Analiz a Matematic a I - Deliu · adic a dac a exist a dou a numere a˘si bastfel ^ nc^at...

Analiza Matematica I

asist. Ciprian Deliu

Universitatea Tehnica ”Gheorghe Asachi” Iasi

Iasi2011

Cuprins

1 Multimi si topologie pe dreapta reala 31.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Multimi marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Structura topologica a dreptei reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Siruri de numere reale 92.1 Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone . . . . . . . . . . . . . 92.2 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Operatii cu siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Siruri fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Dreapta ıncheiata. Siruri cu limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Serii de numere reale 183.1 Definitie. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Limite si continuitate 264.1 Limita unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Limite la infinit si limite infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7.1 Functia exponentiala si functia logaritmica . . . . . . . . . 344.7.2 Functiile trigonometrice si inversele lor . . . . . . . . . . . 35

5 Derivabilitate 375.1 Functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale . . . . . . . . . . . . . 375.1.2 Derivatele functiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.3 Operatii cu functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Aplicatii ale derivabilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie . . . . . . 395.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor . . . . . . . 42

1

5.3 Diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Siruri si serii de functii 476.1 Siruri de functii. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Serii de functii. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Functii de mai multe variabile 547.1 Spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 Siruri de puncte ın spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3 Functii reale si functii vectoriale pe Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4 Limite si continuitate pentru functii de mai multe variabile . . . 597.5 Derivate partiale. Diferentiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.6 Extreme pentru functii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 667.7 Functii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.8 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2

Capitolul 1

Multimi si topologie pedreapta reala

1.1 Numere reale

Definitia 1.1.1. Numim multimea numerelor reale multimea tuturor nu-merelor care pot fi reprezentate cu ajutorul zecimalelor.

Exemple:

5 = 5,00000...

−3

4= −0.750000...

1

3= 0,3333...

√2 = 1,4142...

π = 3,14159...

Numerele reale pot fi reprezentate geometric ca puncte pe o axa orientatape care o vom numi axa reala si o vom nota prin R.

Proprietati ale numerelor reale:

� proprietati algebrice (legate de operatiile algebrice uzuale: adunare, scadere,ınmultire, ımpartire)

� proprietati de ordine (se refera la ordinea ın care apar numerele pe axareala)

� proprietatea de completitudine: daca A este o submultime nevida de nu-mere reale cu proprietatea ca

∃y ∈ R astfel ıncat x ≤ y ∀x ∈ A

atunci exista un cel mai mic y ∈ R cu aceeasi proprietate. Altfel spus, peaxa reala nu exista goluri, fiecare punct corespunde unui numar real.

3

Submultimi de numere reale:

� multimea numerelor naturale: N = {0,1,2,3, . . .}

� multimea numerelor ıntregi: Z = {0,±1,±2,±3, . . .}

� multimea numerelor rationale: Q = {mn∣m,n ∈ Z, n ≠ 0}

� multimea numerelor irationale: R ∖Q

� intervale de numere reale (finite sau infinite); exemple:

[a, b) = {x ∈ R∣a ≤ x < b}(a,∞) = {x ∈ R∣x > a}

1.2 Multimi marginite

Definitia 1.2.1. 1. Spunem ca multimea A este minorata (sau marginitainferior) daca exista un punct a la stanga caruia nu se mai afla niciunpunct din A, adica astfel ıncat a ≤ x, ∀x ∈ A. Numarul a se numesteminorant al multimii A.

2. Spunem ca multimea A este majorata (sau marginita superior) dacaexista un punct a la dreapta caruia nu se mai afla niciun punct din A,adica astfel ıncat a ≥ x, ∀x ∈ A. Numarul a se numeste majorant almultimii A.

3. Spunem ca multimea A este marginita daca este si minorata si majorata,adica daca exista doua numere a si b astfel ıncat a ≤ x ≤ b, ∀x ∈ A.

Se arata usor ca o multime A este marginita daca si numai daca exista unnumar M > 0 astfel ıncat ∣x∣ ≤M, ∀x ∈ A.

Definitia 1.2.2. 1. Un numar m se numeste margine inferioara a uneimultimi A daca este cel mai mare minorant al multimii A. Se noteazam = inf A.

2. Un numar M se numeste margine superioara a unei multimi A dacaeste cel mai mic majorant al multimii A. Se noteaza M = supA.

Teorema 1.2.1. Orice multime nevida minorata are margine inferioara si oricemultime nevida majorata are margine superioara.

Din definitia marginilor unei multimi deducem ca:

� Un numar m este marginea inferioara a unei multimi A daca si numaidaca verifica urmatoarele doua conditii:

1. m ≤ x, ∀x ∈ A2. ∀α >m, ∃x ∈ A astfel ıncat x < α

� Un numar M este marginea superioara a unei multimi A daca si numaidaca verifica urmatoarele doua conditii:

1. M ≥ x, ∀x ∈ A

4

2. ∀α <M, ∃x ∈ A astfel ıncat x > α

� Avem inf A = supA daca si numai daca multimea A este formata dintr-unsingur punct.

� Daca A poseda un cel mai mic numar m, atunci m = inf A = minA

� Daca A poseda un cel mai mare numar M , atunci M = supA = maxA

1.3 Structura topologica a dreptei reale

Definitia 1.3.1. Se numeste vecinatate a numarului real x0 orice multime Vcare include un interval deschis (a, b) care contine pe x0.

Orice interval deschis (a, b) care contine pe x0 este o vecinatate a lui x0.Vecinatatile de forma (x0 −α,x0 +α) cu α > 0 se numesc vecinatati simetriceale lui x0. Orice vecinatate V a lui x0 include o vecinatate simetrica a luix0. Astfel, este suficient sa consideram numai vecinatati de forma (a, b) sauvecinatati simetrice ale unui punct.

Vecinatatile punctului x0 au urmatoarele proprietati:

1. Orice multime U care include o vecinatate V a lui x0 este de asemenea ovecinatate a lui x0.

2. Intersectia a doua vecinatati ale lui x0 este de asemenea o vecinatate a luix0.

3. Orice vecinatate V a lui x0 contine pe x0.

4. Pentru orice vecinatate V a lui x0 exista o vecinatate W = (a, b) a lui x0astfel ıncat V este vecinatatea fiecarui punct y ∈W

Alegand pentru fiecare numar real o familie de vecinatati care verifica pro-prietatile de mai sus, se spune ca s-a definit o structura topologica sau otopologie. Cu aceasta topologie, multimea numerelor reale R este un spatiutopologic numit dreapta reala.

Dreapta reala are proprietatea ca oricare ar fi x ≠ y, exista o vecinatate U alui x si o vecinatate V a lui y fara puncte comune (U ∩ V = ∅). Adica dreaptareala este un spatiu separat.

Fie A o multime de numere.

Definitia 1.3.2. Un punct x0 ∈ A este punct interior al multimii A dacaexista o vecinatate (a, b) a lui x0 continuta ın A. Multimea punctelor interioareale lui A se numeste interiorul lui A si se noteaza IntA sau A. O multme senumeste deschisa daca este egala cu interiorul ei. Un punct y0 ∈ R se numestepunct exterior lui A daca y0 este punct interior al complementarei CA a luiA.

Proprietati:

1. Reuniunea unei familii oarecare de multimi deschise este o multime de-schisa

2. Intersectia unei familii finite de multimi deschise este o multime deschisa

5

3. R si ∅ sunt multimi deschise

Definitia 1.3.3. Un punct x0 ∈ R este punct aderent al multimii A daca ınorice vecinatate V a lui x0 exista cel putin un punct din A, adica V ∩ A ≠ ∅.Multimea punctelor aderente ale lui A se numeste aderenta (sau ınchiderea)lui A si se noteaza A. O multme se numeste ınchisa daca este egala cuınchiderea sa.

Proprietati:

1. Intersectia unei familii oarecare de multimi ınchise este o multime ınchisa

2. Reuniunea unei familii finite de multimi ınchise este o multime ınchisa

3. R si ∅ sunt multimi ınchise

Definitia 1.3.4. Se spune ca y0 este punct frontiera al unei multimi A dacaeste aderent si lui A si lui CA. Multimea punctelor frontiera se numeste fron-tiera multimii A si se noteaza FrA.

Proprietati:

1. Marginile unei multimi marginite sunt puncte aderente

2. O multime A este ınchisa daca si numai daca complementara sa CA estedeschisa

3. O multime B este deschisa daca si numai daca complementara sa CB esteınchisa

4. O multime ınchisa si majorata ısi contine marginea superioara. O multimeınchisa si minorata ısi contine marginea inferioara

5. Multimile R si ∅ sunt singurele multimi ınchise si deschise

Definitia 1.3.5. Se spune ca o multime A este densa ıntr-o multime B dacaorice punct al lui B este aderent lui A, adica B ⊂ A.

Definitia 1.3.6. Un punct x0 ∈ R (nu neaparat din A) se numeste punct deacumulare al lui A daca orice vecinatate V a lui x0 contine cel putin un punctx din A diferit de x0, adica V ∩ A ≠ {x0}. Multimea punctelor de acumulareale multimii A se noteaza A′ si se numeste multimea derivata a lui A. Unpunct al multimii A care nu este punct de acumulare se numeste punct izolat.O multime formata numai din puncte izolate se numeste multime discreta.

Proprietati:

1. Un punct x0 este punct de acumulare al unei multimi A daca si numaidaca ın orice vecinatate V a lui x0 exista o infinitate de puncte din A.

2. Daca o multime A are un punct de acumulare, ea este infinita.

3. O multime finita nu are puncte de acumulare.

4. Daca o multime marginita nu-si contine una din margini, aceasta estepunct de acumulare.

5. O multime este ınchisa daca si numai daca ısi contine toate punctele deacumulare.

Definitia 1.3.7. O multime de numere reale se numeste multime compactadaca este ınchisa si marginita.

6

1.4 Exercitii

1. Pentru orice submultime nevida C ⊂ R notam −C = {−x,x ∈ C}. Sa searate ca daca C este marginita, atunci sup(−C) = − inf C si inf(−C) =− supC.

R: C marginita ⇒ ∃m = inf C ∈ R si M = supC ∈ R. Vom arata ca −meste cel mai mic majorant al multimii −C, care este la randul ei marginita.

m = inf C ⇒m ≤ x, ∀x ∈ C⇔ −m ≥ −x, ∀x ∈ C,

deci −m este un majorant al multimii −C. Daca ar exista un alt majorant−m′ < −m al lui −C, atunci m′ ar fi un minorant al lui C mai mare decatm, ceea ce contrazice definitia lui m ca fiind marginea inferioara a lui C.

In mod analog se arata ca −M este marginea inferioara a lui −C.

2. Se considera multimea A = {mn∣0 < m < n;m,n ∈ Z}. Sa se arate ca A

nu are un cel mai mic element si nici un cel mai mare element si sa sedetermine inf A, supA.

R: Pentru orice mn∈ A, gasim 2m−1

2n< mn< 2m+1

2n, cu 2m−1

2n, 2m+1

2n∈ A, ceea

ce implica faptul ca A nu poate avea nici minim nici maxim.

Vom arata in continuare ca inf A = 0 si supA = 1. Evident, 0 < mn< 1,

∀mn∈ A.

Pentru orice ε > 0 arbitrar, exista n ∈ Z, n > 1 astfel ıncat 0 < 1n< ε, iar

cum 1n∈ A, avem ca 0 este cel mai mare minorant al lui A.

Din nou, pentru orice ε > 0 arbitrar, exista m ∈ Z,m > 0 astfel ıncat1 − ε < m

m+1 < 1, iar cum mm+1 ∈ A, avem ca 1 este cel mai mic majorant al

lui A.

3. Care din submultimile V ⊂ R urmatoare sunt vecinatati ale originii:

(a) V = (−1,2); R: da.

(b) V = [0,∞); R: nu, niciun interval deschis care contine originea nueste inclus ın V .

(c) V = (−3,1) ∪ (3,∞); R: da.

(d) V = Q; R: nu, Q nu contine niciun interval deschis.

4. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt deschise:

(a) ∅; R: da.

(b) R; R: da.

(c) un interval deschis (a, b); R: da.

(d) o semidreapta deschisa; R: da.

(e) un interval [a, b]; R: nu, ˚[a, b] = (a, b) ≠ [a, b].(f) un interval [a, b); R: nu.

(g) o semidreapta ınchisa; R: nu.

(h) {a}, a ∈ R; R: nu, {a} = ∅.

7

5. Sa se afle aderenta urmatoarelor multimi:

(a) R; R: R.

(b) ∅; R: ∅.

(c) [a, b]; R: [a, b].(d) {x0}; R: {x0}.

(e) (a, b], (a, b), [a, b); R: [a, b].(f) o semidreapta deschisa; R: aceeasi semidreapta, dar ınchisa.

(g) Q; R: R.

(h) I = R ∖Q; R: R.

(i) {1, 12, . . . , 1

n, . . .}; R: {1, 1

2, . . . , 1

n, . . . ,0}.

(j) {1,2, . . . , n, . . .}; R: {1,2, . . . , n, . . .}.

6. Sa se precizeze daca multimile A sunt dense fata de multimea B:

(a) A = (a, b],B = [a, b]; R: da.

(b) A = Q,B = R; R: da.

(c) A = R ∖Q,B = R; R: da.

7. Sa se determine punctele de acumulare si punctele izolate ale submultimilorD ⊂ R urmatoare:

(a) D = (−1,1); R: Da = [−1,1], Di = ∅.

(b) D = (−∞,1) ∪ (5,∞); R: Da = (−∞,1] ∪ [5,∞), Di = ∅.

(c) D = Z; R: Da = ∅, Di = Z.

(d) D = { 1x, x ∈ R, x ≠ 0}; R: Da = R, Di = ∅.

(e) D = {(−1)n 1n, n ∈ Z, n ≥ 1}; R: Da = {0}, Di =D.

(f) D = domeniu maxim de definitie pentru f(x) =arcsin(x −√

1 − x2);R: Da = [0,1], Di = {−1}.

8. Sa se determine interiorul si frontiera multimilor

(a) A = {x ∈ R, ∣x∣ ≤ 1}; R: A = (−1,1), FrA = {−1,1}.

(b) B = {x ∈ R, ∣x∣ = 1}; R: B = ∅, FrB = {−1,1}.

(c) C = Q; R: C = ∅, FrC = R.

9. Fie multimea A = [0,1) ∪ {2} ∪ [3,4). Sa se calculeze A, A, ˚A,¯A,

˚A,

¯A.

R: A = (0,1) ∪ (3,4); A = [0,1] ∪ {2} ∪ [3,4]; ˚A = (0,1) ∪ (3,4);¯A = [0,1] ∪ [3,4]; ˚

A = (0,1) ∪ (3,4); ¯A = [0,1] ∪ [3,4].

10. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt compacte:

(a) o multime finita; R: da.

(b) un interval ınchis; R: da.

(c) o reuniune finita de intervale compacte; R: da.

(d) [a, b); R: nu.

(e) o semidreapta; R: nu.

8

Capitolul 2

Siruri de numere reale

2.1 Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone

Definitia 2.1.1. Se numeste sir de numere reale o functie reala n → a(n)definita pe multimea numerelor naturale N. Se noteaza (an)n∈N sau doar (an).Numerele a1, a2, . . . se numesc termenii sirului, iar numarul an se numestetermenul general al sirului.

Definitia 2.1.2. 1. Un sir se numeste minorat (sau marginit inferior)daca exista un numar α ∈ R astfel ıncat α ≤ an, ∀n ∈ N

2. Un sir se numeste majorat (sau marginit superior) daca exista unnumar β ∈ R astfel ıncat an ≤ β, ∀n ∈ N

3. Sirul (an) este marginit daca exista doua numere reale α < β astfel ıncatα ≤ an ≤ β, ∀n ∈ N

Observatii:

1. Un sir an este marginit daca si numai daca exista M > 0 astfel ıncat∣an∣ ≤M, ∀n ∈ N

2. Daca exista M > 0 si n0 ∈ N astfel ıncat ∣an∣ ≤ M, ∀n ≥ n0, atunci siruleste marginit.

Definitia 2.1.3. 1. Se numeste marginea inferioara a unui sir (an) unnumar m = inf

n∈Nan cu proprietatile:

(a) m ≤ an, ∀n ∈ N(b) ∀α >m, ∃n ∈ N astfel ıncat an < α

2. Se numeste marginea superioara a unui sir (an) un numar M = supn∈N

an

cu proprietatile:

(a) an ≤M, ∀n ∈ N(b) ∀α <M, ∃n ∈ N astfel ıncat an > α

9

Definitia 2.1.4. 1. Un sir se numeste crescator daca an ≤ an+1, ∀n ∈ N

2. Un sir se numeste descrescator daca an ≥ an+1, ∀n ∈ N

3. Sirurile crescatoare si sirurile descrescatoare se numesc siruri mono-tone

4. Un sir se numeste strict crescator daca an < an+1, ∀n ∈ N

5. Un sir se numeste strict descrescator daca an > an+1, ∀n ∈ N

6. Sirurile strict crescatoare si sirurile strict descrescatoare se numesc siruristrict monotone

Definitia 2.1.5. Daca n1 < n2 < ⋅ ⋅ ⋅ < np < . . . este un sir strict crescator denumere naturale, sirul an1 , an2 , . . . , anp , . . . se numeste subsir al sirului (an).

2.2 Siruri convergente

Definitia 2.2.1. Un numar a ∈ R este limita unui sir (an) daca orice vecinatatea lui a contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar finit de termeni.Se mai spune ca (an) are limita a, sau ca sirul (an) este convergent la a sise noteaza

an → a sau limn→∞an = a.

Sirurile care nu sunt convergente se numesc siruri divergente.

Teorema 2.2.1. Un numar a ∈ R este limita unui sir (an) daca si numai dacapentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε, sa avem∣an − a∣ ≤ ε.

Teorema 2.2.2. Fie (an) si (αn) doua siruri si a ∈ R. Daca ∣an − a∣ ≤ αnpentru orice n si daca αn este convergent la 0, atunci an este convergent la a.

Proprietati ale sirurilor convergente

1. Un sir convergent are o singura limita.

2. Daca (an) este un sir convergent, atunci sirul (∣an∣) este convergent siavem

limn→∞ ∣an∣ = ∣ lim

n→∞an∣

3. Orice sir convergent este marginit.

4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine un sirconvergent catre aceeasi limita.

5. Daca la un sir convergent se adauga sau se scoate un numar finit de ter-meni, sirul obtinut este convergent si are aceeasi limita.

6. Daca (an) este un sir convergent si daca exista n0 ∈ N astfel ıncat sa avemα ≤ an ≤ β, ∀n ≥ n0, atunci α ≤ lim

n→∞an ≤ β.

7. Daca (an) este un sir convergent si daca α < limn→∞an < β, atunci exista

n0 ∈ N astfel ıncat sa avem α < an < β, ∀n ≥ n0.

10

Teorema 2.2.3 (Lema lui Stolz). Fie (an) si (bn) doua siruri. Daca sirul(bn) este strict monoton si nemarginit, si daca an+1−an

bn+1−bn → A (finit sau infinit),

atunci anbn→ A.

2.3 Operatii cu siruri convergente

Teorema 2.3.1. Daca (an) este un sir convergent la 0 si (bn) este un sirmarginit, atunci

limn→∞anbn = 0.

Teorema 2.3.2. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente, iar α ∈ R,atunci sirurile (an ± bn), (αan) si (anbn) sunt convergente si avem

limn→∞(an ± bn) = lim

n→∞an ± limn→∞ bn

limn→∞(αan) = α lim

n→∞an

limn→∞(anbn) = lim

n→∞an limn→∞ bn

Teorema 2.3.3. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si limn→∞ bn ≠ 0,

atunci sirul anbn

este convergent si avem

limn→∞

anbn

= limn→∞ anlimn→∞ bn

.

Teorema 2.3.4. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si

an > 0 ∀n ∈ N, limn→∞an = a > 0, lim

n→∞ bn = b

atunci avemlimn→∞a

bnn = ab

Teorema 2.3.5. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si an ≤ bn,∀n ∈ N, atunci

limn→∞an ≤ lim

n→∞ bn

Teorema 2.3.6 (Criteriul clestelui). Daca an ≤ xn ≤ bn, ∀n ∈ N si dacasirurile (an) si (bn) sunt convergente si au aceeasi limita, atunci sirul (xn) esteconvergent si are aceeasi limita ca si celelalte doua siruri.

2.4 Siruri fundamentale

Definitia 2.4.1. Un sir (an) se numeste sir fundamental sau sir Cauchydaca pentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi m ≥ Nε si n ≥ Nεsa avem ∣am − an∣ < ε.

Un sir (an) este fundamental daca si numai daca pentru orice ε > 0, existaNε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε si oricare ar fi p ∈ N sa avem ∣an+p−an∣ < ε.

Teorema 2.4.1. Orice subsir al unui sir convergent este de asemenea conver-gent si are aceeasi limita.

11

Teorema 2.4.2 (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit contine cel putin unsubsir convergent.

Teorema 2.4.3 (Criteriul general al lui Cauchy). Un sir (an) este con-vergent daca si numai daca este sir fundamental.

Teorema 2.4.4 (Weierstrass). Orice sir monoton si marginit este convergent.

Teorema 2.4.5. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri de numere reale careverifica urmatoarele doua conditii:

1. a1 ≤ a2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ an ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ bn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ b2 ≤ b12. limn→∞(an − bn) = 0

atunci sirurile (an) si (bn) sunt convergente si au aceeasi limita.

Teorema 2.4.6. Pentru orice numar real x exista doua siruri (rn) si (sn) denumere rationale cu urmatoarele proprietati:

1. r1 ≤ r2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ rn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ sn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ s2 ≤ s12. lim

n→∞ rn = x = limn→∞ sn.

Propozitia 2.4.1. Sirul

en = (1 + 1

n)n

este un sir crescator si marginit si are limita egala cu numarul irational

e ≈ 2,71828.

Proprietati suplimentare ale sirurilor convergente

1. Limita unui sir crescator si convergent este mai mare decat toti termeniisirului, iar limita unui sir descrescator si convergent este mai mica decattoti termenii sirului.

2. Daca an → a si an < a, ∀n ∈ N, se poate schimba ordinea termenilor astfelıncat sa obtinem un sir crescator convergent catre a.

3. Daca an → a si an > a, ∀n ∈ N, se poate schimba ordinea termenilor astfelıncat sa obtinem un sir descrescator convergent catre a.

4. Daca an → a si an ≠ a, ∀n ∈ N si daca exista o infinitate de termeni lastanga lui a si o infinitate de termeni la dreapta lui a, atunci se pot formacu termenii sirului doua subsiruri (bn) si (cn), primul crescator, al doileadescrescator, ambele convergente catre a.

5. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente cu aceeasi limita c, oricesir obtinut cu termenii celor doua siruri, ıntr-o ordine oarecare, este con-vergent si are limita c.

6. Un numar a este punct de acumulare al unei multimi A daca si numaidaca exista un sir convergent la a, format din puncte din A diferite de a.

7. Un numar a este punct aderent al multimii A daca si numai daca existaun sir de puncte din A convergent la a.

8. O multime A este ınchisa daca si numai daca oricare ar fi sirul convergentde puncte din A, limita sirului apartine de asemenea lui A.

12

2.5 Dreapta ıncheiata. Siruri cu limita

Definitia 2.5.1. 1. Daca multimea A nu este majorata, vom spune ca margineaei superioara este +∞ si scriem supA = +∞, adica

(a) x < +∞, ∀x ∈ A(b) daca α < +∞, exista x ∈ A astfel ıncat α < x

2. Daca multimea A nu este minorata, vom spune ca marginea ei inferioaraeste −∞ si scriem inf A = −∞, adica

(a) x > −∞, ∀x ∈ A(b) daca α > −∞, exista x ∈ A astfel ıncat α > x

Definitia 2.5.2. Multimea formata din toate numerele reale, ımpreuna cu +∞si −∞, se numeste dreapta ıncheiata si se noteaza cu R.

Definitia 2.5.3. 1. Se numeste vecinatate a lui +∞ o multime care contineun interval deschis si nemarginit de forma (a,+∞)

2. Se numeste vecinatate a lui −∞ o multime care contine un intervaldeschis si nemarginit de forma (−∞, a)

Observatie: +∞ este prin definitie punct de acumulare al oricarei multiminemajorate, iar −∞ punct de acumulare al oricarei multimi neminorate.

Definitia 2.5.4. 1. Spunem ca +∞ este limita unui sir (an) daca oricevecinatate a lui +∞ contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numarfinit dintre ei. Scriem lim

n→∞an = +∞ sau an → +∞

2. Spunem ca −∞ este limita unui sir (an) daca orice vecinatate a lui −∞contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar finit dintre ei. Scriemlimn→∞an = −∞ sau an → −∞

Teorema 2.5.1. 1. Un sir are limita +∞ daca si numai daca pentru oriceε ∈ R, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε sa avem an > ε

2. Un sir are limita −∞ daca si numai daca pentru orice ε ∈ R, exista Nε ∈ Nastfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε sa avem an < ε

Sirurile care au limita +∞ sau −∞ sunt nemarginite, deci sunt divergente.Asadar, sirurile convergente sunt doar cele care au limita finita.

Teorema 2.5.2 (Criteriul majorarii). 1. Daca an → +∞ si bn > an, ∀n ∈N, atunci bn → +∞

2. Daca an → −∞ si bn < an, ∀n ∈ N, atunci bn → −∞

Teorema 2.5.3. 1. Orice sir crescator si nemarginit are limita +∞

2. Orice sir descrescator si nemarginit are limita −∞

3. Orice sir monoton are limita. Limita este finita daca si numai daca siruleste marginit.

13

Proprietati ale sirurilor cu limita:

1. Daca un sir are limita, orice subsir al sau are aceeasi limita;

2. Din orice sir se poate extrage un subsir care are limita;

3. Daca un sir are limita, prin adaugarea sau ınlaturarea unui numar finit determeni, obtinem un sir cu aceeasi limita

4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir care are limita, se obtine unsir cu aceeasi limita

5. Daca an → +∞, se poate schimba ordinea termenilor astfel ıncat sa obtinemun sir crescator cu limita +∞

6. Daca an → −∞, se poate schimba ordinea termenilor astfel ıncat sa obtinemun sir descrescator cu limita −∞

7. Daca (an) si (bn) au aceeasi limita L ∈ R, atunci orice sir format cutermenii sirurilor (an) si (bn), ıntr-o ordine oarecare, are limita L.

Operatii cu siruri cu limita

1. Daca an → +∞ sau an → −∞, atunci ∣an∣→ +∞

2. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca suma limitelor are sens, atuncisirul (an + bn) are limita si

limn→∞(an + bn) = lim

n→∞an + limn→∞ bn

Caz exceptat ∞−∞.

3. Daca sirul (an) are limita si α ∈ R, atunci sirul αan are limita si

limn→∞(αan) = α lim

n→∞an

4. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca produsul limitelor are sens,atunci sirul (anbn) are limita si

limn→∞(anbn) = lim

n→∞an ⋅ limn→∞ bn

Caz exceptat 0 ⋅ ∞

5. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca raportul limitelor are sens,atunci sirul (an

bn) are limita si

limn→∞

anbn

=limn→∞an

limn→∞ bn

Cazuri exceptate ∞∞ ,

00.

6. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca ridicarea la putere a limitelorare sens, atunci sirul (abnn ) are limita si

limn→∞(abnn ) = lim

n→∞alimn→∞ bnn

Cazuri exceptate 1∞, ∞0, 00.

14

Teorema 2.5.4 (Limite fundamentale). 1. limn→∞ an =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1, a = 1∞, a > 10, a ∈ (−1,1)∄, a ≤ −1

2. limn→∞(aknk + ak−1nk−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0) = { ∞, ak > 0

−∞, ak < 0

3. limn→∞

aknk + ak−1nk−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0

bmnm + bm−1nm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1n + b0=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

( akbm

) ⋅ ∞, k >makbm, k =m

0, k <m

4. limxn→±∞

(1 + 1

xn)xn

= limxn→0

(1 + xn)1xn = e

5. limxn→0

ln(1 + xn)xn

= 1

6. limxn→0

axn − 1

xn= lna

7. limxn→0

(1 + xn)r − 1

xn= r

8. limxn→0

sinxnxn

= limxn→0

tgxnxn

= limxn→0

arcsinxnxn

= limxn→0

arctgxnxn

= 1

9. limn→∞

nk

an= 0, ∀k ∈ N, a > 1.

Teorema 2.5.5 (Criteriul Cauchy-D’Alembert al raportului). Fie sirul

(xn) cu xn > 0,∀n ∈ N, pentru care exista limn→∞

xn+1xn

. Atunci sirul ( n√xn) are

limita si avem

limn→∞

n√xn = lim

n→∞xn+1xn

15

2.6 Exercitii

1. Folosind criteriul de convergenta cu ε sa se arate ca

limn→∞(

√2n + 3 −

√2n) = 0.

R: Pentru orice ε > 0, trebuie sa determinam Nε ∈ N astfel ıncat

∣√

2n + 3 −√

2n∣ < ε, ∀n ≥ Nε. (2.1)

Pentru ε > 0 arbitrar fixat avem:

∣√

2n + 3 −√

2n∣ < ε ⇔ 3√2n + 3 +

√2n

< ε⇔√

2n + 3 +√

2n > 3

ε⇐ 2

√2n > 3

ε⇔ n > 9

8ε2,

deci pentru Nε = [ 98ε2

] + 1, (2.1) este satisfacuta.

2. Sa se arate ca sirul (xn), xn = cos (nπ2) , n ≥ 0 este divergent.

R: Avem x2n+1 = 0, x2n = (−1)n, deci xn are 3 subsiruri convergente lalimite diferite.

3. Folosind criteriul majorarii sa se calculeze limitele sirurilor:

(a) xn = sin 1+2 sin2+⋅⋅⋅+2n−1 sinn1+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n ;

R:∣xn∣ < 1+2+⋅⋅⋅+2n−11+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n < 2n

(n+1)3n → 0⇒ limn→∞ xn = 0.

(b) xn = n√n, n ≥ 2

R: Fie yn = xn − 1 ⇒ n = (1 + yn)n = 1 + nyn + n(n−1)2

y2n + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒n(n−1)

2y2n < n⇒ yn <

√2n−1 → 0⇒ limn→∞ xn = 1.

4. Folosind criteriul clestelui sa se calculeze limita sirurilor:

(a) xn = [x2]+[3x2]+⋅⋅⋅+[(2n−1)x2]n3

R: Se stie ca a − 1 < [a] ≤ a, ∀a ∈ R. Aplicand aceasta inegalitatepentru a = x2,3x2, . . . , (2n − 1)x2 si sumand, obtinem:

{1+⋅ ⋅ ⋅+(2n−1)}x2−n < [x2]+⋅ ⋅ ⋅+[(2n−1)x2] ≤ {1+⋅ ⋅ ⋅+(2n−1)}x2

Calculand 1+3+ ⋅ ⋅ ⋅ + (2n−1) = n2 si ımpartind prin n3, obtinem maideparte

n2x2 − nn3

< xn ≤n2x2

n3,

de unde, conform criteriului clestelui, limn→∞ xn = 0.

(b) zn = ynn, yn = logx1x2 . . . xn, ∀n ≥ 1, xn este o cifra nenula.

R: 10n−1 ≤ x1x2 . . . xn < 10n ⇒ n−1n

≤ zn < 1⇒ limn→∞ zn = 1.

5. Sa se studieze marginirea, monotonia si convergenta urmatoarelor siruri:

2n2

n2 + 1,

2n

n2 + 1, 4 − (−1)n

n, sin

1

n,

(n!)2(2n)! ,

sinn

n

16

6. Sa se calculeze limitele sirurilor:

a)5 − 2n

3n − 7; b)n

2 − 4

n + 5; c) n2

n3 + 1; d)(−1)n n

n3 + 1, e)n

2 − 2√n + 1

1 − n − 3n2; f)e

n − e−nen + e−n

g)n sin1

n; h) (n − 3

n)n

; i) (n − 1

n + 1)n

; j)√n + 1 −

√n; k)n −

√n2 − 4n

7. Folosind lema lui Stolz sa se calculeze limitele sirurilor:

(a) xn = 1p+2p+⋅⋅⋅+npnp+1 ;

R: limn→∞ xn = limn→∞(n+1)p

(n+1)p+1−np+1 = limn→∞(n+1)p

C1p+1np+⋅⋅⋅+Cpp+1n+1 =

1p+1 .

(b) xn = 1n ∑

nk=1

k

1+√2+√3+⋅⋅⋅+√k ;

R: limn→∞ xn = limn→∞ n+11+√2+⋅⋅⋅+√n+1 = limn→∞ 1√

n+2 = 0.

8. Sa se calculeze limitele sirurilor:

(a) xn = (√n+√n+22√n+1 )

n

;

R: limn→∞ xn = elimn→∞ n[

√n+√n+22√n+1 −1] = e0 = 1;

(b) xn = sin2 πn+ sin2 π

n+1 + ⋅ ⋅ ⋅ + sin2 π2n

;

R: Gasim (n + 1) sin2 π2n

< xn < (n + 1) sin2 πn

, de unde rezulta calimn→∞ xn = 0;

(c) xn = ln(n2+en)ln(n4+e2n) ;

R: limn→∞ xn = limn→∞n+ln(1+n2

en )2n+ln(1+ n4

e2n) =

12;

(d) xn = (a1n +b 1

n

2)n

;

R: limn→∞ xn = elimn→∞ n[ a

1n +b

1n

2 −1]= e lna+lnb

2 =√ab.

9. Sa se determine parametrii reali a, b, c astfel ıncat

limn→∞n(an −

√−2 + bn + cn2) = 1.

R: 1 = limn→∞n[(a2−c)n2−bn+2]an+

√−2+bn+cn2

⇒ a2 − c = b = 0 si a+√c = 2, deci a = c = 1.

10. Sa se studieze convergenta sirului recurent liniar dat prin:

x0 = 0, xn+1 =1

3xn +

4

3, n ≥ 0.

R: Avem xn = 43(1 + 1

3+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

3n−1 ) =43⋅ 1−

13n

1− 13

= 2 − 23n

, de unde obtinem

limn→∞ xn = 2.

17

Capitolul 3

Serii de numere reale

3.1 Definitie. Convergenta

Definitia 3.1.1. Se numeste serie de numere reale o suma infinita

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . ;

an se numeste termenul general al seriei, iar sirul

Sn =n

∑k=1

an = a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an, n ≥ 1

se numeste sirul sumelor partiale.

Exemple de serii:

∞∑n=1

1

n= 1 + 1

2+ 1

3+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

n+ . . . (seria armonica)

∞∑n=0

an = 1 + a + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . , a ∈ R (seria geometrica)

Definitia 3.1.2. Spunem ca seria ∑∞n=1 an este convergenta daca sirul sumelorpartiale Sn corespunzator seriei converge catre o valoare finita S ∈ R, numitasuma seriei. In caz contrar, spunem ca seria este divergenta.

Proprietati ale seriilor:

1. Daca ıntr-o serie convergenta se schimba ordinea unui numar finit de ter-meni, seria obtinuta este tot convergenta si are aceeasi suma.

2. Daca ıntr-o serie divergenta se schimba ordinea unui numar finit de ter-meni, seria obtinuta este tot divergenta si are aceeasi suma +∞ sau −∞.

3. Daca la o serie convergenta adaugam sau eliminam un numar finit determeni, seria obtinuta este tot convergenta, dar ın general are alta suma.

4. Daca la o serie divergenta adaugam sau eliminam un numar finit de ter-meni, seria obtinuta este tot divergenta cu aceeasi suma +∞ sau −∞.

18

5. Daca seria ∑∞n=1 an este convergenta, sirul sumelor partiale este marginit.

6. Daca seria ∑∞n=1 an este formata din termeni pozitivi, iar sirul sumelorpartiale este marginit, atunci seria este convergenta.

7. Daca seria ∑∞n=1 an este convergenta, atunci limn→∞an = 0.

8. Daca limn→∞an ≠ 0, atunci seria este divergenta.

Asadar o conditie necesara pentru convergenta unei serii este ca termenul eigeneral sa convearga catre 0. Daca acest lucru nu se ıntampla, atunci seria estedivergenta.

Teorema 3.1.1. Fie seriile∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn convergente catre A, respectiv B.

