Difusion

Javier David Ruiz Gutierrez

Al estudiar el movimiento de fluidos no homogeneos, es decir, mezclas defluidos, es conveniente definir un parametro que nos indique la composicion dela mezcla en cada punto del fluido. A dicho parametro lo llamaremos concen-tracion c, definida como el cociente de la masa de un componente a la masatotal del fluido en un elemento de volumen determinado.Analizaremos ahoramezclas de fluidos con dos componentes.

En una mezcla de fluidos la concentracion puede variar al lo largo del tiem-po. Estas variaciones son producidas ya sea por el movimiento macroscopicodel fluido o por la transferencia molecular de los componentes de una parte delfluido a otra. Este ultimo mecanismo de transferencia de masa se denominadifusion. la difusion es un proceso irreversible y como la conduccion termica yla viscosidad es una de las fuentes de disipacion de energa en una mezcla defluidos.

Recordemos que la descripcion matematica del estado de un fluido movilse efectua con funciones que dan la distribucion de la velocidad del fluido yde dos magnitudes termodinamicas cualesquiera que pertenezcan al fluido. Esdecir, el estado de un fluido movil queda determinado por cinco magnitudes;las tres componentes de la velocidad y, por ejemplo, la presion y la densidad.De acuerdo con esto, un sistema completo de ecuaciones de la dinamica defluidos debera tener un numero de cinco ecuaciones. En el caso de un fluidoideal (fluidos en los que carecen de importancia la conductividad termica yla viscosidad) estas son las ecuaciones de Euler, la ecuacion de continuidad yla ecuacion adiabatica. Para una mezcla de fluidos requeriremos una ecuacionmas que en el caso de un fluido ideal homogeneo ya que en este caso tendremosuna incognita mas, la concentracion. La primer ecuacion que introduciremospara la descripcion de la mezcla sera la ecuacion de continuidad,

t+ ~v = 0 (1)

La ecuacion de Navier-Stokes para un fluido incompresible la escribimos como

~v

t+ (~v )~v = 1

p+

4~v (2)

donde el ultimo termino se define como

4~v 2~v

x x

1

La ecuacion de Navier-Stokes esta escrita en su forma vectorial, es decir, te-nemos una ecuacion para cada componente de la velocidad. Al representar laecuacion de Navier-Stokes de esta manera hemos resumidotres de las ecuacio-nes que emplearemos para la descripcion del movimiento de la mezcla, a saber,una para cada componente de la velocidad.

Otra ecuacion que emplearemos para describir el comportamiento de lamezcla sera una expresion que asemeja una ecuacion de continuidad para uncomponente de la mezcla. Dicha ecuacion esta en terminos de la concentracionc y la escribimos como

(c)

t+ (c~v) = 0 (3)

Esta ecuacion la hemos igualado a cero por el hecho de que si consideramosque no ocurren procesos de difusion dentro de la mezcla, la derivada total dela concentracion con respecto al tiempo sera igual a cero, es decir,

dc

dt= 0

Si integramos la expresion (3) a lo largo de todo el volumen tenemos

t

c dV +

(c~v) dV = 0

empleando el teorema de la divergencia escribimos (c~v) dV =

c~v n df =

c~v d~f

por tanto, la forma integral de la ecuacion (3) la escribimos como

t

c dV =

c~v d~f

Si ahora consideramos que ocurren procesos de difusion, tenemos que consi-derar otro flujo debido a la transferencia de las especies presentes en la mezcla.Este flujo de especies ocurre independientemente de si el fluido esta en reposo ono. Designemos por~i a la densidad de este flujo. Dicho flujo representa la can-tidad del componente transportado por difusion a traves del area unidad porunidad de tiempo. Entonces la variacion respecto al tiempo de un determinadocomponente en un volumen cualquiera se representa por

t

c dV =

c~v d~f

~i d~f

o bien, escrita en forma diferencial

(c)

t= (c~v) ~i (4)

Desarrollando y reordenando terminos tenemos

2

(c

t+ ~v c) = ~i (5)

La expresion (5) es una forma mas general de escribir la ecuacion (3) en lacual no se considera el flujo por difusion.

Para representar matematicamente el flujo de una mezcla de fluido reque-rimos una expresion adicional a las que hemos deducido hasta el momento.Dicha expresion debe de representar la variacion de la entropa de nuestro sis-tema. Para deducir esta expresion comenzaremos escribiendo la relacion ter-modinamica para la energa interna como:

d = Tds pdV + dc

donde es la energa interna por unidad de masa, s representa la entropa porunidad de masa, T la temperatura, p la presion, V el volumen especfico y el potencial qumico de la mezcla definido como

=1m1 2m2

donde 1 y 2 son los potenciales qumicos de las sustancias contenidas en la

mezcla y m1 y m2 sus respectivas masas. Ya que V =1

el diferencial dV esta

dado por

dV =dV

dd = 1

2d

Sustituyendo este diferencial en la relacion termodinamica para la energa in-terna tenemos

d = Tds pdV + dc = Tds+ ( p2

)d+ dc

La relacion termodinamica correspondiente a la entalpa la escribimos como

dw = Tds+ (1

)dp+ dc

donde w representa la entalpa por unidad de masa. Reordenando esta ultimaexpresion tenemos

dp = dw Tds dcPara un fluido viscoso en el cual ocurren fenomenos de conduccion termica laley de conservacion de la energa se expresa como

t(1

2v2 + ) = [~v(1

2v2 + w) ~v kT ]

+T (s

t+ ~v s) ik

vixk

+ (~q) (6)

3

donde el miembro de la parte izquierda representa la variacion respecto altiempo de la energa contenida en la unidad de volumen del fluido, el primertermino de la parte derecha representa la divergencia de la densidad de flujode energa total en la cual el primer flujo es debido al movimiento globaldel fluido, el segundo a los procesos de rozamiento interno y el tercero a laconduccion termica. Los ultimos dos termino de esta ecuacion constituyen loque se denomina ecuacion general de transferencia termica. Dicha ecuacion seexpresa como

T (s

t+ ~v s) = ik

vixk

+ (~q) (7)En el caso en el que no existe viscosidad ni conduccion termica el segundomiembro es cero y se obtiene la denominada ecuacion de conservacion de laentropa dada por

s

t+ ~v s = 0 (8)

En un principio mencionamos que la difusion representaba una de las fuentesde disipacion de energa en una mezcla de fluidos. Dicha disipacion se repre-senta mediante ~i, es decir, la ecuacion (6) contendra un termino adicionaldebido a los procesos difusivos que ocurren dentro de la mezcla. Por tanto,la ecuacion de conservacion de la energa para una mezcla de fluidos cuandoexiste viscosidad, conduccion termica y difusion se escribe como

t(1

2v2 + ) = [~v(1

2v2 + w) ~v + ~q]

+T (s

t+ ~v s) ik

vixk

+ (~q) ~i (9)

donde la suma de los ultimos terminos del segundo miembro la podemos escribircomo

(~q) ~i = (~q ~i) +~i Por tanto, la forma generalizada de la ecuacion (7) es

T (s

t+ ~v s) = ik

vixk (~q ~i)~i (10)

la cual determina la variacion de la entropa en la mezcla de fluidos.Con ello tenemos completo nuestro sistema de ecuaciones que determinan

el estado de una mezcla de fluidos. Dicho sistema esta constituido por la ecua-cion de continuidad (1), las ecuaciones de Navier-Stokes (2), la ecuacion decontinuidad para un componente (3) y la ecuacion (10).

Los flujos ~i y ~q pueden ser expresados en funcion de los gradientes de laconcentracion y de la temperatura. Estas expresiones son

~i = D[c+ (kTT

)T + (kpp

)p] (11)

4

y~q = [kT (

c)p,T T (

T)p,c + ]~i kT (12)

donde kT es el coeficiente de difusion termica, kp es el coeficiente de difusionbarometrica y D es el coeficiente de difusion o de transferencia de masa.

Para el caso especial en el que no existen gradientes de presion significativosy los coeficientes de las expresiones (11) y (12) pueden considerarse constantes,aunque por lo general sean funciones de c y de T y ademas bajo el supuestode que no existe un movimiento macroscopico en el fluido, podemos expresarla distribucion de concentracion dentro del fluido como

c

t= D[4c+ (kT

T)4T ] (13)

Para el caso particular en el que kT es muy pequeno, tanto que el termino kT4Tde la ecuacion (13) sea aproximadamente cero, esta ecuacion se transforma enlo que se conoce como ecuacion de difusion

c

t= D4c (14)

Una solucion para esta ecuacion es

c(r) =M

8(piDt)1,5exp(

r24Dt

) (15)

donde M es la cantidad total de masa de soluto. Para el caso de la difusion departculas esfericas suspendidas en un fluido y cuyo movimiento en el mismoes irregular (movimineto browniano) el coeficiente de difusion D toma la forma

D =kT

6piR(16)

Referencias

[1] Landau y Lifshitz, Mecanica de Fluidos, edicion en espanol, volumen 6,Reverte, Barcelona, 1991.

5