Interacciones fundamentales

En física, se denominan interacciones fundamentales los cuatro tipos

decampos cuánticos mediante los cuales interactúan las partículas. Según

elmodelo estándar, las partículas que interaccionan con las partículas

materiales, fermiones, son los bosones.

Existen 4 tipos de interacciones fundamentales: interacción nuclear

fuerte,interacción nuclear débil, interacción electromagnética e interacción

gravitatoria. Casi toda la historia de la física moderna se ha centrado en la

unificación de estas interacciones, y hasta ahora la interacción débil y la

electromagnética se han podido unificar en la interacción electrodébil.1 En

cambio, la unificación de la fuerte con la electrodébil es el motivo de toda

lateoría de la gran unificación. Y finalmente, la teoría del todo involucraría

estainteracción electronuclear con la gravedad.

Tensor de energía-impulso

El tensor de tensión-energía, también llamado tensor energía-impulso (o

igualmente tensor de energía - momento) es una cantidad tensorial en la teoría

de la relatividad que se usa para describir el flujo de energía y el momento

lineal de una distribución continua de materia en el contexto de la teoría de la

relatividad, además de ser de suma importancia en las ecuaciones de

Einsteinpara el campo gravitacional.

Introducción

Fijado un conjunto de coordenadas o una base   en cada punto del

espacio-tiempo (los elementos de esta base sería matemáticamente 1-formas),

el tensor energía-impulso es un tensor de rango 2 que puede describirse como

una matriz del tipo:

Interpretación usual de las componentes contravariantes del tensor energía-

impulso.

Donde en la expresión anterior se ha usado el convenio de sumación de

Einstein. Si consideramos ahora un observador que se mueve

concuadrivelocidad   tenemos que la densidad de energía medida en un

punto   por dicho observador viene dada por:

Y el flujo de energía a través de una superficie (de tipo espacial y en reposo

respecto al observador) cuyo vector normal venga dado por   viene dado por:

Ley de conservación[

En el contexto de la teoría de la relatividad, la ley de conservación de la

energía y la ley de conservación de la cantidad de movimiento pueden

expresarse de manera muy simple en términos del tensor de energía-impulso.

Concretamente ambas leyes pueden escribirse conjuntamente como

una ecuación de continuidad del tipo:

La cantidad

sobre una rebanada de tipo espacio da el cuadrivector energía-momento

o cuadrimomento. Este tensor es la corriente de Noether asociada a

las translaciones en el espacio-tiempo. En relatividad general, esta cantidad

actúa como la fuente de lacurvatura del espacio-tiempo, y es la densidad de

corriente asociada a las transformaciones de gauge (en este caso

transformaciones de coordenadas) por el teorema de Noether. Ahora bien, en

el espacio-tiempo curvado,la integral de tipo espacio depende de la rebanada

de tipo espacio, en general. No hay de hecho manera de definir un vector

global de energía-momento en un espacio-tiempo curvado en general.

Tensores relacionados

La parte tridimensional del tensor energía-impulso coincide con el tensor

tensión de la mecánica de medios continuos.

Ejemplos[editar]

En teoría de la relatividad el tensor energía-impulso de un fluido perfecto es

expresable en términos de su cuadrivelocidad, densidad másica y presión:

(1)

Diferentes tipos de tensor energía-impulso[editar]

Existen diversas formas no equivalentes de definir el tensor tensión para la

materia ordinaria. Entre las más comunes se encuentra:

El tensor energía-impulso de Hilbert.

El tensor energía-impulso canónico.

El tensor energía-impulso de Belifante-Rosenfelder.

Tensor energía-impulso de Hilbert[editar]

Este tipo de tensor energía-impulso sólo puede ser definido para un sistema

que venga descrito por un lagrangiano relativista en forma de derivada

funcional:

donde   es la densidad lagrangiana de la materia, que aparece en

la integral de acción, para la parte gravitatoria no es posible definir un tensor

análogo. Este tensor en un amplio conjunto de circunstancias es simétrico

e invariantegauge.

