Antiderivadas
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Cálculo IntegralAntiderivadas
M. en C. Juliho Castillo31 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1
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1 Antiderivadas
Ejercicios Resueltos
Evaluación continua
2
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Antiderivadas
3
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Si F ′(x) = f(x), diremos que F es una antiderivada de f.
4
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Ejemplo 1.1.
x3 es una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3
)= 3x2
Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3 + 5
)= 3x2
5
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Ejemplo 1.1.
x3 es una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3
)= 3x2
Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3 + 5
)= 3x2
5
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Ejemplo 1.1.
x3 es una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3
)= 3x2
Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3 + 5
)= 3x2
5
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Ejemplo 1.1.
x3 es una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3
)= 3x2
Pero x3 + 5 es también una antiderivada de 3x2, porque...
Dx
(x3 + 5
)= 3x2
5
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En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.
Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que
F (x) = G(x) + C.
Diremos que C es una constante de integración.
6
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En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.
Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que
F (x) = G(x) + C.
Diremos que C es una constante de integración.
6
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En general, si F (x) es una antiderivada de f(x), entoncesF (x) + C, C ∈ R es también una antiderivada.
Más aun, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f(x), entoncesexiste C ∈ R tal que
F (x) = G(x) + C.
Diremos que C es una constante de integración.
6
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∫f(x)dx denotara cualquier antiderivada de f(x) más una
constante de integración.
Diremos que f(x) es el integrando, mientras que∫
f(x)dx esllamada integral indefinidad.
7
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∫f(x)dx denotara cualquier antiderivada de f(x) más una
constante de integración.
Diremos que f(x) es el integrando, mientras que∫
f(x)dx esllamada integral indefinidad.
7
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Ejemplo 1.2.
1 ∫xdx = 1
2x2 + C
2 ∫− sin(x)dx = cos(x) + C
8
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Ejemplo 1.2.
1 ∫xdx = 1
2x2 + C
2 ∫− sin(x)dx = cos(x) + C
8
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Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
9
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Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
9
![Page 18: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/18.jpg)
Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
9
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Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
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![Page 20: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/20.jpg)
Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
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Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
9
![Page 22: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/22.jpg)
Proposición 1.1 (Reglas para antiderivadas).
1∫
0dx = C
2∫
1dx = x + C
3∫
adx = ax + C
4∫
xrdx = xr+1
r + 1 + C, r = −1
5∫
af(x)dx = af(x) + C
6∫
(f(x) + g(x)) dx =∫
f(x)dx +∫
g(x)dx
7∫
(f(x) − g(x)) dx =∫
f(x)dx −∫
g(x)dx
9
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Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 24: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 25: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/25.jpg)
Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 26: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/26.jpg)
Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 27: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/27.jpg)
Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 28: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/28.jpg)
Ejemplo 1.3.
1∫
3√
xdx =2
∫ 1x2 dx =
3∫
7x3dx =4
∫(x2 + 4) dx =
5∫
(3x6 − 4x) dx =
10
![Page 29: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/29.jpg)
Con las reglas (3)-(7), podemos calcular la antiderivada decualquier polinomio.
Ejemplo 1.4.
∫ (6x8 − 2
3x5 + 7x4 +√
3)
dx =
11
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Proposición 1.2 (Regla 8, fórmula rápida).
∫(g(x))r g′(x)dx = 1
r + 1 (g(x))r+1 + C
para r 6= −1.
12
![Page 31: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/31.jpg)
Ejemplo 1.5.
∫ (13x3 + 7
)5x2dx =
13
![Page 32: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/32.jpg)
Ejemplo 1.6.
∫ (x2 + 1
)2/3xdx =
14
![Page 33: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/33.jpg)
Proposición 1.3 (Regla 9, método de sustitución).
∫f (g(x)) g′(x)dx =
∫f(u)du
donde u = g(x), du = g′(x)dx.
Véase el ejericicio resuelto 5
15
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Ejemplo 1.7.
Encuentre ∫x sin(x2)dx =
16
![Page 35: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/35.jpg)
Ejemplo 1.8.
Encuentre ∫sin(x/2)dx =
17
![Page 36: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/36.jpg)
18
![Page 37: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/37.jpg)
Antiderivadas
Ejercicios Resueltos
19
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Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 39: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/39.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 40: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/40.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 41: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 42: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 43: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/43.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 44: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/44.jpg)
Ejercicio Resuelto 1 (Fórmula rápida (1.2)).
1∫
(s3 + 2)2 (3s2)ds =2
∫(x3 + 2)1/2
x2dx =
3∫ 8x2
(x3 + 2)3 dx =
4∫ x2dx
4√
x3 + 2dx =
5∫
3x√
1 − 2x2dx =6
∫ 3√
1 − x2xdx =7
∫sin2(x) cos(x)dx =
20
![Page 45: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/45.jpg)
Ejercicio Resuelto 2.
1∫ cos(
√x)√
xdx =
2∫
x sec2(4x2 − 5)dx =3
∫x2√x + 1dx =
21
![Page 46: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/46.jpg)
Ejercicio Resuelto 2.
1∫ cos(
√x)√
xdx =
2∫
x sec2(4x2 − 5)dx =3
∫x2√x + 1dx =
21
![Page 47: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/47.jpg)
Ejercicio Resuelto 2.
1∫ cos(
√x)√
xdx =
2∫
x sec2(4x2 − 5)dx =3
∫x2√x + 1dx =
21
![Page 48: Antiderivadas](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022051708/589976751a28ab49478b7af1/html5/thumbnails/48.jpg)
Ejercicio Resuelto 3.
Una piedra se lanza hacia arriba desde el suelo, con unavelocidad inicial de 64ft/s.
1 ¿Cuándo alcanzará su altura máxima?2 ¿Cuál será su altura máxima?3 ¿Cuándo tocará el suelo?4 ¿Cuál será su velocidad al tocar el suelo?
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Ejercicio Resuelto 4.
Encuentre la ecuación de una curva en el plano xy que pasapor el punto (0, 1) y cuya pendiente es igual a la altura encada punto (x, y).
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Ejercicio Resuelto 5.
Justifique el método de sustitución (1.3).
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Antiderivadas
Evaluación continua
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Evaluación Continua 1 (Antiderivadas).En los siguientes problemas, puede utilizar cualquier regla paraantiderivadas.
1∫
(x − 1)2 xdx
2∫
(x2 − x)4 (2x − 1) dx
3∫ x + 1√
x2 + 2x − 4dx
4∫ (1 +
√x)2
√x
dx
5∫ (x + 1)(x − 2)√
xdx
6∫
sec(3x) tan(3x)dx
7∫
csc2(2x)dx
8∫
x sec2(x2)dx
9∫
tan2(x)dx
10∫
cos4(x) sin(x)dx
11∫ dx√
5 − x2
12∫ sec2(x)dx
1 − 4 tan2(x)
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Bibliografía
Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 22``Antiderivatives'' de nuestro libro de texto ``Ayres,F. and Mendelson, E.;``Calculus''; Schaum'sOutlines, McGraw Hill; 5th Edition.''
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