Antiderivada o Primitiva - matevbv.files.wordpress.com · A medida que vayas haciendo ejercicios...
Transcript of Antiderivada o Primitiva - matevbv.files.wordpress.com · A medida que vayas haciendo ejercicios...
Antiderivada o Primitiva
Antiderivada o Primitiva
Veronica Briceno V.
Octubre 2013
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de Antiderivada
EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplos
Metodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de Sustitucion
Metodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes
Antiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por Tramos
Antiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion Inversa
Ejemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Definicion
Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Una PRIMITIVA o ANTIDERIVADA de f en A es una funcionF : A ⊆ R→ R continua, si:
F ′(x) = f (x), ∀x ∈ A.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1
x + ex + 2x5−√
xx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)
3 f (x) = 1x + ex + 2x5−
√x
x
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1
x + ex + 2x5−√
xx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Observaciones:
1 Las antiderivadas no son unicas.
2 Notacion:∫f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Observaciones:
1 Las antiderivadas no son unicas.2 Notacion:∫
f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Tabla de Antiderivadas
1∫
dx = x + C2∫
xndx = xn+1
n+1 + C3∫ dx
x = ln|x |+ C4∫
sen(x)dx = −cos(x) + C5∫
cos(x)dx = sen(x) + C6∫
tg(x)dx = −ln(|cos(x)|) + C7∫
cotg(x)dx = ln(|sen(x)|) + C8∫
sec2(x)dx = tg(x) + C9∫
sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C10∫
exdx = ex + C11∫ dx√
1−x2= arcsen(x) + C
12∫ dx
1+x2 = arctg(x) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
IDEA!!!
Construye tu propia tabla con antiderivadas.A medida que vayas haciendo ejercicios podras ir completandoesta tabla.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.
Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R
3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,a 6= 0, entonces 1
aF (ax + b) es una antiderivada def (ax + b) en A.
4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)
f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.
4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)
f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0, ∀x ∈ A.
Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios:
Calcular:
1∫
sen2(x)dx
2∫ √1+x
1−x dx
3∫(√
x + x)2dx4∫ ex
1+ex dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Metodo de Sustitucion
TeoremaSea g una funcion derivable con recorrido un intervalo I .Suponga tambien que f es continua en I entonces∫
f (g(x))g′(x)dx =
∫f (u)du =
∫f (u)
dudx
dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios:
Calcular:
1∫
x√
25 + x2dx2∫ dx√
x(1+√
x)2
3∫ √x+ln x
x dx4∫ dx
7x2+8dx5∫
42−3xdx6∫ x+1√
x2+2x−4dx
7∫ e2x
1+ex dx8∫ 3x
x2+1dx9∫
sen3(x)dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Algunas Tecnicas de Sustitucion:
Se tiene:
InmediataRacionalFracciones ParcialesTrigonometricaHiperbolicasTangente del Angulo MedioIrracional
NOTA:Mas adelante, veremos un capitulo sobre FuncionesTrascendentales, donde estudiaremos las FuncionesHiperbolicas.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Algunas Ideas:
Formas Irracionales:
Si la antiderivada contiene terminos: n√
x , m√
x , usar lasustitucion: unm = x
Formas Racionales:∫ p(x)
q(x)dx
Analizar si q(x) se puede factorizar, entonces usar fraccionesparciales, en otro caso, utilizar otra estrategia como completarcuadrados, formas trigonometricas, etc.
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Sustitucion Trigonometrica:
Analizar las formas: ∫senn dx ;
∫cosm dx
∫senn cosm dx
Para antiderivadas que contienen terminos de la forma:√a2 − x2 ,
√a2 + x2 o
√x2 − a2 , usar la sustitucion:
x = a sen θ , x = a tg θ o x = a sec θ.
Muy util es tambien la sustitucion: z = tg(x/2).Donde: sen(x/2) = z
1+z2 ; cos(x/2) = 11+z2
Por tanto, sen x = 2z1+z2 ; cos x = 1−z2
1+z2
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios Propuestos:
Calcular:1∫ e1/x
x2 dx2∫ arc tg(x/2)
4+x2 dx
3∫ (arc sen x)2√
1−x2dx
4∫ x√
1+x4dx
5∫ dx
x√
x2−2
6∫ dx
1+ex
7∫ x2+1
x3+8dx8∫ dx
3√x+√
x9∫ dx
x2−2x+210∫ dx
2x2+12x+1011∫ √
2 + x2dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Metodo de Integracion por Partes
Metodo de Integracion por Partes∫udv = uv −
∫vdu
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios:
Calcular:
1∫
x cos(x)dx2∫
ln(x)dx3∫
x2exdx4∫
ex cos(x)dx5∫
sen(ln x)dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios:
Usar integracion por partes para escribir las formulas dereduccion:
1∫
cosn(x)dx = cosn−1 x sen xn + n−1
n
∫cosn−2(x)dx
2∫
xn cos(x)dx = xnsenx − n∫
xn−1 sen(x)dx3∫
xnexdx = xnex − n∫
xn−1exdx4∫(ln x)ndx = x(ln x)n − n
∫(lnx)n−1dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
Observacion
Por definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de:
f (x) ={
x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de:
f (x) ={
x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:
Calcular:
1 La antiderivada de:
f (x) ={
x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de:
f (x) ={
x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular:
∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫
f−1(x)dx =
∫uf ′(u)du
Usando integracion por partes:
w = u,dw = du
dv = f ′(u)du, v = f (u)
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫
f−1(x)dx =
∫uf ′(u)du
Usando integracion por partes:
w = u,dw = du
dv = f ′(u)du, v = f (u)
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar:
∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫
f−1(x)dx =
∫uf ′(u)du
Usando integracion por partes:
w = u,dw = du
dv = f ′(u)du, v = f (u)
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫
f−1(x)dx =
∫uf ′(u)du
Usando integracion por partes:
w = u,dw = du
dv = f ′(u)du, v = f (u)
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫
f−1(x)dx =
∫uf ′(u)du
Usando integracion por partes:
w = u,dw = du
dv = f ′(u)du, v = f (u)
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejemplo:
Calcular∫
arc tg xdx
Sea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .
Ası,∫
arc tg xdx = x arc tg x −∫
f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dx
Finalmente,∫
arc tg xdx = x arc tg x − 12 ln(1 + x2) + C
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
Ejercicios:
Calcular:
1∫
arc sen xdx2∫
arc cos xdx
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva