Anova
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1
ANOVA PARA UN FACTOR PRINCIPAL Y UNO O MAS FACTORES DE BLOQUEO
P. Reyes / Marzo 2003
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2
ANOVA - CONTENIDO ANOVA DE UN FACTOR O DIRECCIÓN
ANOVA DE UN FACTOR Y UN FACTOR DE BLOQUEO
ANOVA DE UN FACTOR Y DOS FACTORES DE BLOQUEO – CUADRADO LATINO
ANOVA DE UN FACTOR Y TRES FACTORES DE BLOQUEO – CUADRADO GRECOLATINO
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3
ANOVA PARA UN FACTORO DIRECCIÓN
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4
ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factor
diferentessonsunasAHa
Ho a
..'.lg:
.........: 321
Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.)
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5
ANOVA - Condiciones Todas las poblaciones son normales
Todas las poblaciones tiene la misma varianza
Los errores son independientes con distribución normal de media cero
La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor
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6
ANOVA – Ejemplo de datos
Niveles del Factor Peso % de algodón y Resistencia de tela
Peso porc. Respuestade algodón Resistencia de la tela
15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11
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7
ANOVA – Suma de cuadrados total
Xij
Xij
Gran media
2
11
)(
b
j
a
i
XXijSCT
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8
ANOVA – Suma de cuadrados de renglones (a)-
tratamientos
Gran media
Media Trat. 1 Media Trat. a
Media trat. 2
a renglones
a
i
i XXbSCTr1
2)(
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9
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
Media X1.
X1jX3jX2j
Media X2.Media X3.
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3
2
11
)( i
b
jij
a
i
XXSCE
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10
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
Media X1.
X1jX3jX2j
Media X2.Media X3.
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3
SCTrSCTSCE
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11
ANOVA – Grados de libertad: Totales, Tratamientos, Error
ananSCEgl
aSCTrgl
nSCTgl
)1()1(.
1.
1.
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12
ANOVA – Cuadrados medios: Total, Tratamiento y Error
)/(
)1/(
)1/(
anSCEMCE
aSCTrMCTr
nSCTMCT
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13
ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel
SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr
Fc
.,.,
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14
Tabla final de ANOVATABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME
Dentro de muestras (error) SCE n-a CME
Variación total SCT n-1 CMT
Regla: Rechazar Ho si la Fc de la muestra es mayor que la F de Excel para una cierta alfao si el valor p correspondiente a la Fc es menor al valor de alfa especificado
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15
ANOVA – Toma de decisión
Fexcel
Fc
Alfa
Zona de rechazoDe Ho o aceptar Ha
Zona de no rechazo de HoO de no aceptar Ha
Distribución F
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16
ANOVA – Toma de decisión
Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza HoAceptando Ha donde las medias son diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc es menor de Alfa se rechaza Ho
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17
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T
Para diseños balanceado (mismo número de columnas en los tratamientos) el valor de q se determina por medio de la tabla en el libro de texto
bCME
qT ana ,,
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18
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T
Se calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi’s:
D1 = X1 – X2 D2 = X1 – X3 D3 = X2 – X3 etc.
Cada una de las diferencias Di se comparan con elvalor de T, si lo exceden entonces la diferencia es Significativa de otra forma se considera que las mediasSon iguales
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19
ANOVA – Identificar las medias diferentes por Prueba de
Diferencia Mínima Significativa DMS
Para diseños balanceados (los tratamientos tienen igual no. De columnas), se calcula un factor DMS contra el que se comparan las diferencias Xi – Xi’. Significativas si lo exceden
b
FCMEDMS an ,1,)(2
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20
Prueba DMS para Diseños no balanceados
anakj
kj FCMEbb
DMS
,1,, )(11
Para diseños no balanceados (los tratamientos tienen diferente no. De columnas), se calcula un factor DMSPara cada una de las diferencias Xi – Xi’
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21
ANOVA PARA UN FACTORPRINCIPAL Y UN FACTOR DE
BLOQUEO
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22
ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores
Se trata de probar si el efecto de un factor o
Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es
Significativo, al realizar experimentos variando
Los niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.)
POR RENGLON
Y
Considerando los niveles de otro factor que se piensa
Que tiene influencia en la prueba – FACTOR DE BLOQUEO
POR COLUMNA
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23
ANOVA – Prueba de hipótesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores
diferentessonsunasAHa
Ho a
..'.lg:
.........: 321
diferentessonsunasAHa
Ho a
..'.lg:
'.........''': 321
Para el tratamiento – en renglones
Para el factor de bloqueo – en columnas
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24
ANOVA 2 Factores - Ejemplo
Experiencia en años de los operadoresMaquinas 1 2 3 4 5
Maq 1 27 31 42 38 45Maq 2 21 33 39 41 46Maq 3 25 35 39 37 45
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25
ANOVA – Dos factores o direcciones La SCT y SCTr (renlgones) se determina
de la misma forma que para la ANOVA de una dirección o factor
En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de forma similar a la de los renglones
La SCE = SCT – SCTr - SCBl
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26
ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor de bloqueo (en cols)
)1/(
1.