Atunci:

(a)∞∑n=1

αan este convergenta catre αA (unde α ∈ R);

(b)∞∑n=1

(an + bn) este convergenta catre A +B;

(c) Daca an ≤ bn, ∀n ≥ 1, atunci A ≤ B.

Observatii:

1. Daca sumele A si B sunt +∞ sau −∞, teorema de mai sus este valabiladaca A +B are sens.

2. Daca∞∑n=1

an = +∞ si α ≠ 0, atunci seria∞∑n=1

αan este divergenta.

Teorema 3.1.2 (Criteriul general al lui Cauchy). O serie∞∑n=1

an este conver-

genta daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricarear fi n ≥ Nε si oricare ar fi p ≥ 1 sa avem

∣an+1 + an+2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αn+p∣ < ε

Teorema 3.1.3 (Criteriul lui Dirichlet). Daca∞∑n=1

an este o serie care are sirul

sumelor partiale marginit si daca (bn) este un sir descrescator de numere pozi-

tive convergent catre 0, atunci seria∞∑n=1

anbn este convergenta.

Teorema 3.1.4 (Criteriul lui Abel). Daca∞∑n=1

an este o serie convergenta si

daca (bn) este un sir de numere pozitive monoton si marginit, atunci seria∞∑n=1

anbn este convergenta.

Definitia 3.1.3. Se numeste serie alternata o serie de forma ∑(−1)nan, cuan ≥ 0, ∀n ∈ N, asadar produsul oricaror doi termeni consecutivi este negativ.

19

Teorema 3.1.5 (Criteriul lui Leibniz). Fie o serie alternata ∑(−1)nan. Dacasirul an este descrescator si convergent catre 0, atunci seria este convergenta.

Definitia 3.1.4. Spunem ca seria∞∑n=1

an este absolut convergenta daca seria

modulelor∞∑n=1

∣an∣ este convergenta.

Teorema 3.1.6. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Reciproca acestei teoreme nu este valabila. Exista serii convergente care nusunt si absolut convergente. Astfel de serii se numesc semiconvergente.

3.2 Serii cu termeni pozitivi

O serie cu termeni pozitivi este o serie ın care termenul general este pozitiv:an ≥ 0, ∀n ≥ 1. Pentru astfel de serii avem la dispozitie un numar de criteriipentru a stabili convergenta lor, fara ınsa a putea gasi suma lor.

Un prim tip de criterii sunt cele de comparatie, ın care este stabilita naturaunei serii cu ajutorul unei alte serii a carei natura este cunoscuta:

Teorema 3.2.1 (Criteriul 1 de comparatie). Fie doua serii cu termeni pozitivi

∑an si ∑ bn astfel ıncat an ≤ bn, ∀n ≥ N , unde N ∈ N fixat. Atunci:

1. daca ∑ bn este convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

2. daca ∑an este divergenta, atunci si ∑ bn este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

sin1

n2;

∞∑n=1

2 + sinn

n.


∑an si ∑ bn astfel ıncat an+1an

≤ bn+1bn

, ∀n ≥ N , unde N ∈ N fixat. Atunci:

1. daca ∑ bn este convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

2. daca ∑an este divergenta, atunci si ∑ bn este divergenta.


∑an si ∑ bn astfel ıncat exista limita L = limn→∞ anbn

. Atunci:

1. daca 0 < L <∞, atunci cele doua serii au aceeasi natura;

2. daca L = 0 si ∑ bn convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

3. daca L =∞ si ∑ bn divergenta, atunci si ∑an este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

sin1

n;

∞∑n=1

sin1

n2.

Teorema 3.2.4 (Criteriul de condensare). Fie ∑an o serie cu termeni pozi-tivi avand sirul termenilor (an) descrescator. Consideram de asemenea si seria

∑2na2n . Daca una dintre serii este convergenta, atunci si cealalta este conver-genta.

20

Teorema 3.2.5. 1. Seria geometrica∞∑n=0

an este convergenta daca a ∈ (0,1)

si divergenta daca a ≥ 1.

2. Seria armonica generalizata∞∑n=1

1

npeste convergenta daca p > 1, si diver-

genta daca p ≤ 1.

In continuare prezentam cateva criterii de convergenta ın care natura uneiserii este gasita prin calculul unor limite:

Teorema 3.2.6 (Criteriul radacinii). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an astfel

ıncat exista limita L = limn→∞

n√an. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Exemplu:∞∑n=1

(1 + 1n)2n

en

Teorema 3.2.7 (Criteriul raportului). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an astfel

ıncat exista limita L = limn→∞

an+1an

. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

1 ⋅ 3 ⋅ 5 . . . (2n − 1)2 ⋅ 5 . . . (3n − 1) ;

∞∑n=1

n!

nn

Observam ca niciunul din cele doua criterii anterioare nu precizeaza naturaseriei daca limita L = 1. Pentru astfel de situatii se poate utiliza urmatorulrezultat:

Teorema 3.2.8 (Criteriul Raabe-Duhamel). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an

astfel ıncat exista limita L = limn→∞n( an

an+1− 1). Atunci:

1. daca L > 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L < 1, atunci seria este divergenta.

Exemplu:∞∑n=1

1

1 + 12+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

n

Teorema 3.2.9 (Criteriul logaritmic). Fie ∑an o serie cu termeni pozitivi

astfel ıncat exista limita L = limn→∞

ln 1an

lnn. Atunci:

1. daca L > 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L < 1, atunci seria este divergenta.

21

3.3 Exercitii

1. Sa se arate ca seria ∞∑n=1

1

n(n + 1)este convergenta si sa se calculeze suma ei.

2. Sa se arate ca∞∑n=1

n

2n − 1este divergenta.

3. Seria∞∑n=1

(−1)n 1

n2este absolut convergenta, iar

∞∑n=1

(−1)n 1

neste semicon-

vergenta.

4. Sa se calculeze suma seriilor:

(a) ∑∞n=1 1(3n−2)(3n+1)

R: Sn = 13 ∑

nk=1 ( 1

3k−2 −1

3k+1) =n

3n+1 ⇒ S = 13.

(b) ∑∞n=1 (√n + 2 − 2

√n + 1 +√

n)R: Sn = 1−

√2+

√n + 2−

√n + 1 = 1−

√2+ 1√

n+2+√n+1 ⇒ S = 1−√

2

5. Sa se stabileasca natura seriilor verificand daca este indeplinita conditianecesara pentru convergenta seriilor:

(a) ∑∞n=1 nn+1n

(n+ 1n)n

R: limn→∞ un = limn→∞ n√n ( n2

n2+1)n= 1⇒ seria este divergenta.

(b) ∑∞n=1(√n4 + 3n2 + 1 − n2)

R: limn→∞ un = limn→∞ 3n2+1√n4+3n2+1+n2

= 32

6. Folosind criteriul lui Dirichlet, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=1 sinnxn

, x ≠ kπ, k ∈ ZR: an = 1

n↘ 0; pentru calculul sumei partiale ∑nk=1 sinkx folosim for-

mula trigonometrica sina sin b = 12(cos(a − b) − cos(a + b)); ınmultind

si ımpartind prin sin x2

obtinem

∣Sn∣ = ∣n

∑k=1

sinkx∣ =RRRRRRRRRRRR

cos x2− cos (2n+1)x

2

2 sin x2

RRRRRRRRRRRR≤

∣cos x2∣ + ∣cos (2n+1)x

2∣

2 ∣sin x2∣

≤ 1

∣sin x2∣∀n ∈ N

de unde rezulta ca seria este convergenta.

(b) ∑∞n=1 lnn cosnx√n

R: an = lnn√n↘ 0; ∣Sn∣ = ∣∑nk=1 coskx∣ = ∣ sin

(2n+1)x2 −sin x

2

2 sin x2

∣ ≤ 1∣sin x

2∣ ∀n ∈

N⇒ seria este convergenta.

7. Folosind criteriul lui Abel, sa se studieze convergenta seriilor:

(a) ∑∞n=2(−1)n n√n

lnn

R: an = n√n ↘ 1, ∑∞n=2

(−1)nlnn

convergenta conform criteriului luiLeibniz ⇒ seria este convergenta.

22

(b) ∑∞n=1 sinnn

ln n+1n

R: an = ln n+1n↘ 0, ∑∞n=1 sinn

nconvergenta conform exercitiului an-

terior ⇒ seria este convergenta.

8. Folosind criteriul lui Leibniz, sa se studieze natura seriilor:

(a) ∑∞n=1(−1)n+1n−lnn

R: un = 1n−lnn ↘ 0⇒ seria este convergenta

(b) ∑∞n=1(−1)n+1tg 1n√n

R: un = tg 1n√n↘ 0⇒ seria este convergenta

9. Folosind criteriul 1 de comparatie sa se studieze natura seriilor:

(a) ∑∞n=1 12n+1 ;

(b) ∑∞n=1 3n+1n3+1 ;

(c) ∑∞n=2 1lnn

;

(d) ∑∞n=1 1√n3+n

R: 1√n3+n < 1√

n3; ∑∞n=1 1

n3/2 convergenta ⇒ seria este convergenta;

(e) ∑∞n=2 ann√n!, a > 0

R: daca a ≥ 1⇒ ann√n!> 1n

; ∑∞n=1 1n

divergenta⇒ seria este divergenta;

daca a < 1 ⇒ ann√n!

< an; ∑∞n=1 an convergenta ⇒ seria este conver-

genta.


(a) ∑∞n=1 120n+9

R: un = 120n+9 , vn = 1

n. un+1

un> vn+1

vn, ∑∞n=1 vn divergenta ⇒ ∑∞n=1 un

este divergenta;

(b) ∑∞n=1 1√n2+7n

R: un = 1√n2+7n , vn =

1n. un+1

un> vn+1

vn, ∑∞n=1 vn divergenta ⇒ ∑∞n=1 un

este divergenta;


(a) ∑∞n=1 1√n+1 ;

(b) ∑∞n=1 n+5n3−2n+3 ;

(c) ∑∞n=1 n2e−√n

R: un = n2e−√n, vn = 1

n2 ; limn→∞ unvn

= limn→∞ n4

e√n = 0; ∑∞n=1 vn

convergenta ⇒ ∑∞n=1 un este convergenta;

(d) ∑∞n=1 (1 − cos πn)

R: un = 1−cos πn, vn = 1

n2 ; limn→∞ unvn

= limn→∞2 sin2 π

2n1n2

= π2

2; ∑∞n=1 vn

convergenta ⇒ ∑∞n=1 un este convergenta;

(e) ∑∞n=1n√nlnn

R: un =n√nlnn

, vn = 1lnn

; limn→∞ unvn

= limn→∞ n√n = 1;∑∞n=1 vn diver-

genta ⇒ ∑∞n=1 un este divergenta.

23

12. Folosind criteriul de condensare, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=2 lnnn

R: un = lnnn

este descrescator, si avem ∑∞n=2 2nu2n = ∑∞n=2 n ln 2 di-vergenta ⇒ ∑∞n=2 un divergenta.

(b) ∑∞n=2 1n ln2 n

R: un = 1n ln2 n

este descrescator, si avem ∑∞n=2 2nu2n = 1ln2 2 ∑

∞n=2

1n2

convergenta ⇒ ∑∞n=2 un convergenta.

13. Folosind criteriul radacinii, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=1 2n+1nn

;

(b) ∑∞n=1 ( nn+1)

n2

;

(c) ∑∞n=1 ( 2n+3n+1 )2n+1

R: limn→∞ n√un = limn→∞ ( 2n+3

n+1 )2n+1n = 4 > 1⇒ seria este divergenta;

(d) ∑∞n=1(√n2 + 2n + 5 − n)n2

R: limn→∞ n√un = e2 > 1⇒ seria este divergenta;

(e) ∑∞n=2 nlnn

(lnn)n

R: limn→∞ n√un = limn→∞ n

lnnn

lnn= limn→∞ e

ln2 nn

lnn= 0 ⇒ seria este

convergenta;

(f) ∑∞n=1 (cos an)n

3

R: limn→∞ n√un = e−

a2

2 < 1⇒ seria este convergenta.

14. Folosind criteriul raportului, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=1 9n

n!;

(b) ∑∞n=1 n5

2n;

(c) ∑∞n=1(2n)!(n!)2 ;

(d) ∑∞n=1 3ntg π2n

R: limn→∞ un+1un

= 32> 1⇒ seria este divergenta;

(e) ∑∞n=1 an

np, a > 0, p ∈ R


= a. Daca 0 < a < 1 ⇒ seria este convergenta, dacaa > 1⇒ seria este divergenta, iar daca a = 1 obtinem seria armonicageneralizata, a carei natura este cunoscuta.

(f) ∑∞n=1 2nn!nn


= 2e< 1⇒ seria este convergenta.

15. Folosind criteriul Raabe-Duhamel, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=11⋅5⋅9...(4n−3)

4nn!

R: limn→∞ n ( unun+1

− 1) = 34< 1⇒ seria este divergenta;

(b) ∑∞n=11⋅4⋅7...(3n+1)2⋅5⋅8...(3n+2) ⋅

12n+1


− 1) = 43> 1⇒ seria este convergenta;

24

(c) ∑∞n=1 n!n2

a(a+1)(a+2)...(a+n) , a > 0


− 1) = a − 2. Daca a < 3 ⇒ seria este divergenta,

daca a > 3 ⇒ seria este convergenta, iar daca a = 3, obtinem o seriecare conform criteriului III de comparatie are aceeasi natura cu seriaarmonica, deci este divergenta.

16. Folosind criteriul logaritmic, sa se determine natura seriilor:

(a) ∑∞n=2 alnn, a > 0

R: limn→∞ln 1un

lnn= ln 1

a. Daca 0 < a < 1

e⇒ ln 1

a> 1 ⇒ seria este

convergenta. Daca a > 1e⇒ seria este divergenta. Daca a = 1

eobtinem

seria armonica, care este divergenta.

(b) ∑∞n=2 1lnp n

R: limn→∞ln 1un

lnn= limn→∞ p ln(lnn)

lnn= 0 < 1⇒ seria este divergenta.

(c) ∑∞n=1 1nn

R: limn→∞ln 1un

lnn=∞ > 1⇒ seria este convergenta.

17. Sa se arate ca seriile urmatoare sunt absolut convergente:

(a) ∑∞n=1(−1)n

n2+sinn2

R:∑∞n=1 ∣un∣ = ∑∞n=1 1n2+sinn2 , care conform criteriului III de comparatie

are aceeasi natura cu ∑∞n=1 1n2 , deci convergenta.

(b) ∑∞n=1 sinnxn2

R: Avem ca ∣un∣ < 1n2 , deci conform criteriului I de comparatie,

∑∞n=1 ∣un∣ este convergenta.

(c) ∑∞n=1(−1)n 3⋅5...(2n+1)2⋅5...(3n−1)

R: ∑∞n=1 ∣un∣ = ∑∞n=13⋅5...(2n+1)2⋅5...(3n−1) care este convergenta conform criteri-

ului raportului.

18. Sa se studieze convergenta absoluta si semiconvergenta seriei:

∞∑n=1

sinnx

np

R: Conform criteriului III de comparatie, seria∑∞n=1 ∣un∣ are aceeasi naturacu ∑∞n=1 1

np, deci convergenta pentru p > 1 si divergenta pentru 0 < p ≤ 1.

Totusi, pentru 0 < p ≤ 1, seria ∑∞n=1 un este convergenta conform criteriuluilui Dirichlet.In concluzie, seria este absolut convergenta pentru p > 1 si semiconvergentapentru 0 < p ≤ 1.

25

Capitolul 4

Limite si continuitate

4.1 Limita unei functii ıntr-un punct

Definitia 4.1.1. Fie o functie f ∶D → R si a ∈ R un punct de acumulare al luiD. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre a si scriem

limx→a f(x) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

∣x − a∣ < δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε. (4.1)

Altfel spus, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x este suficientde aproape de a. In multe cazuri, valoarea acestei limite se evalueaza calculandf(a), daca acesta exista.

Definitia 4.1.2. Fie o functie f ∶D → R si a ∈ R un punct de acumulare al luiD. Spunem ca f are limita la stanga L cand x tinde catre a si scriem

limx↗a f(x) = L


−δ < x − a < 0⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Definitia 4.1.3. Fie o functie f ∶D → R si a ∈ R un punct de acumulare al luiD. Spunem ca f are limita la dreapta L cand x tinde catre a si scriem

limx↘a f(x) = L


0 < x − a < δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Teorema 4.1.1. O functie are limita L ın punctul a daca si numai daca existaambele limite laterale ın a si sunt egale cu L:

limx→a f(x) = L⇔ lim

x↗a f(x) = limx↘a f(x) = L

26

Teorema 4.1.2. O functie f ∶ D → R monotona pe D are limite laterale ınorice punct de acumulare al multimii D.

Urmatoarea teorema ajuta la calculul limitelor multor tipuri de functii atuncicand sunt cunoscute cateva limite elementare:

Teorema 4.1.3. Daca limx→a f(x) = L si limx→a g(x) = M , iar α este o con-stanta reala, atunci:

1. limx→a[f(x) + g(x)] = L +M

2. limx→a[f(x) − g(x)] = L −M

3. limx→a f(x)g(x) = LM

4. limx→aαf(x) = αL

5. limx→a

f(x)g(x) = L

Mdaca M ≠ 0

6. limx→a[f(x)]

α = Lα atunci cand ridicarea la putere este posibila

7. daca f(x) ≤ g(x) pe un interval care ıl contine pe a ın interior, atunciL ≤M .

Teorema 4.1.4. Fie P (x) si Q(x) doua functii polinomiale si a ∈ R astfel ıncatQ(a) ≠ 0. Atunci:

a) limx→aP (x) = P (a)

b) limx→a

P (x)Q(x) = P (a)

Q(a) .

Teorema 4.1.5 (teorema clestelui). Fie functiile f, g, h cu proprietatea caf(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pentru orice x ıntr-un interval deschis continandu-l pe a(eventual mai putin chiar ın x = a). Daca

limx→a f(x) = lim

x→ah(x) = L,

atunci de asemenea limx→a g(x) = L.

