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Page | 0 ANTOLOGÍA DE LA UNIDAD UNO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Técnico Superior Universitario en Mecánica Industrial. Grupos: 2 ”A” y 2”B” Elaboró: M.A. Ángel Guerrero Guerrero Periodo: Enero-Abril 2020
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ANTOLOGIacuteA DE LA UNIDAD UNO DE FUNCIONES
MATEMAacuteTICAS
Teacutecnico Superior Universitario en Mecaacutenica Industrial
Grupos 2 rdquoArdquo y 2rdquoBrdquo
Elaboroacute MA Aacutengel Guerrero Guerrero
Periodo Enero-Abril 2020
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Contents iquestQueacute es Geometriacutea 5
Poliacutegono 6
Tipos de poliacutegonos 6
Poliacutegonos seguacuten sus lados 6
Poliacutegonos seguacuten su regularidad 6
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos 7
Triaacutengulo 8
Elementos de un triaacutengulo 8
Tipos de triaacutengulos 8
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados 8
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos 9
Aacuterea del triaacutengulo 10
Periacutemetro del triaacutengulo 13
Centros de un triaacutengulo 16
Recta de Euler 19
Teorema de Pitaacutegoras 19
Teoremas trigonometricos 20
Teorema del seno 20
Teorema del coseno 21
Cuadrilaacutetero 22
Elementos del cuadrilaacutetero 22
Tipos de cuadrilaacutetero 22
Aacuterea de un paralelogramo 23
Periacutemetro de un paralelogramo 24
Meacutetodo del paralelogramo 24
Cuadrado 25
Elementos y propiedades del cuadrado 25
Diagonal del cuadrado 25
Aacuterea del cuadrado 26
Periacutemetro del cuadrado 26
Rectaacutengulo 27
Diagonal del rectaacutengulo 27
Aacuterea del rectaacutengulo 28
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Periacutemetro del rectaacutengulo 28
Rombo 28
Elementos y propiedades del rombo 28
Diagonales del rombo 29
Aacuterea del rombo 30
Periacutemetro del rombo 30
Romboide 32
Elementos y propiedades del romboide 32
Aacuterea del romboide 32
Periacutemetro del romboide 33
Trapecio 33
Elementos y propiedades del trapecio 33
Tipos de trapecio 34
Aacuterea de un trapecio 34
Periacutemetro del trapecio 36
Trapezoide 36
Elementos y propiedades del trapezoide 36
Aacuterea del trapezoide 37
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 39
Periacutemetro del trapezoide 40
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 40
Trapezoide no simeacutetrico 41
Pentaacutegono 42
Tipos de pentaacutegono 42
Periacutemetro del pentaacutegono regular 42
Periacutemetro del pentaacutegono irregular 42
Aacuterea del pentaacutegono regular 43
Aacuterea del pentaacutegono irregular 43
Determinante de Gauss 43
Ciacuterculo 44
Semiciacuterculo 44
Corona circular 44
Elipse 45
Elementos de un ciacuterculo 45
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Cuerpos geomeacutetricos 46
Volumen 47
Prisma 47
Volumen prisma triangular regular 47
Volumen prisma cuadrangular regular 48
Volumen prisma pentagonal regular 48
Volumen prisma hexagonal regular 48
Piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular irregular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular 52
Poliedro regular 52
Volumen del tetraedro 52
Volumen del cubo (hexaedro regular) 53
Volumen del octaedro 53
Volumen del dodecaedro 53
Volumen de la esfera 54
Volumen del cilindro 54
Volumen del cono 54
Volumen del tronco del cono 55
Volumen del toro 55
Trigonometriacutea 56
Aacutengulos 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida 57
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Trigonometriacutea 60
Razones trigonomeacutetricas 60
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Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos 61
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas 61
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas 62
Funciones trigonomeacutetricas inversas 63
Teoremas trigonomeacutetricos 66
Teorema del seno (Ley de senos) 66
Teorema del coseno 67
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple 69
EJERCICIOS 70
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
Page | 107
Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
Page | 1
Contents iquestQueacute es Geometriacutea 5
Poliacutegono 6
Tipos de poliacutegonos 6
Poliacutegonos seguacuten sus lados 6
Poliacutegonos seguacuten su regularidad 6
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos 7
Triaacutengulo 8
Elementos de un triaacutengulo 8
Tipos de triaacutengulos 8
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados 8
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos 9
Aacuterea del triaacutengulo 10
Periacutemetro del triaacutengulo 13
Centros de un triaacutengulo 16
Recta de Euler 19
Teorema de Pitaacutegoras 19
Teoremas trigonometricos 20
Teorema del seno 20
Teorema del coseno 21
Cuadrilaacutetero 22
Elementos del cuadrilaacutetero 22
Tipos de cuadrilaacutetero 22
Aacuterea de un paralelogramo 23
Periacutemetro de un paralelogramo 24
Meacutetodo del paralelogramo 24
Cuadrado 25
Elementos y propiedades del cuadrado 25
Diagonal del cuadrado 25
Aacuterea del cuadrado 26
Periacutemetro del cuadrado 26
Rectaacutengulo 27
Diagonal del rectaacutengulo 27
Aacuterea del rectaacutengulo 28
Page | 2
Periacutemetro del rectaacutengulo 28
Rombo 28
Elementos y propiedades del rombo 28
Diagonales del rombo 29
Aacuterea del rombo 30
Periacutemetro del rombo 30
Romboide 32
Elementos y propiedades del romboide 32
Aacuterea del romboide 32
Periacutemetro del romboide 33
Trapecio 33
Elementos y propiedades del trapecio 33
Tipos de trapecio 34
Aacuterea de un trapecio 34
Periacutemetro del trapecio 36
Trapezoide 36
Elementos y propiedades del trapezoide 36
Aacuterea del trapezoide 37
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 39
Periacutemetro del trapezoide 40
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 40
Trapezoide no simeacutetrico 41
Pentaacutegono 42
Tipos de pentaacutegono 42
Periacutemetro del pentaacutegono regular 42
Periacutemetro del pentaacutegono irregular 42
Aacuterea del pentaacutegono regular 43
Aacuterea del pentaacutegono irregular 43
Determinante de Gauss 43
Ciacuterculo 44
Semiciacuterculo 44
Corona circular 44
Elipse 45
Elementos de un ciacuterculo 45
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Cuerpos geomeacutetricos 46
Volumen 47
Prisma 47
Volumen prisma triangular regular 47
Volumen prisma cuadrangular regular 48
Volumen prisma pentagonal regular 48
Volumen prisma hexagonal regular 48
Piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular irregular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular 52
Poliedro regular 52
Volumen del tetraedro 52
Volumen del cubo (hexaedro regular) 53
Volumen del octaedro 53
Volumen del dodecaedro 53
Volumen de la esfera 54
Volumen del cilindro 54
Volumen del cono 54
Volumen del tronco del cono 55
Volumen del toro 55
Trigonometriacutea 56
Aacutengulos 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida 57
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Trigonometriacutea 60
Razones trigonomeacutetricas 60
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Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos 61
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas 61
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas 62
Funciones trigonomeacutetricas inversas 63
Teoremas trigonomeacutetricos 66
Teorema del seno (Ley de senos) 66
Teorema del coseno 67
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple 69
EJERCICIOS 70
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Periacutemetro del rectaacutengulo 28
Rombo 28
Elementos y propiedades del rombo 28
Diagonales del rombo 29
Aacuterea del rombo 30
Periacutemetro del rombo 30
Romboide 32
Elementos y propiedades del romboide 32
Aacuterea del romboide 32
Periacutemetro del romboide 33
Trapecio 33
Elementos y propiedades del trapecio 33
Tipos de trapecio 34
Aacuterea de un trapecio 34
Periacutemetro del trapecio 36
Trapezoide 36
Elementos y propiedades del trapezoide 36
Aacuterea del trapezoide 37
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 39
Periacutemetro del trapezoide 40
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide) 40
Trapezoide no simeacutetrico 41
Pentaacutegono 42
Tipos de pentaacutegono 42
Periacutemetro del pentaacutegono regular 42
Periacutemetro del pentaacutegono irregular 42
Aacuterea del pentaacutegono regular 43
Aacuterea del pentaacutegono irregular 43
Determinante de Gauss 43
Ciacuterculo 44
Semiciacuterculo 44
Corona circular 44
Elipse 45
Elementos de un ciacuterculo 45
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Cuerpos geomeacutetricos 46
Volumen 47
Prisma 47
Volumen prisma triangular regular 47
Volumen prisma cuadrangular regular 48
Volumen prisma pentagonal regular 48
Volumen prisma hexagonal regular 48
Piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular irregular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular 52
Poliedro regular 52
Volumen del tetraedro 52
Volumen del cubo (hexaedro regular) 53
Volumen del octaedro 53
Volumen del dodecaedro 53
Volumen de la esfera 54
Volumen del cilindro 54
Volumen del cono 54
Volumen del tronco del cono 55
Volumen del toro 55
Trigonometriacutea 56
Aacutengulos 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida 57
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Trigonometriacutea 60
Razones trigonomeacutetricas 60
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Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos 61
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas 61
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas 62
Funciones trigonomeacutetricas inversas 63
Teoremas trigonomeacutetricos 66
Teorema del seno (Ley de senos) 66
Teorema del coseno 67
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple 69
EJERCICIOS 70
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cuerpos geomeacutetricos 46
Volumen 47
Prisma 47
Volumen prisma triangular regular 47
Volumen prisma cuadrangular regular 48
Volumen prisma pentagonal regular 48
Volumen prisma hexagonal regular 48
Piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide 49
Volumen de la piraacutemide regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular regular 49
Volumen de la piraacutemide triangular irregular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular 50
Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular 51
Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular 52
Poliedro regular 52
Volumen del tetraedro 52
Volumen del cubo (hexaedro regular) 53
Volumen del octaedro 53
Volumen del dodecaedro 53
Volumen de la esfera 54
Volumen del cilindro 54
Volumen del cono 54
Volumen del tronco del cono 55
Volumen del toro 55
Trigonometriacutea 56
Aacutengulos 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido 56
Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida 57
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos 58
Trigonometriacutea 60
Razones trigonomeacutetricas 60
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Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos 61
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas 61
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas 62
Funciones trigonomeacutetricas inversas 63
Teoremas trigonomeacutetricos 66
Teorema del seno (Ley de senos) 66
Teorema del coseno 67
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple 69
EJERCICIOS 70
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos 61
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas 61
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas 62
Funciones trigonomeacutetricas inversas 63
Teoremas trigonomeacutetricos 66
Teorema del seno (Ley de senos) 66
Teorema del coseno 67
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma 67
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad 68
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple 69
EJERCICIOS 70
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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iquestQueacute es Geometriacutea
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que estudia las medidas propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio tales como de los puntos liacuteneas aacutengulos superficies y soacutelidos El teacutermino geometriacutea viene de los teacuterminos griegos geos (tierra) y metriacutea (medir) Es decir era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra La geometriacutea tiene muacuteltiples aplicaciones en la vida cuotidiana
Un constructor va a disentildear un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia municipal Para ello puede recurrir a la foacutermula del volumen del prisma rectangular ya que la finca tiene esa forma
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Poliacutegono
Un poliacutegono es una figura geomeacutetrica plana limitada por un nuacutemero finito de liacuteneas rectas conectadas que forman una figura cerrada Los puntos donde dos liacuteneas rectas del poliacutegono se unen son los veacutertices
Tipos de poliacutegonos
Los poliacutegonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Poliacutegonos seguacuten sus lados
Los poliacutegonos se pueden clasificar seguacuten su nuacutemero de lados Triaacutengulo poliacutegono con tres lados Cuadrilaacutetero poliacutegono con cuatro lados Pentaacutegono poliacutegono con cinco lados Hexaacutegono poliacutegono con seis lados Heptaacutegono poliacutegono con siete lados Octoacutegono poliacutegono con ocho lados Eneaacutegono poliacutegono con nueve lados Decaacutegono poliacutegono con diez lados Undecaacutegono poliacutegono con once lados Dodecaacutegono poliacutegono con doce lados Y asiacute sucesivamentehellip
Poliacutegonos seguacuten su regularidad
Equilaacutetero si tienen todos sus lados iguales Equiaacutengulo si tiene todos sus aacutengulos iguales Poliacutegono regular si todos los lados son iguales y es equiaacutengulo (todos los aacutengulos iguales)
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Poliacutegono irregular tiene tanto sus lados como sus aacutengulos desiguales
Poliacutegonos seguacuten sus aacutengulos
Podemos clasificar los poliacutegonos seguacuten si sus aacutengulos son mayores o menores de 180ordm en convexos o coacutencavos Convexo todos sus aacutengulos interiores tienen menos de 180ordm Por otro meacutetodo seraacute convexo si para cualquier par de puntos del poliacutegono el segmento que los une estaacute dentro del poliacutegono Coacutencavo alguacuten aacutengulo interior tiene maacutes de 180ordm Al contrario del convexo en los coacutencavos existe un par de puntos del poliacutegono que el segmento que los une queda fuera del poliacutegono
Poliacutegonos seguacuten su complejidad Simple ninguacuten lado del poliacutegono intersecta con otro Complejo al menos un par de lados se corta
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Triaacutengulo
Un triaacutengulo es un poliacutegono de tres lados (a b y c) Los lados confluyen dos a dos en tres puntos llamados veacutertices (A B y C) Los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm (π radianes)
Elementos de un triaacutengulo
En un triaacutengulo se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices puntos en los que confluyen dos lados Tiene 3 veacutertices (A B y C) Lados segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del triaacutengulo y que delimitan su periacutemetro Tiene 3 lados (a b y c) Aacutengulos interiores aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 3 aacutengulos interiores (α β y γ) Los aacutengulos interiores del triaacutengulo suman 180ordm
Aacutengulos exteriores aacutengulo de un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 3 aacutengulos exteriores (θ) Los aacutengulos exteriores siempre suman 360ordm Altura de un triaacutengulo La altura de un triaacutengulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten puede entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
Tipos de triaacutengulos
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus lados
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
Page | 107
Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Triaacutengulo equilaacutetero tiene todos sus lados iguales Por tanto sus aacutengulos tambieacuten son los tres iguales Es decir
Como todos los aacutengulos son iguales y suman 180ordm todos son de 60ordm (α=β=γ=60ordm)
Triaacutengulo isoacutesceles tiene dos lados iguales Por lo tanto dos de sus aacutengulos tambieacuten son iguales
El aacutengulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c) Triaacutengulo escaleno los tres lados son desiguales por lo que los tres aacutengulos tambieacuten son diferentes Es decir
Tipos de triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulo rectaacutengulo uno de sus aacutengulos es de 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo oblicuaacutengulo no tiene ninguacuten aacutengulo recto (90deg) Soacuten triaacutengulos oblicuaacutengulos los triaacutengulos acutaacutengulos y los triaacutengulos obtusaacutengulos
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Triaacutengulo acutaacutengulo los tres aacutengulos son agudos (menores de 90ordm) Triaacutengulo obtusaacutengulo uno de sus aacutengulos es mayor a 90ordm Los otros dos son agudos (menores de 90ordm)
A continuacioacuten os mostramos una tabla de los triaacutengulos seguacuten sus aacutengulos y lados
Aacuterea del triaacutengulo
El aacuterea de un triaacutengulo se calcula por diferentes procedimientos seguacuten el tipo de triaacutengulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triaacutengulo
La foacutermula general para calcular el aacuterea de un triaacutengulo es
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Veamos cual es la foacutermula seguacuten el tipo de triaacutengulo
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Aacuterea de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales Su aacuterea como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (a) por su altura En el triaacutengulo equilaacutetero viene definida por la siguiente foacutermula
Aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles El aacuterea de un triaacutengulo isoacutesceles como en todo triaacutengulo seraacute un medio de la base (b) por su altura En el triaacutengulo isoacutesceles se calcula mediante la siguiente foacutermula Aacuterea de un triaacutengulo escaleno El aacuterea del triaacutengulo escaleno puede calcularse mediante la foacutermula de Heroacuten si se conocen todos sus lados (a b y c)
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Tambieacuten se podriacutea calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado
Periacutemetro del triaacutengulo
En cualquier triaacutengulo su periacutemetro es la suma de sus tres lados La foacutermula del periacutemetro de un triaacutengulo es diferente seguacuten el tipo de triaacutengulos La foacutermula general para calcular el periacutemetro de un triaacutengulo es
Periacutemetro de un triaacutengulo equilaacutetero El triaacutengulo equilaacutetero tiene los tres lados iguales por lo que su periacutemetro seraacute tres veces la longitud de uno de sus lados (a) Periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles se obtiene como suma de los tres lados del triaacutengulo Al tener dos lados iguales el periacutemetro es dos veces el lado repetido (a) maacutes el lado desigual (b) Periacutemetro de un triaacutengulo escaleno El triaacutengulo escaleno tiene sus tres lados desiguales Su periacutemetro es la suma de eacutestos tres
Aacutengulos interiores del triaacutengulo En todo triaacutengulo la suma de sus tres aacutengulos interiores es siempre 180ordm (en grados sexagesimales) o en radianes π Es decir
En efecto si trazamos una recta OP paralela al lado AC sobre el veacutertice B se formaraacute un aacutengulo llano de 180ordm suma de los tres aacutengulos interiores del triaacutengulo En el caso particular del triaacutengulo rectaacutengulo la suma de los dos aacutengulos agudos es de 90ordm o en radianes π2
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Centros de un triaacutengulo
Baricentro (o centroide) de un triaacutengulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triaacutengulo Las medianas (ma mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus veacutertices con el centro del lado opuesto Se cumple la siguiente propiedad la distancia del centroide a cada veacutertice es de 23 la longitud de cada mediana En fiacutesica el baricentro (G) seriacutea el centro de gravedad del triaacutengulo El centroide estaacute siempre en el interior del triaacutengulo Ortocentro de un triaacutengulo
El ortocentro H es el punto interseccioacuten de las tres alturas de un triaacutengulo Las alturas (ha hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el veacutertice opuesto a este lado (o a su prolongacioacuten) Tambieacuten pueden entenderse como la distancia de un lado al veacutertice opuesto
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
Page | 107
Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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El ortocentro podriacutea estar en el exterior del triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos coincidiraacute con el veacutertice del aacutengulo recto En los acutaacutengulos seraacute un punto interior En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triaacutengulo obtusaacutengulo Circuncentro de un triaacutengulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triaacutengulo Las mediatrices de un triaacutengulo (Ma Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados es decir las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de eacuteste
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triaacutengulo ya que equidista de sus tres veacutertices El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperiacutemetro del triaacutengulo
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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El circuncentro puede estar en el exteriordel triaacutengulo en el caso de que sea un triaacutengulo obtusaacutengulo En los rectaacutengulos el circuncentro se encontraraacute en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al aacutengulo de 90ordm) En los acutaacutengulos seraacute un punto interior Incentro de un triaacutengulo
El incentro (I) es la interseccioacuten de las tres bisectrices del triaacutengulo Las bisectrices de un triaacutengulo (Ba Bb y Bc) son los tres segmentos que dividiendo cada uno de sus tres aacutengulos en dos partes iguales termina en el correspondiente lado opuesto
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triaacutengulo El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la foacutermula
El incentro se encuentra siempre en el interior del triaacutengulo
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Recta de Euler
En todo triaacutengulo no equilaacutetero se cumple la siguiente propiedad el ortocentro (H) el baricentro (G) y el circuncentro (O) estaacuten alineados La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O) O dicho de otro modo el segmento HG es el doble que el GO
En el caso de un triaacutengulo equilaacutetero el baricentro el ortocentro el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior que estaacute a la misma distancia de los tres veacutertices
Teorema de Pitaacutegoras
El teorema de Pitaacutegoras relaciona los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo y su hipotenusa Un triaacutengulo rectaacutengulo tiene un aacutengulo recto (90ordm) y dos aacutengulos menores (lt90ordm) Los dos lados que forman el aacutengulo recto son catetos El lado mayor opuesto al aacutengulo recto es la hipotenusa El Teorema de Pitaacutegoras enuncia que Todos los triaacutengulos rectaacutengulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al aacutengulo recto (catetos) al cuadrado Es decir
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado(a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cuadrilaacutetero
Un cuadrilaacutetero es un poliacutegono de cuatro lados (a b c y d) Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos llamados veacutertices (A B C y D)
Elementos del cuadrilaacutetero
En un cuadrilaacutetero se pueden diferenciar los siguientes elementos
Veacutertices (V) puntos en los que confluyen dos lados Tiene 4 veacutertices Lados (L) segmentos que unen dos veacutertices consecutivos del cuadrilaacutetero y que delimitan su periacutemetro Tiene 4 lados Diagonal (D) segmento que une dos veacutertices no consecutivos En un cuadrilaacutetero convexo hay 2 diagonales (iquestpor queacute hay dos diagonales) Aacutengulos interiores (α) aacutengulo que forman dos lados consecutivos en el veacutertice en el que confluyen Hay 4 aacutengulos interiores Los aacutengulos interiores del cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) Aacutengulos exteriores (β) aacutengulo formado por un lado con la prolongacioacuten exterior del lado consecutivo Hay 4 aacutengulos exteriores
Tipos de cuadrilaacutetero
Convexos todos sus aacutengulos interiores son menores de π radianes (180ordm) La suma de sus aacutengulos interiores es de 360ordm (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores Coacutencavos uno de sus aacutengulos interiores mide maacutes de π radianes (180ordm) Al menos una de sus dos diagonales es exterior
Los cuadrilaacuteteros convexos se pueden dividir en varias categoriacuteas seguacuten sus lados y aacutengulos Paralelogramos es un cuadrilaacutetero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los aacutengulos opuestos iguales
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cuadrado cuadrilaacutetero cuyos lados y aacutengulos son iguales Rectaacutengulo tiene los cuatro aacutengulos iguales (de 90ordm) y los lados iguales dos a dos siendo diferentes los lados adyacentes Rombo todos los lados son iguales pero los aacutengulos son diferentes dos a dos de manera que los aacutengulos adyacentes son diferentes y cada aacutengulo es igual al aacutengulo no adyacente Romboide tiene sus lados y aacutengulos iguales dos a dos El romboide tambieacuten es denominado paralelogramo no regular
Trapecios cuadrilaacutetero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales Trapecio rectaacutengulo se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Trapezoides es un cuadrilaacutetero en el que no hay ninguacuten lado paralelo a otro
Aacuterea de un paralelogramo
Para calcular el aacuterea de un paralelogramo hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base El aacuterea del paralelogramo es el producto de la base y la altura
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Otro procedimiento para hallar el aacuterea del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro de un paralelogramo
El periacutemetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados Como el paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes
Meacutetodo del paralelogramo
El meacutetodo del paralelogramo es un procedimiento graacutefico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores
Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala con el punto de aplicacioacuten comuacuten Seguidamente se completa un paralelogramo dibujando dos segmentos paralelos a ellos El vector suma resultante (a+b) seraacute la diagonal del paralelogramo con origen comuacuten a los dos vectores originales La foacutermula del moacutedulo del vector resultante es
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Donde α es el aacutengulo que forman los vectores a y b
Cuadrado
El cuadrado es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) iguales Sus cuatro aacutengulos interiores tambieacuten son iguales y rectos (de 90ordm cada uno)
Elementos y propiedades del cuadrado
Lados el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α) iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares Se cortan en el centro del cuadrado Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene cuatro ejes de simetriacutea (E1 E2 E3 y E4) El cuadrado es un caso particular del rectaacutengulo siendo los pares de lados iguales Tambieacuten es un caso particular del rombo con los pares de aacutengulos iguales y rectos (de 90ordm)
Diagonal del cuadrado
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a) consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del cuadrado
El aacuterea del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a) Es el producto de la base por la altura del cuadrado ya que al ser ambas iguales el aacuterea seraacute un lado al cuadrado
La foacutermula del aacuterea del cuadrado tambieacuten podriacutea obtenerse directamente de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En particular si la base del cuadrado es uno de sus lados la altura relativa a la base seraacute un lado del cuadrado derivando en la foacutermula del aacuterea anterior
Periacutemetro del cuadrado
El cuadrado tiene los cuatro lados iguales por lo que su periacutemetro es cuatro veces uno de sus lados
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Rectaacutengulo
Un rectaacutengulo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo eacutestos iguales dos a dos Ademaacutes sus cuatro aacutengulos interiores son rectos (de 90ordm) Elementos y propiedades del rectaacutengulo
Lados tiene cuatro lados siendo cada lado igual a su opuesto (a y b) es decir dos a dos Aacutengulos sus cuatro aacutengulos (α) son iguales y rectos de 90ordm (π2 radianes) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices opuestos Tiene dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectaacutengulo Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rectaacutengulo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectaacutengulo Un caso particular de rectaacutengulo es el cuadrado cuando todos los lados son iguales (a=b)
Diagonal del rectaacutengulo
La diagonal del rectaacutengulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes (a y b) La foacutermula para calcular la diagonal es
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que dos lados (a y b) consecutivos del rectaacutengulo y la diagonal forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rectaacutengulo
El aacuterea del rectaacutengulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b) Es el producto de los dos lados contiguos del rectaacutengulo
Esta foacutermula tambieacuten podriacutea obtenerse de la foacutermula del aacuterea del paralelogramo Si la basedel rectaacutengulo es uno de sus lados (en este caso b) la altura relativa a la base seraacute el lado a y aplicando la foacutermula anterior obtendriacuteamos la del aacuterea del rectaacutengulo
Periacutemetro del rectaacutengulo
El periacutemetro del rectaacutengulo es la suma de sus cuatro lados Como el rectaacutengulo tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro seraacute el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir a y b)
Rombo
Un rombo es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo los cuatro iguales Tiene cuatro aacutengulos interiores iguales dos a dos
Elementos y propiedades del rombo
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Lados el rombo tiene cuatro lados (a) iguales Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares Se cortan en el centro del rombo Las diagonales son las bisectrices de los aacutengulos Tambieacuten son ejes de simetriacutea Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Tiene dos ejes de simetriacutea (E1 E2) que coinciden con las diagonales Un caso particular de rombo es el cuadrado donde todos los aacutengulos son iguales (es decir (α=β) Los aacutengulos seraacuten todos rectos (de 90ordm) y las diagonales iguales
Diagonales del rombo
El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo D es la diagonal mayor y d la diagonal menor Existe una foacutermula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a) La relacioacuten es la siguiente
Eacutesta foacutermula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Tambieacuten podriacutea obtenerse tambieacuten a partir del teorema de Pitaacutegoras ya que la mitad de cada una de las diagonales (D2 y d2) y un lado del rombo forman un triaacutengulo rectaacutengulo
Aacuterea del rombo
Existen varias foacutermulas para calcular el aacuterea del rombo La maacutes comuacuten es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares) El aacuterea es la mitad del producto de las diagonales (D y d)
Otra forma de calcular el aacuterea del rombo es mediante la foacutermula del aacuterea del paralelogramo En este caso un lado (a) se considera la base del rombo Se mide la altura (h) relativa a dicha base de manera que el aacuterea seraacute el producto de la base por la altura
Periacutemetro del rombo
El periacutemetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales El periacutemetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a) ya que tiene sus cuatro lados iguales
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Romboide
Un romboide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) y cuatro aacutengulos siendo iguales dos a dos Los lados son paralelos a sus opuestos Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados ni rectaacutengulos ni rombos
Elementos y propiedades del romboide
Lados el romboide tiene cuatro lados siendo iguales dos a dos (ay b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (dos α y dos β) iguales dos a dos Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) α y β son suplementarios es decir α+β=180ordm Diagonales las diagonales son segmentos que unen los veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares Ejes de simetriacutea un romboide no tiene ejes de simetriacutea (La relacioacuten entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del paralelogramo)
Aacuterea del romboide
El aacuterea del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo
Otro procedimiento para hallar el aacuterea del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre siacute (a y b) y el aacutengulo que forman estos (sea α o β)
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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sen α = sen β porque son aacutengulos suplementarios O tambieacuten a partir de las dos diagonales y el aacutengulo que forman
Periacutemetro del romboide
El periacutemetro del romboide es la suma de sus cuatro lados Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos su periacutemetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b)
Trapecio
Un trapecio es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b)
Elementos y propiedades del trapecio
Lados un trapecio tiene cuatro lados (a b c y d) siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d) Bases las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b) Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (iquestpor queacute suman 360ordm) es decir α1+α2+α3+α4=360ordm Estos aacutengulos definen el tipo de trapecio que es
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Altura (h) es la distancia entre las dos bases (a y b) Diagonales las diagonales son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2) salvo en el caso del trapecio isoacutesceles que son iguales Las foacutermulas de las diagonales de un trapecio conociendo sus cuatro lados son
Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje Solamente tiene un eje de simetriacutea el trapecio isoacutesceles Mediana (M) es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a eacutestas Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases Centroide (G) se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresioacuten
Tipos de trapecio
Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos seguacuten sus aacutengulos interiores Trapecio rectaacutengulo tiene dos aacutengulos consecutivos rectos (de 90ordm) Por tanto un lado es perpendicular a las bases Trapecio isoacutesceles los aacutengulos son iguales dos a dos Tiene dos lados oblicuos de igual longitud Trapecio escaleno los cuatro aacutengulos interiores son desiguales
Aacuterea de un trapecio
El aacuterea del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio que se obtiene como la media de las dos bases a y b M=(a+b)2
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Tambieacuten se puede hallar el aacuterea de un trapecio conociendo sus cuatro lados O bien aplicando la foacutermula
O tambieacuten mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el aacuterea del trapecio El aacuterea del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el aacutengulo que forman
Asiacute la formula es
Donde los senos de los aacutengulos ε y θ son iguales por ser aacutengulos suplementarios
Un caso particular es cuando el aacutengulo que forman las diagonales del trapecio es un aacutengulo recto de seno igual a 1 Y la foacutermula del aacuterea queda simplificada a la de todo cuadrilaacutetero cuyas diagonales sean perpendiculares
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Periacutemetro del trapecio
El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales por lo que su periacutemetro es la suma de los cuatro lados
En el caso particular del trapecio isoacutesceles los lados oblicuos (c) son iguales Por lo tanto su periacutemetro seraacute la suma de las bases maacutes el doble del lado oblicuo (c)
Trapezoide
El trapezoide es un poliacutegono con cuatro lados (cuadrilaacutetero) no teniendo ninguacuten lado paralelo a otro
Elementos y propiedades del trapezoide
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Lados el trapezoide tiene cuatro lados (a b c y d) no siendo paralelos entre ellos Aacutengulos tiene cuatro aacutengulos (α1 α2 α3 y α4) Los aacutengulos interiores como en todo cuadrilaacutetero suman 360ordm (2π radianes) Diagonales las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos veacutertices no consecutivos Tiene dos diagonales Ejes de simetriacutea son liacuteneas imaginarias que dividiriacutean el trapezoide en dos partes simeacutetricas respecto a dicho eje El trapezoide no tiene ninguacuten eje de simetriacutea excepto el trapezoide simeacutetrico (o deltoide) que tiene uno Trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico (o deltoide o tambieacuten conocido como cometa o papalote) es un caso particular de trapezoide Tiene los lados iguales dos a dos de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes los opuestos Es decir DA=CD y AB=BC Las diagonales son perpendiculares El trapezoide es simeacutetrico respecto a la diagonal mayor (BD) que es el eje de simetriacutea
