“CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS...

“CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS

CAOTICOS”

TESIS

Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E :

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

P R E S E N T A N

Alcalá Martínez Minerva Berenice

Ángeles García Francisco

ASESOR:

DR. ALEJANDRO VIVAS HERNÁNDEZ

MÉXICO, D.F. SEPTIEMBRE 2013

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA

UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZMATEOS"

TEMA DE TESIS

INGENIÉRIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA QUE PARA OBTENER EL TITULO DE TESIS COLECTIVA Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL

POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN ANGELES GARCÍA FRANCISCO

DEBERA(N) DESARROLLAR MINERVA BERENICE ALCALA MARTÍNEZ

CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS

OBJETIVO DEL TEMA: CONSTRUIR E IMPLEMENTAR UN CIRCUITO DE CHUA PARA SU APLICACIÓN EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS USADOS EN LAS TELECOMUNICACIONES.

PUNTOS A DESARROLLAR:

~ ÍNDICE

~ INTRODUCCIÓN

~ JUSTIFICACIÓN

>- OBJETIVO

~ CAPÍTULO 1 SINCRONIZACIÓN Y TEORÍA DEL CAOS.

~ CAPÍTULO 2 SISTEMAS DINÁMICOS

~ CAPÍTULO 3 DIODO DE CHUA

~ CAPÍTULO 4 CIRCUITO DE CHUA

~ CAPÍTULO 5 APLICACIÓN DEL CIRCUITO DE CHUA EN LAS

TELECOMUNICACIONES. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA REFERENCIAS APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C

MÉXICO D.F., A 21 DE FEBRERO DE 2013.

ING. PATRICIA LORENA RAMIREZ RANGEL JEFE DEL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Instituto Politécnico Nacional E S I M E

2 | Página

A mis padres, hermana y

abuelos con mucho amor y

cariño les dedico todo mi

esfuerzo y trabajo puesto

para la realización de esta

Tesis.

Minerva Berenice Alcalá Martínez.


3 | Página

A mi madre, por sus enseñanzas e incondicional apoyo.

A mi hermano, por su motivación y confianza.

Ángeles García Francisco.


4 | Página

Índice Pág.

i. Introducción……………………………………………………..... 7 ii. Justificación……………………………………………………..... 8 iii. Objetivo…………………………………………………………..... 9 Capítulo 1 Teoría del caos, sincronización y método de

Fourier........................................………………………………. 10 1.1 Caos……………………………………………………………..... 11

1.2 Determinismo…………………………………………………….. 12

1.3 Caos determinista……………………………………………….. 12

1.4 Sincronización………………………………………………….... 13

1.4.1 Importancia de la sincronización………………………………. 14

1.5 Análisis de señales por el método de Fourier....................... 14

1.5.1 Serie exponencial de Fourier............................................... 16

1.5.2 Transformada de Fourier..................................................... 19

1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo............. 23

1.5.3.1 Convolución de una señal con un impulso

unitario .......................................................................... 23

Capítulo 2 Sistemas dinámicos………………………………………...…... 25

2.1 Modelo matemático…………………….……………………….. 26

2.2 Sistemas………………………………………………………..... 27

2.2.1 Sistema no lineal………………………………………………... 28

2.2.2 Sistema complejo……………………………………………….. 29

2.2.3 Sistemas lineales…………………………………………......... 29

2.2.4 Sistemas no lineales………………………………………..….. 30

2.2.5 Sistema determinista……………………………………….…... 31

2.2.6 Sistema dinámico…………………………………………..…... 31

2.3 Espacio de estados……………………………………….….... 32

2.4 Ecuación diferencial…………………………………….……... 32

7

8

9

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2.5 Reduccionismo………………………………………………........ 33

2.6 Atractor…………………………………………………………..... 33

2.7 Punto fijo…………………………………………………………... 35

Capítulo 3 Implementación del diodo de Chua…………………………...... 36

3.1 El diodo de Chua………………………………………………..... 37

3.2 Análisis del diodo de Chua…………………………………….... 39

3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice…………………….... 41

3.4 Desarrollo experimental………………………………………..... 43

Capítulo 4 Implementación del circuito de Chua………………………...... 46

4.1 Circuito de Chua………………………………………………..... 47

4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.…………………... 49

4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua

obtenida en simulación..............................................................53

