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MecânicaMecânicaMecânicaMecânica dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M.H. Rodriguez

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos

Equações Constitutivas para Fluidos Newtonianos - Eqs. de Navier- Stokes (cont.):

Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa de deformação angular); para coordenadas retangulares:

Obs.: para placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante:

dydu

yx µτ =

Obs.: Num sistema hidrostático, ou seja, o fluido estando em descanso:

pzzyyxx −=== σσσsendo p a pressão termodinâmica

As eqs. acima constituem uma afirmação geral da Lei de Newton da Viscosidade, aplicadas para situações de escoamento complexas com o fluido escoando em todas as direções

Da Eq. 13:



Exemplo: Placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante.

A tensão cisalhante aplicada ao elemento de fluido é dada por:

y

x

y

x

Ayx dAdF

AFLim

y

==→ δ

δτδ 0

Taxa de deformaçãodtd

tLimt

αδδα

δ==

→0

Problema: como expressar a taxa de deformação em termos facilmente mensuráveis?

δαδδδδδ yltul == ou (para ângulos pequenos)

Igualando as expressões acima e aplicando o limite em ambos os lados, tem-se:

dydu

dtd =α

Assim, o elemento de fluido da fig. Acima, quando sujeito à tensão cisalhante, , experimenta uma taxa de deformação dada por du/dy.

yxτ

yxτ



Fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados fluidos Newtonianos. Assim:

dydu

yx ∝τ

• A viscosidade dinâmica pode ser imaginada como sendo a “aderência” interna de um fluido; é uma das propriedades que influência a potência necessária para mover um aerofólio através da atmosfera, é responsável pelas perdas de energia associadas ao transporte de fluidos em dutos, canais e tubulações, e tem um papel primário na geração de turbulência.

A cte. de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica, µ.

Lei de Newton da viscosidade:

dydu

yx µτ = (escoamento unidimensional)

Obs.: note que,

0================

−−−−============

∂∂∂∂∂∂∂∂========

zxxzzyyyz

zzyyxx

yxxy

pyu

τττττττ

µττ

Quadro negro



Substituindo as expressões para as tensões na equação diferencial da quantidade de movimento, temos:

Estas são as equações gerais diferenciais da quantidade de movimento para fluido Newtoniano ou Equações de Navier-Stokes com densidade e viscosidade variáveis

Estas equações, juntamente com a equação da continuidade, a equação de estado, a equação da energia e conhecendo-se a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e condições iniciais, determinam completamente a pressão, densidade, temperatura, viscosidade e componentes da velocidade em um escoamento de um fluido (7 eqs. para 7 incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).

Da Eq. 19:



As equações de Navier-Stokes (N-S) gerais podem ser simplificadas quando ρρρρ = cte. ( ) e µµµµ = cte. (variação da viscosidade desprezível). Nestas condições as equações de N-S ficam sendo:

Escoamento incompressível e viscosidade dinâmica constante

Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokessimplificadas assumem a seguinte forma:

� � ��

��

��

�

q.d.m. de difusão de termo-

superfície de força -volume

de unidadepor viscosaforça -

2

superfície de força -volume

de unidadepor pressão de força -

campo de força -volume

de unidadepor nalgravitacio força -

q.d.m. de e transportdeou sconvectivo termos-

aceleração vezes volumede

unidadepor massa -

VpgDtVD ∇+∇−= µρρ

Para escoamentos invíscidos (µ = 0), chega-se à famosa equação de Euler, derivada em 1755:

pgDtVD ∇−= �

�

ρρ

0====⋅⋅⋅⋅∇∇∇∇ V�

(Obs.: juntamente com a continuidade são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p):

(quadro negro)



Análise Dimensional e Semelhança• As equações diferenciais parciais da continuidade e da quantidade de movimento serão discutidas do ponto de vista da análise dimensional.

• O desenvolvimento a seguir é limitado a sistemas de densidade (ρρρρ) constante e viscosidade (µµµµ) constante.

Tomemos, por exemplo, o caso de escoamento em tubos. O comprimento característico pode ser o diâmetro D, e V pode ser a velocidade média do escoamento. A seguir temos algumas variáveis adimensionais convenientes e operadores adimensionais:

(1)

Da *



Relembrando que as equações da continuidade e quantidade de movimento para fluidos Newtonianos de densidade e viscosidade constantes são, respectivamente:

(Obs.: termos em negrito são vetores)

Nos podemos reescrever essas duas equações em termos das variáveis adimensionais apresentadas no slide anterior fazendo v = v* V, (p - po) = p* ρ V2, etc.

(2)

(3)

(4)

(5)



Multiplicando a Eq. (4) por D / V e a Eq. (5) por D / ρ V2 , temos:

(6)

(7)

Estas são, respectivamente, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento adimensionais.

Note que os “fatores de escala”, ou seja, as variáveis descrevendo a dimensão e velocidade global do sistema e suas propriedades físicas, estão concentrados em apenas dois grupos adimensionais:



Semelhança Dinâmica

1. Se em dois sistemas diferentes os “fatores de escala”são iguais, por exemplo os números de Froude e Reynolds, então ambos sistemas são descritos por equações diferenciais adimensionais idênticas.

2. Se, em adição, as condições iniciais e condições de contorno são as mesmas (o que é possível apenas se os dois sistemas diferentes são geometricamente semelhantes), então os dois sistemas são idênticos matematicamente; ou seja, v*(x*, y*, z*, t*) e p*(x*, y*, z*, t*) são os mesmos em ambos sistemas diferentes.

3. Tais sistemas são, então, “dinamicamente semelhantes”

Resumindo: “sistemas diferentes são dinamicamente semelhantes quando são geometricamente semelhantes, possuem as mesmas condições de contorno e iniciais e possuem os mesmos números adimensionais com valores idênticos.”



Parâmetros Adimensionais comuns



O significado físico de cada parâmetro pode ser determinado observando que cada número adimensional pode ser escrito como a relação entre duas forças. Observe que as forças são:



Assim, observamos que:



A tabela a seguir resume esta seção:

Parâmetros adimensionais comuns na mecânica dos Fluidos

pgm1 (16:30)

Quadro negro

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