Aacuterea del trapezoide
Para calcular el aacuterea de un trapezoide es necesario dividirlo en triaacutengulos
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Sea un trapezoide con veacutertices A B C y D Se divide el eacuteste en dos triaacutengulos el ABD y el BCD
El aacuterea del trapezoide seraacute la suma de las aacutereas de los dos triaacutengulos El aacuterea de los triaacutengulos es el producto de su base por altura dividido por dos El segmento BD es la base de ambos triaacutengulos Sus alturas seraacuten el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los veacutertices A y C Como resultado se obtiene que la foacutermula del aacuterea del trapezoide es
El aacuterea del trapezoide tambieacuten se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB BC CD y DA) y uno de sus aacutengulos (α)
Como en el caso anterior dividimos el trapezoide en dos triaacutengulos ABD y BCD El aacuterea del triaacutengulo ABD la hallamos con la foacutermula de resolucioacuten de triaacutengulos cuando se conocen dos lados y el aacutengulo que forman
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Del mismo triaacutengulo hallaremos el lado que falta DB diagonal D1 con la foacutermula del mismo caso de triaacutengulo de resolucioacuten de triaacutengulos
Y el aacuterea del triaacutengulo BCD la hallamos mediante la foacutermula de Heroacuten porque conocemos sus tres lados BC CD y D1
Sumando las aacutereas halladas de los triaacutengulos ABD y BCD habremos calculado el aacuterea del trapezoide ABCDA
Aacuterea del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El aacuterea del deltoide (trapezoide simeacutetrico) se puede calcular a partir de sus diagonales(D1 y D2)
Eacutesta es el producto de las dos diagonales dividido por dos Hay otro procedimiento para hallar el aacuterea del deltoide Cuando conocemos sus cuatro lados (a a b y b) y el aacutengulo que forman dos lados desiguales En este caso empleamos razones trigonomeacutetricas
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Periacutemetro del trapezoide
El periacutemetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados La foacutermula es muy sencilla puesto que los cuatro lados pueden ser diferentes
Periacutemetro del trapezoide simeacutetrico (o deltoide)
El trapezoide simeacutetrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos Por lo tanto su periacutemetro seraacute el doble de la suma de los dos lados desiguales iquestSabiacuteas queacute
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Hay tres tipos de cuadrilaacuteteros cuyas diagonales son perpendiculares el cuadrado el romboy el deltoide (trapezoide simeacutetrico o cometa) En los tres casos su agraverea es la mitad del producto de sus diagonales
Trapezoide no simeacutetrico
Pero un trapezoide no simeacutetrico tambieacuten podriacutea tener sus diagonales perpendiculares Como el de la figura
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Pentaacutegono
Un pentaacutegono es un poliacutegono de cinco lados (L1 L2 L3 L4 y L5) Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos llamados veacutertices
Tipos de pentaacutegono
Seguacuten las caracteriacutesticas de los lados y aacutengulos del pentaacutegono se clasifica en dos tipos
Pentaacutegono regular figura geomeacutetrica con cinco lados y aacutengulos iguales (todos sus aacutengulos interiores son de 108ordm resultado de dividir 540ordm entre 5 aacutengulos)
Pentaacutegono irregular figura geomeacutetrica cuyos cinco lados y aacutengulos no son iguales entre siacute
Periacutemetro del pentaacutegono regular
El pentaacutegono regular tiene sus cinco lados iguales por lo que su periacutemetro es cinco veces uno de sus lados
Periacutemetro del pentaacutegono irregular
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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El pentaacutegono irregular no tiene una foacutermula que generalice su periacutemetro ya que todos sus lados pueden ser diferentes
Aacuterea del pentaacutegono regular
El aacuterea del pentaacutegono regular es un medio del periacutemetro por la apotema (ap) utilizando la foacutermula del aacuterea del poliacutegono regular Al ser su periacutemetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados el aacuterea seraacute
Aacuterea del pentaacutegono irregular
El caacutelculo del aacuterea de un pentaacutegono irregular requiere de meacutetodos alternativos de caacutelculo de aacutereas El maacutes comuacuten es dividir el pentaacutegono en cinco triaacutengulos y calcular el aacuterea sumando las cinco aacutereas de los triaacutengulos
Determinante de Gauss
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Un procedimiento muy uacutetil para hallar el aacuterea de cualquier poliacutegono irregular es a traveacutes del determinante de Gauss Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano fijando las coordenadas de cada uno de los veacutertices del poliacutegono
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente foacutermula Se ha de recorrer el poliacutegono en el sentido contrario al de las agujas del reloj teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al veacutertice elegido y despueacutes de recorrer en sentido antihorario todos los veacutertices el uacuteltimo par debe volver a ser el par inicial Sean los veacutertices del pentaacutegono (x1y1) (x2y2)hellip (x5y5) FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que estaacuten encerradas en liacuteneas curvas Las maacutes representativas son
Ciacuterculo
Un ciacuterculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia
Semiciacuterculo
Un semiciacuterculo es la superficie que existe dentro de la mitad de una circunferencia Es decir un semiciacuterculo es medio ciacuterculo
Corona circular
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias conceacutentricas
Elipse
La elipse es el lugar geomeacutetrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante Es decir para todo punto a de la elipse la suma de las distancias d1 y d2 es constante
Elementos de un ciacuterculo
Los principales elementos de un ciacuterculo son
Centro el centro C es un punto fijo interior equidistante de su periacutemetro (o circunferencia) a una distancia igual al radio Radio es el segmento r que une el centro (C) del ciacuterculo con cualquier punto del periacutemetro de eacuteste Diaacutemetro segmento D que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo pasando por el centro (C) Su longitud es el doble que la del radio Cuerda es un segmento K que une dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo sin pasar por el centro
Arco es la parte del periacutemetro del ciacuterculo (a) que queda entre los dos extremos de una cuerda Punto interior punto que pertenece al ciacuterculo (I) encontraacutendose a una distancia del centro menor o igual que r Punto exterior puntos que estaacuten fuera del ciacuterculo (E) es decir a una distancia del centro mayor que r Aacutengulo central es el aacutengulo comprendido entre dos segmentos (o radios) que van del centro a dos puntos del periacutemetro del ciacuterculo (α) Un aacutengulo central determina un arco
Tangente es una recta (a) con un uacutenico punto comuacuten con el periacutemetro del ciacuterculo El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia Secante es una recta (a) que corta el periacutemetro del ciacuterculo en dos puntos Aacutengulo inscrito aacutengulo (β) que forman dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia Es decir es el aacutengulo que generan tres puntos de eacutesta
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cuerpos geomeacutetricos
Los cuerpos geomeacutetricos son figuras tridimensionales con anchura altura y profundidad tales como los poliedros prismas icosaedros esferashellip Los cuerpos geomeacutetricos son las figuras geomeacutetricas de tres dimensiones Existen dos tipos de cuerpos geomeacutetricos los poliedros y las superficies de revolucioacuten (o cuerpos redondos)
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geomeacutetrico (de tres dimensiones) Tambieacuten se puede entender como el espacio comprendido dentro del aacuterea de un cuerpo geomeacutetrico La capacidad es un concepto equivalente al volumen pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vaciacuteo Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej cm3 m3hellip)
Prisma
Volumen del prisma
Volumen prisma triangular regular
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen prisma cuadrangular regular
Volumen prisma pentagonal regular
Volumen prisma hexagonal regular
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Piraacutemide
Volumen de la piraacutemide
Volumen de la piraacutemide regular
Volumen de la piraacutemide triangular regular
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
Page | 51
Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
Page | 52
Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
Page | 53
Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Page | 60
Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen de la piraacutemide triangular irregular
Volumen de la piraacutemide cuadrangular regular
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen de la piraacutemide cuadrangular irregular
Volumen de la piraacutemide pentagonal regular
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
Page | 55
Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen de la piraacutemide pentagonal irregular
Poliedro regular
Volumen del tetraedro
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen del octaedro
Volumen del dodecaedro
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
Page | 106
Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen de la esfera
Volumen del cilindro
Volumen del cono
Page | 55
Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Volumen del tronco del cono
Volumen del toro
El volumen del toro se calcula mediante la foacutermula
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Trigonometriacutea
Aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su sentido
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su medida
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
Clasificacioacuten de aacutengulos por su relacioacuten con otros aacutengulos
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Trigonometriacutea
La trigonometriacutea es la rama de las matemaacuteticas que estudia la relacioacuten entre los lados y aacutengulos de los triaacutengulos Se ocupa por tanto de las funciones asociadas a los aacutengulos denominadas funciones trigonomeacutetricas (tambieacuten pueden denominarse funciones circulares) seno coseno tangente secante cosecante y cotangente Etimoloacutegicamente trigonometriacutea significa medida de los triaacutengulos ya que proviene de las palabras griegas trigono (triaacutengulo) y metriacutea (medida) La trigonometriacutea tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia de una u otra manera en todos los campos de las matemaacuteticas en la fiacutesica por ejemplo en fenoacutemenos ondulatorios en la astronomiacutea por ejemplo para medir distancias entre planetas en la geodesia etc
Razones trigonomeacutetricas
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo Es decir la comparacioacuten por su cociente de sus tres lados a b y c Sea α uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo rectaacutengulo El seno de un aacutengulo α se define como la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)
El coseno se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)
La tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Razones trigonomeacutetricas de aacutengulos caracteriacutesticos
El seno coseno y tangente de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonomeacutetricas Eacutestas son Cosecante (csc) es la razoacuten reciacuteproca del seno Es decir csc α middot sen α=1 Secante (sec) la razoacuten reciacuteproca del coseno Es decir sec α middot cos α=1
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cotangente (cot) es la razoacuten reciacuteproca de la tangente Tambieacuten en este caso cot α middot tan α=1 Definicioacuten de las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas
Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de un aacutengulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triaacutengulo rectaacutengulo siendo α uno de sus aacutengulos agudos Cosecante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)
Secante de α Se define como la razoacuten entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b)
Cotangente de α Se define como la razoacuten entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a)
Razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de aacutengulos caracteriacutesticos Las razones trigonomeacutetricas reciacuteprocas de los aacutengulos maacutes caracteriacutesticos (0ordm 30ordm 45ordm 60ordm 90ordm 180ordm y 270ordm) son
Relacioacuten entre razones trigonomeacutetricas
Cualquier razoacuten trigonomeacutetrica se puede expresar en funcioacuten de cualquier otra En la siguiente tabla se puede ver la foacutermula con la que se expresa cada una en funcioacuten de la otra
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Nota el signo plusmn que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esteacute el aacutengulo
Funciones trigonomeacutetricas inversas
Las funciones trigonomeacutetricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonomeacutetricas (seno coseno y tangente) Las razones trigonomeacutetricas no son funciones biyectivas (1-a-1) por lo que no son invertibles Para que lo sean es necesario restringir su dominio y asiacute poder hallar la funcioacuten inversa Las funciones trigonomeacutetricas inversas son
Arcoseno Arcocoseno Arcotangente
Arcoseno El arcoseno es la funcioacuten inversa del seno Es decir
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arcsen o sen-1
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Arcocoseno El arcocoseno es la funcioacuten inversa del coseno Es decir
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arccos o cos-1
Arcotangente La arcotangente es la funcioacuten inversa de la tangente Es decir
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas su composicioacuten es la identidad es decir
Su abreviatura es arctan o tan-1
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Identidades trigonomeacutetricas
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Teoremas trigonomeacutetricos
A continuacioacuten vamos a enumerar los teoremas trigonomeacutetricos maacutes importantes
Teorema del seno (Ley de senos)
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los aacutengulos de un triaacutengulo Eacuteste enuncia que
Cada lado de un triaacutengulo (a b y c) es directamente proporcional al seno del aacutengulo opuesto (A B y C)
La razoacuten entre un lado y el seno del aacutengulo opuesto es igual al diaacutemetro (el doble del radio 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triaacutengulo Es decir todas las razones entre cada lado (a b y c) y el seno del aacutengulo opuesto (A B y C) son directamente proporcionales y dicha proporcioacuten es 2R
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triaacutengulo con los otros dos y el aacutengulo que forman eacutestos El teorema enuncia que
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B o C) que forman
El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para cualquier triaacutengulo De hecho si el aacutengulo A fuese recto (90ordm) su coseno seria cero quedando a2 = b2+c2 Si el aacutengulo A fuese obtuso es decir gt90ordm entonces el coseno seriacutea negativo
Propiedades de las razones trigonomeacutetricas
Las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma (α+β) resta (α-β) doble (2α) mitad (α2) y triple (3α) se pueden expresar en funcioacuten de las razones trigonomeacutetricas de ambos aacutengulos
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo suma
Seno del aacutengulo suma
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Coseno del aacutengulo suma
Tangente del aacutengulo suma
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo resta
Seno del aacutengulo resta
Coseno del aacutengulo resta
Tangente del aacutengulo resta
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo doble
Seno del aacutengulo doble
Coseno del aacutengulo doble
Tangente del aacutengulo doble
Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo mitad
Seno del aacutengulo mitad
Coseno del aacutengulo mitad
Tangente del aacutengulo mitad
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Razones trigonomeacutetricas del aacutengulo triple
Seno del aacutengulo triple
Coseno del aacutengulo triple
Tangente del aacutengulo triple
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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EJERCICIOS
Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado
csc(π3) = cos(11π4) = tan(0) =
cos(-3π4) = sin(0) = csc(π6)
=
sin(5π2) = cos(23π6) = tan(7π4)
=
cos(-4π3) = tan(-π4) = cos(π2)
=
cos(-π3) = sin(π4) = tan(9π4)
=
tan(-5π3) = sin(15π4) = sin(-7π3)
=
csc(10π3) = tan(-5π6) = sin(-π3)
=
sin(3π) = csc(13π4) = sin(-π4)
=
tan(5π3) = csc(23π6) = sin(19π6)
=
tan(-3π) = cos(-2π3) = csc(-7π6)
=
tan(-420deg) = sin(-240deg) = cos(570deg) =
tan(-45deg) = cos(-510deg) = cos(-585deg) =
sin(120deg) = tan(390deg) = cos(-660deg) =
cos(45deg) = sin(660deg) = tan(-390deg) =
tan(-240deg) = cos(-630deg) = sin(210deg) =
cos(0) = tan(585deg) = tan(-495deg) =
cos(-570deg) = cos(-450deg) = sin(-540deg) =
cos(390deg) = sin(-180deg) = tan(-300deg) =
sin(-690deg) = tan(-330deg) = cos(-495deg) =
sin(0) = tan(150deg) = cos(-180deg) =
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Hallar por teorema de Pitaacutegoras los que se solicita
Encuentre el valor del aacutengulo indicado y colocar el nombre del tipo de aacutengulo
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Seleccione la respuesta correcta 1 Pareja de aacutengulos complementarios A) 65ordm y 26ordm
B) 63ordm y 27ordm
C) 116ordm y 244ordm
D) 45ordm y 135ordm 2 Pareja de aacutengulos suplementarios A) 108ordm y 72ordm
B) 300ordm y 60ordm
C) 65ordm y 25ordm
D) 270ordm y 45ordm
3 iquestQueacute aacutengulos corresponden a un triaacutengulo rectaacutengulo
A) 85ordm 25ordm y 70ordm
B) 60ordm40ordm y 80ordm
C) 55ordm 35ordm y 90ordm
D) 65ordm 45ordm y 70ordm 4 Ejemplo de aacutengulo entrante A) 78ordm
B) 220ordm
C) 180ordm
D) 100ordm 5 Ejemplo de aacutengulo agudo A) 90ordm
B) 180ordm
C) 122ordm
D) 82ordm
6 Ejemplo de aacutengulo obtuso A) 82ordm
B) 180ordm
C) 154ordm
D) 270ordm 7 La suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es de A) 360ordm
B) 540ordm
C) 180ordm
D) 270ordm
8 A y B son aacutengulos opuestos por el veacutertice Si A=(3x+1)ordm y B=(2x+6)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo A) 90ordm
B) 16ordm
C) 45ordm
D) 60ordm
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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9 A y B son aacutengulos complementarios Si A=(x+1)ordm y B=(2x-16)ordm iquestCuaacutento mide cada aacutengulo
A) 45ordm y 45ordm
B) 46ordm y 44ordm
C) 60ordm y30ordm
D) 36ordm y 54ordm
10 Un pastel circular tiene 16 rebanadas iquestCuaacutento mide el aacutengulo que forman 5 rebanadas
A) 1125ordm
B) 455ordm
C) 90ordm
D) 150ordm5
11 Los aacutengulos de un triaacutengulo son A = 28ordm B = 22ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo C
A) 135ordm
B) 125ordm
C) 130ordm
D) 95ordm
12 Los aacutengulos de un cuadrilaacutetero son A = 35ordm B = 72ordm C = 125ordm iquestQueacute valor tiene el aacutengulo
D A) 130ordm
B) 125ordm
C) 128ordm
D) 135ordm 13 La medida de un radian es de A) 7527ordm
B) 5729ordm
C) 5525ordm
D) 4567ordm
14 Convierte pi 2 rad a grados A) 180ordm
B) 90ordm
C) 360ordm
D) 270ordm
15 iquestCuaacutentos grados tiene una revolucioacuten en el sistema sexagesimal
A) 270ordm
B) 180ordm
C) 360ordm gc
D) 400ordm
16 Convierte 264537ordm a grados minutos y segundos
A) 26ordm2713
B) 26ordm4731
C) 26ordm1723
D) 26ordm4228
17 Convierte 3165 rad al sistema sexagesimal A) 81ordm1228
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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B) 151ordm2028
C) 181ordm2028
D) -181ordm2028
18 Convierte -62ordm38ordm47 a decimales
A) -625689ordm
B) -620542ordm
C) -625478ordm
D) -626463ordm
19 Sistema de medicioacuten que divide a la circunferencia en 360ordm A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 20 Sistema de medicioacuten cuya unidad es el radian A) sexagesimal B) ciacuteclico C) centesimal 21 iquestCuaacutentos minutos tiene un grado sexagesimal A) 100 B) 10000 C) 3600 D) 60 22 Un radian es igual a A) 180 pi B) 270 pi C) 90 pi D) 360 pi 23 Convierte 7pi 3 a grados A) 350ordm
B) 420ordm
C) 250ordm
D) 320ordm 24 Convierte 2 7 rad a grados A) 162352ordm
B) 263702ordm
C) 167372ordm
D) 163702ordm
25 Convierte 142578ordm a radianes A) 2488 rad B) 1425 rad C) -2488 rad D) 3088 rad 26 Convierte 347651ordm a decimales
A) 34ordm4554
B) 34ordm4637
C) 34ordm1732middot
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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D) 34ordm1535
27 Convierte -23ordm4752 a decimales
A) -237977ordm
B) 237977ordm
C) -230707ordm
D) 230707ordm
28 Convierte 500ordm a radianes A) -9 rad B) 10 rad C) 5 rad D) 872 rad 29 El lado terminal de un aacutengulo de 500o se ubica en el cuadrante A) III B) IV C) D) II 30 Con 165 iquestcuaacutentos grados puedo formar
A) 3o B) 2o C) 5o D) 4o
1 Convierta 50ordm621 en un decimal en grados
A) 50105833ordm B) 5035166666ordm C) 500075ordm D) 5045ordm
2 Convierta 21256ordm en Grados Minutos y Segundos Aproxime los segundos al entero maacutes cercano
A) 21ordm154 0 B) 21ordm922 C) 21ordm 1522 D) 21ordm913
3 Encuentre la longitud de arco de un ciacuterculo de radio 2 metros que subtiende un aacutengulo central de 025 radianes
1B 2A 3C 4B 5D 6C 7A 8B 9D 10A 11C 12C 13B 14B 15C 16A 17C 18D 19A 20B 21D 22A 23B 24D 25A 26A 27A 28D 29D 30B
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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A) 2865 metros B) 05 metros C) 1 metro D) π2 de metro
4 Convierta 107ordm a radianes
A) 1968 radianes B) 107π radianes C) 107π180 radianes D) 6130648 radianes
5 Convierta 3 radianes a grados (Ayuda π aprox a 3141592653)
A) π60 ordm B) 171ordm 53 1442 C) 343ordm 46 2884 D) 171997ordm
6 El minutero de un reloj tiene 159 cm de largo iquestQueacute distancia recorre la punta del minutero en 15 minutos (ayuda la distancia que recorre es curva Aproxime las divisiones de los nuacutemeros enteros)
A) 795π cm B) 2456 cm C) 3180π cm D) 253 cm
7 El sistema de riego alcanza una distancia de 9135m y gira con un aacutengulo de 135ordm iquestQueacute aacuterea del terreno recibe agua
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
Page | 107
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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A) 23164 m2 B) 257π m2 C) 3129π m2 D) 9898 m2
8 El radio de las llantas de un automoacutevil es de 384 cm Si gira a razoacuten de 4 vueltas por cada segundo iquestCuaacutel es la velocidad lineal del auto en kmh (Ayuda π aprox a 3141592653
A) 347435 kmh B) 058 kmh C) 3474 kmh D) 9651 kmh
9 Con los datos de la figura encuentre el valor de seno coseno tangente cotangente secante y cosecante para el aacutengulo mostrado
A) senA= 2radic55 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic52 B) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 12 cotA=2 secA=radic52 cscA= radic5 C) senA=radic55 cosA= 2radic55 tanA= 2 cotA=12 secA=radic52 cscA= radic5 D) senA= 5radic52 cosA=radic55 tanA=2 cotA= 12 secA= radic5 cscA=radic55
10 Halle el valor de la expresioacuten sin utilizar calculadora
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Page | 84
Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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A) -1 B) 12 C) -12 D) 1
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7C 8C 9B 10D
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Calcular las otras funciones trigonomeacutetricas conociendo una de ellas
119904119890119899 119909 =1
2
119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 =
1
5
119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
3
4
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
3
2
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 = 119878119890119888 119909 =
radic34
5
119862119905119892 119909 =
119904119890119899 119909 = 119862119900119904 119909 = 119879119892 119909 =
119862119904119888 119909 =radic13
2
119878119890119888 119909 = 119862119905119892 119909 =
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Verificar la comprobacioacuten de las siguientes identidades trigonomeacutetricas
119862119900119904119909
119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119879119886119899119909
119878119890119899119909= 119878119890119888119909
119878119890119888119909
119879119886119899119909 + 119862119900119905119909= 119878119890119899119909
119862119904119888119909
119862119900119905119909= 119878119890119888119909
1198781198901198994119909 =1 minus 1198621199001199042119909
1198621199041198882119909
119879119892119909 119862119900119904119909 119862119904119888119909 = 1
119878119890119899119909 119878119890119888119909 = 119879119892119909
(1 minus 1198781198901198992119909)(1 + 1198791198861198992119909) = 1
1198621199001199042119909 = (1 + 119878119890119899119909)(1 minus 119878119890119899119909)
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Page | 87
Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Page | 108
Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonomeacutetricas
Page | 85
Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
Page | 86
Page | 87
Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
Page | 91
De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
Page | 91
De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
Page | 92
Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
Page | 99
Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
Page | 104
Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Liacuteneas rectas
Distancia entre dos puntos
En un sistema coordenadas bidimensional la distancia entre dos puntos PQ es faacutecil de obtener con tan soacutelo hacer uso del teorema de Pitaacutegoras Si observamos la siguiente figura
tenemos que
Punto Medio de un Segmento
Punto Medio El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razoacuten r = 1 por lo tanto las coordenadas vistas en la entrada anterior se convierten en
Aacutengulo de inclinacioacuten y pendiente de una recta
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su aacutengulo de inclinacioacuten α
Entonces en la figura es evidente que
Luego si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta por ejemplo A y B
Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de distancia horizontal por lo cual la pendiente m es una razoacuten de cambio
Otro aspecto importante de trigonometriacutea que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Divisioacuten de un segmento entre una razoacuten dada
En matemaacutetica cuando hablamos de razoacuten queremos denotar que estamos comparando dos cantidades Asiacute por ejemplo la razoacuten 34=075 nos dice cuaacutentas veces contiene el numeror al denominador En geometriacutea describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes tal que su razoacuten
es
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Ahora veamos coacutemo calcular las coordenadas de un punto P(xy) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano Observemos la siguiente figura
Al trasponer teacuterminos obtenemos la razoacuten
De esta uacuteltima expresioacuten despejamos x
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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De manera anaacuteloga podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y esto es
Las coordenadas de un punto P(xy) que divide al segmento A(x1y1) y B(x2y2) en la razoacuten son
con r ne-1
Ecuacioacuten punto-pendiente de la recta
Nota Para calcular la ecuacioacuten punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un
punto y la pendiente
Ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
iquestCoacutemo encontramos la ecuacioacuten de la recta conociendo dos puntos
Sean los puntos y que determinan una recta
Un vector director de la recta es
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Cuyas componentes son
y
Sustituyendo estos valores en la forma continua
Con esto podemos encontrar la ecuacioacuten de la recta
Ejemplo Hallar la ecuacioacuten de la recta que pasa por
y
Sustituimos los valores en la forma continua
Entonces la ecuacioacuten de la recta es
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Coacutenicas
Las coacutenicas son las figuras geomeacutetricas que aparecen cuando hacemos la interseccioacuten de un cono con un plano Como podemos ver en la siguiente imagen seguacuten el aacutengulo de inclinacioacuten del plano que denotamos por szlig podemos encontrarnos con las siguientes figuras una circunferencia una elipse una paraacutebola o una hipeacuterbola de mayor a menor inclinacioacuten
Circunferencia Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono es un caso particular de la elipse La circunferencia es el resultado de la interseccioacuten de un plano de forma perpendicular al eje Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten szlig= 90ordm Definicioacuten formal Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
Elipse La elipse surge al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica con un plano oblicuo al eje es decir un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten oscilaraacute entre 0ltszliglt90ordm
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Definicioacuten formal Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 eacutesta es constante Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripcioacuten son el centro O el eje mayor AB el eje menor CD y la distancia focal OF
La ecuacioacuten de la elipse que tiene por centro el punto (00) es
Paraacutebola La paraacutebola se obtiene a partir de la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz Por tanto el aacutengulo de inclinacioacuten coincide con el aacutengulo de conocidad Tanto la paraacutebola como la hipeacuterbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el infinito
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Definicioacuten formal Una paraacutebola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo conocido como foco y de una recta llamada directriz Los elementos caracteriacutesticos de una paraacutebola son su eje o eje de simetriacutea el veacutertice (que corresponde con el maacuteximo o miacutenimo de la paraacutebola seguacuten sea su curvatura) La ecuacioacuten de una paraacutebola cuyo veacutertice es el (00) y su eje el eje de ordenadas es Hipeacuterbola Por uacuteltimo la hipeacuterbola se obtiene al realizar la interseccioacuten de una superficie coacutenica y un plano oblicuo al eje pero en este caso el aacutengulo de inclinacioacuten tiene que ser maacutes pequentildeo que el que forman el eje y la generatriz Como ya hemos dicho en el caso anterior tambieacuten es una curva abierta La hipeacuterbola consta de dos ramas separadas de tal forma que tiene dos asiacutentotas
Definicioacuten formal Denominamos hipeacuterbola al conjunto de los puntos del plano tales que si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo denominados focos esta es constante y ademaacutes menor que la distancia entre los focos Los elementos representativos de una hipeacuterbola son el centro O los veacutertices asiacute como la distancia entre los veacutertices y la distancia entre los focos a ecuacioacuten de una hipeacuterbola que tiene por centro el (00) es
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Ecuacioacuten de la circunferencia con centro en (00)
Cuando el centro estaacute en el origen (0 0) la ecuacioacuten de una circunferencia se simplifica a
A esta ecuacioacuten se le conoce como ecuacioacuten CANOacuteNICA y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(00) por lo que la expresioacuten ordinaria queda reducida a
Ejemplo Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia que pasa por el punto 63 y cuyo
centro se encuentra en C(00)
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Nota La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia
goniomeacutetrica circunferencia unidad o circunferencia unitaria
Ecuacioacuten de la circunferencia con centro (hk)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y la circunferencia con centro en el punto (h k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x y) que satisfacen la ecuacioacuten (x-h)sup2 + (y-k)sup2 =rsup2 donde (hk) es el centro y r es el radio Para determinar la ecuacioacuten ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Ej Determinar la ecuacioacuten de la circunferencia cuyo centro estaacute en C(3-4) y que pasa por el punto A(612)
Ejemplo
Escribir la ecuacioacuten de la circunferencia de centro (3 4) y radio 2
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios paraacutebola
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Ecuacioacuten general de la circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia podemos construir su ecuacioacuten ordinaria y si operamos los cuadrados obtenemos la forma general de la ecuacioacuten de la circunferencia asiacute
Demostracioacuten
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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Ejemplo Hallar la ecuacioacuten general de la circunferencia con centro C(26) y radio r = 4 (x - 2)sup2 + (y - 6)sup2 = 4sup2
Xsup2 - 2(2x) + 2sup2 + ysup2 - 2(6y) + 6sup2 = 4sup2
Xsup2 - 4x + 4 + ysup2 - 12y + 36 = 16
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
Xsup2 + ysup2 - 4x - 12y + 24 = 0
La parabola
Una paraacutebola es el lugar geomeacutetrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada llamada directriz y a un punto fijo que se denomina foco El lado recto El lado recto mide 4 veces la distancia focal Al segmento de recta comprendido por la paraacutebola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p ELEMENTOS DE LA PARAacuteBOLA La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la paraacutebola esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco Veacutertice Es el punto en el cual la paraacutebola corta el eje focal Lado Recto Es un segmento paralelo a la directriz que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la paraacutebola (AB) La distancia entre el veacutertice y la directriz que es la misma entre el veacutertice y el foco de una paraacutebola recibe el nombre de paraacutemetro de la paraacutebola (suele denotarse por p)
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Los puntos de la paraacutebola estaacuten a la misma distancia del foco F y de la recta directriz
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Ejercicios circunferencia
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Ejercicios paraacutebola
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Bibliography Foacutermulas U (2019 01 01) Universo Foacutermulas Retrieved from httpswwwuniversoformulascommatematicasgeometria
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EJERCICIOS GEOMETRIacuteA ANALIacuteTICA
1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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1- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razoacuten de cambio (pendiente m de la recta) por los meacutetodos analiacutetico elevacioacuten y avance y por la tangente
d) Determine el aacutengulo de inclinacioacuten
e) Indique si es positiva negativa infinita o cero
f) Encuentre la ecuacioacuten 119910 = 119898119909 + 119887
Los puntos son
P1(-2-3) P2(26)
P1(2-2) P2(-35)
P1(22) P2(-22)
P1(-2-2) P2(22)
P1(4-3) P2(43)
P1(3-3) P2(46)
2- Tabule grafique y encuentre el aacutengulo de inclinacioacuten de las ecuaciones
119910 = minus3119909 + 4
119910 =1
2119909 + 1
119910 =1
4minus 3
119910 =5
2119909 + 5
119910 = minus1
2119909 minus 1
119910 = 7119909
3- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares grafiacutequelas y escriba las
ecuaciones matemaacuteticas correspondientes
4- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analiacuteticamente las razones de los segmentos
dados
Sea A(5 3) y B(-3 -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 13
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Sea A(3 -4) y B(1 6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = -1 2
Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
2
La recta pasa por el punto P(17) con pendiente m = 7
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Sea A(3 3) y B(-1 -6) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razoacuten r = frac14
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(3 2) y B(5 4) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razoacuten r = 32
Sea A(-4 1) y B(8 5) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razoacuten r = 35
5- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 119860119909 + 119861119910 + 119862 = 0 que pasan por dos puntos
A (-3-1) y B (5 2)
A (-2-1) y B (-10 -5)
A (-8-2) y B (20 10)
A (8-2) y B (-20 10)
A (-3-3) y B (-33)
6- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 119910 = 119898119909 + 119887 y a continuacioacuten grafiacutequela
La recta pasa por el punto P(32) con pendiente m = 2
La recta pasa por el punto P(25) con pendiente m = -2
La recta pasa por el punto P(-54) con pendiente m = minus5
2
La recta pasa por el punto P(51) con pendiente m = 5
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