i

Universidad Nacional

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Escuela de Matemática

Análisis didáctico, como fundamentación teórica, en la

elaboración de materiales didácticos coherentes con el

Programa de Estudios de Matemática de Costa Rica: el caso

de la función lineal y de la función cuadrática

Trabajo Final de Graduación sometido a consideración del Tribunal Examinador como

requisito parcial para optar por el grado de Licenciatura en la Enseñanza de la

Matemática

Estudiantes:

Hazel Fernández Álvarez

José Luis Morales Reyes

Steven Quesada Segura

Campus Omar Dengo

Heredia, Costa Rica

16/ 08/ 2018

ii

Este trabajo final de graduación ha sido aceptado y aprobado por el Tribunal

Examinador de la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, como requisito

parcial para optar al grado de Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática.

M. Sc. Randall Hidalgo Mora

Representante del Decanato

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

_______________________

Dr. Miguel Picado Alfaro

Representante de la Dirección

Escuela de Matemática

_______________________

M. Sc. Marianela Alpízar Vargas

Tutora

_______________________

M. Sc. Ana Lucía Alfaro Arce

Asesora

_______________________

M. Sc. José Romilio Loría Fernández

Asesor

_______________________

Bach. Hazel Fernández Álvarez

Estudiante

_______________________

Bach. José Luis Morales Reyes

Estudiante

_______________________

Bach. Steven Quesada Segura

Estudiante

_______________________

iii

Agradecimientos y dedicatoria

Deseo agradecer a M. Sc. Marianela Alpízar Vargas, M. Sc. Ana Lucía Alfaro Arce

y M. Sc. José Romilio Loría Fernández por su gran apoyo, por su tiempo compartido y

motivación para la culminación de nuestros estudios profesionales y para la elaboración de

este trabajo de graduación. A mis compañeros de tesis que nos apoyamos mutuamente en

nuestra formación profesional. Y sobre todo a mi bella Mariángel por ser un pilar

fundamental en todo lo que soy. Todo este trabajo ha sido posible gracias a ellos.

Hazel Fernández

Agradezco a mis compañeros de tesis por los momentos compartidos, por brindarme

su amistad y apoyo durante toda la carrera. Asimismo, le doy un agradecimiento muy

especial a la profesora Marianela Alpízar por aceptar ser nuestra tutora, a pesar de sus

múltiples compromisos académicos y personales, y por siempre impulsarnos para finalizar

la licenciatura; sin duda, esta investigación es parte de su profesionalismo, esfuerzo y

tiempo brindado. De igual manera, agradezco a nuestros asesores, Ana Lucía Alfaro y

Romilio Loría, por los aportes dados durante el desarrollo de la investigación, de manera

particular al profesor Romilio, quien a pesar de estar realizando sus estudios doctorales, no

dudaba en colaborarnos desde España.

José Luis Morales

Agradezco primeramente a Dios por brindarnos la bendición de poder culminar con

mucho éxito la etapa de licenciatura, adicionalmente a mis amigos por todos los años que

compartimos en la universidad y en la elaboración de este documento. Luego, con un cariño

muy especial, a nuestra tutora de tesis por atendernos y apoyarnos en todos los momentos.

A los lectores Ana Lucía y Romilio Loría por el tiempo dedicado hacia nuestras personas.

Steven Quesada

iv

Tabla de contenidos

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

1.1. Antecedentes .............................................................................................................. 2

1.2. Justificación y planteamiento del problema ............................................................... 9

1.3. Objetivos .................................................................................................................. 15

1.3.1. Objetivo general .................................................................................................... 15

1.3.2. Objetivos específicos ............................................................................................ 15

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. El currículo preuniversitario de Matemática en Costa Rica ..................................... 18

2.1.1 Pasos para abordar una lección de Matemática ................................................. 24

2.1.2 Propósitos de la enseñanza en el área de Relaciones y Álgebra ....................... 25

2.1.3 Habilidades generales en el área de Relaciones y Álgebra .............................. 26

2.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de la Matemática .............................. 27

2.2.1 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función lineal ................... 30

2.2.2 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función cuadrática ........... 33

2.3. Dificultades y errores en el aprendizaje de la Matemática ....................................... 36

2.3.1 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función lineal....................... 41

2.3.2 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función cuadrática ............... 42

2.4. Material didáctico ..................................................................................................... 44

2.5. Análisis didáctico ..................................................................................................... 46

2.5.1 Análisis de Contenido ....................................................................................... 46

2.5.2 Análisis Cognitivo ............................................................................................. 51

2.5.3 Análisis de Instrucción ...................................................................................... 53

CAPÍTULO II

MARCO METODOLÓGICO

3.1. Tipo de Investigación ............................................................................................... 58

3.2. Etapas o fases de la investigación ............................................................................ 59

3.2.1. Etapa I: Indagación bibliográfica ...................................................................... 59

3.2.2. Etapa II: Elaboración del Material Didáctico .................................................... 60

3.2.2.1. Delimitación del contenido matemático a estudiar ........................................ 60

3.2.2.2. Utilidades y aplicaciones del contenido matemático a estudiar .................... 61

3.2.2.3. Aprendizajes, dificultades y errores............................................................... 61 3.2.2.4. Diseño, análisis y selección de las actividades que conformarán la propuesta

didáctica de investigación ............................................................................................. 62

3.2.3. Etapa III: Valoración del Material Didáctico .................................................. 63

3.2.3. Etapa IV: Consideraciones finales del Material Didáctico .............................. 64

3.3. Instrumentos de recolección de información ............................................................ 64

3.3.1. Cuestionario ...................................................................................................... 64

3.3.2. Entrevista semiestructurada ............................................................................... 67

3.3.3. Rúbrica para la valoración del material didáctico .......................................... 67

3.4. Análisis de la información ........................................................................................ 69

3.4.1. Contenido matemático ....................................................................................... 69

v

3.4.2. Errores y dificultades que presentan los estudiantes de décimo año al trabajar

los temas de función lineal y función cuadrática ................................................. 69

3.4.3. Estrategias metodológicas para la enseñanza y aprendizaje de las funciones

lineal y cuadrática ................................................................................................ 70

3.4.4. Pertinencia del Material Didáctico para la enseñanza de la función lineal y la

función cuadrática ................................................................................................ 70

3.5. Descripciones referentes al análisis de la información ............................................ 71

3.5.1. Análisis de Contenido ....................................................................................... 71

3.5.2. Cuestionarios ..................................................................................................... 72

3.5.3. Entrevista semiestructurada ............................................................................... 73

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS CONCEPTUAL

4.1. Función lineal ........................................................................................................... 74

4.1.1. Libros de textos de educación secundaria ......................................................... 74

4.1.2. Libros de textos universitarios .......................................................................... 77

4.1.3. Programa de Estudio de Matemática del MEP de Costa Rica .......................... 78

4.1.4. Investigaciones previas...................................................................................... 79

4.2. Función cuadrática ................................................................................................... 80

4.2.1. Libros de textos de educación secundaria ......................................................... 80

4.2.2. Libros de textos universitarios .......................................................................... 82

4.2.3. Programas de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica ....................... 83

4.2.4. Investigaciones previas...................................................................................... 83

CAPÍTULO V

ANÁLISIS DE CONTENIDO

5.1. Descripción de los organizadores ............................................................................. 84

5.2. Estructura conceptual de la función lineal ............................................................... 86

5.2.1. Campo conceptual ............................................................................................. 86

5.2.2. Campo procedimental ....................................................................................... 87

5.3. Sistemas de representación de la función lineal ....................................................... 88

5.4. Análisis Fenomenológico de la función lineal ......................................................... 89

5.4.1. Historia de la función lineal .............................................................................. 89

5.4.2. Aplicaciones de la función lineal ...................................................................... 91

5.5. Estructura conceptual de la función cuadrática ........................................................ 95

5.5.1. Campo conceptual ............................................................................................. 95

5.5.2. Campo procedimental de la función cuadrática ................................................ 96

5.6. Sistemas de representación de la función cuadrática ............................................... 97

5.7. Análisis Fenomenológico de la Función Cuadrática ................................................ 98

5.7.1. Historia de la Función Cuadrática .................................................................... 98

5.7.2. Aplicaciones de la función cuadrática ............................................................ 100

CAPÍTULO VI

ANÁLISIS COGNITIVO

6.1. Expectativas de aprendizaje de la Función Lineal y Función Cuadrática .............. 103

6.2. Conocimientos y Procesos matemáticos................................................................. 104

vi

6.3. Errores y dificultades asociadas con el aprendizaje de la función lineal y

cuadrática…. .................................................................................................................. 107

6.3.1. Función Lineal ................................................................................................ 109

6.3.1.1. Errores cometidos por los estudiantes. ........................................................ 109

6.3.1.2. Errores detectados por los profesores .......................................................... 119

6.3.1.3. Dificultades detectadas por los profesores. .................................................. 120

6.3.2. Función Cuadrática .............................................................................................. 123

6.3.2.1. Errores cometidos por los estudiantes. ........................................................ 123

6.4.2.2. Errores detectados por los profesores .......................................................... 129

6.4.2.3. Dificultades detectadas por los profesores ................................................... 131

CAPÍTULO VII

ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN

7.1. Selección de las tareas ............................................................................................ 134

7.2. Variables involucradas en el análisis de las tareas ................................................. 135

7.3. Análisis de las tareas que fueron seleccionadas en relación con la función lineal . 137

7.4. Secuenciación de las tareas de función lineal en etapas de aprendizaje................ 165

7.4.1 Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad ..... 168

7.4.2 Descripción de las etapas de clase ................................................................... 169

7.5. Análisis de las tareas que fueron seleccionadas en relación con la función

cuadrática......................................................................................................... 173

7.6. Secuenciación de las tareas de función cuadrática en etapas de aprendizaje ........ 196

7.6.1. Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad ..... 197

7.6.2. Descripción de las etapas de clase ................................................................... 198

CAPÍTULO VIII

VALORACIONES DEL MATERIAL DIDÁCTICO

8.1. Recomendaciones obtenidas a raíz de la valoración de los docentes ..................... 203

8.2. Aplicación de tareas seleccionadas del Material Didáctico ................................... 205

CAPÍTULO IX

CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES

9.1. Conclusiones........................................................................................................... 207

9.2. Limitaciones de la investigación ............................................................................ 215

9.3. Recomendaciones ................................................................................................... 215

9.3.1. Para las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses ............ 216

9.3.2. Para los docentes en ejercicio y en formación ................................................ 216

9.3.3. Para futuras investigaciones ............................................................................ 217

Referencias bibliográficas ........................................................................................... 218

Anexos…... .................................................................................................................... 229

vii

Índice de tablas

Tabla 1. Bloque conceptual de la función lineal .................................................................. 86

Tabla 2. Bloque procedimental de la función lineal ............................................................. 87

Tabla 3. Sistemas de representación de la función lineal ..................................................... 88

Tabla 4. Bloque conceptual de la función cuadrática. .......................................................... 95

Tabla 5. Bloque procedimental de la función cuadrática ..................................................... 96

Tabla 6. Sistemas de representación de la función cuadrática ............................................. 97

Tabla 7. Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática para décimo año ......... 103

Tabla 8. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades

de la función lineal y los procesos matemáticos propuestos por el MEP. .......................... 105

Tabla 9. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades

de la función cuadrática y los procesos matemáticos propuestos por el MEP ................... 106

Tabla 10. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal. .......................... 117

Tabla 11. Sumatoria de los puntajes asignados por los profesores encuestados en relación

con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad. ................................. 121

Tabla 12. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función lineal según

los docentes encuestados. ................................................................................................... 122

Tabla 13. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática. .................. 128

Tabla 14. Enriquecimiento de la categorización de errores y acciones realizadas en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática. .................. 130

Tabla 15. Sumatoria de los puntajes obtenidos por los 30 profesores entrevistados en

relación con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad. .................... 132

Tabla 16. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función cuadrática

según los docentes encuestados. ......................................................................................... 133

Tabla 17. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Compras de

maletas por Internet”. ......................................................................................................... 141

Tabla 18. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Frecuencia

cardiaca máxima”. .............................................................................................................. 144

Tabla 19. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Uso de Uber”.

............................................................................................................................................ 146

Tabla 20. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Televisión

satelital Claro”. ................................................................................................................... 148

Tabla 21. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “En el

gimnasio”. ........................................................................................................................... 150

Tabla 22. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Venta de

granizados”. ........................................................................................................................ 151

Tabla 23. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Contrato de

fontanero” ........................................................................................................................... 153

viii

Tabla 24. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia

de Kahoot” .......................................................................................................................... 159

Tabla 25. Fichas de la representación algebraica. .............................................................. 160

Tabla 26. Fichas de la representación gráfica.................................................................... 161

Tabla 27. Variables de la tarea “Jugando con un tablero” .................................................. 164

Tabla 28. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con

la Función Lineal. ............................................................................................................... 166

Tabla 29. Organización de las tareas por momento de clase. ............................................. 168

Tabla 30. Planificación de la etapa 1 de la función lineal .................................................. 169

Tabla 31. Planificación de la segunda etapa de la función lineal. ...................................... 170

Tabla 32. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de la función lineal. ...... 171

Tabla 33. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de la función lineal. ........ 172

Tabla 34. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Explorando

con Geogebra” .................................................................................................................... 176

Tabla 35. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia

con Plickers” ....................................................................................................................... 181

Tabla 36. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Distancia de

frenado” .............................................................................................................................. 185

Tabla 37. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Colocando

cerámica” ............................................................................................................................ 186

Tabla 38. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Atletismo

Moderno” ............................................................................................................................ 189

Tabla 39. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Haciendo

malabarismo” ...................................................................................................................... 190

Tabla 40. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Movimiento

de un balón de fútbol” ........................................................................................................ 192

Tabla 41. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Maniobra de

una avioneta” ...................................................................................................................... 195

Tabla 42. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con

la Función Cuadrática ......................................................................................................... 196

Tabla 43. Organización de las tareas por momento de clase .............................................. 197

Tabla 44. Planificación de la etapa 1 de clase de la función cuadrática ............................. 198

Tabla 45. Planificación de la segunda parte de la primera etapa de clase de la función

cuadrática ............................................................................................................................ 199

Tabla 46. Planificación de la segunda etapa de clase de la segunda etapa de la función

cuadrática ............................................................................................................................ 200

Tabla 47. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de clase de la segunda etapa

de la función cuadrática ...................................................................................................... 201

Tabla 48. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de clase de la segunda etapa

de la función cuadrática ...................................................................................................... 202

Tabla 49. Perfil de los docentes evaluadores del Material Didáctico. ................................ 203

1

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se expone la intencionalidad y justificación de esta investigación, la

cual nace bajo la necesidad de contar con un material para la enseñanza y aprendizaje de la

función lineal y cuadrática, para décimo año de la educación secundaria de Costa Rica,

acorde al actual Programa de Estudios de Matemática, aprobado en la reforma del 2012.

Para iniciar, se debe tener claro que la mejora del proceso de enseñanza y

aprendizaje de la Matemática está relacionada directamente con las decisiones sobre las

tareas, estrategias y modos de interacción que se dan en el aula (Sarmiento y Manzanilla,

2011).

Al respecto Llinares (1998) y Saiz (2007) afirman que, el docente será el encargado

de favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje a través de sus acciones, con propuestas

diferentes que conduzcan a los educandos a la comprensión real de los conocimientos; que

promueva una Matemática con sentido y donde los contenidos del currículo aparezcan

como recursos para resolver problemas. Esta perspectiva constituye un desafío para los

alumnos, debido a que se da lugar a las conjeturas, la discusión de ideas, la confrontación

entre los compañeros.

En relación con lo citado por estos autores, se puede notar que se promueve un

cambio en la metodología de enseñanza de la Matemática, en la que se debe empezar a

mostrar la utilidad de la misma y no solo su parte abstracta, que al final se encuentra lejos

de la realidad estudiantil.

Una manera de empezar a hacer estos cambios, fue ya propuesta por Guzmán

(2001), el cual plantea una serie de estrategias, como la Historia de la Matemática,

Modelación Matemática de la realidad y la heurística o "problem solving", las cuales son

metodologías que permiten mejorar la enseñanza de la Matemática, y a su vez están

inmersas en el Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública

2

(MEP) en Costa Rica, mismo que también delimita el trabajo que debe realizar un docente

de Matemática en la educación pública desde educación primaria hasta educación

secundaria en cuanto a metodologías, conocimientos y habilidades.

De esta manera, es primordial que los docentes cuenten con estrategias y materiales

didácticos acordes con lo planteado en el Programa de Estudios de Matemática. En este

sentido, esta investigación se centra en el diseño de un Material Didáctico1 que tome en

cuenta la metodología propuesta por el MEP en el programa vigente, para desarrollar en los

estudiantes las habilidades propuestas para los temas de función lineal y de función

cuadrática; en el diseño de dicho material se utilizará el Análisis Didáctico como

fundamentación teórica, y como parte de él se realizará un análisis de tareas preexistentes en

libros de texto u otros documentos, y se adecuarán para efectos de esta investigación; donde

adecuar implica seleccionar tareas que se ajustan a los criterios que la investigación maneja,

incluyendo la posibilidad de modificarlas, y si es necesario, diseñar tareas nuevas (Marín,

2013).

En esta primera parte del documento se presenta una aproximación al problema que

se estudia, la justificación del estudio, la descripción del problema, y los objetivos que

proveen orientación a la investigación.

1.1. Antecedentes

Se presentan, en esta sección, resultados de investigaciones relacionadas con

problemas encontrados en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, primero en

forma global y luego en el caso particular de las funciones; así mismo, se resumen una serie

de indagaciones relacionadas con diversas estrategias metodológicas utilizadas para la

enseñanza de las funciones lineal y cuadrática.

La Matemática representa una de las disciplinas que le permite al estudiante

desarrollar su inteligencia, le enseña a pensar y favorece el desarrollo de las capacidades y

1De aquí en adelante se entenderá por Material Didáctico, al material propuesto para esta

investigación.

3

procesos cognitivos, por lo que su enseñanza posibilita el desarrollo integral del mismo

como persona inmersa en una sociedad (Soriano, 1993). De esta manera, se busca que el

estudiante desarrolle su pensamiento lógico, habilidades, capacidades para resolver

problemas reales y tomar decisiones.

Sin embargo, para la adquisición de las diversas habilidades que se pueden lograr a

través de la Matemática es necesario un proceso adecuado de enseñanza, el cual se ve

afectado por varias situaciones, entre las que se pueden mencionar: aspectos cognitivos,

didácticos, motivacionales, entre otros. Al respecto Guzmán (2001) indica que, una gran

parte de los fracasos matemáticos de muchos de los estudiantes tienen su origen en un

posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en

este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción de los

contenidos matemáticos por parte de sus docentes. Este mismo autor considera que, una de

las tendencias generales más difundidas hoy en día, consiste en que se debe hacer hincapié

en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la Matemática, en lugar de la

mera transferencia de contenidos.

De acuerdo con lo anterior, y específicamente en el tema de funciones, López y Sosa

(2008) exponen que una de las problemáticas que presenta el aprendizaje de las funciones

corresponde a una serie de dificultades propias del mismo concepto y de la forma en que es

enseñado.

Bajo esta misma línea, al especificar sobre los problemas encontrados en la forma en

que es enseñado el concepto de función, se puede mencionar que la enseñanza de las

funciones Matemática a través de enfoques tradicionales “es desarrollada en forma

abstracta, formal y Matemáticamente perfecta”, pero sin un verdadero significado para la

mayoría de los estudiantes, porque están alejados de las aplicaciones y propenden, por lo

general, un aprendizaje memorístico, carente de significado (López, Petris y Pelozo, 2005).

4

Así, se desprende que, es necesaria una innovación en los procesos de enseñanza de

las funciones, con el fin de buscar resultados distintos a los ya encontrados con las

metodologías tradicionales.

Detallando sobre las dificultades mencionadas por los autores anteriores, se pueden

citar las investigaciones realizadas por López y Sosa (2008), Sarmiento y Manzanilla

(2011) y Córdoba, Díaz, Haye y Montenegro (2013) los cuales destacan la falta de

capacidad para: definir de manera correcta el concepto de función, interpretar el lenguaje

matemático, diferenciar entre variable e incógnita, enunciar fenómenos o situaciones que

involucren una relación funcional entre variables, utilizar diferentes representaciones de

funciones y analizar e interpretar el comportamiento de la gráfica de una función.

Por su parte Leinhardt (1990), citado por Guzmán (2006), señala que una de las

tareas de mayor dificultad, para los estudiantes de secundaria, es la traducción entre las

representaciones gráfica y algebraica.

Aunando en el caso particular de la función lineal, Córdoba et al. (2013) señalan que

los estudiantes presentan algunas dificultades al establecer la relación existente entre el

parámetro pendiente respecto a la inclinación de la recta, la relación que existe entre la

representación algebraica y el esbozo de la gráfica, y la representación de las intersecciones

con los ejes de coordenadas mediante el criterio de la función. Un aspecto que puede influir

en la potencialidad de algunas de estas dificultades es la falta de dominio de conocimientos

previos, al respecto Guzmán (2006) menciona que los estudiantes no saben interpretar la

ubicación de los puntos en los ejes coordenados, el cual corresponde a un conocimiento

básico en el estudio del tópico de funciones.

Por otro lado, en cuanto a la función cuadrática, los estudiantes también presentan

algunas dificultades, por ejemplo en el establecimiento del coeficiente numérico del

término cuadrático mediante la información visual contenida en la gráfica y la relación

existe entre el coeficiente del término lineal con la posición del eje de la parábola (Córdoba

et al., 2013).

5

De lo mencionado anteriormente, se deduce que el estudio de las funciones es un

tema que usualmente presenta algunas dificultades, por ende es necesario contar con

estrategias para su enseñanza, ya que este tema es uno de los más relevantes dentro de la

Matemática, debido a que esta área del saber permite entender, cuantificar y modelizar

fenómenos y analizarlos de nuevo a la luz de los resultados (Ugalde, 2014; Roumieu,

2014).

En el Programa de Estudios de Matemática del MEP, el área de Relaciones y

Álgebra es abarcada en todos los años de secundaria debido a su gran variedad de

aplicaciones, donde permite visualizar las Matemática más cercanas a la realidad.

Lo anterior hace necesaria una indagación sobre qué estrategias se pueden utilizar

para la enseñanza de estos temas. En los últimos años, a nivel internacional, se han hecho

estudios relacionados con los procesos de enseñanza y aprendizaje de las funciones lineal y

cuadrática utilizando diversas metodologías, entre ellas: experimentación, resolución de

problemas, modelación Matemática, tecnología.

Respecto a las investigaciones que utilizan la experimentación, Bentacur (2013) en

su tesis de maestría busca acercar a los estudiantes de octavo grado a la comprensión del

concepto de función por medio de situaciones experimentales, que favorezcan la aplicación

de los diferentes sistemas representacionales, la modelación del cambio y la variación de

diferentes fenómenos. Para lograr tal objetivo fue necesario definir claramente el concepto

de función al cual se quería llegar, este concordaba con una visión dinámica y variacional,

en donde el cambio y la correspondencia entre dos variables eran fundamentales para

caracterizar una relación funcional. Al finalizar la experiencia de aula se resaltó el valor

didáctico que tiene la experimentación dentro del proceso de aprendizaje de las Matemática

en general y de la comprensión del concepto de función en particular; además, ésta no sólo

favoreció aspectos motivacionales en los estudiantes sino que permitió “concretizar”

conceptos que podrían parecer mucho más abstractos en la pizarra.

Altam, Comparatore y Kurzrook (2006) desarrollan, de forma similar que Bentacur

(2013), una serie de actividades basadas en una situación concreta, donde la intención es

6

que los estudiantes por medio de la experimentación logren descubrir las condiciones

necesarias para utilizar un modelo lineal, mediante la selección de las variables y la

relaciones de las mismas dentro del problema que dio origen a la situación.

En cuanto a la metodología de resolución de problemas, Ruesga y Sigarreta (2004),

proponen en su investigación el uso de la heurística como estrategia general, se le pide al

estudiante como primer paso identificar el problema y buscar las relaciones existentes entre

los datos del problema planteado, para crear un modelo que describa la situación dada y

posteriormente analizar las propiedades del modelo establecido para darle solución al

problema; este tipo de manejo de los problemas como se verá más adelante, es similar al

modelo de clase propuesto en el Programa de Estudios del MEP.

Ahora, la metodología de la modelización (estrategia relacionada con la resolución

de problemas), es trabajada por Arguello (2008) a través de la simulación de un problema

de una carrera de automóviles utilizando un modelo lineal, basándose en las velocidades de

dichos automóviles, además utilizó la calculadora graficadora, con el fin de mostrar la

aplicación de la función lineal en un contexto cotidiano. En este sentido Alfonzo (2012)

señala que el uso adecuado de recursos tecnológicos, como por ejemplo los graficadores

didácticos, permite al estudiante la adquisición del concepto de función de forma

provechosa, al mismo tiempo que se estimula la creatividad en el estudiantado, ya que sirve

como guía para el trabajo independiente.

Por su parte, Cabra y Gómez (2006) proponen una secuencia de actividades en las

que se trabaja el concepto de función lineal, para estudiantes de noveno año de la educación

colombiana, con la que pretenden introducir diferentes contextos donde se relacionan

magnitudes en forma proporcional, favorece y propicia la manipulación de las diferentes

representaciones de las funciones, particularmente la utilización de expresiones algebraicas

para describir gráficas, tablas y problemas funcionales; a través del proceso de

modelización se busca establecer la importancia de la pendiente como una razón de cambio

y el criterio de dicha función.

7

Uno de los resultados más importantes que obtuvieron Cabra y Gómez (2006) tras la

aplicación de la secuencia didáctica, es que la mayoría de los estudiantes lograron conocer,

identificar y construir la expresión algebraica de una función lineal.

En relación con el uso de la tecnología como estrategia didáctica, Ortega y Puig

(2015) consideran que “el incremento en el uso de las nuevas tecnologías está cambiando

todo aquello que nos rodea y, en consecuencia, la forma en la que se concibe la enseñanza y

el aprendizaje” (p.451), por lo que han realizado un modelo de enseñanza para trabajar la

función cuadrática que combina el uso de datos reales con tabletas a través de la

modelización Matemática, dicha investigación fue realizada con estudiantes de décimo año,

y el fenómeno estudiado corresponde a la relación entre el tiempo y la altura del primer

salto de una pelota cuando se deja caer desde una cierta altura; durante este proceso los

estudiantes lograron comprender porque la altura no puede ser negativa cuando se trabaja

por encima del nivel del suelo.

Es importante destacar el hecho de que el uso de la tecnología no tiene por qué ser

una estrategia metodológica individual, es decir, la misma puede utilizarse de forma

complementaria a otras estrategias con el fin de llegar a los objetivos propuestos, como se

puede notar en las investigaciones anteriormente citadas. Un ejemplo claro es el trabajo de

Coppié y Velázquez (2013), quienes realizaron actividades didácticas considerando la

resolución de problemas y el uso de recursos tecnológicos, pues consideran que el uso de

las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC´S) reorganizan el contexto

educativo y ayuda a construir conocimientos matemáticos en el aula.

Por su parte, Opazo, Grajeda y Farfán (2014) consideran que el uso de las nuevas

tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, constituye un factor que

ayudará a mejorar estos procesos, ya que posee elementos técnicos que le permiten al

estudiantado visualizar las funciones de cualquier tipo de manera dinámica y rápida,

específicamente por medio del uso de GeoGebra. En su investigación con estudiantes

universitarios de México, observaron que al trabajar de una manera autodidacta con ayuda

8

de las hojas dinámicas, los estudiantes lograron reconocer cómo afecta la variación de los

parámetros de la expresión algebraica de la función cuadrática en su representación gráfica.

Martínez, Mora y Rodríguez (2012) apoyan el uso de la tecnología para la

enseñanza de la función lineal y cuadrática, al igual que Opazo et al. (2014) consideran que

el uso de software educativo es un valioso complemento en la preparación y desarrollo de

las clases de Matemática. Martínez, et al. (2012) diseñaron una aplicación con estudiantes

universitarios de primer ingreso, la cual permite representar en el plano cartesiano las

coordenadas de los puntos para así determinar la ecuación de la recta o de la parábola que

contiene dichos puntos, de modo que los estudiantes lograron desarrollar la habilidad de

graficar funciones lineales y cuadráticas de forma independiente, ya que el usuario es el

encargado de construir la gráfica a partir de sus conocimientos, lo que propició la

interiorización del aprendizaje.

Siguiendo con esta misma idea, Martínez (2013) en su tesis de maestría, plantea que

cuando los profesores universitarios abordan el tema de función en los primeros semestres

de algunas carreras, detectan vacíos cognitivos sobre su definición, por lo que propone la

utilización del software “GeoGebra” para la enseñanza de los conceptos de función,

función lineal y función cuadrática con estudiantes de primer semestre de ingeniería de la

Universidad de la Salle en Bogotá. Dicha propuesta se materializó mediante el diseño de

módulos didácticos que siguen la secuencia didáctica de pedagogía conceptual, la cual es

un modelo pedagógico de carácter formativo, educativo, que asume como propósitos

formar para la vida y el trabajo a partir del desarrollo de las competencias afectivas,

cognitivas y expresivas del ser humano. Los módulos son enriquecidos con diferentes

aplicaciones o applets que se ejecutan en el entorno planteado y con instrumentos de

evaluación.

En el ámbito nacional, una investigación relacionada directamente con las

estrategias metodológicas propuestas por el MEP en el programa de estudios vigente es la

realizada por Zumbado (2013). Su trabajo se dirigió a estudiantes de décimo año, y se

enfoca en el uso de la resolución de problemas para desarrollar el análisis gráfico y

9

algebraico de la función cuadrática, promoviendo el trabajo del estudiantado a través de sus

habilidades y conocimientos previos para que entre en contacto con nuevos conocimientos

y fortalezca o amplíe habilidades mediante su experiencia con los objetos de aprendizaje,

en este caso la función cuadrática. En dicha propuesta se utilizan los cuatro pasos que se

proponen en el Programa de Estudios de Matemática en Costa Rica: entendimiento del

problema, diseño, control, revisión y comprobación.

1.2. Justificación y planteamiento del problema

En este capítulo se exponen todos aquellos argumentos por los cuales se ha

seleccionado dicha temática, es por esto que se iniciará con la Matemática en general, luego

con las funciones, aplicaciones e historia; para llegar al papel que juega dicha temática en la

educación costarricense.

La Matemática describe muchas de las situaciones presentes en nuestro mundo,

especialmente aquellas actividades que los seres humanos realizamos de forma cotidiana, a

veces de una forma casi imperceptible y otras de manera más práctica en el lenguaje

interno, oral o escrito, por lo que existe una gran infraestructura tecnológica basada en

modelos matemáticos (Arch, 2008; Muñetón, 2008).

Una de las áreas de la Matemática, que es un claro ejemplo de lo mencionado

anteriormente son las funciones, las cuales tiene aplicabilidad en diferentes ciencias a

través de la Matemática aplicada, por ejemplo en la mecánica, en la economía, en la

administración, en la ingeniería, entre otras. Además, intervienen en el desarrollo de áreas

propias de la Matemática como el Cálculo Diferencial, Análisis, Álgebra Lineal,

Ecuaciones Diferenciales, entre otras.

Históricamente el concepto de función surge por los diferentes intereses que posee la

humanidad de entender y tratar de describir la naturaleza en la que vive. El concepto de

función sufre muchas modificaciones a lo largo de la historia, como se entiende dicho

concepto actualmente se consolidó en el año 1837, con el matemático Gustav Dirichlet

(Ugalde, 2014). Se hace notar que el concepto de función se ha consolidado a través de

10

muchos años de esfuerzos realizados por varios matemáticos, por lo que es esperable que su

aprendizaje presente dificultades. En Costa Rica se encuentran evidencias de esta

problemática, las estadísticas obtenidas por el Departamento de Control de Calidad del

MEP muestran que los estudiantes de educación secundaria tienen serias dificultades

cognitivas en el estudio de las funciones (Vílchez y Ulate, 2006).

Lo anterior se complementa con el hecho de que, en las pruebas nacionales de

bachillerato se evidencia que los objetivos donde se involucran los temas relacionados con

la función lineal y cuadrática se clasifican en un nivel intermedio, es decir que la

proporción de las respuestas correctas se encuentran entre el 40% y 60% (MEP, 2015).

Ramírez y Pizarro (2014), profundizan más sobre las dificultades mostradas por los

estudiantes costarricenses en el aprendizaje de los tópicos de función lineal y cuadrática, al

señalar que en la prueba de bachillerato, estos tienen problemas al evaluar un punto en una

recta dada, determinar el valor de una variable, discernir la monotonía de la función lineal a

partir de la pendiente, evaluar la intersección de una recta con el eje x . Citan además que,

apenas un estudiante o menos de cada diez logran responder acertadamente estos ítems.

La falta de dominio de estos procesos se vuelve un asunto alarmante debido a que

las funciones corresponden al contenido fundamental utilizado en el diseño de la prueba de

bachillerato, pues incluye más del 60% de los ítems; en consecuencia el bajo dominio de

este tópico puede ser considerado como el principal causante de que Matemática sea la

asignatura con mayor fracaso escolar (Ramírez y Pizarro, 2014).

Más allá de las dificultades que puedan presentarse en un tópico, es preocupante que

Matemática sea la materia con mayor fracaso escolar (MEP, 2012), este hecho se confirma

con los resultados obtenidos en varias pruebas que miden los conocimientos matemáticos

adquiridos por parte de los estudiantes al concluir la secundaria, entre ellas están las

pruebas nacionales de bachillerato y las pruebas de diagnóstico realizadas por algunas

universidades estatales a sus estudiantes de primer ingreso.

11

Así, por ejemplo, en la Universidad de Costa Rica (UCR), en el informe de la

prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes universitarios de primer ingreso del 2012, se

evidencia que 80% de los estudiantes de colegios públicos que realizaron el diagnóstico

obtuvieron notas que oscilan entre 0 y 49, en una escala de 0 a 100 (Ruiz, 2015), una

situación similar se presenta en la Universidad Nacional de Costa Rica (UNA) con su

prueba diagnóstica, pues más de 95% de los estudiantes obtuvieron notas inferiores a 51; lo

que refleja un gran vacío de conocimiento matemático (Zamora, 2012).

Los resultados obtenidos en estas pruebas diagnósticas, manifiestan que los

estudiantes que ingresan a la universidad en carreras con planes de estudio en donde se

incluyen cursos de Matemática, tienen deficiencias, en cuanto a conocimiento matemático

se refiere, a pesar de que en dichas evaluaciones se trabajen contenidos de la educación

secundaria.

Tomando en cuenta la situación anterior, el hecho de que según el MEP (2012)

históricamente la enseñanza de la Matemática ha sido problemática prácticamente en todo

Iberoamérica, y que en períodos relativamente cortos algunos países pasaron de una

situación similar a una completamente distinta, donde los estudiantes lograron apropiarse

de los conocimientos y desarrollaron destrezas Matemática, es que en el 2012 se reformula

el currículo de Matemática y como consecuencia se cambia el Programa de Estudio de

Matemática desde primaria hasta secundaria.

Dicho programa tiene como principal enfoque metodológico la resolución de

problemas con énfasis en los contextos reales, proponen aproximar la Matemática escolar a

la realidad del estudiante y su visión es transformar la actividad Matemática que se realiza

en el aula (Alfaro, Alpízar, Morales, Ramírez y Salas, 2013). El mismo se basa en cinco

ejes disciplinares: resolución de problemas, la contextualización activa, el uso de la

tecnología, actitudes y creencias positivas en torno a la Matemática, y el uso de la historia

de la Matemática.

12

Debido a estas directrices metodológicas por parte del MEP, se hace necesario un

cambio en la forma de desarrollar las clases de Matemática dentro de los salones de

primaria y secundaria. Estas clases se han caracterizado, en general, por el uso de

estrategias metodológicas de corte magistral o tradicional, donde la clase inicia con el

docente explicando los contenidos a enseñar, luego resuelve algunos ejercicios y por último

propone una lista de ejemplos similares para que sean resueltos por los estudiantes

(Espinoza, Espinoza, González, Ramírez y Zumbado, 2008).

Gamboa (2007) considera que este tipo de clases favorece el trabajo con ejercicios

rutinarios, cuya solución se encuentra de forma mecánica, y priorizan los procedimientos

sin dar oportunidad para que el alumno reflexione sobre su aprendizaje.

Al respecto Espinoza (2011) agrega que las actividades de planeamiento e invención

de actividades de clase son prácticamente nulas; lo que indica que, los docentes habían

entrado en un estado de confort con el que dejaban de lado las actividades que implican el

desarrollo de pensamientos y destrezas Matemática, posiblemente porque les ha resultado

difícil aplicarlas o crearlas, o simplemente porque ellos mismos no poseen las competencias

necesarias para hacerlo (Leung y Silver, 1997, citados por Espinoza, 2013).

Debido a que muchas de las estrategias metodológicas propuestas en el Programa de

Estudios de Matemática son prácticamente nuevas en nuestro país, hay escasez de material

acorde con lo propuesto en el mismo, y siendo aún más explícitos Ruiz (2014) señala que

“en el mercado local existen algunas colecciones que afirman estar en acuerdo con el nuevo

currículo; sin embargo, eso no es cierto” (p.10); es decir, se desarrollan los contenidos

matemáticos, pero en la mayoría de los casos con un marco metodológico distinto al

planteado en el Programa de Estudios del MEP.

Cabe resaltar que el MEP (2012) afirma que “a pesar de que los conocimientos

matemáticos son la base de su programa se adopta un enfoque basado no solamente en

contenidos matemáticos, sino que lo que se pretende es el desarrollo de mayores

13

capacidades del ciudadano para enfrentarse a los retos del mundo del que forma parte”

(p.14).

Así, relacionando todos los aspectos estudiados anteriormente sobre las dificultades

que se presentan en el tópico de funciones, las tendencias actuales en Educación

Matemática y el Programa de Estudios que se encuentran en vigor en Costa Rica, sugieren

y resaltan la necesidad de contar con un material didáctico acorde con las estrategias

metodológicas actuales. Además, se debe tomar en cuenta que estos cambios en nuestro

país son directrices de la máxima autoridad de educación pública, por lo cual se hace

necesario que dentro de los salones de clases hayan escenarios de aprendizaje en los cuales

se utilicen estrategias como: modelización, resolución de problemas, uso de la historia

como recurso didáctico, aprovechamiento de los recursos tecnológicos, motivación

continua hacia el estudiantado, entre otras.

En consecuencia uno de los productos de esta investigación será la propuesta de un

Material Didáctico, dirigido a estudiantes de décimo año, que contenga tareas Matemática

para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática acordes a las

orientaciones oficiales del MEP.

Se ha seleccionado décimo año pues según el MEP (2012), en este nivel del ciclo

diversificado es donde “se formalizará el concepto de función que ha sido trabajado desde

la enseñanza primaria como relación entre variables, y se ampliarán las habilidades

desarrolladas con dichas funciones (p.45)”, adicionalmente se considera que las funciones,

en este caso la función lineal y la cuadrática, son aplicables en varios aspectos de la

cotidianeidad de los seres humanos y en diferentes ciencias como la economía, la

administración, la ingeniería, entre otras; de modo que brinda una razón más para su

enseñanza.

Por tanto, en esta investigación, se propone el siguiente problema: ¿Qué

conocimientos debe tener un docente para construir un material didáctico dirigido a la

enseñanza de las funciones lineal y cuadrática en décimo año, coherente con las

14

indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de

Educación Pública de Costa Rica?

Entenderemos por conocimientos, a los conocimientos del contenido matemático

por enseñar y el conocimiento didáctico de dicho contenido.

Es preciso destacar que esta propuesta, para la enseñanza y aprendizaje de la

función lineal y de la función cuadrática, se enmarcará en la metodología del Análisis

Didáctico establecido por el Grupo Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada, y

se basará específicamente entorno a cuatro de los subanálisis que lo estructuran y articulan:

análisis conceptual, análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de instrucción.

Al respecto, Gómez (2005) menciona que el Análisis Didáctico fue introducido por

Luis Rico en 1992, y es un procedimiento con el que es posible explorar, profundizar y

trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático escolar, para

efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje. A

su vez menciona que este es la conceptualización de las actividades que el profesor de

Matemática debería realizar para diseñar materiales didácticos.

Así mismo, desde una perspectiva curricular, el Análisis Didáctico es un

procedimiento utilizado para fundamentar, configurar y evaluar el diseño y desarrollo de

materiales didácticos de Matemática (González y Gallardo, 2013), por lo que brindará parte

del sustento teórico que facilitará las pautas a tomar en cuenta en la realización de la

propuesta didáctica.

15

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo general

Elaborar un material didáctico para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática,

para décimo año, considerando las indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de

Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica.

1.3.2. Objetivos específicos

1.3.2.1. Desarrollar un análisis de contenido matemático de la función lineal y de la

función cuadrática.

1.3.2.2. Describir las dificultades y errores que presentan los estudiantes en el

aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática.

1.3.2.3. Especificar métodos y técnicas que favorezcan el proceso de enseñanza y

aprendizaje de las funciones lineal y cuadrática.

1.3.2.4. Diseñar tareas matemáticas para la enseñanza de la función lineal y de la función

cuadrática, para décimo año, acordes a las orientaciones metodológicas del

Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de

Costa Rica.

1.3.2.5. Valorar la pertinencia del material didáctico en el proceso de enseñanza y

aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática mediante el criterio de

docentes de Matemática, de educación secundaria, en servicio.

16

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

En este capítulo se agrupan y resumen los distintos fundamentos y orientaciones

sobre los cuales se sostiene esta investigación: los fundamentos teóricos y metodológicos

descritos en el actual Programa de Estudios de Matemática de Costa Rica, algunos

resultados obtenidos en investigaciones sobre dificultades en el aprendizaje de la función

lineal y función cuadrática, algunas estrategias para la enseñanza de estas temáticas, y

finalmente se desarrollarán algunos conceptos relacionados con el Análisis Didáctico,

principalmente lo concerniente al análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de

instrucción.

Algunos investigadores han buscado en la historia de la Matemática lo relativo a la

construcción del concepto de función con la finalidad de lograr ideas que permitan superar

las dificultades que se presentan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de este tema. El

concepto pasó por diferentes etapas históricas, en las que se fueron definiendo elementos

matemáticos tales como: cantidad, variable y constante, que se integraron en la definición

de función que hoy en día se conoce (Guevara, 2011).

Aunando en lo anterior, Sastre, Rey y Boubée (2008), exponen que a lo largo de la

historia, surgen varios matemáticos con acercamientos a la definición conceptual de

función, algunos de ellos son:

a. Gregory (1638 - 1675) define función como una cantidad que se obtiene de otras

cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier

otra operación imaginable.

b. Leibniz (1646 - 1716) utilizó la palabra función para referirse a cualquier cantidad

que varía de un punto a otro de una curva, tal como la longitud de la tangente, de la

normal, de la subtangente y de la ordenada. Junto con Newton, contribuyeron

decisivamente al desarrollo del concepto de función, introduciendo el desarrollo de

función en una serie de potencias.

17

c. Euler (1707 – 1783) define función como una cantidad variable compuesta de

cualquier manera a partir de esa cantidad variable y de números o cantidades

constantes, clasificándolas en algebraicas y trascendentes, en univariadas y

multivariadas y en implícitas y explícitas. Al tratar de ampliar el concepto de

función distingue dos clases: las continuas y las discontinuas.

d. Cantor (1845 - 1918) produce una nueva evolución del concepto de función, como

una correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre

conjuntos numéricos o no numéricos.

e. Caratherdory (1917) define función como una regla de correspondencia desde un

conjunto en los números reales.

f. El grupo Bourbaki de 1939 definió función como una correspondencia entre dos

conjuntos: Sean E y F dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación

entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F , se llama

relación funcional en y , si para todo x en E , existe un único y en F el cual está

en la relación dada con x . Damos el nombre de función a la operación que, de esta

forma, asocia cada elemento x en E , con el elemento y en F que está en relación

con x , se dice que y es el valor de la función en el elemento , y se dice que la

función está definida por la relación dada. Dos relaciones funcionales equivalentes

determinan la misma función.

Sin embargo, alrededor de 3700 años atrás ya se trabaja con objetos matemáticos

que llevaban de forma implícita el concepto de función, y hasta 300 años después se obtuvo

la formación y el desarrollo del concepto como se conoce hoy (Sastre, Rey y Boubée,

2008); en el que, se define una función f de A en B , donde A y B , son conjuntos, tal que

para todo elemento a en A , existe un elemento b en B , con ,a b en f y si ,a b y

,a b son elementos de f , entonces b b (Ugalde, 2014).

Al mismo tiempo, este recorrido histórico deja ver que las bases para la

construcción de este concepto están fundamentadas en las nociones de variable,

A

x

18

dependencia, correspondencia, trasformación, que conllevan un importante componente

intuitivo (Quintero y Cadavid, 2009).

Por tanto para, la enseñanza de este tema, el docente debería considerar el recorrido

histórico, de 300 años aproximadamente, necesario para consolidar el concepto de función.

Sin embargo, en Costa Rica la enseñanza de este concepto en secundaria se organiza en un

periodo aproximado de una semana; tiempo esperado para que el estudiante domine por

completo dicha noción.

Partiendo de las premisas anteriores se pretende desarrollar un Material Didáctico

para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática, acorde a las

directrices curriculares vigentes, las cuales se abordan en los siguientes apartados.

2.1. El currículo preuniversitario de Matemática en Costa Rica

Históricamente, la Matemática en nuestro país es la asignatura que más fracaso

escolar presenta (MEP, 2012), debido a lo anterior y en busca de la superación de esta

situación, se propuso una reforma curricular en educación primaria y educación secundaria,

donde el principal cambio se dirige hacia la metodología de trabajo.

Esta reforma se concreta en el actual Programa de Estudios de Matemática para

primaria y secundaria del MEP, publicado en 2012, y con el cual se pretende que los

estudiantes valoren la aplicación de la Matemática en la vida real. Ruiz (2013) afirma que

este currículo asume como enfoque principal la construcción de capacidades cognitivas

superiores por medio de la resolución de problemas, con especial énfasis en los contextos

reales; por lo que se trata de una estrategia para la mediación pedagógica.

Además, el Programa de Estudios se sustenta en un conjunto de habilidades,

competencias, procesos, ejes disciplinares, actitudes y creencias; en los siguientes párrafos

describiremos como el MEP (2012) define estas nociones.

19

Primeramente clasifica las habilidades en: habilidades específicas y habilidades

generales, las primeras se relacionan con las capacidades que posee un estudiante para

comprender un conocimiento, concepto o procedimiento desarrollables a corto plazo y las

segundas corresponden a la generalización o combinación de las habilidades específicas.

Por otro lado, si los estudiantes desarrollan la capacidad para aplicar conocimientos

y habilidades, para analizar, razonar y comunicarse con eficacia cuando plantean, resuelven

e interpretan problemas relacionados con distintas situaciones en forma continua, se habla

de una competencia.

Adicionalmente, el desarrollo de los procesos de razonamiento y análisis

mencionados anteriormente, sugieren ir más allá de los típicos ejercicios mecánicos que

tienden a utilizarse en las clases de Matemática, la importancia de esto radica en que

autores como Argudín (2005), citado por García y Torres (2014) mencionan que en el

campo de la Educación, las competencias que permiten saber pensar, saber desempeñar,

saber interpretar, saber actuar en diferentes escenarios, aportan en gran medida en el

desarrollo integral del estudiante.

De forma complementaria, se presentan los procesos matemáticos, los cuales, se

entienden como aquellas actividades que realizan las personas en las distintas áreas

Matemática, y se subdividen en cinco categorías básicas (MEP, 2012):

a. Razonar y argumentar. Se trata de actividades mentales que aparecen

transversalmente en todas las áreas del plan de estudios y que desencadenan formas

típicas del pensamiento matemático: deducción, inducción, comparación analítica,

generalización, justificaciones, pruebas, uso de ejemplos y contraejemplos.

b. Plantear y resolver problemas. Se refiere al planteamiento de problemas y el diseño

de estrategias para resolverlos. Aquí se dará un lugar privilegiado a los problemas

en contextos reales.

c. Comunicar. Es la expresión y comunicación oral, visual o escrita de ideas,

resultados y argumentos matemáticos al docente o a los otros estudiantes.

20

d. Conectar. Este proceso transversal pretende el entrenamiento estudiantil en primer

lugar en la obtención de relaciones entre las diferentes áreas Matemática, lo cual se

deriva de las características centrales de los quehaceres matemáticos: el carácter

integrado de los mismos.

e. Representar. Pretende fomentar el reconocimiento, interpretación y manipulación

de representaciones múltiples que poseen las nociones Matemática (gráficas,

numéricas, visuales, simbólicas, tabulares).

Otro elemento del Programa de Estudios corresponden a los ejes disciplinares, con

los cuales se busca responder a las debilidades existentes y posicionar la Educación

Matemática que se desarrolla en el país con estándares internacionales. El MEP (2012),

define cinco ejes disciplinares, los cuales son: la resolución de problemas como estrategia

metodológica principal, la contextualización activa como un componente pedagógico

especial, el uso inteligente y visionario de tecnologías digitales, la potenciación de actitudes

y creencias positivas en torno a la Matemática y el uso de la Historia de la Matemática.

La resolución de problemas tiene dos propósitos centrales en el currículo,

primeramente se enfatizan los medios, es decir las estrategias, heurística y métodos que

requiere la solución de un problema, y en segundo lugar se plantea la acción de aula que

permita generar aprendizajes matemáticos en un contexto específico, promoviendo así la

realización de los procesos matemáticos.

Para el MEP (2012) un problema corresponde a un planteamiento o tarea que

promueve en el estudiante el pensamiento de ideas Matemática mediante la utilización de

conceptos y métodos matemáticos. Gaulin (2001) agrega que un problema involucra

situaciones donde hay que reflexionar, buscar e investigar para lograr darle respuesta a la

situación planteada.

En cuanto a las técnicas generales o métodos para resolver problemas, el MEP

(2012) señala una guía de cuatro pasos. El primer paso consiste en entender el problema, es

decir tener claro lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo, en el segundo paso

21

se encuentra el diseño, considerando varias formas para resolver el problema y seleccionar

un método específico para hacerlo, luego en el tercer paso controlar y monitorear el proceso

y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso, y por último en el cuarto

paso revisar y comprobar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida.

Este método guarda una gran similitud con los procedimientos propuestos por

George Pólya para la resolución de problemas: el primer paso consiste en comprender el

problema, es decir, ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?

para posteriormente concebir un plan, el cual debe relacionarse con problemas semejantes,

una vez establecido el plan debe ser ejecutado y comprobar cada uno de los pasos y

verificar que estén correctos (Alfaro, 2006).

En cuanto a la contextualización activa, el MEP (2012) la enmarca dentro de la

modelización, de tal forma que se trabajen problemas en contextos reales que promuevan la

construcción o uso de modelos; puede ser un diagrama con flechas, un manipulable, una

tabla o una gráfica. Para el diseño de los problemas se puede utilizar información

proveniente de la prensa, escuela, comunidad, clase, internet o de los mismos “problemas”

tradicionales que aparecen en muchos libros de texto.

Blomhøj (2004), citado por Mora y Ortiz (2015), afirma que la modelización

Matemática puede ser vista como una práctica de enseñanza y aprendizaje que coloca la

relación entre el mundo real y la Matemática en el centro de la enseñanza, lo que es

relevante para cualquier nivel de enseñanza, ya que motiva el proceso de aprendizaje y

ayuda al estudiante a establecer raíces cognitivas sobre las cuáles construir los conceptos

matemáticos.

Por su parte el MEP (2012) propone una guía de seis pasos para abordar la

modelización: (1) describir o determinar la situación de la realidad que debe ser

modelizada, (2) seleccionar la información que permite obtener una posible representación

Matemática, (3) traducir la información sistematizada en el paso anterior en un modelo

matemático que represente lo que ocurre en la realidad, (4) utilizar los conocimientos

22

matemáticos previos para poder encontrar la solución o soluciones del modelo planteado en

el paso anterior, (5) analizar los resultados y conclusiones considerando los conocimientos

previos que se tienen del problema, y (6) verificar a la luz de los resultados matemáticos la

validez del modelo y el poder predictivo que dicho modelo tiene sobre el problema original.

Blomhøj (2004) también plantea una propuesta para modelizar estructurada en seis

pasos: formulación del problema, sistematización, traducción de esos objetos y relaciones

al lenguaje matemático, uso de métodos matemáticos, interpretación de los resultados y

evaluación de la validez del modelo; muy similar a la propuesta ministerial.

En la propuesta ministerial se señala que estos recursos son instrumentos de

construcción y de experiencias geométricas, de análisis de datos, modelación y simulación,

cálculo algebraico, entre otras. Estas tecnologías pueden ser un poderoso aliado para

potenciar el pensamiento matemático, y es mediante la resolución de problemas en

contextos reales donde pueden aportar sus beneficios de la mejor manera, esto es en

contextos de aprendizajes que fortalezcan las habilidades y capacidades Matemática (MEP,

2012).

Es necesario mencionar que el uso de recursos tecnológicos se ha convertido en una

tendencia en la Educación Matemática, esto debido al constante cambio de la sociedad

actual, lo que provoca que en las aulas no pase desapercibido, de este modo Guzmán (2001)

afirma que la aparición de herramientas como la calculadora y las computadoras están

comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar la Educación Matemática,

desde la primaria hasta la educación universitaria, aprovechándose al máximo tales

instrumentos.

Así mismo en el aprendizaje, la motivación, el interés y las dimensiones afectivas

juegan un papel importante, por lo que el MEP (2012) se posiciona con respecto a las

actitudes y creencias, con una visión integral y humanista sobre la enseñanza y aprendizaje

de la Matemática, pues considera que no se pueden generar actitudes y creencias positivas

hacia estos procesos si el programa de estudios no las incorpora de forma explícita.

23

Chaves, Alpízar y Alfaro (2016) exponen que, las principales actitudes y creencias

que se pretenden desarrollar en los estudiantes con este programa son: perseverancia,

confianza, participación activa y colaborativa, autoestima, respeto, aprecio y disfrute de la

Matemática.

El último eje disciplinar que mencionamos es la Historia de la Matemática. Para el

MEP (2012) este eje permite romper con la concepción de que la Matemática es una

colección de axiomas, teoremas, y pruebas, ya que la historia coloca los objetos

matemáticos en contextos socioculturales y apunta a una visión humanista de la disciplina;

fortalecer esta aproximación, contribuye a una formación en concordancia con los fines de

la educación costarricense.

González (2004) afirma que si el docente conoce y comprende esta historia podrá

identificar las dificultades de los contenidos impartidos, de tal manera que manifieste la

actitud adecuada al momento de seleccionar o diseñar las actividades y recursos que

faciliten la introducción de los nuevos conceptos.

Todo lo descrito anteriormente pretende brindar una visión más amplia y clara de

los fundamentos del Programa de Estudios de Matemática del MEP, destacando los

elementos que se deben tomar en cuenta para elaborar un material didáctico,

particularmente se han descrito los ejes disciplinares señalados en la propuesta ministerial,

con el propósito de establecer un referente teórico que encamine su uso al momento de

diseñar la propuesta metodológica que se propone en esta investigación.

De igual importancia que lo mencionado anteriormente, es conocer la estrategias

metodológicas que sugiere el MEP para desarrollar los tópicos en las clases, por lo que, a

continuación se describe la forma en que se deben abordar las clases y los propósitos del

área de Relaciones y Álgebra, con el objetivo de incluir actividades que versen sobre los

mismos.

24

2.1.1 Pasos para abordar una lección de Matemática

El Programa de Estudio de Matemática del MEP propone una serie de pasos

generales en cuanto al abordaje de una lección de Matemática: al iniciar la clase se debe

proponer un problema, el cual debe consistir en un desafío o actividad para provocar la

indagación; seguidamente se debe brindar un espacio para el trabajo estudiantil

independiente, de tal forma que el estudiante realice un esfuerzo personal por interpretar los

datos que brinda el problema y plantearse sus propias estrategias para resolverlo; una vez

concluido ese espacio el docente debe motivar la creación de grupos de trabajo en la clase

para que los estudiantes comenten los procedimientos que utilizaron y compartan entre

ellos las soluciones que obtuvieron, finalmente se da la clausura o cierre de la clase donde

el docente detalla los puntos más importantes de la actividad, y muestra las diferentes

interpretaciones que puedan surgir en este tipo de análisis, para luego justificar la

escogencia de una interpretación como válida (MEP, 2012).

A manera de ejemplo, se presenta el siguiente problema para el tema de función

lineal, el cual se propone en el Programa de Estudios de Matemática (MEP, 2012, p. 410), y

con base en la propuesta ministerial se expone una posible actividad o desarrollo de clase.

La empresa “Pura Vida S. A.” produce juegos de mesa que promueven la

conservación del medio ambiente. Dado que el costo de producir cada juego fue de

₡1250 y se hizo una inversión inicial de ₡3 500 000, se proyecta que el precio de

venta para cada juego sea de ₡2750.

(1) Determine la expresión algebraica que brinda la utilidad “U” que genera la

empresa en función de la cantidad de artículos producidos.

(2) Grafique dicha relación en un sistema de ejes cartesianos.

(3) Determine cuántos artículos es necesario vender para que la empresa

empiece a generar ganancias.

En primera instancia se pretende que los estudiantes calculen la utilidad, entendida

como la diferencia de los ingresos y los gastos, se recomienda hacer subgrupos de máximo

4 estudiantes.

25

Los estudiantes inician calculando los ingresos por la venta y el costo de fabricación

de solo un juego de mesa tomando en cuenta los 3 500 000 de colones, así sucesivamente

con dos, tres y cuatro juegos, hasta lograr descubrir los modelos lineales los cuales son para

los gastos de donde x representa la cantidad de juegos

fabricados, para los ingresos sería el modelo , para el cálculo de la utilidad

sería la diferencia de los modelos encontrados

Los estudiantes tienen que generar alguna estrategia que se acerque al modelo de la

utilidad, después de encontrar la posible solución deben compartir el trabajo que hicieron

con sus compañeros, pues en este momento surgen diversidad de estrategias que podrían

resolver el problema.

Para la representación gráfica se podría utilizar un software que permita visualizar

la relación que existe entre la cantidad de juegos producidos y la utilidad; así determinarían

visualmente a partir de qué instante se empieza a obtener ganancias. Otra forma en la que

se podría determinar la cantidad de juegos producidos que generan una utilidad,

corresponde a aproximar la solución de la ecuación igualándola a cero, o también

calculando la preimagen de cero, ya dicho conocimiento es previo.

Es sumamente enriquecedor iniciar con la resolución de un problema, pues

intervienen muchos aspectos en la propuesta de la solución de este, además los estudiantes

están utilizando el concepto de función lineal a partir de su conocimiento previo.

2.1.2 Propósitos de la enseñanza en el área de Relaciones y Álgebra

Durante el ciclo diversificado (décimo y undécimo año) “se formalizará el concepto

de función que ha sido trabajado desde la enseñanza primaria como relación entre

variables” (MEP, 2012, p.405).

( ) 1250 3500000E x x

( ) 2750I x x

( ) ( ) ( )U x I x E x

( ) 2750 1250 3500000U x x x

( ) 1500 3500000U x x

26

En este ciclo se espera que el estudiante desarrolle habilidades para interpretar,

representar y resolver problemas, utilizando el lenguaje funcional en sus distintas

representaciones con el fin de explorar y modelar situaciones del contexto, por lo que el

MEP (2012) plantea las siguientes habilidades generales para el área de Relaciones y

Álgebra.

2.1.3 Habilidades generales en el área de Relaciones y Álgebra

Las habilidades generales que deberá tener cada estudiante en Relaciones y Álgebra

al finalizar el ciclo diversificado son (MEP, 2012, p. 405):

Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar

dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones.

Aplicar el concepto de función en diversas situaciones.

Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y

trascendentes.

Plantear y resolver problemas a partir de una situación dada.

Determinar el modelo matemático que se adapta mejor a una situación dada.

De la misma forma el MEP (2012) señala que, dentro de los tópicos de la función

lineal y la función cuadrática el estudiante de décimo año debe adquirir ciertas habilidades

específicas (véase el anexo 1), de modo que, para esta investigación estas habilidades

permiten enmarcar el contenido matemático del Material Didáctico dentro de las

expectativas de aprendizaje que se plantean en el análisis cognitivo. Es importante

mencionar que tanto las habilidades generales como las específicas determinan la base

competencial que se usa en esta investigación para diseñar el Material Didáctico.

Hasta el momento se ha detallado que el concepto de función llevó muchos años

para desarrollarse y que involucró el esfuerzo de varios matemáticos; lo que nos lleva a

prestar particular interés en la forma en cómo debería enseñarse este concepto. Además se

describieron los fundamentos del currículo de Matemática de Costa Rica, en términos de

los propósitos y las habilidades relacionadas con el área de relaciones y álgebra, así como el

abordaje que se le debe dar a los temas correspondientes a esta área; lo cual es medular para

27

el desarrollo de un Material Didáctico enmarcado en esta temática porque delimita el

contenido matemático que se trabajará en esta investigación.

Del mismo modo se vuelve indispensable tener claridad sobre las estrategias

metodológicas utilizadas para la enseñanza de la Matemática, debido a que estas brindarán

los fundamentos teóricos para el desarrollo de las actividades propuestas en el Material

Didáctico. De esta forma presentamos el siguiente apartado.

2.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de la Matemática

Para el diseño del Material Didáctico se requiere tener un fundamento teórico sobre

las distintas estrategias metodológicas que se utilizan para la enseñanza de la Matemática,

estos fundamentos serán una guía de qué aspectos son los que deben considerarse al

momento de utilizar una estrategia y cuándo estamos en presencia de ella.

Para efectos de esta investigación se asume como estrategia metodológica, la

definición dada por autores como Romero (2009), Lozzada y Ruíz (2011) y Boude (2011)

para quienes, las estrategias metodológicas son aquellas actividades, procesos o

procedimientos secuenciados que han sido planificados por los docentes con el fin de

desarrollar, promover e incentivar el logro del aprendizaje en los estudiantes.

A partir de la definición anterior se puede decir que las estrategias metodológicas

están ligadas con la metodología de enseñanza, ya que son actividades diseñadas por el

docente con el objetivo de que el estudiante logre adquirir y apropiarse de los

conocimientos, además de considerar las necesidades e intereses de estos; es decir, aborda

todo el quehacer educativo.

Cabe mencionar que para efectos de esta investigación tomaremos en cuenta las

estrategias metodológicas relacionadas con: resolución de problemas, modelización,

recursos tecnológicos, historia de la Matemática y experimentación, debido a que son las

propuestas en el Programa de Estudios.

28

Gaulin (2001) señala que la resolución de problemas es una tendencia de la

Educación Matemática, que les permite a los estudiantes trabajar en equipos para descubrir

o resolver los problemas juntos. Por lo que se vuelve imprescindible conocer cómo se debe

organizar una clase utilizando la resolución de problemas.

Al respecto Guzmán (2001) menciona que la forma de presentación de un tema

matemático basado en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o

menos del siguiente modo: propuesta de la situación problema basada en la historia,

aplicaciones, modelos, juegos, entre otras, manipulación autónoma por los estudiantes,

familiarización con la situación y sus dificultades, elaboración de estrategias posibles,

ensayos diversos por los estudiantes, herramientas elaboradas a lo largo de la historia,

elección de estrategias, ataque y resolución de los problemas, reflexión sobre el proceso,

generalización y posibles transferencias de resultados, métodos o ideas.

Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad,

motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas

inmotivadas que se pierden en el olvido. Como se puede analizar, el método sugerido por el

MEP (2012) no dista por completo del propuesto por Guzmán (2001).

Por otro lado, existe en la actualidad una fuerte corriente en Educación Matemática

que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de la Matemática no se realice

explorando las construcciones Matemática en sí mismas, en las diferentes formas en que

han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del

mundo real que les dieron y les siguen dando su motivación y vitalidad, y a esto es lo que

precisamente se le conoce como modelización (Guzmán 2001).

Para llevar a cabo este tipo de metodología es necesario recalcar que se requiere que

los docentes sean capaces de ayudar a los estudiantes a relacionar diferentes resultados en

un contexto particular. Según, Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio, Osorio y Ocampo (2009)

“la modelización tiene fuertes vínculos con el estudio de situaciones y solución de los

problemas del mundo real (p. 1)”.

29

En el campo de la tecnología, Pontes (2005) y Gamboa (2007) destacan que los

software didácticos poseen características interesantes desde el punto de vista educativo,

como: la gran capacidad de almacenamiento, de representar modelos, de realizar

observaciones que son difíciles de visualizar en el papel, la obtención de conclusiones y la

interactividad con el usuario; por lo que esta herramienta representa una estrategia

metodológica para el mejoramiento y construcción del aprendizaje del conocimiento

matemático.

Por su parte, Alfonzo (2012) señala que en el mercado existen diferentes software

libres como Geogebra y Derive, y con licencia como el Calculus y Maple para

computadoras que asisten en la enseñanza de la Matemática, con los cuales se pueden

proponer secuencias didácticas de ejercicios para ser resueltos en el aula. De modo que el

uso de recursos tecnológicos en el aula, le permite al estudiante comprender, visualizar,

manipular e interactuar con el conocimiento matemático presente en los diferentes tópicos

vistos en clase de forma abstracta.

Otra de las estrategias que permite mejorar la enseñanza de la Matemática

corresponde al uso de la Historia; según Chaves y Salazar (2003) al incorporarse en el aula

se generan algunos beneficios educativos como: un cambio de actitud y de creencias hacia

esta disciplina, ayuda a explicar y superar dificultades y errores, incentiva la reflexión y

aumenta el interés y motivación de los estudiantes.

Protti (2003) señala algunos de los usos que se le pueden dar a la Historia de la

Matemática, entre ellos están: utilizarla como un pasaje de la historia a modo de anécdota,

introducir un concepto a través de la presentación de un problema y el análisis de cómo se

resolvió históricamente, y recorrer el desarrollo histórico de un área de la Matemática.

Por último, se encuentra la experimentación, la cual permite el reconocimiento de

variables, el establecimiento de algún tipo de relación entre estas, la interrelación con otras

disciplinas y finalmente una aproximación al concepto de función construido por cada uno

30

de los estudiantes, sin la necesidad de ser impuesto con anterioridad (Villa-Ochoa et al.,

2009).

En palabras de Betancur (2013), el uso de la experimentación, es la realización de

actividades en ambiente de taller, donde el conocimiento se adquiere por descubrimiento y

asimilación propia (no por imposición), despertando curiosidad en torno al tema o

problema planteado. Además menciona que, en los procesos de enseñanza y aprendizaje

tiene un gran valor motivacional, pues los estudiantes disfrutan el proceso mientras logran

las actividades planteadas; como consecuencia aprendizaje con mayor significado.

En este apartado presentamos una serie de estrategias metodológicas que permiten

abordar cualquiera de los tópicos del Programa de Estudios, a continuación

profundizaremos en aquellas que son específicas a los temas referentes a la función lineal y

la función cuadrática.

2.2.1 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función lineal

Para la enseñanza de la función lineal en secundaria varios autores proponen

diversas estrategias metodológicas, entre ellas se mencionan las siguientes:

Machiunas (2005) desarrolla una actividad relacionada con el diseño de juegos, en la

que propone el juego denominado "memotest"; este consiste en localizar pares de fichas

idénticas (véase figura 1). Se propone, por ejemplo para funciones lineales, tomar como

fichas "iguales" las que correspondan a dos representaciones de la misma función, por

ejemplo la representación gráfica y la algebraica. La finalidad de esta decisión didáctica es

reconocer los distintos tipos de representación de una función lineal: algebraica, gráfica y

tabular. Las fichas fueron elaboradas por los estudiantes bajo algunas instrucciones

generales dadas por la docente a cargo.

31

Figura 1. Fichas idénticas

Figura 1. Fichas idénticas propuestas por los estudiantes para el juego “memotest”.

Adaptado de Machiunas (2005).

Por otra parte, el uso de la tecnología juega un papel importante en los procesos de

enseñanza y aprendizaje, la creciente etapa tecnológica nos obliga a que como docentes

estemos al tanto de estos avances, y así se ve reflejado en las estrategias metodológicas

sugeridas por el MEP. A continuación, veremos una serie de usos de la tecnología

relacionados con la enseñanza de la función lineal.

En primera instancia, Alfonzo (2012) indica que los graficadores didácticos

permiten la adquisición del concepto de función de forma provechosa, y a su vez estimula

la creatividad en el estudiantado, ya que sirve como guía para el trabajo independiente.

Además, resultan ser versátiles, de fácil uso, y requieren un conocimiento mínimo sobre el

uso del computador.

Detallando propiamente en qué graficadores podrían utilizarse, López et al. (2005)

proponen el uso del software Advanced Grapher para la enseñanza y aprendizaje de la

función lineal; esta aplicación les permite a los estudiantes trazar diferentes tipos de

gráficas, de una amplia variedad de ecuaciones y tablas, además se puede visualizar como

varía la gráfica al realizar cambios en sus parámetros, de modo que los conceptos

matemáticos pasan de un estado abstracto a una situación que puede ser visualizada.

En su trabajo López, et. al (2005) estudiaron y graficaron diversas expresiones de la

forma y ax b con el software Advanced Grapher, considerando las variantes del

parámetro a con valores enteros, fraccionarios y decimales, mayores, menores o iguales a

cero; mediante esta actividad los estudiantes lograron identificar la pendiente de la recta e

32

intersecciones con los ejes coordenados, así como su ubicación en las gráficas, y finalmente

relacionaron la expresión algebraica de la función lineal y su correspondiente gráfica.

Recordemos que la combinación de los software didácticos con otras estrategias

como la resolución de problemas, constituyen un medio que mejora la enseñanza y

aprendizaje de este tema en particular.

En este sentido, el MEP (2012) propone en el Programa de Estudios una serie de

recomendaciones, entre ellas: comenzar implementando un problema, mencionar que la

función identidad es un caso particular de la función lineal, posteriormente en la etapa de

cierre se propone desarrollar los conceptos de pendiente de una recta, intersección con los

ejes coordenados, dominio, ceros, signo de la función, ámbito, inyectividad, crecimiento o

decrecimiento y establecer las conexiones con el problema y los elementos anteriores. A su

vez recomienda usar software matemáticos para conjeturar acerca de la influencia de los

parámetros en la representación gráfica de y ax b .

En investigaciones recientes relacionadas con metodología para la enseñanza de la

función lineal podemos destacar la investigación realizada por Roldán (2013) quien nos

puntualiza las siguientes cinco estrategias que se deben considerar al momento de abordar

esta temática

1. Más que desarrollar el proceso enseñanza - aprendizaje con definiciones formales

que contienen elementos no familiares para el estudiante es preferible iniciar por

aproximaciones que construyan nociones y elementos conceptuales que tengan el

papel dual de ser familiar al alumno y propendan por un desarrollo matemático

posterior.

2. Plantear tareas de paso de una a otra representación en diferentes sentidos y por

diferentes rutas sin privilegiar un único camino. Esas tareas deben ser planteadas en

contextos ricos de relaciones en las que los elementos de las funciones analizadas

cobren sentido y sean fáciles de comprender por el estudiante y estén lejos de

cualquier tipo de ejercicios rutinarios que no aporten al aprendizaje de la función.

,a b

33

3. Análisis de los efectos de cambio en los elementos de las gráficas de las funciones.

En la función lineal los elementos a considerar son la pendiente y las intersecciones,

y cómo estos de acuerdo al valor modifican la gráfica.

4. Modelación de situaciones del mundo real: al observar la evolución histórica del

concepto de función se observó que en gran medida uno de los motores de ese

desarrollo fue la ciencia y las necesidades originadas por ella.

5. La modelación se convierte en una herramienta poderosa para motivar el

aprendizaje de las funciones lineales, dado que a partir de contextos matemáticos,

análisis de situaciones cotidianas o practicas experimentales surge la necesidad de

relacionar variables, analizar correspondencias de datos, realizar generalizaciones,

predecir comportamientos, relacionar e interpretar representaciones, entre otros

procesos que aportan a la comprensión del concepto de función.

De esta manera, se han recopilado algunas estrategias metodológicas que han

trabajado o/y sugieren diversos investigadores en los últimos años y que a su vez van

acorde con la propuesta ministerial en relación con la enseñanza de la función lineal, estas

metodologías se tomarán en cuenta para la creación del Material Didáctico, ya que brindan

un soporte teórico y empírico a la investigación.

2.2.2 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función cuadrática

En cuanto a la enseñanza de la función cuadrática a nivel de secundaria, varios

autores proponen diversas estrategias metodológicas, las cuales se exponen a continuación:

Aránzazu (2013) expone para la enseñanza del concepto de función cuadrática una

secuencia de etapas, primero se definen todos los aspectos que se van a enseñar, luego se

indagan los conocimientos previos del estudiante, posteriormente se plantean las

situaciones problema teniendo en cuenta el conocimiento previo de los estudiantes y la

introducción del nuevo conocimiento, y por último, se da la presentación del tema con

nuevas situaciones problema para la evaluación del aprendizaje; mediante estas etapas los

34

estudiantes aprenden qué es una función cuadrática y cómo obtener otras representaciones

algebraicas equivalentes a partir de su expresión polinómica.

Altman, Comparatore y Kurzrok (2006) proponen una secuencia de actividades

basadas en la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau, la cual según Chavarría

(2006) es un proceso donde el docente facilita el medio en el cual el estudiante construye su

conocimiento. En la propuesta de los autores, la teoría de Brousseau le permite al estudiante

movilizar los conceptos principales de la función cuadrática, como el eje de simetría, la

existencia de máximo o mínimo, la variación no lineal, y la resolución de ecuaciones; a

partir de lo anterior se inicia el estudio completo de la función cuadrática a través de la

modelización, proponiéndoles a los estudiantes determinar el área máxima y mínima de un

cuadrado al variar la posición de sus vértices, para posteriormente establecer la relación

entre dichas áreas.

Por otra parte, Hupaya (2012) menciona que para trabajar el concepto de función

cuadrática, la hoja de cálculo Excel ofrece posibilidades de cambiar valores en las celdas,

modificar parámetros y visualizar los cambios ocurridos en la representación gráfica de la

función, de modo que permite el estudio de las distintas variaciones de la parábola en

relación con los cambios que experimentan los coeficientes, además señala que las hojas de

cálculo están disponibles en cualquier computadora, lo que permite el fácil acceso a esta

herramienta. En consecuencia, propone una ficha de trabajo en Excel, la cual se enfocó en

reconocer los diversos registros para representar la función cuadrática, ya sea en forma

gráfica, tabular o algebraica, y en hallar la expresión algebraica de la función a partir de su

representación gráfica.

Relacionado con el uso de la tecnología, la propuesta de Vílchez y Ulate (2006)

parte de la creación de una página web llamada “funciones cuadráticas una experiencia de

desarrollo, implementación y evaluación”, dicha página tiene un enfoque pedagógico tanto

constructivista como conductista, y se plantea en ella aspectos teóricos y laboratorios de

descubrimiento en los se utilizan gráficas dinámicas, para que el estudiante construya su

35

propio conocimiento, conjeture y conceptualice visualizando cambios y comportamientos

en las representaciones gráficas.

Investigaciones recientes como la realizada por Campos (2014) mencionan acciones

concretas que deben tomarse en cuenta al momento de diseñar actividades para la

enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática, a continuación se resumen algunas de

ellas

1. Es recomendable el diseño de actividades que incorporen la mayoría de las etapas

del proceso de modelación.

2. Se debe innovar más en la articulación entre libros de texto con otros recursos

didácticos, como es el caso de la tecnología computacional

3. La modelación puede generar un camino opcional para que el docente de

Matemática fortalezca su trabajo en el aula de clase y potencie la promoción del

pensamiento variacional, así como los estilos de aprendizaje autónomo,

colaborativo y significativo, entre otros.

4. Debe existir exploración y manipulación, de lo que está en el entorno estudiantil. En

este caso, las situaciones de movimiento ofrecen una la riqueza conceptual para la

comprensión de la función cuadrática.

En relación con las estrategias metodológicas propuestas por el MEP (2012) para la

enseñanza del tema de función cuadrática, se tiene que: debe precisarse las propiedades de

la función mediante un estudio sistemático de la representación gráfica que incluya el punto

de intersección con los ejes coordenados, los intervalos de crecimiento o decrecimiento, la

concavidad, el intervalo donde la función es positiva o negativa y su conexión con la

solución de desigualdades cuadráticas, el ámbito, los intervalos máximos donde la función

es inyectiva, además se debe analizar la influencia de los parámetros a, b y c en el tipo de

gráfica, mediante la completación de cuadrados y utilizar transformaciones en el plano

como homotecias y traslaciones; los puntos anteriores deben verse en conjunto y no por

separado.

36

Así mismo, se recomienda usar software matemáticos que faciliten la observación de

las características descritas para y para aproximar soluciones de ecuaciones

de segundo grado.

En resumen, algunas estrategias que se deben utilizar al momento de enseñar la

función lineal y cuadrática giran en torno al uso de herramientas tecnológicas, la resolución

de problemas, y sobre todo debe permear en una traducción constante entre las distintas

representaciones de las funciones; además, se debe propiciar el uso de situaciones más

tangibles para los estudiantes, y no tantos ejercicios que requieren de formalismos

excesivos y de una Matemática que se muestra poco útil.

Por otro lado, las estrategias metodológicas expuestas en este apartado, tanto de la

función lineal como de la función cuadrática, permiten ampliar el panorama en cuanto a las

estrategias metodológicas utilizadas para el mejoramiento del conocimiento matemático

vinculado con ellas, además brindan un referente de cómo podrían utilizarse al momento de

diseñar las actividades de esta investigación.

2.3. Dificultades y errores en el aprendizaje de la Matemática

En esta investigación interesa conocer sobre las dificultades y errores que presentan

los estudiantes al momento de enfrentarse a ejercicios y problemas relacionados con la

función lineal y la función cuadrática, debido a que estas brindarán un referente al

momento de diseñar las actividades del Material Didáctico. Se pretende elaborar

actividades que expongan a los estudiantes ante las dificultades y errores halladas en

investigaciones previas y las que se detecten a través de esta investigación, para trabajar en

la superación de ellas; por lo que, es relevante conocer qué se entiende por dificultad y

error en Matemática, y específicamente saber cuáles son las dificultades y errores más

comunes en el caso de las funciones mencionadas.

Al respecto Socas (1997) menciona que en el aprendizaje de la Matemática, los

alumnos, presentan muchas dificultades y éstas son de naturalezas distintas. Algunas de

ellas tienen origen en el macrosistema educativo, pero en general, su procedencia se

2y ax bx c

37

concreta en el microsistema educativo: alumno, materia, profesor e institución escolar. Así

mismo, señala que las dificultades pueden abordarse desde varias perspectivas, entre ellas:

el desarrollo cognitivo de los alumnos, el currículo de Matemática y los métodos de

enseñanza.

Por su parte, González y Gómez (2013) mencionan que el término dificultad en

Matemática corresponde a una circunstancia que impide o entorpece la consecución de los

objetivos de aprendizaje previstos. Adicionalmente, comentan que cuando se manifiesta

visiblemente una dificultad se estará en presencia del error, y que este es observable

directamente en las actuaciones de los escolares, en sus respuestas equivocadas a las

cuestiones y en tareas concretas que les demande el profesor.

Además, estas dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que se

concretan en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma

de errores y que el error va a tener procedencias diferentes, pero en todo caso va a ser

considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no

solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste

(Socas, 1997).

De esta manera, entenderemos por dificultad, cualquier situación cognitiva que

enfrente el estudiante, que le impide o afecte en forma negativa sus procesos de resolución

de ejercicios y problemas. Además, se entenderá por error, aquella situación observable

donde el estudiante brinde una respuesta equivocada.

A continuación se presenta una clasificación general dada por Radatz (1980)

mencionado por Abrate, Pochulu y Vargas (2006), de los errores más comunes en

Matemática:

1. Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos matemáticos.

2. Errores provenientes de la producción de representaciones icónicas inadecuadas

de situaciones Matemática. Aquí tenemos por ejemplo situaciones en las que los

38

estudiantes en el caso particular de un triángulo rectángulo logran identificar los

catetos e hipotenusa, pero al rotar la figura no lo logran hacer.

3. Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y

procedimientos para la realización de una tarea Matemática. Estas deficiencias

incluyen la ignorancia de los algoritmos, conocimiento inadecuado de hechos

básicos, procedimientos incorrectos en la aplicación de técnicas y dominio

insuficiente de símbolos y conceptos necesarios.

4. Errores que en general son causados por la incapacidad del pensamiento para ser

flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas (asociaciones incorrectas o

rigidez del pensamiento). Dentro de esta clase de errores se tienen:

De asociación: Razonamientos o asociaciones incorrectas entre

elementos singulares. Por ejemplo decir que, 2 2a b a b en

asociación con el hecho de que 2 2a b a b .

De interferencia: Cuando los conceptos u operaciones interfieren

unos con otros. Por ejemplo la multiplicación de dos números

negativos interfiere en la resolución de una resta: 5 3 8 lleva a

5 3 8 .

5. Frecuentemente los estudiantes consideran al registro tabular como una

herramienta intermedia que permite localizar puntos en un plano, a partir de

una representación algebraica, y no como una representación por sí misma.

6. Transferencias de una representación a otra como traducciones, es decir,

pasar de un lenguaje verbal a uno gráfico o a uno algebraico.

7. Interpretación de una gráfica como la acción por la que se da sentido a la

misma o a una parte de ella, y es aquí donde se encuentran un gran número

de equivocaciones en los alumnos.

Los errores anteriores muestran las debilidades que poseen los estudiantes en cuanto

al lenguaje, términos, conceptos y procedimientos matemáticos. Particularmente para el

tema de funciones se observa que los estudiantes no conciben interpretar gráficamente una

función ni transformarla a diferentes representaciones, lo que interfiere directamente en el

proceso de enseñanza y aprendizaje para la función lineal y la función cuadrática, por lo

39

que en el diseño de las actividades del Material Didáctico se considerarán tales errores para

atender las dificultades asociadas a ellos, y favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje

de estos tópicos.