)( 2
1
bSCBlCMBl
bSCBlgl
XXaSCBl j
b
j
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27
ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error
))(/(
))((.
bnanSCBlCME
bnanSCEgl
SCBlSCTrSCTSCE
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28
ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel
SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr
Fc
.,.,
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29
ANOVA de 2 factores – Cálculo del estadístico Fcbl y Fexcel bloques (columnas)
SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCBl
Fc
.,.,
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30
Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME
Entre Bloques (Factor Bl) SCBl b-1 CMBL CMBL/CME
Dentro de muestras (error) SCE (a-1)(b-1) CME
Variación total SCT n-1 CMT
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa
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31
ANOVA – 2 F. Toma de decisión
Fexcel
FcTr o Bl
Alfa
Zona de rechazoDe Ho o aceptar Ha
Zona de no rechazo de HoO de no aceptar Ha
Distribución F
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32
ANOVA – 2 F. Toma de decisión
Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl) es menor de Alfa se rechaza Ho
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33
Cálculo de los residuales
.
.
*
ˆ
ˆ
.,,05.0
....
i
i
yMSEglkk
y
ijijij
jiij
srRbMSE
s
yye
yyyy
Y estimada
Error o residuo
Error estándar
Factor de comparación
Si la diferencia de medias excede a Rk es significativa
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34
Adecuación del modelo Los residuales deben seguir una recta en la
gráfica normal
Deben mostrar patrones aleatorios en las gráficas de los residuos contra el orden de las Yij, contra los valores estimados y contra los valores reales Yij
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35
ANOVA PARA UN FACTOR PRINCIPAL Y DOS O TRES FACTORES DE BLOQUEO
CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO
![Page 36: Anova](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022070413/55cf929b550346f57b97efc1/html5/thumbnails/36.jpg)
36
ANOVA – 3 y 4 factores El diseño de Cuadrado latino utiliza dos
factores de bloqueo adicionales al de Tratamiento
EL diseño de Cuadrado Grecolatino utiliza tres factores adicionales al del Tratamiento
El cálculo de suma de cuadrados para renglones y para columnas es similar al de ANOVA de un factor principal y otro de bloqueo
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37
Cuadrado Latino
Años exp. TurnoEmpleado Mañana Tarde Noche
1 B=15 A=18 C=11
2 C=12 B=20 A=9
3 A=17 C=19 B=10A, B, C = Máquinas 1, 2 y 3
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38
ANOVA – Cuadrado Latino: Factor principal (A,B,C,D)
)1/(
11.
)( 2
1
bSCTrCMTr
baSCTrgl
XXaSCTr Tr
b
j
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39
ANOVA – Cuadrado Latino: Cálculo del error
)1)(2/(
)1)(2(.
Re
aaSCECME
aaSCEgl
SCTrngSCSCTcolSCTSCE
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40
ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel
SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCTr
Fc
.,.,
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41
ANOVA – Cuadrado Latino Reng / Col
SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCCols
Fcols
MCEngMC
Fcreng
.,.,
Re
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42
Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME
Columnas SCCol b-1 CMCol CMCol/CME
Tratamiento SCTr a-1 CMTr CMTr/CME
Dentro de muestras (error) SCE (a-2)(a-1) CME
Variación total SCT n-1 CMT
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43
Cuadrado latino en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1
Se introducen los subíndices de los renglones en una columna C2
Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3
Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C4
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44
Cuadrado latino en Minitab Opción: ANOVA – General linear model
En Response indicar la col. De Respuesta,
En Model indicar las columnas de los factores y
En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). Se pueden pedir interacciones entre factores x – y con Cx*Cy
Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden
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45
Cuadrado Greco Latino
Experiencia de los operadores
Lotes MP 1 2 3 4 5
1 Aa=-1 Bc=-5 Ce=-6 Db=-1 Ed=-1
2 Bb=-8 Cd=-1 Da=5 Ec=2 Ae=11
3 Cc=-7 De=13 Eb=1 Ad=2 Ba=-4
4 Dd=1 Ea=6 Ac=1 Be=-2 Cb=-3
5 Ee=-3 Ab=5 Bd=-5 Ca=4 Dc=6
a, b, c y d son 5 diferentes tipos de montaje A, B, C, D y E son las 5 formulaciones a probar
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46
Cuadrado Greco latino en Minitab
Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subíndices de los renglones en
una columna C2
Se introducen los subíndices de las columnas en una columna C3
Introducir los subíndices del factor adicional de letras griegas con letras latinas minúsculas (a,b,c,d,e) en C4
Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C5
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47
Cuadrado Greco latino en Minitab
Opción: ANOVA – General linear model
En Response indicar la col. De Respuesta,
En Model indicar las columnas de los factores y
En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). También se pueden indicar interacciones entre factores x-y con Cx * Cy
Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden
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48
ANOVA – Cuadrado Grecolatino
)1/(
1.
)( 2
1
bSCGCMG
bSCGgl
XXaSCG m
b
m
![Page 49: Anova](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022070413/55cf929b550346f57b97efc1/html5/thumbnails/49.jpg)
49
ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error
)1)(3/(
)1)(3(.
Re
aaSCECME
aaSCEgl
SCColnSCSCGSCTrSCTSCE
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50
ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Fexcel
SCEglSCTrglALFAFINVFexcelMCEMCG
Fc
.,.,
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51
ANOVA – Cuadrado Grecolatino
SCEglSCBlglALFAFINVFexcelMCEMCTr
Fc
.,.,
![Page 52: Anova](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022070413/55cf929b550346f57b97efc1/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Tabla final ANOVA 2 FactoresFUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME
Columnas SCCol b-1 CMCol CMCol/CMELetras griegas SCG a-1 CMG CMG/CMETratamiento SCTr a-1 CMTr CMTr/CME
Dentro de muestras (error) SCE (a-3)(a-1) CME
Variación total SCT n-1 CMT