4.2 Limite la infinit si limite infinite

Definitia 4.2.1. Fie o functie f ∶D → R, unde D contine un interval nemarginitla dreapta. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre infinit si scriem

limx→∞ f(x) = L


x > δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

27

Cu alte cuvinte, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x estesuficient de mare. In mod similar se defineste si limita unei functii catre −∞:

Definitia 4.2.2. Fie o functie f ∶D → R, unde D contine un interval nemarginitla stanga. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre −∞ si scriem

limx→−∞ f(x) = L


x < −δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Exista functii ale caror valori pot creste (sau scade) arbitrar de mult ınvecinatatea unui punct (sau la infinit). In astfel de situatii spunem ca functiaare limita infinit (sau −∞) ın punctul respectiv (sau la infinit). Pentru a obtine odefinitie formala, nu avem decat sa ınlocuim in definitiile anterioare ∣f(x)−L∣ < εcu f(x) > ε (respectiv f(x) < −ε).

Teorema 4.2.1. Fie f ∶ D → R, a ∈ R un punct de acumulare pentru D siL ∈ R. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. limx→a f(x) = L

2. pentru orice vecinatate U a lui L, exista o vecinatate V a lui a astfel ıncatoricare ar fi x ∈ V ∩D, x ≠ a sa avem f(x) ∈ U ;

3. pentru orice sir xn ∈D,xn ≠ a sa avem

limn→∞xn = a⇒ lim

n→∞ f(xn) = L.

Proprietati:

1. Daca o functie f ∶ D → R are limita ın a ∈ D′, atunci aceasta limita esteunica;

2. Daca limx→a f(x) = L, atunci lim

x→a ∣f(x)∣ = ∣L∣;

3. Daca functiile f, g ∶ D → R coincid pe o vecinatate a lui a (cu exceptialui a) si daca una dintre ele are limita ın a, atunci si cealalta functie arelimita ın a, si limitele sunt egale.

4. Daca functiile f, g, h ∶D → R au limita ın a si daca exista o vecinatate V alui a astfel ıncat sa avem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pentru orice x ∈ V ∩D, x ≠ a,atunci

limx→a f(x) ≤ lim

x→a g(x) ≤ limx→ah(x).

5. Daca functia f ∶ D → R are limita ın a si daca limx→a f(x) > α, atunci

exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem f(x) > α pentru oricex ∈ V ∩D, x ≠ a.

6. Daca functia f ∶ D → R are limita ın a si daca limx→a f(x) < β, atunci

exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem f(x) < β pentru oricex ∈ V ∩D, x ≠ a.

28

7. Daca functia f ∶ D → R are limita finita ın a si daca α < limx→a f(x) < β,

atunci exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem α < f(x) < βpentru orice x ∈ V ∩D, x ≠ a.

8. Daca functia f ∶D → R are limita finita ın a, atunci exista o vecinatate Va lui a pe care functia f este marginita.

9. Daca f, g ∶D → R au limite ın a si daca limx→a f(x) < lim

x→a g(x), atunci exista

o vecinatate V a lui a astfel ıncat f(x) < g(x) pentru orice x ∈ V ∩D, x ≠ a.

Teorema 4.2.2. Fie P (x) = amxm + ⋅ ⋅ ⋅ +a1x+a0 si Q(x) = bnxn + ⋅ ⋅ ⋅ + b1x+ b0doua functii polinomiale de grade m, respectiv n. Atunci limita

limx→±∞

P (x)Q(x) este:

(a) 0, daca m < n;

(b) ambn

daca m = n;

(c) ±∞ daca m > n, semnul fiind dat de semnul raportului ambn

si de paritatealui m − n.

4.3 Asimptote

Definitia 4.3.1. Spunem ca graficul functiei f are asimptota verticala x = adaca

limx↗a f(x) = ±∞ sau lim

x↘a f(x) = ±∞

sau ambele.

Definitia 4.3.2. Spunem ca graficul functiei f are asimptota orizontalay = L daca

limx→−∞ f(x) = L sau lim

x→∞ f(x) = L

sau ambele.

Definitia 4.3.3. Spunem ca graficul functiei f are asimptota oblica y =mx + ndaca

limx→−∞[f(x) −mx − n] = 0 sau lim

x→∞[f(x) −mx − n] = 0

sau ambele.

In cazul ın care exista, valorile lui m si n se calculeaza ca fiind

m = limx→±∞

f(x)x

, n = limx→±∞[f(x) −mx]

29

4.4 Limite fundamentale

Teorema 4.4.1. Exista urmatoarele limite fundamentale:

1. limx→0

sinx

x= limx→0

tgx

x= limx→0

arcsinx

x= limx→0

arctgx

x= 1

2. limx→0

ln(x + 1)x

= 1

3. limx→0

ax − 1

x= lna

4. limx→0

(1 + x)a − 1

x= a

4.5 Continuitate

Definitia 4.5.1. Fie f ∶D → R si a ∈D. Se spune ca functia f este continuaın punctul a daca pentru orice vecinatate U a lui f(a), exista o vecinatate V alui a astfel ıncat oricare ar fi x ∈ V ∩D sa avem f(x) ∈ U . Se mai spune ca aeste punct de continuitate al lui f .

Observatii:

� problema continuitatii nu are sens ın punctele ın care functia nu estedefinita (ın particular ın ±∞);

� punctul a ∈ D dar nu este ın mod necesar punct de acumulare pentru D,ci poate fi si punct izolat al lui D.

Teorema 4.5.1. O functie f ∶ D → R este continua ın orice punct izolat aldomeniului de definitie.

Teorema 4.5.2. O functie f ∶D → R este continua ıntr-un punct de acumularea ∈D daca si numai daca functia are limita ın a si aceasta este egala cu f(a):

limx→a f(x) = f(a).

Limita unei functii ıntr-un punct poate fi infinita. Daca ınsa functia estecontinua ın acel punct, limita este finita.

Teorema 4.5.3. Fie o functie f ∶ D → R si a ∈ D. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

1. f este continua ın a

2. pentru orice sir xn → a, xn ∈D, avem f(xn)→ f(a)

3. pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D cu ∣x − a∣ < δ, sa avem∣f(x) − f(a)∣ < ε

4. pentru orice vecinatate U a lui f(a), exista δ > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D cu∣x − a∣ < δ, sa avem f(x) ∈ U

5. pentru orice ε > 0, exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat ∀x ∈ V ∩D,sa avem ∣f(x) − f(a)∣ < ε

30

Definitia 4.5.2. Fie f ∶ D → R. Spunem ca f este continua pe D daca estecontinua ın orice a ∈D.

Alte exemple de functii continue: functiile polinomiale, rationale, exponen-tiale, logaritmice, trigonometrice sunt continue pe domeniile pe care sunt defi-nite.

Definitia 4.5.3. Fie f ∶D → R si a ∈D. Spunem ca

1. f este continua la stanga ın a daca

limx↗a f(x) = f(a)

2. f este continua la dreapta ın a daca

limx↘a f(x) = f(a)

Teorema 4.5.4. O functie este continua ıntr-un punct daca si numai daca estecontinua la stanga si la dreapta ın acel punct.

Definitia 4.5.4. Fie f ∶D → R si a ∈D.

1. daca f nu este continua ın a, spunem ca f este discontinua ın a, iar ase numeste punct de discontinuitate al lui f ;

2. un punct de discontinuitate a al functiei f se numeste punct de dis-continuitate de prima speta daca functia are limite laterale finite ına;

3. un punct de discontinuitate a al functiei f se numeste punct de discon-tinuitate de speta a doua daca cel putin una din limitele laterale nuexista sau este infinita.

Teorema 4.5.5. Daca functia f ∶ D ∖ {a} → R are limita finita L ın a, atuncifunctia

f ∶D → R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x), x ≠ aL, x = a

este continua ın a. Functia f se numeste prelungirea prin continuitate afunctiei f ın punctul a.

Teorema 4.5.6. Fie f, g ∶ D → R doua functii ocntinue ın a ∈ D si α ∈ R.Atunci si functiile:

f + g, f − g, fg, αf, fg, fα

sunt continue ın a (ın cazul ın care acestea sunt bine definite ın a).

Teorema 4.5.7. Fie functiile f ∶ A → B, g ∶ B → R si a ∈ A. Daca f estecontinua ın a, iar g este continua ın f(a), atunci si g ○ f este continua ın a.

Proprietati ale functiilor continue

1. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D (sau pe D), atunci functia∣f ∣ este continua ın a (sau pe D)

31

2. daca functiile f, g ∶ D → R este continue ın a ∈ D (sau pe D), atuncifunctiile min(f, g) si max(f, g) sunt continue ın a (sau pe D)

3. daca functia f ∶D → R este continua ın a ∈D si daca α < f(a) < β, atunciexista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem α < f(x) < β pentru oricex ∈ V ∩D

4. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D si daca f(a) ≠ 0, atunciexista o vecinatate V a lui a astfel ıncat f(x) ≠ 0 pentru orice x ∈ V ∩D

5. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D si daca ın orice vecinatateV a lui a exista puncte ın care f ia valori negative si puncte ın care f iavalori pozitive, atunci f(a) = 0

6. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D, atunci pentru orice ε > 0,exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat oricare ar fi punctele x′, x′′ ∈ V ∩Dsa avem ∣f(x′) − f(x′′)∣ < ε

Teorema 4.5.8. Daca functia f este continua pe un interval I, atunci oricarear fi punctele a, b ∈ I, a < b si oricare ar fi numarul λ ıntre f(a) si f(b), existacel putin un punct cλ ∈ [a, b] astfel ıncat f(cλ) = λ.

Definitia 4.5.5. Spunem ca o functie f definita pe un interval I are propri-etatea lui Darboux daca oricare ar fi punctele a, b ∈ I, a < b si oricare ar finumarul λ ıntre f(a) si f(b), exista cel putin un punct cλ ∈ [a, b] astfel ıncatf(cλ) = λ.

Proprietati ale functiilor cu proprietatea Darboux

1. Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux

2. Fie functia f ∶ I → R si a < b doua puncte din I. Daca f are proprietatealui Darboux si daca f(a)f(b) < 0, atunci exista cel putin un punct ın (a, b)ın care functia se anuleaza

3. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si nu se anuleaza ınniciun punct din I, atunci functia pastreaza acelasi semn pe tot intervalulI

4. O functie care are proprietatea lui Darboux duce un interval tot ıntr-uninterval

Teorema 4.5.9. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si esteinjectiva, atunci f este strict monotona.

Corolar 4.5.1. Daca functia f ∶ I → R este continua si injectiva pe I, atuncif este strict monotona.

Teorema 4.5.10. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si dacaexista una dintre limitele laterale ıntr-un punct a ∈ I, atunci aceasta este egalacu f(a). O functie cu proprietatea Darboux nu are discontinuitati de primaspeta.

32

Teorema 4.5.11 (Weierstrass). Fie o functie f ∶ [a, b]→ R continua. Atunciexista x1, x2 ∈ [a, b] astfel ıncat

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x ∈ [a, b].m = f(x1) se numeste valoare minima a lui f , iar M = f(x2) se numestevaloare maxima a lui f .

O astfel de functie, care are proprietatea ca

∃C > 0 astfel ıncat ∣f(x)∣ < Cse numeste marginita. Asadar, o functie continua definita pe un interval compact(ınchis si marginit), este marginita si ısi atinge marginile.

Problemele de maxim si minim apar foarte des ın aplicatii practice. Teo-rema anterioara arata existenta maximului si minimului unei functii, insa nuspune nimic despre cum putem gasi aceste valori, lucru care va fi ınsa posibilcu ajutorul instrumentelor date de calculul diferential.

Definitia 4.5.6. O functie f ∶ D → R este uniform continua pe D dacaoricare ar fi ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat oricare ar fi x′, x′′ ∈D cu ∣x′−x′′∣ < δ,sa avem ∣f(x′) − f(x′′)∣ < ε.

Orice functie uniform continua este continua.

Teorema 4.5.12. O functie continua pe o multime compacta este uniform con-tinua pe aceasta multime.

4.6 Exercitii

1. Sa se calculeze limx→a

x2 + x + 4

x3 − 2x2 + 7si limx→2

√2x + 1.

2. Daca√

5 − 2x2 ≤ f(x) ≤√

5 − x2 pentru x ∈ [−1,1], atunci sa se calculezelimx→0

f(x).

3. Sa se calculeze limx→∞

1

xsi limx→−∞

x√x2 + 1

.

4. Sa se calculeze:

limx↗0

1

x, limx↘0

1

x, limx→0

1

x2, limx→±∞(3x3 − x2 + 2), lim

x→±∞(x4 − 5x3 − x)

5. Sa se calculeze limitele:

limx→±∞

2x2 − x + 3

3x2 + 5, limx→±∞

5x + 2

2x3 − 1, limx→±∞

x3 + 1

x2 + 1

6. Sa se gaseasca asimptotele verticale, orizontale si oblice ale functiilor:

1

x2 − x,x4 + x2x4 + 1

,x2 + 1

x.

7. Sa se studieze continuitatea functiilor√x, 1

x, [x] pe domeniile lor de

definitie.

8. Sa se gaseasca aria maxima a unui dreptunghi de perimetru 200.

9. Sa se studieze semnul functiei f ∶ R→ R, f(x) = x3 − 4x.

33

4.7 Appendix

4.7.1 Functia exponentiala si functia logaritmica

Definitia 4.7.1. Se numeste functie exponentiala o functie f ∶ R → (0,∞)data prin f(x) = ax, unde a este o constanta pozitiva (a > 0).

Proprietati ale functiei exponentiale:

1. a0 = 1

2. ax+y = axay

3. a−x = 1ax

4. ax−y = ax

ay

5. (ax)y = axy

6. (ab)x = axbx

Trecand pe x la limita catre ±∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx→−∞a

x = 0 si limx→∞a

x =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx→−∞a

x =∞ si limx→∞a

x = 0.

Definitia 4.7.2. Se numeste functie logaritmica o functie f ∶ (0,∞)→ R dataprin f(x) = loga x, unde a este o constanta pozitiva diferita de 1 (a > 0, a ≠ 1).

Proprietati ale functiei logaritmice:

1. loga 1 = 0

2. loga(xy) = loga x + loga y

3. loga ( 1x) = − loga x

4. loga (xy ) = loga x − loga y

5. loga(xy) = y loga x

6. loga x =logb xlogb a

Trecand pe x la limita catre 0 sau ∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx↘0

loga x = −∞ si limx→∞ loga x =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx↘0

loga x =∞ si limx→∞ loga x = −∞.

Observatii:

(a) Pentru aceeasi valoare a constantei a > 0, a ≠ 1, functiile exponentiala silogaritmica corespunzatoare sunt inverse una alteia. Asadar, avem:

loga(ax) = x, ∀x ∈ Raloga x = x, ∀x > 0.

34

(b) Doua cazuri particulare de functii exponentiale, respectiv logaritmice pecare le vom folosi des sunt cele obtinute pentru cazul particular ın careconstanta a este numarul irational

e = limx→∞(1 + 1

x)x

= 2,71828...

si anume

f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex

g ∶ (0,∞)→ R, g(x) = loge x = lnx.

(c) Functiile exponentiala si logaritmica sunt functii continue pe domeniile lorde definitie.

4.7.2 Functiile trigonometrice si inversele lor

Fie un sistem cartezian de coordonate xOy si un cerc de raza 1 cu centrulın originea acestui sistem, pe care ıl vom numi cercul trigonometric. Con-sideram acum o a treia axa de numere reale, cu originea ın punctul de coor-donate (1,0), perpendiculara pe axa Ox si avand aceeasi orientare ca si axa Oy.Infasurand aceasta axa pe cercul trigonometric, gasim ca fiecarui numar real tde pe aceasta axa ıi corespunde un punct Pt pe cercul trigonometric. Astfel,punctele de coordonate (1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1) vor corespunde numerelorreale 0, π

2, π, 3π

2.

Definim acum functiile

cos, sin ∶ R→ [−1,1]

asociiind fiecarui numar real t valorile coordonatelor punctului corespunzator Ptde pe cercul trigonometric. Astfel, cos t si sin t sunt abscisa, respectiv ordonatapunctului corespunzator lui t de pe cercul trigonometric.

Definim acum functia

tg ∶ R ∖ {(2k + 1)π2

; k ∈ Z}→ R, tgx = sinx

cosx.

Aplicatie: Sa se scrie valorile functiilor trigonometrice sin, cos si tg core-spunzatoare urmatoarelor numere reale:

0,π

6,π

4,π

3,π

2,3π

4, π,

7π

6,3π

2,5π

3,2π

Proprietati ale functiilor trigonometrice:

(a) sin2 t + cos2 t = 1

(b) functiile sin si cos sunt periodice de perioada 2π, iar functia tg este periodicade perioada π:

cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t, tg(t + π) = tgt

(c) functia cos este para, iar functiile sin si tg sunt impare:

cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t, tg(−t) = −tgt

35

(d) cos (π2− t) = sin t si sin (π

2− t) = cos t

(e) functiile sin, cos si tg sunt continue pe domeniile lor de definitie.

Restrangand domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice definite maisus astfel ıncat ele sa devina bijective, putem defini inversele lor:

arcsin ∶ [−1,1]→ [−π2,π

2]

arccos ∶ [−1,1]→ [0, π]

arctg ∶ R→ (−π2,π

2)

36

Capitolul 5

Derivabilitate

5.1 Functii derivabile

5.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale

Definitia 5.1.1. Fie o functie f ∶ I → R, unde I este un interval si a ∈ I. Senumeste derivata a functiei f ın a, limita

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x − a

daca aceasta exista. Daca limita de mai sus este finita, spunem ca f este deriv-abila ın a.

Teorema 5.1.1. Daca functia f ∶ I → R este derivabila ın a ∈ I, atunci estecontinua ın a.

Derivata unei functii intr-un punct, daca exista, este egala cu panta tangenteila graficul functiei ın acel punct. Asadar, derivata ne da o masura a vitezei cucare creste (sau scade) functia ın vecinatatea acelui punct.

Definitia 5.1.2. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste derivata la stanga(respectiv la dreapta) limita

f ′s(a) = limx↗a

f(x) − f(a)x − a (respectiv f ′d(a) = lim

x↘af(x) − f(a)

x − a )

daca aceasta exista. Daca limita este finita, spunem ca f este derivabila lastanga (respectiv la dreapta) ın a.

Teorema 5.1.2. Fie f ∶ I → R si un punct interior a ∈ I. Atunci f are derivataın a daca si numai daca exista ambele derivate laterale ın a si sunt egale.