4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua………………… 56

4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua

obtenida en laboratorio............................................................ 61

Capítulo 5 Aplicación del circuito de Chua en las telecomunicaciones… 63

5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y

desencriptado de una señal caótica………....................…….. 64

5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones…… 72

5.3 Pruebas………………………………………………………….. 74

5.4 Consideraciones generales para un buen

funcionamiento del circuito de Chua....................................... 77

Conclusiones………………………………………………………………………….... 84

Bibliografia…………………………………………………… ………………….….... 86

Referencias……………………………………………………………………………... 87

33

33

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87


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Apéndice A…………………………………………………………………………….... 88

Apéndice B…………………………………………………………………………..….. 97

Apéndice C………………………………………………………………………….…... 99

Apéndice D………………………………………………………………………….…... 103

88

97

99

103


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i. Introducción.

El estudio de los sistemas no lineales en la rama de la ingeniería se había limitado

solamente al aspecto teórico, en la actualidad se ha tomado interés por estudiarlos

de manera más completa, ya sea, llevarlos a la simulación o pasar a un nivel más

complejo, refiriéndonos a su implementación, la cuál es de fácil manejo y

construcción con las herramientas que hoy tenemos al alcance de nuestras manos

gracias a la tecnología, dentro de esta Tesis se desarrolló una de las tantas

aplicaciones que se le puede dar a la teoría del caos, la cuál hace uso de los

sistemas no lineales de un circuito en particular denominado “circuito de Chua”,

empleando recursos electrónicos para su construcción.

En el capítulo uno se abordan los principios básicos de la teoría del caos, partiendo

de simples definiciones de los elementos que conforman dicha teoría, tales como el

determinismo y el caos en si mismo, revisando la sincronización, propiedad

fundamental dentro del circuito de Chua y pieza clave para una transmisión exitosa,

así como el estudio de señales a través del método de Fourier, ya que éste es

fundamental en el tratado de comunicaciones.

Posteriormente el capítulo dos trata los conceptos elementales para comprender la

construcción del diodo de Chua, que consta de un modelo matemático y un sistema

de ecuaciones.

El capítulo tres se enfoca a la implementación de diodo de Chua, ya que se

considera el elemento más importante para el correcto funcionamiento del circuito de

Chua.

Dentro del capítulo cuatro se muestra la construcción del circuito de Chua y la

obtención de la transformada rápida de Fourier (FFT), su respuesta al impulso, su

función de transferencia y el “doble scroll” o atractor de Chua el cuál indica que el

circuito de Chua es un sistema caótico, en base a estos resultados se pudo llevar a

cabo una aplicación mediante un sistema básico de comunicaciones desarrollado

dentro del capítulo cinco.


8 | Página

ii. Justificación.

Hoy en día se requiere hacer uso de nuevas teorías para la protección de

información dentro de los equipos de comunicaciones, es así que se decidió poner

en práctica lo propuesto por la teoría del caos.

Se decidió implementar un circuito que ayudará en el enmascaramiento de

información a nivel hardware, con esta implementación se comprobó el

comportamiento caótico al simular e implementar una transmisión de datos de forma

segura.

Los resultados obtenidos en la práctica confirman que la teoría que se utilizó puede

trascender fronteras, el uso de estos circuitos como un dispositivo en sí, es de gran

utilidad no limitándonos a las comunicaciones ya que campos de estudio como la

medicina, meteorología, física cuántica y arquitectura entre otros resultarán ser

beneficiados.

http://es.wikipedia.org/wiki/Meteorolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_cu%C3%A1ntica


9 | Página

iii. Objetivo.

“Construir e implementar un circuito de Chua para su aplicación en la sincronización

de los sistemas caóticos usados en las telecomunicaciones.”


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CAPÍTULO 1

“Teoría del caos,

sincronización y

método de Fourier”


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Los siguientes conceptos hacen referencia al marco teórico de la teoría del caos y

método de Fourier en los que se fundamenta esta Tesis.

1.1 Caos.

Antítesis del cosmos clásico y, por extensión, todo lo que carece de un orden

discernible. Situación errática en la que toda previsión es imposible.

El caos es la misma esencia del orden [1], si bien establece que cambios diminutos

pueden causar fluctuaciones gigantescas, uno de los conceptos más importantes de

esta ciencia es que aunque resulte imposible predecir exactamente el estado futuro

de un sistema, es algo casi trivial modelar su conducta global [2].

