Rodrigo Díaz 21,459,335

Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el

estudio de errores en los cálculos

Análisis Numérico

Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más

pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige

de más lugares.

Definición de Numero Maquina

Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se implementarán más adelante, suponiendo

condiciones ideales para su implementación. En otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos

procedimientos de forma numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se

denominan errores numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus efectos en los cálculos numéricos.

Errores Absolutos y Relativos

Definición de Error Absoluto

El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto y su valor

calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado"; debido a que la

ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto

no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores

siempre se incrementan juntos, sin reducirse.

Cota de Errores Absolutos y Relativos

Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de

p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos

errores. Cuanto más pequeñas sean esas cotas

superiores, mejor.

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los

números en una PC.

Fuentes Básicas de Errores

Redondeo y Truncamiento

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases

fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente

números exactos

Error De Redondeo

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su

longitud de palabra finita. Cada número (real) se remplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema

numérico de punto flotante.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y

permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la

división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores

relativos y absolutos poco relevantes

Errores De Una Suma Y Una Resta

Estabilidad e InestabilidadLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los

cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada

aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en

alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera

informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños

cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un

número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".

Condicionamiento