Como se mencionó anteriormente, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la

Matemática interactúan una gran variedad de dificultades que son potencialmente

generadoras de errores, que sin llegar a una categorización exhaustiva, Di BlasiRegner

(2003) mencionado por Abrate et al. (2006) las agrupan en las siguientes categorías:

Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Se refiere

propiamente al uso e interpretación adecuada de la simbología Matemática.

Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. A nivel de la

educación preuniversitaria está justificado el no estudiar las pruebas formales de los

contenidos, pero eso no incluye el abandono sobre el pensamiento lógico. Este tipo de

dificultad está asociado propiamente con la capacidad de razonar y extraer algunas

conclusiones bajos ciertas reglas, es decir, la capacidad para seguir un argumento

lógico; esta incapacidad es una de las causas que genera mayor dificultad en el

aprendizaje de esta ciencia.

Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza. Relacionadas a los aspectos

didácticos que utiliza el docente en el aula, así como el contexto en el que se encuentra el

estudiante y el currículo escolar del mismo. Para Abrate et al. (2006):

“cuatro serían los elementos básicos a considerar como dificultades en el

currículo de Matemática: las habilidades necesarias para desarrollar capacidades

Matemática que definen la competencia de un alumno en esta ciencia, la necesidad

de contenidos anteriores, el nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de

la Matemática escolar” (p. 33).

Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los estudiantes. Este aspecto

responde a los conocimientos previos del estudiante, así como el desarrollo de

pensamiento abstracto que ha adquirido en años anteriores y sobre todo la posibilidad

de razonamiento de procesos matemático.

40

Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Es frecuente que

a muchos estudiantes, incluyendo a algunos de los más capacitados, no les gusta la

Matemática y agregan que algunos de los aspectos que influyen en esta aversión son: la

naturaleza jerárquica del conocimiento matemático, la actitud de los profesores, estilos

de enseñanza, y las actitudes y creencias hacia la Matemática que les son transmitidas.

Muchas de las actitudes negativas están asociadas a la ansiedad y el miedo, es decir la

ansiedad por acabar una tarea, el miedo al fracaso, a la equivocación, entre otras,

suelen generar bloqueos de origen afectivo que repercuten en la actividad Matemática

de los alumnos.

Abrate, et al. (2006) complementan las categorías de las investigaciones anteriores,

añadiendo: Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales, que son aquellos que se

presentan cuando cada paso en la realización de la tarea es correcto, o responde a la lógica

interna del procedimiento esperado, pero el resultado final no es la solución debido a los

errores de cálculo que se presentaron en la ejecución de operaciones básicas, o acarreados

por la transferencia equivocada de símbolos y números involucrados en la situación. En

estas circunstancias si el alumno llevara a cabo un análisis retrospectivo advertiría la

presencia del error.

Como se puede notar, son diversas las dificultades presentes en los procesos de

enseñanza y aprendizaje de la Matemática, una de ellas es la relacionada con los procesos

de enseñanza, por lo que con esta investigación, se espera contar con un material diverso en

estrategias didácticas que permita disminuir esas dificultades, además, nos concentraremos

en las dificultades asociadas a los objetos matemáticos y a los procesos de pensamiento

matemático.

Concentrándonos propiamente en las dificultades relacionadas con la temática de

funciones, Di BlasiRegner (2003) mencionado por Abrate, et al. (2006) considera que si

bien el concepto de función – en el sentido de dependencia entre variables – aparece en la

formación Matemática de los estudiantes desde muy temprana edad no es un concepto

sencillo.

41

Abrate et al. (2006) señalan que las principales dificultades cuando los estudiantes

trabajan las funciones se evidencian en:

1. La vinculación de diversos conceptos, tales como: dominio, imagen,

variable, dependencia, crecimiento, continuidad; los que generan por sí

mismos cierto grado de dificultad.

2. El manejo de las distintas representaciones de una función, tales como:

descripción verbal, diagramas de Venn, tablas, gráficas, fórmulas.

3. La interpretación de las gráficas.

Las dificultades anteriores están asociadas al concepto general de función, pero para

efectos de esta investigación es aún más relevante conocer las dificultades relacionadas

específicamente con la función lineal y la función cuadrática, por lo que a continuación se

expone un apartado correspondiente a estas.

2.3.1 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función lineal

Al estudiar la función lineal en secundaria, surgen en los estudiantes algunas

dificultades con los contenidos de esta temática.

Córdoba et al. (2013) señalan que al estudiar la función lineal, algunas de las

dificultades se ponen de manifiesto cuando:

1. se relaciona el parámetro pendiente y la inclinación de la recta.

2. el punto de partida en un ejercicio es una gráfica, es decir, sin contar con el

criterio de la función; a partir solo de la gráfica de la función, analizar la

monotonía, comprender la relación del parámetro b con la intersección del

eje y , y determinar el criterio de la recta.

3. se relaciona la representación algebraica y el esbozo de la gráfica, a

diferencia del punto anterior, en este punto los estudiantes conocían el

criterio de la función y a partir del mismo realizaban la representación

gráfica.

42

2.3.2 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función cuadrática

En cuanto al estudio de la función cuadrática, también los estudiantes presentan una

serie de dificultades cuando se enfrentan a los contenidos referentes a este tema.

Córdoba et al. (2013) señalan algunas de esas dificultades:

1. No relacionan el coeficiente del término lineal con la posición del eje de

simetría de la parábola. Este caso se refiere a que cuando los estudiantes

grafican una función cuadrática, sabiendo solo que 0, 0a b y 0c no

tienen claro que 0b da como resultado el eje de simetría sobre el eje y .

2. No aciertan al establecer el coeficiente del término cuadrático mediante la

información visual contenida en la gráfica.

3. Los problemas se revelan con mayor fuerza cuando el registro de partida es

la gráfica. Es decir, teniendo solo una parábola ubicada en el plano

cartesiano tienen dificultad al determinar su criterio.

De forma similar Huang, Li y An (2012) en una investigación relacionada con las

estrategias de enseñanza de la función cuadrática en China, determinaron, las siguientes

dificultades

1. Entendimiento limitado del concepto de función: los estudiantes únicamente

consideran la parte visible de la gráfica de una parábola aunque su dominio sea

infinito. Lo que los lleva a pensar que no existe intersección con el eje de las

ordenadas cuando este no se muestra en la representación gráfica.

2. Organización del currículo: En China se empieza estudiando la función cuadrática y

luego la función lineal y las ecuaciones cuadráticas. A pesar de que

tradicionalmente no se hace así, sino que se consideran las ecuaciones cuadráticas y

la función lineal como conocimientos previos. Lo que podría afectar el

entendimiento de las funciones cuadráticas.

43

Por ejemplo: Se le pide a un estudiante encontrar el punto mínimo de la

función 2( ) 3 9 3f x x x , él la simplifica dividiendo por tres y obtiene

2( ) 3 1f x x x completa cuadrados y halla el punto mínimo de ella, asumiendo

que es el mismo de la función dada originalmente. Esto se debe a que uso la misma

generalización de que cuando se resuelve la ecuación 23 9 3 0x x es

equivalente a resolver 2 3 1 0x x

3. Pocas variaciones de los parámetros: La función cuadrática 2( )f x ax bx c tiene

diferentes variaciones dependiendo de si b y c son o no cero. Huang, Li y An (2012)

mencionan que cuando el número de variaciones y ejemplos son limitados aparecen

errores como los siguientes:

a) Pensar que la función 2( )f x ax bx no tiene intersección con el eje y porque

no aparece c.

b) Si un estudiante estudia las funciones de la forma 2( )f x ax c se dará cuenta

que c regula el movimiento hacia arriba o hacia debajo de la función 2( )f x ax

pero también lo puede llevar a generalizar que hace lo mismo con

2( )f x ax bx c

4. No hay articulación entre las diferentes representaciones para resolver problemas:

En ocasiones un estudiante puede tener conocimientos sobre las funciones

cuadráticas, pero debido a las diferentes representaciones se le impide lograrlo. En

general, una función puede ser representada gráficamente, algebraicamente, con un

diagrama de Venn, en una tabla, por un conjunto de pares ordenados, o en palabras.

De las secciones anteriores, se puede evidenciar que los estudiantes, en general,

presentan dificultades en la articulación entre las distintas formas de representación

funcionales, con mayor tendencia cuando se realiza entre la representación gráfica y la

representación algebraica.

44

2.4. Material didáctico

Como parte de esta investigación se pretende elaborar un Material Didáctico para la

enseñanza de la función lineal y la función cuadrática, por lo que conviene definir qué se

entiende por material didáctico y a qué debe responder el mismo en el campo de enseñanza

y aprendizaje. A continuación se presenta una serie de definiciones para tal noción.

Para Carretero, Coriat y Nieto (1955), leídos en Flores, Lupiáñez, Berenguer, Marín

y Molina (2011), un material didáctico es un material diseñado por el docente con fines

educativos.

Ampliando la definición anterior, Fragoso (2012) señala que los materiales

didácticos son instrumentos que los profesores emplean para que los estudiantes interactúen

con los contenidos de aprendizaje, además que guían, estimulan y favorecen el

pensamiento, la imaginación y la capacidad de abstracción.

Siguiendo con una noción similar, García (2009) lo define como un conjunto

integrado y organizado de elementos básicos que conforman el proceso de enseñanza y

aprendizaje, como: objetivos, contenidos, estrategias, actividades, evaluación, motivación;

que le permiten a los estudiantes apreciar el resultado de su estudio o trabajo.

De esta manera, entenderemos como material didáctico al conjunto de estrategias y

actividades diseñadas por el docente para el desarrollo de las habilidades generales y

específicas presentes en el Programa de Estudios de Matemática del MEP en concordancia

con los conocimientos de la función lineal y la función cuadrática, con el fin de lograr

aprendizaje en los estudiantes.

Además, a continuación, se presentan una serie de criterios o elementos de diseño

propuestos por García (2009) como sugerencia de contenidos de un material didáctico.

El título. Debe ofrecer cierta información acerca de los contenidos que en ella se

van a trabajar

45

Introducción u orientaciones para el estudio. Este apartado debe ser claro, debe

describir todos aquellos detalles que sean necesarios para su comprensión y aplicación,

además se tiene que recalcar la importancia de la unidad como un medio del aprendizaje

del estudiante, es decir se debe realizar una breve descripción de la metodología que se

pretende utilizar en las actividades.

Los objetivos. Son las propuestas o metas que se desean que logren los

estudiantes. Para esta investigación los objetivos didácticos corresponden a las

habilidades específicas que señala el MEP para el desarrollo de los conocimientos de la

función lineal y la función cuadrática en su Programa de Estudios.

Los contenidos. Corresponden a los conocimientos precisos que se ajustan a la

formulación los objetivos, ya que estos son propios del área de estudio.

Actividades de enseñanza y aprendizaje. Son tareas para ejercitar, guiar, repasar,

asimilar nuevas ideas y afianzar los conocimientos.

Actividades de evaluación. Permiten comprobar al estudiante si domina o no los

conocimientos. Mediante actividades de autoevaluación se le da la posibilidad al

estudiante de comprobar el alcance o no las habilidades planteadas en el material

didáctico.

Soluciones de las actividades de evaluación. Son las respuestas comentadas con

el fin de insertar claves que permitan comprobar los aciertos y errores del estudiante.

Después de haber definido los aspectos que debe contener un material didáctico, es

importante recalcar que dicha estructura será la base para la construcción y elaboración del

que resultará de esta investigación. Al mismo tiempo es necesario aclarar que dicho

Material será planificado para su utilización por los docentes de Matemática de secundaria

que desarrollen en sus clases los contenidos de las funciones lineal y cuadrática, debido a

que estos docentes tendrán a su disposición referentes teóricos, problemas contextualizados

y actividades relacionadas con estas temáticas.

También es indispensable que el Material Didáctico que se elaborará se encuentre

teóricamente fundamentando, para ello se recurrirá al Análisis Didáctico propuesto por

Rico (2013), dicha teoría se articula entorno a cinco subanálisis, y de ellos, en el siguiente

46

apartado se resumen los que se realizarán en esta investigación. Sin embargo, se aclara que

en esta investigación no se hará un análisis exhaustivo de los mismas, únicamente se

tomarán en consideración aquellos elementos que fundamenten teóricamente la creación de

un material didáctico en las temáticas que interesan para este estudio.

2.5. Análisis didáctico

El análisis didáctico es un método de investigación propio de la Didáctica de la

Matemática, cuya finalidad radica en fundamentar, dirigir y sistematizar la planificación de

materiales didácticos que organizan y transmiten conocimientos matemáticos, así como la

puesta en práctica y la evaluación de los mismos (Rico y Fernández, 2013).

Para ello, este análisis trabaja de lo complejo a partes más simples, empleando un

sistema cíclico de cinco categorías: análisis conceptual, análisis de contenido, análisis

cognitivo, análisis de instrucción y análisis evaluativo. Contemplando que las primeras dos

categorías son una sola, ya que ambas proponen establecer qué conocimientos se

consideran dentro del currículo (Rico y Fernández, 2013).

Cabe mencionar que, las primeras categorías se centran en el diseño de un material

didáctico, mientras que la última se encarga de la implementación y evaluación de los

resultados obtenidos tras la aplicación del material diseñado previamente (Lupiáñez, 2013).

En el siguiente apartado se detallan cada uno de los organizadores de estos subanálisis.

2.5.1 Análisis de Contenido

Para Gómez (2002) con este análisis “…es posible explorar, profundizar y trabajar

con los diferentes y múltiples significados del conocimiento matemático escolar, para

efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje”

(p.252). Es decir, este análisis se centra en el estudio detallado del concepto matemático

que es objeto de planificación.

47

Además, Gómez (2007) añade que para el desarrollo del análisis de contenido el

profesor hace uso de tres organizadores del currículo: la estructura conceptual, los sistemas

de representación y el análisis fenomenológico, los cuales se definen como:

Estructura conceptual

Lupiáñez (2013) señala que, la estructura conceptual es aquella que “considera las

relaciones de los conceptos y procedimientos implicados en el contenido estudiado,

atendiendo tanto a la estructura Matemática de la que forman parte, como a las que

configuran tales conceptos y procedimientos” (p. 85).

Adicionalmente, tanto en el campo conceptual como en el campo procedimental se

establecen tres niveles de complejidad, los cuales se abordan a continuación.

Primeramente, el campo conceptual tiene que ver con los conceptos que estructuran

el contenido matemático, los cuales según Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez (2008) se

clasifican en:

Hechos. Constituyen el nivel básico de complejidad, pues son las unidades

de información que sirven como registros de acontecimientos. Se distinguen cuatro

tipos de hechos: términos, notaciones, convenios y resultados (teoremas).

Conceptos. Determinan el nivel medio de complejidad, ya que corresponde a

la relación entre un grupo de hechos.

Estructuras. Definen el nivel superior de complejidad y corresponden a la

relación entre los conceptos, pues se destaca las conexiones y relaciones mutuas de

una familia de conceptos.

Por otra parte, según Lupiáñez (2009) el campo procedimental engloba todos los

procesos, modos de actuación o ejecución de las tareas Matemática, los cuales se clasifican

según su nivel de complejidad en:

48

Destrezas. Suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos

usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. Se ejecutan

sobre los hechos y se llevan a cabo por ejecución de una secuencia de reglas,

manipulación de símbolos o transformaciones gráficas.

Razonamientos. Suponen un conocimiento de los conceptos y de su

extensión, lo que permite el procesamiento secuenciado de ideas razonadas. Es la

capacidad de expresión y comunicación de los alumnos. Se ejecutan sobre los

conceptos. Se pueden clasificar como deductivos, inductivos, analógicos y

figurativos.

Estrategias. Son aquellos procedimientos que permiten obtener una

conclusión mediante el uso de las relaciones, conceptos y diversidad de sistemas

de representación. Se ejecutan sobre las estructuras.

De modo que, para comprender esta primera parte del análisis de contenido,

Cañadas y Gómez (2012) presentan una serie de preguntas a las que debe responder la

estructura conceptual:

a. ¿Cuáles son los conceptos que caracterizan el tema?

b. ¿Qué procedimientos están implicados en el tema?

c. ¿Cómo se relacionan esos conceptos entre sí?

d. ¿Cómo se relacionan esos procedimientos entre sí?

e. ¿Cómo se relacionan esos conceptos y esos procedimientos?

En el caso particular de la función lineal y la función cuadrática, en esta propuesta,

una parte de la estructura conceptual está formada por los conocimientos matemáticos del

Programa de Estudios de Matemática del MEP. Por lo que, en una tabla que forma parte del

Anexo 1, se toma cada habilidad propuesta por el MEP para las funciones en cuestión y se

desglosan los conocimientos y procedimientos que se deben tener presente para su

desarrollo.

49

Sistemas de representación

Castro y Castro (1997), leídos en González, Castro y Castro (2016), afirman que las

representaciones son las notaciones simbólicas o gráficas mediante las que se expresan los

conceptos, los procedimientos matemáticos, las características y las propiedades más

relevantes.

Del mismo modo, Lupiáñez (2013) señala que los sistemas de representación

“consideran las diferentes maneras en las que se puede representar el contenido y sus

relaciones con otros conceptos y procedimientos” (p. 85).

Adicionalmente, Gómez (2007) clasifica los sistemas de representación de la

siguiente manera:

Representación simbólica. Representaciones que utilizan símbolos del

abecedario y símbolos matemáticos para expresar los distintos tipos de

conocimiento conceptual o procedimental.

Representaciones algebraicas. Aplicaciones de las propiedades algebraicas.

Representación verbal. Expresión de un contenido a partir de convenios de

lectura y lenguaje desde la expresión oral y escrita.

Representación gráfica. Expresa un contenido matemático mediante la

creación de un dibujo, formado por líneas, símbolos y superficies que permite

observar diferentes propiedades de dicho contenido.

Representación tabular. Permite visualizar la relación entre las variables

involucradas.

Para el caso de interés en este estudio, los sistemas de representación, para la

función lineal y función cuadrática, están conformados principalmente por las distintas

50

representaciones de una función, ya sea algebraica, gráfica o tabular; las cuales permiten

expresar, de forma diferente, características de estas funciones.

Análisis fenomenológico

Lupiáñez (2013) señala que el análisis fenomenológico considera los fenómenos, ya

sean contextos, situaciones o problemas que pueden dar sentido al contenido matemático

que se va a enseñar. Es decir, este análisis propone mostrar la vinculación de los conceptos

y las estructuras matemáticas con ciertos fenómenos del mundo natural, cultural, social y

científico, con la finalidad de dotar de sentido el aprendizaje de tales conceptos y

estructuras (Rico et al., 2008).

Por ende, Cañadas y Gómez (2012) presentan una serie de preguntas a las que debe

responder el análisis fenomenológico:

a. ¿Qué fenómenos dan sentido al tema?

b. ¿Qué subestructuras permiten organizar los fenómenos que dan sentido al tema?

c. ¿Para qué se utiliza el tema? ¿A qué problemas da respuesta?

d. ¿Qué características comparten los fenómenos que dan sentido al tema? ¿Qué

subestructuras se relacionan con qué contextos?

e. ¿En qué situaciones está presente el tema?

Para aclarar un poco la terminología anterior, se entenderá el término contexto como

un “marco en el cual conceptos y estructuras atienden unas funciones, responden a unas

necesidades como instrumentos de conocimiento” (Lupiáñez, 2009, p.50). Como fenómeno,

a la definición dada por Gutiérrez, Herrera, Mora, Ramírez, Sandi y Solano (2014), la cual

comprende a todas aquellas situaciones y problemas que dan sentido al contenido tratado y

a su vez, agregan que cada fenómeno se organiza siguiendo un contexto, y estos por su

parte, con una subestructura Matemática del tema. Por último indican que el término

subestructura es una parte o porción de la estructura conceptual, que visto desde el

profesor, tiene un sentido propio. Dan como ejemplo la estructura de los números naturales,

la cual tiene diferentes subestructuras como la de orden, la aditiva, la multiplicativa, y la

factorial.

51

Así mismo, Rico, Flores y Ruiz (2015) mencionan que “la Matemática contrasta su

valor cuando sus nociones y conceptos se piensan con plenitud de sentido” (p. 49), es decir,

cuando estas proporcionan una gran variedad de usos para dar respuestas a problemas en

distintos contextos, ya sea en situaciones individuales o sociales.

Además, señalan que, el sentido de un concepto matemático se centra en su

significado, cuando se logran responder las siguientes preguntas: ¿qué es? ¿en qué

consiste? ¿cómo se usa? ¿cómo se puede expresar? y ¿para qué se puede utilizar? ya que

las mismas corresponden a la estructura formal de los signos y las reglas que lo representan,

a las situaciones o contextos que expresan y a los usos que emplean.

Por su parte, Segovia y Rico (2011), citados por Rico, Flores y Ruiz (2015),

muestran que, en las estructuras conceptuales de un contenido matemático escolar, se

insertan los sistemas de representación con los que se expresan, y también identifican

aquellos usos que delimitan sus sentidos.

En pocas palabras, el análisis fenomenológico se relaciona con los usos que se le

dan a los conocimientos matemáticos en la vida real. Para el caso particular de la función

lineal y de la función cuadrática, se sugiere utilizar problemas de modelización que

examinen la utilidad que le dan a lo “lineal” o lo “cuadrático” en las distintas civilizaciones

y en los contextos de la vida cotidiana (Giacomone y Loría, 2015).

Es así como aprender Matemática, con sentido, consiste en su significado en los

contextos, fenómenos, situaciones y la utilización de dicho concepto, pues este

conocimiento es una parte principal de los contenidos matemáticos; todo esto se puede

llevar a cabo mediante el análisis de contenido, ya que proporciona un método para

reconocer e identificar sus sentidos (Rico, Flores y Ruiz, 2015).

2.5.2 Análisis Cognitivo

Según Rico (2013), el análisis cognitivo se ajusta a una concepción escrutadora o

regresiva, ya que trata de organizar el para qué y hasta dónde aprender determinados

52

conocimientos sobre un tópico. Es decir, este análisis se centra en los estudiantes a los

cuales se dirige el proceso de enseñanza.

Para su realización se establecen tres organizadores vertebradores, el primero se

refiere a las expectativas sobre el aprendizaje de los escolares, a su precisión y riqueza, a su

alcance en el largo, medio y corto plazo, a su vinculación con los fines establecidos en

distintos niveles del sistema educativo. Cada tema requiere, al menos, enunciar sus

prioridades cognitivas, determinar su objeto y su alcance, organizar y relacionar dichas

prioridades.

El término expectativas de aprendizaje se usa para denominar, de manera general,

aquellas capacidades, competencias, conocimientos, saberes, aptitudes, habilidades,

técnicas, destrezas, hábitos, valores y actitudes que, según diferentes instancias del

currículo, se espera que logren, adquieran, desarrollen y utilicen los escolares. En el caso de

la Matemática, las expectativas expresan determinados usos reconocibles y deseados del

conocimiento matemático, que se pueden observar o inferir a partir de actuaciones de los

escolares ante tareas (Rico y Lupiáñez, 2008).

De esta manera, entendemos expectativa de aprendizaje como el logro de las

habilidades que propone el Programa de Estudio del MEP respecto a la función lineal y

cuadrática, los cuales fueron mencionados en las habilidades generales en el área de

Relaciones y Álgebra.

El segundo organizador se centra en las dificultades de aprendizaje, hipotéticas o

empíricas, conjeturadas o conocidas, y sobre los errores documentados o detectados en la

práctica. Es decir, se ocupa de las limitaciones para el aprendizaje que, de diferente modo,

pueden distorsionar, ralentizar o frenar el aprendizaje de los escolares, teniendo en cuenta

que son muchas las variables que pueden afectar el desarrollo cognitivo de los estudiantes

en el contexto del aprendizaje escolar (Lupiáñez, 2013).

53

Es por esto que anteriormente se consideró un apartado para los errores y

dificultades que han manifestado los estudiantes al trabajar con los conocimientos de la

función lineal y la función cuadrática. Según Lupiáñez (2013) las dificultades de

aprendizaje forman parte inherente del propio proceso de aprendizaje y aunque puedan

tener su origen en muchas causas, una de ellas tiene que ver con la propia complejidad del

conocimiento matemático.

El tercero de estos organizadores se enfoca en las demandas cognitivas, en las tareas

mediante las cuales se reta al estudiante a dar respuesta a diversas cuestiones cuyo

propósito está el logro de su aprendizaje y la superación de los errores relativos al tema.

2.5.3 Análisis de Instrucción

El análisis de instrucción se entiende según Gómez (2007) como “el procedimiento

en virtud del cual el profesor puede analizar y seleccionar las tareas disponibles para el

diseño de las actividades de enseñanza y aprendizaje” (p.75), es decir, se centra

propiamente en el profesor, en el proceso que debe seguir para diseñar, seleccionar y

secuenciar las tareas para la enseñanza y aprendizaje de los contenidos matemáticos.

A su vez, este análisis trata aspectos relativos a la gestión de aula, empleo de

materiales y los criterios de evaluación de dicho material, para obtener como resultado un

material didáctico justificado sobre un tema concreto de Matemática (Lupiáñez, 2013).

Lupiáñez (2013) y Gómez (2007), señalan que existe una relación importante entre

este análisis y los dos anteriores, ya que se utiliza la información que se ha obtenido del

análisis de contenido y del análisis cognitivo para la selección de tareas que proponen

alcanzar las expectativas de aprendizaje deseadas.

2.5.3.1. Selección de las tareas

Las tareas constituyen un eje organizador del análisis de instrucción (Lupiáñez,

2013). Por lo que, para esta investigación, el término tarea se entiende como una propuesta

54

que se dirige al estudiante con intención de mejorar el conocimiento de un tema matemático

determinado (Marín, 2013).

Para la selección de tareas, Marín (2013) destaca varios aspectos importantes como

la redacción, la resolución y las demandas cognitivas. Estos criterios establecen o

demandan el desarrollo de competencias, las cuales se puedan activar al realizar una

asignación Matemática, mediante el cumplimiento de las habilidades específicas

establecidas para el caso de la función lineal y cuadrática. Para realizar el análisis de las

competencias de una tarea, Marín (2013) plantea que se debe efectuar la resolución de

dicha actividad simulando ser un estudiante de secundaria, para así generar un listado

hipotético de acciones y determinar cuáles de ellas corresponden con las descripciones de

las competencias Matemática que se buscaban desarrollar.

Asimismo, para el análisis de las tareas se pueden tomar en cuenta las variables de

tarea que se estudian en el marco del Proyecto PISA, las cuales según Rico (2011) son:

contenido matemático, el tipo de situación o contexto y la complejidad cognitiva.

Adicionalmente, Rico (2011) menciona que la variable de contexto es considerada

un aspecto relevante en el proceso de matematización, ya que esta ubica la tarea propuesta

en una situación, y que según el grado de cercanía con el estudiante se pueden distinguir los

siguientes cuatro valores para ella.

1. Contextos personales: Se relaciona con actividades cotidianas que tienen

relevancia personal directa e inmediata para el estudiante. Podrían ser: las

compras, los juegos, el transporte personal, los deportes, los viajes, las propias

finanzas, etc.

2. Contextos ocupacionales, laborales o profesionales: Situaciones en el ambiente

escolar o en un entorno de trabajo a las cuales pudiera enfrentarse el estudiante.

Incluye aquellas tareas que propone el profesor con fines exclusivamente para la

instrucción. Podrían ser: el cálculo de costos y pedido de materiales para la

55

construcción, el diseño/la arquitectura, optimización de recursos, compras y

ventas.

3. Contextos públicos o sociales: Surgen en la interacción diaria del individuo con

el mundo externo. Podrían ser: sistemas electorales, las políticas públicas, la

demografía, la publicidad, los medios de comunicación, las estadísticas

nacionales, la economía, etc.

4. Contextos científicos: corresponde a la aplicación de las Matemática al mundo

natural y temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Podrían ser: un

problema eminentemente matemático, la meteorología o el clima, la ecología, la

medicina, las ciencias espaciales, la genética, las mediciones.

Sin embargo, para efectos de esta investigación, se aceptará la diferenciación que

realiza Ruiz (2017) para el contexto científico, este autor plantea que los problemas que se

desarrollan enteramente en el mundo de la Matemática se excluyan de ese contexto. Por lo

que, crea un nuevo contexto denominado: Contexto matemático, el cual se define como

aquel que se centra exclusivamente en conceptos y procedimientos que no salen del seno de

la Matemática.

En cuanto la variable complejidad cognitiva, Rico (2011) menciona que en esta

distinguen tres valores de complejidad: reproducción, conexión y reflexión; a continuación

se presenta una descripción de las mismas.

1. Reproducción: este nivel requiere que el estudiante muestre que domina el

conocimiento aprendido. Son problemas familiares, que se resuelven aplicando

algoritmos o destrezas como: acceder, recordar, reproducir e identificar.

2. Conexión: este nivel requiere que el estudiante muestre capacidad para

establecer relaciones entre distintos dominios matemáticos e integrar

información para resolver problemas no rutinarios. Incluye capacidades como

aplicar, analizar y valorar.

56

3. Reflexión: en este nivel las situaciones son poco estructuradas, requieren que el

estudiante comprenda, reflexione y use su creatividad para reconocer las

Matemática involucradas en el problema. Requiere que el estudiante analice,

interprete y desarrolle sus propios modelos y estrategias.

Cabe destacar que la clasificación de acuerdo a la variable complejidad también es

propuesta por el MEP (2012) en el Programa de Estudios de Matemática.

Por otra parte, el orden de los ejercicios ocupa un papel importante en el diseño de

cualquier material didáctico, ya que “la presentación de las tareas explicitan lo que el

estudiante debe hacer para aprender” (Marín, 2013, p.114). Por lo que Parcerisa (1996),

citado en Marín (2013), propone una secuencia para la presentación de dichas asignaciones

y las clasifica en tareas de motivación, de análisis de conocimientos previos, de desarrollo y

aprendizaje de nuevos conocimientos, de consolidación de los conocimientos adquiridos, de

ampliación de conocimientos mediante las aplicaciones y por último, las actividades de

autoevaluación. Esta clasificación permite analizar la funcionalidad didáctica de la tarea.

En resumen, este apartado muestra que el análisis didáctico es una herramienta que

permite mediante el desarrollo de sus categorías de análisis, la construcción, planificación,

puesta en práctica y la validación de un material didáctico específico de Matemática, en

este caso, esta investigación se centra en la planificación y construcción de un Material

Didáctico para la enseñanza de la función lineal y la función cuadrática.

Se presentó en este capítulo el sustento teórico necesario para la creación del

Material Didáctico, el cual inicia tomando en cuenta los fundamentos teóricos del Programa

de Estudios de Matemática del MEP, donde se realizó una descripción sobre todos los

aspectos que se intentan lograr a través de las habilidades propuestas en el programa, así

como los ejes disciplinares que lo componen, los cuales además fueron complementados

con la visión de otros autores para ampliar los detalles en cada uno de ellos.

57

Además, como es esencial en el diseño del Material tomar en cuenta los procesos

que se deben seguir en clases, entonces se explicitaron cada uno de los pasos propuestos en

el programa. Así mismo, en este capítulo se describieron algunas estrategias metodológicas

para mejorar la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, de forma general, para

posteriormente abordar en el caso que nos interesa, posteriormente se realizó una

categorización de dificultades y errores que poseen los estudiantes al momento de estudiar

Matemática, de nuevo primero con las estrategias de forma general y posteriormente se

detallaron algunas referentes a la función lineal y a la función cuadrática. Por último, se

puntualizó en algunos componentes teóricos del Análisis Didáctico, que se utilizarán en el

desarrollo metodológico de la investigación.

58

CAPÍTULO III

MARCO METODOLÓGICO

En este capítulo se presentan los lineamientos y procedimientos que guiaron la

investigación, con el fin de asegurar el logro de los objetivos planteados. Primeramente se

expone el enfoque que tuvo el estudio, luego las etapas de la investigación así como las

técnicas e instrumentos de recolección de datos; por último, se explica cómo se analizó la

información recolectada.

3.1. Tipo de investigación

Esta investigación es de naturaleza cualitativa y se enmarca dentro de una

investigación de diseño, pues según Vilchis (1998), esta metodología permite la concepción

y el desarrollo de proyectos que den solución a los problemas del entorno como el

desarrollo social, cultural y didáctico, determinando así una secuencia adecuada de

acciones y procedimientos específicos para generar una nueva actividad.

Además, la investigación de diseño corresponde a un medio esencial para la

creación de materiales didácticos que favorecen la enseñanza y aprendizaje, en este caso de

la Matemática, debido a que su objetivo es “analizar el aprendizaje en contexto mediante el

diseño y estudio sistemático de formas particulares de aprendizaje, estrategias y

herramientas de enseñanza, de una forma sensible a la naturaleza sistémica del aprendizaje,

la enseñanza y la evaluación” (Molina, M., Castro, E., Molina, J.L y Castro, E., 2011, p.

76).

Se considera dentro de la investigación de diseño los experimentos de enseñanza,

los cuales son una secuencia de actividades de aula, cuidadosamente elaboradas en relación

con un contenido específico, para promover el aprendizaje de los estudiantes (Molina et al.,

2011). Esto corresponde al proceso de planeamiento que realiza el docente para llevar a

cabo sus lecciones tomando en cuenta el currículo escolar.

59

Siguiendo con esta idea, Cobb y Gravemeijer (2008), citados por Molina et al.

(2011) distinguen tres fases dentro de la investigación de diseño: preparación del

experimento, experimentación, y análisis retrospectivo de los datos. La primera fase

corresponde a la definición del problema, habilidades y metodologías de aprendizaje que se

desean alcanzar, así como la descripción hipotética de los resultados esperados del proceso

de aprendizaje; en la segunda fase se pretende aplicar el diseño obtenido en la fase 1, para

obtener y recolectar toda la información del trabajo realizado en el aula; y en la última

etapa, se recopila y organiza toda la información obtenida en la fase 2, para profundizar en

la comprensión de la situación de enseñanza y aprendizaje en su globalidad.

Es importante resaltar que dentro de esta investigación, no se realizaron todas las

fases de una investigación de diseño; únicamente, se abordó la primera fase relativa a la

planificación del experimento; es decir, a la planificación del Material Didáctico, y se

agregó una etapa de valoración de dicho Material, mediante el criterio de algunos docentes

de Matemática (estos debían cumplir determinadas características, las cuales se describen

en el apartado 3.2.3).

3.2.Etapas de la investigación

En esta investigación se siguieron una serie de etapas que organizaron la estructura

y secuencia de la misma, las cuales se citan y detallan a continuación.

3.2.1. Etapa I: Indagación bibliográfica

En esta etapa se desarrolló una indagación bibliografía en documentos como

trabajos finales de graduación, artículos de revista, libros especializados, actas de

congresos, entre otros. Se prestó atención a aquellos trabajos relacionados con el diseño de

materiales didácticos para la enseñanza de la Matemática; especialmente, para la enseñanza

de las funciones. Otras líneas de búsqueda fueron: aplicaciones de las funciones, resolución

de problemas, historia de la Matemática como recurso metodológico, uso de la tecnología,

entre otras. Todo lo anterior con el objetivo de adquirir referentes para el planteamiento de

la investigación y para la elaboración del Material Didáctico.

60

Además, se realizó una discusión sobre investigaciones donde se crean materiales

didácticos y se decidió utilizar la teoría del Análisis Didáctico para sustentar la elaboración

del Material Didáctico que se pretende con este trabajo, pues dicha teoría de acuerdo con

González y Gallardo (2013) trata de una propuesta útil para valorar la validez y pertinencia

de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, al mismo tiempo que facilita

la delimitación, organización y control de las competencias de planificación curricular.

3.2.2. Etapa II: Elaboración del Material Didáctico

Antes de la elaboración propia del documento se realizaron ciertos análisis que

permitieron determinar el contenido de dicho material didáctico. Para ello se llevaron a

cabo algunos de los pasos del Análisis Didáctico, a saber: Análisis Conceptual, Análisis de

Contenido, Análisis Cognitivo y Análisis de Instrucción.

En la fase de Análisis de Contenido se expone todo el contenido matemático

vinculado con la función lineal y la función cuadrática, además de la utilidad y las

aplicaciones de las mismas, lo cual se enmarca dentro del análisis fenomenológico, así

como sus diferentes sistemas de representación. Posteriormente, el Análisis Cognitivo se

enfocó en las expectativas de aprendizaje, los errores y dificultades que posean los

estudiantes en los tópicos de la función lineal y la función cuadrática; y por último en la

etapa del análisis de instrucción se seleccionaron las tareas para el diseño de las actividades

de enseñanza que se incluyen en el Material Didáctico.

3.2.2.1.Delimitación del contenido matemático a estudiar

Esta fase forma parte del análisis de contenido, con ella se pretende establecer la

diversidad de significados escolares de los conceptos y procedimientos de la Matemática

(Rico y Fernández, 2013). Es decir, se desarrolló ampliamente el contenido matemático y

los conceptos pertinentes al tema de investigación, que en este caso corresponden a los

tópicos de función lineal y de función cuadrática.

Para efectuar la delimitación de los contenidos de las funciones en estudio, se

tomaron en cuenta los aspectos propuestos por González y Gallardo (2013). Primero se

61

realizó un análisis de los elementos básicos: conceptos fundamentales, definiciones,

procedimientos, reglas, técnicas, lenguaje y representaciones. Posteriormente, con la

información obtenida se reflexionó y extrajeron algunas conclusiones acerca de los

conocimientos previos y posteriores del estudiante.

Al finalizar esta fase se estableció un listado de términos, conceptos,

procedimientos y sistemas de representación involucrados en los temas de función lineal y

función cuadrática; que dieron la base teórica para la construcción del Material Didáctico.

3.2.2.2.Usos y aplicaciones del contenido matemático a estudiar

En esta etapa se realizó un análisis fenomenológico, el cual se enmarcó dentro del

Análisis de Contenido. Según González y Gallardo (2013) el análisis fenomenológico trata

de determinar la utilidad y aplicaciones del contenido matemático, examinar a qué

situaciones les da sentido y establecer la funcionalidad del conocimiento matemático que

constituye el núcleo del Material Didáctico o que forma parte del problema curricular

planteado.

Para esta investigación se tomaron en cuenta los siguientes criterios del análisis

fenomenológico: los tipos de problemas empleados corresponden a contextos reales

(familiares, cotidianos, etc.) para así obtener un mejor aprendizaje y que logren visualizar la

Matemática presente en la vida cotidiana, se incentivó el uso de aplicaciones relacionadas

con otras disciplinas con el fin de mostrar la estrecha relación que existe entre la

Matemática y las diversas materias curriculares y extra curriculares, lo cual coincide con el

planteamiento del MEP en sus programas de estudio vigentes.

3.2.2.3.Aprendizajes, dificultades y errores

Esta etapa considera elementos del análisis cognitivo, el cual se centra en las

expectativas de aprendizaje que el docente espera de sus estudiantes, así como también

aquellas dificultades y errores que se pueden cometer en la resolución de una determinada

tarea.

62

Según Gómez (2007) “el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los

escolares pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura

Matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza

y aprendizaje” (p.94).

Para determinar las expectativas, errores y dificultades en el aprendizaje de la

función lineal y la función cuadrática se prestó especial atención en los siguientes aspectos:

1. Las habilidades de aprendizaje que se plantean en el actual currículo de

Matemática del MEP.

2. Los conceptos matemáticos y procedimientos presentes en ejercicios y problemas

que involucran temas relacionados con la función lineal y la función cuadrática.

Los ejercicios y problemas se extrajeron de libros de texto de la educación

secundaria y universitaria.

3. Principales errores y dificultades que presentan los estudiantes en el estudio de la

función lineal y la función cuadrática, para ello se tomó en cuenta algunas

investigaciones y los resultados obtenidos de la aplicación de un cuestionario a

una muestra de docentes de Matemática que impartieron o estaban impartiendo

décimo año, así como la información recabada de otro cuestionario aplicado a

estudiantes de décimo año (en el apartado 3.3.1 se detalla cómo se realizó este

aspecto).

3.2.2.4.Diseño, análisis y selección de las actividades que conforman la propuesta

didáctica de investigación

Esta fase forma parte del análisis de instrucción, en el cual según Gómez (2005) el

profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que constituirán las actividades de

enseñanza y aprendizaje.

En esta investigación se desarrolló un Material Didáctico para la enseñanza de la

función lineal y la función cuadrática, los ejercicios y problemas incluidos surgieron a

partir del análisis de los siguientes elementos: las dificultades y errores que presentan los

estudiantes, las habilidades que pretende desarrollar el MEP, los indicadores de evaluación

63

que se presentan en el actual currículo de Matemática del MEP, el estudio de los materiales

de capacitación que ha desarrollado el MEP para los docentes (estos materiales se

encuentran en la página web del Proyecto Reforma Matemática), materiales didácticos

creados por otros autores y algunos libros de texto de décimo año de editoriales como

Santillana, AMP, Publicaciones Porras, Fénix y Clase; a los cuales se les realizó una

adecuación, donde adecuar implicó seleccionar tareas que se ajustaran a los criterios que la

investigación maneja, incluyendo modificaciones y el diseño de tareas nuevas.

