamparalascualesPk,m(c)eslaaproximacinptimaacusando los cinco puntosPO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curvax y = b)si c es 8; b) se c es 21.) 5826 . 4 21 .. .. 8284 . 2 8 : ( y Nota xkfkPk,k+1(8)Pk,k+2(8)Pk,k+3(8)Pk,k+4(8) XO = 00 8 = 8.00 X1 = 11-4/3 = -1.333 10/3 = 3.333 12/5 = 2.400 X2 = 4243/15 = 2.867118/45 = 2.62 14/5 = 2.800 128/45= 2.844 X3 = 93592/210=2.819 20/7 = 2.857 X4 = 164 C = 8 Elelementosubrayadodecadacolumna,paraelcualelintervalode interpolacincentramejorac=8,observequelasinterpolacionesoptimas subrayadasestnigualmentedistribuidasaunoyotroladodelalnea punteada en c = 8 Elvalormasexactodelatabla,eselpuntoconvalorde2.819,queusasolo tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos es el menos exacto de las interpolaciones ptimas. X0X1 X2 C X3 X4

0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo.

V.19.- Aproximacin discreta de mnimos cuadrados. Consideremos el problema de estimar los valores de una funcin en puntos no tabulados, dados los datos experimentales de la siguiente tabla. iX iY i 122 2411 3628 4840 Sin embargo, la grafica de los valores dados en la tabla (III.1), nos indica que seriarazonable(verfiguraIII.1)suponerquelarelacinrealeslinealyque ningunarectaseajustaalosdatosexactamentedebidoalerrorenel procedimiento de recoleccin de datos.Siesteesrealmenteelcaso,noseriarazonablepedirquelafuncin aproximanteconlosdatosdados;enrealidad,talfuncinaproximante introduciraoscilacionesdequenoocurranoriginalmente.Unmejorenfoque paraunproblemadeestetiposeriaencontrarlamejor(enalgnsentido) rectaquesepudierausarcomofuncinaproximante,auncuandopudierano coincidir precisamente con los datos de cada punto. Elenfoquedemnimoscuadradosaesteproblemarequieredela determinacin dela mejorrectaaproximante cuandoel errorinvolucrado esla sumadeloscuadradosdelasdiferenciasentrelosvaloresdelarecta aproximante y los valores de dados. Denotado 010203040500 5 10x1y1 poraxi+yiali-esimovalordelarectaaproximanteypory1,ali-esimovalor dado,senecesitaencontrarlasconstantes ay b queson talesque minimizan el error de mnimos cuadrados:| |=+ nib ax y121 1) ( Para nuestro problema en particular esto se reduce a encontrar las constantes a, y b que minimicen.| | | | | | | | | |2 2 2412 2) 8 40 ) 6 ( 28 ) 4 ( 11 ) 2 ( 2 ) ( b a b a b a b a b ax yii i+ + + + + + + = + = Si consideramos a| |=+ 412) (ib axi yicomo una funcin de dos variables a y b ,un resultado elemental del calculo de varias variables implica que, para que un mnimo ocurra en (a, b) es necesario que. | | | |241412) ( 0 . .......... ,......... ) ( 0 = =+ = + =ii iii ib ax ybb ax ya consecuentemente, | | | | | | | || | | | | | | |. 81 4 200 ) 1 )( 8 40 ( 2 ) 1 )( 6 28 ( 2 ) 1 )( 4 11 ( 2 ) 1 )( 2 2 ( 20 ) 8 40 ) 6 ( 28 ) 4 ( 11 ) 2 ( 2134 5 300 ) 8 )( 8 40 ( 2 ) 6 )( 6 28 ( 2 ) 4 )( 4 11 ( 2 ) 2 )( 2 2 ( 20 ) 8 40 ) 6 ( 28 ) 4 ( 11 ) 2 ( 22 2 2 22 2 2 2= += + + + = + + + + + + + = += + + + = + + + + + + + b ab a b a b a b ab a b a b a b abb ab a b a b a b ab a b a b a b aaLa solucin a este sistema de ecuaciones es; a = 6.55 y b = -12.5, as que la mejor ecuacin lineal en el sentido de mnimos cuadrados es. 5 . 12 55 . 6 = x y Lasiguientetabla,muestralosvaloresobservadosjuntoconlosvalores obtenidos usando esta aproximacin. ixiyi6.55x 12.5 1220.6 241113.7 362826.8 484039.9

V.20.- Aproximacin de Pade. Laclasedelospolinomiosalgebraicostienenalgunasventajasdistintivasen cuanto a su uso para aproximaciones. Para encontrar tcnicas que disminuyan las cotas de error de aproximacin, consideraremos los mtodos que esparcen masuniformementeelerrordelaaproximacinelintervaloenelqueseesta trabajando.Estastcnicasrequierenlaintroduccindeunanuevaclasede funciones aproximantes. La clase de funciones racionales.

Una funcin racional r de grado N es una funcin de la forma: ) () () (x q x px r = III.1) donde: p y q son polinomios cuyos grados suman N. Comotodopolinomioestambinunafuncinracional(simplemente tomamosq(x)=1),laaproximacinusandofuncionesracionalesdar resultados con cotas de error no mayores que la aproximacin con polinomios. Lasfuncionesracionalestienenlaventajadeadicionaldepermitirlas aproximacin eficiente de funciones que tienen discontinuidades infinitas cerca, perofueradelintervalodeaproximacin.Laaproximacinpolinmicaes generalmente inaceptable en esta situacin. Supongamos que r es una funcin racional de grado N = n + m de la forma: mmnnx q x q qx p x p px q x px r+ + ++ + += =................) () () (1 01 0III.2) queseusara para aproximar a una funcinf enun intervalocerradoI,que contiene al cero. Para que r esta definida en cero se requiere que q0 0. De hecho,podemossuponer queq0= 1 ,Yaque si este noes elcaso,podemos simplementereemplazarap(x)porp(x)/q0yaq(x)porq(x)/qo. Consecuentemente, hay N + 1 parmetros q1, q2, ...,,qm, p0, p1,...,pn disponibles para la aproximacin de f mediante r . La tcnica de aproximacin de Pade , escoge a los N + 1 parmetros de tal manera que ) 0 ( ) 0 () ( ) ( k kr f =III.3) Para cada k = 0, 1, ......., N LaaproximacindePadeeslaextensindelaaproximacinpolinomicade Taylor a funciones racionales. Cuando n = N Y m = 0, la aproximacin de Pade es el polinomio de Taylor de grado N expandido alrededor del cero, es decir, El polinomio de Maclaurin de grado N.Considere la funcin:) () () () ( ) ( ) () () () ( ) ( ) (0 0x qx p x q x fx qx p x q x fx q x px f x r x fniiimiii = === = III.4)y suponga que f tiene la expansin en series de Maclaurin de: ==0. ) (iiix a x fIII.5) Entonces tenemos que: ) () ( ) (0 0 0x qx p x q x ax r x fniiimiiiiii = = == III.6)Elobjetivoesescogerlas constantes q1, q2, ......, qm, y p0, p1,...,pn, de tal manera que: . ,..., 1 ,.. 0 .. .. ,...... 0 ) 0 ( ) 0 () ( ) (N k cada para r fk k= = EncontramosQueestoesequivalenteaquefrtengaunarazde multiplicidad N + 1 en cero. Como consecuencia, queremos escoger q1, q2, ...., qm y p0, p1,...,pn tales que el numerador del lado derecho de (III.6) . ( )( ) ( ) ) 7 . .......... ......... ........ 1 .......1 0 1 1 0III x p x p p x q x q x a annmm+ + + + + + +notengatrminosdegradomenoroigualqueN.Parasimplificarla notacin, definamos. 0 ... .. .. 0 ........2 1 2 1= = = = = = = =+ + + + N m m N n nq q q y p p pPodemos entonces expresar el coeficiente de xk , en la expresin (III.7) como = kik i k ip q a0; asquelafuncinracionalparalaaproximacindePaderesultardela solucin de las N +1 ecuaciones lineales == = kix k iN k p q a01, ,......... 1 , 0 ......... ,......... 0 . con las N + 1 incgnitas q1, q2,......qm, p0, p1,.......pn

EJEMPLO: La expansin en series de Maclaurin de ex es =0!) 1 (iiixi

Para encontrar la aproximacin de Pade para e-x de grado 5 con n = 3 y m = 2, se requiere escoger p0, p1, p3 , q1 y q2 de tal manera que los coeficientes de xk para k = 0,1,....,5 sean cero en la expresin ( ) ) ( 16 213322 1 022 13 2x p x p x p p x q x qx xx + + + +|||

\|+ + Expandiendo y recolectando trminos se llega a 001 112 2 123 2 132 142 151 ......... .......... .......... ;.........1 ......... .......... ;.........21... .......... ;.........2161....... ;.........02161241..... ;.........0612411201;......p xp q xp q q xp q q xq q xq q x== + = += + = + = +