Definitia 5.1.3. 1. Daca f ∶ I → R are derivate laterale diferite ın a ∈ I sicel putin una dintre ele este finita, atunci punctul M(a, f(a)) se numestepunct unghiular al graficului;

2. Daca una din derivatele laterale ın a este +∞ iar cealalta −∞, atuncipunctul M(a, f(a)) se numeste punct de ıntoarcere al graficului.

37

Definitia 5.1.4. Spunem ca functia f ∶ I → R este derivabila pe I daca estederivabila ın orice a ∈ I.

Observatie 5.1.1. Daca functia f ∶ I → R este derivabila pe I, atunci f estecontinua pe I.

Definitia 5.1.5. Fie f ∶ I → R derivabila. Functia f ′ ∶ I → R care asociazafiecarui punct x ∈ I valoarea derivatei f ′(x) se numeste functia derivata a luif .

5.1.2 Derivatele functiilor elementare

Teorema 5.1.3. Urmatoarele functii sunt derivabile si au urmatoarele derivate:

1. f ∶ R→ R, f(x) = c, c ∈ R; f ′(x) = 0, ∀x ∈ R;

2. f ∶ R→ R, f(x) = x; f ′(x) = 1, ∀x ∈ R;

3. f ∶ R→ R, f(x) = xn, n ∈ N; f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R;

4. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = √x; f ′(x) = 1

2√x, ∀x ∈ (0,∞);

5. f ∶ R ∖ {0}→ R, f(x) = 1x

; f ′(x) = − 1x2 , ∀x ≠ 0;

6. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = xα, α ∈ R; f ′(x) = αxα−1, ∀x ∈ (0,∞);

7. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex; f ′(x) = ex, ∀x ∈ R;

8. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ax, a > 0; f ′(x) = ax lna, ∀x ∈ R;

9. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = lnx; f ′(x) = 1x, ∀x > 0;

10. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = loga x, a > 0, a ≠ 1; f ′(x) = 1x lna

, ∀x > 0;

11. f ∶ R→ R, f(x) = sinx; f ′(x) = cosx, ∀x ∈ R;

12. f ∶ R→ R, f(x) = cosx; f ′(x) = − sinx, ∀x ∈ R;

13. f ∶ R ∖ {(2k + 1)π2}→ R, f(x) = tgx; f ′(x) = 1

cos2 x, ∀x ≠ (2k + 1)π

2;

14. f ∶ [−1,1]→ [−π2, π2] , f(x) = arcsinx; f ′(x) = 1√

1−x2, ∀x ∈ (−1,1);

15. f ∶ [−1,1]→ [0, π] , f(x) = arccosx; f ′(x) = − 1√1−x2

, ∀x ∈ (−1,1);

16. f ∶ R→ (−π2, π2) , f(x) = arctgx; f ′(x) = 1

1+x2 , ∀x ∈ R;

5.1.3 Operatii cu functii derivabile

Teorema 5.1.4. Fie functiile f, g ∶ I → R derivabile si α ∈ R. Atunci si functiilef ± g, (αf), fg, f/g (pentru g(x) ≠ 0) sunt derivabile, iar derivatele lor suntdate de:

(f ± g)′ = f ′ ± g′

(αf)′ = αf ′

(fg)′ = f ′g + fg′

(fg)′= f

′g − fg′g2

.

38

Teorema 5.1.5. Fie functiile f ∶ I → J si g ∶ J → R derivabile. Atunci sifunctia compusa g ○ f ∶ I → R este derivabila, iar derivata ei este data prin:

(g ○ f)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f ′(x), ∀x ∈ I.

Teorema 5.1.6. Fie functia f ∶ I → J strict monotona si derivabila. Atunciexista functia inversa f−1 ∶ J → I, este derivabila, iar derivata ei este data de:

(f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)) , ∀y ∈ J.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca valorile a, b ∈ R pentru care functia

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + b, x < 0

2 sinx + 3 cosx, x ≥ 0

2. Sa se calculeze derivatele functiilor:

(a) f(x) = 33√x2 − 2√

x3

(b) f(x) = √x (5 − x − x2

3)

(c) f(x) = x5√3+x6

(4+x2)3

(d) f(x) = sin√x

1+cos√x

3. Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie ale axei Ox cu tan-gentele la graficul functiei f(x) = x+1

x−3 care formeaza unghiul 3π4

cu axaOx;

5.2 Aplicatii ale derivabilitatii

5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie

Definitia 5.2.1. Fie functia f ∶ I → R si a ∈ I. Spunem ca a este un punct deminim (respectiv maxim) local daca exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat

f(x) ≥ f(a)(respectiv f(x) ≤ f(a)), ∀x ∈ V ∩ I. (5.1)

Daca a este punct de maxim sau minim local al functiei f , atunci spunemca este punct de extrem local al lui f . Daca una dintre inegalitatile de la (5.1)are loc pentru orice x ∈ I, spunem ca este un punct de extrem global al lui f .

Teorema 5.2.1 (Fermat). Fie f ∶ I → R si a un punct de extrem local dininteriorul lui I. Daca f are derivata ın a, atunci aceasta este nula:

f ′(a) = 0.

Un punct ın care derivata functiei f se anuleaza se numeste punct stationar(sau critic) al lui f . Reciproca teoremei lui Fermat nu este ınsa valabila, ınsensul ca nu orice punct critic este si punct de extrem.

39

Teorema 5.2.2 (Rolle). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I, a < b.Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

3. f(a) = f(b),

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) ın care derivata se anuleaza:

f ′(c) = 0.

Teorema 5.2.3 (Lagrange). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)b − a = f ′(c) (5.2)

Teorema lui Lagrange este o generalizare a teoremei lui Rolle. Formula (5.2)poarta numele de formula cresterilor finite.

Observatii

� Teorema lui Lagrange ramane adevarata daca se presupune ca functia fare derivata finita sau infinita pe intervalul deschis;

� Punctul intermediar c din formula cresterilor finite depinde atat de functiaf cat si de punctele a si b;

� Daca graficul functiei f admite tangenta ın fiecare punct (cu exceptiaeventual a extremitatilor), exista cel putin un punct pe grafic (care nucoincide cu extremitatile), ın care tangenta este paralela cu coarda careuneste extremitatile.

O alta aplicatie a derivabilitatii, consecinta a teoremei lui Lagrange, estestabilirea monotoniei unei functii:

Teorema 5.2.4. Fie f ∶ I → R o functie derivabila pe I, unde I este un intervaldeschis. Atunci avem:

1. daca f ′(x) = 0, ∀x ∈ I, atunci f este constanta pe I;

2. daca f ′(x) > 0, ∀x ∈ I, atunci f este strict crescatoare pe I;

3. daca f ′(x) < 0, ∀x ∈ I, atunci f este strict descrescatoare pe I;

4. daca f este crescatoare pe I, atunci f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I;

5. daca f este descrescatoare pe I, atunci f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

Asadar studiind semnul derivatei unei functii putem trage concluzii asuprapunctelor de extrem si a monotoniei acestei functii.

40

Teorema 5.2.5. Daca f este continua pe I, derivabila pe I ∖ {x0} si dacaderivata sa f ′ are limita finita sau infinita ın punctul x0, atunci f ′(x0) existasi f ′(x0) = lim

x→x0

f ′(x0).

Teorema 5.2.6. Daca f are derivata marginita pe intervalul I, atunci f esteuniform continua pe I.

Teorema 5.2.7. Daca f este derivabila pe un interval I, atunci derivata sa f ′

are proprietatea lui Darboux pe acest interval.

Urmatoarea teorema este o generalizare a teoremei lui Lagrange:

Teorema 5.2.8 (Cauchy). Fie functiile f, g ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f si g sunt continue pe [a, b];

2. f si g sunt derivabile pe (a, b);

3. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b);

atunci g(a) ≠ g(b) si exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)g(b) − g(a) = f

′(c)g′(c) . (5.3)

Aplicatie: Folosind rezultatele anterioare referitoare la puncte de extrem simonotonie, sa se schiteze graficele functiilor:

1. f ∶ [−2,2]→ R, f(x) = x4 − 2x2 − 3

2. f ∶ R→ R, f(x) = xe−x2

3. f ∶ R ∖ {0}→ R, f(x) = x2+2x+42x

4. f ∶ R ∖ {−2,2}→ R, f(x) = x2−1x2−4

O alta aplicatie a derivabilitatii este ın calculul unor limite pentru cazurilede nedeterminare 0

0si ∞

∞ .

Teorema 5.2.9 (Regula lui l’Hospital pentru cazul 00). Fie doua functii

f, g ∶ I → R derivabile si c un punct de acumulare al lui I. Daca sunt ındepliniteconditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ I;

2. limx→c f(x) = lim

x→c g(x) = 0;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x) = L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x) = L.

41

Teorema 5.2.10 (Regula lui l’Hospital pentru cazul ∞∞ ). Fie doua functii

f, g ∶ I → R derivabile si c un punct de acumulare al lui I. Daca sunt ındepliniteconditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ I;

2. limx→c g(x) = ±∞;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x) = L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x) = L.

Observatii

� Regulile lui l’Hospital se pot aplica de mai multe ori

� Pentru a reduce volumul de calcul este indicat sa se combine regulile luil’Hospital cu limitele fundamentale si cu operatiile cu limite de functii.

� ın cazul 0 ⋅ ∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru f ⋅ g = f1g

� ın cazul ∞−∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru f − g =1g − 1

f1fg

� ın cazurile 00,∞0,1∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru fg = eg lnf

Aplicatie: Folosind regulile l’Hospital, sa se calculeze limitele:

1. limx→1

lnx

x2 − 1

2. limx→0

2 sinx − sin 2x

2ex − x2 − 2x − 2

3. limx→∞

x2

ex

4. limx↘0

xa lnx, unde a > 0

5. limx→∞(1 + sin

3

x)x

5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor

Definitia 5.2.2. Fie f ∶ I → R o functie derivabila. Daca functia derivata f ′ ∶I → R este la randul ei derivabila pe I, derivata acesteia se numeste derivataa doua a lui f si se noteaza cu f ′′.

In mod similar se pot defini derivatele de ordin 3, 4, si in general derivatade ordin n, notata prin f (n).

Aplicatie: Sa se gaseasca derivatele de ordinul n ale functiilor:

f(x) = 1

1 + x ; g(x) = sin(ax + b).

42

Multe probleme ingineresti sunt prea dificile pentru a putea fi rezolvate ex-act, motiv pentru care ın multe situatii se opteaza pentru solutii aproximativecu o toleranta acceptabila. O alta aplicatie a derivatelor este ın gasirea unoraproximari polinomiale pentru o functie ın vecinatatea unui punct dat.

Definitia 5.2.3. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste linearizare a functiei fın vecinatatea lui a, functia de gradul 1 definita prin

P1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)

Graficul linearizarii ın a este de fapt chiar tangenta la graficul functiei f ınpunctul corespunzator lui a. Asadar, P1(x) descrie comportamentul lui f(x) ınvecinatatea lui a mai bine decat orice alta functie de gradul 1.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca linearizarile functiilor√

1 + x ın jurul lui 0 si 1x

ın jurul lui12.

2. Folosind linearizarea lui√x ın jurul lui 25, sa se gaseasca o valoare aprox-

imativa a lui√

26.

Daca functia f ∶ I → R admite derivate de ordin superior ın vecinatatea luia ∈ I, atunci putem gasi aproximari mai bune pentru f ın vecinatatea lui a,folosind polinoame de grad superior (2,3,...). Astfel, aproximarea de ordinul 2

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2

descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai bine decat aproximareade ordinul 1 (linearizarea) si decat orice alta functie polinomiala de gradul 2.

Pe cazul general, daca f admite derivate de ordin n pe un interval deschiscontinandu-l pe a, atunci polinomul

Pn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) + f

′′(a)2!

(x − a)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f(n)(a)n!

(x − a)n (5.4)

are proprietatea ca derivatele lui calculate ın a sunt egale cu cele ale functiei fın a:

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f ′(a), . . . , P (n)

n (a) = f (n)(a)si ın consecinta descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai bine decatorice alt polinom de grad n.

Polinomul definit de (5.4) se numeste polinom Taylor de grad n al lui fın a.

Aplicatie: Sa se gaseasca polinomul Taylor de ordinul n corespunzatorfunctiei ex ın vecinatatea lui 0, si cu ajutorul acestuia sa se aproximeze numarule.

Teorema 5.2.11 (Formula lui Taylor). Fie f ∶ I → R o functie derivabila den + 1 ori si a ∈ I. Atunci pentru orice x ∈ I avem:

f(x) = f(a) + f′(a)1!

(x − a) + ⋅ ⋅ ⋅ + f(n)(a)n!

(x − a)n

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Pn(x)

+ f(n+1(ξ)(n + 1)! (x − a)n+1

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En(x)

unde ξ este un numar ıntre a si x.

43

Cantitatea En(x) se numeste restul lui Lagrange si ne da o masura aerorii aproximarii cu ajutorul polinomului Taylor de ordinul n:

En(x) = f(x) − Pn(x)

Teorema 5.2.12. Fie f ∶ I → R o functie derivabila de n ori, n ≥ 2 ıntr-una ∈ I, astfel ıncat

f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, . . . , f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) ≠ 0.

Atunci:

1. Daca n este par, atunci a este punct de extrem al lui f ; daca f (n)(a) > 0atunci a este punct de minim, iar daca f (n)(a) < 0, atunci a este punctde maxim.

2. Daca n este impar, iar a este punct interior intervalului I, atunci a nueste punct de extrem al functiei f .

Definitia 5.2.4. 1. Functia f se numeste convexa pe intervalul I daca tan-genta dusa ın orice punct al graficului se afla sub grafic.

2. Functia f se numeste concava pe intervalul I daca tangenta dusa ın oricepunct al graficului se afla deasupra graficului.

Teorema 5.2.13. Fie f ∶ I → R o functie de doua ori derivabila pe intervalulI.

1. Daca f ′′(x) ≥ 0,∀x ∈ I, atunci functia f este convexa pe I.

2. Daca f ′′(x) ≤ 0,∀x ∈ I, atunci functia f este concava pe I.

Definitia 5.2.5. Se spune ca punctul interior x0 ∈ I este punct de inflexiuneal functiei f daca functia are derivata (finita sau infinita) ın punctul x0, si dacafunctia este convexa de o parte a lui x0 si concava de cealalta parte a lui x0.

Teorema 5.2.14. Fie f ∶ I → R si x0 ∈ I. Daca f este de doua ori derivabilaıntr-o vecinatate V a lui x0 si daca exista α,β ∈ V cu x0 ∈ (α,β) astfel ıncat :

(a) f ′′(x0) = 0

(b) f ′′ < 0 pe (α,x0) si f ′′ > 0 pe (x0, β) sau invers,

atunci x0 este punct de inflexiune pentru f .

5.3 Diferentiale

Definitia 5.3.1. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul x0 ∈ I,daca exista un numar finit A ∈ R si o functie α definita pe I, continua ın x0 sinula ın x0, astfel ıncat pentru orice x ∈ I sa avem

f(x) − f(x0) = A(x − x0) + α(x)(x − x0).

Daca functia este diferentiabila ın fiecare punct din I, spunem ca este diferentiabilape I.

44

Teorema 5.3.1. Functia f este diferentiabila ıntr-un punct x0 ∈ I daca sinumai daca este derivabila ın x0.

Definitia 5.3.2. Fie f ∶ I → R derivabila ın x0 ∈ I. Functia

df(x0) ∶ R→ R, df(x0)(h) = f ′(x0)h

se numeste diferentiala functiei f ın x0.

Diferentiala df(x0) aproximeaza diferenta f(x0+h)−f(x0) pentru h suficientde mic.

Aplicatie: Sa se calculeze diferentiala functiei f(x) =√x2 + 1 + ln

√x2 + 1

ın punctul x = 1.

5.4 Exercitii

1. (a) Sa se studieze derivabilitatea urmatoarei functii ın punctul indicat:

f ∶ R→ R, f(x) = 3√x − 1, x0 = 1;

R: f ′s(1) = f ′d(1) =∞(b) Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie ale axei Ox cu

tangentele la graficul functiei f(x) = x+1x−3 , care formeaza unghiul 3π

4cu axa Ox.R: Rezolvand ecuatia f ′(x) = tg ( 3π

4) obtinem x1 = 1 si x2 = 5,

corespunzatoare tangentelor y = −x si y = −x + 8, care intersecteazaaxa Ox ın punctele de abscise 0 si 8.

2. (a) Sa se stabileasca daca urmatoarele functii au derivate si daca suntderivabile ın punctele indicate:

f ∶ R→ R, f(x) = ∣x2 − 5x + 6∣, x0 = 1, x0 = 2, x0 = 3;

g ∶ R→ R, g(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ex − 1, x < 0

ln(1 + x), x ≥ 0, x0 = 0.

R: f ′(1) = −3, f ′s(2) = f ′s(3) = −1, f ′d(2) = f ′d(3) = 1,g′s(0) = g′d(0) = 1.

(b) Sa se arate ca A(1,0) si B(−1,0) sunt puncte de ıntoarcere pentrugraficul functiei

f ∶ R→ R, f(x) =√

∣x2 − 1∣R: f ′s(−1) = f ′s(1) = −∞, f ′d(−1) = f ′d(1) = +∞

(c) Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x3 − x2, x ∈ Q0, x ∈ R ∖Q

R: f este continua ın 0 si 1, si derivabila doar ın 0.

45

3. (a) Fie functiile g, h ∶ R→ R, g(x) = x2+3x+2, h(x) = x2. Sa se calculezederivata functiei f = h ○ g.R: f ′(x) = 2(x2 + 3x + 2)(2x + 3).

(b) Fie functia f ∶ R→ R, f(x) = x3 + 2x2 + 4x + 4. Sa se arate ca f estebijectiva, (f−1)′(4) = 1

4si ca (f−1)′(y) > 0, ∀y ∈ R.

R: f ′(x) = 3x2+4x+4 > 0 ∀x ∈ R, deci f este strict crescatoare. Cumlimx→±∞ f(x) = ±∞, rezulta ca f este bijectiva.(f−1)′(4) = (f−1)′(f(0)) = 1

f ′(0) =14

∀y ∈ R, ∃x ∈ R astfel ıncat f(x) = y, de unde (f−1)′(y) = 1f ′(x) > 0.

