angulos triangulos incompleto
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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
El Punto:
Se representa mediante un “.” Se denota a través de una letra mayúscula
Ej:. A punto A
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Según el gráfico responde las siguientes preguntas.1) ¿Cuántas representaciones del punto tenemos en el mapa pirata?2) En el pergamino, ¿Cuántos puntos están denotados correctamente?3) Menciona 3 objetos que sugieren la idea de punto.
La Recta:
Una partícula pequeña de tiza nos
puede dar la idea matemática de
Punto.
Un pequeño alambre nos da la
idea de línea Recta
Se representa a través de una flecha de doble sentido. Se denota con dos puntos o una letra.
Ej:
M NL
PROPOSICIONES PARA LA RECTA
a) La recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.b) Dos puntos determinan una recta.c) Por dos puntos pasan infinidad de rectas.d) Dos rectas se cortan en un solo punto.
EJERCICIO DE APLICACIÓN L4
R Q
P
O L2
M N L3 L1
Según el gráfico, indica los puntos que pertenecen a cada recta mediante el siguiente cuadro
L1 L2 L3 L4
MNOPQR
TIPOS DE RECTAS
Rectas Paralelas
L1
L2
__________________________________________
Rectas Secantes
__________________________________________
Rectas perpendicularesL1
L2
__________________________________________
EL PLANO
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.
Se representa a través de “ ”
Se denota: Plano Z Z
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Una hoja de papel nos da
la idea de Plano
- Observa la figura y responde “V” ó “FG H
. Z
C D L
E F
A B
El plano CDGH contiene al punto C ( ) La recta “L” CDAB ( ) En la figura hay 8 planos diferentes ( ) El punto “Z” AEFB ( ) El punto “Z” determina a CGHD ( )
- Ahora responde las siguientes preguntas:a) Menciona 5 planos diferentes.
..................................................................................................................................................................
b) Menciona 6 segmentos diferentes...................................................................................................................................................................
c) Menciona dos planos que tengan como vértice al punto “E”..................................................................................................................................................................
d) Menciona dos planos que contengan como arista a ..................................................................................................................................................................
- Teniendo en cuenta la realidad, menciona 3 objetos que sugieren la idea de planoa) ..........................................................................
b) ..........................................................................
c) ..........................................................................
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. Coloca “V” ó “F”- Un punto se representa con una letra
minúscula ( )- Dos rectas secantes se cortan en un punto
( )- Tres puntos no colineales determinan un
plano ( )- Un plano tiene infinidad de puntos
( )
2. Dibuja tres rectas secantes que se cortan de dos en dos
3. Grafica y responde:
a) ¿Cuántas rectas pasan por un punto?
b) Tres puntos no colineales determinan un plano
4. Observa la figura y responde:
E
D
C
A
B
a) nombra tres puntosb) nombra tres rectasc) nombra un planod) nombra dos segmentos con extremo “B”e) nombra dos rectas que pasan por “B”
5. Según la figura mostrada, ¿en cuántos puntos puede cortar la recta L1 el plano “P”?
L1
P
Rpta: ....................................................
6. Determina la posición de cada una de las rectas respecto al plano
D A B
E
C
F Q
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Grafica y responde:
a) ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos?
Rpta: .................................................
b) ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos colineales?
Rpta: .................................................
c) ¿Si una recta contiene dos puntos de un plano, entonces la recta está contenida en el plano?
Rpta: .................................................
2. Dibuja dos rectas paralelas y una secante a éstas, luego menciona cuántos ángulos forman.
Rpta: .................................................3. Marca “V” ó “F”
a) Dos rectas secantes tienen un punto en común ( )
b) Dos rectas paralelas determinan un plano( )
c) Dos planos que se cortan determinan una recta ( )
4. Observa la figura y determina cuántos planos puedes ubicar y nómbralos.
B
A D C
E
F
H G
Rpta: .................................................
5. Según la figura:
B
K
. M Z
A C
N
a) Menciona dos pares de rectas secantes
b) Menciona dos rectas perpendiculares
c) Menciona dos planos
d) Menciona un punto contenido en el plano 6. Con la ayuda de una regla dibuja un
segmento de 10 cm y por su punto medio traza una recta perpendicular.
ÁNGULOS
Gráficamente: A
Vértice Notación:
O AOB ó AOB
B
Lados: OB y OA
CLASIFICACIÓN:
a) Según su medida
Ángulo Agudo
B
A
0° < < 90°
Ángulo Recto
B
A = 90°
Ángulo Obtuso
B
A90° < < 180°
Ángulo Llano
B O A
AOB = 180°
b) Según la posición de sus lados
Ángulos Consecutivos
C B
A y son consecutivos
Ángulo Adyacente
B
C A
y son adyacentes porque están sobre una misma recta.
Ángulos opuestos por el vértice
Sabías que la figura geométrica formada por la
unión de dos rayos que tienen el mismo origen se
denomina ÁNGULO.
m
n
c) Según la suma de sus medidas.
Ángulos Complementarios
y son complementarios + = 90°
Ángulos Suplementarios
y son suplementarios + = 180°
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
ALGUNAS PROPIEDADESa) b)
L1
L2
L1 // L2
L1
z
L2
+ = + + zL1 // L2
c)
Alternos internos Conjugados 3 y 5 internos 4 y 6 3 y 6
4 y 5
Alternos externos Conjugados 1 y 7 externos 2 y 8 1 y 8
2 y 7
Correspondientes 1 y 5 2 y 6 3 y 7 4 y 8
¡Tienen igual medida! ¡Son suplementarios!
“m” y “n” opuestos m = n“” y “” opuestos =
=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si OM: Bisectriz. Hallar el valor de x
A
x +10°O 2x M
B
Solución:
Como OM Bisectriz m BOM = m MOA
2x = x + 102x – x = 10
x = 102. Hallar el valor de ”x”
3x + 10 2x + 40
Como son ángulos opuestos por el vértice 3x + 10 = 2x + 40
3x – 2x = 40 – 10 x = 30
EJERCICIOS PARA LA CLASE
I. Hallar el valor de “x” en cada caso
1) 68° 82°
x
2)
x 81°
45°
3)
x – 20 x°
x – 30
4)A
x + 10°
O 2x M
B
5) A
x°
O 20 M
OM: Bisectriz Bdel AOB
6)
B M
50 x A C OM: Bisectrizdel BOC
7)
x° x+10°
x –40
8)
60
4x
9)
x L1
120°
L2
10)
B
M 130° x A O C
OM: Bisectriz del BOC
11)
x120°
12) x
150°
13)
x 30°
2x
14)
330° L2
L1
L1 // L2
15) L2
x
45°
L1 // L2
L1
EJERCICIOS – ÁNGULOS
1. En la figura. Calcular AOB
47°
2. De la figura, calcular “x”
5x
x
3. Si AOB = BOC = COD. Calcular AOC
C B
A O B
4. Calcular el valor de “x” para que sea bisectriz del AOC
B C
5x 40°
A D
5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar la medida del ángulo en mención.
6. Si:S = SuplementoC = Complemento
Calcular: T = SSCSSCS100
7. Hallar la medida de un ángulo sabiendo que la diferencia entre su suplemento y su complemento es seis veces la medida de dicho ángulo.
8. Calcular el complemento del suplemento de 120° y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60°
9. Indique el triple de la mitad del complemento de 40°
10. ¿En cuánto excede el doble del complemento de 63° al triple del complemento de 84?
11. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD si BOC = 100°, sabiendo que AOB, BOC y COD son consecutivos a un lado de la recta.
12. Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9°.