La solucin de este sistema es: 201.. ,...52,...601,..203,...53,.. 12 1 3 2 1 0= = = = = = q y q p p p p as que la aproximacin de Pade es: 23 2201521601203531) (x xx x xx r+ + + = Races de ecuaciones. VI.21.- Races.- Introduccin Problemasbsicosdelaaproximacinnumrica.Elproblemadela bsquedaderacesconsisteenobtenerunarazxdeunaecuacin dela forma f(x) =0parauna funcin dada , f(Al numero xsele llama tambin cero de f). Esteesunodelosproblemasdeaproximacinmasantiguosy,sin embargo la investigacin correspondiente todava continua. El problema de encontrar una aproximacin a la raz de una ecuacin se remonta por lo menos al ao 1700 A.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collecttion y que data de este periodo, da la aproximacin de 2 , Sea f(x) = 0 (la ecuacin para hallar races) Las soluciones de x se llaman races de la ecuacin f(x) = 0 , o simplemente races de f(x) = 0.Nuestroenfoquesistemticopararesolverunaecuacindeunasolavariable, digamos,x,estrasponertodoslostrminoshaciaunladoparatransformarla en f(X) = 0 Y luego usar el mtodo para encontrar races. As, La ecuacin de punto fijo g(x) = x , ser resuelta encontrando races de g(x) x = 0 La ecuacin de la funcin inversa g(x) = c se resolver encontrando races g(x) c = 0 VI.22.- Localizacin de races no repetidas. Mtodo de la pendiente Existen mtodos para encontrar una raz real x de una funcin continua f.Ydosdeellospuedenser:ElmtododeNewtonRaphsonyel mtododelasecante.Ambosmtodossebasanenlasiguienteidea geomtrica sencilla : sea x la raz deseada de la ecuacin f(x) = 0, donde f es continua y supongamos que; xk es una aproximacin actual de la raz x. Pk es el punto (xk, yk) donde yk = f(xk), en la grafica de fmk es elnumeroque representa lapendientedela curvay =f(x) en, o cerca del punto pk. Lk designa la lnea recta que pasa por Pk y tiene una pendiente mk Xk+1 es la interseccin de la lnea Lk con el eje x. Comosemuestraenlafigura,siLkaproximabienalagraficadeefenel entorno xk, xk+1

Y x, entonces su interseccin su interseccin con el eje de las x, xk+1debe aproximar mejorquexk y,sielprocedimiento se repitecomenzandocon xk+1, entonces , el kx+2 debe ser una aproximacin todava mejor. f(xk) = yk PK Comentario: lnea por Pk con pendiente mk YK Y = f(x)(grafica de f) Raz deseada XK XK XK+1 X Figura 5a.- una iteracin del mtodo de la pendiente kkkkkk kkkkkkmx fx soxx fx xyL de pendientexym) (....) ( 0...... ..1 = = ====+ Los clculos de la figura Va, muestran que xk+1 puede obtenerse a partir de xk como kkkkk k k kmymx fx donde x x x = = + =+) (.. ,..1.....................(5b) Un algoritmo para hallar races basado en (5b) es conocido como el mtodo de la pendienteMtodo de Newton Raphson: Sif(x)esdiferenciableenxk,entonceselcandidatonatural paralapendiente mk es ), ( ) ( 'tan k kx m x f = la pendiente de la tangente en Pk(xk, yk) tomando mk en (bb) como f(xk) se llega ala formula iterativa para el Mtodo de Newton-Raphson: ) ( ') (.. ,..1kkk k k kx fx fx donde x x x = + =+

EJEMPLO Considere el problema de hallar la nesima raz de un numero positivo dado ca) Como puede usarse un mtodo para hallar races para encontrar nc, ? muestre para el mtodo de Newton- Raphson. Solucin.-podemosobtener nc hallandolanicasolucinpositivadela ecuacin 0 ,.. .. .. ,.. .. .. .. ,...... = = = c x equivale que lo o x c que tenemos x cn n n As, nc esunarazdef(x)=xnc.Puestoquef(x)=nxn-1laiteracinde Newton-Raphson es. ) 5 ...( .......... ... ,.1 1cnxcx donde x x xnknkk k k kx += + =para el problema de hallar la raz cuadrada de c (n = 2), (5c) se convierte en kkk k k kxx cx donde x x x2... ..21= + =+ tomando c = 78.8 y el valor inicial x0 = 14 (deliberadamente malo) resulta 876936 . 8 000113 . 0 877049 . 8 ... ... ;... 000113 . 028 . 78877049 . 8 044650 . 0 921699 . 8 .. ... ;.. 044650 . 028 . 78921699 . 8 892587 . 0 814286 . 9 ... ... ;.. 892587 . 028 . 78814286 . 9 185714 . 4 14 ... .. ;... 185714 . 4) 14 ( 214 8 . 78432333222221211120= = == = = == = = == = = == x que asix xxx que asix xxx que asix xxx que asi x&&& Elrpidocrecimientoenelnumerodecerosprincipalesenx1,x2,x3 sugiere convergencia superlineal . Teorema de convergencia de Newton-Raphson. Si x es una raz no repetida de fy f es continua entorna de x, entonces, las iteraciones de Newton-Raphson convergen cuadraticamente a x , siempre que x0 este suficientemente cerca de x.La rpida convergencia de Newton-Raphson a una raz no repetida se muestra enlasiguientegrafica(5e),lacualmuestraporqueelmtododeNewton-Raphson es a veces llamado mtodo de olas tangentes. P0 (X0, Y0) Linea tangente en P0 Pendiente = f(x0) Y = f(x) X3 x2 x1 X0 (estimacin inicial)x Pendiente = f(x) P2

