Análisis y Control de

Sistemas Lineales

Sintonía del PID 2DoF

Contenido

◼ Realimentación de estado integral (REI)

◼ El PID 2DoF como REI

◼ Cálculo de las constantes del PID

◼ Ejemplos y ejercicios

◼ Resumen

◼ Referencias

Realimentación de estado

integral

◼ Se parte de un sistema tipo 0, que no tiene

polos en el origen y se le agrega un nuevo

estado, la integral del error r-y.

r(t) y(t)x(t)u(t)

(t)

)()()()(

)()()(

ttrtytr

tkttu I

Cx

Kx

−=−=

+−=

)()(

)()(

tty

tut

Cx

BAxx

=

+=

Realimentación de estado

integral (2)

◼ Se define un nuevo vector de estado

aumentado

◼ Se escriben las ecuaciones del sistema

aumentado para t > 0

)(1

)(0)(

)(

0)(

)(trtu

t

t

t

t

+

+

−=

0Bx

C

0Ax

)(

)(

t

t

x

Realimentación de estado

integral (3)

◼ Se desea que en estado estacionario y() = r;

por lo que , con (), u() y x()

tendiendo a valores constantes.

0=

)(1

)(0)(

)(

0)(

)(

+

+

−=

ru

0Bx

C

0Ax

)(1

)(0)(

)(

0)(

)(trtu

t

t

t

t

+

+

−=

0Bx

C

0Ax

repetida

Realimentación de estado

integral (4)

◼ Con r(t) escalón, r() = r, constante, para t > 0.

Al restar las ecuaciones anteriores tenemos:

◼ Se definen nuevas variables diferencia

)()()(

)()()(

)()()(

−=

−=

−=

ututu

tt

tt

e

e

e

xxx

)()(0)()(

)()(

0)()(

)()(−

+

−

−

−=

−

−utu

t

t

t

t Bxx

C

0Axx

Realimentación de estado

integral (5)

◼ Entonces

◼ Se definen

◼ Por lo que

◼ Finalmente

)(0)(

)(

0)(

)(

ˆˆ

tut

t

t

te

e

e

e

e

BA

Bx

C

0Ax

+

−=

)()()( tkttu eIee +−= Kx

1n)(

)()(

+

=

t

tt

e

e

xe

)(ˆ)(ˆ)( tutt eBeAe +=

)(ˆ)( ttue eK−=

1n

ˆ+

−= IkKK

( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=

Controlabilidad

◼ La controlabilidad puede probarse con la

matriz de controlabilidad aumentada

𝐌 = 𝐁 𝐀𝐁 𝐀2𝐁 … 𝐀𝑛−1𝐁

◼ Opcionalmente, la controlabilidad puede

probarse verificando que la matriz

tiene rango n+1.

)1)*(1(0

++

−nn

C

BA

Estructura del PID_2DoF

y(t)r(t)

𝐼_𝑃𝐷(𝑠) = +(R s − Y s )Ki

s− Y s Kp − Y(s)Kd

s

(ns + 1)

Kds

(ns + 1)

Kp

PID_2DoF como REI

r(t)

𝐼_𝑃𝐷(𝑡) = 𝐾𝑖න0

𝑡

𝑟 𝑡 − 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 − y t 𝐾p −𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡𝐾d

Cálculo de las ganancias

◼ Los valores deseados de los valores propios

de se especifican como ;

entonces, si el sistema es de estado

completamente controlable, la matriz 𝐊 = [Kp Kd −Ki], compuesta de matriz de

realimentación de estados K = [K1 K2] y de la

constante integral Ki para el sistema

homogéneo

pueden determinarse.

121 ,, , +n KBA ˆˆˆ −

( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=

Cálculo de 𝐊

◼ Para este caso, con la matriz de ganancias

𝐊 = 𝐾𝑝 𝐾𝑑 −𝐾𝑖

◼ Expresamos la planta en FCC, forma

canónica controlable, con la salida como

primera variable de estado.

ሶ𝐱 =0 1

−𝑎0 −𝑎1

𝑦ሶ𝑦 +

0𝑏0

𝑢

𝐲 = 1 0𝑦ሶ𝑦

Modelo aumentado 𝐀, 𝐁, 𝐊

𝐀 =𝐀 0−𝐂 0

=0 1 0

−𝑎0 −𝑎1 0−1 0 0

𝐁 =𝐁0

=0𝑏00

𝐊 = 𝐾𝑝 𝐾𝑑 −𝐾𝑖

Encontrando el polinomiocaracterístico con 𝐀, 𝐁, 𝐊

𝜑 𝑠 = 𝑑𝑒𝑡 𝑠𝑰 − 𝐀 − 𝐁𝐊

𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 𝑠2 + 𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 𝑠 + 𝐾𝑖𝑏0

◼ Se calcula el polinomio característico a partir

de los polos deseados, denominados 𝜇𝑖, para

luego comparar uno a uno los coeficientes.

𝜑 𝑠 = 𝑠 − 𝜇1 ∗ 𝑠 − 𝜇2 ∗ 𝑠 − 𝜇3

Ejemplo 1: PID_2DoF

◼ Se tiene el modelo de un levitador magnético

G(s), linealizado alrededor de 2cm. Se desea:

𝐺 𝑠 =−2200

(s + 220)(s + 30) (s − 30)

a) Estabilizar el sistema y ubicar los polos

dominantes de lazo cerrado en:

s1,2 = -3 ± j3 y en s3 = -20

a) Eliminar el error de estado estacionario

Dimensione un compensador PID_2DoF para

cumplir con estos objetivos

Ejemplo 1: Reducción del

orden de la planta*

◼ Sustituyendo el polo menos dominante por su

equivalente de CD

G s =−2200

s + 30 s − 30 lims→0

(s + 220)

G s =−10

s + 30 s − 30

* El modelo a utilizar debe tener orden 2

Ejemplo 1: Representación de

la planta en forma FCC

◼ Se expresa G(s) en forma desarrollada

◼ Se transcribe a forma canónica controlable,

con la salida como primera variable de

estado.

ሶ𝐱 =0 1

900 0𝐱 +

0−10

𝑢

𝐲 = 1 0 𝐱

G s =−10

𝑠2 − 900

Ejemplo 1: Prueba de

controlabilidad

◼ Se comprueba que el rango de la matriz

◼ sea n+1

3

001

100900

010

=

−

−rango

− 0C

BA

Ejemplo 1: Cálculo de 𝐊

◼ Evaluando el polinomio característico del

sistema deseado

𝜑 𝑠 = 𝜆 + 3 − 3𝑗 ∗ 𝜆 + 3 + 3𝑗 ∗ 𝜆 + 20

𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 26𝑠2 + 138𝑠 + 360

Comparando coeficientes con

𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 𝑠2 + 𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 𝑠 + 𝐾𝑖𝑏0

Ejemplo 1: Cálculo de 𝐊

◼ Comparando coeficientes, con

𝑎1 = 0, 𝑎0 = −900 𝑦 𝑏0 = −10

𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 = 26 ⇒ 𝐾𝑑 =(26 − 𝑎1)

𝑏0= −2.6

𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 = 138 ⇒ 𝐾𝑝 =(138 − 𝑎0)

𝑏0= −103.8

𝐾𝑖𝑏0 = 360 ⇒ 𝐾𝑖 =360

𝑏0= −36

Ejemplo 1: Modelo en Simulink

◼ Simulación del comportamiento ante

perturbaciones, con d = 0.02.

Ejemplo 1: Resultados PID_DoF

◼ Respuesta ante perturbaciones con ref. = 0.02m cte.

3 4 5 6 7 8

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo [s]

Am

plitu

d

Respuesta ante perturbaciones impulsivas en la entrada y salida de la planta

Acción de control [V/100]

Posición [m]

Referencia [m]

Ejemplo 1: Análisis de resultados

◼ El control REI para el PID_2DoF funciona

estabilizando la planta y eliminando la

influencia de las perturbaciones, impuestas

tanto a la entrada como a la salida de la

planta.

◼ La respuesta tiene un sobrepaso apreciable

al recuperarse de las perturbaciones.

Eventualmente la ubicación de los polos

dominantes con un mayor amortiguamiento

relativo mejore esta respuesta.

Ejemplo 2: Requisitos

◼ Para el sistema siguiente, con un I_PD,

coloque los polos de lazo cerrado en las

ubicaciones [-4+3j, -4-3j, -10]

◼ Se verifica la controlabilidad y resulta que la

matriz tiene rango n+1

0 1 0( ) ( )

5 6 4

( ) 1 0 ( )

t u t

y t t

= +

− −

=

x x

x

0 1 0

5 6 40

1 0 0

= − − − −

A B

C

Ejemplo 2: Cálculo de

ganancias

◼ El polinomio característico deseado es

◼ Con 𝑎0 = 5, a1 = 6 y b0 = 4

𝐾𝑑 =(18 − 𝑎1)

𝑏0= 3

𝐾𝑝 =(105 − 𝑎0)

𝑏0= 25

𝐾𝑖 =250

𝑏0= 62.5

3 2( ) 18 105 250s s s s = + + +

Ejemplo 2: Resultados

Ejemplo 2: Análisis de result.

◼ Puede observarse en la gráfica de respuesta

temporal que la salida se comporta como se

esperaba:

◼ Tiene un tiempo de estabilización de aprox. 1s, debido a la

ubicación de los polos dominantes a cuatro unidades del

eje imaginario.

◼ Posee un sobreimpulso menor al 2% debido a que los

polos dominantes tienen un amortiguamiento de 0.8.

◼ Presenta cero error de estado estacionario ante una

entrada escalón, debido a la acción integral.

◼ Muestra la eliminación del efecto a la salida de las

perturbaciones; aplicadas a la entrada y salida de la planta

en 6 y 8 segundos respectivamente.

Ejercicio 1: Diseño de servo

◼ Se tiene la planta dada por G(s). Se desea:

a) Obtener una respuesta sin sobrepaso que se

estabilice en 200ms o menos y un Mp <=5%.

b) Eliminar el error de estado estacionario

Objetivo: Dimensione un compensador

PID_2DoF para cumplir con estos dos requisitos.

𝐺 𝑠 =1331

𝑠2 + 39.17𝑠 + 1265

Ejercicio 1: Diseño de servo

Ejercicio 1: Diseño de servo

- Referencia

- Posición

- Acción de control

- Estado x1

- Estado x2

Resumen

◼ El método de realimentación de estado integral

corrige el error de estado estacionario, aún ante

perturbaciones o variaciones de parámetros;

pues aumenta el tipo de sistema en uno.

◼ Las ganancias requeridas Kp, Kd y Ki para un

PID 2DoF pueden calcularse por sustitución

directa con el método de REI.

Referencias

◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control

Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª

Ed., Madrid.

◼ Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de

control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,

2005, España.