13. Hallar “” si AOB = 84°. Las rectas L1 y L2 se cortan en el punto “O”
A
L1
O
B
L2
14. En la figura hallar “” si la medida del ángulo AOC y la medida del ángulo AOB suman 86°.
A B
P
C
15. Hallar “x” si m COD = 90°
3x – 21
x – 20 2x
16. Hallar ( – ) si L1 es perpendicular a L2
17. Si L1 paralelo a L2. Calcular la medida del ángulo “”
L1
70°
80° 50°
L2
18. En la figura L1 // L2. Hallar el valor de “x”
2n n 126
x° L1
a L2
a
19. Calcular x si L1 es paralelo a L2 y L3 // L4
L3
143° L2
L4
x L2
20. De la figura. Calcular “” sabiendo que L1 // L2
260° 220°
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si BOD = 130°. Calcular BOC
C
B
A D
2. En la figura, hallar m COM, si m BOC – m AOC = 24 OM : Bisectriz del AOB
MB
C
AO
3. De la figura, calcular “x
x + 10 2x – 40
4. Calcular XOY. Si BOZ = 160°
Y Z
A
B
WX
5. De la figura. Hallar “x” si L1 // L2
L1
x3x
126
5xL2
6. Si m BOD = 120°. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD
B CD
A
O
7. Si L1 // L2, Hallar “x”
3xL1
100°
L2
x
8. Si L1 // L2, hallar “x”
L1
150°
x 120
L2
9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es igual a 18°. Calcular la medida del ángulo formado por el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC.
10. ¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para que sea el suplemento del mismo ángulo?
11.- Si el ángulo mide 80°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo.
12.- Calcular el suplemento del complemento de un ángulo que mide 50°.
13.- ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia de su suplemento y su complemento es el triple del ángulo?
14.- ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es nueve veces el ángulo?
15.- La suma del complemento y del suplemento de cierto ángulo es igual a 120°. Hallar dicho ángulo.
16.- El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.
130°
17.- Hallar la medida de un ángulo sabiendo que su complemento es igual a 1/3 de su suplemento. 18.- Los ángulos “A” y “B” son complementarios.
La medida de “A” es a la de “B” como 5 es a 4. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
TRIÁNGULOS
Bb°
° Notación: ABC
a° ° ° c° A C
ELEMENTOS:
1) Vértices: A, B, C2) Lados: , , 3) Ángulos: Internos: °, °, °
Externos: a°, b°, c°4) Perímetro: 2p =
5) Semiperímetro: p =
CLASIFICACIÓN
Según sus lados
Triángulo Escaleno B
A C
Sus tres lados son desiguales
Triángulo Isósceles B
A C
Dos de sus lados son iguales
Triángulo EquiláteroB
60°
60° 60°
A C
Sus tres lados son iguales
Según sus ángulos
Triángulo Acutángulo
, y son agudos
Triángulo Rectángulo
Hipotenusa
Catetos = 90°
Triángulo Obtusángulo
90° < ° < 180°
PROPIEDADES BÁSICAS
Sabías que al trazar tres rectas secantes que se
intersectan dos a dos se determina un TRIÁNGULO
1. En todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a 180°
+ + = 180°
2. En todo triángulo un ángulo externo será igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a éste.
+ =
3. En todo triángulo la suma de los ángulos externos es igual a 360°
+ + = 360°
4. En todo triángulo se opone mayor ángulo y viceversa.
BSi n > p > m
A° > B° > C° m n
A C p
5. Dado un triángulo isósceles: a lados iguales se oponen ángulos iguales.
BSi =
A C
6. Para que exista un triángulo se debe cumplir que un lado sea menor que la suma de los otros dos lados, pero mayor que su diferencia.
BSi: a > b > c b – c < a < b + c
a b
A c C
PROPIEDADES ADICIONALES
a) b) c) c
a
b
d x
x = + + a + b = c + d + = 90°
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. Calcular “x”
A
P
x C B Q
a) 15,5° b) 20,5° c) 22,5d) 10,5° e) 12,5°
2. Calcular “x” B
80°
A C 10° x
D
a) 30° b) 40° c) 60° d) 45°
3. Hallar “x”
x
93° 3 3
a) 80° b) 100° c) 120°d) 140° e) N.A.
4. En la figura, calcular “x”
B
48°
Q
2x C A P
5. Si AB = BC y PQ = PR, hallar la relación entre “x” e “y”
B
P Q
x
A C R
6. Hallar “” Si AD = BC
B
3
A C
7. Calcular “x”, si AD = BD = BE, mC = 30°, m BAE = 30°
B
Ex
D 30°
A C
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
8. Determinar “x”
B
x
F
2x
A E D
a) 10° b) 15° c) 30° d) 45° e) 60°
9. Determinar x, si AB = BC, BP = BQ
B
x
30°A P C
a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 75°
10. Calcular “x”
148°
x
a b a b
a) 36° b) 42° c) 54° d) 63° e) 74°