UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LENFACULTAD DE CIENCIAS BIOLGICAS

ANLISIS DE COVARIANZA (ANCOVA)

INTRODUCCIN. Se llama covarianza de la variable (X,Y) a la media aritmtica de los productos de las desviaciones de cada variable respecto de la media. Tambin se le denomina varianza conjunta o sincronizada de las variables X e Y. Es una tcnica estadstica que utiliza un modelo de regresin lineal mltiple, busca comparar los resultados obtenidos en diferentes grupos de una variable cuantitativa pero corrigiendo las diferencias existentes entre los grupos en otras variables que pudieran afectar tambin el resultado (covariantes).

En el estudio conjunto de dos variables, lo que interesa principalmente es saber si existe algn tipo de relacin entre ellas. Esto se ve grficamente con una nube de puntos formadas por n parejas de datos X e Y La covarianza S(X,Y) de dos variables aleatorias X e Y se define como:

Si Sxy > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y. Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeos valores de y. Si Sxy = 0 las variables no estn correlacionadas, es decir no hay relacin lineal.

Cuando los puntos se reparten de modo ms o menos homogneo entre los cuadrantes primero y tercero, y segundo y cuarto, se tiene que SXY = 0. Eso no quiere decir de ningn modo que no pueda existir ninguna relacin entre las dos variables, ya que sta puede existir como se aprecia en la figura de la derecha.

Ejemplo: A 12 alumnos de un colegio se les toman las calificaciones de los ltimos exmenes de matemticas, fsica y filosofa. Se observa que hay una relacin fuerte entre las notas de matemticas y las de fsica.

Grfica de puntos (xi,yj) y su relacin con la covarianza

En la primera grfica, los puntos estn ms alineados y por tanto la relacin entre las variables (CORRELACIN) es ms fuerte. Por el contrario, en la segunda grfica es ms dbil.

Covarianza lineal con una sola variable. El modelo aditivo lineal para un anlisis de covarianza en un Diseo de Bloques Completos al Azar es el siguiente: En el anlisis de covarianza se combinan los conceptos de anlisis de varianza para un diseo experimental y para regresin. El anlisis de covarianza es utilizado en los casos en la que la variable respuesta de un diseo experimental est relacionada con una o ms variables concomitantes.

Se desarrollo un experimento con el objeto de determinar si la exposicin en agua calentada artificialmente afecta el crecimiento de las ostras. 5 bolsas con 10 ostras cada una fueron aleatoriamente asignadas a 5 temperaturas (T1, T2, T3, T4 y T5); cada bolsa constituya una unidad experimental. Se utilizaron 5 estanques, cada uno calentado a una de las 5 temperaturas. Las ostras fueron limpiadas y pesadas al comienzo y al final del experimento un mes despus. El experimento se repiti 4 veces para lo cual fueron necesarios 4 meses. Cada repeticin constituye un bloque. Los pesos iniciales y finales se presentan en la siguiente tabla:

Modelo.

Donde:

1.- Los valores de X no son afectados por el tratamiento. 2.- Las variables X e Y deben de tener variancias homogneas entre los tratamientos.3.- La regresin de Y sobre X debe ser lineal.

Suma de cuadrados totales X y Y.

S.C.Error aj

SCTEaj

SCError aj=SE SCTE aj =ST SD = SCE aj SCTE aj

El primer paso en un anlisis de covarianza es evaluar la significancia del coeficiente de regresin. Si el coeficiente de regresin resulta significativo, entonces se justifica el uso de la variable concomitante X en el modelo y por lo tanto, los efectos de los tratamientos debern evaluarse con los datos corregidos por la regresin. De no resultar significativo este coeficiente, los efectos de los tratamientos seran evaluados a partir de un anlisis de varianza sin considerar el efecto de la variable concomitante X.

Ho: b = 0 El peso final de las ostras no depende linealmente del peso inicial.HA: b 0 El peso final de las ostras si depende linealmente del peso inicial.

La hiptesis nula se rechaza con un nivel de significancia a si el Fc resulta mayor que el valor de la tabla F(1-a, 1, gl(Error aj.))

El valor de la tabla para un nivel de significancia del 5% es F(0.95,1,11) = 4.84, como el valor calculado es mayor que el valor de la tabla se rechaza la Ho y se concluye que existe suficiente evidencia estadstica para aceptar que el peso final de las ostras depende linealmente del peso inicial.

Hiptesis. Ho: maj = maj i= 1,2,3,4,5 HA: maj maj para almenos alguna iEstadistico de pruebaEl valor de la tabla para un nivel de significancia de 5% es de F(0.95,4,11) = 3.36 como el valor calculado es mayor que el de la tabla se rechaza la Ho y se concluye que existe suficiente evidencia estadstica para aceptar que con al menos una temperatura se obtiene un peso final defiere para las ostras.

Para aplicar las pruebas de comparacin de medias de tratamiento se debe trabajar con las medias de los tratamientos ajustadas por la regresin. Para realizar el ajuste se debe calcular primero el coeficiente de regresin estimado.Las medidas de los tratamientos ajustadas por la regresin estan dasa por:Se realiza la prueba de Tukey, Dunnett o Prueba t / DLS.

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