PROGRAMA DE ASIGNATURA

ASIGNATURA: Anlisis Numrico II

AO: 2014

CARCTER: Obligatoria

CARRERA: Licenciatura en Matemtica

RGIMEN: Cuatrimestral

CARGA HORARIA: 120

UBICACIN en la CARRERA: 2 ao 2 cuatrimestre

FUNDAMENTACIN Y OBJETIVOS

Fundamentacin:

Esta materia tiene fundamental importancia en el plan de estudios actual de la carrera Licenciatura en Matemtica, pues provee las herramientas bsicas que un licenciado debe poseer para enfrentar problemas reales.

Al resolver problemas prcticos, por ejemplo problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales mediante el mtodo de elementos finitos o diferencias finitas, aparecen naturalmente sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con cierta estructura. De este modo es necesario aprender mtodos directos e iterativos para la resolucin de estos problemas.

Objetivos:

Al finalizar la materia los estudiantes estarn en condiciones de:

comprender e implementar mtodos directos e iterativos fundamentales para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, aproximacin mediante tcnicas de cuadrados mnimos, y el clculo de autovalores y autovectores;

saber elegir los mtodos a utilizar para resolver el problema planteado;

conocer las restricciones de cada mtodo numrico en cuanto a su eficiencia y su campo de aplicacin;

conocer la influencia de la propagacin de errores durante la resolucin de problemas de lgebra lineal numrica

CONTENIDO

Captulo 1: Mtodos directos para la resolucin de sistema lineales.

Sistemas lineales. Matrices en bloques. Operaciones con matrices en bloques. Sistemas triangulares (inferiores y superiores). Algoritmos versin fila y columna, versin modificada (bloques). Conteo operacional. Matrices definidas positivas. Descomposicin de Cholesky. Algoritmos versin producto interno, producto exterior y de borde. Conteo operacional. Teorema de la descomposicin de Cholesky. Eliminacin Gaussiana y Descomposicin LU. Eliminacin Gaussiana sin intercambio de filas. Algoritmo de eliminacin Gaussiana y descomposicin LU. Conteo operacional. Teorema de la descomposicin LU. Variantes de la descomposicin LU. Eliminacin Gaussiana con pivoteo parcial. Algoritmo para resolucin de sistema lineal con pivoteo parcial. Costo operacional. Pivoteo total. Valores singulares. Descomposicin en valores singulares.

Captulo 2: Sensibilidad de sistemas lineales.

Normas vectoriales y matriciales. Normas matriciales inducidas. Norma de Frobenius. Sensibilidad de sistemas lineales. Nmero de condicin de una matriz. Efecto de perturbaciones en el vector independiente. Matrices bien y mal condicionadas. Interpretacin geomtrica del mal condicionamiento. Mal condicionamiento causado por escalado deficiente. Efecto de perturbaciones en la matriz. Estimacin del nmero de condicin. Anlisis de errores de redondeo.

Captulo 3: Mtodos iterativos para la resolucin de sistemas lineales.

Mtodos de descomposicin. Mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Algoritmos. Procedimiento de aceleracin. Mtodos de descenso. Eleccin ptima del paso. Condicin necesaria para la convergencia. Convergencia de los mtodos de descenso. Mtodo de gradiente (o mximo descenso). Convergencia del mtodo de gradiente. Mtodo de gradiente con parmetro constante. Mtodo de Richardson. Mtodo de gradientes conjugados. Direcciones A-conjugadas. Algoritmo de gradiente conjugados. Costo operacional. Espacios de Krylov. Convergencia del mtodo de gradientes conjugados. Precondiconamiento de una matriz. Mtodo de gradientes conjugados precondicionado. Algoritmo.

Captulo 4: Problema de cuadrados mnimos.

Ejemplos. Sistemas lineales sobredeterminados. Matrices ortogonales. Propiedades. Rotaciones. Rotaciones de Givens. Descomposicin QR usando rotaciones. Algoritmo. Costo computacional. Reflexiones. Reflexiones de Householder. Consideraciones prcticas. Descomposicin QR usando reflexiones. Algoritmo. Costo computacional. Solucin al problema de cuadrados mnimos usando descomposicin QR. Descomposicin QR para matrices rectangulares. Casos cuando la matriz es de rango completo y cuando es de rango deficiente. Geometra del problema de cuadrados mnimos. Proyecciones ortogonales. Ecuaciones normales.

Captulo 5: Sistemas de ecuaciones no lineales.

Ejemplos. Mtodo de Newton n-dimensional. Algoritmo. Costo computacional. Ventajas y desventajas del Mtodo de Newton. Mtodo de Newton discreto (aproximacin por diferencias finitas). Mtodos Quasi-Newton. Ejemplos. Mtodos secantes. Ejemplos. Mtodo de Broyden. Mtodos de Newton truncados. Orden de convergencia. Convergencia lineal, superlineal y cuadrtica. Convergencia cuadrtica del Mtodo de Newton.

Captulo 6: Minimizacin sin restricciones.

Problema de minimizacin n-dimensional. Mnimos locales, globales y relativos. Direcciones factibles. Condiciones de optimalidad. Condiciones necesarias de primer orden. Condiciones necesarias de segundo orden. Condiciones suficientes de segundo orden. Algoritmos para minimizacin sin restricciones. Direcciones de descenso. Algoritmo bsico usando direcciones de descenso. Estrategias y condiciones de globalizacin. Condicin de Armijo. Algoritmo de descenso para minimizacin sin restricciones. Mtodo de Newton para minimizacin sin restricciones. Algoritmo usando el mtodo de Newton con bsqueda lineal y backtracking para minimizacin sin restricciones.

Captulo 7: Problema de autovalores y autovectores.

Mtodo de las potencias. Propiedades de convergencia. Algoritmo. Mtodo de las potencias inverso. Algoritmo. Mtodo del cociente de Rayleigh. Algoritmo. Teorema de Schur. Algoritmo QR.

BIBLIOGRAFA

BIBLIOGRAFA BSICA

1. G. Golub, C. Van Loan. Matrix Computations.

2. D. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations.

3. J. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra.

4. L. Trefethen, D. Bau. Numerical Linear Algebra.

5. G. Forsythe, C. Moler. Solucin mediante computadoras de sistemas algebraicos lineales.

6. P. Lascaux, R. Theodor. Analyse numerique matricielle appliquee a l'art de l'ingenieur.

BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA

1. J. Stoer, R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis.

METODOLOGA DE TRABAJO

El dictado constar de clases tericas y clases prcticas donde se resolvern guas de ejercicios prcticos, junto con ejercicios de laboratorio.

EVALUACIN

FORMAS DE EVALUACIN

Habr dos evaluaciones parciales terico-prcticas y un examen recuperatorio.

Habr una evaluacin final terico-prctica.

CONDICIONES PARA OBTENER LA REGULARIDAD

Para obtener la regularidad el alumno deber:

1. Aprobar dos parciales pudiendo recuperar uno de ellos. Se aprueba realizando satisfactoriamente al menos el 50% del parcial. El alumno que no obtenga la regularidad deber hacer un ejercicio adicional en el examen final.

2. Aprobar un proyecto, para lo cual deber elaborar un informe y exponer el mismo durante la ltima semana de clases.

CONDICIONES PARA OBTENER LA PROMOCIN

(completar slo en caso que se considere el rgimen de promocin directa)

CORRELATIVIDADES

(a completar solo en las materias que son Especialidades u Optativas)

Anexo Res. CD Nxx/2013

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