IE SANTA MAGDALENA SOFÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD

Prof. Jany Velásquez Santa Cruz

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD

• Un ángulo está en posición normal, estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el eje X positivo.

O A X

B

Y

A X

B

Y

O

• Anteriormente estudiamos Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, ésta vez las generalizaremos hallando las Razones Trigonométricas de cualquier ángulo en posición normal.

• En el capítulo anterior se tomaba como base el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa; esta vez como se trata del Plano Cartesiano la base es: La abscisa (X), la ordenada (y) y el radio vector (r), de un punto del final del ángulo.

I. Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

I. Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

0y ,yr

vectorradio

0 x,xr

Sec

vectorradio

0y ,yx

P de

P de abscisa

0 x,xy

P de P de ordenada

rx

P de abscisa

ry

P de ordenada

CscPdeordenada

Csc

PdeabscisaSec

Ctgordenada

Ctg

Tgabscisa

Tg

Cosvectorradio

Cos

senvectorradio

Sen

Sea un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera:

O A X

B

Y

α

-X

-Y

P(x,y)

22xr

:que

y

recordar

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE

• En el primer cuadrante las coordenadas de

cualquier punto son positivas, en consecuencia

todos los valores de las razones son positivas.

• En el segundo cuadrante, la abscisa x es negativa y

la ordenada y es positiva (r siempre es positivo) en

consecuencia, solamente el , son

positivas, las otras cuatro razones mas son

negativas.

• Análogamente se puede determinar los signos en

los cuadrante III y IV

y

r cscy

r

ysen

CUADRO RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

IC IIC IIIC IVC

Sen + + - -

Cos + - - +

Tg + - + -

Ctg + - + -

Sec + - - +

Csc + + - -

ICTodas las razones trigonométricas son +

III C Tg

+ Ctg

II C Sen

+ Csc

IV C Cos + Sec

• Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes.

• Las definiciones de las razones trigonométricas son válidas para éstos ángulos, aunque para algunos no está definido por tener denominador cero.

II. Ángulos Cuadrantales

, , , , son cuadrantales

La siguiente tabla muestra los ángulos cuadrantales:

En radianes/2 3/2 2 ..... k/2

En grados sex.

90° 180° 270° 360° ..... 90°k

Donde K = ±1; ± 2; ± 3; ± 4; .......

Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales

Sean x,y Є R/ x ≥0 y ≥ 0a) Razones trigonométricas de 90° x =0 r =y

X

1yr

90 Csc

0xr

90 Sec

00

yx

90

0xy

90

00

rx

90 Cos

1ry

90

. :

yy

NDy

yCtg

NDy

Tg

y

yy

sen

definidoestáNoND

Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales

b) Razones trigonométricas de 180° y =0 , r =x

(-x;0)

NDxxx

NDx

Ctg

xTg

xx

xsen

definidoestáNoND

0yr

180 Csc

1xr

180 Sec

0yx

180

00

xy

180

1rx

180 Cos

00

ry

180

. :180°

Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales

c) Razones trigonométricas de 270° x =0 , r =y

1yr

270 Csc

0xr

270 Sec

00

yx

270

0xy

270

00

rx

270 Cos

1ry

270

yy

NDy

yCtg

NDy

Tg

y

yy

Sen

Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales

d) Razones trigonométricas de 360° y =0 , r =x Y

X

P (x; 0)

NDx

Ctg

xTg

x

xx

Sen

0y

x 360

00

x

y 360

1r

x 360 Cos

00

r

y 360

NDxx

x

0y

r 360 Csc

1x

r 360 Sec

RESUMEN DE LAS R.T.DE ÁNGULOS CUADRANTALES

(rad) 0 /2 3/2 2

(grados)

0 90° 180° 270° 360°

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND -1 ND 1

Csc ND 1 ND -1 ND

• Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, obviamente el, mismo vértice.

III. Ángulos Coterminales

ejemplos

PROPIEDAD 1• La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un

número entero de vueltas. Si y son ángulos coterminales n Є Z- {0} Como 1 vuelta es igual a 360° o 2π rad, entonces: ó n Є Z- {0}

Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado.

PROPIEDAD 2• Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales

son respectivamente iguales • Si y son ángulos coterminales y los ubicamos en

posición normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple:

vueltasn

360 n rad 2 n

CosCos

SenSen

CtgCtg

TgTg

CscCsc

SecSec

PROPIEDADES

IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS:

• Dado un ángulo y P un punto de su lado final tal que (x,y) son sus coordenadas.

• Entonces (- ) será su simétrico respecto al eje x, en consecuencia las coordenadas de P´ serán

(x,-y).• Observa que:

r

xCos

sen

- Cos r

x

r

y- )(-Sen

r

y

de éstas dos igualdades se deduce:

)( SenSen )( CosCos

Análogamente se deduce:

)( TgTg )( CtgCtg

)( SecSec )( CscCsc

PRÁCTICA

1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el valor de Cscα

a) 4/3

b) 5/4

c) -4/5

d) -5/3

PRÁCTICA

2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo signo?

a) I y III

b) I y II

c )I y

IV d) II

y III

PRÁCTICA

3) El resultado de:

Csc270º (Sen90º + cos180º), es:

a) 0

b) -1

c) 2

d) -2

PRÁCTICA

4) ¿Son coterminales los ángulos?

a) 445º y 85º ( Falso) (Verdadero)

b) 69º y 429º ( Falso) (Verdadero)

c) -17º y 343º ( Falso) (Verdadero)

d) 735º y 25º ( Falso) (Verdadero)

PRÁCTICA

5) El valor de [sen(-30)]3

es:

a) -1/2

b) -

1/4

c) -1/8

d) -

1/6