ÁNGULOS Y EJERCICIOS APLICADOS EN GEOGEBRA
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TRABAJO COLABORATIVO 1
Ángulos, perpendicularidad y paralelismo, rectas
cortadas por una secante y ángulos que se forman
INTEGRANTES:
-
MARITZA ANDREA VILLARRAGA
DEINER FERNANDO ADRANDE
MANUEL RICARDO GARCIA
ANA BEATRIZ RUBIO
-
GRUPO: 551121-4
-
TUTORA: YENNY PAOLA SIERRA
14/09/2014
INTRODUCCION
Esta unidad comprende el reconocimiento e identificación de conceptos que contribuyen al
desarrollo de habilidades y destrezas a los futuros licenciados en matemáticas para orientar sus
procesos de enseñanza – aprendizaje, propio de ese ejercicio desarrollamos en esta actividad
colaborativa, los conceptos de ángulo, perpendicularidad y paralelismo, rectas cortadas por
una secante y ángulos que se forman, presentando con ellos sus respectivos ejemplos.
El desarrollo de estos conceptos, como cualquier otro de Geometría Plana, infiere el
planteamiento y solución de problemas, que contribuyen a la apropiación de la importancia de
la geometría en la vida cotidiana y su influencia en otras ciencias aplicadas.
El desarrollo de ejemplos y solución de problemas fueron complementados con la aplicación
del software didáctico Geógebra, que gracias a sus facilidades e importantes usos geométricos,
nos permitió la implementación de sus herramientas para explicar gráficamente los conceptos
y soluciones de esta actividad.
OBJETIVOS
Objetivo general
Trabajar conceptos y sus aplicaciones dentro la geometría plana que contribuyan a la
formación personal y profesional de los fututos docentes, contribuyendo a generar diferentes
estrategias de enseñanza de esta área.
Objetivos específicos
o Trabajar los diferentes tipos de conceptos de ángulo, perpendicularidad y paralelismo,
rectas cortadas por una secante y ángulos que se forman, para comprender su
importancia y utilidad en la vida cotidiana y otros campos.
o Desarrollar estrategias de enseñanza-aprendizaje a través de ejemplos y solución de
problemas relacionados al tema aquí tratado, en los estudiantes, contribuyendo a
mejorar su proceso formativo.
o Implementar Geogebra como herramienta informática computacional para la
ilustración de ejemplos y solución de problemas sobre ángulo, perpendicularidad y
paralelismo, rectas cortadas por una secante y ángulos que se forman.
a. Consultar y explicar las siguientes definiciones
Ángulo: es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el
mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el
radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Vértice: es el punto de origen de las semirrectas que permiten la formación de
un ángulo.
Lados del ángulo: también conocidas como semirrectas son las líneas
que salen del vértice y permiten la formación del ángulo.
b. ¿En qué consiste el sistema sexagesimal?
El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360 partes iguales,
trazando segmentos de rectas que pasen por el centro de la circunferencia, tomando el centro
como origen de las semirrectas se le atribuye la medida de 1° (un grado) la separación de cada
semirrecta, dándole así un total de 360° a la circunferencia completa.
Ahora “sexa” es un prefijo de origen latino que indica 60, y este sistema lo utiliza en la
división de cada gado (1°) en 60 partes iguales, a las cuales se les denomina minutos (’),donde
estos también se les divide en 60 partes iguales a los que se les denomina segundos (”).
c. ¿En qué consiste el sistema circular?
De la definición de circunferencia sabemos que la longitud de una circunferencia es
proporcional a su diámetro, es decir: S = π D, donde la letra griega pi (π) es la constante de
proporcionalidad es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro, como D = 2r, dos
veces el radio, podríamos escribir la ecuación anterior como S = 2π r.
De esto deriva el hecho que si la longitud del arco es una circunferencia completa entonces S
= 2π r, y sustituyendo en la formula nos quedara que para una circunferencia completa, la
revolución completa será de θ = S/r = 2π r/r = 2π. Es decir en una revolución, o ciclo, o vuelta
completa en una circunferencia el ángulo es igual a 2π radianes.
d. Explicar la relación del grado sexagesimal y radián circular.
Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene radianes, y que una
circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:
Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados
sexagesimales a radianes es:
Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:
Y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en
grados es):
e. (En Geogebra) Trazar dos rectas que formen un ángulo de: 53.13°
f. ¿Cuál ángulo es mayor: 0,72 radianes o 45 grados? Explica
Teniendo las expresiones 0,72 radianes y 45 grados, se puede concluir que es mayor
45º ya que al pasar 0,72 radianes a grados solo obtenemos 41,27º, tal como se muestra
en la siguiente demostración
Según esta operación rad72,0 equivalen 41 lo que sería menor a 45 .
g. ¿Cuántos segundos tiene un minuto? ¿Cuántos minutos tiene un grado? ¿Cuántos
segundos tiene 𝟑𝟐𝟎°𝟒𝟎′?
h. Definir y explicar con un ejemplo (En Geogebra): ángulos adyacentes, ángulo
recto, ángulo llano, ángulos complementarios, complemento de un ángulo,
ángulos suplementarios y suplemento de un ángulo.
.
Ángulos adyacentes: son aquellos ángulos que están formados de manera tal que uno
de sus lados es común y los otros dos pertenecen a la misma recta. Por ejemplo AC y
BC están en la misma recta y CD es el lado común para ambos ángulos.
Angulo recto: es aquel ángulo que mide 90º exactamente
Angulo llano: es aquel ángulo que mide 180º exactamente y sus lados son la
prolongación del otro
Ángulos complementarios: son aquellos ángulos que al ser sumados nos permiten
obtener un ángulo recto de 90º. Teniendo en cuenta lo anterior si tenemos y otro al sumar los dos ángulos obtenemos 90º de un ángulo recto.
Complemento de un ángulo: es aquella parte que le falta a un ángulo para ser un
ángulo recto es decir 90º. Por lo cual el complemento de es
Ángulos suplementarios: son aquellos ángulos que sumados valen dos ángulos rectos,
es decir 180º. Teniendo = 45º y = 135º, al sumarlos se obtiene un ángulo
de 180º
Suplemento de un ángulo: es aquel valor que le falta al ángulo recto para valer 180º
exactos. Dado lo anterior teniendo = 40º el suplemento es = 140º que al
ser sumados nos da como resultado 180º.
i. (En Geogebra) Los ángulos y son adyacentes. Si
Obtener el valor de .
Expresaremos el ángulo todo en grados para mejor manejo en Geogebra.
Representamos en Geogebra.
Medimos
j. (En Geogebra) Los ángulos y son complementarios. Si
=40°15′45′′, obtener el valor de .
Expresaremos el ángulo todo en grados para mejor manejo en Geogebra.
Representamos en Geogebra.
Medimos
k. (En Geogebra) ¿Cuál es el suplemento de cada
uno de los siguientes ángulos?
10°15′18′′
Luego el suplemento es 169.74°
85°45′33′′
Luego el suplemento es 94.24°
105°30′02′′
Luego El suplemento es 74.5°
l. ¿Cuándo se dice que los ángulos son complementarios y cuándo suplementarios?
Se dice que los ángulos son complementarios entre sí, cuando la suma resultante entre
ellos es un ángulo recto es decir 90º y si el resultado de la suma es 180° se dice que son
ángulos suplementarios.
m. (En Geogebra) Obtener tres ángulos tales que su suma sea igual a un ángulo
llano, el primero sea el quíntuplo del tercero, y el segundo sea el cuádruplo del
tercero.
el ejercicio nos pide un ángulo, mas 4 veces ese ángulo, mas 5 veces ese ángulo de
como resultado 180°, analizando, nos está pidiendo 10 veces un ángulo, por lo que
dividimos el ángulo llano en 10 partes iguales. Teniendo:
Ahora, el tercer ángulo son 5 partes, contando en sentido contrario a las manecillas del
reloj, el ángulo es el marcado por el segmento f, es decir 90°.
El segundo ángulo son 4 partes, es decir, el marcado por el segmento e, que tiene 72°.
El tercero es una parte, y es el marcado por el segmento b, es decir 18°
Luego los ángulos son 90, 72 y 18°
n. ¿En qué consiste ángulos opuestos por el vértice? Realiza un ejemplo (en
Geogebra).
Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos los lados de uno son las
prolongaciones del otro.
o. (En Geogebra) De un ejemplo de ángulos consecutivos.
