Ángulos: Arcos y sus medidas

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/trigonometria.htm

Grados y radianesLas unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia90º = 1/4 de vuelta1º = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar.

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2 * r = 2 ), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia:

1 radian = 57,29º

a partir de esta igualdad, determinamos que:90º = /2 radianes60º = /3 radianes45º = /4 radianes30º = /6 radianes

Funciones seno y coseno

El triángulo OAB es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectangulo, sen es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, cos el la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:sen = |AB| / |OA| = |AB| / 1 = |AB|cos = |OB| / |OA| = |OB| / 1 = |OB|

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

ángulo sen cos

0º 0 1

30º 1/2 ( 3)/2

45º ( 2)/2 ( 2)/2

60º ( 3)/2 1/2

90º 1 0

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a² + b² = c², de la figura anterior se tiene que sen =a, cos =b, c=1; entonces(sen )² + (cos )² = 1para todo angulo .

Algunas identidades trigonometricas importantes son: sen (90 - ) = cos cos (90 - ) = sen sen (180 - ) = sen cos (180 - ) = -cos sen 2 = 2 sen cos

sen ( + ) = sen cos + cos sen cos ( + ) = cos cos - sen sen

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan ( /2) = tan (90º) = + tan (- /2) = tan (-90º) = - tan (0) = 0tan ( /4) = tan (45º) = 1tan ( /3) = tan (60º)= ( 3)tan ( /6) = tan (30º) = ( 3)/3

Una identidad importante con la tangente es:

tan ( + ) = ( tan + tan ) / (1 - tan . tan )

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Fórmulas Fundamentales

1.- Relación entre el seno y el coseno

sen2a + cos2a = 1

2.- Relación entre la tangente, seno y coseno

3.- Relación entre la cotagente, coseno y seno

4.- Relación entre la secante y el coseno

5.- Relación entre la cosecante y el seno

6.- Relación entre la secante y tangente

sec2a = 1 + tg2a

7.- Relación entre la cosecante y la cotangente

cosec2a = 1 + ctg2a

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Valores de las funciones de los arcos principales

Angulos0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°

(grados)Angulos

2 /6 /4 /3 /2 3 /2(radianes)

sen 0 1/2 1 0 -1

cos 1 1/2 0 -1 0

tg 0 1 0

ctg 1 0 0

sec 1 2 -1

cosec 2 1 -1

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