3.2.3. Etapa III: Valoración del Material Didáctico

En esta etapa se realizó una valoración del Material Didáctico creado, dicha

valoración fue realizada por dos de los miembros del Proyecto Reforma de la Educación

Matemática en Costa Rica y seis docentes de Matemática de las regiones educativas

Heredia y San José Central. Los docentes se eligieron de acuerdo con el cumplimiento de

los siguientes requisitos:

al menos cinco años de experiencia docente en secundaria.

que hayan impartido décimo año como mínimo en dos ocasiones, y al menos,

en una de ellas utilizando el Programa de Estudios de Matemática que se

encuentra en vigor.

que hayan participado, en los últimos cinco años, en algún proceso de

capacitación referente al Programa de Estudios de Matemática del MEP.

Para la valoración de este Material fue indispensable que los docentes conocieran

con certeza y claridad lo que plantea el Programa de Estudios de Matemática del MEP,

dado que uno de los fines de esta investigación es acoplarse al mismo; era necesario que

tuvieran cierta experiencia impartiendo décimo año debido a que las actividades son

diseñadas para ese nivel y es en este que desde hace varios años se desarrolla el tópico de

funciones.

De igual forma, debían conocer la metodología propuesta en el Programa de

Estudios, por lo que el haber participado en algún proceso de capacitación sobre la

64

metodología propuesta por el MEP los hace acreedores de ciertos conocimientos sobre

estrategias didácticas para las habilidades correspondientes.

Es importante aclarar que, se pidió al menos un año impartiendo décimo año con el

Programa de Estudios vigente; ya que fue en 2015 cuando, en décimo año, se empezó a

desarrollar por completo las habilidades propuestas, antes de esto solo hubo programas de

transición. Esto hace que al 2018 los docentes que tengan mayor práctica desarrollando las

habilidades de décimo año cuenten con un máximo de tres años de experiencia.

Por otro lado, para la revisión del Material se les brindó a los docentes una rúbrica,

elaborada con base en el “Registro de observación para el Análisis Didáctico Curricular de

Textos Escolares de Matemática” propuesta por González y Gallardo (2013) y adaptada al

contexto nacional. La rúbrica fue elaborada hasta tener realizado por completo el Material

Didáctico, debido a que era necesario tener conocimiento a profundidad del trabajo

realizado para adaptarla al contexto nacional.

3.2.4. Etapa IV: Consideraciones finales del Material Didáctico

Con base en las sugerencias y recomendaciones que brindaron los seis docentes de

educación secundaria y los dos integrantes del Proyecto Reforma de la Educación

Matemática, al valorar el Material Didáctico diseñado, se hicieron mejoras en la redacción

de las actividades, en la secuencia de las mismas, y en el contenido matemático involucrado

en las tareas.

3.3. Instrumentos de recolección de información

Para esta investigación los instrumentos de recolección de información que se

consideraron son el cuestionario, la entrevista semiestructurada y la rúbrica para la

valoración del material didáctico.

3.3.1. Cuestionario

Para McMillan y Schumacher (2005) el cuestionario es una técnica ampliamente

utilizada para obtener información, pues incluye las mismas preguntas para todos los

65

sujetos, se puede asegurar el anonimato y proporciona tiempo para que los sujetos piensen

las respuestas.

En esta investigación se desarrollaron dos cuestionarios, el primero con el objetivo

de describir las dificultades y errores que han identificado algunos docentes de Matemática

de la educación secundaria al momento de enseñar los tópicos de función lineal y función

cuadrática (véase anexo 2). Dicho cuestionario se basó principalmente en las habilidades

específicas, de las funciones en cuestión, propuestas en el Programa de Estudios de

Matemática del MEP (éstas se presentan en el anexo 1) y los conocimientos previos que

deben tener los estudiantes para el desarrollo de estos tópicos. Por otro lado, el segundo

cuestionario se aplicó a estudiantes de décimo año con el fin de detectar y conocer otros

errores o dificultades que no mencionaran los docentes en el primer cuestionario.

Los docentes a los cuales se les aplicó el primer cuestionario son profesores de

Matemática de educación secundaria, y tenían como requisito un mínimo de dos años de

experiencia impartiendo décimo año, de los cuales al menos uno era utilizando el actual

currículo de Matemática del MEP, esto debido a que en dicho año escolar se desarrollan los

tópicos en estudio. Además, debían poseer, al menos, el grado académico de Bachillerato

en Enseñanza de la Matemática.

Se eligió una muestra por conveniencia de 30 profesores de Matemática de las

regiones educativas Heredia y San José Central, ya que estas zonas son las que recibieron

una mayor cantidad de capacitaciones relacionadas con el Programa de Estudios de

Matemática del MEP. Además, como no se tenía interés en inferir a la población, se

consideró trabajar con una muestra no probabilística, por lo que se consideró que 30 era un

número adecuado de docentes para aportar información valiosa sobre las dificultades y

errores que ellos han detectado que tienen los estudiantes costarricenses de la educación

secundaria al estudiar la función lineal y la función cuadrática.

Para la aplicación del cuestionario a los docentes se trabajó de la siguiente manera:

66

1) Se eligieron los colegios pertenecientes a las regiones Heredia y San José Central,

completando 15 docentes para cada una de las regiones anteriores para obtener un

total de 30 profesores de Matemática.

2) Se contactó a los directores de los centros educativos seleccionados, para solicitar el

permiso de la aplicación del cuestionario a los docentes de Matemática que laboran

en dichas instituciones.

3) Como no se completaba la cantidad de docentes requeridos, se recurrió a la

selección de los mismos a través de un congreso sindical realizado en San José.

Es importante aclarar que para la validación de este cuestionario se realizaron dos

etapas: la primera por medio de juicio de expertos, utilizando una rúbrica de evaluación

para el mismo, donde se detallaban aspectos como: redacción, conexión con las habilidades

específicas propuestas por el MEP para el estudio de la función lineal y la función

cuadrática, coherencia del ítem con la escala utilizada y por último, algunas observaciones

generales o recomendaciones que los evaluadores desearan brindarle al cuestionario (véase

anexo 3). Los expertos fueron cuatro profesores de Matemática, dos de ellos tenían relación

con educación secundaria y los otros dos con educación superior. La segunda parte de la

validación se realizó mediante una prueba piloto, la cual se aplicó a 10 docentes de

Matemática de educación secundaria que se encontraban fuera de la muestra.

El segundo cuestionario se diseñó considerando algunas de las habilidades

propuestas en el Programa de Estudios de Matemática que se encuentra en vigor, y

consistió en una serie de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal y la

función cuadrática (véase anexo 2). Se aplicó dicho cuestionario a 76 estudiantes de décimo

año, de una institución privada en Alajuela, con edades que oscilan entre los 15 y 16 años,

estos fueron seleccionados por conveniencia, dado que los investigadores contaban con

facilidad de contacto con los mismos y disponían de las lecciones de Matemática para la

aplicación de los cuestionarios. La aplicación de este segundo cuestionario se realizó luego

de que los estudiantes abordaron en sus clases ambas temáticas.

67

3.3.2. Entrevista semiestructurada

Para Corbetta (2007), en la entrevista semiestructurada el entrevistador dispone de

un guión, con los temas que debe tratar, sin embargo, este puede decidir libremente sobre el

orden de presentación de los diversos temas y el modo de formular las preguntas, a su vez

puede pedir al entrevistado que le aclare algo que no entiende o que profundice sobre algún

aspecto cuando lo estime necesario. Además, menciona en general el entrevistador no

aborda temas que no estén previstos en el guión, pero tiene libertad para desarrollar temas

que vayan surgiendo en el curso de la entrevista y que considere importantes para

comprender al sujeto entrevistado, aunque no las incluya en el resto de las entrevistas.

El objetivo de aplicar la entrevista semiestructurada en esta investigación fue

conocer de voz de algunos de los involucrados en la elaboración del actual Programa de

Estudios de Matemática, o de algunos encargados de su seguimiento, cómo llevar a cabo en

el aula la propuesta metodológica de dicho programa, específicamente en el caso de la

función lineal y la función cuadrática.

La entrevista se basó en un guión compuesto por nueve preguntas (véase anexo 4), y

se entrevistó a tres profesores que tenían alguna de las relaciones mencionadas

anteriormente con el Programa de Estudios de Matemática. Las preguntas versaron sobre la

manera de impartir las clases con los distintos ejes propuestos en el actual currículo de

Matemática y sobre los conceptos que consideran indispensables en el estudio de la función

lineal y de la función cuadrática.

3.3.3. Rúbrica para la valoración del material didáctico

Las rúbricas son tablas que valoran los niveles de desempeño alcanzados en los

trabajos realizados, mediante el uso de criterios específicos que indican el logro de los

objetivos planteados y las expectativas esperadas (Uribarren y Gatica, 2013).

Para esta investigación se utilizó una rúbrica para la valoración del Material

Didáctico, la cual corresponde a una adaptación del “Registro de observación para el

68

Análisis Didáctico Curricular de Textos Escolares de Matemática” propuesto por González

y Gallardo (2013), en la cual se pidió a los docentes de secundaria, escogidos en la tercera

etapa (apartado 3.3.3), evaluar aspectos didácticos del material propuesto, tales como:

1. Contenidos

Conceptos, definiciones, tipos de representaciones (gráfica, simbólica,

algebraica, dibujos, etc.), lenguaje matemático.

Procedimientos, técnicas y fórmulas.

Los contenidos de disciplinas no Matemática son tratados de manera

efectiva junto a los contenidos matemáticos en relación con el tema central

del material didáctico.

Aplicaciones reales o realistas de los contenidos matemáticos.

Se adaptan los contenidos a la propuesta del MEP, son completos y

adecuados, la secuencia es idónea, etc.

2. Cumplimiento de las habilidades

Las actividades están acordes con el tipo de habilidades específicas que

pretende desarrollar el MEP.

3. Metodología

Usa resolución de problemas, historia de la Matemática, modelización,

tecnología.

4. Evaluación final

Valoración del orden de las actividades.

Las actividades son adecuadas para los contenidos matemáticos del material.

Valoración personal: recomendaciones y sugerencias.

69

3.4. Análisis de la información

Para guiar el análisis de esta investigación se estructuraron las siguientes categorías,

teniendo en cuenta los objetivos planteados en la misma.

3.4.1. Contenido matemático

En esta categoría se detalló mediante la realización de un análisis de contenido de

todos los conocimientos matemáticos involucrados en el desarrollo de los contenidos de la

función lineal y la función cuadrática.

Se tomaron en cuenta las habilidades que se pretenden desarrollar en el Programa de

Estudios del MEP (véase anexo 1), así como libros de textos de Matemática tanto a nivel

universitario como de educación secundaria.

3.4.2. Errores y dificultades que presentan los estudiantes de décimo año al

trabajar los temas de función lineal y función cuadrática

Se entendió por dificultad, como se mencionó en el capítulo II, a cualquier situación

cognitiva que enfrente el estudiante, que le impide o afecte en forma negativa sus procesos

de resolución de ejercicios y problemas, y se entendió por error, a aquellas situaciones

observables donde el estudiante brinde una respuesta equivocada.

Para determinar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes al trabajar

los temas de la función lineal y la función cuadrática se emplearon dos cuestionarios (véase

anexo 2), los cuales estaban dirigidos a los docentes y estudiantes descritos en el apartado

3.3.1. Ambos cuestionarios estaban sustentados teóricamente a partir de las habilidades que

se deben desarrollar según el actual currículo de Matemática (véase anexo 1) y los

conocimientos previos que deben tener los estudiantes para el desarrollo de estos temas.

El cuestionario de los docentes constaba de tres partes, la primera estaba constituida

por preguntas relacionadas con aspectos generales de los participantes como sexo, años de

experiencia, institución donde labora, entre otras; la segunda parte estaba relacionada con

las dificultades que presentan los estudiantes en los tópicos de la función lineal y la función

70

cuadrática, y la tercera parte constaba de dos preguntas abiertas donde los docentes podían

exponer los errores comunes durante la enseñanza de dichas temáticas (véase anexo 2).

Mientras el cuestionario de los estudiantes constaba de preguntas de resolución de

ejercicios y problemas relacionados directamente con la función lineal y la función

cuadrática.

3.4.3. Estrategias metodológicas para la enseñanza y aprendizaje de las

funciones lineal y cuadrática

Con esta categoría se determinaron aquellas actividades, procedimientos o

estrategias, para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática,

con la intención de que las mismas se vieran reflejadas al momento de diseñar las

actividades del Material Didáctico.

Para obtener esta información se realizó una descripción de las respuestas que se

obtuvieron a través de la entrevista semiestructurada aplicada a algunas de las personas

involucradas en la redacción y en los procesos de capacitación del Programa de Estudios de

Matemática que se encuentra en vigor.

3.4.4. Pertinencia del Material Didáctico para la enseñanza de la función lineal

y la función cuadrática

Corresponde a la conveniencia, idoneidad o viabilidad de la aplicación del Material

Didáctico diseñado para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática en centros

educativos, tantos públicos como privados, así como el cumplimiento de las habilidades

que propone el MEP en el Programa de Estudios de Matemática.

Además de los criterios, recomendaciones o sugerencias que brindaron los dos

integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática y los seis docentes de

educación secundaria para el mejoramiento del Material Didáctico diseñado en esta

investigación.

71

3.5. Descripciones referentes al análisis de la información

Para analizar la información obtenida en las categorías mencionadas anteriormente

se procedió de la siguiente forma.

3.5.1. Análisis de Contenido

Como se mencionó en el capítulo II, el Análisis de Contenido está compuesto por

los siguientes organizadores: estructura conceptual, sistemas de representación y análisis

fenomenológico. A continuación se describen las acciones que se llevaron a cabo para la

elaboración de dicho análisis en esta investigación.

1. Se determinaron los conceptos relacionados con la función lineal y la función

cuadrática, para ello se tomó en cuenta libros de texto, tanto de educación

secundaria como universitarios, y las habilidades propuestas en el Programa de

Estudios que se pretenden desarrollar.

2. Se describieron los conocimientos matemáticos que deben poseer los estudiantes de

forma previa para el estudio de los tópicos de la función lineal y la función

cuadrática, para esto se tomaron en cuenta los errores y dificultades que se

detectaron en estos tópicos, así como aquellos procedimientos que son

indispensables en el manejo algebraico de esta temática.

3. Se determinaron los distintos tipos de representación para las funciones lineal y

cuadrática utilizando para ello libros de texto.

4. Se identificaron estrategias, destrezas y razonamientos utilizados en la función

lineal y la función cuadrática, para ello se recurrió a los materiales de capacitación

del MEP, así como a libros de texto y a unidades didácticas relacionadas con estos

tópicos.

5. Se determinaron para qué se utilizan los conocimientos relacionados con la función

lineal y la función cuadrática y qué problemas dan respuesta, para ello se recurrió al

estudio de tesis, artículos, libros de texto y la información adquirida en las

entrevistas.

72

3.5.2. Cuestionarios

En cuanto a la información recolectada en el cuestionario, aplicado a los profesores,

esta fue codificada en una base de datos con base en cinco categorías a saber: nunca (1),

casi nunca (2), algunas veces (3), casi siempre (4) y siempre (5).

Para su descripción, se acumularon las frecuencias de las respuestas para cada ítem

de la escala y se codificaron los puntajes para cada ítem. Así, entre más dificultad tenía un

determinado proceso menor era el puntaje asignado y entre mayor puntaje tenía

representaba menor dificultad; lo que determinó la dificultad en los tópicos de funciones.

El total de puntos que cada encuestado puede tener en esta escala estaba comprendido entre

44 y 220 puntos, debido a que hay un total de 44 ítems.

Los datos anteriores sirvieron para conocer las debilidades y dificultades que han

notado los docentes en el aula al momento de enseñar estos tópicos; y por lo tanto, al

momento de diseñar el Material Didáctico se trabaja en actividades que fortalezcan estos

vacíos.

En cuanto a las observaciones que brindaron los docentes de Matemática sobre las

debilidades que han detectado en sus estudiantes al desarrollar la función lineal y la función

cuadrática, se transcribieron literalmente sin ser alteradas, considerando principalmente la

información relevante para el estudio; ya que estas fueron útiles para describir los posibles

errores que presenten los estudiantes de la educación secundaria en el estudio de dichas

funciones.

Por otro lado, el cuestionario aplicado a los estudiantes se analizó determinando los

distintos errores cometidos en la resolución a lo largo de los diferentes ejercicios, y se

contabilizaron en una tabla con el fin de prestar especial atención aquellos que aparecieron

con mayor frecuencia. Estos sirvieron para ampliar los errores percibidos por los docentes a

los que se les aplicó el primer cuestionario.

73

3.5.3. Entrevista semiestructurada

Como una forma de enriquecer el marco teórico en cuanto cómo y qué estrategias

metodológicas se pueden utilizar para la enseñanza de la función lineal y la función

cuadrática se recurrió a la descripción de la información obtenida en la entrevista

semiestructurada.

Finalmente, para enriquecer más esta investigación se realizó una triangulación de

la información obtenida en los cuestionarios y las concepciones teóricas sobre las

dificultades y errores que presentan los estudiantes al estudiar las funciones lineal y

cuadrática, ya que según Donolo (2009) esta técnica de investigación permite procesar la

información proveniente de diversos procedimientos e interpretarla en el marco de

diferentes teorías, concepciones y conceptualizaciones para que confirmen o den indicios

de la diversidad con que se muestra el fenómeno estudiado.

74

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS CONCEPTUAL

En este apartado se presenta una aproximación al análisis conceptual, para el cual se

han analizado libros de textos de Matemática, tanto universitarios como de educación

secundaria, reportes de investigaciones relacionadas con los tópicos de función lineal y de

función cuadrática, y el Programa de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica.

En el caso de los libros de educación secundaria, se utilizaron los más recientes, y que

afirman estar acorde con el currículo de Matemática que se encuentra en vigor, aunque no se

han hecho estudios que verifiquen la veracidad de esta información. Mientras que, para el

nivel universitario, se utilizaron algunos de los libros de texto sugeridos, en el 2017, en la

bibliografía de los cursos MAT001 Matemática General de la Universidad Nacional de Costa

Rica, MA0001 Precálculo y MA0125 Matemática Elemental de la Universidad de Costa Rica,

que son cursos en los que en dichas universidades se abordan los temas en cuestión.

De las fuentes mencionadas, se recabaron las siguientes definiciones, las cuales se

presentan ordenadas cronológicamente, según la fecha de publicación del libro, y dividas en

dos secciones, función lineal y función cuadrática.

En este apartado se analiza la diversidad de significados, la posibilidad de conexión

entre los términos, y se revisa con detalle los conceptos matemáticos en estudio.

4.1. Función lineal

4.1.1. Libros de textos para educación secundaria

Matemática 8: Ser competentes

“Una función lineal tiene la siguiente ecuación y ax b donde y es la variable

dependiente, x es la variable independiente, a y b son números reales” (Santillana, 2014,

p.106).

75

Matemática 8°: Un enfoque práctico

“Es una expresión de la forma y ax b , que por lo general modela situaciones de la

vida cotidiana, donde “ x ” es la variable independiente y “ y ” es la variable dependiente

(pues va a depender de los valores que tome “ x ”). Puede representarse de varias maneras:

tabular, algebraica o gráficamente” (Cambronero, 2016, p.90).

Matemática 10: Publicaciones Porras

“Una función lineal es una función polinómica de primer grado; cuya representación

en el plano cartesiano es una recta. Esta función se puede escribir de la forma ( )f x mx b

o y mx b donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es

la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y . Si se modifica m

entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b , entonces la recta se

desplazará hacia arriba o hacia abajo” (Publicaciones Porras, 2015, p.120).

Matemática 10: Ser competentes

“Una función :f es una función lineal si es de la forma ( )f x mx b , con

m , b ” (Santillana, 2015, p.88).

Matemática para Bachillerato

“Una función, cuya gráfica es una recta no vertical, le llamaremos función lineal, y su

criterio es de la forma ( )f x mx b , donde m y b son constantes, las que llamaremos

respectivamente, pendiente e intersección con el eje y ” (Jiménez, 2016, p.321).

Matemática 10°: Un enfoque práctico

“Es una función de la forma y mx b , donde “ m ” es la pendiente y 0,b es la

intersección con el eje de las ordenadas” (Cambronero, 2017, p.146)

De las definiciones anteriores se puede observar que, a nivel de octavo año, la función

lineal se define como una dependencia entre variables; además, en la definición del libro Un

76

Enfoque Práctico se adiciona que la función lineal tiene diversas representaciones como la

tabular, algebraica y gráfica.

En general, se puede recabar que en todos los casos coinciden en que una función

lineal es de la forma ( )f x mx b , y son explícitos en indicar que m y b son números

reales; solo en el libro Matemática para Bachillerato, se dice que son constantes, pero no se

indica qué tipo de constantes, así mismo este es el único libro en el que aparece una definición

verbal, al decir que es una función cuya gráfica es una recta no vertical.

Cabe destacar que, en las definiciones citadas, se encuentran algunas confusiones con

aspectos teóricos relacionados con la ecuación de una recta, debido a que en ciertas

definiciones mencionan que la función lineal es aquella de la forma y mx b , cuando dicha

ecuación lo que modela es la representación gráfica de la función, y no la función en sí.

Por otro lado, en las funciones es importante conocer cuál es su dominio, debido a que

el mismo determina el trazo que se debe hacer en su representación gráfica; si se analiza en

cuáles de las definiciones se define un dominio y un codominio, solo en el libro Matemática

10: ser competentes, aparece dicho aspecto, aunque de forma incorrecta, ya que se indica que

es :f , y esto implicaría por ejemplo que una función :g tal que ( ) 2g x x

no es una función lineal. Aquí es importante destacar que uno de los procesos matemáticos

que se pretende desarrollar en el Programa de Estudios es el de comunicar, por lo que se

vuelve necesario el definir con claridad una función.

Además, solo en el libro Matemática 10: Publicaciones Porras, se indica que esta función

también recibe el nombre de función polinómica de primer grado. Asimismo, este es uno de

los libros donde dentro de la definición se utiliza el término de pendiente y se indica cómo

afecta la representación gráfica el cambio de la misma, los otros libros donde se menciona que

m se denomina pendiente son Matemática 10: Un enfoque práctico y Matemática para

Bachillerato.

En la siguiente sección se presenta la recopilación realizada de las definiciones

encontradas en algunos libros de textos universitarios, para el caso de la función lineal.

77

4.1.2. Libros de textos para universitarios

El Cálculo

“Una función lineal se define por ( )f x mx b donde m y b son constantes y 0m .

Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su intersección con la ordenada es b .

Si una función f se define por 1

1 1 0( ) n n

n nf x a x a x a x a

donde 0 1, , ..., na a a

son números reales ( 0na ) y n es un número entero no negativo, entonces recibe el nombre de

función polinomial de grado n .

Una función lineal es una función polinomial de grado 1. Si el grado de una función

polinomial es 2, entonces se le llama función cuadrática” (Leithold, 1998, pp. 15-16).

Matemática Básica con Aplicaciones

“Una función ( )y f x es lineal, si el incremento o la disminución en la variable

dependiente es directamente proporcional a la diferencia en la variable independiente” (Araya,

Murillo y Soto, 2009, p. 126).

Además, en el caso particular de este libro, aparte de la definición verbal anterior, se

menciona también la siguiente definición

“Sea :f D una función, f es una Función Lineal si existen, m , b tal que

( )f x mx b . El valor de m se llama la pendiente” (Araya, Murillo y Soto, 2009, p. 128).

Precálculo: Matemática para el cálculo

“Una función f de la forma ( )f x mx b se denomina función lineal porque su gráfica

es la gráfica de la ecuación y mx b , que representa una recta con pendiente m y punto de

intersección b en y ” (Stewart, Rediln y Watson, 2012, p. 153)

Matemática Elemental

“Una función :f tal que ( )f x mx b , m , b se llama función lineal”

(Arias y Poveda, 2016, p.119).

78

Revista digital Matemática: Funciones Reales de Variable Real

“Sea f una función tal que :f . f se llama función lineal si ( )f x mx b con

m y b constantes reales” (Astorga y Rodríguez, 1984, p.37).

De las definiciones anteriores se puede analizar que, al igual que en los libros de

educación secundaria, coinciden en que definen de forma algebraica la función lineal, como una

función de la forma ( )f x mx b , con la diferencia de que no realizan confusiones con la

ecuación de la recta. Además, se encuentra una definición verbal, distinta a la mencionada en la

sección de libros de educación secundaria, en el libro Matemática Básica con aplicaciones.

Por otro lado, al igual que en los libros de educación secundaria, si se analiza en cuáles

definiciones se define un dominio y un codominio de la función, se tiene que en tres de ellas

aparece dicho aspecto. En dos de ellas indican que es :f y solamente en el libro

Matemática Básica con aplicaciones citan que es :f D .

4.1.3. Programa de Estudio de Matemática del MEP de Costa Rica

Para la realización de este apartado se recurrió a la revisión del actual currículo de

Matemática del MEP, en el que se realizó una búsqueda en los diversos ciclos, así como en el

glosario, y se encontraron las siguientes definiciones:

“En algunos países como España, Francia y Portugal, la función lineal y ax b con 0b

se conoce como función afín. El término lineal se reserva al caso de funciones con criterio de la

forma y ax en concordancia con la terminología utilizada en Matemática para

transformaciones lineales. Toda transformación lineal lleva el cero del dominio en el cero del

ámbito, es decir, la imagen del cero es cero. En este programa utilizaremos el término lineal para

ambos casos. De esa manera, se seguirá la terminología usada tradicionalmente en Costa Rica”

(MEP, 2012, p.344).

Además, en el glosario del actual currículo de Matemática del MEP, se menciona que es

una:

“Función cuyo criterio es de la forma ( )f x ax b ” (MEP, 2012, p.472).

79

Aquí cabe resaltar que no se cita ningún tipo de condición para los parámetros a y b .

Asimismo tampoco se menciona el dominio, codominio, cuál es la representación gráfica, qué

nombre recibe el parámetro a ; aunque también es claro que el Programa de Estudio del

Ministerio de Educación, no es un libro de texto, y por lo tanto no aparecen definiciones

formales.

4.1.4. Investigaciones previas

Las siguientes definiciones fueron encontradas en investigaciones, a nivel de maestría,

relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje de la función lineal.

“Una función lineal tiene la expresión analítica ( )y f x mx b , donde m y b son

números reales y 0m . m es la pendiente o razón de cambio de y con respecto a x y, b es la

intersección de la gráfica con el eje vertical” (Roldán, 2013, p. 57).

Sydsaeter, Hammond y Carvajal (2012) definen una relación lineal entre las variables x e

y que es de la forma: y ax b ( a y b constantes). La gráfica de esta ecuación es una recta. Si

designamos por f a la función que asigna y a x , entonces ( )f x ax b y f se llama función

lineal. El número a se llama la pendiente de la función y de la recta” (Torres, 2013, p. 23).

De estas definiciones se resalta el hecho, en ambos casos, que las definiciones brindadas

utilizan aspectos algebraicos; en el caso particular de Roldan (2013) dentro de la definición cita el

término pendiente y se da una descripción del mismo. Sydsaeter, Hammond y Carvajal (2012)

adicionan dentro de su definición información sobre la representación gráfica de la función en

cuestión.

A manera de conclusión de esta primera sección, se rescata que, las definiciones

encontradas muestran una considerable similitud. En general, utilizan la representación

algebraica, y en muy pocos casos hacen uso de una definición verbal o indican otro nombre para

la función en cuestión. Además, hay definiciones, tanto a nivel universitario como de secundaria,

que no indican el dominio ni el codominio de la función; por otro lado, dato curioso, es que a

80

pesar de que hay fuentes de diversos autores, en todos los casos se representa la pendiente con la

letra m o a , y el término b coincide en todas las definiciones.

En el siguiente apartado se desarrolla el análisis conceptual para la función cuadrática,

presentando de igual forma, primeramente las definiciones encontradas en libros para educación

secundaria, luego libros para universitarios, y finalmente las encontradas en otras investigaciones.

4.2.Función cuadrática

4.2.1. Libros de textos para educación secundaria

Afrontando retos: Matemática 9

“Una función cuadrática f es aquella que está dada por el criterio2( )f x ax bx c , con

0a ” (Chavarría, 2015, p. 127).

Matemática 9: Un enfoque práctico

“Una expresión de la forma 2y ax bx c representa una función cuadrática

2( )f x ax bx c ” (Cambronero, 2016, p. 241).

Matemática 9: Puentes del saber

“Una función cuadrática es una relación entre dos variables que cumple con ciertas

condiciones. La forma algebraica de una función cuadrática es la siguiente (también se conoce

como criterio): 2y ax bx c , donde y es la variable dependiente, x es la independiente y a ,

b y c son números reales con 0a ” (Santillana, 2017, p. 157).

Matemática 10: Publicaciones Porras

“Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida

como 2( )f x ax bx c con , ,a b c ; 0a . La representación gráfica en el plano cartesiano

de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las

ordenadas” (Publicaciones Porras, 2015, p.120).

81

Matemática 10: Ser competentes

“Una función es cuadrática si tiene la forma 2( )f x ax bx c , donde los coeficientes a ,

b y c son números reales y 0a . La gráfica de una función cuadrática es una curva que se

denomina parábola” (Santillana, 2015, p.88).

Matemática para Bachillerato

“Cuando lanzamos hacia arriba una bola la trayectoria que ella describe es una curva

llamada parábola y es modelada por una función, cuyo criterio es de la forma 2( )f x ax bx c

donde a , b y c son números reales que llamaremos constantes, 0a , y la función se

denomina cuadrática” (Jiménez, 2016, p.321)

Matemática 10°: Un enfoque práctico

“La función cuadrática es aquella de la forma 2( )f x ax bx c ” (Cambronero, 2017,

p.157).

De las definiciones anteriores, podemos observar que, a nivel de noveno año, se enfocan

en una relación de dependencia entre dos variables, y de ellos solo en el libro Matemática 9:

Puentes del saber se indica que a , b y c , en ese mismo libro se da además una definición

verbal de función cuadrática, aunque muy escueta dado que solo indica que es una relación entre

dos variables con cierta condiciones.

Por otro lado, existe coincidencia, en todos los casos, al citar que algebraicamente la

función se expresa de la forma 2( )f x ax bx c , con a , b y c , 0a , solamente en los

libros Matemática 9: Un enfoque práctico y Matemática 10: Un enfoque práctico, los autores no

hacen hincapié en la necesidad de indicar que 0a .

Adicional a lo anterior, cabe destacar que para este tópico las definiciones no se

restringieron a la definición algebraica, en la definición del libro Matemática para Bachillerato se

inicia con una conceptualización más intuitiva al indicar que es similar a la trayectoria que sigue

una bola al ser lanzada.

82

Además, a pesar de que varios autores son los mismos de algunos libros analizados en la

sección de función lineal, y en esas definieron un dominio y un codominio, para el caso de la

función cuadrática en ninguno de los libros analizados se indicó este aspecto.

4.2.2. Libros de textos para universitarios

Matemática Básica con Aplicaciones

“Sea :f una función, se dice que f es una función cuadrática si existen constantes

a , b y c con 0a y 2( )f x ax bx c ” (Araya, Murillo y Soto, 2009, p. 145).

Precálculo: Matemática para el cálculo

“Una función cuadrática es una función polinomial de grado dos. Entonces una función

cuadrática es una función de la forma 2( )f x ax bx c , 0a ” (Stewart, Rediln y Watson,

2012, p. 224).

Matemática Elemental

“Sea :f , 2( )f x ax bx c , , ,a b c , 0a , f se llama función

cuadrática” (Arias y Poveda, 2016, p.123).

Revista digital Matemática: Funciones Reales de Variable Real

“Sea :f una función, f recibe el nombre de función polinomial de segundo grado

o función cuadrática si ,x x se cumple que: 2( )f x ax bx c , con a , b y c constantes

reales, 0a ” (Astorga y Rodríguez, 1984, p.37).

Como se puede notar a partir de las definiciones anteriores, a diferencia de los libros para

educación secundaria analizados, solo en el libro Precálculo: Matemática para el cálculo no definen

cuál es el dominio y el codominio de la función, en los otros casos menciona que es :f , aquí

es importante resaltar que el libro Matemática Básica con Aplicaciones, para el caso de la función

lineal la define de la siguiente forma :f D ; ( )f x mx b ; no obstante, para el caso de la

función cuadrática restringe que el dominio deba ser , y esto implicaría por ejemplo que la

función :f tal que 2( ) 2 1f x x x no es una función cuadrática.

83

4.2.3. Programa de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica

En relación con el actual currículo de Matemática del MEP es importante recalcar que en

dicho programa no aparecen definiciones formales sino una serie de orientaciones para el docente

sobre qué temas debe abordar de dicha función; sin embargo, dentro de una de las habilidades se

encuentra lo siguiente:

“Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio 2( )f x ax bx c , 0a ”

4.2.4. Investigaciones previas

Las siguientes definiciones fueron encontradas en investigaciones, a nivel de maestría,

relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática.

“La función cuadrática o polinomial de segundo grado, es una función de en de

la forma 2

xf ax bx c , donde , ,a b c , 0a ” (Hernández, Márquez, Quiñonez,

2008, p. 54).

“Una función f de un conjunto A en un conjunto B con ,A B , es cuadrática si

para cualquier x A , 2( )y f x ax bx c ; , ,a b c , 0a . El gráfico de la función

cuadrática se define como: 2 2, /fG x y y ax bx c , y corresponde a una

parábola.” (Vargas, 2011, p. 17)

A nivel general, de esta segunda sección, se destaca que las definiciones coinciden en su

representación algebraica; no obstante, todas utilizan la representación algebraica polinómica, en

ninguna de las fuentes utilizan las otras representaciones algebraicas de una función cuadrática,

como lo son la forma multiplicativa o mediante la utilización del vértice (ver capítulo Análisis de

Contenido). Además, es importante resaltar que en este sentido en el Programa de Estudios tampoco

se menciona que deba hacerse el estudio de estos otros tipos de representaciones algebraicas.

Por otro lado, en las investigaciones previas, específicamente el caso de Vargas (2011) es el

único que utiliza el gráfico funcional para definir la función cuadrática.

84

CAPÍTULO V

ANÁLISIS DE CONTENIDO

En este apartado se muestra el análisis de contenido tanto de la función lineal como

de la función cuadrática, considerando para ello tres organizadores, a saber: la estructura

conceptual, conformada por el campo conceptual y el campo procedimental, los sistemas de

representación donde se sintetizan las diferentes maneras en las que se puede presentar la

función lineal y cuadrática, y finalmente, la fenomenología, donde se citan diferentes

escenarios donde tienen uso estas funciones. Cabe resaltar que se presentará el análisis de

contenido correspondiente a cada función por separado; primeramente, el de la función

lineal y, posteriormente, el de la función cuadrática.

5.1. Descripción de los organizadores

Con base en la información proporcionada por fuentes como libros de texto de

Matemática para educación secundaria, libros universitarios dirigidos a carreras de

ingeniería, y otros que son utilizados en la carrera Enseñanza de la Matemática de la

Universidad Nacional, se realiza el estudio de los tres organizadores que articulan este

capítulo.

En el caso de la estructura conceptual, se realizó un análisis de los conceptos y

procedimientos involucrados en estas funciones. En el campo o bloque conceptual estos

aparecen clasificados en términos, notaciones, convenios, resultados, conceptos y

estructura; mientras que, para el bloque procedimental aparecen clasificados en destrezas,

razonamientos y estrategias (cada uno de estos términos fueron definidos en el apartado

2.5.1 Análisis de Contenido del marco teórico).

Por otro lado, en relación con los sistemas de representación, en ambas funciones,

los mismos se clasificaron en cinco tipos de representaciones: simbológica, algebraica,

verbal, gráfica y tabular.

85

Finalmente, en el organizador correspondiente al análisis fenomenológico, se

delimitan aquellas situaciones donde tienen uso los conceptos matemáticos involucrados,

aquellas en los que estos muestran su funcionalidad (Lupiáñez, 2013). Con la intención de

delimitar la funcionalidad de los tópicos relacionados con la función lineal y la función

cuadrática se trató de dar respuestas a ¿en qué contextos o situaciones se utilizan estas

funciones? ¿Para qué sirven o se utilizan estos tópicos en las situaciones en las que están

implicadas?

Lo anterior, con el objetivo de determinar diferentes contextos donde se muestre la

utilidad de dicho tópico y, posteriormente, utilizarlos en algunos de los problemas del

Material Didáctico que resultará de esta investigación.

Como parte de la realización del análisis fenomenológico se tomará en cuenta el

desarrollo histórico de las funciones en cuestión, con el fin de examinar la utilidad que le

han dado a la “linealidad” y a lo “cuadrático” en el transcurso de los años. Asimismo, cabe

resaltar que, se complementa este aspecto con el uso o aplicaciones que tienen estas

funciones, según algunos de los involucrados en los procesos de redacción del Programa de

Estudios vigente del MEP, o en los procesos de capacitación del Proyecto Reforma de la

Educación Matemática en Costa Rica, así como otros que se evidencian en libros de texto

para educación secundaria, y libros para universitarios dirigidos a carreras de ingeniería y

de Enseñanza de la Matemática.

86

5.2. Estructura conceptual de la función lineal

5.2.1. Campo conceptual

Tabla 1. Bloque conceptual de la función lineal

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Términos

Puntos, Recta, Par ordenado, Imágenes, Preimágenes, Pendiente, Creciente,

Decreciente, Constante, Criterio, Dominio, Codominio, Ámbito,

Representación gráfica, Intersección, Ecuación lineal, Función.

Notaciones

P( , )x y

( )f x y

m ( )f x mx b

y mx b

( , 0)x

(0, )y

f

:f D A

Convenios La función identidad ( )f x x , es un caso particular de la función lineal.

Las rectas horizontales se denotan por y b y las rectas verticales por x b .

Resultados

Si 0m entonces f es creciente.

Si 0m entonces f es decreciente.

Si 0m entonces f es constante.

Las rectas verticales no son representaciones gráficas de una función.

Dados los puntos 1 1,x y y 2 2,x y , la pendiente se puede determinar

como 2 1

2 1

y ym

x x

.

La representación gráfica de la función lineal interseca el eje x en el punto

, 0b

m

e interseca el eje y en el punto 0, b .

Conceptos Plano cartesiano, Dominio, Codominio, Rango, Monotonía, Intersección con

los ejes, Signo.

Estructuras

Modelos lineales.

Relaciones Binarias y Funciones.

Recta.

Fuente: Elaboración propia.

87

5.2.2. Campo procedimental

Tabla 2. Bloque procedimental de la función lineal

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Destrezas

Ubica puntos en el plano cartesiano.

Traza la representación gráfica a partir de puntos dados.

Traza la representación gráfica a partir del criterio de la función.

Extrae puntos a partir de la representación gráfica.

Calcula imágenes.

Calcula preimágenes.

Calcula la pendiente a partir de dos puntos dados.

Identifica la pendiente en el criterio de la función.

Determina la intersección con el eje x en la representación gráfica y

algebraica.

Determina la intersección con el eje y en la representación gráfica y

algebraica.

Resuelve ecuaciones lineales.

Identifica la monotonía de la función en la representación gráfica.

Razonamientos

Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación gráfica.

Obtiene la ecuación de la recta (dados dos puntos, dada la representación gráfica o dada la pendiente y un par ordenado).

Identifica la monotonía de la función dado su criterio.

Identifica el comportamiento de la gráfica de la función respecto a

los parámetros m y b .

Estrategias

Modela problemas en contextos reales utilizando funciones lineales.

Plantea problemas que involucren funciones lineales.

Extrae conclusiones a partir de un modelo lineal.

Resuelve problemas en contextos reales que involucran la función lineal.

Fuente: Elaboración propia.

88

5.3.Sistemas de representación de la función lineal

Tabla 3. Sistemas de representación de la función lineal

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Representación

simbólica

( )f x y

f

:f D A

Representación

Algebraica Polinómica: ( )f x mx b ; ,m b constantes reales.

Representación

verbal Una función es lineal, si el incremento o la disminución en la variable dependiente es directamente proporcional a la diferencia en la variable independiente.

Representación

gráfica

Traslación

Puntos de intersección

Eje de las abscisas

Eje de las ordenadas

Monotonía

Estrictamente creciente

Estrictamente decreciente

Constante

89

Representación

tabular

Tablas de valores, como instrumento para agrupar valores numéricos de la función y

calcular las imágenes y preimágenes de la misma, donde una de las columnas tiene los

valores de la variable independiente y en otra se colocan los correspondientes de la

variable dependiente.

x 0 5 10 15 20

y 0 50 100 150 200

Fuente: Elaboración propia.

5.4. Análisis fenomenológico de la función lineal

5.4.1. Historia de la función lineal

En la historia de la Matemática se determinaron cuatro escenarios históricos en

torno a la noción de linealidad (Acosta, 2011), de los cuales para esta investigación se

enfatizará en los primeros tres, ya que el último de estos corresponde al origen del álgebra

lineal, lo cual se aleja del foco de atención de esta investigación.

El primer escenario se ubica en la Matemática babilónica y la egipcia, donde se

alcanzó un gran desarrollo en la habilidad para abordar todo tipo de problemas de la vida

cotidiana, por ejemplo, los babilonios desarrollaron un sistema sexagesimal, donde

empleaban dos símbolos, uno para la unidad y otro para el agrupamiento de diez unidades,

dejando así evidencia en tablillas de arcilla (ver figura 1) de sus hallazgos matemáticos en

diversas actividades de su cotidianidad: comercio, agricultura, astronomía, calendarios,

entre otras (Roldán, 2013).

Figura 1. Tablilla Plimpton 3221

Figura 1. La Tablilla Plimpton 322 data según Sánchez y Valdés (2007) de

entre los años 1800 y 1650 A.C. Nombrada así por el número que lleva en la

colección Plimpton de la Universidad de Columbia. La tablilla Plimpton 322 está

parcialmente rota, mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de

grosor. (Roldán, E., 2013).

90

Filloy (1998), citado en Acosta (2011), considera que la aritmética babilónica

funcionaba para hacer cálculos de áreas y volúmenes, donde estaba inmiscuida la

proporción directa.

En tanto, en la cultura egipcia, no solo se resolvían problemas aritméticos, sino que

también se dan soluciones a ecuaciones lineales de la forma x ax c o x ax bx c

donde , y a b c son conocidas y x desconocida. Boyer (1991), citado en Acosta (2011),

señala que en el Papiro de Rhind, se muestra la solución de este tipo de ecuaciones,

empleando un método que se conoce como el método de la falsa posición.

Figura 2. Papiro de Rhind

Figura 2. El Papiro de Rhind o también conocido como Papiro de

Ahmes, data del 1640 A.C, su contenido es puramente matemático con

problemas planteados y resueltos como la multiplicación y división, fracciones

unitarias, áreas de rectángulos, triángulos y círculos (aproximación de π),

resolución de ecuaciones con 1 incógnita y cálculo de volúmenes y cálculos

sobre pirámides. (Illana, 2012).

Se puede notar que la noción de proporción aparece en ambas culturas, por medio

del cálculo del cobro de impuestos, así como en el cálculo de áreas y de volúmenes, pues

como cita Roldán (2013), el manejo de la proporcionalidad se dio debido a que las

91

magnitudes a comparar deben ser de la misma naturaleza, longitudes con longitudes, áreas

con áreas, volúmenes con volúmenes.

En el segundo escenario, la noción de linealidad aparece explícita o implícitamente,

cuando Euclides hace mención de la recta en todos sus postulados. En su conocido libro,

Los Elementos, escrito hacia el año 300 A.C., presenta los conocimientos de la Grecia

clásica, deduciéndolos a partir de cinco postulados.

A base de lo anterior, Fermat introduce el estudio de la ecuación lineal de la forma

y mx partiendo de una recta. Donde la ecuación lineal es de la forma Dx By c , así

Fermat enuncia que todas las ecuaciones de primer grado representan líneas rectas

(Collette, 1998, citado en Roldán, 2013).

Ya para el tercer escenario, Acosta (2011) cita que fue denominado por Hofmann

(2002) como el Periodo Culminante del Barroco, fue una época en donde se presenta un

enlace conceptual entre la noción de proporcionalidad y la noción de linealidad, donde

Fermat y Descartes, dieron pleno sentido a los trabajos de Apolonio sobre lugares

geométricos, determinando la situación de un punto en un plano por su posición respecto al

eje de las abscisas, ya da a la recta que pasa por el origen, la forma bx ay y considera

ax by c como la ecuación de una recta en su forma general.

Las líneas rectas han jugado un papel importante para generar conocimiento

matemático, desde las funciones.

5.4.2. Aplicaciones de la función lineal

Se presenta en este apartado los resultados obtenidos del proceso de indagación

sobre los contextos en los que se utilizan funciones lineales.

a. La transformación de la temperatura entre escalas de grados Celsius, grados

Fahrenheit o grados Kelvin se realiza mediante funciones lineales. De acuerdo con

Griffith (2014), Fahrenheit estableció en su escala el punto de congelación del agua

en 32° y el de ebullición en 212°, estos dos puntos se fijan en 0° y 100° en la escala

92

Celsius, utilizando la fórmula de la pendiente se puede generar la siguiente fórmula

que permite convertir la temperatura en grados Celsius ( CT ) a grados Fahrenheit

( FT )

932

5F CT T

También se tiene una fórmula para convertir de grados Celsius a temperatura

absoluta en kelvins ( )

273,2K CT T

Adicionalmente, Griffith (2014) menciona que “la escala Celsius se usa en la

ciencia y en la mayor parte del mundo. Como las temperaturas Fahrenheit aún son

muy conocidas en Estados Unidos, comúnmente debemos convertir de una escala a

otra…”

b. El tiempo que se utiliza en un parqueo en relación con el monto a pagar y problemas

de consumo y costo. (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).

c. Tarifas telefónicas que dependen del plan que ofrece una determinada compañía y la

tarifa de un taxi en relación a la cantidad de kilómetros recorridos. (M. Zumbado,

comunicación personal, 28 de diciembre, 2016).

d. En el caso particular de movimientos rectilíneos uniformes, por ejemplo, en el caso

de una bola que sube en un cilindro, un embudo, y se tienen marcadas las distancias,

entonces con un cronómetro se pueden calcular las velocidades, entonces las

velocidades son directamente proporcionales al tiempo que se va midiendo, por lo

que van a salir rectas. Se utilizan también en los problemas de oferta y demanda en

Economía. (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).

e. En el cálculo de la frecuencia cardiaca máxima, dado que desciende ligeramente

con la edad, disminuyendo de manera lineal a partir de la adolescencia (Costill y

Wilmort, 2007).

93

Otras aplicaciones que tiene esta función son mencionadas por Gutiérrez, Herrera,

Mora, Ramírez, Sandi y Solano (2014), quienes citan que las funciones lineales se pueden

utilizar en los siguientes contextos:

a. Para calcular la edad, aproximada en semanas, de un feto tras medir su longitud en

centímetros.

b. Al calcular el precio por hospedaje en un hotel después de cierta cantidad de días de

ocupación.

c. En el cálculo del saldo a pagar por la realización de un contrato de compra y venta

de una casa después de una determinada cantidad de mensualidades pagadas.

d. Al determinar la depreciación de un activo transcurrido una cantidad de tiempo.

e. En el cálculo de la constante de un resorte a partir de la representación gráfica de

una fuerza que actúa para elongar el resorte; utilizando la ley de Hooke.

Los contextos anteriores muestran que la función lineal se pueden utilizar para

modelar situaciones de distinta índole y de distinto nivel de complejidad, por un lado

tenemos contextos usuales como lo son: la determinación del pago de la tarifa de un taxi en

relación con la cantidad de kilómetros recorridos, el pago en un parqueo dependiendo del

tiempo, hasta situaciones como la Ley de Hooke o en la determinación de la frecuencia

cardiaca máxima.

La información trabajada en este apartado se resume en el siguiente esquema, en él

se enlazan la mayor parte de los datos analizados.

94

Figura 3. Contenidos y relaciones que se dan dentro de la estructura de la función lineal.

Fuente: Elaboración propia

95

5.5. Estructura conceptual de la función cuadrática

5.5.1. Campo conceptual

Tabla 4. Bloque conceptual de la función cuadrática.

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Términos

Puntos, Gráfico, Imágenes, Preimágenes, Parábola, Creciente, Decreciente,

Criterio, Dominio, Codominio, Ámbito, Representación Gráfica, Intersección,

Raíces, Ecuación cuadrática, Función, Discriminante, Vértice, Eje de simetría,

Cóncava hacia arriba, Cóncava hacia abajo, Máximo, Mínimo.

Notaciones

:f D A

2( )f x ax bx c , con 0a y a , b , c .

2

( )f x a x h k con 0a y ,h k el vértice de la parábola

1 2( )f x a x x x x , con 0a y 1x , 2x .

Convenios Discriminante: 2 4b ac

Resultados

Eje de simetría: 2

bx

a

Vértice ,2 4

b

a a

Intersección con el eje y 0, c

Intersección con eje x , 02

b

a

Si 0a entonces f es cóncava hacia arriba

Si 0a entonces f es cóncava hacia abajo

Si 0a entonces el ámbito de f es ,4a

, es estrictamente creciente en

,2

b

a

y estrictamente decreciente en ,

2

b

a

Si 0a entonces el ámbito de f es ,4a

, es estrictamente creciente en

,2

b

a

y estrictamente decreciente en ,

2

b

a

Conceptos Plano cartesiano, Dominio, Codominio, Rango, Concavidad, Intersección con los

ejes, Signo, Puntos relativos.

Estructuras

Modelos cuadráticos.

Relaciones Binarias y Funciones.

Parábola.

Fuente: Elaboración propia.

96

5.5.2. Campo procedimental de la función cuadrática

Se organizan, a continuación los procedimientos establecidos para el campo o

bloque procedimental correspondiente a la aplicación de los conceptos relaciones con la

función cuadrática en destrezas, razonamientos y estrategias.

Tabla 5. Bloque procedimental de la función cuadrática

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Destrezas

Determina si existe la intersección con el eje x de forma gráfica y algebraica.

Relaciona el valor del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene la

gráfica con el eje x .

Calcula la intersección con el eje x dada la función en forma algebraica o gráfica.

Calcula la intersección con el eje y dada la función en forma algebraica o gráfica.

Identifica la relación que hay entre c y la intersección con el eje y , en la

representación gráfica.

Identifica la relación del parámetro a con la concavidad en una representación gráfica.

Determina los intervalos de crecimiento o decrecimiento de forma algebraica.

Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la representación gráfica.

Identifica el vértice en el esbozo de la gráfica.

Obtiene el ámbito de la función a partir de la representación gráfica.

Utiliza el vértice para calcular ámbito de la función.

Determina a partir de la representación gráfica los valores de a , b y c utilizando los

pares ordenados de la misma y un sistema de ecuaciones.

Es capaz de resolver ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de

segundo grado.

Razonamien

tos

Identifica la concavidad de la función dado el criterio.

Relaciona la gráfica de la función con inecuaciones cuadráticas para determinar donde es positiva o negativa.

Calcula el vértice a partir del criterio de la función.

Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica.

Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es .

Calcula el ámbito de la función sobre un dominio restringido.

Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función.

Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica.

Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva.

Logra representar gráficamente una función cuadrática a partir de su representación algebraica.

Estrategias

Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella.

Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales.

Es capaz de plantear problemas que involucren funciones cuadráticas.

Fuente: Elaboración propia.

97

5.6. Sistemas de representación de la función cuadrática

Para la función cuadrática se distinguen cinco representaciones como la simbólica,

algebraica, verbal, gráfica y tabular, como se muestra en la siguiente tabla.

Tabla 6. Sistemas de representación de la función cuadrática

Aspectos

analizados Resultados obtenidos

Representación

simbólica

f

:f D A

( )f x y

Representación

Algebraica

2( )f x ax bx c , con 0a y a , b , c .

2

( )f x a x h k con 0a y ,h k el vértice de la parábola

1 2( )f x a x x x x , con 0a y 1x , 2x .

Representación

verbal

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación

donde se relaciona un término cuadrático distinto de cero, un término lineal y un

término independiente.

Representación

gráfica

Traslación

Horizontal

Vertical

Modulación Dilatación

Puntos de intersección con los ejes

Eje de las abscisas Eje de las ordenadas

98

Concavidad

a >0

a<0

Representación

tabular

Tablas de valores, como instrumento para agrupar valores numéricos de la

función y calcular las imágenes y preimágenes de la misma.

x 0 2 4 6 8

y 0 5 17 37 65

Fuente: Elaboración propia.

5.7.Análisis fenomenológico de la función cuadrática

5.7.1. Historia de la función cuadrática

En el siguiente apartado se presentará una breve reseña de la historia de la función

cuadrática, este concepto no se descubrió en una época específica sino ha venido

evolucionando de acuerdo con el aporte de diversas culturas y como consecuencia del

descubrimiento de secciones cónicas, ecuaciones cuadráticas, concepto de funciones y

lenguaje variacional.

La cultura babilónica fueron los que iniciaron los estudios de la función cuadrática por

medio de la representación tabular, dicha representación la utilizaban para resolver

problemas de variación continua y observaciones astronómicas; paralelo a esto resolvían

99

ecuaciones de segundo grado pues estaban muy ligadas al concepto de función, una de los

principales apariciones es la siguiente frase "Hallar un número tal que sumado a su inverso

dé un número dado", los resultados anteriores sucedieron en los 5000 años antes de Cristo

(Meza y Villa, 2008).

La cultura griega se enfocaron en dos aspectos: uno de carácter aritmético con respecto

al aporte de una representación algebraica y el otro geométrico. Con respecto a lo

aritmético, la escuela pitagórica establece razonamientos numéricos para sucesiones y

progresiones, haciendo un empalme con la geometría en relación con los números figurados

(Meza y Villa, 2008).

Otro aporte importante de la cultura griega, de acuerdo con Vargas (2011), es el

descubrimiento de las secciones cónicas y todas sus propiedades, dentro de estas secciones

esta la parábola donde se inician los estudios del vértice, su respectiva representación

algebraica y el análisis de la parábola de una forma analítica.

Los árabes dieron un paso muy importante, ya que lograron evidenciar las

soluciones de una ecuación cuadrática vinculada con la geometría, mientras que los griegos

se enfocaron por medio de Apolonio en la construcción de las cónicas, donde se dio la

primera definición de parábola como un concepto de equiparación; además, trabajaron las

representaciones algebraicas como2x ay e

2y ax .

Galileo Galilei realizó aportes a la construcción epistemológica del concepto de

“función cuadrática” la cual se encuentra vinculada de manera explícita a los procesos de

modelización de los fenómenos de variación, es importante agregar que este concepto surge

en la necesidad de estudiar el movimiento de los objetos aquellos que no sean de forma

lineal, un gran ejemplo de ello es la relación de un movimiento parabólico cuando

intervienen las variables tiempo y altura (Villagra, 2012). Newton se encargó de dar un

paso al concepto de función en tanto es posible hallar una relación para cualquier instante

(variable) y un punto de la parábola (variable), y el estudio analítico de la parábola está

dado por una ecuación de segundo grado.

100

5.7.2. Aplicaciones de la función cuadrática

En esta sección se presenta una serie de aplicaciones o fenómenos en los que tienen

utilidad las funciones cuadráticas, la mayoría de ellas fueron obtenidas de la indagación en

investigaciones previas, aunque se enriqueció con una entrevista realizada para el desarrollo

de esta investigación.

Villarraga (2012) cita las siguientes aplicaciones, categorizándolas dependiendo de

la definición.

Las aplicaciones de la función cuadrática, como caso particular de función

polinómica se pueden evidenciar, por ejemplo, en situaciones de optimización

relacionadas con costo, demanda y áreas.

Particularmente, se usa en problemas con respecto a la industria, en los casos

de ganancias máximas, mínimas y costos (M. Zumbado, comunicación personal, 28

de diciembre, 2016).

Las situaciones que le dan sentido a la función cuadrática como una función

potencial de proporcionalidad directa son las aplicaciones que surgen en problemas

físicos como: la intensidad de la iluminación sobre una superficie, la distancia

recorrida por una esfera en un plano inclinado respecto al tiempo, la relación de la

producción de calor con respecto a la corriente eléctrica, el movimiento de caída

libre de los cuerpos, entre otros.

Entre las situaciones que le dan sentido a la función cuadrática como una

herramienta de representación de curvas parabólicas o lugares geométricos se

encuentran situaciones físicas con antenas parabólicas, espejos cóncavos y convexos

y algunas aplicaciones de la ingeniería como la construcción de puentes.

Para encontrar la talla a medida que transcurren las semanas de gestación de un feto

se utiliza una función cuadrática conocida como regla de Haese.

101

El crecimiento de una planta en forma de círculo, en el que hay una relación

cuadrática entre el radio del círculo que forma y el tiempo que tiene esa planta; al

lanzar una piedra, y analizar la relación tiempo, velocidad y altura; al modelar el

drenaje de una cancha de fútbol sintética que tiene forma de una parábola cóncava

hacia abajo (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).

El frenado del automóvil, al depreciar ciertas variables, es modelado por una

función cuadrática y en los movimientos parabólicos (E. De Faria, comunicación

personal, 26 de enero, 2017).

Giacomone y Loría (2015) mencionan las siguientes aplicaciones:

El trabajo con reflectores parabólicos, los cuales ponen en evidencia la propiedad

del foco y su relación con la parábola; por ejemplo, en espejos, lentes y antenas

parabólicas.

El estudio de la energía, como por ejemplo, la energía potencial elástica en relación

con la energía cinética de un resorte de constante k, una ejemplificación de la

situación anterior es la fórmula para calcular la energía elástica 21

2cE mv y la

energía potencial con 21

2pE k x

En ciencias sociales como la economía, la función cuadrática modela situaciones

costo – ingreso en problemas de optimización (M. Zumbado, comunicación

personal, 28 de diciembre, 2016).

En relación con las aplicaciones mencionadas en esta sección se puede destacar

que abarcan distintas áreas, dado que tienen relación con aspectos de economía y de

física; además, propiamente como concepto matemático hace uso de aspectos

relacionados directamente con el concepto de parábola, estas aplicaciones nos ayudarán

para evidenciar en el material didáctico unas Matemática contextualizadas.

De forma similar al esquema realizado para la función lineal, se presenta a

continuación, a manera de resumen un esquema con la mayoría de conceptos trabajados

para la función cuadrática.

102

Figura 4. Contenidos y relaciones que se dan dentro de la estructura de la función cuadrática.

Fuente: Elaboración propia

103

CAPÍTULO VI

ANÁLISIS COGNITIVO

Se presenta en este apartado las expectativas de aprendizaje en torno a la función lineal y

cuadrática, así como un listado de aspectos necesarios para la consecución de cada habilidad

específica; además, se enlistan posibles dificultades y errores que se podrían evidenciar al

abordar temas relacionados con dichas funciones en las aulas de educación secundaria.

En relación con las dificultades y errores, los mismos fueron obtenidos a través de dos

cuestionarios, uno aplicado a docentes y otro a estudiantes; en el caso de los docentes fueron

profesores en ejercicio, de la Direcciones Regionales de San José Central y Heredia, los cuales

han impartido décimo año con el actual currículo de Matemática del MEP, se aplicaron en total

treinta cuestionarios, quince en San José y quince en Heredia; el otro cuestionario fue

administrado a setenta y seis estudiantes de décimo año que habían abordado ambos tópicos en

su colegio.

6.1. Expectativas de aprendizaje de la función lineal y función cuadrática

En esta investigación, para efectos del diseño del Material Didáctico, las expectativas de

aprendizaje sobre la función lineal y la función cuadrática serán las habilidades establecidas en el

Programa de Estudios del MEP. A continuación se presentan dichas habilidades.

Tabla 7. Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática para décimo año.

Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación General

Básica y el Ciclo Diversificado.

Conocimiento Habilidades específicas

Función lineal ( )f x mx b

1. Representar gráficamente una función lineal.

2. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas

y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

3. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados

con ella.

4. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función lineal.

Función cuadrática 2( )f x ax bx c

con , ,a b c y 0a

1. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con

criterio 2( )f x ax bx c , 0a .

2. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función cuadrática.

104

6.2. Conocimientos y procesos matemáticos

A continuación se presenta un listado de los conocimientos matemáticos necesarios para

lograr cada una de las habilidades propuestas en el actual currículo de Matemática, los cuales

fueron obtenidos luego de la resolución, por parte de los investigadores, de algunos ejercicios y

problemas encontrados en diferentes libros de texto utilizados en educación secundaria, de la

revisión de conocimientos previos desarrollados en el Programa de Estudios y de la experiencia

de algunos de los investigadores, ya que los mismos imparten clases en educación secundaria. Se

abreviará, con HL y CL las habilidades y conocimientos, respectivamente, relacionados con la

función lineal, mientras que para la función cuadrática se abreviarán como HC y CC.

A su vez, se realiza una asociación entre dichos conocimientos matemáticos y los

procesos matemáticos que estable el currículo de Matemática vigente, estos procesos se deben

activar en los estudiantes en las clases de Matemática, se citan a continuación: razonar y

argumentar, plantear y resolver problemas, comunicar, conectar, y representar, los cuales se

abreviarán como RA, PR, COM, CON y R, respectivamente (la definición de cada uno de ellos

se abordó en la sección 2.1 de este documento).

Para determinar con qué proceso matemático se relaciona cada conocimiento que se

derivó de las habilidades, se consideraron los criterios establecidos por Lupiáñez (2013), el cual

cita que; primeramente, se tiene que ver la propia definición y caracterización de cada uno de los

procesos matemáticos, ya que cada uno de ellos tiene un énfasis en determinadas actuaciones e

implica unas demandas cognitivas prioritarias, para el caso particular de este criterio se utilizaron

las caracterizaciones de los procesos establecidas en el documento denominado “Evaluación y

Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades superiores”

(Ruiz, 2017); seguidamente, se tiene que ver el diseño curricular global de la asignatura, en este

caso todo lo establecido en el Programa de Estudios; un tercer criterio tiene que ver con la

información que suministra el análisis del contenido matemático, pues en él se ponen en

manifiesto la diversidad de significados de las nociones Matemática involucradas (Ver capítulo

V), y el último criterio, está asociado con las decisiones que el profesor toma al momento de

planificar las actividades de la clase.

105

Función lineal

Tabla 8. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades

de la función lineal y los procesos matemáticos propuestos por el MEP.

Procesos Matemáticos MEP

HL1. Representar gráficamente una función lineal. RA PR COM CON R

Asp

ecto

s

nec

esar

ios

CL1. Ubica puntos en el plano cartesiano X

CL2.Calcula imágenes a partir del criterio de una función X

CL3.Traza una representación gráfica a partir de puntos dados X

CL4. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una

función

X

Procesos Matemáticos MEP

HL2. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las

ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica

o algebraica.

RA PR COM CON R

Asp

ecto

s nec

esar

ios

CL5. Comprende el concepto de pendiente X

CL6. Calcula la pendiente de una recta dados dos pares

ordenados utilizando la fórmula de la pendiente

X

CL7. Extrae pares ordenados de una representación gráfica

para el cálculo de su pendiente

X

CL8. Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin

importar el orden de las variables

X

CL9. Comprende el concepto de monotonía de una función X X

CL10. Identifica la monotonía de la función en la

representación algebraica

X

CL11. Identifica la monotonía en la representación gráfica X

CL12. Relaciona la monotonía de la función, en su forma

gráfica, con el signo de la pendiente

X

CL13. Resuelve ecuaciones lineales X

CL14. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección

con el eje “y”

X

Procesos Matemáticos MEP

HL3. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos

relacionados con ella. RA PR COM CON R

Asp

ecto

s nec

esar

ios CL15. Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación

de la recta

X X

CL16. Obtiene a partir de pares ordenados la ecuación de la

recta

X X

CL17. Calcula el valor de “b” dada la pendiente y un par

ordenado de la función

X

CL18. Realiza operaciones algebraicas y aritméticas para

resolver ecuaciones lineales

X

106

Procesos Matemáticos MEP

HL4. Plantear y resolver problemas en contextos reales

utilizando la función lineal. RA PR COM CON R

Asp

ecto

s nec

esar

ios CL19. Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal X X

CL20. Redacta problemas que involucren funciones lineales X X X X X

CL21. Extrae conclusiones a partir de un problema que se

modela a través de una función lineal X X X

CL22. Representa gráficamente el comportamiento que sigue

un determinado problema X

Fuente: elaboración propia.

Función cuadrática

Tabla 9. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las

habilidades de la función cuadrática y los procesos matemáticos propuestos por el MEP.

Procesos Matemáticos MEP

HC1. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática

con criterio 2( )f x ax bx c , 0a .

RA PR COM CON R

Asp

ecto

s nec

esar

ios

CC1. Factoriza polinomios cuadráticos X

CC2. Efectúa multiplicaciones con polinomios X

CC3. Utiliza productos notables para desarrollar expresiones

algebraicas

X

CC4. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”

X

CC5. Resuelve ecuaciones cuadráticas en el cálculo de las

intersecciones con el eje “x”

X

CC6. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección

con el eje “y”, en la representación gráfica

X

CC7. Identifica la relación del parámetro “a” con la

concavidad en una representación gráfica

X

CC8. Identifica la concavidad de la función dado el criterio X

CC9. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la

función

X

CC10. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación

gráfica de la función

X

CC11. Obtiene el vértice a partir del criterio de la función X

CC12. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la

representación gráfica

X

CC13. Identifica el vértice dada la gráfica X

107

CC14.Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos

donde la función es positiva o negativa

X

CC15. Determina los intervalos de monotonía a partir del

criterio de la función

X

CC16. Determina los intervalos de monotonía a partir de la

representación gráfica de la función

X

CC17. Determina los intervalos donde la función es positiva o

negativa en la representación gráfica

X

CC18. Obtiene el ámbito de la función a partir de la

representación gráfica

X

CC19. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es X X

CC20. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es

X X

CC21. Utiliza el vértice en el cálculo del ámbito de la función X

CC22. Obtiene el mayor intervalo donde la función es

inyectiva

X

CC23. Logra representar gráficamente una función cuadrática

a partir de su representación algebraica

X

CC24. Determina a partir de la representación gráfica los

valores de “a”, “b” y “c”

X X

CC25. Determina a partir de la representación algebraica los

valores de “a”, “b” y “c”

X

Procesos Matemáticos MEP

HC2. Plantear y resolver problemas en contextos reales

utilizando la función cuadrática. RA PR COM CON R

Asp

ecto

s nec

esar

ios

CC26. Identificar situaciones reales que siguen un modelo

cuadrático

X X

CC27. Redactar problemas que involucren funciones

cuadráticas

X X X X X

CC28. Extraer conclusiones a partir de un problema que se

modela a través de una función cuadrática

X X X

CC29. Diferenciar en un problema de máximo- mínimo

cuando se debe obtener la abscisa del vértice y cuando la

ordenada dependiendo de la pregunta que se formule

X X

Fuente: Elaboración propia

6.3. Errores y dificultades asociadas con el aprendizaje de la función lineal y

cuadrática

La importancia de este apartado radica en que la detección de las dificultades y los

errores vinculados a un contenido matemático permite realizar un estudio de los factores

que pueden interferir en el proceso de aprendizaje del estudiante, y así se facilitará la

elección de tareas adecuadas, para enfrentar dichos errores (Arias y González, 2016). En

108

este sentido concuerdan Abrate et al. (2006) quienes mencionan que los contenidos de cada

unidad didáctica se deberían adaptar, ampliar o variar, para tratar la diversidad de errores y

dificultades que pueden presentar los alumnos.

A continuación se presenta una serie de errores y dificultades que fueron detectados

por treinta docentes de Matemática en ejercicio, cuando desarrollaron en sus clases los temas

de función lineal o cuadrática, los mismos fueron recolectados a través de un cuestionario que

consta de dos partes: en la primera se le presentaba a los docentes cada una de las habilidades

propuestas en el Programa de Estudios y una serie de aspectos que se derivaban de los

mismos, para cada uno de ellos los docentes asignaban un valor numérico de uno a cinco,

donde cada número representa la frecuencia con que sus estudiantes desarrollaban dicha

acción, siendo 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces, 4: Casi siempre y 5: Siempre,

mientras que la segunda parte tuvo dos preguntas abiertas mediante las cuales se les

solicitaban, explícitamente, anotar los errores y dificultades que han detectado al momento de

enseñar los tópicos en cuestión (ver anexo 2).

Después de la aplicación del cuestionario para docentes, se realizó una sumatoria de

cada posible dificultad, las cuales fueron propuestas en dicho instrumento, seguidamente

aquellas que obtuviera un porcentaje mayor al 50% en las categorías de nunca o casi nunca, se

consideraron como una dificultad aportada por los docentes de secundaria.

Asimismo, se desarrolló un cuestionario con una serie de ejercicios referentes a la

función lineal y a la función cuadrática, y se aplicó a setenta y seis estudiantes de décimo año

que ya habían abordado dichos tópicos en sus clases. Para determinar los errores que ellos

comenten en estas temáticas, dichos cuestionarios fueron revisados por los investigadores uno

a uno, y se clasificaron y contabilizaron cada uno de los errores encontrados.

Este apartado se dividirá en dos secciones a saber: función lineal y función cuadrática,

para cada una de ellas se mostrarán primero los errores y posteriormente las dificultades. Para

el caso de los errores los mismos se clasificaron de acuerdo con algunas de las categorías

abordadas en el marco teórico de esta investigación (ver sección 2.3).

109

6.3.1. Función Lineal

6.3.1.1. Errores cometidos por los estudiantes

1) Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales

a. Omisión del signo de un número al calcular m cuando una de las coordenadas

de un par ordenado es negativa.

b. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el

conjunto de los números reales.

c. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales

(sumas y multiplicaciones erradas).

110

2) Errores debido a asociaciones incorrectas

a. Dado el criterio de asociación de una función lineal de la forma ( )mx b

f xa

,

asocia el valor numérico de la pendiente a m y no a m

a .

b. Dado el criterio de asociación de una función lineal de la forma ( )mx b

f xa

,

asocia la intersección con el eje de las ordenadas a b y no a b

a.

Asocia el hecho de que el valor numérico de b en 1 2

( )3

xf x

es uno.

c. Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y

procedimientos para la realización de una tarea Matemática.

111

a. Conceptuales, no distingue entre abscisas y ordenadas.

b. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1

2 1

x x

y y

ó

2 2

1 1

y xm

y x

.

c. Ubicación incorrecta de pares ordenados en el plano cartesiano.

A.

112

B.

d. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares ordenados presentes en

la misma.

e. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en los

números reales.

113

f. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones lineales.

A.

B.

g. Al dar expresiones de la forma ( )f a b asume que , fb a G .

114

h. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la monotonía de la

función.

i. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la intersección con el

eje y de una gráfica.

j. Error al homogenizar fracciones en la resolución de ecuaciones lineales.

115

k. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión algebraica

que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con base en él.

1.

2.

116

3. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una parábola como su

representación gráfica.

A.

B.

4. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el

dominio de la misma.

117

En este ítem en particular no se toma en cuenta el hecho de que al tratarse de

televisores las cantidades son discretas y finitas, por lo que la representación gráfica no

puede incluir las abscisas negativas y la línea debe ser punteada pues es un dominio y

ámbito discreto; adicionalmente, como se definió la función lineal el dominio es un

subconjunto de los números reales.

En la siguiente tabla se presenta la suma de la cantidad de veces que apareció dicho

error tanto de forma individual como de forma global según categoría, esto con el objetivo

de prestar especial atención a aquellos errores que se presentaron con mayor frecuencia.

Como una forma de facilitar la referencia a los errores relacionados con la función lineal,

estos se abreviarán con las siglas EFL.

Tabla 10. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal.

Categoriza-

ción de los

errores

FUNCIÓN LINEAL

( )f x mx b

Acciones cometidas

Cantidad de

veces que

apareció

cada error

Cantidad

total por

categoría

Errores

debidos a

cálculos

incorrectos

o

accidentales

EFL1. Omite el signo de un número al calcular m cuando

una de las coordenadas de un par ordenado es negativa.

EFL2. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto

de los números reales (sumas y multiplicaciones erradas)

EFL3. Mal empleo de la ley de signos en la realización de

operaciones básicas en el conjunto de los números reales.

10

7

4

21

Errores

debidos a

asociaciones

incorrectas

EFL4. Dado el criterio de asociación de una función lineal

de la forma ( )mx b

f xa

, asocia el valor numérico de la

pendiente a m y no a m

a .

EFL5. Dado el criterio de asociación de una función lineal

de la forma ( )mx b

f xa

, asocia la intersección con el

eje de las ordenadas a b y no a b

a .

3

3

6

118

Errores

originados

por

deficiencias

en el manejo

de

conceptos,

contenidos y

procedimien

tos para la

realización

de una tarea

Matemática

EFL6. Ubicación incorrecta de pares ordenados en el

plano cartesiano.

EFL7. Dado un problema definido en forma verbal,

determina una expresión algebraica que modele el mismo,

pero extrae conclusiones erróneas con base en él.

EFL8. Error al expresar en forma gráfica una situación

dada al no tomar en cuenta el dominio de la misma.

EFL9. No relaciona el signo de m (positivo, negativo,

cero) con la monotonía de la función.

EFL10. No relaciona el signo de b (positivo, negativo,

cero) con la intersección con el eje y de una gráfica.

EFL11. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta

pares ordenados presentes en la misma.

EFL12. Error al aplicar algoritmos relacionados con la

resolución de ecuaciones lineales

EFL13. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente

al hacer 2 1

2 1

x xm

y y

ó 2 2

1 1

y xm

y x

.

EFL14. Conceptuales, no distingue entre abscisas y

ordenadas.

EFL15. Al dar expresiones de la forma ( )f a b no

distingue cuál par ordenado pertenece al gráfico funcional

de f si ,a b o ,b a .

EFL16. Error al aplicar el orden de la prioridad de las

operaciones básicas en los números reales.

EFL17. Error al homogenizar fracciones en la resolución

de ecuaciones lineales.

EFL18. Dada la representación algebraica de una función

lineal traza una parábola como su representación gráfica.

17

14

13

12

11

10

9

5

3

3

2

2

2

103

Fuente: Elaboración propia

De esta sección se puede resumir que una gran parte de los errores cometidos por

los estudiantes responden a falta de dominio de conceptos, como por ejemplo, al

119

significado de los términos abscisas y ordenadas; y al cálculo incorrecto de las operaciones

principalmente, en las leyes de signo, en la omisión de los mismos y en la jerarquización de

las operaciones. También destacan errores en conocimientos previos como la resolución de

ecuaciones lineales y la ubicación de pares ordenados. Siendo este último alarmante dado

que es un tema que se aborda desde tercer grado hasta noveno año; en primera instancia,

con una noción de posición y localización de personas u objetos a partir de un punto de

referencia, posteriormente en sétimo año cuando se trabaja el plano cartesiano, en octavo

año con las homotecias y en noveno año con la fórmula de la distancia entre puntos.

Otro de los errores más comunes en esta categoría fue el hecho de no saber

interpretar de qué manera influye el valor de los parámetros m y b en la representación

gráfica de la función lineal. Es decir, no asocian la monotonía, ni la intersección con el eje

de las ordenadas con el valor de cada uno de los parámetros respectivamente. Así como no

distinguen el valor numérico de m y b en una función cuyos coeficientes son números

racionales; en este caso, solo toman en cuenta el numerador.

También se encontró que cuando se propone un problema definido en forma verbal,

los estudiantes logran determinar la expresión algebraica que modela la situación descrita.

Sin embargo, extraen conclusiones erróneas, lo que evidencia solo un dominio algorítmico.

6.3.1.2. Errores detectados por los profesores

A continuación se presenta una lista de errores, los cuales se obtuvieron por medio

de una pregunta abierta en el cuestionario aplicado a los docentes. Para el análisis de las

respuestas, se realizó una categorización con respecto a las respuestas obtenidas, en algunas

ocasiones los docentes no respondieron dicha pregunta, luego de hacer dicho análisis se

obtuvieron los siguientes resultados:

1) Mal manejo de signos.

2) No aplican la ley de operaciones combinadas para el cálculo de b .

3) El uso de operaciones básicas con números enteros.

4) Mal manejo algebraico, en el despeje de las variables.

5) Determinar los valores de m y b .

120

6) Incluir la variable como parte de la pendiente.

7) Sustituir en las fórmulas cuando m y b son valores negativos.

8) Confunden los ejes de coordenadas.

9) Cuando pasan a dividir el número que acompaña la y realizan un cambio de

signo.

10) Relaciona el valor de b con el eje x .

11) Extraer pares ordenados de una representación gráfica.

12) Despejar la variable y .

13) No identificar la diferencia entre preimagen e imagen en un problema

En esta otra sección, todos los errores mencionados por los docentes coinciden con

los detectados en el cuestionario aplicado a los estudiantes, lo que reafirma, que

efectivamente se requiere de una mayor profundización en los mismos.

6.3.1.3. Dificultades detectadas por los profesores.

A continuación se presentan una serie de dificultades que fueron detectadas por treinta

docentes de Matemática en ejercicio, cuando desarrollaron en sus clases los temas de función

lineal y función cuadrática, las mismas fueron recolectadas a través de un cuestionario que

consta de dos partes: en la primera parte se le presentaba a los docentes cada una de las

habilidades propuestas en el Programa de Estudios y una serie de aspectos que se derivaban de

los mismos, para cada uno de ellos los docentes asignaban un valor numérico de uno a cinco,

donde cada número representa la frecuencia con que sus estudiantes desarrollaban dicha acción,

siendo 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces, 4: Casi siempre y 5: Siempre.

Después de la aplicación de los cuestionarios, se realizó una sumatoria de cada

posible dificultad, las cuales fueron propuestas en dicho instrumento (ver anexo 2), a

continuación se presenta una tabla, donde se recopiló los resultados obtenidos y

posteriormente se identificaron cuáles son las dificultades que proponen los docentes.

121

Tabla 11. Sumatoria de los puntajes asignados por los profesores encuestados en relación

con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad.

Posibles dificultades de la función lineal ( )f x mx b Puntaje

obtenido

1. Redacta problemas que involucren funciones lineales 69

2. Plantea funciones lineales para modelar problemas en contextos reales 78

3. Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es capaz

de extraer conclusiones a partir de ella 80

4. Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal 81

5. Puede a partir de un problema construir una gráfica que represente la

situación mostrada 82

6. Comprende el concepto de pendiente 83

7. Obtiene, a partir de la representación gráfica, la ecuación de la recta 85

8. Traza una representación gráfica adecuada a partir de puntos dados 87

9. Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación gráfica 87

10. Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al

resolver ecuaciones lineales 88

11. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función 89

12. Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin importar el orden de

las variables 89

13. Comprende el concepto de monotonía de una función 96

14. Identifica la monotonía de la función en la representación algebraica 99

15. Relaciona la monotonía de la función, en su forma gráfica, con el signo de

la pendiente 99

16. Calcula la intersección con el eje “x” 100

17. Ubica puntos en el plano cartesiano 101

18. Calcula la intersección con el eje “y” 104

19. Dada la pendiente y un par ordenado de la función calcula el valor de “b”

del criterio 104

20. Calcula imágenes a partir del criterio de una función 105

21. Identifica la monotonía en la representación gráfica 105

22. Obtiene, a partir de pares ordenados, la ecuación de la recta 106

23. Calcula la pendiente de una recta dados dos pares ordenados utilizando la

fórmula de la pendiente 110

24. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección con el eje “y”, en la

representación gráfica 118

Fuente: Elaboración propia

De las enunciadas anteriormente, se considerará como dificultad, para efectos de

esta investigación, a aquellas cuyo puntaje sea menor a noventa, dado que el puntaje

asignado por los docentes cuando un estudiante realiza algunas veces una determinada

122

actividad es de tres puntos, al ser treinta cuestionarios, si todos seleccionaran la categoría

algunas veces, el puntaje total sería noventa; por lo que, si el puntaje es menor a noventa es

porque la mayoría de los profesores asignó puntajes menores a tres, lo que quiere decir que

indicaban que sus estudiantes nunca o casi nunca realizaban dicha acción.

En la siguiente tabla se muestran los conocimientos derivados de cada habilidad

que, según los criterios de esta investigación, se considerarán como dificultades.

Tabla 12. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función lineal según

los docentes encuestados.

Posibles dificultades de la Función lineal Puntaje

obtenido

Redacta problemas que involucren funciones lineales 69

Plantea funciones lineales para modelar problemas en contextos reales 78

Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es

capaz de extraer conclusiones a partir de ella 80

Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal 81

Puede a partir de un problema construir una gráfica que represente la

situación mostrada 82

Comprende el concepto de pendiente 83

Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación de la recta 85

Traza una representación gráfica adecuada a partir de puntos dados 87

Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación

gráfica 87

Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al

resolver ecuaciones lineales 88

Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función 89

Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin importar el orden de

las variables 89

Fuente: Elaboración propia

En este apartado la mayoría de las dificultades señaladas por los docentes

corresponden a acciones que requieren de análisis que van más allá de aplicar algoritmos

para su resolución; principalmente, actividades como la identificación de modelos lineales,

y el planteamiento y resolución de problemas. Esto también puede deberse a que son

actividades que se desarrollan pocas veces en las clases.

123

6.3.2. Función cuadrática

6.3.2.1. Errores cometidos por los estudiantes.

1) Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales.

a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el

conjunto de los números reales.

b. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la fórmula de las

coordenadas del vértice.

2) Errores debidos a asociaciones incorrectas.

a. Cálculo incorrecto de potencias de base negativa.

124

3) Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y

procedimientos para la realización de una tarea Matemática.

a. Ubicación incorrecta de pares ordenados

b. Error al factorizar.

c. Error algebraico en la resolución ecuaciones lineales: al resolver ecuaciones

cuadráticas factorizan y al aplicar el Principio del Producto Nulo despejan

incorrectamente en los factores lineales.

125

d. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

e. No asocia el discriminante con la cantidad de intersecciones de la función con el

eje x .

f. Dado el criterio de una función cuadrática, no interpreta el valor de cada

parámetro para realizar la representación gráfica de dicha función.

En el siguiente caso la representación gráfica de la función es cóncava

hacia abajo dado que 0a , sin embargo al graficar el estudiante realiza una

parábola cóncava hacia arriba

En este ítem ambas gráficas intersecan al eje de las ordenadas en su parte

positiva, sin embargo el estudiante no asocia este hecho con el valor de c , dado que

indica 0c

126

g. Dada la representación gráfica de una función cuadrática, determina de forma

incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.

h. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.

i. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza correctamente la

parábola.

127

j. Dada la representación gráfica de una función cuadrática al determinar el

criterio de la misma, utiliza la fórmula de la pendiente.

k. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función cuadrática pero no

determina el ámbito y los intervalos de monotonía o lo realiza de forma

incorrecta.

l.

2.

A continuación se presenta una tabla con la frecuencia absoluta de cada uno de los

errores cometidos por los estudiantes, tanto de forma individual, como categorizados.

128

Tabla 13. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática.

Categorización

de los errores

FUNCIÓN CUADRÁTICA 2( )f x ax bx c

Acciones cometidas

Cantidad

de veces

que

apareció

cada error

Cantidad

total por

categoría

Errores

debidos a

cálculos

incorrectos o

accidentales

a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en

la fórmula de las coordenadas del vértice.

b. Mal empleo de la ley de signos en la realización de

operaciones básicas en el conjunto de los números reales.

3

2

5

Errores

debidos a

asociaciones

incorrectas

a. Cálculo incorrecto de potencias de la forma 2a en

confusión con 2

a . 2 2

Errores

originados por

deficiencias en

el manejo de

conceptos,

contenidos y

procedimientos

para la

realización de

una tarea

Matemática.

a. No distingue qué determina cada variable del criterio

en su representación gráfica.

b. Calcula el vértice de la representación gráfica de una

función cuadrática pero no determina el ámbito y los

intervalos de monotonía o lo realiza de forma incorrecta.

c. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

d. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones de la función con el eje x .

e. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.

f.Confunde el intervalo de crecimiento con el de

decrecimiento.

g. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no

traza correctamente la parábola.

h. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

i. Dada la representación gráfica de una función

cuadrática, determina de forma incorrecta pares

ordenados que pertenecen a la misma.

j. Dada la representación gráfica de un función cuadrática

al determinar el criterio de la misma, utiliza la fórmula

de la pendiente.

k. Error al factorizar.

19

9

8

8

4

3

3

2

2

2

1

63

Fuente: Elaboración propia

129

En este apartado, al igual que en el de función lineal, la mayoría de los errores

detectados se ubican en la categoría de errores relacionados con el manejo de conceptos y el

cálculo incorrecto de operaciones en el conjunto de los números reales; aunque, en este caso

particular, se agudiza el hecho de no identificar de qué manera influye el signo de los

parámetros, del criterio algebraico de la función, en su representación gráfica.

Igualmente se observaron errores al resolver ecuaciones cuadráticas, en la relación del

signo del discriminante (positivo, negativo o cero) y la cantidad de intersecciones con el eje de

las abscisas; además, no logran relacionar la representación gráfica de cierta función con los

valores de los parámetros , y a b c .

Se aprecian también errores al determinar los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, el ámbito de la función y el valor del vértice a partir del criterio de una función.

6.4.2.2. Errores detectados por los profesores

A continuación se presenta una lista de errores, los cuales se obtuvieron por medio

de una pregunta abierta del cuestionario aplicado. Para el análisis de las respuestas, se

realizó una categorización con respecto a las respuestas obtenidas, en algunas ocasiones los

docentes no respondieron dicha pregunta, luego de hacer dicho análisis se obtuvieron los

siguientes resultados:

1) Mal manejo algebraico.

2) Sustituyen mal en las fórmulas cuando a , b y c son negativos

3) No identifica los valores de a , b y c .

4) Calcula mal el discriminante.

5) Cálculo de intersección con los ejes.

6) Cálculo del ámbito.

7) Confunden los ejes de coordenadas.

8) Confunden el concepto de ámbito con la monotonía.

9) Cálculo incorrecto en la solución de una ecuación cuadrática.

10) Mala interpretación en los resultados obtenidos.

130

11) Calculan mal la solución de una ecuación cuadrática cuando 0b .

12) Mal uso de intervalos abiertos y cerrados.

13) Error en el manejo algebraico para factorizar trinomios.

En este apartado algunos de los errores mencionados por los docentes

concuerdan con los detectados en la aplicación de los cuestionarios. Sin embargo,

aparecen algunos no contemplados y van relacionados, principalmente, con el manejo de

aspectos algebraicos, como lo son los métodos de factorización, el cálculo del valor

numérico del discriminante y la resolución de ecuaciones cuadráticas. Tomando en

cuenta esta información, es claro el por qué otro de los errores mencionados es el cálculo

de los puntos de intersección con los ejes coordenados, ya que para el caso de la

intersección con el eje de las abscisas se requiere del dominio de los aspectos

algebraicos en la que los estudiantes comenten errores.

En la siguiente tabla se sintetizan los errores relacionados con la función

cuadrática, tanto los evidenciados en el cuestionario aplicado a los estudiantes, como los

mencionados por los docentes. Estos errores se abreviarán con las siglas EFC.

Tabla 14. Enriquecimiento de la categorización de errores y acciones realizadas en la

resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática.

Categorización de

los errores

FUNCIÓN CUADRÁTICA 2( )f x ax bx c

Acciones cometidas

Errores debidos a

cálculos

incorrectos o

accidentales

EFC1. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones

básicas en el conjunto de los números reales.

EFC2. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la fórmula

de las coordenadas del vértice.

Errores debidos a

asociaciones

incorrectas

EFC3. Cálculo incorrecto de potencias de la forma 2a en confusión con

2

a .

131

Errores

originados por

deficiencias en el

manejo de

conceptos,

contenidos y

procedimientos

para la

realización de una

tarea Matemática.

EFC4. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

EFC5. Error al factorizar.

EFC6. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.

EFC7. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

EFC8. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones de la función con el eje x .

EFC9. No distingue qué determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

EFC10. Dada la representación gráfica de una función cuadrática,

determina de forma incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.

EFC11. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.

EFC12. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza

correctamente la parábola.

EFC13. Dada la representación gráfica de un función cuadrática al

determinar el criterio de la misma, utiliza la fórmula de la pendiente.

EFC14. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función

cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de monotonía o lo

realiza de forma incorrecta.

EFC15. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.

EFC16. Cálculo incorrecto de las soluciones de ecuaciones cuadráticas de la

forma 2 0ax c .

Fuente: Elaboración propia

6.4.2.3. Dificultades detectadas por los profesores

En el cuestionario aplicado a los profesores aparecía una serie de ítems

relacionados con las posibles dificultades de la función cuadrática, cada ítem está

categorizado de uno a cinco, donde cada número representaba la frecuencia con que

cada estudiante desarrolla dicha habilidad, 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces,

5:Siempre, a continuación se muestra una tabla donde se evidencia el puntaje asignado.

132

Tabla 15. Sumatoria de los puntajes obtenidos por los 30 profesores entrevistados en

relación con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad.

Posibles dificultades de la función cuadrática 2( )f x ax bx c Puntaje

obtenido

1. Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva 74

2. Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales 75

3. Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” 78

4. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es 79

5. Resuelve ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo

grado. 80

6. Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es

capaz de extraer conclusiones a partir de ella 80

7. Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos donde la función es

positiva o negativa 83

8. Plantea problemas que involucren funciones cuadráticas 84

9. Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la

representación gráfica 86

10. Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al resolver

ecuaciones cuadráticas 87

11. Determina los intervalos de monotonía a partir de la representación gráfica de

la función 88

12. Determina los intervalos de monotonía a partir del criterio de la función 90

13. Logra representar gráficamente una función cuadrática a partir de su

representación algebraica 94

14. Utiliza el vértice para calcular el ámbito de la función 98

15. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es 101

16. Determina a partir de la representación algebraica los valores de “a”, “b” y “c” 102

17. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica 105

18. Obtiene el ámbito de la función a partir de la representación gráfica 105

19. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje “y”, en la

representación gráfica 105

20. Calcula la intersección con el eje “x” 106

21. Calcula la intersección con el eje “y” 107

22. Obtiene el vértice a partir del criterio de la función 107

23. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene

la gráfica con el eje “x” 108

24. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica 109

25. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función 112

26. Identifica el vértice dada la gráfica 114

27. Identifica la concavidad de la función dado el criterio 114

28. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una

representación gráfica 116

Fuente: Elaboración Propia

133

De las anteriores, se considerará como dificultad, para efectos de esta investigación,

aquellas que obtuvieran un porcentaje mayor al 50% en las categorías de nunca o casi

nunca; es decir, aquellas cuyo puntaje sea menor a noventa, dado que el puntaje asignado

por los docentes cuando un estudiante realiza algunas veces una determinada actividad es

de tres puntos, al ser treinta cuestionarios, si todos seleccionaran la categoría algunas veces,

el puntaje total sería noventa; por lo que, si el puntaje es menor a noventa es porque la

mayoría de profesores asignó puntajes menores a tres, lo que quiere decir que indicaban

que sus estudiantes nunca o casi nunca realizaban dicha acción.

Tabla 16. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función cuadrática

según los docentes encuestados.

Dificultades detectadas por los profesores Puntaje

obtenido

Determina los intervalos de monotonía a partir del criterio de la función 90

Determina los intervalos de monotonía a partir de la representación gráfica de la

función 88

Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al resolver

ecuaciones cuadráticas 87

Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la

representación gráfica 86

Plantea problemas que involucren funciones cuadráticas 84

Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos donde la función es

positiva o negativa 83

Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de

extraer conclusiones a partir de ella 80

Resuelve ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo grado. 80

Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es 79

Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” 78

Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales 75

Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva 74

Fuente: Elaboración Propia

Las acciones de la tabla anterior se relacionan con conceptos matemáticos

abstractos, dado que para su resolución se requiere más que aplicar una fórmula, conllevan

una integración de diferentes procedimientos y conceptos, en ellos se vuelve indispensable

un manejo adecuado del paso de la representación gráfica a la algebraica, el conocimiento

de fórmulas y el dominio de conceptos propios de las funciones. Por otro lado, al igual que

en la función lineal, las acciones relacionadas con el planteamiento y resolución de

problemas que se modelan bajo este tópico vuelven a categorizarse como dificultades.

134

CAPÍTULO VII

ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN

Este apartado se orienta en la selección, diseño, y secuenciación de las tareas que se

emplearán para lograr las expectativas de aprendizaje propuestas en el Análisis Cognitivo en

relación con la función lineal y la función cuadrática, también se delimitan los materiales y

recursos que se emplearán en las clases; así como, la secuenciación de las tareas en etapas de

aprendizaje (Lupiáñez, 2013).

7.1. Diseño y selección de tareas

Para la elaboración de esta sección se tomaron en cuenta las indicaciones metodológicas

dadas en el Programa de Estudios de Matemática, las etapas para el diseño de tareas establecidas

en la sección 3.2, los conocimientos conceptuales y procedimentales especificados en el Análisis

de Contenido; las expectativas de aprendizaje y el catálogo de errores elaborados en el Análisis

Cognitivo, dado que se consideraron tareas que permitieran trabajar sobre los aspectos

desarrollados en dichos análisis.

Asimismo, otro de los referentes utilizados fueron los criterios establecidos por Marín

(2013) quien establece que al seleccionar una tarea esta debe:

1. manejar contenidos de la estructura conceptual; tener un equilibrio entre el conjunto

de tareas y que estas no se inclinen demasiado al contenido procedimental

algorítmico.

2. involucrar en su resolución los diferentes sistemas de representación previstos.

3. presentar contextos y situaciones diferentes y complementarias.

4. estar asociadas a las habilidades específicas previstas.

5. contribuir realmente a activar las competencias que se asociaron con cada habilidad

en el Análisis Cognitivo.

Además, es importante destacar que, se hizo un análisis de tareas preexistentes en libros

de texto u otros documentos, las cuales fueron adecuadas para efectos de esta investigación;

135

donde adecuar implica seleccionar tareas que se ajustan a los criterios que la investigación

maneja, incluyendo la posibilidad de modificarlas, y si es necesario, diseñar tareas nuevas

(Marín, 2013).

7.2. Variables involucradas en el análisis de las tareas

En esta sección se detallan las variables que caracterizan cada una de las tareas

seleccionadas; que para efectos de este trabajo se analizaron las que propone Marín (2013), a

saber: habilidades, contenido matemático, sistemas de representación, contextos, procesos,

dificultades y errores, y complejidad (estos términos fueron definidos en la sección 2.5.3.1 de

este documento). Cabe destacar que estos indicadores coinciden con los elementos para la

valoración de tareas Matemática formulados por Ruiz (2017) en el documento “Evaluación y

Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades superiores”, con

la diferencia de que Marín (2013) considera dentro de sus elementos las dificultades y errores.

Además, para efectos de realizar el análisis de las variables contenido matemático y

sistemas de representación se utilizó lo desarrollado en el Análisis de Contenido (Capítulo V),

mientras que para las variables habilidades, dificultades, y errores, se utilizó lo establecido en el

Análisis Cognitivo (Capítulo VI).

Por otra parte, para establecer los procesos matemáticos que se nutren con la resolución

de cada tarea, se siguió lo propuesto por Marín (2013) quien sostiene que se debe simular la

resolución de la tarea como si lo hiciese un estudiante de educación secundaria y trabajar sobre

una lista hipotética de acciones y con esto determinar cuáles de esas acciones corresponden con

las descripciones de los procesos matemáticos que presentan algunos documentos como los del

Informe PISA 2003; en el caso de esta investigación, se utilizará como documento de

comparación la “Estructura de Intervención de los Procesos en un Problema” propuesta por Ruiz

(2017), en la cual se establecen 61 indicadores para determinar a qué proceso matemático

contribuye una determinada tarea, así como el grado en que se propicia; siendo el grado 1 el

menos complejo y el grado 3 el más complejo (ver anexo 5).

136

Finalmente, para la variable contexto, se utilizó lo descrito en el marco teórico de esta

investigación (ver apartado 2.5.3.1); y para establecer la complejidad de un problema, se

siguieron los criterios planteados por Ruiz (2017), quien destaca que estos deben aplicarse de

una manera flexible, dado que siempre habrá problemas o ítems donde será complejo identificar

su nivel. A continuación, se resumen cada uno de los cinco criterios.

1. Si en un problema la intervención de los procesos no supera el grado 1, entonces se

clasificará como un problema de reproducción.

2. Si en un problema la intervención en al menos dos procesos es de grado 2, y además se

pueden identificar al menos tres indicadores en ese grado, entonces se clasificará como

un problema de conexión.

3. Si en un problema la intervención en al menos dos procesos es de grado 3, y además se

pueden identificar al menos tres indicadores en ese grado, entonces se clasificará como

un problema de reflexión.

4. Cuando en un problema la intervención de los procesos es de grados 2 o 1 y el número de

los indicadores en el grado 2 es menor que tres, se requerirá hacer una valoración más

específica para establecer si es de reproducción o conexión; dependerá de la “fuerza” del

indicador o indicadores de grado 2 para valorar el problema como de conexión. Este

criterio aplica cuando en un problema aparecen tres indicadores de grado 2 en un proceso

y en los otros procesos los indicadores no sobrepasan el grado 1.

5. Cuando en un problema la intervención de los procesos es de grado 3, 2 o 1 y el número

de los indicadores en el grado 3 es menor que tres, se requerirá hacer una valoración más

específica para establecer si es de reproducción, conexión o reflexión; dependerá de la

“fuerza” del indicador o indicadores de grado 3 para valorar el problema como de

reflexión. Este criterio aplica cuando en un problema aparecen tres indicadores de grado

3 en un proceso y en los otros procesos los indicadores no sobrepasan los grados 1 o 2.

137

Es indispensable destacar que, en el caso de los criterios dos y tres se requieren de, al

menos, tres indicadores y dos procesos, y se puede inferir que se podrían tener: dos indicadores

del mismo proceso y un tercero de otro proceso, o un indicador en tres procesos distintos; todos

ellos de grados dos o tres según corresponda. Por otro lado, los últimos dos criterios dejan

abierta la clasificación que pueda realizar cada profesor de acuerdo con su criterio personal, ya

que dependerá de la “fuerza” que considere posee un determinado indicador.

7.3. Análisis de las tareas que fueron diseñadas en relación con la función lineal

Se presenta en este apartado una serie de tareas que contribuirán al logro de las

expectativas de aprendizaje para la función lineal, cabe destacar que estas no son las únicas que

se pueden plantear y que cada docente podría realizarle modificaciones en relación con las

características de sus estudiantes y centro educativo. Además, para cada tarea, se presenta una

tabla con el análisis de las variables que están inmersas en ellas (un ejemplo detallado de cómo

se realizó dicho análisis está en el anexo 6), las cuales fueron expuestas en el apartado anterior,

esto colaborará en las secciones posteriores para establecer la secuenciación que tendrán las

tareas en el Material Didáctico.

Tarea 1: Compras de maletas por Internet

El administrador de la empresa Oliver Cabell, desea realizar la evaluación de un

proyecto, relacionado con la venta de la maleta Kennedy Weekender por Internet. Evaluar un

proyecto de inversión consiste en determinar, mediante un análisis de costo-beneficio, si genera

o no el rendimiento deseado para entonces tomar la decisión de continuar realizándolo o no.

Para ello toma los datos del sitio web de la empresa, en la que se presenta una tabla con

los costos de producción de dicha maleta. Lo anterior, según el periódico La Nación es la

tendencia dada en los últimos años en Estados Unidos y Europa, denominada “determinación

transparente de precios” en los que las empresas se han dado a la tarea de desglosar los costos de

producción de sus artículos, con el fin de ganar más consumidores al saber por lo que pagan.

La siguiente tabla corresponde a los datos presentados en el sitio web de la empresa para

la producción de la maleta en cuestión.

138

Maleta Kennedy Weekender

Producto

Maleta

Costos de

producción

por cada maleta

Lona $16,02

Cuero $11,58

Forro $5,68

Cinchas

(correas, fajas) $0,78

Zipper $4,27

Nylon $2,61

Tela de

reforzamiento $4,35

Hebillas y

broches $3,70

Manufactura, el

transporte, los

impuestos y

envío

$78,49

Precio de venta $285

Capital mensual

(Dinero que

dispone la

empresa para la

producción de

este tipo de

maleta)

$30 000*

*Dato supuesto, dado que no está

disponible

Fuente: Elaboración propia a partir de algunos datos tomados de

https://olivercabell.com/products/heathrow-weekender

Los costos de producción de la tabla anterior corresponden a costos variables, ya que

estos cambian dependiendo de la cantidad de maletas que se realicen; sin embargo, falta

considerar algunos costos fijos, que son aquellos que la empresa debe obligatoriamente pagar

independientemente de la cantidad de maletas que produzcan, entre ellos por ejemplo: el salario

de los trabajadores.

139

Ayuda al administrador de la empresa a realizar la evaluación, para ello:

a) Determine a cuántos dólares corresponde el costo fijo mensual de la empresa

(considerando que un mes tiene 4 semanas). Tome en cuenta solo el salario de los

trabajadores, y asuma que: trabajan 10 personas en la fabricación de las maletas, el

salario por hora es de $8, trabajan 6 días por semana y 8 horas diarias.

b) Determine el costo total de producir cierta cantidad de maletas (tome en cuenta que el

costo total es la suma de los costos fijos más los costos variables) completando la

siguiente tabla.

Cantidad de maletas Costo total de producción

1

2

3

4

5

6

7

c) ¿Podría la empresa producir 115 maletas mensuales? ¿Cuánto sería el costo total en

dicho caso?

d) En el plano cartesiano adjunto, trace un esbozo de la representación gráfica que

representa el costo total de producción para cualquier cantidad de maletas

producidas (Sugerencia: utilizar una escala de 1:1 en eje de las abscisas y de 1: 7800

en el eje de las ordenadas).

140

e) En el esbozo de la gráfica anterior ¿tomaste en cuenta el capital? ¿En qué ayuda éste?

En ambos casos, debes justificar la respuesta.

f) ¿En cuál de los ejes ubicaste las unidades que se producen y en cuál los costos totales?

Explique el por qué de esa decisión.

A partir de la información numérica y gráfica que se tiene sobre la producción de

las maletas:

1. ¿Qué ocurre con el costo total cuando variamos la cantidad de maletas que se produce?

2. ¿Qué tanto varía el costo total por cada unidad producida? Justifique su respuesta.

3. Si por vacaciones en la empresa no laboran 15 días, entonces ¿cuál es el costo total si en

esos días no hubo producción, y en los otros 15 días que sí hubo, se produjeron 24 maletas?

4. ¿Cómo representarías algebraicamente el costo total para cualquier cantidad de maletas

producidas?

5. Sabiendo que se, entiende por ingreso a la cantidad de dinero que entra a una empresa por la

venta de un producto y por utilidad al dinero que queda, de la venta, luego de hacerle la

reducción de los costos totales de producción, entonces:

a. ¿Cómo representarías algebraicamente el ingreso para cualquier cantidad de maletas

producidas?

b. ¿Cómo representarías algebraicamente la utilidad mensual, por maleta, de la empresa

Oliver Cabell?

c. Si la meta de la empresa Oliver Cabell es obtener una utilidad mensual de $5000 por la

venta de las maletas entonces ¿cuántas debe vender?

141

Tabla 17. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Compras de

maletas por Internet”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de puntos en el plano cartesiano.

b. Resolución de ecuaciones lineales.

c. Concepto de función, variable dependiente e independiente.

d. Funciones con dominio discreto o continuo.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal.

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

lineal.

Otras habilidades

inmersas

(8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma y ax b .

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Contenido

matemático

Plano cartesiano

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Concepto de pendiente

Sistemas de

representación

Verbal, tabular, gráfica, algebraica

Situación/contexto Profesional

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 2 - El estudiante responde preguntas

donde la respuesta no es directa y amerita mayor argumentación.

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve un problema que

no ha sido estudiado, donde se ejecutan el cálculo de costos fijos,

costos de producción y costos totales.

c. Representar – Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a dos

o más representaciones.

Dificultades/

Errores

a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números

reales.

b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

142

c. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de

ecuaciones lineales.

d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión

algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con

base en él.

e. Error al expresar en forma gráfica una situación dada por no toma en

cuenta el dominio de la misma.

Complejidad Conexión.

Fuente: Elaboración propia

Tarea 2: Frecuencia cardiaca máxima2

En los últimos años ha tomado un gran auge, que los jóvenes asistan a gimnasios o salgan

a correr, tanto por salud como por estética, pero se vuelve indispensable conocer el

funcionamiento de nuestro cuerpo y sus limitaciones. Una de ellas tiene que ver con la

frecuencia cardíaca, para la cual existe un método que sirve para prescribir las intensidades de

entrenamiento y este se basa en la presunción de que la frecuencia cardíaca es una función lineal

de la intensidad del ejercicio (cuánto más alta sea la intensidad, mayor será la frecuencia

cardíaca).

En este sentido, también se habla de una frecuencia cardiaca máxima, que es aquella

observada en el momento en que la intensidad del ejercicio alcanza su punto más alto durante las

pruebas de esfuerzo. Esta se modela a través de la función ( ) 220h x x donde x representa la

edad de una persona, otras teorías argumentan que la fórmula anterior funciona para el caso de

los hombres, y que en el caso de las mujeres debe ser ( ) 200m x x , dado que las mujeres

bombean, en promedio, menos sangre por minuto que los hombres.

Con base en la información anterior y de acuerdo a las situaciones que se le presentan

a continuación dé respuesta a las interrogantes planteadas:

2 Las ecuaciones de esta tarea fueron tomadas de: Machado, F. y Denadai, B. (2011). Validez de las

Ecuaciones Predictivas de la Frecuencia Cardíaca Máxima para Niños y Adolescentes. Maringá,

Brasil: Universidad Estadual de Maringá.

143

1. Si Juan e Isabel son dos deportistas, de 26 y 25 años respectivamente, y salen a correr

todas las mañanas portando siempre un pulsímetro (instrumento que indica la frecuencia

cardiaca de una persona en un momento dado), entonces ¿cuánto debería marcar el

pulsímetro de Juan y el de Isabel mientras corren para saber que no está en riesgo su

salud; tomando en cuenta que, los educadores físicos recomiendan que nunca se debe

exceder la frecuencia cardiaca máxima, sino que se deben mantener pulsaciones entre el

60% y 70% de ella?

2. Asumiendo que usted actualmente es un deportista que sale a correr todas las mañanas,

realice una representación gráfica de cómo variará su frecuencia cardiaca máxima en el

transcurso de los años.

3. En los fútbolistas existen diversas técnicas para calcular, durante un partido, su

frecuencia cardiaca máxima, si la edad de un determinado fútbolista profesional es de

23 años y se recomienda que ellos mantengan pulsaciones entre 70% y 80% de su

frecuencia cardiaca máxima, entonces entre qué valores deben rondar dichas

pulsaciones para saber si el jugador está dando su máximo esfuerzo.

4. En un determinado gimnasio el entrenador de María sabe que ella practica diariamente

en la corredora eléctrica, él está elaborando un cuadro con los datos personales de cada

uno de sus clientes, desconoce la edad de María, pero tiene anotado que su frecuencia

cardíaca en los últimos días estuvo entre 108,6 y 126,7 latidos por minutos, sabiendo

que ella trata de mantener su frecuencia entre 60% y 70% de la frecuencia cardiaca

máxima, entonces, ¿cuál sería su edad?

144

Tabla 18. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Frecuencia

cardiaca máxima”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Cálculo de imágenes y preimágenes.

c. Cálculo de porcentajes.

d. Resolución de ecuaciones lineales.

e. Funciones con dominio discreto o continuo.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal.

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

lineal.

Otras habilidades

inmersas

a. Plantear y resolver problemas aplicando porcentajes y regla de tres

(6° año)

b. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita (8° año)

c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año)

Contenido

matemático

Imágenes y preimágenes

Plano cartesiano

Sistemas de

representación

Algebraica, tabular y gráfica

Situación/contexto Personal

Procesos

a. Representar– Grado 2 – Pasa de una representación algebraica a una

representación gráfica.

b. Comunicar – Grado 2 – Establece conclusiones mediante lenguaje

natural en torno a acciones, razonamientos y resultados que ha

desarrollado en la resolución de un problema.

c. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Establece conexiones

entre distintas áreas Matemática, o distintas formas de representación

o de comunicación.

Dificultades/

Errores

a. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

b. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de

ecuaciones lineales.

c. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una

parábola como su representación gráfica.

d. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el dominio de la misma.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

145

Tarea 3: Uso del servicio de transporte Uber

Juan fue a Nova Cinemas de Repretel con su novia a ver la película Liga de la Justicia,

salieron de la sala a las 8:00 pm, como saben que a esa hora es peligroso caminar por las

afueras del lugar, ya que pueden ser víctimas de un asalto, y que el sector donde viven se

ubica a 5 km, entonces deciden contractar un servicio de transporte, en este caso un Uber.

Ellos saben que, actualmente, para trasladarse en un Uber, el costo varía dependiendo

de si es un UberX o un UberXL (UberX pueden viajar 4 personas, mientras que en un

UberXL pueden viajar 6). Las tarifas toman en cuenta los kilómetros de viaje y el tiempo de

duración del mismo, en la siguiente tabla aparece el costo de cada rubro, para cada uno de los

tipos de Uber.

Tipo Tarifa base

(1km)

Costo por

minuto

Costo por km

adicional

UberX 400 40 240

UberXL 750 75 450

Fuente: Datos tomados de www.ubertarifa.com

a. Determina la tarifa, aproximada, que debe pagar Juan por dicho viaje. Considerando que,

por el congestionamiento vehicular de nuestro país, el automóvil podría durar alrededor

de 10 minutos para trasladarse desde Nova Cinemas hasta su casa de habitación

b. Si Juan va al cine acompañado de su novia y cuatro amigos más, y deciden pedir un Uber,

y dividirse de forma equitativa la tarifa del mismo, entonces ¿cuánto le corresponde pagar

a cada uno? (Considera las mimas condiciones de viaje del ítem anterior)

c. Plantee las representaciones algebraicas que sirven de modelo para determinar una

aproximación del costo a pagar por cualquier viaje; una para los UberX y otra para los

UberXL (omita el costo por el tiempo de duración del viaje).

d. ¿Será posible que por un mismo viaje un UberX y un UberXL cobren exactamente lo

mismo? Justifique su respuesta, y de ser afirmativa, ¿en qué casos sería?

146

e. Realice una representación gráfica que evidencie lo realizado en el punto anterior.

Tabla 19. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Uso de Uber”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Cálculo de imágenes.

c. Resolución de ecuaciones lineales.

d. Funciones con dominio discreto o continuo.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal.

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función lineal.

Otras habilidades

inmersas (8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma y ax b .

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Contenido

matemático

Imágenes

Ecuaciones lineales

Sistemas de

representación

Tabular, gráfica y algebraico

Situación/contexto Personal

Procesos a. Representar – Grado 2 – Pasa de una representación Matemática a

otra en la resolución de problemas.

b. Razonar y argumentar – Grado 1- Responde a preguntas donde está

presente de forma explícita toda la información necesaria para

encontrar la solución.

c. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde a preguntas donde la

respuesta no es directa y amerita mayor argumentación, dando

respuestas a qué puede o no puede pasar.

d. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Se utilizan algoritmos,

fórmulas, procedimientos, propiedades, o convenciones elementales

en la resolución del problema.

147

Dificultades/

Errores

a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas

en el conjunto de los números reales.

b. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números

reales.

c. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1

2 1

x xm

y y

ó 2 2

1 1

y xm

y x

.

d. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

e. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una

parábola como su representación gráfica.

f. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en

cuenta el dominio de la misma.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

Tarea 4: Televisión satelital Claro

Según la Encuesta Nacional de Hogares realizada por el Instituto Nacional de

Estadística y Censos (INEC) en el 2017, en Costa Rica, 69% de los hogares cuentan con

televisión por cable. Santiago es uno de los costarricenses que actualmente no cuenta con

dicho servicio, y se encuentra considerando la opción de adquirirlo, por lo cual visita el

sitio web de Claro Costa Rica y encuentra la siguiente información:

La empresa Claro S.A entre sus servicios ofrece televisión satelital, la tarifa base del paquete básico

en HD tiene un costo de ₡12 500 para un televisor y ₡3500 por cada televisor adicional.

Con base en la información anterior:

a. Realice una representación tabular sobre el costo a pagar dependiendo de la cantidad

de televisores que adquiera Santiago, él está pensando en un máximo de 4.

148

b. Escriba una función que estime el costo a pagar dependiendo de la cantidad de

televisores.

c. ¿Cuál es la pendiente de la función anterior y cómo se interpreta en este contexto?

d. Realice un esbozo de la gráfica que relacione el costo a pagar dependiendo de la

cantidad de televisores adquiridos.

Tabla 20. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Televisión satelital

Claro”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Resolución de ecuaciones lineales.

c. Funciones con dominio discreto o continuo.

d. Concepto de pendiente.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal.

b. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y

de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

Otras habilidades

inmersas

(8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma y ax b .

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Contenido

matemático

Concepto de pendiente

Ecuaciones lineales

Sistemas de

representación

Verbal, tabular, algebraica y gráfica

Situación/contexto Personal

Procesos a. Representar – Grado 2 – Involucra pasar de una representación

Matemática a otra en la resolución de problemas.

b. Razonar y argumentar – Grado 2 – Debe brindar información que no está dada de manera explícita en la resolución del problema.

c. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – En la resolución del

problema se involucra la utilización de algoritmos de resolución de

ecuaciones lineales y la fórmula de la pendiente.

149

Dificultades/

Errores

a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas

en el conjunto de los números reales.

b. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números

reales.

c. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones

lineales.

d. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1

2 1

x xm

y y

ó 2 2

1 1

y xm

y x

.

e. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

f. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una

parábola como su representación gráfica.

g. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en

cuenta el dominio de la misma.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

Tarea 5: En el gimnasio

Cerca de la casa de Mario existen dos gimnasios con matrícula única, el primero

tiene un costo de matrícula de ₡30 000 y una mensualidad

de ₡13 000, mientras que el segundo gimnasio cobra una

matrícula de ₡20 000 y una mensualidad de ₡15 000. De

acuerdo con esta información responda las siguientes

preguntas:

a. En los primeros seis meses, ¿en cuál gimnasio se paga menos dinero? Justifique su

respuesta.

b. En términos de costos ¿cuál y por qué es el gimnasio que usted le recomendaría a

Mario?

150

c. ¿Será posible que después de un determinado tiempo se haya hecho la misma inversión

de dinero en el pago de ambos gimnasios? De ser posible, ¿cuántos meses deben

transcurrir para que suceda dicha situación.

Tabla 21. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “En el gimnasio”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Cálculo de imágenes.

c. Resolución de ecuaciones lineales.

d. Análisis de gráficas funcionales.

e. Funciones con dominio discreto o continuo.

f. Concepto de pendiente.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal

b. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados

con ella.

c. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función lineal.

Otras habilidades

inmersas

(8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma y ax b .

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Contenido

matemático

Imágenes

Concepto de pendiente

Ecuaciones lineales

Sistemas de

representación

Verbal, gráfica y algebraica

Situación/contexto Personal

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde preguntas donde la

respuesta no es directa y amerita mayor grado de argumentación.

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Resuelve problemas que

involucra formulas y procedimientos aritméticos.

c. Representar– Grado 2 – Pasa de una representación Matemática a

otra en la resolución de problemas.

d. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones mediante lenguaje

natural en torno a acciones, razonamientos y resultados que ha

desarrollado en la resolución de un problema.

151

Dificultades/

Errores

a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números

reales (sumas y multiplicaciones erradas).

b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

c. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en

los números reales.

d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión

algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas

con base en él.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

Tarea 6: Venta de granizados

Juan hizo una inversión de ₡3 000 000 para iniciar un negocio de venta de

granizados. Los gastos semanales del negocio son de ₡150 000 en costos fijos y ₡550 por

cada granizado que se elabora. El precio de venta de cada granizado es de ₡1 275.

a. ¿Cuál es la representación algebraica de las funciones que modelan los gastos

semanales y los ingresos?

b. Realice la representación gráfica de la función que modela los gastos y los ingresos

en un mismo plano cartesiano.

c. ¿El negocio tiene pérdidas o ganancias si vende 207 granizados por semana?

Justifique su respuesta.

d. ¿Cuál es la representación algebraica de la función que modela las ganancias?

e. ¿Cuál es la cantidad mínima de granizados que debe vender para recuperar las

inversiones?

Tabla 22. Análisis de las variables involucradas en la resolución de de la tarea “Venta de

granizados”.

Variables

analizadas Aspectos determinados

Contenidos

matemáticos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Cálculo de preimágenes.

c. Resolución de ecuaciones lineales.

d. Funciones con dominio discreto o continuo.

152

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Representar gráficamente una función lineal.

b. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con

ella.

c. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

lineal.

Otras habilidades

inmersas

(8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente

en la forma y ax b .

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Contenido

matemático

Plano cartesiano

Imágenes

Ecuaciones lineales

Sistemas de

representación

Verbal , gráfica y algebraica

Situación/contexto Personal

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas directas

como ¿Cuántos? ¿Cuánto es? ¿Cuál?

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Se establecen conexiones

entre distintas formas de representación o de comunicación.

c. Representar – Grado 2 - Pasa de una representación Matemática a otra

en la resolución de problemas.

d. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones entorno a

razonamientos que ha desarrollado en la resolución de un problema.

Dificultades/

Errores

a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números

reales (sumas y multiplicaciones erradas).

b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

c. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en

los números reales.

d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión

algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con

base en él.

Complejidad Reflexión

Fuente: Elaboración propia

153

Tarea 7: Contrato de fontanero

Javier tiene una avería en el baño de su casa y necesita con

urgencia un fontanero. Nuria, una compañera de trabajo, le ha

dado la referencia de dos empresas de fontanería. Javier ha

decidido representar conjuntamente las tarifas de ambas

empresas para establecer comparaciones y esto es lo que ha

obtenido:

a. ¿Cuál es el precio por ninguna hora trabajada de ambas empresas? Interprete la

información obtenida.

b. ¿Cuál empresa cobra más por dos horas de contrato?

c. ¿Qué sucede durante cuatro horas de trabajo?

d. Como Javier prevé que la reparación de su baño dure unas 5 horas, se ha inclinado

por la empresa A. Indique a cuánto asciende su factura y razona si ha hecho la

elección más conveniente para su bolsillo.

Tabla 23. Análisis de las variables involucradas en la resolución de de la tarea “Contrato de

fontanero”

Variables

analizadas Aspectos determinados

Contenidos

previos

a. Cálculo de imágenes.

b. Resolución de ecuaciones lineales.

c. Análisis de gráficas funcionales.

d. Concepto de pendiente.

Empresa A

Empresa B

154

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con

ella.

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

lineal.

Otras habilidades

inmersas

a. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal (8° año).

b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).

Contenido

matemático

Imágenes

Ecuaciones lineales

Concepto de pendiente.

Sistemas de

representación

Verbal, gráfica y algebraica

Situación/contexto Profesional

Procesos

a. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve problemas que

impliquen establecer conexiones entre distintas formas de

representación.

b. Representar– Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a

otra.

c. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones mediante en torno a

razonamientos que ha desarrollado en la resolución de un problema.

Dificultades/

Errores

a. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer

2 1

2 1

x xm

y y

ó 2 2

1 1

y xm

y x

.

b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

c. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares ordenados

presentes en la misma.

d. Al dar expresiones de la forma ( )f a b no distingue cuál par

ordenado pertenece al gráfico funcional de f si ,a b o ,b a .

e. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la

monotonía de la función.

f. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la

intersección con el eje y de una gráfica.

Complejidad Reflexión

Fuente: Elaboración propia

155

Tarea 8: Competencia con Kahoot

Para propiciar el uso de herramientas tecnológicas, se propone el uso de la aplicación

Kahoot, para ello se ha diseñado el siguiente cuestionario con ítems de función lineal, el cual

se encuentra disponible en “My Kahoots” del sitio web https://kahoot.com/welcomeback/ con

el usuario funcionestfg@gmail.com y contraseña funcionestfg.

Pregunta 1

Considere las siguientes proposiciones para la función lineal f dada por

( ) 5 3f x x .

I.La gráfica de f interseca el eje “ x ”.

II. La pendiente de f es un número negativo.

De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Kahoot es una herramienta tecnológica basada en

preguntas y respuestas, donde el docente puede crear su

propio cuestionario, con la ventaja de que admite la opción

de incluir imágenes y vídeos.

Para su ejecución los estudiantes no necesitan tener

una cuenta en Kahoot, sino simplemente tener la aplicación

en sus dispositivos, la cual es gratuita y se encuentra

disponible para diversos sistemas operativos.

Dentro de la aplicación se les solicita a los

estudiantes la introducción de un código (Game PIN), el cual se genera con la creación del cuestionario. Al

ingresarlo los estudiantes tienen acceso al cuestionario diseñado, en él aparecerán los ítems creados por el

docente, con cuatro opciones de respuesta, representadas por diversas figuras geométricas; para responder,

deben seleccionar una de las figuras geométricas, cuando todos hayan respondido la aplicación brindará la

cantidad de estudiantes que seleccionó cada opción y además el docente podrá verificar quiénes fueron.

Adicionalmente, Kahoot ofrece la opción de que el docente pueda controlar el tiempo de duración de

cada pregunta.

Aplicación Tecnológica

156

Pregunta 2

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:

I. La gráfica de f es creciente.

II. La gráfica de f interseca el eje “ y ” en 0,1

De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 3

La pendiente de una función lineal es – . Si 0,6 pertenece al gráfico de esa función,

entonces, ¿en qué punto interseca la gráfica de f al eje de las abscisas?

A) 12,0

B) 2,0

C) 6,0

D) 3,0

Pregunta 4

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:

I. La función f es creciente.

II. Para todo 1x se cumple que ( ) 0f x

De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 5

El presupuesto “ p ” en dólares, que realiza un fontanero para cambiar la tubería en un

residencial, está dado por ( ) 18 126p m m , donde “ ” es el número de metros de

tubería. Si el presupuesto es de , entonces, ¿Cuántos metros de tubería se

presupuestaron?

A) 17

B) 31

C) 288

D) 7902

–

–

–

2

157

Pregunta 6 Considere el siguiente enunciado:

Una máquina se deprecia linealmente, ( ) 225 000 25000f x x , donde “ x ” representa los

años después de haber salido al mercado

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. Cada año la máquina se deprecia en más de ₡25 000.

II. A los cinco años de comprada la máquina vale ₡105 000.

De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 7

Considere el siguiente enunciado:

El salario total que percibe Andrea por mes está compuesto por una base de ₡800 000 más

₡5 000 de cada comisión por las ventas realizadas.

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. El salario mínimo que puede percibir Andrea en un mes es de ₡800 000.

II. Para que el salario total de Andrea en un mes sea de ₡1 000 000, la totalidad de

ventas realizadas, debe ser de 20 comisiones.

De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 8

El valor inicial de un terreno es ₡20 000 000 y su valor se incrementa por año en

₡2 000 000. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el valor del terreno sea

₡46 000 000?

A) 10

B) 13

C) 23

D) 32

158

Pregunta 9

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. 0b

II. 0m

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 10

La pendiente de una función es – 4. Si un punto de la representación gráfica de dicha

función es entonces ¿en cuál punto interseca la representación gráfica el eje de las

ordenadas?

A) 17,0

B) 0,17

C) 17

,04

D) 17

0,4

En la imagen adjunta presenta la forma en que se visualiza una de las preguntas, del

cuestionario diseñado, en la aplicación Kahoot.

159

Tabla 24. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia de

Kahoot”

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Resolución de ecuaciones lineales.

c. Cálculo de imágenes y preimágenes.

Habilidades

específicas de la

función lineal en

décimo año.

a. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y

de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

lineal.

Otras habilidades

inmersas

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma y ax b (8° año).

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función

lineal (8° año).

c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).

Contenido

matemático

Cálculo de imágenes y preimágenes

Concepto de pendiente

Intersección con los ejes coordenados

Sistemas de

representación

Verbal, gráfica, algebraica

Situación/contexto Profesional, Social, Científico y Matemático

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas directas

como ¿Cuántos? ¿Cuánto es? ¿Cuál?

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Resuelve problemas con

datos sencillos.

c. Comunicar – Grado 1 – Identifica expresiones Matemática

estudiadas similares a lo estudiado.

d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la información

codificada en distintas formas representación.

Dificultades/

Errores

a. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de

ecuaciones lineales

b. Al dar expresiones de la forma ( )f a b asume que , fb a G .

c. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la

intersección con el eje y de una gráfica.

d. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la monotonía

de la función.

Complejidad Reproducción

Fuente: Elaboración propia

160

Tarea 9: Jugando con un tablero

Se les propone a los estudiantes un “tablero” con la finalidad de que relacionen la

representación gráfica de cierta función lineal con el criterio de la misma, con lo cual se deben

enfrentar a la extracción de pares ordenados, al cálculo de la pendiente con dichos puntos y al

cálculo de b a partir de la representación gráfica de la función lineal, aunque idealmente se

espera que relacionen la monotonía de cada gráfica con el signo de la pendiente y el valor de

b con la intersección en el eje de las ordenadas.

Para la puesta en práctica de dicha tarea se propone al docente realizar un “tablero”

con dimensiones 80 cm por 100 cm, siguiendo el formato del anexo 8, o en dado caso

realizarlo a menor escala para propiciar un trabajo más individualizado.

Las fichas relacionadas con la representación algebraica de una función lineal se

exponen en la tabla 25, mientras que las fichas con la representación gráfica se muestran en

la tabla 26.

Tabla 25. Fichas de la representación algebraica.

4 7( )

3

xf x

( ) 2 4f x x

( ) 3f x x

( ) 2f x x

( ) 1f x x

( ) 1f x x

( )f x x

( )f x x

( ) 1 2f x x

1 2( )

2

xf x

3 4( )

5

xf x

( ) 2f x

( ) 23

xf x

( ) 2 2f x x

161

Tabla 26. Fichas de la representación gráfica.

162

Esta función se conoce como la identidad

163

164

Tabla 27. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Jugando con un

tablero”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Cálculo de imágenes.

c. Análisis de gráficas funcionales.

d. Representaciones de la función lineal

Habilidades específicas

de la función lineal en

décimo año.

Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las

ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o

algebraica.

Otras habilidades

inmersas

a. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una

función lineal (8° año).

b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).

Contenido matemático

Cálculo de imágenes y preimágenes

Ubicación de puntos en plano cartesiano

Fórmula de la pendiente

Intersección con los ejes coordenados

Sistemas de

representación

Gráfica y algebraica

Situación/contexto Matemático

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Identifica información

presente de forma explícita.

b. Representar – Grado 2 - Pasa de una representación

Matemática a otra (algebraica- gráfica)

Dificultades/ Errores

a. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer

2 1

2 1

x xm

y y

ó 2 2

1 1

y xm

y x

.

b. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares

ordenados presentes en la misma

c. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la

intersección con el eje y de una gráfica.

d. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la

monotonía de la función.

Complejidad Reproducción

Fuente: Elaboración propia

165

7.4. Secuenciación de las tareas de función lineal en etapas de aprendizaje

Para la secuenciación de las tareas tanto en esta sección, como para su homóloga en la

función cuadrática, se tomará en cuenta las indicaciones puntuales del currículo de Matemática

del MEP, las recomendaciones metodológicas dadas por los expertos involucrados en los

procesos de redacción y capacitación del Programa de Estudios, y el análisis realizado a cada una

de las tareas, el cual se basó en el Análisis de Contenido y el Análisis Cognitivo realizado

previamente.

En primera instancia, cabe resaltar que el MEP (2012) establece dos etapas para el

desarrollo de una lección, así como el estilo que debería imperar en ellas; esto fue abordado en el

marco teórico (sección 2.1), pero dada la relevancia del mismo en este aparatado, se retoman los

aspectos esenciales del mismo.

Las dos etapas que establece el MEP (2012) se pueden distinguir por los propósitos de

enseñanza y aprendizaje, en la etapa 1 se da el aprendizaje de conocimientos, mientras que en la

etapa 2 se da la movilización y aplicación de los conocimientos, así como un refuerzo y

ampliación del papel de los aprendizajes adquiridos; además, se debe tener presente que esta

última etapa puede realizarse en cualquier momento posterior, no necesariamente de forma

inmediata a la primera etapa.

Asimismo, el MEP (2012) propone un estilo de organización de la lección, donde se

promueve la introducción y el aprendizaje de los nuevos conocimientos siguiendo cuatro pasos o

momentos centrales:

1. Propuesta de un problema.

2. Trabajo estudiantil independiente.

3. Discusión interactiva y comunicativa.

4. Clausura o cierre.

Por otro lado, el Programa de Estudios de Matemática tiene una serie de indicaciones

puntuales, las cuales pueden ser tomadas en cuenta por el docente al momento de organizar su

lección, las cuales se detallan en la siguiente tabla.

166

Tabla 28. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación

con la función lineal.

Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación general

Básica y el Ciclo Diversificado.

Como una forma de enriquecer las indicaciones metodológicas anteriores, se agrega el

aporte obtenido a través de una entrevista con docentes e investigadores involucrados en la

redacción del Programa de Estudios de Matemática del MEP o con la capacitación del contenido

del mismo; a quienes, entre otras cosas, se les consultó ¿cuál es la manera idónea de desarrollar

una clase relacionada con la función lineal y cuadrática? A lo que los docentes señalan las

siguientes acciones

1. No se deben evaluar habilidades separadas, ya que el tiempo de clase no alcanzaría, es

fundamental la integración, en un solo problema se pueden desarrollar dos o tres

habilidades (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).

Conocimiento Indicaciones puntuales

Función

lineal

1. Se puede comenzar implementando un problema que involucre función

lineal como repaso de lo trabajado en 8° año o función cuadrática para

repasar lo visto en 9° año.

2. Mencionar que la función identidad, expresada algebraicamente por

( )f x x , es un caso particular de la función lineal. Esta función será muy

útil en la definición de la inversa de una función.

3. En la etapa de cierre desarrolle los conceptos de pendiente de una recta,

intersección con el eje de las abscisas e intersección con el eje de las

ordenadas. Además, se puede solicitar a cada estudiante que analice el

problema anterior desde una perspectiva funcional, determinando su

dominio, ceros, signo de la función, ámbito, inyectividad, crecimiento o

decrecimiento, estableciendo conexiones con el problema y los elementos

anteriores.

4. Puede proponerse que se determine la pendiente y la intersección con el

eje de las ordenadas de una determinada recta representada por el criterio

y mx b , dados dos puntos de ella.

5. Se recomienda usar software matemático para conjeturar acerca de la

influencia de los parámetros a, b, en la representación gráfica de

y ax b .

167

2. Tomar en cuenta la diversidad de representaciones que tiene una función, siendo necesario

el comprender y hacer cambios de una representación a otra de manera eficaz (M.

Zumbado, comunicación personal, 8 de diciembre, 2016).

3. No se debe desviar en hacer solo operaciones algebraicas, aritméticas, y no entender lo que

significa funciones lineales y cuadráticas (M. Zumbado, comunicación personal, 8 de

diciembre, 2016).

4. Los estudiantes tienen que saber cuáles son las principales aplicaciones de la función lineal

y cuadrática (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).

5. Para hacer uso de la historia primero se debe responder a las siguientes interrogantes,

¿Cómo surgió?, ¿Qué necesitaban? (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero,

2017).

6. Incluir problemas de reproducción, conexión y reflexión, además sugiere distribuirlos de la

siguiente manera 40% en ejercicios de reproducción, 30% de conexión y 30% de reflexión

(E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).

Al consultarles a los entrevistados sobre ¿qué herramientas tecnológicas podían utilizarse

y cómo hacerlo? Mencionaron lo siguiente:

1. Debe utilizarse para representar las gráficas de una función y analizar sus respectivas

variaciones en relación con los parámetros (R. Poveda, comunicación personal, 29 de

setiembre, 2016).

2. Se debe realizar una guía con preguntas guiadas con el fin de orientar al estudiante (M.

Zumbado, comunicación personal, 8 de diciembre, 2016).

3. Algunas herramientas que se pueden utilizar son Geogebra, el cual es gratuito, fácil de

instalar y tiene muchas aplicaciones, además Winplot, que es un buen graficador, es muy

ágil. Para el caso particular de las funciones cuadráticas se puede utilizar el software

168

Tracker que sirve para analizar vídeos de movimientos parabólicos (E. De Faria,

comunicación personal, 26 de enero, 2017).

7.4.1 Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad

En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios, en esta sección se

dividen las tareas en dos etapas de clase y se añaden las habilidades y complejidad que propician

cada una de ellas; además, se consideró el hecho de que según Ruiz (2017) es poco probable que

los problemas del nivel de complejidad de reproducción permitan la construcción de

aprendizajes y que en su lugar es conveniente para esta acción usar problemas de conexión y

reflexión.

Tabla 29. Organización de las tareas por momento de clase.

Momento de clase Tarea Habilidades Nivel de complejidad

Etapa 1

Tarea 1: “Compras de

maletas por Internet”

Tarea 3: “Uso del

Servicio de transporte

Uber”

HL 1

HL 4

Conexión

Etapa 2

Tarea 2: “Frecuencia

cardiaca máxima”

Tarea 4: “Televisión

satelital Claro”

Tarea 5: “En el

gimnasio”

HL 1

HL 4

HL 3

Conexión

Tarea 7: “Contrato de

fontanero”

Tarea 6: “Venta de

granizados”

HL1, HL2, HL3, HL

4

HL1, HL3 y HL 4

Reflexión

Tarea 9: “Jugando con

un tablero”

Tarea 8: “Competencia

con Kahoot”

HL 2

HL1, HL2, HL3,

HL4

Reproducción

Reproducción

Fuente: Elaboración propia

169

7.4.2 Descripción de las etapas de clase

Se presenta en este apartado los recursos y materiales necesarios y la distribución de

lecciones a emplear en la ejecución de las tareas diseñadas, para este último aspecto, se tomó

como referencia la distribución propuesta, en conjunto, por el MEP y Proyecto Reforma de la

Educación Matemática en Costa Rica (2014) en el “Documento de integración de habilidades

para Décimo año”, en el cual se sugiere que el estudio de esta temática se realice en diez

lecciones de cuarenta minutos, de las cuales se dediquen tres a la primera etapa; sin embargo,

en este trabajo se dedicarán cuatro lecciones a la primera etapa, esto debido a la extensión y

riqueza de las tareas propuestas.

Tabla 30. Planificación de la etapa 1 de función lineal

Etapa 1: Aprendizaje de

conocimientos

Tiempo estimado: 4 lecciones

Contenidos

matemáticos

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Concepto de pendiente

Cálculo de imágenes y preimágenes

Ecuaciones lineales

Relación con los

conocimientos

previos

Es la primera etapa en relación con la función lineal. Se tiene como

conocimiento previo, lo abordado en octavo año, específicamente la

habilidad de identificar y representar relaciones de la forma y ax b

, y de décimo año: el concepto de función y de gráfica de una función,

elementos para el análisis de una función (dominio, imagen,

preimagen, ámbito, inyectividad, crecimiento, decrecimiento, ceros,

máximo y mínimo), y el análisis de gráficas funcionales.

Tareas asociadas Tareas 1 y 3

Secuencia de las

tareas

Primero la tarea 1 y luego la 3.

Interacción

En parejas estudiante con estudiante y el docente como mediador. Se

sugiere que sea el docente quien forme las parejas, con el fin de que

no queden estudiantes excluidos.

Momentos de clase

En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios de

Matemática, la organización de la lección estará dividida en cuatro

momentos centrales. En el primero de ellos se propondrá a los

estudiantes la resolución de la tarea 1, posteriormente se dará un espacio para el trabajo estudiantil independiente, y luego se realizará

una discusión interactiva de las respuestas obtenidas por las

diferentes parejas. Estos tres momentos se realizarán nuevamente

pero con la tarea 2.

Las tareas seleccionadas tienen como objetivo mostrar que el

dominio de la función lineal puede ser discreto o continuo. Por lo que

170

como momento final, se debe hacer una clausura del conocimiento,

definiendo la función lineal, y realizando el análisis de la misma.

Se sugiere utilizar la siguiente definición: “Sea :f D una

función, f es una función lineal si existen, m , b tal que

( )f x mx b . El valor de m se llama pendiente” (Araya, Murillo y

Soto, 2009, p. 128).

Fuente: Elaboración propia

La segunda etapa se ha divido en seis lecciones, las cuales se presentan a

continuación dividas en grupos de dos lecciones.

Tabla 31. Planificación de la segunda etapa de la función lineal.

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Cálculo de imágenes y preimágenes

Ecuaciones lineales

Intersección con los ejes cartesianos

Fórmula de la pendiente

Ecuación de la recta

Enmarque de la etapa en

relación con etapas anteriores

Es la segunda etapa y en esta se espera que se apliquen los

conocimientos adquiridos en la etapa 1 en la resolución de

ejercicios y problemas de diversos contextos y que hagan

relaciones con otras áreas, como la de Números al usar

porcentajes, o la de Relaciones y Álgebra al usar ecuaciones

lineales.

Tareas asociadas Tareas 2, 4, y 5

Secuencia de las tareas 2, 4, 5

Interacción En parejas estudiante con estudiante y el docente como

mediador.

Momentos de clase

En concordancia con lo establecido en el Programa de

Estudios de Matemática, la etapa 2 trata de que se trabajen de

forma mecánica algunos de los procedimientos aprendidos,

que amplíen su dominio en las formas de representación de la

función y de la fórmula de la pendiente así como en su

interpretación en términos de la situación dada.

Se espera entonces que el docente proponga a los estudiantes

las tareas seleccionadas, y que realice una supervisión

constante de los procesos de análisis y de resolución de las

parejas. Al finalizar las tareas el docente debe seleccionar al

azar a estudiantes para que expliquen el proceso de resolución

171

de cada una de ellas.

Además es importante complementar con la resolución de

ejercicios algorítmicos de los que aparecen en los libros de

texto, sin caer en repeticiones excesivas.

Fuente: Elaboración propia

Tabla 32. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de la función lineal.

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Cálculo de imágenes y preimágenes

Ecuaciones lineales

Intersección con los ejes cartesianos

Fórmula de la pendiente

Ecuación de la recta

Enmarque de la etapa en

relación con etapas anteriores

En esta etapa se pretende aumentar el nivel de razonamiento

de las tareas de la etapa dos, ya que se proponen tareas que

requieren de un mayor nivel de análisis de los conceptos de

función lineal involucrados, así como mayor nivel en los

procesos matemáticos inmersos.

Tareas asociadas Tareas 6, 7 y 9

Secuencia de las tareas 7, 6, 9

Materiales necesarios

Tablero realizado en cartulina

Fichas con criterios de funciones y otras con

representaciones gráficas

Presentación Power Point con las representaciones gráficas

Computadora y proyector

Interacción

En la resolución de las tareas 6 y 7: Tríos de estudiantes y

docente como mediador.

En la resolución de la tarea 9: La cantidad de subgrupos

dependerán de la cantidad de fichas con que disponga el

docente. En esta parte se requiere para su revisión de una

presentación Power Point que le permita a los estudiantes

seleccionados, explicar a los compañeros el por qué y con cuál

criterio la relacionaron; de forma alternativa si no se cuenta

con el equipo necesario se pueden imprimir y ampliar las

gráficas para colocar en la pizarra al momento de revisión.

Momentos de clase

Se espera que al finalizar las tareas 6 y 7 el docente seleccione

al azar a estudiantes (distintos de los seleccionados en la etapa

dos) y que expliquen el proceso de resolución de cada una de

ellas.

Enmarque con la próxima etapa Solicitar a los estudiantes traer instalada la aplicación Kahoot

en los dispositivos móviles.

Fuente: Elaboración propia

172

Tabla 33. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de la función lineal.

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Cálculo de imágenes y preimágenes

Ecuaciones lineales

Intersección con los ejes cartesianos

Fórmula de la pendiente

Ecuación de la recta

Enmarque de la etapa en

relación con etapas anteriores

Es la última fase relacionada con la función lineal y tiene por

objetivo medir los conocimientos adquiridos

Tareas asociadas Tarea 8

Materiales necesarios

Aplicación Kahoot

Computadora y proyector

Interacción Se sugiere grupos de máximo 4 estudiantes

Momentos de clase

En primera instancia el docente debe sugerir la formación de

cuartetos. En el que uno de los estudiantes debe tener un

dispositivo móvil, con acceso a internet y con la aplicación

Kahoot.

Posteriormente, el docente debe proyectar las preguntas

formuladas en la tarea “Competencia con Kahoot” y dará el

tiempo que considere necesario para la resolución de cada una de

ellas, los estudiantes responderán usando el dispositivo móvil. Al

finalizar cada pregunta uno de los grupos explicará el proceso de

resolución.

Al concluir la actividad, se espera que el docente, a través de

preguntas dirigidas, realice un esquema resumen de los

conceptos, procedimientos y aplicaciones de la función lineal.

Así como la aclaración final de dudas que hayan surgido en el

proceso.

Fuente: Elaboración propia

173

7.5. Análisis de las tareas que fueron diseñadas o seleccionadas en relación con la función

cuadrática

En este apartado se presentan las tareas relacionadas con la función cuadrática, las cuales

fueron elegidas para cumplir con los criterios de selección establecidos en la sección 7.1 de este

capítulo, dentro de las cuales están el estar acorde con el Programa de Estudios de Matemática,

abarcar contenidos de la estructura conceptual, propiciar la utilización de diferentes sistemas de

representación, entre otros. Para cada una de ellas, se presenta el análisis de las variables

involucradas en las mismas (un ejemplo detallado de dicho análisis se encuentra en el anexo 6),

lo cual permitirá, junto con otros aspectos, establecer en la sección siguiente el orden que tendrán

en el Material Didáctico.

Tarea 1: Explorando con Geogebra

Se presenta una actividad con el uso de GeoGebra para la función :f con

2( )f x ax bx c , la misma tiene como finalidad determinar de qué manera cambia la

representación gráfica de dicha función conforme se varían los valores de los parámetros a , b y

c ; para lo cual, se utilizará la opción de “deslizadores” que ofrece el software, tal como se

muestra en la siguiente imagen, con el objetivo de variar de una forma más ágil los valores de los

parámetros.

174

I Parte. Análisis de la influencia de los parámetros a , b y c en la

representación gráfica de las funciones cuadráticas

Con ayuda de un archivo de GeoGebra y creando deslizadores para cada uno de los

parámetros de la función responda los siguientes ítems:

1. Explique qué sucede con la representación gráfica cuando 0a , y se varían los

valores de los parámetros b y c .

2. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia arriba.

¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?

3. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia abajo.

¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?

4. ¿Qué parámetro(s) influye(n) en el desplazamiento horizontal de la parábola? ¿Es el

mismo del desplazamiento vertical? Justifique su respuesta.

5. Explique qué ocurre con la parábola cuando se varían los valores de a , b y c .

6. Varíe los parámetros y determine la cantidad de veces que puede la parábola

intersecar al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.

7. ¿Siempre interseca al eje de las abscisas? ¿Siempre interseca al eje de ordenadas?

Justifique su respuesta.

II Parte. Análisis de la influencia en la representación gráfica, de una función

cuadrática, de los parámetros a , b y c . Un poco más allá de lo planteado en el

Programa de Estudios de Matemática del MEP

Esta actividad tiene el objetivo de ampliar los aspectos conjeturados en la I parte;

está dirigida a aquellos estudiantes que logren finalizar de forma anticipada la actividad

anterior, o a los docentes que en sus instituciones educativas requieren un análisis mayor

por parte de los estudiantes.

1. En el software fije el valor de b en cero, y varíe los parámetros a y c .

a. Explique ¿qué sucede con la gráfica, en este caso, para los distintos valores de b y c ?

b. ¿Dónde se ubica el eje de simetría? ¿Está siempre en la misma posición? Justifique

su respuesta

175

2. Grafique, con Geogebra, las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano

:f con 2( ) 3 9 3f x x x y :g con

2( ) 3 1g x x x .

a. ¿Cuáles son los puntos de intersección de ambas funciones con el eje de las

abscisas? ¿Son los mismos o son diferentes?

b. Justifique a qué se debe lo que sucedió en la parte a.

c. ¿Lo que pasó en los puntos anteriores se repite con el eje de las ordenadas? ¿A qué

se debe este hecho?

d. Determine el vértice de ambas funciones ¿es el mismo? Justifique su respuesta

detallando el trasfondo de ella.

3. Considere las siguientes funciones, con dominio y codominio .

2

( ) 1 1f x x

( ) 1 2g x x x

2

( ) 2 4m x x

2( ) 2 2h x x x 2( ) 2n x x x 2( ) 4j x x x

a. Compare gráfica y algebraicamente los siguientes pares de funciones f y h , g y

n , m y j (refiérase a sus semejanzas y diferencias, puede utilizar aspectos como

el ámbito, la intersección con los ejes cartesianos, sus intervalos de monotonía,

intervalos donde la función es positiva, negativa, así como el máximo intervalo

donde la función es inyectiva, etc).

b. Para el caso de las funciones que se representen algebraicamente como f , g o m ,

conjeture de qué manera influyen los valores numéricos presentes en su criterio, en

la representación gráfica de las mismas.

176

Tabla 34. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Explorando con

Geogebra”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos a. Análisis de gráficas funcionales

b. Concepto de concavidad

c. Concepto de eje de simetría

d. Definición de función cuadrática

Habilidades específicas de

la función cuadrática en

décimo año

Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática

:f con2( )f x ax bx c , 0a .

Otras habilidades inmersas

(9° año)

Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de 2y ax bx c utilizando software.

Contenido matemático a. Intersección con el eje de las abscisas y de las ordenadas.

b. Relación entre los distintos parámetros de la representación

algebraica y la representación gráfica.

c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la

representación gráfica.

d. Eje de simetría.

e. Representación algebraica estándar, producto de binomios,

criterio del vértice.

Sistemas de

representación de la

función cuadrática

Algebraica 2( )f x ax bx c ,

2( )f x a x h k y

1 2( )f x a x x x x .

Gráfica.

Situación/contexto Matemático

Procesos a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Requiere de

razonamientos donde se señalen cuáles son los aspectos

esenciales de la situación y cómo están relacionados los

diferentes objetos matemáticos que participan.

b. Comunicar – Grado 3 – Expresar ideas, acciones, argumentos

y conclusiones usando lenguaje matemático y precisión

Matemática.

c. Representar – Grado2 – Interpretar y razonar sobre la

información codificada en una representación Matemática

dada.

Dificultades/ Errores a. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

b. No distingue qué determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

c. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función

cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de

monotonía o lo realiza de forma incorrecta.

d. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.

Complejidad Reflexión

Fuente: Elaboración propia

177

Tarea 2: Competencia con Plickers

Plickers es una herramienta

tecnológica que relaciona una página

web con una aplicación para celular,

entre las ventajas que tiene es que la

aplicación es gratuita, y los estudiantes

no necesitan ningún dispositivo, sino

que lo que requieren es una tarjeta de

papel, en dicha tarjeta se distribuyen

las opciones de respuesta A, B, C y D

en cada uno de los lados (ver imagen del lado derecho).

El docente elabora el cuestionario a utilizar en la página

web e indica cuál es la respuesta a cada ítem planteado, luego

debe registrar en el programa el nombre de cada estudiante, en

caso de realizar la actividad en forma individual, o de los

subgrupos.

El programa generará tarjetas numeradas desde 1 hasta n,

donde n es la cantidad de estudiantes o subgrupos que ingresó el docente, las mismas deberán ser impresas (se

diferencian, únicamente, por el número asignado). Para ejecutar la herramienta en el aula, el docente proyecta

el cuestionario, cuando los estudiantes tienen la respuesta, deben levantar la ficha de tal manera que el lado

superior contenga la opción por la que se inclinaron (A, B, C o D), el docente con la aplicación del celular

escanea las respuestas de los estudiantes, esto se puede hacer desde lejos, no es necesario acercarse a cada uno

de ellos (ver imagen adjunta). Conforme se vayan escaneando las respuestas irá apareciendo en pantalla quién

ya contestó, así como el conteo de cada opción seleccionada; si el docente lo dispone podría aparecer qué

seleccionó cada estudiante.

Aplicación Tecnológica

178

Para propiciar el uso de herramientas tecnológicas en el aula, se propone el uso de la

aplicación Plickers (a través de la opción “Live View”), para ello se ha diseñado el siguiente

cuestionario, con ítems de los que usualmente aparecen en las pruebas estandarizadas de

bachillerato, el mismo se encuentra también digitalizado y adaptado al formato de Plickers en

el sitio web https://www.plickers.com con el usuario funcionestfg@gmail.com y contraseña

funcionestfg.

Pregunta 1

La siguiente tabla contiene algunos valores de la función cuadrática f :

De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. f es cóncava hacia abajo.

II. f es decreciente en 0,2 .

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 2

La utilidad “U ” por la venta de cierto tipo de producto está dada por

2( ) 140 240U p p p , donde “ p ” representa el precio unitario en dólares de ese

producto. ¿Cuál debe ser el precio, en dólares, del producto en cuestión para obtener la

utilidad máxima?

A) 70

B) 280

C) 2 500

D) 4 660

x –2 –1 0 1 2

( )f x 5 8 9 8 5

179

Pregunta 3

Si f es una función, tal que : 0,10f con 2( ) 10f x x x entonces ¿cuál es el

ámbito de f ?

A) 0

B) 0,10

C) 25,0

D) 25,5

Pregunta 4

Si f es una función cuadrática, tal que (0) 8f , y el vértice de la gráfica de f es

3, 7 entonces ¿cuál de los siguientes elementos está en el ámbito de f ?

A) – 3

B) – 8

C) – 10

D) – 12

Pregunta 5

Si la función f está dada por 2( ) 2 7 3f x x x , entonces ¿cuál de las siguientes

opciones corresponde al eje de simetría de la gráfica de f ?

A) 7

4x

B) 7

4y

C) 25

8x

D) 25

8y

Pregunta 6

Si f es una función cuadrática dada por 2( ) 4 5f x ax x y 1x es el eje de simetría

de la gráfica de f , entonces ¿cuál es la imagen de – 2 en f ?

A) 7

B) 11

C) – 5

D) – 8

180

Pregunta 7

Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f dada por

2( ) 2 3f x x x .

I. La gráfica f es cóncava hacia abajo.

II. El eje de simetría de la gráfica de f es 1

4

.

De ellas, ¿cuál o cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 8

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:

I. 0

II. El ámbito de f es .

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Pregunta 9

Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f , dada por2( ) 3 2 4f x x x

I. El eje de simetría es 2.

II. La gráfica de f interseca al eje “ ” en 0,4

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

181

Pregunta 10

De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:

I. El dominio de f es 3,3 .

II. 3,0 pertenece al gráfico de f .

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la I

D) Solo la II

Tabla 35. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia con

Plickers”

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Ubicación de pares ordenados.

b. Resolución de ecuaciones cuadráticas.

c. Cálculo de imágenes.

d. Concepto de eje de simetría y concavidad.

e. Definición de función cuadrática, e influencia de los parámetros en

la representación gráfica.

Habilidades

específicas de la

función cuadrática

en décimo año

a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática

:f D con2( )f x ax bx c , 0a .

Otras habilidades

inmersas

(9° año)

a. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.

b. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado

con una incógnita.

Contenido

matemático

a. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”.

b. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje

“y”, en la representación gráfica.

c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la representación

gráfica.

d. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una

representación gráfica.

e. Identifica la concavidad de la función dado el criterio.

f. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función.

182

Sistemas de

representación

Tabular, algebraica y gráfica

Situación/contexto Matemático

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Requiere la aplicación de

procedimientos rutinarios.

b. Razonar y argumentar – Grado 2- Brinda las soluciones a los problemas

mediante distintas representaciones.

c. Representar-Grado 2- Interpreta y razona sobre información codificada

en representaciones Matemática.

Dificultades/

Errores

a. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

b. No distingue qué determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

c. Dada la representación gráfica de una función cuadrática, determina

de forma incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.

d. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones de la función con el eje x .

e. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.

f. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función

cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de monotonía

o lo realiza de forma incorrecta.

Complejidad Reproducción

Fuente: Elaboración propia

Tarea 3: Distancia de frenado3

Cuando un conductor de automóvil, que viaja a cierta velocidad, mira un obstáculo

en la carretera, transcurre cierto intervalo de tiempo para que el conductor presione los

frenos, lo que se conoce como tiempo de reacción y otro intervalo de tiempo para que el

vehículo se detenga (tiempo de frenado).

3 Esta tarea fue adaptada de Zumbado, M. (2013). Ideas para desarrollar la habilidad específica de analizar

gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio 2( )f x ax bx c mediante el enfoque de resolución

de problemas en décimo año.

183

Entre los intervalos de tiempo mencionados el vehículo recorre siempre cierta

distancia, la cual depende de la velocidad con la que se transite. El siguiente cuadro

presenta la velocidad en que transita un automóvil y la distancia total recorrida desde el

instante en que el conductor mira el obstáculo y el automóvil se detiene.

Velocidad (km/h) Distancia total recorrida (m)

10 2,44

20 5,88

30 10,24

40 15,61

50 22,01

60 29,34

70 37,71

80 47

90 57

100 69

110 81

120 94

130 106

140 123

150 139

Con base en la información anterior responda las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la velocidad máxima, que un vehículo debe

mantener, para no chocar un vehículo del frente que

se detenga de repente? Tome en cuenta que, las

leyes costarricenses obligan que un vehículo pesado

se mantenga a una distancia mayor a 50 m del

vehículo que va adelante y suponga que los

conductores siempre aplican esta ley.

184

b. Un conductor de un automóvil viaja a una velocidad de 60 km/h cuando de repente

observa que un niño que empieza a cruzar la carretera, a una distancia aproximada

de 50 m del automóvil que él conduce.

¿Atropellará el automóvil al niño? ¿Sucederá lo mismo si el automóvil viaja a

100 km/h? Justifique su respuesta.

c. Construya, utilizando una hoja de cálculo, una representación gráfica de la distancia

total recorrida por un automóvil en función de la velocidad (utilice la herramienta

gráfico de dispersión).

d. Tomando en cuenta la “forma” de la representación gráfica del punto anterior, use la

herramienta línea de ajuste y determine un modelo algebraico que describa la

distancia total recorrida por un automóvil en función de la velocidad.

e. Si un conductor viaja a 115 km/h y observa un obstáculo al frente, estime la

distancia que su vehículo recorre hasta detenerse.

f. Si un conductor se encuentra a 50 m de distancia de un semáforo y observa que éste

acaba de ponerse en rojo, y que no existen obstáculos adelante ¿a qué velocidad

máxima puede viajar para lograr detenerse al llegar al semáforo? Utilice el modelo

obtenido en la pregunta d.

185

Tabla 36. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Distancia de

frenado”

Variables

analizadas Aspectos determinados

Conocimientos

previos

a. Lectura de información registrada de forma tabular.

b. Resolución de ecuaciones lineales.

c. Cálculo de promedio entre dos números.

d. Cálculo de preimágenes.

e. Resolución de ecuaciones cuadráticas.

Habilidades

específicas de la

función cuadrática

en décimo año

Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función

cuadrática.

Otras habilidades

inmersas

(9° año)

a. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.

b. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado

con una incógnita.

c. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es 2( )f x ax bx c .

Contenido

matemático

Ecuaciones cuadráticas

Modelación de problemas a través de una función cuadrática

Sistemas de

representación

Tabular, gráfica y algebraica

Situación/contexto Científico

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde preguntas donde la

respuesta no es directa y amerita mayor argumentación.

b. Plantear y resolver problemas – Grado 2 - Establece conexiones

entre distintas áreas o formas de representaciones.

c. Representar – Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a

otra en la resolución de problemas.

Dificultades/

Errores

a. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.

b. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.

c. Error algebraico al resolver ecuaciones cuadráticas.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

186

Tarea 4: Colocando cerámica

En el jardín de una casa se desea colocar una decoración, similar a la de la imagen

adjunta, sobre una sección triangular con dos lados de medidas 1,5m y el tercer lado de

longitud 2,5 m. Se pretende construir sobre la sección triangular un prisma rectangular, y de

concreto, de un metro de altura, de manera que uno de sus lados se sitúe en el lado mayor

de la sección triangular.

1. Determine la fórmula que modela el área de la base del prisma

rectangular de la decoración.

2. Como parte de la decoración, al prisma, se le colocará

cerámica; determina el costo a pagar por la cantidad de

cerámica a comprar, si se desea que la base del prisma tenga la

mayor área posible (realice la estimación con el precio que

ofrecen en la página web de El Lagar).

Tabla 37. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Colocando

cerámica”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Teorema de Pitágoras.

b. Criterios de semejanza de triángulos.

c. Fórmula para el cálculo del vértice de la función cuadrática.

Habilidades específicas de

la función cuadrática en

décimo año.

a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con

criterio 2( )f x ax bx c , 0a .

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando

la función cuadrática.

187

Otras habilidades inmersas

8° año

a. Aplicar los criterios de semejanza: lado-lado-lado, lado-

ángulo-lado y ángulo - ángulo – ángulo, para determinar y

probar la semejanza de triángulos.

9° año

b. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas

en diferentes contextos.

c. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas

algebraicamente en la forma 2y ax bx c .

d. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo

grado con una incógnita.

Contenido matemático

Interpretación del vértice de la función cuadrática.

Modelación de problemas a través de una función cuadrática.

Sistemas de representación Algebraico

Situación/contexto Profesional

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Realiza razonamientos

matemáticos donde muestra que comprende la amplitud y

los límites de los objetos matemáticos usados y de los

procedimientos desarrollados

b. Plantear y resolver problemas – Grado 2 - Establece

conexiones entre distintas áreas Matemática.

c. Comunicar – Grado 3 – Expresa ideas, acciones,

argumentos y conclusiones usando lenguaje matemático y

precisión Matemática.

d. Conectar – Grado 3 - Usa la conexión entre conceptos o

procedimientos matemáticos y una situación de contexto

real para resolver problemas no estudiados y relativamente

complejos.

Dificultades/ Errores

a. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.

b. Errores de factorización.

c. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

d. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.

Complejidad Reflexión

Fuente: Elaboración propia

188

Tarea 5: Atletismo moderno 4

El lanzamiento de peso o lanzamiento de bola bala es una prueba de atletismo

moderno que consiste en lanzar una bola de acero a la máxima distancia posible, forma

parte de los juegos olímpicos. Juan es un atleta de los juegos olímpicos y su lanzamiento de

bala está modelado usando la ecuación 2( ) 0,024 5h x x x donde es la distancia

recorrida (en pies) y ( )h x la altura de la pelota lanzada. La siguiente ilustración

corresponde a una representación gráfica de esta situación.

De acuerdo con la información anterior, responde los siguientes

cuestionamientos:

a. ¿Cuál es la altura de la bola respecto al suelo en el momento en que es lanzada?

b. ¿Cuál es la distancia que recorrió la bola? Justifique su respuesta.

c. Si el récord de lanzamiento es de 50 pies, ¿habrá el lanzamiento anterior superado

el récord? Justifique la respuesta.

d. ¿Cuántos metros avanza la bola mientras va ascendiendo y cuántos metros avanza

mientras va descendiendo?

4 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las

funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-

content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf

189

Tabla 38. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Atletismo

moderno”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Intersección con los ejes cartesianos.

b. Ecuaciones cuadráticas.

c. Fórmula del vértice de la función cuadrática.

d. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Habilidades específicas

de la función cuadrática

en décimo año

a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con

criterio 2( )f x ax bx c , 0a .

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función cuadrática.

Otras habilidades

inmersas

a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo

grado con una incógnita (9° año).

b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).

Contenido matemático

Eje de simetría

Máximo y mínimo de la función

Intersección con el eje de las abscisas

Análisis de la gráfica de una función cuadrática

Sistemas de

representación

Gráfica y algebraica

Situación/contexto Científica

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Identifica información

Matemática que no está dada de manera explícita en una

situación Matemática o de contexto real.

b. Razonar y argumentar – Grado 3– Desarrolla argumentos que

utilizan integradamente distintos conceptos matemáticos para

resolver un problema.

c. Comunicar – Grado 2 – Interpreta o sigue una secuencia de

razonamientos matemáticos, que usan conceptos o

procedimientos matemáticos estudiados (expresados de manera

oral o escrita) en la resolución de un problema).

Dificultades/ Errores

a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la

fórmula de las coordenadas del vértice.

b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

c. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones de la función con el eje x .

d. No distingue qué determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

e. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función

cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de

monotonía o lo realiza de forma incorrecta.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

190

Tarea 6: Haciendo malabarismo5

Un malabarista, lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de

ellas se desplaza de forma parabólica, como se muestra en la imagen

adjunta, además, la gráfica corresponde a una función cuadrática con

criterio de asociación:

2( ) 12 96 100f x x x

Donde ( )f x indica la altura (en centímetros) alcanzada por las

pelotas al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento.

a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada una de las pelotas?

b. ¿Cuántos segundos deben transcurrir para que alcance la altura máxima?

c. Si cada pelota tiene una diferencia de dos segundos, determine la altura en la que se

encuentra cada pelota al cabo de 1 segundo.

d. Estime cuál es el tiempo que dura una pelota, después de lanzada, en el aire.

Tabla 39. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Haciendo

malabarismo”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Cálculo de imágenes.

b. Fórmula del vértice de la función cuadrática.

c. Ecuación Cuadrática.

d. Cálculo de imágenes y preimágenes.

Habilidades específicas de

la función cuadrática en

décimo año

Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función cuadrática.

Otras habilidades inmersas

9° año

a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo

grado con una incógnita.

10° año

b. Analizar una función a partir de sus representaciones.

5 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las

funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-

content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf

191

Contenido matemático

Cálculo de imágenes en una función cuadrática

Eje de simetría

Intersección con el eje de las abscisas

Sistemas de representación Algebraico

Situación/contexto Científico

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas

donde está presente de forma explícita toda la información

necesaria para encontrar la solución.

b. Plantear y resolver problemas – Grado 1 – Utiliza

algoritmos, fórmulas, procedimientos, propiedades, o

convenciones elementales para resolver un problema.

c. Comunicar – Grado 1 – Comunica en forma breve

resultados de procedimientos rutinarios.

Dificultades/ Errores

a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la

fórmula de las coordenadas del vértice

b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

c. No distingue que determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

Complejidad Reproducción

Fuente: Elaboración propia

Tarea 7: Movimiento de un balón de fútbol

Un jugador de fútbol

(delantero) se encuentra a 8

metros de la portería y el

portero está a 3 metros de la

misma; cuando el portero

salta, este puede cubrir hasta

2,5 metros de altura. El

delantero puede escoger para hacer el remate a marco por medio de diversas maneras, a

continuación, se presentan el criterio de dos funciones que modelan la distancia basada en

el tiempo: 2( ) 0,4 0,05h t t t y

2( ) 1,6 0,2f t t t .

192

a. Determine cuánto tiempo duran las bolas en el aire a través de esos lanzamientos.

b. ¿Cuál es la altura máxima que podría alcanzar cada uno de los lanzamientos?

c. En el momento que el primer y segundo lanzamiento pasa por encima del portero ¿a

qué altura se encuentra el balón?

d. Respecto a la pregunta anterior, determina si el portero alcanza el balón de fútbol en

alguno de los lanzamientos.

e. Realice una representación gráfica de la situación dada, ubica en el mismo plano

cartesiano ambos lanzamientos.

Tabla 40. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Movimiento de un

balón de fútbol”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Resolución de ecuaciones cuadráticas.

b. Cálculo de imágenes.

c. Fórmula del vértice de la función cuadrática.

d. Concavidad de la función cuadrática

Habilidades específicas de

la función cuadrática en

décimo año.

a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con

criterio 2( )f x ax bx c , 0a .

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando

la función cuadrática.

Otras habilidades inmersas

a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo

grado con una incógnita (9° año).

b. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es 2( )f x ax bx c (9° año).

c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10°

año).

Contenido matemático

Cálculo de imágenes

Vértice de la función cuadrática

Sistemas de representación Algebraica y gráfica.

Situación/contexto Científico

193

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde a preguntas

donde la respuesta no es directa y amerita mayor

argumentación para encontrar la solución.

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve

problemas que implican establecer conexiones entre

distintas formas de representación o de comunicación.

c. Comunicar – Grado 2 – Interpreta o sigue una secuencia

de razonamientos matemáticos, que usan conceptos o

procedimientos matemáticos estudiados (expresados de

manera oral o escrita) en la resolución de un problema

d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la

información codificada en una representación Matemática

dada.

Dificultades/ Errores

a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la

fórmula de las coordenadas del vértice.

b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

c. No distingue que determina cada variable del criterio en su

representación gráfica.

d. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza

correctamente la parábola.

Complejidad Conexión

Fuente: Elaboración propia

194

Tarea 8: Maniobra de una avioneta6

Durante una exhibición, una avioneta debe

realizar una maniobra de “vuelo rasante”, está

maniobra consiste en que el avión se acerque al suelo

a una altura mínima. Para que la maniobra no falle

debe iniciar a cierta altura 0h . El criterio de

asociación de la función que describe la altura h que

alcanza la avioneta (en metros) a los x segundos de haber comenzado la maniobra está

dada, por la expresión 2

0( ) 0,5 6h x x x h .

El piloto sabe que no corre riesgo de tocar el suelo si comienza la maniobra a una

altura mayor de cierto valor. Con base en esta información:

a. ¿Cuántos segundos deben pasar después de iniciada la maniobra para que el avión

logre su altura mínima?

b. Determine a qué altura debe iniciar el avión para realizar el vuelo rasante y no

estrellarse.

c. ¿Cuál es la altura mínima que alcanza el avión durante la maniobra?

d. Si el valor de 0 20h entonces ¿cuáles son las coordenadas del vértice y a qué

conclusión podemos llegar en relación con el vuelo? ¿Se estrella?

6 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las

funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-

content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf

195

Tabla 41. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Maniobra de una

avioneta”

Variables analizadas Aspectos determinados

Conocimientos previos

a. Cálculo de imágenes.

b. Fórmula del vértice de la función cuadrática.

Habilidades específicas

de la función

cuadrática en décimo

año

a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con

criterio 2( )f x ax bx c

b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la

función cuadrática.

Otras habilidades

inmersas

10° año

a. Analizar una función a partir de sus representaciones.

b.

Contenido matemático

Concepto de vértice

Cálculo de imágenes y preimágenes

Sistemas de

representación

Algebraica

Situación/contexto Científico

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Realiza argumentos

matemáticos para resolver problemas o describir situaciones

(Matemática o de contexto real) no estudiados y complejos.

b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve problemas

que no han sido estudiados a partir de una situación dada

(Matemática o de contexto real) donde se ejecuten acciones

secuenciales.

c. Comunicar – Grado 1 – Interpreta expresiones Matemática

dadas en situaciones similares a las estudiadas para proceder a

buscar una estrategia de solución.

d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la

información codificada en una representación Matemática.

Dificultades/ Errores

a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la

fórmula de las coordenadas del vértice.

b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.

Complejidad Reflexión

Fuente: Elaboración propia

196

7.6. Secuenciación de las tareas de función cuadrática en etapas de aprendizaje

Este apartado se articula entorno a dos elementos principales, en primera instancia las

indicaciones puntuales del currículo de Matemática del MEP, así como los dos momentos de

clase que se detallan en el mismo (Etapa 1 Aprendizaje de conocimientos y Etapa 2 Movilización

y aplicación de los conocimientos), y finalmente las recomendaciones metodológicas dadas por

los profesionales relacionados con el proceso de redacción y capacitación del Programa de

Estudios.

Tabla 42. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con la

Función Cuadrática

Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación general

Básica y el Ciclo Diversificado.

Conocimiento Indicaciones puntuales

Función

cuadrática

1. La función cuadrática ya fue estudiada en 9º año, de lo que se trata ahora

es de precisar sus propiedades. Se sugiere hacer un estudio sistemático

para la representación gráfica que incluya:

a. Punto de intersección con el eje de las ordenadas.

b. Puntos de intersección con el eje de las abscisas.

c. Intervalos de crecimiento o decrecimiento.

d. Concavidad.

e. Intervalo donde la función es positiva o negativa y su conexión con la

solución de desigualdades cuadráticas.

f. Máximo o mínimo de la función (vértice).

g. Ámbito de la función.

h. Eje de simetría.

i. Intervalos máximos donde la función es inyectiva.

Los puntos anteriores deben verse en conjunto, en forma

articulada, y no por separado.

2. Conviene analizar la influencia de los parámetros a, b y c en el tipo de

gráfica. Una buena estrategia consiste en la técnica de completar

cuadrados y utilizar transformaciones en el plano: homotecias y

traslaciones.

3. Es recomendable usar software matemático para facilitar la observación

de las características descritas para 2y ax bx c y para aproximar

soluciones de ecuaciones de segundo grado.

197

7.6.1. Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad

En la siguiente tabla se presenta una síntesis del nivel de complejidad de cada una

de las tareas y la organización de cada una de ellas de acuerdo con las etapas de la lección

establecidas en el Programa de Estudios del MEP. En concordancia con Ruiz (2017), quien

destaca que para que una tarea cree conocimiento, esta debe ser de un grado de complejidad

de conexión o reflexión, se estableció la Tarea 3 “Distancia de frenado” para la etapa uno y

las otras siete tareas para la segunda etapa.

Tabla 43. Organización de las tareas por momento de clase

Momento de clase Tarea Habilidades Nivel de complejidad

Etapa 1

Tarea 3: “Distancia

de frenado”

HL 1

HL 2

Conexión

Etapa 2

Tarea 1:

“Explorando con

Geogebra”

HL 1

Reflexión

Tarea 6: “Haciendo

malabarismo”

HL 1

Reproducción

Tarea 5: “Atletismo

moderno”

HL 1

HL 2 Conexión

Tarea 7:

“Movimiento de un

balón de fútbol”

HL 1

HL 2

Conexión

Tarea 8: “Maniobra

de una avioneta”

Tarea 4: “Colocando

cerámica”

HL 1

HL 2

Reflexión

Tarea 2:

“Competencia con

Plickers”

HL 1

HL 2

Reproducción

Fuente: Elaboración propia

198

7.6.2. Descripción de las etapas de clase

Se presenta en este apartado la planificación de las etapas de aprendizaje, destacando

los recursos y materiales a utilizar; la distribución de la cantidad de lecciones se basó en la

recomendación dada por el MEP y el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa

Rica (2014), quienes estiman que esta temática se aborda en un total de once lecciones, de las

cuales cuatro se deben utilizar en el desarrollo de la primera etapa.

La primer etapa se ha divido en cuatro lecciones, las cuales se presentan a continuación

dividas en grupos de dos lecciones.

Tabla 44. Planificación de la etapa 1 de clase de la función cuadrática

Etapa 1: Aprendizaje de

conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos Ecuaciones cuadráticas

Análisis algebraico de la función cuadrática

Relación con los

conocimientos previos

Es la primera etapa relacionada con la función cuadrática, se

plantea una tarea de modelación Matemática, con la que se busca,

a través de una hoja de cálculo, un criterio algebraico que sirva de

modelo de la situación dada. Se requiere de conocimientos previos

relacionados con el análisis de información presente en una

representación tabular, del cálculo de imágenes y preimágenes y

de la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Tareas asociadas Tarea 3

Interacción

En parejas, estudiante - estudiante, en la etapa final estudiantes –

profesor. Se sugiere que sea el docente el que forme las parejas

para que no haya estudiantes excluidos.

Momentos de clase

En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios

de Matemática, la organización de la lección estará dividida en

cuatro momentos centrales. En el primero de ellos se propondrá

a los estudiantes la resolución de la tarea 1, posteriormente se

dará un espacio para el trabajo estudiantil independiente.

Se espera que al final de la clase se realice una discusión de los

resultados obtenidos en la resolución de la tarea, que comente

aplicaciones que tiene la función cuadrática en diversos contextos

y defina formalmente la función cuadrática.

Una propuesta de definición es la siguiente: “Si :f D

es una función, se dice que f es una función cuadrática si existen

constantes a , b y c con 0a tal que 2( )f x ax bx c ”.

Fuente: Elaboración propia

199

Tabla 45. Planificación de la segunda parte de la primera etapa de clase de la función

cuadrática

Etapa 1: Aprendizaje de

conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

a. Intersección con el eje de las abscisas y de las ordenadas

b. Relación entre los distintos parámetros de la representación

algebraica y la representación gráfica

c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la

representación gráfica

Enmarque de la etapa en

relación con etapas

anteriores

Es la primera etapa relacionada con la función cuadrática, en la

primera se abordó la definición, y contextos donde el tópico

presenta funcionalidad. En esta se pretende un análisis gráfico de la

función.

Tareas asociadas Tarea 1

Interacción Estudiante- Estudiante

Momentos de clase

Para iniciar se propondrá a los estudiantes la guía con las

preguntas que deberá responder con ayuda del software Geogebra,

y posteriormente se dará un espacio para el trabajo estudiantil

independiente.

Se espera que al final de la clase se realice una síntesis de los

aspectos desarrollados a través de la resolución de la tarea:

influencia de los parámetros en la representación gráfica y de las

distintas representaciones algebraicas de la función cuadrática.

Además, se debe hacer la definición formal del concepto de eje de

simetría y vértice.

Fuente: Elaboración propia

La segunda etapa se ha divido en siete lecciones, las cuales se presentan a continuación

dividas en grupos de dos lecciones y de tres lecciones respectivamente.

200

Tabla 46. Planificación de la segunda etapa de clase de la segunda etapa de la función

cuadrática

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los

conocimientos

Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

Cálculo de imágenes y preimágenes

Eje de simetría

Máximo y mínimo de la función

Intersección con los ejes cartesianos

Concepto de Vértice

Ubicación de puntos en el plano cartesiano

Enmarque de la etapa en

relación con etapas

anteriores

Es la segunda etapa y en esta se espera que se apliquen los

conocimientos adquiridos en la etapa 1 en la resolución de

ejercicios y problemas de diversos contextos.

Tareas asociadas Tareas Malabarismo, Atletismo moderno y Fútbol

Secuencia de las tareas Malabarismo, Atletismo moderno y Fútbol

Interacción

En parejas estudiante con estudiante y el docente como

mediador.

Momentos de clase

En concordancia con lo establecido en el Programa de

Estudios de Matemática, la etapa 2 trata de que se trabajen

de forma mecánica algunos de los procedimientos

aprendidos, que amplíen su dominio en las formas de

representación de la función y en las fórmulas para el cálculo

del vértice, así como en su interpretación en términos de la

situación dada.

Se espera que al finalizar las tareas el docente seleccione al

azar a estudiantes y que expliquen el proceso de resolución

de cada una de ellas. El papel del docente debe ser de

mediador, puntualizando aspectos matemáticos relevantes en

el problema, así como a través de preguntas dirigidas

orientar en caso de que haya errores, se debe también

propiciar la participación, en la revisión de las tareas, de

estudiantes que no hayan sido seleccionados.

Fuente: Elaboración propia

201

Tabla 47. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de clase de la segunda

etapa de la función cuadrática

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los

conocimientos

Tiempo estimado: 3 lecciones

Contenidos matemáticos

Concepto de Vértice

Cálculo de Imágenes y Pre imágenes

Eje de simetría

Máximo y mínimo de la función cuadrática

Semejanza de triángulos

Enmarque de la etapa en

relación con etapas

anteriores

Es la tercera etapa y en esta se espera que se apliquen los

conocimientos adquiridos en la etapa 1 y 2 en la resolución

de ejercicios y problemas de diversos contextos.

Tareas asociadas Tareas Avioneta y Cerámica

Secuencia de las tareas Avioneta y Cerámica

Interacción

En parejas estudiante con estudiante y el docente como

mediador.

Momentos de clase

Se espera que al finalizar las tareas el docente seleccione al

azar a estudiantes y que expliquen el proceso de resolución

de cada una de ellas, además que el docente resalte las

diversas maneras de resolver un problema.

Es importante que, se aproveche la utilidad que tiene el

cálculo de las coordenadas del vértice para la resolución de

las tareas de esta etapa, para cerciorarse de que los

estudiantes realmente estén, por un lado, calculando

correctamente el vértice, y además realizando una

interpretación correcta del mismo en términos del problema.

El papel del docente debe ser el de orientar a los estudiantes

hacia la interpretación, en términos del problema, en cada

uno de los cálculos realizados.

Fuente: Elaboración propia

202

Tabla 48. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de clase de la segunda

etapa de la función cuadrática

Etapa 2: Movilización y

aplicación de los

conocimientos

Tiempo estimado: 2 lecciones

Contenidos matemáticos

Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de

intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”.

Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección

con el eje “y”, en la representación gráfica.

Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la

representación gráfica.

Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad

en una representación gráfica.

Identifica la concavidad de la función dado el criterio.

Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la

función.

Enmarque de la etapa en

relación con etapas anteriores

Es la cuarta etapa y en esta se espera que se apliquen los

conocimientos adquiridos en las diversas tareas

anteriores.

Tareas asociadas Tareas Plickers

Secuencia de las tareas Plickers

Interacción De forma individual pues cada estudiante debe tener una

tarjeta.

Momentos de clase

En primera instancia el docente debe llevar impresas una

serie de tarjetas que se obtienen en el sitio web de

Plickers, y brindar a cada estudiante una de ellas.

Posteriormente, el docente debe proyectar las preguntas

formuladas en la tarea “Competencia con Plickers” y dará

el tiempo que considere necesario para la resolución de

cada una de ellas, los estudiantes responderán usando el

dispositivo móvil.

Al finalizar cada pregunta uno de los grupos explicará el

proceso de resolución.

Se espera que el docente realice un esquema resumen de

los conceptos y procedimientos estudiados; así como la

aclaración final de dudas que hayan surgido en el proceso.

Fuente: Elaboración propia

Se presentó en este capítulo lo concerniere a las tareas que conforman el

Material Didáctico, así como el respectivo análisis, secuenciación y sugerencias para su

puesta en práctica en aulas de educación secundaria. Las tareas fueron divididas en las

dos etapas que se establecen en el actual currículo de Matemática costarricense.

203

CAPÍTULO VIII

VALORACIONES DEL MATERIAL DIDÁCTICO

Esta sección se estructura en torno a la valoración realizada al Material Didáctico

elaborado en este trabajo de investigación. Dicha valoración fue realizada por docentes de

educación secundaria y por algunos integrantes del Proyecto Reforma de la Educación

Matemática en Costa Rica. Además, se añade la retroalimentación obtenida producto de la

ejecución de ciertas tareas de dicho material tanto en un aula de educación secundaria como

en un aula universitaria. La importancia de esta sección radica en que dichas valoraciones

permitieron posteriormente mejorar el Material Didáctico elaborado.

8.1. Recomendaciones obtenidas a raíz de la valoración de los docentes

Por la extensión del Material Didáctico se tomó la decisión de que los docentes de

educación secundaria valoraran por separado la sección correspondiente a la Función

Lineal y a la Función Cuadrática, y que solo los integrantes del Proyecto Reforma de la

Educación Matemática en Costa Rica valoraran el material de ambas funciones. Para este

propósito se le brindó a los docentes una rúbrica de valoración (ver anexo 7).

En la siguiente tabla se presentan los años de experiencia de los docentes

evaluadores, así como el nombre de la universidad donde obtuvieron sus distintos grados

académicos en relación con la Enseñanza de la Matemática. Con el fin de proteger su

confiabilidad se colocaron como nombres pseudónimos.

Tabla 49. Perfil de los docentes evaluadores del Material Didáctico.

Fuente: Elaboración propia

Formación académica

Sección valorada Docente Años de experiencia Bachillerato Licenciatura

Función lineal

Profesor 1 14 UNA UNED

Profesor 2 31 UNA UISIL

Profesor 3 18 UNA UAM

Función cuadrática

Profesor 4 12 UNA UNA

Profesor 5 5 UNA UISIL

Profesor 6 27 UNA UISIL

Material didáctico

completo 3 integrantes

Proyecto Reforma de la Educación Matemática en

Costa Rica

204

A continuación se presentan las valoraciones obtenidas por los docentes que

revisaron el Material Didáctico.

Todos los docentes de educación secundaria afirmaron que sí utilizarían el Material

Didáctico para impartir sus lecciones. Cuatro docentes señalan que las tareas tratadas no se

encuentran en los libros de texto, que abarcan temas actualizados y contextualizados.

Adicionalmente, valoran de manera muy positiva la presentación del material, consideran

que el formato de las tareas es atractivo para ser utilizado con los estudiantes, aunque su

población meta son los profesores. Además, consideran positivo la utilización de

definiciones Matemática adecuadas para el nivel de instrucción al cual se dirige el Material

Didáctico.

Por otro lado, a los docentes se les solicitó la valoración en cuanto al tiempo

estimado para la puesta en práctica del Material Didáctico. Dos de los docentes señalaron

que es muy difícil valorar la estimación del tiempo, dado que dependerá de las

circunstancias de cada institución. Otro de los docentes, en la sección de observaciones

generales, fue más explícito y mencionó que muchas veces se pierden demasiadas

lecciones, ya sea por actos cívicos, informes de adecuación, actividades extra curriculares,

entre otros aspectos. Y que por lo tanto es importante tomar en cuenta el tiempo, ya que en

la realidad se debe acortar.

Los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática consideran

valioso que se utilizara el modelo completo para la valoración de los grados de

participación de los procesos matemáticos y del nivel de complejidad, mismo que es

propuesto el documento denominado “Evaluación y Pruebas Nacionales para un Currículo

de Matemáticas que enfatiza capacidades superiores” de Ruiz (2017).

Adicionalmente, consideran que aunque los contextos y situaciones planteadas para

la función lineal son interesantes, en algunos casos son contextos artificiales. Mientras que

en el caso de la función cuadrática los contextos son más reales en el marco de modelos

científicos. En este sentido, es importante aclarar que en la creación de las tareas se

especificó que no todas cumplen con un contexto real, debido a que su intención es

205

meramente didáctica; es decir, su fin es evaluar la comprensión de un determinado

conocimiento matemático.

Asimismo, los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en

Costa Rica, mencionan que el apartado Dificultades/Errores en la tabla “Variables de la

tarea” contiene suposiciones generalizadas relacionadas con posibles errores o dificultades

que son difíciles de apreciar si no se tiene la solución de la tarea. Lo cual es correcto, dado

que son suposiciones generadas por los autores de esta investigación luego de la resolución,

a través de diversas maneras, de las tareas planteadas.

Por otro lado, citan que a pesar de que se utilizan diferentes herramientas para la

etapa de movilización (Geogebra, Plickers, Kahoot, Hoja de cálculo) las preguntas que se

planteen en ellas son muy tradicionales y orientadas a ejercicios abstractos. Cabe destacar,

que como se mencionó en cada una de las tareas donde se requiere el uso de las

aplicaciones y software mencionados su objetivo es solo evaluar la aplicación de algún

conocimiento, y responden a la forma en que se realizan actualmente las pruebas

estandarizadas del país.

De manera general, los docentes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática

mencionan que el Material Didáctico es muy importante pues es congruente con gran parte

del Programa de Estudios de Matemática y contiene elementos relacionados con la

selección, diseño y valoración de tareas Matemática.

8.2. Aplicación de tareas seleccionadas del Material Didáctico.

Este análisis no se encuentra definido dentro de los objetivos iniciales de la

investigación; sin embargo, se consideró oportuno desarrollar algunas actividades en aulas

de educación secundaria y educación universitaria con el fin de tener la perspectiva del

estudiantado en el momento de enfrentarse a las actividades propuestas en el Material

Didáctico, así como la opinión del docente aplicador en cuanto al logro de las habilidades

según la actividad propuesta. Cabe mencionar que los docentes que aplicaron estas tareas

corresponden a los autores de esta investigación.

206

Se aplicaron algunas tareas en el curso Principios de Matemática II (MAC 403) de la

carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad

Nacional, y en dos grupos de décimo año, con 40 estudiantes cada uno, de una institución

educativa de educación secundaria.

Luego de la aplicación de las tareas se obtuvo como retroalimentación la

modificación en la redacción de algunas de ellas. Dado que en algunos casos los estudiantes

no realizaban lo que se tenía proyectado con un determinado ítem, debido a que no

entendían lo indagado por el mismo. Además se realizó una modificación del tiempo

estimado en el caso de algunas tareas.

207

CAPÍTULO IX

CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES

En este capítulo se muestran las conclusiones más relevantes obtenidas producto de

esta investigación. Para lo cual, se ha estructurado este apartado entorno a la pregunta y a

los objetivos de investigación planteados en el capítulo uno. Además, se exponen una serie

de recomendaciones, para diversas entidades nacionales, entorno a la preparación y

capacitación de docentes de Matemática. Por último, se sugieren temas para futuras

investigaciones relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje acordes con el

actual Programa de Estudios de Matemática del MEP.

9.1. Conclusiones

El objetivo general de esta investigación propone Elaborar un material didáctico

para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática, para décimo año, considerando las

indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de

Educación Pública de Costa Rica. El cumplimiento de este objetivo está relacionado en su

totalidad con la consecución de los objetivos específicos que se presentan a continuación.

En el primer objetivo específico se propuso Desarrollar un análisis de contenido

matemático de la función lineal y de la función cuadrática, se consideró dentro del análisis

de contenido el análisis conceptual; este último, evidenció que a pesar de que la mayoría de

los libros de texto de Matemática utilizan dentro de la definición de función lineal la

representación algebraica ( )f x mx b , estas se mostraban de forma muy diversa, en

algunos casos añadían conceptos relacionados con variables dependientes e independientes;

en otros casos, mencionaban dentro de la definición su representación gráfica, e incluso

algunos evidenciaban falta de precisión al definir correctamente el dominio de una función

lineal, así como confusiones con la representación algebraica de la recta.

Para el caso de la función cuadrática, se encontró que en algunas ocasiones no

definían de manera adecuada el dominio y en otros casos ni se definía; al mismo tiempo, en

las definiciones de esta función se utiliza, únicamente la representación algebraica

2( )f x ax bx c .

208

En cuanto al Análisis de Contenido, el mismo brindó una rigurosidad de todos los

conceptos, procedimientos y sistemas de representación involucrados en los temas en

cuestión, lo que permitió considerar esa multiplicidad de elementos en el planteamiento de

las tareas Matemática. Es preciso destacar que esta indagación permitió una búsqueda

detallada de representaciones, aplicaciones, historia, definiciones, y la forma en que estas se

relacionan. En el caso de la función cuadrática, se determinó que la representación

algebraica se puede dar de tres formas equivalentes (ver sección 5.6), y en todos los libros

de texto, de educación secundaria consultados en esta investigación, se abordó de una única

forma. Aunque esto puede ser debido a que en el MEP (2012) dentro de las habilidades cita

“Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática 2( )f x ax bx c ”.

Asimismo, el Análisis de Contenido permitió dar respuesta a una de las consultas

más frecuentes por parte de los estudiantes, referentes a la funcionalidad de los temas de

Matemática que se abordan en el aula. Para ello, se consideró dentro de sus organizadores

al análisis fenomenológico, como una búsqueda más consiente de las aplicaciones que

tienen los conceptos matemáticos en las situaciones cotidianas o en otras áreas científicas,

lo que se denomina en el Programa de Estudios de Matemática del MEP como

contextualización activa.

En este sentido, se determinó que la función lineal tiene múltiples aplicaciones, en

ciencias como la Física, en la que se realizan conversiones entre un sistema de medida de

temperatura a otra, a través de una función lineal o en los movimientos rectilíneos

uniformes. Además se puede utilizar para determinar la frecuencia cardiaca máxima a la

que se puede exponer un ser humano. Igualmente se utiliza en problemas de naturaleza

cotidiana como en el cálculo de costos dependiendo de la cantidad de productos adquiridos.

Por otro lado, en cuanto a la funcionalidad de la función cuadrática destaca la modelación

de problemas relacionados con la trayectoria que sigue un objeto al ser lanzado, como en el

lanzamiento de una bola bala, o al patear un balón de fútbol. Además se puede utilizar para

determinar la distancia recorrida por un automóvil al frenar dependiendo de la velocidad

con la que transita, así como para modelar problemas relacionados con costos máximos y

mínimos.

209

En consecuencia, el Análisis de Contenido permitió dentro del Material Didáctico

establecer los conocimientos matemáticos requeridos para la consecución de las habilidades

establecidas en el actual currículo de Matemática del MEP, así como elaborar tareas en los

contextos en que tienen aplicación la Función Lineal y la Función Cuadrática, y abordar

dentro de estas sus distintos sistemas de representación.

El segundo objetivo planteaba Describir las dificultades y errores que presentan los

estudiantes en el aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática; la búsqueda

en investigaciones previas reveló que los estudiantes presentan dificultades que se originan

propiamente por la diversidad de conceptos involucrados en estos tópicos y que los

principales errores que se comenten se relacionan con la transformación de una

representación Matemática a otra, en especial en la asociación de la representación

algebraica con la representación gráfica y viceversa.

En cuanto a los resultados obtenidos en los cuestionarios aplicados tanto a los

docentes como a los estudiantes, se evidenciaron que los errores más frecuentes están

relacionados con aquellos originados por deficiencias en el manejo de conceptos,

contenidos y procedimientos, algunos de ellos responden a la falta de dominio de aspectos

conceptuales, como lo es la diferenciación entre los términos abscisas y ordenadas. Así

como hay errores que no pertenecen directamente a contenidos relacionados con la función

lineal y la función cuadrática, pero que forman parte de los conocimientos previos de

acuerdo al Programa de Estudios de Matemática del MEP. Ejemplo de esta situación es

errar al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales, principalmente,

en la aplicación de las leyes de signos y en la jerarquización de las operaciones, la

resolución de ecuaciones lineales y de ecuaciones cuadráticas, y la ubicación de pares

ordenados en el plano cartesiano.

Mientras que en relación con las dificultades, la mayoría de los docentes

cuestionados señalaron que una de las principales dificultades se presenta cuando se les

solicita a los estudiantes el planteamiento de problemas que se puedan modelar con las

funciones en cuestión. Este hecho resulta desalentador, ya que esta habilidad se encuentra

inmersa a lo largo del actual currículo de Matemática costarricense. Además esto puede

210

deberse a la falta de dominio de las habilidades relacionados con la función lineal y la

función cuadrática, que no le permiten al estudiante enfrentarse a ese tipo de actividades.

De manera particular, en el caso de la función lineal, la mayoría de los docentes

afirman que los estudiantes tienen dificultades en tareas que requieren de análisis que van

más allá de aplicar algoritmos, principalmente, en actividades como la identificación de

modelos lineales y la interpretación del concepto de pendiente, en el planteamiento y

resolución de problemas. Mientras que en la función cuadrática la principal dificultad se

presenta en la determinación de los intervalos de monotonía y de su ámbito. Por lo que se

evidencia el poco razonamiento lógico matemático por parte de los estudiantes y la poca

articulación con los algoritmos correspondientes a dichos tópicos.

Por ende este análisis permitió dentro del Material Didáctico generar ítems dentro

de las tareas que requirieran de parte de los estudiantes la articulación entre los distintos

conocimientos que componen la función lineal y la función cuadrática, así como exponerlos

ante situaciones que fueron detectadas como dificultades o errores presentes en ellos.

Además, permitió brindarle al docente una lista de posibles errores y dificultades que

pueden presentar los estudiantes al momento de estudiar los tópicos de función lineal y

función cuadrática.

El tercer objetivo proponía Especificar los métodos y técnicas que favorezcan el

proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones lineal y cuadrática, para el logro de

este objetivo en primera instancia se recurrió a la búsqueda de investigaciones relacionadas

con planteamientos didácticos en estos tópicos, posteriormente se realizó una entrevista a

algunos miembros del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, que

además estuvieron involucrados en los procesos de capacitación del Programa de Estudios

de Matemática del MEP.

De las indagaciones realizadas se obtuvo que dentro del proceso de enseñanza de la

función lineal y la función cuadrática se debe propiciar la iniciación de estos conceptos, a

través de situaciones cotidianas que le permitan al estudiante construir nociones y

elementos conceptuales, para posteriormente formalizar dichos conceptos. Además, dentro

211

de un salón de clases en donde se desarrollen estas temáticas, se deben utilizar tareas

Matemática que expongan a los estudiantes al uso de los distintos sistemas de

representación. Para el desarrollo de las temáticas estudiadas se vuelve de interés el uso de

software matemáticos que les permitan, a los estudiantes, conjeturar la forma en que varía

la representación gráfica de estas funciones (lineal y cuadrática) conforme varían cada uno

de los parámetros involucrados en la representación algebraica de la misma, situación que

sin un software dinámico, requeriría de mucho tiempo de clases.

Por ende este análisis permitió dentro del Material Didáctico conocer la orientación

que debían contener cada una de las tareas. Dentro de las cuales se consideró el

planteamiento de distintas actividades, como el uso de fichas para asociar una

representación algebraica dada con su respectiva representación gráfica, el uso del software

Geogebra, para conjeturar la influencia de los distintos parámetros de la representación

algebraica en la representación gráfica. Así como la introducción de la temática a través del

planteamiento de un problema.

El cuarto objetivo específico planteaba Diseñar tareas Matemática para la

enseñanza de la función lineal y de la función cuadrática, en décimo año, acordes a las

orientaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de

Educación Pública de Costa Rica, para el cumplimiento de este objetivo se utilizó como

base el Análisis de Instrucción y los planteamientos teóricos y metodológicos establecidos

por el MEP.

El Análisis de Instrucción permitió seleccionar y diseñar de forma justificada tareas

Matemática que propiciarán el desarrollo de capacidades cognitivas superiores (objetivo

planteado en el actual currículo de Matemática costarricense). Para ello se realizó un

análisis de las variables presentes en cada tarea Matemática, tales como: habilidades

generales y específicas, contenido matemático, sistemas de representación, contextos,

procesos, dificultades y errores, y complejidad (todas descritas en el Capítulo VII).

Para el análisis de las variables inmersas en cada tarea, se recurrió a la resolución

completa de cada una de ellas, posteriormente se fueron asociando los elementos inmersos

212

en su resolución con las variables anteriormente citadas. Para el caso de las habilidades,

conocimientos que se propician y los conocimientos previos necesarios, se recurrió a la

revisión del Programa de Estudios de Matemática del MEP. Mientras que para el análisis de

los errores o dificultades que podrían presentar los estudiantes con la resolución de las

tareas se hizo una correspondencia con las categorías determinadas en el Análisis

Cognitivo.

Además para establecer el nivel de complejidad y los procesos matemáticos que se

propician con la resolución de las tareas se recurrió al documento denominado “Evaluación

y Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades

superiores” de Ruíz (2017). El cual establece una serie de elementos que permiten

determinar de acuerdo con una serie de acciones cuál proceso matemático se está nutriendo

y en qué nivel de dificultad.

Para el diseño de las tareas se realizó una adaptación de tareas prexistentes en libros

de texto de educación secundaria y en otros documentos como artículos de investigación y

divulgación. Adaptar implicó modificarlas para que cumplieran con las habilidades

propuestas en el Programa de Estudios de Matemática y para que abarcaran la mayor

cantidad de conocimientos matemáticos y sistemas de representación detectados en el

Análisis de Contenido.

Como producto final del cuarto objetivo específico de esta investigación se aporta

un total de nueve tareas para abordar las habilidades relacionadas con la función lineal y

ocho tareas para la función cuadrática, las cuales abarcan diversos niveles de complejidad,

nutren el desarrollo de distintos procesos matemáticos, y poseen una variedad de contextos.

El nivel de complejidad, así como los procesos matemáticos inmersos permitieron brindar

la secuenciación que deben tener las tareas que se encuentran dentro del Material

Didáctico, así como establecer una serie de recomendaciones relacionadas con el accionar

de aula (ver anexo 9).

En relación con el quinto y último objetivo específico el cual planteaba Valorar la

pertinencia del material didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la función

213

lineal y de la función cuadrática mediante el criterio de docentes de secundaria de

Matemática en servicio. Para el cumplimiento de este objetivo se recurrió a seis docentes

que actualmente laboran en educación secundaria y dos de los profesores-investigadores

que forman parte del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica; cabe

mencionar que los docentes que realizaron la valoración tienen en promedio 18 años de

laborar en educación secundaria. Además, los investigadores de este escrito, llevaron a la

práctica algunas tareas en una institución educativa de educación secundaria y en una

institución universitaria.

Tanto las observaciones brindadas por los docentes de educación secundaria y por

los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, así como

la retroalimentación obtenida producto de su aplicación, fueron tomadas en cuenta para

mejorar el material didáctico que se entrega como producto de esta investigación.

Finalmente, se puede destacar que el Material Didáctico podría constituir un

documento de consulta valioso, para los estudiantes de la carrera Enseñanza de la

Matemática, para los docentes de Matemática en ejercicio y para la comunidad de

educadores matemáticos en general, debido a los insumos conceptuales, procedimentales y

estrategias metodológicas que incluye. Además de ser el primer Trabajo Final de

Graduación de Costa Rica que sigue los elementos teóricos propuestos por el director del

Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, Ruiz (2017), quien propone

el modelo utilizado en este trabajo para valorar la participación de los procesos o

capacidades superiores y los niveles de complejidad que señala el actual currículo

costarricense (reproducción, conexión y reflexión). Para dicho modelo se utilizaron 61

indicadores colocados en tres “grados” y cinco criterios a partir de los cuales se

identificaron los tres niveles de complejidad.

El cumplimiento de los objetivos específicos permitió la consecución de un material

didáctico que integra nueve tareas para la función lineal y ocho para la función cuadrática,

cada una de las tareas presenta las variables inmersas en ellas, así como una serie de

sugerencias para su aplicación en el aula. Además, dentro del Material Didáctico las tareas

se dividen en las dos etapas propuestas por el MEP (etapa 1: aprendizaje de los

214

conocimientos y etapa 2: movilización y aplicación de los conocimientos), y se da una

estimación del tiempo requerido en cada una de ellas. Tiempo que concuerda con el

establecido en el trabajo denominado “Documento de integración de habilidades para

Décimo año” del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.

Por otro lado, la consecución de los objetivos anteriores permitió dar respuesta a la

pregunta de investigación, la cual establecía ¿qué conocimientos debe tener un docente

para construir un material didáctico dirigido a la enseñanza de las funciones lineal y

cuadrática en décimo año, coherente con las indicaciones metodológicas del Programa de

Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica?

En este sentido, se puede destacar que es necesaria una revisión exhaustiva de las

indicaciones metodológicas y evaluativas que posee el actual currículo costarricense,

debido a que en el mismo se establecen una serie de orientaciones que permean

directamente en el accionar de clases.

Además, en concordancia con el Análisis Didáctico, el docente debe realizar una

búsqueda con detalle de los aspectos matemáticos que están involucrados con los temas en

cuestión. Para ello, puede recurrir a libros de texto, pero no basta con los libros de texto de

educación secundaria, es recomendable que utilice libros de textos universitarios o reportes

de investigación donde haya un análisis con más profundidad. Este análisis también debería

permitirle al docente determinar algunas de las aplicaciones de los tópicos que está

abordando, es decir, es necesario un conocimiento sobre la funcionalidad de los tópicos

matemáticos con el objetivo de presentar una contextualización activa.

Asimismo, el docente debe tener conocimiento sobre las posibles dificultades o

errores que presentarán sus estudiantes durante el estudio de los diversos tópicos

matemáticos; para lo cual, puede recurrir a la búsqueda de investigaciones donde se hayan

reportado estos hallazgos, así como su experiencia en las aulas de educación secundaria. Es

importante destacar que dentro del material didáctico no debe evitar exponer los alumnos

ante las dificultades o errores detectados, por el contrario deben utilizarse ítems donde sea

necesario poner en práctica algunos de estos aspectos.

215

Adicionalmente, en concordancia con el actual Programa de Estudios de

Matemática, el docente debe propiciar el diseño o selección de tareas matemáticas que no

solo potencien los conocimientos matemáticos sino que además nutran el desarrollo de

algún proceso matemático, que poseen diversos niveles de complejidad y una variedad de

contextos.

Finalmente debe tener en cuenta que el diseño que realice no es infalible, y que a

raíz de la puesta en práctica del material didáctico este debería tener ciertos rediseños. En el

Material Didáctico que se obtiene como producto final de esta investigación se incluye una

serie de pasos, con más detalles, para que los docentes puedan crear materiales didácticos

congruentes con el actual currículo de Matemática costarricense.

9.2. Limitaciones de la investigación

Dentro de las limitaciones de esta investigación es importante resaltar la falta de

información específica referida al desarrollo histórico de la función lineal y de la función

cuadrática, a pesar de que en diversos artículos y tesis de investigación aparecen apartados

con títulos que hacen referencia a este hecho, al hacer una lectura de los mismos se

encuentra que se refieren al desarrollo del concepto de función en general.

Otra de las limitantes fue la puesta en práctica de la totalidad del Material Didáctico

con estudiantes de educación secundaria, debido a que solo se llevaron a la práctica algunas

de las tareas. Aunque se debe tener claro que no se consideró esto como un objetivo de la

investigación, pero hubiese sido un aporte valioso en términos de valorar la funcionalidad

del mismo de acuerdo a la forma de ser abordado por los estudiantes.

9.3. Recomendaciones

Dentro de esta investigación surgen algunas recomendaciones, las cuales van,

especialmente dirigidas a las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses,

también surgen recomendaciones para aquellos docentes en ejercicio y en formación que

deseen utilizar el Análisis Didáctico como herramienta para el quehacer educativo; así

como aquellos investigadores que tomen como guía esta investigación.

216

9.3.1. Para las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses

Algunas de las recomendaciones dirigidas a las universidades costarricenses,

especialmente para las Escuelas de Matemática, es que incluyan dentro de sus cursos:

a) el planteamiento de problemas por parte de los estudiantes con el fin de que

posteriormente, como docentes, tengan insumos para realizar actividades de

planteamiento de problemas en las aulas de educación secundaria.

b) el análisis de las variables que están inmersas en el desarrollo de una tarea

Matemática, tales como las habilidades, contenido matemático, sistemas de

representación, contextos, procesos, dificultades y errores, y complejidad. Análisis

requerido en el actual currículo costarricense.

c) el uso del modelo teórico propuesto por Ruiz (2017) para la determinación de los

procesos matemáticos que se nutren con la resolución de una tarea, así como para

determinar el nivel de complejidad de ellas. Dado que dicho modelo es actualmente

el único referente teórico que está adaptado al contexto nacional.

d) diversos marcos teóricos que fundamenten y orienten la elaboración de materiales

didácticos. Algunos de ellos podrían ser el Análisis Didáctico, la Ingeniería

Didáctica o el Estudio de la Lección. Este es un requerimiento esencial en ausencia

de materiales didácticos, en las diversas áreas Matemática, que sean congruentes

con el actual Programa de Estudios de Matemática del MEP.

9.3.2. Para los docentes en ejercicio y en formación

Para los docentes en formación y aquellos que ya ejercen su profesión se les hacen

las siguientes recomendaciones:

a) Que consideren dentro de la construcción de las tareas matemáticas, que utilizarán

en sus clases, los elementos establecidos en el Análisis Didáctico, así como el

modelo teórico propuesto por Ruiz (2017).

b) Que los estudiantes de la carrera Enseñanza de la Matemática generen materiales

didácticos fundamentados para que puedan ser implementados en el aula por

docentes de Matemática en ejercicio.

217

9.3.3. Para el Ministerio de Educación Pública (MEP)

Algunas recomendaciones orientadas al ente costarricense encargado de las

directrices metodológicas para la educación primaria y educación secundaria son:

a) El desarrollo de capacitaciones, para docentes, relacionadas con el análisis de los

procesos matemáticos, el nivel de complejidad y el contexto que tienen las tareas

matemáticas, con el fin de que puedan seleccionar o diseñar materiales que

propicien el desarrollo de capacidades cognitivas superiores, mismas que se

requiere en el actual currículo costarricense de matemática.

b) Establecer un sitio web donde pueda facilitarse, a los docentes, los diversos

materiales didácticos que hayan sido elaborados como producto de una

investigación en las diversas universidades del país.

9.3.4. Para futuras investigaciones

Dentro del campo investigativo, se sugieren los siguientes temas de investigación:

a) Realizar un análisis didáctico de la función exponencial y de la función

logarítmica, para darle continuación a los tópicos del área de Relaciones y

Álgebra del actual currículo de Matemática del MEP.

b) Plantear tareas de evaluación, en diversas áreas matemáticas, acordes al actual

Programa de Estudios de Matemática del MEP, que permitan medir la

consecución de las habilidades por parte de los estudiantes en un determinado

tópico.

c) Desarrollar un modelo de planeamiento alternativo al propuesto por el MEP, que

permita evidenciar el desarrollo de procesos matemáticos, el nivel de

complejidad de los problemas, así como las situaciones o contextos en los que se

desarrollan.

d) Crear rúbricas de evaluación que le permitan al docente valorar el grado de

avance de sus estudiantes en los distintos procesos matemáticos.

218

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