P1

VII.23.- Introduccin. Setienequeconstruirunahojadetechocorrugadousandouna mquinaque comprimeunahojaplanadealuminioconvirtindolaenunaenunacuya seccin transversal tiene la forma de una onda de la funcin seno. Supongamos que necesita una hoja corrugada de cuatro pies de longitud , que cada onda tiene una altura de una pulgada desde la lnea central y cada onda tieneunperiodode aproximadamente2pulgadas.Elproblemadeencontrar la longitud de la hoja plana inicial consiste en determinar la longitud de arco de lacurvadadaporf(x)=senx,dex=0ax=48(pulgadas).Sabemos,del calculo, que esta longitud se puede expresar como: , ) (cos 1) (148024802dx x dxdxx dfL + = ||

\|+ = asqueelproblemasereduceaevaluarestaintegral.Auncuandolafuncin senoesunadelasmatemticasmascomunes,elclculodesulongitudde arco da lugar a la llamada integral elptica de segunda clase, que no se puede evaluar usando mtodos ordinarios. Confrecuenciasurgelanecesidaddeevaluarlaintegraldefinidadeuna funcin quenotieneunaantiderivadaexplcitaocuyaantiderivadatienevaloresque no son fcilmente obtenibles. VII.24.-Elmtodobsicoinvolucradoparaaproximar badx x f ) ( ,seconocecomo cuadratura numrica y usa una suma del tipo de=nii ix f a0) (, para aproximar badx x f ) ( .Los mtodos de cuadratura que discutiremos en esta seccin se basan en los polinomiosinterpolantes de; Taylor, Lagrange, etc. Para comenzar, primero seleccionamos unconjuntodenodosdistintos{x0,.....,xn}deunintervaloa[a,b].SiPnesel polinomio interpolante de Lagrange ==nii ix L x f x Pn0), ( ) ( ) ( Integrando, Pn y su termino de error de truncamiento sobre [a, b] para obtener la formula de cuadratura.. ,...., 1 , 0 .. .. ,.... ) (.. .. .. ].. , ..[ .. ).. ( .., )) ( ( ) ()! 1 (1) ( ..... ..........)! 1 ()) ( () ( ) ( ) ( ) () 1 (0 00 0) 1 (n i cada para dx x L ay x cada para b a en esta x dondedx x x xnx f adxnxx x dx x L x f dx x fbai ixbaniinii ibabanibanini i i= =++ =+ + = += == =+ INTEGRACINCONCEPTUAL:(ElTitularAcadmico,conocerlas respuestas).Larelacinidealentreloabstractodelossistemasnumricosy los sistemas de cmputo y lo prctico de las aplicaciones de esos conceptos a problemas tangibles y relevantes de la vida cotidiana. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPORTESCRTICOSOSUGERENTESA:Ing.ManueldeJessValdez Acosta, Secretario General. Universidad Autnoma Indgena de Mxico (Correo electrnicoingvaldez@uaim.edu.mx);MCErnestoGuerraGarca, Coordinador General Educativo. (Correo electrnico: eguerra@uaim.edu.mx ) Benito Jurez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, Mxico. C.P. 81890, Tel. 01 (698) 8 92 00 42.------------------------------------------------------------------------------------------------------- UNIVERSIDAD AUTNOMA INDGENA DE MXICO

Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa Jurez 39, C.P. 81890. Tel y fax: (698)8 92 00 42 y 8 92 00 23 Correo electrnico:_ uaim@uaim.edu.mx Pgina Web: http//www.uaim.edu.mx