Tensor energía-impulso canónico[

Este tensor resulta de la aplicación del teorema de Noether. Si las traslaciones

espacio-temporales locales son una simetría local del lagrangiano, la corriente

conservada asociada a dicha simetría es el tensor energía-impulso canónico.

Este tensor no resula ser simétrico para algunas tería de gauge, y por tanto

puede no ser invariante guage bajo transformaciones de gauge locales que no

conmuten con las traslaciones espacio-temporales.

En relatividad general, las traslaciones sólo se pueden escribir en términos de

coordenadas por lo que en general no presentan covariancia.

Tensor energía-impuso de Belinfante–Rosenfeld[editar]

En presencia de espín u otro tipo de momento angular intrínseco, el tensor

energía-impuso canónico de Noether no es simétrico como fue anticipado en la

sección anterior. El tensor de Belifante-Rosenfeld es una construcción a partir

del tensor canónico y la corriente conservada de espín de tal manera que se

obtiene un nuevo tensor simétrico y que se conserva. En relatividad general,

este tensor modificado coincide con el tensor energía-impulso de Hilbert.

Curvatura del espacio-tiempo

Esquema de la curvatura del espacio-tiempo.

La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aún cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más "rectas" posibles a través un espacio-tiempo curvado. Las líneas más "rectas" o que unen dos puntos con la longitud más corta posible en determinado espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima.

tensor de curvatura de Ricci 

En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o

simplemente, tensor de Ricci, que suele notarse por los símbolos   o Ric,

es un tensor simétrico bivalente obtenido como una traza del tensor de

curvatura(riemann), que, como aquel, puede definirse en cualquier variedad

dotada de una conexión afín. Fue introducido en 1903 por el matemático

italiano G. Ricci.

En caso de estar definido en una variedad de Riemann, puede interpretarse

como un Laplaciano del tensor métrico. Al igual que la métrica, el tensor de

Ricci será una forma bilineal simétrica. En caso en que ambos sean

proporcionales,  , diremos que la variedad es una variedad de

Einstein.

El tensor de Ricci determina totalmente al tensor de curvatura, si la variedad de

Riemann correspondiente tiene dimensiónn < 4. En relatividad general, dado

que el [espacio-tiempo]] tiene cuatro dimensiones, el tensor de Ricci no

determina por completo la curvatura.

Ecuación de Poisson

En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso enelectrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson.

La ecuación de Poisson se define como:

donde   es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianastridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

Escalar de curvatura de Ricci

En matemáticas, la curvatura escalar de una superficie es el doble de la

familiar curvatura gaussiana. Para lasvariedades riemannianas de dimensión

más alta (n > 2), es el doble de la suma de todas las curvaturas seccionales a

lo largo de todos los 2-planos atravesados por un cierto marco ortonormal.

Matemáticamente, la curvatura escalar o escalar de curvatura, que suele

designarse con las letras R o S, coincide también la traza total de la curvatura

de Ricci así como del tensor de curvatura.

Expresión en componentes

El escalar de curvatura de Ricci R puede expresarse fácilmente en términos del

tensor métrico  (y sus primeras derivadas ) que define la geometría de la

superficie o variedad riemanniana cuyo escalar de curvatura pretendemos

encontrar, usando el convenio de sumación de Einstein:

Donde los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se

calculan a partir de las primeras derivadas de los componentes del tensor

métrico:

Constante cosmológica

En relatividad general, la constante cosmológica (denotada usualmente

por Lambda,  ) es una constante propuesta porAlbert Einstein como una

modificación de su ecuación original del campo gravitatorio para conseguir una

solución que diera un universo estático. Einstein rechazó esta idea una vez que

el corrimiento observado por Edwin Hubble sugirió que el universo no era

estático. Sin embargo, el descubrimiento de la aceleración cósmica en la

década de 1990 ha renovado el interés en la constante cosmológica.

Ecuación[editar]

La constante cosmológica   aparece en las ecuaciones de Einstein como:

Cuando   es cero, estas se reducen a la ecuación tradicional de la relatividad

general. Las observaciones astronómicas implican que su valor satisface:

Aunque Einstein introdujo la constante cosmológica como un término

independiente en las ecuaciones del campo gravitatorio, de hecho, éste puede

ser interpretado como una energía o presión negativa del vacío. Si se supone

que elvacío viene representado por un tensor de energía-impulso dado por:

La constante cosmológica es entonces equivalente a una densidad de energía

negativa intrínseca del vacío:

Con su presión negativa asociada. Es frecuente citar los valores de esta

densidad de energía directamente como constante cosmológica, aunque en

cosmología se suele tomar el signo contrario para la definición de  , lo que

arroja un valor positivo (ver más abajo).

Una constante cosmológica positiva resulta en una densidad de energía

positiva y en una presión negativa. La expansión acelerada del universo puede

ser atribuida a la presencia de esta energía del vacío diferente de cero.

Ecuación de continuidad

En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integralcomo de forma diferencial.

Teoría electromagnética

En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente es igual al negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:

En otras palabras, sólo podrá haber un flujo de corriente si la cantidad de carga varía con el paso del tiempo, ya que está disminuyendo o aumentando en proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.

Esta ecuación establece la conservación de la carga.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es:

donde   es la densidad, t el tiempo y   la velocidad del fluido. Es una de las tres ecuaciones de Euler.

Mecánica cuántica

En Mecánica cuántica, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la probabilidad. Su forma diferencial es:1

Donde   es la densidad de probabilidad de la función de ondas y   es la corriente de probabilidad o densidad de corriente. Estas dos expresiones se pueden relacionar con la función de onda de una partícula como:

Mecánica relativista

En la teoría especial de la relatividad, una ecuación de continuidad debe escribirse en forma covariante, por lo que la ecuación de continuidad usual para la carga eléctrica y otras magnitudes conservadas se suele escribir en teoría de la relatividad como:

La ecuación de continuidad para la densidad másica (o más exactamente la energía másica) y la densidad de momento lineal se escribe en términos del tensor energía impulso:

En el contexto de la teoría general de la relatividad las derivadas parciales deben substituirse por derivadas covariantes:

Donde   es la raíz del determinante del tensor métrico asociado a las coordenadas  . Y análogamente para la conservación de la energía:

2 Formulación de las ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones de Einstein determinan las características de la variedad métrica, nuestro espacio-tiempo, a partir de la distribución de masa y energía que puebla el espacio. Dicha distribución de masa y energía viene descrito por el tensor de energía-

impulso,   , que se define como la densidad de la componente   -ésima del cuadrimomento que atraviessa una hipersuperfície   constante.

Las ecuaciones de Einstein tienen la siguiente forma:

(5)

donde   , siendo G la constante de la gravitacion universal de Cavendish. A veces, el término izquierdo de las ecuaciones de Einstein se resume definiendo el tensor

de Einstein,   .

3 Comentarios adicionales

Dado que todos los tensores que aparecen en las Ecuaciones de Einstein son simétricos,

tenemos tan sólo diez ecuaciones de Einstein. Cuatro de ellas, las que tienen   , no son ecuaciones dinámicas, por lo que tan sólo nos quedan seis ecuaciones dinámicas a resolver.

Dichas ecuaciones determinan como la distribución de masa y energía (descrita por   

) afectan a la geometría del espacio-tiempo (descrita por   que, en último término, depende únicamente de la métrica). Y viceversa, determinan como la geometría del espacio-tiempo afecta al movimiento de la masa y energía distribuida por el mismo. Las partículas puntuales se mueven siguiendo las curvas geodésicas que, como hemos vistos, se determinan directamente a partir de la geometría del espacio-tiempo.