4. (a) Daca a, b, c > 0, ax + bx + cx ≥ 3, ∀x ∈ R, atunci abc = 1.R: x = 0 este punct de minim al functiei f(x) = ax + bx + cx;

(b) Daca ai > 0, i = 1, n si ∑ni=1 axi ≥ ∑ni=1 ai, ∀x ∈ R, atunci ∏ni=1 aaii = 1.R: x = 1 este punct de minim al functiei f(x) = ∑ni=1 axi .

5. (a) Sa se determine abscisa unui punct c ın care tangenta la graficul

functiei f ∶ R → R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x+22, x ≤ 0√

x + 1, x > 0sa fie paralela la coarda

care uneste punctele de abscise x1 = −4, x2 = 3.

R: f este derivabila pe R, cu f ′(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

12, x ≤ 01

2√x+1 , x > 0

. Se rezolva

ecuatia f ′(c) = f(x2)−f(x1)x2−x1

si se gaseste c = 1336

.

(b) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat functiei

f ∶ [−1,1]→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ex, x ∈ [−1,0]ax + b, x ∈ (0,1]

sa i se poata aplica teorema lui Lagrange si sa se aplice efectiv teo-rema.R: Punand conditiile de continuitate si derivabilitate ın 0 obtinema = b = 1, iar apoi rezolvand ecuatia f ′(c) = f(1)−f(−1)

2obtinem

c = ln (1 − 12e

).

46

Capitolul 6

Siruri si serii de functii

6.1 Siruri de functii. Convergenta

Definitia 6.1.1. O familie de functii (fn)n∈N definite pe o aceeasi multime Ase numeste sir de functii si se noteaza (fn).

Definitia 6.1.2. Un punct a ∈ A se numeste punct de convergenta al siruluide functii (fn) daca sirul numeric (fn(a)) este convergent. Multimea punctelorde convergenta ale sirului de functii se numeste multimea de convergenta asirului.

Fie (fn) un sir de functii definite pe A si fie B multimea de convergenta asirului de functii.

Definitia 6.1.3. Functia f(x) definita prin f(x) = limn→∞ fn(x),∀x ∈ B se

numeste functie limita pe multimea B a sirului de functii (fn).

Definitia 6.1.4. Spunem ca sirul de functii (fn) este simplu convergent (saupunctual convergent) pe A catre f daca pentru orice x ∈ A, sirul numeric(fn(x)) este convergent catre numarul f(x):

∀x ∈ A, ∀ε > 0, ∃N(ε, x) astfel ıncat ∣fn(x) − f(x)∣ < ε ∀n ≥ N(ε, x).

Scriem fnsÐ→ f .

Definitia 6.1.5. Spunem ca sirul de functii (fn) este uniform convergentpe A catre f daca:

∀ε > 0, ∃N(ε) astfel ıncat ∣fn(x) − f(x)∣ < ε ∀n ≥ N(ε), ∀x ∈ A.

Scriem fnuÐ→ f .

Teorema 6.1.1 (Criteriul de convergenta uniforma a lui Cauchy). Sirulde functii (fn) este uniform convergent catre o functie f daca si numai daca

∀ε > 0, ∃N(ε) astfel ıncat ∣fn(x) − fm(x)∣ < ε, ∀n,m ≥ N(ε), ∀x ∈ A.

47

Teorema 6.1.2 (Criteriul majorarii). Fie (fn) si (ϕn) doua siruri de functiidefinite pe A si f o functie definita pe A. Daca avem

∣fn(x) − f(x)∣ ≤ ϕn(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

si daca ϕnuÐ→ 0, atunci fn

uÐ→ f .

Corolar 6.1.1. Fie (fn) un sir de functii definite pe o multime A si f o functiedefinita pe A. Daca exista un sir (an) de numere pozitive convergent catre 0astfel ıncat

∣fn(x) − f(x)∣ ≤ an, ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

atunci fnuÐ→ f .

Teorema 6.1.3. Fie (fn) un sir de functii uniform convergent pe multimeaA catre functia f . Daca toate functiile fn sunt continue ıntr-un punct a ∈ A,atunci si functia limita f este continua ın punctul a.

Corolar 6.1.2. Un sir (fn) de functii continue pe A, uniform convergent peA, are limita o functie continua pe A.

Teorema 6.1.4. Fie (fn) un sir de functii definite si derivabile pe un intervalI, uniform convergent catre f pe I. Daca sirul derivatelor (f ′n) este uniformconvergent catre o functie g pe I, atunci f este derivabila pe I si f ′ = g.

Teorema 6.1.5. Fie I un interval marginit si (fn) un sir de functii derivabilepe I. Daca:

1. sirul (fn) este convergent ıntr-un punct x0 ∈ I

2. sirul derivatelor (f ′n) este uniform convergent pe I catre o functie g

atunci

(i) sirul (fn) este uniform convergent pe I catre o functie f

(ii) limita f este derivabila si f ′ = g

6.2 Serii de functii. Convergenta

Definitia 6.2.1. Suma infinita f1 + f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + fn + . . . unde (fn) este un sirde functii definite pe aceeasi multime A, se numeste serie de functii si se

noteaza∞∑n=1

fn sau ∑ fn. Multimea punctelor a ∈ A pentru care seria ∑ fn este

convergenta se numeste multime de convergenta a seriei de functii.

Observatie: Seria ∑ fn este convergenta ın punctul a ∈ A daca si numai dacasirul de functii al sumelor partiale Sn = f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + fn este convergent ın a.

Definitia 6.2.2. Fie (fn) un sir de functii definite pe aceeasi multime A si fo functie definita pe o submultime B ⊂ A.

1. Spunem ca seria de functii ∑ fn este simplu convergenta pe B catrefunctia f daca sirul sumelor partiale (Sn) este simplu convergent catrefunctia f pentru orice x ∈ B

48

2. Spunem ca seria de functii ∑ fn este uniform convergenta pe B catrefunctia f daca sirul sumelor partiale (Sn) este uniform convergent catrefunctia f pe multimea B

Functia f se numeste suma seriei pe multimea B.

Teorema 6.2.1 (Criteriul lui Cauchy de convergenta uniforma). O seriede functii ∑ fn definite pe A este uniform convergenta pe A daca si numai dacapentru orice ε > 0, exista N(ε) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N(ε) si p ≥ 1 saavem

∣fn+1(x) + fn+2(x) + ⋅ ⋅ ⋅ + fn+p(x)∣ < ε, ∀x ∈ A

Teorema 6.2.2. Fie ∑ fn si ∑ϕn doua serii de functii definite pe A. Dacaavem

∣fn(x)∣ ≤ ϕn(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ Aiar seria ∑ϕn este uniform convergenta pe A, atunci si seria ∑ fn este uniformconvergenta pe A.

Corolar 6.2.1. Fie ∑ fn o serie de functii definite pe A si ∑an o serie con-vergenta de numere pozitive. Daca avem

∣fn(x)∣ ≤ an, ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

atunci seria ∑ fn este uniform convergenta pe A.

Teorema 6.2.3 (Criteriul lui Dirichlet). Fie ∑ fn o serie de functii definitepe A si sirul de functii (αn(x)). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. ∑ fn are sirul sumelor partiale (Sn) egal marginite pe A:

∃M > 0 astfel ıncat ∣Sn(x)∣ ≤M, ∀x ∈ A

2. (αn(x)) este monoton descrescator si uniform convergent la functia nulape A

atunci seria de functii ∑αnfn este uniform convergenta pe A.

Teorema 6.2.4 (Criteriul lui Abel). Fie ∑ fn o serie de functii definite peA si sirul de functii (αn(x)). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. ∑ fn este uniform convergenta pe A

2. (αn(x)) este monoton descrescator si egal marginit pe A

atunci seria de functii ∑αnfn este uniform convergenta pe A.

Teorema 6.2.5. Fie ∑ fn o serie de functii uniform convergenta pe multimeaA catre functia f . Daca toate functiile fn sunt continue ıntr-un punct a ∈ A,atunci si functia suma f este continua ın punctul a.

Corolar 6.2.2. O serie ∑ fn de functii continue pe A, uniform convergenta peA, are suma o functie continua pe A.

Teorema 6.2.6. Fie ∑ fn o serie de functii derivabile pe un interval I, uniformconvergenta catre f pe I. Daca seria derivatelor ∑ f ′n este uniform convergentacatre o functie g pe I, atunci f este derivabila pe I si f ′ = g.

49

Teorema 6.2.7. Fie I un interval marginit si ∑ fn o serie de functii derivabilepe I. Daca:

1. seria ∑ fn este convergenta ıntr-un punct x0 ∈ I

2. seria derivatelor ∑ f ′n este uniform convergenta pe I catre o functie g

atunci

(i) seria ∑ fn este uniform convergenta pe I catre o functie f

(ii) limita f este derivabila si f ′ = g

Teorema 6.2.8. Daca A este multimea de convergenta a seriei ∑ fn si f sumaacestei serii, iar B este multimea de convergenta a seriei ∑ gn si g suma sa,atunci:

1. Seria suma ∑(fn + gn) este convergenta pe A ∩B si are suma f + g

2. Seria ∑αfn este convergenta pe A si are suma αf .

6.3 Serii de puteri

Definitia 6.3.1. 1. Se numeste serie de puteri o serie de functii de forma

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + anxn + . . .

pentru x ∈ R, iar a1, a2, . . . , an, . . . constante reale. Termenii sirului (an)n∈Nse numesc coeficientii seriei de puteri.

2. Se numeste serie de puteri centrata ın a o serie de forma

∞∑n=0

an(x − a)n.

Un exemplu de serie de puteri este seria geometrica

∞∑n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .

care este convergenta pentru orice x ∈ (−1,1), avand suma 11−x .

Daca ıntr-o serie de puteri centrata ın a facem schimbarea de variabila x−a =y obtinem o serie de forma ∑anyn. De aceea ne vom ocupa numai de serii deforma ∑anxn.

Teorema 6.3.1 (Teorema lui Abel). Fie seria de puteri∞∑n=0

anxn. Atunci

exista 0 ≤ R ≤ +∞ astfel ıncat :

1. seria este absolut convergenta pe intervalul (−R,R);

2. pentru orice x cu ∣x∣ > R, seria este divergenta;

3. pentru orice 0 < r < R, seria este uniform convergenta pe intervalul [−r, r]

50

Numarul R se numeste raza de convergenta a seriei, iar intervalul (−R,R)se numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.

Pentru o serie de puteri ∑∞n=0 an(x−a)n cu raza de convergenta R, intervalulde convergenta este (a −R,a +R).

Teorema 6.3.2 (Cauchy-Hadamard). Raza de convergenta a unei serii de

puteri∞∑n=0

anxn este R = 1

L, unde

L = limn→∞ ∣an+1

an∣ sau L = lim

n→∞n√

∣an∣.

Daca L =∞ atunci R = 0, iar daca L = 0 atunci R =∞.

Definitia 6.3.2. Fie f ∶ I → R si a ∈ I astfel ıncat f are derivate de orice ordinın a. Atunci seria de puteri

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(x − a)n = f(a) + f′(a)1!

(x − a) + f′′(a)2!

(x − a)2 + . . .

se numeste seria Taylor asociata functiei f ın punctul a. Daca a = 0, atunciseria Taylor corespunzatoare

∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn

se numeste seria MacLaurin asociata lui f .

Seria are o raza de convergenta 0 ≤ R ≤ +∞, o multime de convergenta Acare contine cel putin punctul a, si un interval de convergenta (a−R,a+R) ⊂ A.

Sumele partiale Pn(x) ale seriei Taylor sunt chiar polinoamele Taylor deordinul n corespunzatoare functiei f ∶ I → R ın vecinatatea lui a ∈ I. Atunciconform formulei lui Taylor avem:

f(x) = Pn(x) +En(x), ∀x ∈ I

unde En(x) este restul lui Lagrange.

Teorema 6.3.3. Fie f ∶ I → R si a ∈ I astfel ıncat f are derivate de oriceordin ın a. Atunci seria Taylor a functiei f ın punctul a este convergenta ıntr-un punct x ∈ A ∩ I catre valoarea f(x) daca si numai daca valorile ın x aleresturilor En(x) din formula lui Taylor formeaza un sir convergent catre 0.

Demonstratie. Avem:

f(x) = Pn(x) +En(x), ∀x ∈ I, ∀n ∈ N

de unde obtinem prin trecere la limita:

f(x) = limn→∞Pn(x) + lim

n→∞En(x), ∀x ∈ A ∩ I

asadarlimn→∞Pn(x) = f(x) ⇔ lim

n→∞En(x) = 0, ∀x ∈ A ∩ I

51

6.4 Exercitii

1. Sa se afle multimea de convergenta a seriilor:

(a) ∑∞n=1 (n+1n )n2

xn

(b) ∑∞n=12⋅4⋅6...(2n)

3⋅5⋅7...(2n+1)xn

2. Sa se dezvolte in serie de puteri functiile:

(a) 11+x

(b) 11−x

(c) 11+x2

(d) arctgx

3. Sa se dezvolte ın serie de puteri functia (1 + x)α, α ∈ R ∖N.

4. Sa se dezvolte ın serie MacLaurin functiile:

(a) f ∶ R→ R, f(x) = ex;R: ∑∞n=0 1

n!xn

(b) f ∶ R→ [−1,1], f(x) = sinx;

R: ∑∞n=0(−1)n(2n+1)!x

2n+1

(c) f ∶ R→ [−1,1], f(x) = cosx;

R: ∑∞n=0(−1)n(2n)! x

2n

(d) f ∶ (−1,∞)→ R, f(x) = ln(1 + x).R: ∑∞n=1

(−1)n+1n

xn

5. Sa se dezvolte ın serie de puteri, determinand si multimea de convergenta,urmatoarele functii:

(a)√x + a2, a ≠ 0;

R: f(x) = ∣a∣ + x2∣a∣ +∑

∞n=2(−1)n−1 1⋅2...(2n−3)

2nn!∣a∣2n−1 xn, x ∈ [−a2, a2]

(b) 11−x+x2 ;

R: f(x) = ∑∞n=0(−1)n(x3n+x3n+1) = 2√3∑∞n=0 sin (n+1)π

3xn, x ∈ (−1,1)

(c) cos2 x;

R: f(x) = 12+∑∞n=0(−1)n 22n−1

(2n)! x2n, x ∈ R

(d) 12−5x6−5x−x2 .

R: f(x) = ∑∞n=0 [1 + (− 16)n]xn

6. Sa se determine suma urmatoarelor serii de puteri:

(a) ∑∞n=0 x4n

(4n)! ;R: 1

2[ 12(ex + e−x) + cosx]

(b) ∑∞n=0(n + 1)xn.R: 1

(1−x)2 , x ∈ (−1,1)

7. Sa se calculeze suma urmatoarelor serii numerice:

52

(a) ∑∞n=0 12nn!

;R:

√e

(b) ∑∞n=1 2n−12n

.R: 3

8. Folosind dezvoltarea ın serie MacLaurin, sa se calculeze

limx→0

1

x4(cosx − e −x

2

2 .)

R: − 112

53

Capitolul 7

Functii de mai multevariabile

7.1 Spatiul Rn

Definitia 7.1.1. Multimea Rn = R ×R × ⋅ ⋅ ⋅ ×R´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

n ori

se numeste spatiul cu n di-

mensiuni iar elementele sale x = (x1, x2, . . . , xn) se numesc puncte. Valorilex1, x2, . . . , xn se numesc coordonatele punctului x.

Multimea Rn este un spatiu vectorial fata de adunarea

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)

si ınmultirea cu scalari :

λa = (λa1, λa2, . . . , λan)

Punctele a ∈ Rn se mai numesc si vectori, iar coordonatele ai se numesc compo-nentele vectorului a.

Vectorii

e1 = (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0,0,0, . . . ,1)

formeaza baza canonica ın Rn, asadar pentru a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn avem

a =n

∑i=1aiei

In spatiul R3, vectorii bazei canonice e1, e2, e3 se pot identifica cu versorii

axelor Ox, Oy, Oz:Ð→i ,Ð→j ,Ð→k iar pentru a ∈ R3 avem

Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k

.

Definitia 7.1.2. Fie vectorii a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn. Pro-dusul scalar al vectorilor a si b este numarul

⟨a, b⟩ = a1b1 + a2b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + anbn

54

Proprietati:

1. ⟨a, a⟩ = a21 + a22 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2n ≥ 0 si ⟨a, a⟩ = 0⇔ a = 0

2. ⟨a, b⟩ = ⟨b, a⟩ (comutativitate)

3. ⟨a, b + c⟩ = ⟨a, b⟩ + ⟨a, c⟩, ⟨a + b, c⟩ = ⟨a, c⟩ + ⟨b, c⟩ (distributivitate)

4. λ⟨a, b⟩ = ⟨λa, b⟩ = ⟨a, λb⟩ (omogenitate)

5. ⟨a, b⟩2 ≤ ⟨a, a⟩ ⋅ ⟨b, b⟩ (inegalitatea Cauchy-Schwarz)

Vectorii bazei canonice e1, e2, . . . , en verifica:

⟨ei, ej⟩ = δij =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1, i = j0, i ≠ j

(simbolul lui Kronecker)

Definitia 7.1.3. Fie vectorul a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn. Se numeste normavectorului a numarul real pozitiv

∥a∥ =√

⟨a, a⟩ =√a21 + a22 + ⋅ ⋅ ⋅ + α2

n

Proprietati:

1. ∥a∥ ≥ 0, ∥a∥ = 0⇔ a = 0

2. ∥λa∥ = ∣λ∣ ⋅ ∥a∥

3. ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥

Definitia 7.1.4. Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma cu proprietatilede mai sus se numeste spatiu vectorial normat.

Definitia 7.1.5. Fie punctele a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn. Senumeste distanta dintre punctele a si b numarul real pozitiv

d(a, b) = ∥a − b∥ =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + (an − bn)2

Proprietati:

1. d(a, b) ≥ 0, d(a, b) = 0⇔ a = b

2. d(a, b) = d(b, a)

3. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)

Definitia 7.1.6. O functie reala care asociaza unei perechi de puncte a, b numarulreal d(a, b) cu proprietatile de mai sus se numeste metrica sau distanta. Unspatiu pe care s-a definit o metrica se numeste spatiu metric.

Definitia 7.1.7. Se numeste sfera deschisa cu centrul ın a si de raza rmultimea

Sr(a) = {x ∈ Rn∣∥x − a∥ < r}formata din punctele x a caror distanta pana la punctul a este mai mica decatr.

55

Definitia 7.1.8. Se numeste vecinatate a unui punct a ∈ Rn orice multimecare include o sfera deschisa Sr(a) cu centrul ın a.

Fie A o submultime a lui Rn si a ∈ Rn.

Definitia 7.1.9. Spunem ca a este punct interior al multimii A daca existao vecinatate V a punctului a continuta ın A. Multimea punctelor interioare senumeste interiorul multimii si se noteaza cu IntA sau A. O multime formatanumai din puncte interioare se numeste multime deschisa.

Definitia 7.1.10. Spunem ca a este punct aderent al multimii A daca pentruorice vecinatate V a punctului a avem V ∩A ≠ ∅. Multimea punctelor aderentese numeste ınchiderea multimii si se noteaza cu A. Se numeste multimeınchisa o multime care ısi contine toate punctele aderente, adica este egala cuınchiderea sa.

Definitia 7.1.11. Spunem ca a este punct frontiera al multimii A daca pen-tru orice vecinatate V a punctului a contine atat puncte ale lui A, cat si puncteale complementarei CA, adica este punct aderent atat pentru A cat si pentrucomplementara CA. Multimea tuturor punctelor frontiera ale lui A se numestefrontiera lui A si se noteaza cu FrA.

Definitia 7.1.12. Spunem ca a este punct de acumulare al multimii A dacaorice vecinatate V a punctului a contine cel putin un punct x ∈ A, x ≠ a.Punctele din A care nu sunt puncte de acumulare se numesc puncte izolate.

O multime A este ınchisa daca si numai daca ısi contine toate punctele deacumulare.

Definitia 7.1.13. Spunem ca o multime A este marginita daca exista o sferaSr(0) cu centrul ın origine care include multimea A, adica ∥x∥ ≤ r, ∀x ∈ A. Omultime ınchisa si marginita se numeste multime compacta.

Teorema 7.1.1 (Weierstrass-Bolzano). Orice multime marginita si infinitaare cel putin un punct de acumulare.

Teorema 7.1.2 (Borel-Lebesgue). Din orice acoperire cu multimi deschisea unei multimi compacte A ⊂ Rn se poate extrage o acoperire finita a lui A.

Definitia 7.1.14. O multime A ⊂ Rn se numeste conexa daca oricum amdescompune-o ın doua submultimi A1 si A2 disjuncte si nevide, oricare dinmultimile A1 si A2 are cel putin un punct de acumulare ın cealalta. O multimedeschisa si conexa se numeste domeniu.

Intr-un domeniu D, oricare ar fi punctele a, b ∈ D, exista o linie poligonalaL ⊂D care uneste punctele a si b.

7.2 Siruri de puncte ın spatiul Rn

Definitia 7.2.1. Se numeste sir de puncte din spatiul Rn o functie f ∶ N →Rn. Se noteaza (ap)p∈N sau (ap).

56

Definitia 7.2.2. Un punct a ∈ Rn se numeste limita sirului de puncte (ap)din Rn daca ın afara oricarei vecinatati a lui a se afla cel mult un numar finitde termeni ai sirului. Se scrie lim

p→∞ap = a. Un sir de puncte care are limita se

numeste convergent.

Teorema 7.2.1. Un punct a ∈ Rn este limita unui sir (ap) de puncte din Rndaca pentru orice ε > 0, exista un numar Nε astfel ıncat pentru orice p > Nε saavem ∥ap − a∥ < ε.

Proprietati ale sirurilor convergente

1. Un sir convergent are o singura limita.

2. Orice sir convergent este marginit.

3. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine un sirconvergent catre aceeasi limita.

4. Daca la un sir convergent se adauga sau se scoate un numar finit de ter-meni, sirul obtinut este convergent si are aceeasi limita.

Teorema 7.2.2. Un sir de puncte (ap) din Rn este convergent cu limita a ∈ Rndaca si numai daca pentru fiecare i = 1,2, . . . , n sirul coordonatelor (api) arelimita ai.

Definitia 7.2.3. Un sir de puncte (ap) se numeste sir fundamental dacapentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi m ≥ Nε si p ≥ Nε saavem ∥am − ap∥ < ε.Teorema 7.2.3 (Criteriul general al lui Cauchy). Un sir (ap) de punctedin Rn este convergent daca si numai daca este fundamental.

Definitia 7.2.4. 1. Un spatiu metric ın care fiecare sir fundamental esteconvergent se numeste spatiu complet.

2. Un spatiu normat complet se numeste spatiu Banach.

3. Un spatiu Banach ın care norma se poate deduce dintr-un produs scalarse numeste spatiu Hilbert

4. Un spatiu Hilbert cu n dimensiuni se numeste euclidian n-dimensional

Teorema 7.2.4 (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit de puncte din Rncontine cel putin un subsir convergent.

7.3 Functii reale si functii vectoriale pe Rn

Definitia 7.3.1. O functie f ∶ E ⊂ Rn → Rm se numeste functie vectoriala devariabila vectoriala sau functie vectoriala de n variabile reale. Valorilefunctiei se scriu astfel:

f(x) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))

Functiile fi(x), i = 1,2, . . . ,m se numesc componentele reale ale functiei vec-toriale f .

In cazul m = 1, functia se numeste functie reala de variabila vectorialasau functie reala de n variabile reale

57

Definitia 7.3.2. 1. Fie functia f ∶ I ⊂ R→ R2, f(t) = (f1(t), f2(t)). Multimeapunctelor din plan (f1(t), f2(t)), t ∈ I ımpreuna cu o reprezentare para-

metrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = f1(t)y = f2(t)

, t ∈ I se numeste curba plana. Se mai scrie

Ð→f (t) = f1(t)

Ð→i + f2(t)

Ð→j , t ∈ I.

2. Fie functia f ∶ I ⊂ R→ R3, f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)). Multimea punctelordin spatiu (f1(t), f2(t), f3(t)), t ∈ I ımpreuna cu o reprezentare para-

metrica

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)

, t ∈ I se numeste curba ın spatiu sau curba

stramba. Se mai scrieÐ→f (t) = f1(t)

Ð→i + f2(t)

Ð→j + f3(t)

Ð→k , t ∈ I.

3. Fie functia f ∶ I ⊂ R2 → R3, f(u, v) = (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)). Multimeapunctelor din spatiu (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)), (u, v) ∈ I ımpreuna cu o

reprezentare parametrica

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f1(u, v)y = f2(u, v)z = f3(u, v)

, (u, v) ∈ I se numeste suprafata.

Se mai scrieÐ→f (u, v) = f1(u, v)

Ð→i + f2(u, v)

Ð→j + f3(u, v)

Ð→k , (u, v) ∈ I.

Mai multe parametrizari parametrice diferite pot defini aceeasi curba (planasau ın spatiu) sau aceeasi suprafata.

Definitia 7.3.3. Functia f ∶ I ⊂ R3 → J ⊂ R3, f(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z))se numeste camp vectorial definit pe I. Se mai scrie

Ð→f (Ð→r ) = f1(x, y, z)

Ð→i +

f2(x, y, z)Ð→j +f3(x, y, z)

Ð→k , unde Ð→r = xÐ→i +yÐ→j +zÐ→k este vectorul de pozitie al

punctului M(x, y, z). Se mai spune ca ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

X = f1(x, y, z)Y = f2(x, y, z)Z = f3(x, y, z)

, (x, y, z) ∈ I

realizeaza o transformare punctuala ın spatiu.

Analog se defineste campul vectorial si transformarea punctuala ın plan.

Operatii cu functii vectorialeFie f, g ∶ E ⊂ Rn → Rm si α ∈ R.

1. Functiile f + g,αf ∶ E → Rm definite astfel:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α ⋅ f(x)

2. Produsul functiei f cu o functie reala ϕ ∶ E → R este o functie

ϕf ∶ E → Rm, (ϕf)(x) = ϕ(x)f(x)

3. Functia reala ⟨f, g⟩ ∶ E → R definita prin

⟨f, g⟩(x) = ⟨f(x), g(x)⟩ =m

∑i=1fi(x)gi(x)

58

4. Functia ∥f∥ ∶ R→ R+ definita prin

∥f∥(x) = ∥f(x)∥

Pentru doua functii f ∶ E ⊂ Rn → F ⊂ Rm si g ∶ F ⊂ Rm → Rp, putem definifunctia compusa g ○ f ∶ E → Rp, data prin:

g(f(x)) = (g1(f(x)), g2(f(x)), . . . , gp(f(x)))= (g1(f1(x), . . . , fm(x)), . . . , gp(f1(x), . . . , fm(x)))

Definitia 7.3.4. Spunem ca functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm este marginita dacamultimea valorilor

f(E) = {f(x)∣x ∈ E} ⊂ Rm

este marginita.

Functia f ∶ E → Rm este marginita daca si numai daca exista M > 0 astfelıncat

∥f(x)∥ ≤M, ∀x ∈ E.Functia vectoriala f este marginita daca si numai daca toate componen-

tele sale reale f1, f2, . . . , fm sunt marginite. Astfel studiul functiilor vectorialemarginite se reduce la studiul functiilor reale marginite.

7.4 Limite si continuitate pentru functii de maimulte variabile

Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si a un punct de acumulare pentru E.

Definitia 7.4.1. Spunem ca l ∈ Rm este limita functiei f ın punctul a dacapentru orice vecinatate U a lui l ın Rm exista o vecinatate V a lui a ın Rn astfelıncat oricare ar fi x ∈ V ∩E,x ≠ a sa avem f(x) ∈ U . Se scrie lim

x→a f(x) = l.

Teorema 7.4.1. 1. limx→a f(x) = l daca si numai daca

∀xk → a, xk ∈ E,xk ≠ a, avem f(xk)→ l

2. limx→a f(x) = l daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista δε > 0 astfel

ıncat oricare ar fi x ≠ a din E cu ∥x − a∥ < δε, sa avem ∥f(x) − l∥ < ε.

Toate proprietatile limitelor de functii reale, care nu implica relatia de ordine,se pastreaza si pentru functii vectoriale.

Teorema 7.4.2. Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si f1, f2, . . . , fm ∶ E → Rmcomponentele sale reale. Atunci lim

x→a f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) daca si numai

daca limx→a fi(x) = li, i = 1,2, . . . ,m.

Definitia 7.4.2. Limitele functiei f(x1, x2, . . . , xn) cand xi tind succesiv la aise numesc limite iterate:

li1i2...in = limxi1→ai1

limxi2→ai2

. . . limxin→ain

f(x1, x2, . . . , xn)

unde i1, i2, . . . , in reprezinta o permutare a numerelor 1,2, . . . , n.

59

Teorema 7.4.3. Daca exista limita functiei ıntr-un punct si una din limiteleiterate, atunci aceste limite sunt egale.

Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si un punct a ∈ E.

Definitia 7.4.3. Spunem ca functia f este continua ın punctul a daca pentruorice vecinatate U a lui f(a) exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat oricarear fi x ∈ V ∩E sa avem f(x) ∈ U .

Asadar functia f este continua ın punctul a daca si numai daca limx→a f(x) =

f(a). Alte definitii echivalente sunt:

Teorema 7.4.4. 1. Functia f este continua ın punctul a daca si numai daca

∀xk → a, xk ∈ E,xk ≠ a, avem f(xk)→ f(a)

2. Functia f este continua ın punctul a daca si numai daca pentru oriceε > 0, exista δε > 0 astfel ıncat oricare ar fi x ∈ E cu ∥x − a∥ < δε, sa avem∥f(x) − f(a)∥ < ε.

Proprietatile functiilor reale continue, care nu implica relatia de ordine,raman valabile si pentru functii vectoriale continue.

Teorema 7.4.5. Functia vectoriala f ∶ E ⊂ Rn → Rm este continua ıntr-unpunct a ∈ E daca si numai daca fiecare din componentele sale realef1, f2, . . . , fm ∶ E → R este continua ın a.

Definitia 7.4.4. Fie o functie vectoriala f ∶ E ⊂ Rn → Rm si a = (a1, a2, . . . , an)un punct din E. Se numeste functie partiala de o singura variabila o functiefi ∶ Ei ⊂ R → Rm, fi(xi) = f(a1, a2, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) unde multimeaEi = {xi ∈ R∣(a1, a2, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) ∈ E}.

Definitia 7.4.5. Spunem ca functia f este continua partial ın raport cuvariabila xi ın punctul a = (a1, a2, . . . , an) daca functia partiala fi este continuaın punctul ai ∈ Ei.

Teorema 7.4.6. Daca functia f este continua ıntr-un punct a, atunci estecontinua ın acest punct ın raport cu fiecare variabila.

Definitia 7.4.6. Functia f este uniform continua pe E daca pentru oricenumar ε > 0 exista δε > 0 astfel ıncat oricare ar fi punctele x′, x′′ ∈ E cu ∥x′ −x′′∥ < δε, sa avem ∥f(x′) − f(x′′)∥ < ε.

Observatii:

1. O functie vectoriala este uniform continua daca si numai daca toate com-ponentele sale reale sunt uniform continue;

2. Daca o functie este uniform continua, atunci este uniform continua ınraport cu fiecare variabila, pentru valori fixate ale celorlalte variabile.

Proprietati:

1. O functie vectoriala continua pe o multime compacta este uniform con-tinua

60

2. O functie vectoriala continua pe o multime compacta este marginita

3. O functie vectoriala continua transforma o multime compacta tot ıntr-omultime compacta

4. O functie reala de n variabile, continua pe o multime compacta ısi atingemarginile pe aceasta multime

5. Daca f este o functie vectoriala continua pe o multime compacta E, atunciexista un punct xM ∈ E astfel ıncat ∥f(xM)∥ = sup

x∈E∥f(x)∥

7.5 Derivate partiale. Diferentiabilitate

Fie I un interval de numere reale si functia vectoriala f ∶ I → Rn avand compo-nentele reale f1, f2, . . . , fn.

Definitia 7.5.1. Functia f este derivabila ıntr-un punct a ∈ I daca exista

limita limx→a

f(x) − f(a)x − a . Aceasta limita se numeste derivata functiei ın a si se

noteaza cu f ′(a). Daca f este derivabila ın fiecare punct din I, spunem ca feste derivabila pe I.

Teorema 7.5.1. Functia f este derivabila ın punctul a ∈ I daca si numai dacatoate componentele sale reale f1, f2, . . . , fn sunt derivabile ın a. In acest cazavem f ′(a) = (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′n(a)).

Proprietatile si operatiile functiilor reale derivabile, ın care nu este implicatarelatia de ordine, raman adevarate.

Teorema 7.5.2 (Teorema cresterilor finite pentru functii vectoriale).Fie f ∶ I → Rn o functie si a < b doua puncte din I. Daca:

1. f este continua pe intervalul ınchis [a, b];

2. f este derivabila pe intervalul deschis (a, b)

atunci∥f(b) − f(a)∥ ≤ (b − a) sup

a≤x≤b∥f ′(x)∥

Definitia 7.5.2. Fie f ∶ E ⊂ Rn → R o functie reala de n variabile reale definitape multimea E ⊂ Rn si a = (a1, a2, . . . , an) un punct interior al lui E. Functiaf este derivabila partial ın punctul a ın raport cu variabila xk daca

limxk→ak

f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) − f(a)xk − ak

exista si este finita. Valoarea acestei limite se numeste derivata partiala afunctiei f ın raport cu xk si se noteaza cu f ′xk(a),

∂f∂xk

(a) sau Dxkf(a).

Daca functia reala f(x1, x2, . . . , xn) este derivabila ın raport cu xk ın punctula = (a1, a2, . . . , an), atunci f este continua partial ın raport cu xk ın punctul a.

Regulile de derivare stabilite pentru functii de o variabila se mentin si pentruderivarea partiala.

61

Definitia 7.5.3. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm, f = (f1, f2, . . . , fm) o functie vectorialade variabila vectoriala x = (x1, x2, . . . , xn). Functia este derivabila partialın punctul a = (a1, a2, . . . , an) ın raport cu xk daca toate componentele salefi, i = 1,2, . . . ,m au aceasta proprietate.Vectorul derivata partiala a functiei f ın raport cu xk ın punctul a, notatcu f ′xk(a) este definit de

limxk→ak

f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) − f(a)xk − ak

si are componentele∂f1∂xk

(a), ∂f2∂xk

(a), . . . , ∂fm∂xk

(a)

Fie functia f ∶ E ⊂ R2 → R si (a, b) un punct interior al lui E.

Definitia 7.5.4. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b)daca exista numerele reale λ ∈ R si µ ∈ R si o functie ω ∶ E → R continua ın(a, b) si nula ın acest punct, adica

lim(x,y)→(a,b)

ω(x, y) = ω(a, b) = 0

astfel ıncat pentru orice punct (x, y) ∈ E sa avem egalitatea

f(x, y) − f(a, b) = λ(x − a) + µ(y − b) + ω(x, y)√

(x − a)2 + (y − b)2.

Teorema 7.5.3. Daca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b), atunci fare derivate partiale ın (a, b) si

f ′x(a, b) = λ, f ′y(a, b) = µ

Egalitatea din definitia diferentiabilitatii se rescrie atunci astfel:

f(x, y) − f(a, b) = f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b) + ω(x, y)ρ.

unde ρ =√

(x − a)2 + (y − b)2.Proprietati:

1. Daca f este diferentiabila pe E, atunci are derivate partiale f ′x si f ′y pe E.

2. Daca f este diferentiabila ın punctul (a, b), atunci este continua ın acestpunct.

3. Daca f este diferentiabila pe E, atunci este continua pe E.

4. Daca f are derivate partiale f ′x si f ′y ıntr-o vecinatate V a lui (a, b) si dacaaceste derivate partiale sunt continue ın (a, b), atunci f este diferentiabilaın (a, b).

5. Daca derivatele partiale f ′x si f ′y exista si sunt continue pe E, atunci feste diferentiabila pe E.

Definitia 7.5.5. Fie f ∶ E ⊂ R2 → R o functie diferentiabila ıntr-un punct inte-rior (a, b) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ın punctul (a, b) urmatoareafunctie liniara:

df(a, b)(u, v) = f ′x(a, b)u + f ′y(a, b)v.

62

Daca notam cu dx si dy diferentialele functiilor ϕ(x, y) = x si ψ(x, y) = y,obtinem:

df = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy

Definitia 7.5.6. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R si (a, b, c) un punct interior al lui E.Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b, c) daca exista nu-merele reale λ,µ, ν ∈ R si o functie ω ∶ E → R continua ın (a, b, c) si nula ınacest punct, adica

lim(x,y,z)→(a,b,c)

ω(x, y, z) = ω(a, b, c) = 0

astfel ıncat pentru orice punct (x, y, z) ∈ E sa avem egalitatea

f(x, y, z) − f(a, b, c) = λ(x − a) + µ(y − b) + ν(y − b) + ω(x, y, z)ρ

unde ρ =√

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

Definitia 7.5.7. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R o functie diferentiabila ıntr-un punctinterior (a, b, c) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ın punctul (a, b, c)urmatoarea functie liniara:

df(a, b, c)(u, v,w) = f ′x(a, b, c)u + f ′y(a, b, c)v + f ′z(a, b, c)w.

Daca notam cu dx, dy si dz diferentialele functiilor ϕ(x, y, z) = x, ψ(x, y, z) =y si θ(x, y, z) = z, obtinem:

df = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz

Definitia 7.5.8. Fie f ∶ E ⊂ Rn → R si a = (a1, a2, . . . , an) un punct interioral lui E. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul a daca existanumerele reale λi ∈ R si o functie ω ∶ E → R cu

limx→aω(x1, x2, . . . , xn) = ω(a1, a2, . . . , an) = 0

astfel ıncat pentru orice punct x ∈ E sa avem egalitatea

f(x1, x2, . . . , xn) − f(a1, a2, . . . , an) =n

∑i=1λi(xi − ai) + ω(x1, x2, . . . , xn)ρ

unde ρ =√∑ni=1(xi − ai)2.

Definitia 7.5.9. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R o functie diferentiabila ıntr-un punctinterior a = (a1, a2, . . . , an) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ın punctula urmatoarea functie liniara:

df(a)(u) =n

∑i=1

∂f

∂xi(a)ui.

Daca notam cu dxi diferentialele functiilor ϕi(x1, x2, . . . , xn) = xi, obtinem:

df =n

∑i=1

∂f

∂xidxi

63

Definitia 7.5.10. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm o functie vectoriala de n variabile.Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul interior a ∈ E daca toatecomponentele sale reale sunt diferentiabile ın a.

Definitia 7.5.11. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm. Diferentiala functiei ın punctulinterior a ∈ E se defineste prin

df(a)(u) =n

∑i=1

∂f

∂xi(a)ui

Definitia 7.5.12. Daca exista derivatele partiale ale functiilor f ′x(x, y), f ′y(x, y),ele se numesc derivate partiale de ordinul doi ale functiei f si se noteaza

f ′′x2 = (f ′x)x =∂

∂x(∂f∂x

) = ∂2f

∂x2

f ′′xy = (f ′x)y =∂

∂y(∂f∂x

) = ∂2f

∂y∂x

f ′′yx = (f ′y)x =∂

∂x(∂f∂y

) = ∂2f

∂x∂y

f ′′y2 = (f ′y)y =∂

∂y(∂f∂y

) = ∂2f

∂y2

Functiile f ′′xy, f′′yx se numesc derivate partiale mixte de ordinul doi.

Observatii

1. O functie de trei variabile poate avea noua derivate partiale de ordinul doif ′′x2 , f

′′xy, f

′′xz, f

′′yx, f

′′y2 , f

′′yz, f

′′zx, f

′′zy, f

′′z2 .

2. O functie de n variabile f(x1, x2, . . . , xn) poate avea n derivate partialede ordinul ıntai si n2 derivate partiale de ordinul doi.

3. Se definesc ın mod asemanator derivatele partiale de ordinul trei, ca fi-ind derivatele partiale ale derivatelor partiale de ordinul doi, si similar sedefinesc derivatele partiale de un ordin oarecare.

Teorema 7.5.4 (Criteriul lui Schwartz). Daca functia f(x, y) are derivatepartiale mixte de ordinul doi ıntr-o vecinatate V a lui (x, y) ∈ E si daca f ′′xy estecontinua ın (x, y), atunci f ′′xy = f ′′yx.

Teorema 7.5.5 (Criteriul lui Young). Daca functia f ∶ E ⊂ R2 → R arederivate partiale mixte de ordinul ıntai f ′x si f ′y ıntr-o vecinatate V a lui (a, b) ∈E si daca f ′x si f ′y sunt diferentiabile ın (a, b), atunci derivatele partiale mixtede ordinul doi exista ın (a, b) si sunt egale ın acest punct:

f ′′xy = f ′′yx

Definitia 7.5.13. Spunem ca functia f ∶ E ⊂ R2 → R este diferentiabila de nori ın punctul interior (a, b) ∈ E daca toate derivatele partiale de ordinul n − 1ale lui f exista ıntr-o vecinatate V a lui (a, b) si sunt diferentiabile ın (a, b).

Observatii:

64

� In mod analog se defineste diferentiabilitatea de ordinul n pentru functiireale sau vectoriale de mai multe variabile;

� Rezultate similare criteriilor Schwartz si Young sunt valabile pentru derivatede ordin superior ale unor functii reale sau vectoriale de mai multe vari-abile;

� Folosind criteriul lui Young, rezulta ca daca f este diferentiabila de n oriın (a, b), atunci toate derivatele partiale de ordinul n exista ın (a, b), iarordinea de derivare ın (a, b) pana la ordinul n inclusiv nu are importanta.

Definitia 7.5.14. Fie f ∶ E ⊂ R2 → R. Diferentiala de ordinul n ın punctul(a, b) se defineste prin:

dnf(a, b)(u, v) = ( ∂

∂xu + ∂

∂yv)n

f(a, b)

unde exponentul n ınseamna ordin de derivare pentru f si putere pentru u si v.Se poate scrie

dnf(x, y) = ( ∂

∂xdx + ∂

∂ydy)

n

f(x, y)

Pentru functii de 3 variabile avem:

dnf(x, y, z) = ( ∂

∂xdx + ∂

∂ydy + ∂

∂zdz)

n

f(x, y, z)

iar pentru functii de k variabile avem:

dnf(x) = (k

∑i=1

∂

∂xidxi)

n

f(x)

Teorema 7.5.6. Fie f ∶ Y ⊂ R2 → R si u, v ∶ X ⊂ R → R. Daca functiileu(x), v(x) au derivate continue pe X si daca functia f(u, v) are derivate partialecontinue pe Y , atunci functia compusa F ∶ X ⊂ R → R, F (x) = f(u(x), v(x))are derivata continua pe X, data de

F ′(x) = ∂f∂u

⋅ dudx

+ ∂f∂v

⋅ dvdx

Teorema 7.5.7. Fie f ∶ Y ⊂ R2 → R si u, v ∶ X ⊂ R2 → R. Daca functiileu(x, y), v(x, y) au derivate partiale continue pe X si daca functia f(u, v) arederivate partiale continue pe Y , atunci functia compusa F ∶X ⊂ R2 → R, F (x, y) =f(u(x, y), v(x, y)) are derivate partiale continue pe X, date de

∂F

∂x= ∂f∂u

⋅ ∂u∂x

+ ∂f∂v

⋅ ∂v∂x

∂F

∂y= ∂f∂u

⋅ ∂u∂y

+ ∂f∂v

⋅ ∂v∂y

Teorema 7.5.8 (Formula lui Taylor). Fie f ∶ X ⊂ R2 → R si fie (a, b) unpunct interior lui X. Daca functia f este derivabila de n + 1 ori pe X cu toate

65

derivatele mixte egale, atunci pentru oricare (x, y) ∈X are loc formula

f(x, y) = f(a, b) + 1

1!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y) f(a, b)+

+ 1

2!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)2

f(a, b) + . . .

⋅ ⋅ ⋅ + 1

n!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)n

f(a, b) +Rn

cu

Rn =1

(n + 1)! ((x − a)∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)n+1

f(θa + (1 − θ)x, θb + (1 − θ)y)

unde 0 < θ < 1.

Teorema 7.5.9 (Lagrange). Daca f ∶ X ⊂ R2 → R are derivate partiale deordinul ıntai pe o vecinatate V a lui (a, b) ∈ X, atunci pentru orice (x, y) ∈ Vexista un punct (ξ, η) ∈ V cu ξ ıntre a si x, iar η ıntre b si y, astfel ıncat

f(x, y) − f(a, b) = (x − a)f ′x(ξ, η) + (y − b)f ′y(ξ, η).

7.6 Extreme pentru functii de mai multe vari-abile

Definitia 7.6.1. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R.

1. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈D se numeste minim local al lui f daca existao vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≥ f(a1, . . . , an), pentru orice(x1, . . . , xn) ∈ V ∩D;

2. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈ D se numeste maxim local al lui f dacaexista o vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an), pentruorice (x1, . . . , xn) ∈ V ∩D.

Teorema 7.6.1. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R si a = (a1, . . . , an)un punct interior lui D. Daca f are ın punctul a un extrem local si admitederivate partiale de ordinul 1 ın acest punct, atunci aceste derivate se anuleazaın a:

∂f

∂xi(a1, . . . , an) = 0, ∀i = 1, . . . , n.

Un punct care are proprietatea de mai sus ca derivatele partiale se anuleaza,se numeste punct stationar (sau critic) al lui f . Teorema anterioara ne spuneca punctele de extrem local ale unei functii se gasesc printre punctele critice.Teoremele urmatoare precizeaza care dintre punctele critice sunt ıntr-adevar sipuncte de extrem:

Teorema 7.6.2. Fie o functie de 2 variabile f ∶ D ⊂ R2 → R derivabila partialde 3 ori pe D si (a, b) ∈D un punct stationar al lui f . Notam cu

∆ = ( ∂2f

∂x∂y(a, b))

2

− ∂2f

∂x2(a, b)∂

2f

∂y2(a, b).

Atunci avem:

66

1. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) > 0, atunci (a, b) este punct de minim local;

2. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) < 0, atunci (a, b) este punct de maxim local;

3. Daca ∆ > 0, atunci (a, b) nu este punct de extrem local.

Teorema 7.6.3. Fie o functie de n variabile f ∶ D ⊂ Rn → R derivabila partialde 3 ori pe D si (a1, . . . , an) ∈D un punct stationar al lui f . Notam cu

Aij =∂2f

∂xi∂xj(a1, . . . , an), ∀i, j = 1, . . . , n.

Atunci avem:

1. Daca numerele

∆1 = A11, ∆2 = ∣ A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆n =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de minim local;

2. Daca numerele

∆∗1 = −A11, ∆∗

2 = ∣ A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆∗

n = (−1)nRRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de maxim local;

7.7 Functii implicite

Definitia 7.7.1. Fie o functie vectoriala f ∶ D → Rm de n variabile, ale careicomponente f1, f2, . . . , fm admit derivate partiale ın raport cu x1, x2, . . . , xn. Senumeste matrice Jacobiana a lui f ın a = (a1, a2, . . . , an) ∈D matricea

Df(a) =⎛⎜⎜⎜⎜⎝

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fm∂x1

∂fm∂x2

. . . ∂fm∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

unde toate derivatele partiale sunt calculate ın a.

Teorema 7.7.1. Fie f ∶ Rm → Rn, g ∶ Rn → Rp doua functii vectoriale careadmit derivate partiale. Atunci matricea jacobiana a functiei compuse g ○ f ∶Rm → Rp ıntr-un punct x = (x1, x2, . . . , xn) este

D(g ○ f)(x) =Dg(f(x))Df(x).

67

Daca ın definitia anterioara avem m = n, atunci matricea Jacobiana estepatratica, iar determinantul ei se numeste Jacobian al lui f :

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

=

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fn∂x1

∂fn∂x2

. . . ∂fn∂xn

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

In studiul functiilor de o variabila ıntalnim de multe ori functii definite im-plicit ca solutii ale unor ecuatii ın doua variabile de forma

F (x, y) = 0.

Sa presupunem ca (a, b) este o solutie a ecuatiei anterioare, si ca F arederivate partiale continue ın vecinatatea lui (a, b). Se pune problema existenteiunei solutii y ca functie de x ın vecinatatea lui (a, b). Asadar cautam o functiey(x) definita pe un interval deschis I = (a−h, a+h) cu proprietatea ca y(a) = bsi astfel ıncat

F (x, y(x)) = 0, ∀x ∈ I. (7.1)

In cazul ın care o astfel de functie exista, putem calcula derivata acesteia ınx = a derivand ecuatia F (x, y) = 0 implicit ın raport cu x si evaluand rezultatulın (a, b):

∂F

∂x+ ∂F∂y

dy

dx= 0

de unde obtinem

y′(a) = −∂F∂x

(a, b)∂F∂y

(a, b)

daca ∂F∂y

(a, b) ≠ 0.

In mod asemanator se pot calcula si derivatele de ordin superior ale functieiimplicite y(x) calculate ın x = a.

Aplicatie: Fie functia implicita y(x) data prin

x3 + y3 + xy − y2 = 0, y(0) = 1.

Sa se gaseasca y′(0), y′′(0).

Un alt caz este acela ın care avem o ecuatie ın 3 variabile:

F (x, y, z) = 0 (7.2)

si cautam o functie implicita z(x, y) ın vecinatatea unui punct (x0, y0, z0) caresatisface (7.2). Derivand ecuatia ın raport cu x si cu y obtinem:

∂F

∂x(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂x= 0

∂F

∂y(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂y= 0

68

de unde gasim

∂z

∂x(x0, y0) = −

∂F∂x

(x0, y0, z0)∂F∂z

(x0, y0, z0)

∂z

∂y(x0, y0) = −

∂F∂y

(x0, y0, z0)∂F∂z

(x0, y0, z0)

daca ∂F∂z

(x0, y0, z0) ≠ 0.Aplicatie: Fie functia implicita z(x, y) data prin

(x + y)ez − xy − z = 0, z(2,2) = 0.

Sa se gaseasca derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale lui z(x, y), calculate ın(2,2).

Un al treilea caz este acela ın care avem un sistem de ecuatii

F (u, v, x, y) = 0

G(u, v, x, y) = 0

si cautam functiile implicite x(u, v) si y(u, v) ın vecinatatea unui punct (u0, v0, x0, y0)care satisface sistemul anterior. Derivand cele doua ecuatii ın raport cu uobtinem:

∂F

∂x

∂x

∂u+ ∂F∂y

∂y

∂u+ ∂F∂u

= 0

∂G

∂x

∂x

∂u+ ∂G∂y

∂y

∂u+ ∂G∂u

= 0

Rezolvand sistemul anterior ın necunoscutele ∂x∂u

si ∂y∂u

gasim:

∂x

∂u= −

∂(F,G)∂(u,y)∂(F,G)∂(x,y)

∂y

∂u= −

∂(F,G)∂(x,u)∂(F,G)∂(x,y)

care pot fi evaluate ın (u0, v0) daca ∂(F,G)∂(x,y) (u0, v0, x0, y0) ≠ 0.

In mod asemanator se gasesc si derivatele lui x si y ın raport cu v calculateın (u0, v0).

Sa enuntam acum rezultatul general care include toate cele 3 cazuri partic-ulare anterioare:

Teorema 7.7.2 (Teorema functiilor implicite). Fie sistemul

F1(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0

⋮Fn(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0

si un punct P0 = (a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn) care satisface sistemul de mai sus.Daca avem:

69

(i) F1, F2, . . . , Fn au derivate partiale continue ın raport cu x1, . . . , xm, y1, . . . , ynın vecinatatea lui P0;

(ii) ∂(F1,...,Fn)∂(y1,...,yn) (P0) ≠ 0;

Atunci exista functiile implicite yi(x1, . . . , xm), i = 1, . . . , n definite pe o vecinatatea lui (a1, . . . , am) astfel ıncat :

1. yi(a1, . . . , am) = bi, ∀i = 1, . . . , n;

2. Fi ((x1, . . . , xm, y1(x1, . . . , xm), . . . , yn(x1, . . . , xm)) = 0, ∀i = 1, . . . , n

Mai mult, aceste functii implicite au derivate partiale continue ın vecinatatealui (a1, . . . , am) date prin:

∂yi∂xj

=∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,xj ,...,yn)∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,yj ,...,yn)

7.8 Exercitii

1. Sa se calculeze limita

limx→ 0y → 5

sin(xy)x

R: 5

2. Sa se arate ca urmatoarea functie nu are limita ın punctul indicat:

f(x, y) = x2y2

x2y2 + (x − y)2 , (0,0).

R: limn→∞ f ( 1n, 1n) = 1 ≠ 0 = limn→∞ f ( 1

n, 12n

)

3. Sa se studieze continuitatea functiilor:

(a) f(x, y) = {5x2y

4x4+y2 , (x, y) ≠ (0,0)0, x = y = 0

R: limn→∞ f ( 1√n, kn) = 5k

k2+4 ⇒ f discontinua ın (0,0).

(b) f(x, y) = { (1 + xy)1√x+√y , x ≥ 0, y ≥ 0,

√x +√

y ≠ 01, x = y = 0.

R: lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = exp (lim(x,y)→(0,0)ln(1+xy)

xy⋅ xy√

x+√y) = 1,

deci f este continua.

4. Sa se calculeze diferentiala de ordinul ıntai si de ordinul doi pentru functiile:

(a) f(x, y) =√x2 + y2

(b) f(x, y, z) = ln(xy + xz + yz)

5. Sa se calculeze derivatele de ordinul ıntai si doi ale functiilor

70

(a) u(x) = f(sin 2x, e3x)

(b) u(x, y) = f (xy, xy)

6. Sa se arate ca functia u(x, y) = xy + xf ( yx) verifica relatia

x∂u

∂x+ y ∂u

∂y= xy + u

7. Sa se scrie formula lui Taylor de ordinul 2 corespunzatoare functiei

f(x, y) = arctgx

y

ın punctul M0(1,−1).

8. Sa se determine punctele de extrem ale functiilor:

(a) f(x, y) = x4 + y4 − x2 − y2;

(b) f(x, y, z) = y + z2

4y+ x2

z+ 2x, x > 0, y > 0, z > 0.

71

Analiz a Matematic a I - Deliu · adic a dac a exist a dou a numere a˘si bastfel ^ nc^at...

Documents

Transcript of Analiz a Matematic a I - Deliu · adic a dac a exist a dou a numere a˘si bastfel ^ nc^at...