JHONNATHAN JAENCI: 20016783

UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE COMPUTACIÓN

Análisis Numérico y Teoría de

Errores

ANÁLISIS NUMÉRICOEl análisis numérico o cálculo numérico es la rama de

las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos.

NÚMERO MÁQUINAEs un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos

(1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

ERROR ABSOLUTOEs la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo)

y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.

Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013 (algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error absoluto es |0.6-0.613|, que es 0.013.

ERROR RELATIVOError relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente

entre el error absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).

Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más calidad la segunda medida.

COTAS DE ERRORPara que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error

cometido debe estar controlado o acotado de manera que:

Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente. Al redondear, podemos dar una cota del error absoluto de la siguiente manera:

donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo. Y una cota del error relativo:

FUENTES BÁSICAS DE ERRORESExisten dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error

de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

ERROR DE REDONDEOEs aquel error en donde el numero significativo de dígitos despues del punto

decimal, se ajusta a un numero especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome en cuenta."Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de la forma

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si

dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si

dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así

hacia abajo

ERROR DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

ERROR DE TRUNCAMIENTO

Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

ERROR DE SUMA Y RESTAEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la

computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

Sean: x ± Dx y z ± Dzx + z = (x + z) ± (Dx + Dz)x – z = (x – z) ± (Dx + Dz)

CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLESOtro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción

entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o mal condicionado.

Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los resultados.

Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.

CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLESLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en

los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.

!!!GRACIAS!!!