El ángulo es consecutivo con el ángulo .
p. En la imagen: Si el ángulo 1 es igual al
doble del ángulo 2. Y el ángulo 2 es el
triple del ángulo 3, ¿Cuánto mide cada
ángulo?
Solución:
Ec.1 (Principio sistema Sexagesimal)
(Enunciado) Ec.2
Ec.3 (Enunciado), despejando,
Remplazando Ec.2 y Ec.3 en la Ec.1
Remplazamos en la Ec.2
De la Ec.1
Ec.1 (Principio sistema Sexagesimal)
(Enunciado) Ec.2
Ec.3 (Enunciado), despejando,
Remplazando Ec.2 y Ec.3 en la Ec.1
Remplazamos en la Ec.2
De la Ec.1
q. Explicar el concepto de perpendicularidad y paralelismo.
Perpendicularidad: se denomina a dos rectas que al cortarse o cruzarse forman
exactamente 4 ángulos iguales rectos de 90º.
Paralelismo: se denomina a dos rectas que al ser trazadas en el plano no tienen ningún
punto en común y por lo cual nunca se cruzan.
r. (En Geogebra) ¿Cuántas perpendiculares a una recta podemos trazar que tenga
la propiedad de pasar por un punto exterior a dicha recta?
Solo se puede trazar una recta perpendicular que tenga un punto exterior a dicha recta.
s. ¿Cuándo decimos que dos rectas son paralelas?
Dos rectas son paralelas cuando al ser trazadas en el plano no tienen ningún punto de
encuentro por lo cual no cruzan en ningún momento.
t. Explicar el método de reducción al absurdo.
El método de reducción al absurdo es un postulado que consiste en suponer lo
contrario a lo que se quiere demostrar, llegando a conclusiones falsas o contradictorias
a partir de postulados o teoremas ya demostrados.
u. (En Geogebra) Trazar una perpendicular a una recta dada, que pase por uno de
los puntos (por ejemplo, por un extremo, por el centro y por cualquier punto).
v. (En Geogebra) Trazar paralelas a una recta dada, que pasen por un punto exterior a
dicha recta.
Por un punto exterior a la recta solo puede pasar una línea recta paralela a ella
w. (En Geogebra) Trazar la bisectriz de un ángulo cualquiera.
x. (En Geogebra) Trazar: ángulos internos, ángulos externos, ángulos alternos, ángulos
correspondientes, ángulos conjugados y paralelas cortadas por una secante
ángulos internos: 4, 3, 5 y 6
ángulos externos: 1, 2, 7 y 8
ángulos alternos: 4 y 6, 3 y 5, 1 y 7, 2 y 8
ángulos correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7
ángulos conjugados:
o conjugados internos: 4 y 5, 3 y 6
o conjugados externos: 1 y 8, 2 y 7
paralelas cortadas por una secante:
Este mismo ejemplo anterior, es ejemplo de paralelas cortadas por una secante:
CONCLUSIONES
La investigación ha logrado el afianzamiento en los futuros docentes, los conceptos de
ángulo, perpendicularidad y paralelismo, rectas cortadas por una secante y ángulos
que se forman.
Esta actividad permitió la identificación y relación de los conceptos trabajados en las
aplicaciones que tienen en la vida cotidiana y otros campos de la ciencia.
Se promovió la búsqueda activa de diversas estrategias para el desarrollo y solución de
los ejercicios propuestos.
Se logró que los futuros licenciados en matemáticas trabajaran emplearan y
familiarizaran el uso del software Geogebra en temáticas muy importantes relacionadas
con geometría plana, tales como ángulos, perpendiculares, paralelas, entre otros
conceptos básicos para el desarrollo de esta área.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
BALDOR, J. A. (2004), Geometría Plana y Del Espacio con una Introducción a la
trigonometría. Compañía Cultural y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. México.
BALDOR, J. A. (2004), Geometría Plana y Del Espacio con una Introducción a la
trigonometría. Compañía Cultural y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. México.
Ángulos. (s.f.). En Wikipedia. Recuperado el 3 de septiembre de 2014 de
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
Grado sexagesimal, Relación entre radianes y grados sexagesimales. (s.f). En Wikipedia.
Recuperado el 5 de septiembre de 2014 de http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal