Análisis Estadístico de

Datos Climáticos

Facultad de Ciencias – Facultad de Ingeniería

2011

Mario Bidegain – Alvaro Díaz

Composites

Regresión lineal simple

Composites

El método de “composites” consiste en clasificar los datos en categorías y comparar p. ej. los valores medios o anomalías de otras variables para las distintas categorías.

Puede servir para identificar “señales” no muy fuertes que están ocultas debido a la existencia de “ruido”.

Composites

Ejemplo 1: componemos anomalías de lluvias en el trimestre OND según anomalías simultáneas de TSM positivas (eventos “cálidos”) o negativas (eventos “fríos”) en N3.4 en 1980-2000.

-0.7-0.7-0.5-0.4-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-1.0-1.4-1.72000

-1.7-1.4-1.2-1.0-1.0-0.9-0.8-0.8-0.8-0.9-1.2-1.51999

-1.5-1.4-1.2-1.1-1.0-0.7-0.10.41.11.42.02.31998

2.52.52.42.22.01.71.30.80.3-0.1-0.3-0.41997

-0.4-0.3-0.2-0.1-0.2-0.1-0.2-0.2-0.3-0.5-0.7-0.81996

-0.8-0.8-0.6-0.5-0.2-0.10.10.20.30.60.91.21995

1.31.30.90.70.50.50.40.40.30.20.20.21994

0.30.30.30.30.30.40.70.70.70.50.40.41993

0.30.1-0.1-0.10.20.50.91.21.41.51.71.81992

1.61.30.90.90.91.00.80.60.30.30.40.41991

0.40.30.30.30.30.30.20.20.30.30.10.11990

-0.1-0.2-0.3-0.4-0.4-0.4-0.4-0.7-0.9-1.2-1.6-1.81989

-2.0-2.0-1.6-1.3-1.2-1.4-1.3-0.9-0.30.10.50.71988

1.11.21.51.61.71.51.21.01.11.21.31.21987

1.21.00.90.60.40.20.0-0.1-0.2-0.3-0.5-0.51986

-0.4-0.4-0.4-0.6-0.5-0.6-0.6-0.8-0.8-0.8-0.9-1.01985

-1.1-0.9-0.6-0.2-0.2-0.3-0.4-0.4-0.3-0.2-0.2-0.41984

-0.7-0.9-0.7-0.5-0.10.30.71.01.31.62.12.31983

2.32.21.91.51.00.80.70.70.40.20.10.01982

0.0-0.1-0.1-0.2-0.3-0.3-0.3-0.2-0.3-0.4-0.4-0.21981

0.00.00.0-0.10.00.20.30.30.20.30.40.51980

NDJONDSONASOJASJJAMJJAMJMAMFMAJFMDJFYear

Episodios cálidos y fríos en la región N3.4 (1980-2000)

http://www.cpc.noaa.gov/products/analysis_monitoring/ensostuff/ensoyears.shtml

Composites

Eventos cálidos (1982-86-87-91-94-97)

Composites de lluvias

Composites

Eventos fríos (1984-88-95-98-99)

Composites de lluvias

Composites

4 regiones en Uruguay-Río Grande do Sul

(21 + 17 pluviómetros en 1950-1998) OND

Ejemplo 2: aplicación al prónóstico

Región Niño 3.4 en el Océano PacíficoJul-Ago anterior

CompositesClimatología de precipitación en OND

Subpoblación condicionada a (0.34 ºC < (Jul-Ago N3.4) < 1. 24 º C )

(situación similar a la de N3.4 en Jul-Ago 2004)

!Los resultados debensometerse a pruebas para determinar si sonestadísticamente

significativos!

Se hacen “composites” de precipitaciones en OND en cada región, condicionados por el índice N3.4 dos meses antes.

RegresiónWilks (Cap. 6)

La regresión se usa para describir relaciones que involucran variables medidas en una escala continua.

Para vincular variables aleatorias (ej., ancho de un anillo de árbol con la temperatura), o una variable aleatoria con uno o más factores externos no aleatorios (ej modelar tendencia lineal con un polinomio).

Se puede utilizar para la predicción cuando las variables a relacionar no son simultáneas.

Regresión lineal simple

• Estimación de los parámetros

• Distribución de los residuos

• Tabla ANOVA

• Bondad del ajuste

• Análisis de los residuos

• Distribución muestral de coeficientes de la regresión

• Intervalos de confianza de la predicción

Regresión lineal simple

Cor = 0.93

x

y

Dados los pares de valores: (x1, y1), (x2, y2)….(xn, yn)

se busca la recta de mejor ajuste:

n=58

Y = a + b x

x variable independiente o “predictor”

y variable dependiente o “predictando”

¡ No se debe suponer que necesariamente existeuna relación de causalidad entre ambas variables !

Regresión lineal simple

y = a + b x

a y b son los parámetros a estimar

Hay distintos criterios para estimar los parámetros.

El más habitual es el método de mínimos cuadrados.

SSE=)xba(y=en

ii

n

=i

i ∑∑ −−1

2

1

2 ˆˆ

(suma de errores cuadráticos)

Se busca minimizar

iii +xb+a=y e ˆˆ

Estimación de los parámetros

ei = yi − y(xi)

Error de estimación (distancia vertical entre el valor y la ordenada de la recta) es:

Se plantea la anulación de las derivadas parciales

respecto de by a ˆˆ obteniéndose las soluciones:

xb y=a ˆˆ −

En el ejemplo:

090 =a

261 =b

.ˆ

.ˆ

ATENCIÓN: Existe asimetría entre x e y (si se invierten los roles, no se obtiene la misma recta!!)

Estimación de los parámetros

En Matlab:

A=[ones(58,1) n34set5007'];

Y=n34nov5007';

ab=A\Y

ab =

0.0894

1.2563

Distribución de los residuos

Supondremos que los residuos (o errores) ei son independientes e idénticamente distribuidos (iid) con media 0 y varianza σ (igual para todos los ei).

Además se suele suponer que los residuos siguen una distribución gaussiana.

En general, cuantas más hipótesis se hagan, más ricas serán las conclusiones estadísticas que podremos extraer, pero más limitada será la aplicabilidad del modelo.

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra (n), más se atenúa la eventual no gaussianidad.

Distribución de los residuos

La suposición de varianza constante implica que la distribución condicionada a x constante, no depende de x.

Estimación de la varianza de los residuos

En el ejemplo: 18=s 2

e 0.ˆ

[ ]∑ −n

iie xyy2-n

=s1

22)((

1ˆ

)

Donde dividimos por n-2 por tener dos parametros estimados: a y b ∑

n

ie e2-n

=s1

22 1ˆ

����

Distribución de los residuos

Una suposición fundamental es que la varianza de los residuos es constante:

Distribución de los residuos

suma de cuadrados total

suma de los cuadrados de las diferencias dada por la regresión (es bueno que se acerque a SST)

suma de cuadrados de los residuos

Se cumple: SST = SSR + SSE

En el ejemplo anterior:SST = 72.47 (ºC)2

SSR = 62.49 (ºC)2

SSE = 9.98 (ºC)2

Tabla ANOVA

F=MSR/MSE

MSE=se2SSEn-2Residuos

MSR=SSR/1SSR1Regresión

SSTn - 1Total

Media cuadrática

Suma de cuadrados

Grados de libertad

(ANOVA = Análisis de varianza)

Tabla ANOVA

F=MSR/MSE= 347.2

MSE=se2 =0.18SSE=9.9856Residuos

MSR=SSR/1=62.49

SSR=62.491Regresión

SST=72.4757Total

Media cuadrática

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Para el ejemplo:

1) (da un promedio de la exactitud del ajuste;lo ideal sería MSE=0) �MSE = s

e

2

R2 =

SSR

SST= 1−

SSE

SST

Bondad del ajuste

Hay 3 indicadores usuales para la bondad de ajuste:

2) Coeficiente de determinación: en el peor caso vale 0, en el mejor, vale 1

3) El estadístico F=MSR/MSE (es mayor cuanto mejor es el ajuste)

En el ejemplo R2 = 0.86

En general, cuanto más cercano a 0 esté el coeficiente angular b, menos información aporta la regresión lineal o, de otra forma, más débil es la relación entre x e y.

Bondad del ajuste

Análisis de los residuos

Análisis de los residuos

(para el ejemplo)

OK

Distribución muestral de

coeficientes de la regresión

Los estimadores de a y b son insesgados y, en las hipótesis hechas, sus distribuciones son gaussianas, siendo sus desviaciones estándar respectivas:

y

Sin embargo, como se es una estimación, para las pruebas de hipótesis hay que usar la distribución t de Student con n-2 grados de libertad.

Distribución muestral de

coeficientes de la regresión

)

)x{ - (xs(

0 - b= t

n

ie

2

1

/ˆ

ˆ

∑

Por ejemplo, para hacer una prueba en que la hipótesisnula sea H0: b = 0, contra la hipótesis H1: b ≠ 0 ,

observamos que el estadístico :

en la hipótesis nula sigue una distribución t de Student con n-2 grados de libertad.

En nuestro ejemplo, obtenemos: t = 18.7 , que, con 56 grados de libertad, es muy significativa (a menos del 0.1%), por lo que se rechaza la hipótesis nula.

No hay que olvidar que los datos pueden no ser independientes

Puede interesar hallar intervalos de confianza para siendo x0 un valor cualquiera, independiente de losutilizados para construir el modelo.

Intervalos de confianza de la predicción

+

∑ 2

1

2

022

ˆ

11

)x - (x

)x - (x+

ns=s

n

i

ey

)(xy 0ˆ

Debido a la incertidumbre en la estimación de y de b, la varianza es mayor que se

2 :y

Intervalos de confianza de la predicción

( )2

1

2

0210

11ˆˆ

)x - (x

)x - (x+

nst±xy

n

i

e)p+(

∑+

No son rectas!