Cualquier sistema que no sea perfectamente aleatorio puede ser caótico [3].

El caos es la conducta efectivamente impredecible a largo plazo, que surge de un

sistema dinámico determinista, la clave para la impredictibilidad a largo plazo radica

en una propiedad que se conoce como sensibilidad a las condiciones iníciales [4].

Para que un sistema dinámico sea caótico debe tener un gran conjunto de

condiciones iníciales que sean altamente inestables, de modo que sin importar con

que precisión se midan, la predicción de su futuro se volverá radicalmente errónea

luego de poco tiempo.

De las observaciones anteriores se establece la teoría del caos, la cuál consiste de

manera muy general, en el estudio de los sistemas complejos siempre cambiantes,

de manera inconstante y aperiódica, que están basados en la recursión y sofisticados

algoritmos matemáticos que se ejecutan a través de un conjunto de ecuaciones

diferenciales sirviendo como modelo a un sistema físico [5].

Trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las

condiciones iníciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iníciales pueden

implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción

a largo plazo. Lo anterior sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos,


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es decir, su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus

condiciones iníciales.

1.2 Determinismo.

Movimiento filosófico que pretende establecer la veracidad de que todo hecho o acto

resulta de las causas que lo determinan desde una perspectiva extrema de causa y

efecto.

1.3 Caos determinista.

Se refiere a un comportamiento determinista pero impredecible a largos tiempos, de

sistemas no lineales con muy pocos grados de libertad.

Tres son aquí las palabras clave:

a) Sistemas deterministas. Sistemas descritos, sin ninguna clase de ruido o

fluctuación, por sistemas de ecuaciones diferenciales o por sistemas de

aplicaciones iterativas.

b) Sistemas no lineales. Se trata de sistemas controlados por aplicaciones o

ecuaciones diferenciales no lineales. Esta característica es imprescindible

pues los sistemas lineales no pueden presentar comportamientos Caóticos.

c) No predictibilidad. Aunque un sistema venga descrito por un conjunto de

ecuaciones diferenciales o aplicaciones, se hace necesario conocer un valor

inicial (condiciones iníciales). Y aquí es donde aparece una de las principales

características de esta clase de sistemas: dos puntos iníciales tan cercanos

como se quiera, terminan por evolucionar de forma completamente diferente,

dando lugar a recorridos separados por completo. Esta circunstancia se

conoce como sensibilidad a las condiciones iníciales [6].


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1.4 Sincronización.

Definimos a la sincronización como la satisfacción de restricciones temporales en la

interacción de los procesos. Podemos decir que sincronizar se refiere a que dos o

más elementos, fenómenos, eventos u operaciones sean programados para que

ocurran en un orden y/o momento predefinido de tiempo o lugar.

Los conceptos de sincronización y comunicación se interrelacionan: La comunicación

requiere normalmente sincronización y la sincronización se puede considerar

comunicación sin contenido [7].

Al sincronizar el caos nos referimos a procesos donde dos o más sistemas caóticos

(equivalentes o no equivalentes entre ellos) se ajustan para dar propiedades de

movimiento común debido al acoplamiento o a una fuerza (periódica o ruidosa) [8].

La idea que subyace bajo el fenómeno de sincronización es que dos sistemas

caóticos, que inicialmente evolucionan sobre atractores diferentes, al acoplarse de

algún modo, finalmente siguen una trayectoria común. La sincronización entre dos

sistemas (consultar capítulo 2) se consigue cuando uno de los dos sistemas cambia

su trayectoria a la seguida por el otro sistema o bien a una nueva trayectoria común

a ambos sistemas.

Un factor decisivo dentro de la sincronización es el tipo de acoplamiento, para esta

Tésis y por conveniencia utilizaremos el acoplamiento unidireccional.

El acoplamiento unidireccional consta de un sistema que se subdivide en dos

subsistemas, uno de ellos envuelve y conduce al otro, siendo la respuesta del

sistema esclavizado seguir la dinámica del sistema conductor. Dicho de otro modo,

cuando la evolución de uno de los dos sistemas no es alterada por el acoplamiento,

la configuración resultante es un acoplamiento unidireccional. Este tipo de


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configuración es conocida como maestro-esclavo. Lo cuál resulta óptimo en la

aplicación a comunicaciones seguras.

1.4.1 Importancia de la sincronización.

La sincronía dentro de un sistema de comunicaciones se vuelve crítica conforme la

información a transmitir aumenta, de ahí que nos interese emplear los recursos que

nos brinda la teoría del caos para poder manipularla y obtener un dispositivo

confiable para ser usado dentro de las comunicaciones seguras.

Al existir sincronización se obtiene precisión de la información y la incertidumbre de

tener datos de calidad se reduce, ya que se asegura que los datos intercambiados

entre el transmisor y receptor sean exactos. Se genera la capacidad de detección de

conflictos, por ejemplo, cuando hay algún archivo que no está sincronizado

correctamente (diferentes versiones de ambos lados).

Se eliminan redundancias onerosas en los sistemas y procesos internos. Ya que el

sistema no comparte recursos, no se comunica, no afecta ni es afectado por otros

procesos.

El proceso de sincronización puede hacerse manualmente o automáticamente

utilizando alguna herramienta de software, lo que permite más confiabilidad. Y

aunque en esta Tésis la sincronización solo sea de transmisor a receptor, existe la

posibilidad de compresión de datos, si es que la sincronización se hace a través de

una red.

1.5 Análisis de señales por el método de Fourier.

La idea básica de la serie de Fourier es que toda señal periódica de período

puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo

período , pues la señal de excitación de un sistema esta definida en cada uno de

http://www.alegsa.com.ar/Dic/sincronizar%20archivos.php

http://www.alegsa.com.ar/Dic/red.php


15 | Página

sus puntos, por el contrario, la excitación no sinusoidal de un sistema impide

determinar su respuesta.

De ahí que el análisis de Fourier establezca que cualquier señal no sinusoidal

periódica se puede expresar como suma de un número finito o infinito de funciones

sinusoidales.

No esta de más el recordar que el principio de superposición, al que obedecen todos

los sistemas lineales, específica que cuando un sistema queda sometido a un

conjunto de excitaciones, la salida total del sistema (respuesta) es la suma de las

respuestas a cada una de las excitaciones individuales.

En consecuencia, el análisis de Fourier y el teorema de superposición proporcionan

un método para determinar la respuesta de sistemas lineales sometidos a

excitaciones no sinusoidales.

El teorema de Fourier el cuál especifica que cualquier señal periódica se

puede representar en términos de señales sinusoidales en cualquier intervalo

en donde:

Siendo la frecuencia angular de la señal periódica que se forma con base en

en el intervalo , es decir:

Para ( )


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Las constantes y se calculan con:

es el valor promedio de en el intervalo . Es decir, es la

componente de corriente directa de en ese intervalo.

Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su

contenido frecuencial o espectro, dado lo anterior nos permitirá establecer la dualidad

entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio del

tiempo tienen su dual en el dominio de la frecuencia.

1.5.1 Serie exponencial de Fourier.

La señal es también expresable en términos de componentes exponenciales

en un intervalo :

Considerando las ecuaciones de Euler:


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Retomando la ecuación (1) de una función periódica y sustituyendo en ella

las ecuaciones (5) y (6):

Llamando:

Haciendo referencia a las ecuaciones correspondientes que toman y , y si

toma valores negativos en tanto que , podemos simplificar la

siguiente ecuación:

Sustituyendo las ecuaciones (8), (9) y (10) en la ecuación (7):


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Considerando que:

Obteniendo:

Donde la ecuación (11) es la serie exponencial de Fourier y es el factor de forma.

Para la demostración de considere la expresión obtenida.

Sustituyendo los valores de y , en la expresión:


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Considerando los límites de integración de Fubini:

La serie trigonométrica de Fourier y la exponencial son dos formas diferentes de

expresar la misma serie, ya que los coeficientes de una serie pueden obtenerse a

partir de los coeficientes de la otra, así sumando y restando las ecuaciones

obtenemos:

1.5.2 Transformada de Fourier.

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una

función (por lo general aperiódica), esta comprende todas las frecuencias contenidas

en todos los tiempos en que existió la señal.

Considerando la serie exponencial de Fourier y que se

puede observar en la figura 1.1 como pasamos de una señal periódica a una

señal aperiódica .


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Figura. 1.1. Si consideramos podemos pasar de una señal

periódica a una señal aperiódica.

La transformada de Fourier presenta un espectro continuo de frecuencia para toda la

función. Por tanto, es más fácil saber sobre que ancho de banda se concentra la

energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

Considerando las ecuaciones (11) y (12):

Sustituyendo el factor de forma en la serie exponencial de Fourier:

Y como:


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Implica que:

Al sustituir este valor de en la ecuación (13) tenemos:

A medida que aumenta aparecen más armónicas en el espectro y, en el límite

cuando , el espectro se convierte en función continua de , que

ahora se transforma en variable continua, es decir , y así:

En resumen cuando :


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Considerando todo lo anterior, la ecuación (15) y sustituyendo en la ecuación (14)

tendremos:

Se obtuvo:

En la ecuación (17) la constituye el espectro de frecuencias de ; se le

llama función de densidad espectral o simplemente espectro de y

matemáticamente se conoce como la transformada directa de Fourier de .

La ecuación (18) es la transformada inversa de Fourier de , es decir es la

transformada inversa de Fourier de . Las ecuaciones (17) y (18) se conocen

como par de transformadas de Fourier; simbólicamente se les representa por:

De esta manera:


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1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo.

Convolución es un proceso matemático el cuál permite obtener de manera estricta y

sencilla la solución real a la interacción de dos señales en el tiempo y en el espacio.

Esta interacción produce una tercera señal la cuál esta conformada por

características de ambas señales originales.

Dadas dos señales:

y

La operación convolución entre ellas se define de la siguiente manera.

Considerando que:

Entonces:

Que corresponde a:

Hablar de la convolución en el tiempo es hablar de la multiplicación de los espectros

de frecuencia.

1.5.3.1 Convolución de una señal con un impulso unitario

Tomando en cuenta que:


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Empleando el teorema de convolución en el tiempo:

Observamos que la convolución de la función impulso unitario con cualquier

señal reproduce la misma señal .


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CAPÍTULO 2

“Sistemas

dinámicos”


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Para respaldar que la teoría del caos parte de un sistema determinista y predecible a

largo plazo, se tomaron en cuenta los siguientes conceptos.

2.1 Modelo matemático.

Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera.

El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su

comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el

sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones

necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no

habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real.

En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras,

números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.

Obtenemos un modelo a partir de una abstracción de un sistema real eliminando las

complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica

matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo, como se observa

en la siguiente figura.

Figura. 2.1. Construcción de un modelo a través de un sistema real.


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Se utiliza para analizar el comportamiento de sistemas complejos ante situaciones

que resultan difíciles de observar en la realidad.

Los modelos constituyen una traducción de la realidad física para posibilitar la

aplicación de los instrumentos y las técnicas de las teorías matemáticas en el estudio

del comportamiento de sistemas complejos. Siguiendo el camino inverso, pueden

traducirse los resultados numéricos a la realidad física.

Los modelos matemáticos pueden dividirse en:

a) Deterministas. Son aquellos en los que no hay incertidumbre respecto a la

forma del resultado y los datos utilizados son completamente conocidos y

determinados.

b) Estocásticos. Son modelos probabilísticos, ya que no se conoce el resultado

esperado si no su probabilidad.

Respecto a la función del origen de la información utilizada, los modelos matemáticos

pueden clasificarse en:

a) Heurísticos. Se basan en las explicaciones sobre las causas o mecanismos

naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.

b) Empíricos. Se basan en las observaciones directas o los resultados de

experimentos del fenómeno estudiado.

2.2 Sistemas.

Vamos a considerar que un sistema es una representación matemática de una

entidad física que ante el estímulo de una o varias magnitudes físicas (señales)

ofrece como respuesta otras magnitudes (señales).

Un sistema es una combinación de varias entidades, físicas y/o lógicas, integradas

entre si para ejecutar una función concreta.

http://definicion.de/sistema


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Un sistema puede ser físico o concreto (una computadora, un televisor, un humano)

o puede ser abstracto o conceptual (un software).

Ahora bien, los sistemas pueden clasificarse en función de que cumplan o no

determinadas propiedades:

a) Memoria. Un sistema es sin memoria cuando la salida en un determinado

instante no depende de valores pasados ni futuros de la entrada. Se dice que

el sistema tiene memoria cuando no cumple esta propiedad.

b) Causalidad. Es también llamado Anticipativo cuando la salida en un

determinado instante no depende de valores futuros de entrada.

c) Invertibilidad. Es Invertible cuando siempre es posible recuperar la entrada al

sistema conociendo la salida.

d) Estabilidad. Existen varios criterios de estabilidad, el más utilizado en el

estudio de sistemas es el denominado “entrada acotada, salida acotada”, es

decir el sistema es estable sí para una entrada dada existe una salida dada.

e) Linealidad. Es lineal si cumple con las condiciones de superposición.

f) Invarianza. El sistema es invariante, o dicho de otra manera invariante en el

tiempo, si el comportamiento del sistema no depende del instante en que se le

aplique la excitación.

2.2.1 Sistema no lineal.

Es aquel que exhibe una desviación de toda correspondencia funcional de

proporcionalidad directa; es decir, aquel en el que las respuestas no son

directamente proporcionales a una variable dada o cuando las interrelaciones entre

las cantidades implicadas se expresan mediante ecuaciones, algunas de las cuales

no son lineales.


29 | Página

2.2.2 Sistema Complejo.

Es aquel que está compuesto por muchas partes y, de hecho, en el campo de las

matemáticas se conoce como teoría de la complejidad, está integrado por una gran

cantidad de temas complementarios traslapados entre sí; se podría decir que es un

sistema con muchos grados de libertad no equivalentes entre si y, a diferencia del

caos que es el estudio de cómo los sistemas simples pueden generar conductas

complicadas, la complejidad es el estudio de cómo los sistemas complejos pueden

generar conductas sencillas , lo que quedaría ejemplificado por la sincronización de

los sistemas biológicos desde las luciérnagas hasta las neuronas .

Cada sistema existe dentro de otro más grande, por lo tanto un sistema puede estar

formado por subsistemas y partes, y a la vez puede ser parte de un súper sistema.

2.2.3 Sistemas lineales.

En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes

propiedades.

Aditividad:

Homogeneidad:

Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como principio de superposición.

La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones

matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los

resultados.

http://www.alegsa.com.ar/Dic/subsistema.php

http://www.alegsa.com.ar/Dic/elemento%20de%20un%20sistema.php

http://www.alegsa.com.ar/Dic/supersistema.php


30 | Página

Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en que espacio

matemático se encuentra la solución. Podría ser un número real, un vector o, tal vez,

una función con algunas propiedades.

Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una

superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las

ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.

2.2.4 Sistemas no lineales.

Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es

expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más

formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las

ecuaciones de movimiento o evolución que regulan el comportamiento del sistema

son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está

sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.

Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente

son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una

variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.

Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que

otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto, no se pueden reducir a una forma

simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento caótico son las olas

gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de interés general han

sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.

Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la

mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza.

Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes

fenómenos como la teoría del caos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Linealidad#Sistemas_lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ola_gigante

http://es.wikipedia.org/wiki/Ola_gigante

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos


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Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de

entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no

lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no

pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las

ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.

2.2.5 Sistema determinista.

En este sistema el azar no está involucrado en los futuros estados de éste. Es decir,

si se conoce el estado actual del sistema, las variables de ambiente y el

comportamiento del sistema ante los cambios, entonces está totalmente determinado

por el estado futuro del sistema.

Un sistema físico es determinista sí, dado las mismas condiciones experimentales,

repite siempre la misma conducta. En forma más precisa, su conducta es una

sucesión de valores de un conjunto de variables dinámicas que aparecen en el

transcurso del tiempo y que especifican el estado del sistema en cada instante t. Si el

conjunto inicial de estas variables dinámicas es el mismo cada vez, el sistema bajo

estudio experimental pasará siempre por la misma sucesión de valores (evolución

temporal). En términos matemáticos, se le puede asociar al sistema un espacio de

estados y la evolución temporal es una curva si la variación ocurre de manera

continua, o de puntos cuando los cambios son discretos.

En estos casos se recurre a una estructura matemática que se llama sistema

dinámico y se dice que el modelo sigue una evolución determinista. Técnicamente,

se utilizan para la descripción las ecuaciones diferenciales ordinarias y las

ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

2.2.6 Sistema dinámico.

Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. El comportamiento en dicho

estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y

http://es.wikipedia.org/wiki/Azar

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_de_entorno

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema


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sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la

estructura del mismo sistema.

Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos

componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se

determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de

aspectos irrelevantes.

Formalmente un sistema dinámico es el objeto matemático formado por un espacio

de estados y una regla que prescribe como varían estos estados a lo largo del

tiempo.

2.3 Espacio de estados.

Se refiere al espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por

variables de estado. El estado del sistema puede ser representado como un vector

dentro de ese espacio.

2.4 Ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o

más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes

respecto de las que se deriva.

Una ecuación diferencial es una relación entre una función y una o varias de sus

derivadas sucesivas. Desafortunadamente no existe un método único para

solucionarlas.

Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos matemáticos que tratan de

describir situaciones de la vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser

traducidas al lenguaje matemático mediante ecuaciones que envuelven derivadas,

como en física, donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en

biología, la derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n

http://enciclopedia.us.es/index.php/Derivada

http://enciclopedia.us.es/index.php/Funci%C3%B3n_derivada

http://enciclopedia.us.es/index.php/F%C3%ADsica

http://enciclopedia.us.es/index.php/Velocidad

http://enciclopedia.us.es/index.php/Aceleraci%C3%B3n

http://enciclopedia.us.es/index.php/Biolog%C3%ADa


33 | Página

química, como rapidez de reacciones, las ecuaciones diferenciales son muy

utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos

físicos, entre otros más.

En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que

describa un problema real, se asume que la situación se rige por leyes simples. Una

vez que se construye el modelo en forma de ecuación diferencial, lo que viene es

solucionarla y con estas soluciones, se hacen predicciones relativas al

comportamiento del problema en cuestión.

2.5 Reduccionismo.

El reduccionismo indica que todo el resto de la realidad, no es finalmente más

que partículas en movimiento.

2.6 Atractor.

Se define como el punto ubicado dentro de un espacio n-dimensional que genera una

fuerza de atracción hacia si mismo, a partir de un campo infinito y cuyo grado de

atracción, depende de determinada función de la distancia.

Es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente

largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean

suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente

perturbadas.

Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, o una variedad.

La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna

propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica,

caótica o de cualquier otro tipo.

http://enciclopedia.us.es/index.php/Qu%C3%ADmica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema

http://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva


34 | Página

El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos

son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.

Los atractores, son patrones en un espacio matemático que describen el

comportamiento de los sistemas a lo largo de su recorrido. Los atractores dibujan los

distintos tipos de comportamientos que pueden tener lugar en un sistema teniendo

en cuenta las condiciones que afectan a ese sistema. De alguna manera capturan las

soluciones, también llamadas órbitas, del sistema.

A la transición de un atractor a otro se le llama bifurcación. En la teoría del caos, los

sistemas dinámicos se estudian a partir de su "espacio de fases", es decir; la

representación coordenada de sus variables dependientes.

Existen algunos tipos de atractores:

a) Atractor de punto fijo. Corresponde al más simple, el sistema que cuente con

este tipo de atractor tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo

común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto

a la vertical.

b) Atractor de ciclo límite o atractor periódico. Este tipo de atractor tiende a

mantenerse en un periodo igual para siempre.

c) Atractor caótico. Aparece en sistemas no lineales que tienen una gran

sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el

atractor de Lorenz.

d) Atractores extraños. Punto que ejerce una fuerza de atracción radial de

manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce trayectorias

aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte de

influencia.

Son trayectorias (órbitas) en el espacio de fases hacia las que suelen tender

todas las trayectorias normales. Los atractores extraños suelen tener formas

geométricas caprichosas, y en muchos casos parecidos o similitudes a

http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Vertical

http://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lorenz


35 | Página

diferentes escalas. A estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes

escalas se les llama "objetos fractales".

Los atractores extraños tiene algunas propiedades: las trayectorias

permanecen confinadas en una región del espacio de fases pero se separan

de sus vecinas a velocidad exponencial.

El mecanismo básico que subyace bajo esta dinámica es conocido como

“estiramiento y plegado” (stretching and folding), en un atractor extraño el flujo

típicamente estira los volúmenes y luego los pliega sobre sí mismo. Este

proceso genera como veremos una dependencia sensible respecto

condiciones iníciales.

2.7 Punto fijo.

También conocido como punto de equilibrio, es el punto correspondiente al estado

del sistema que permanece constante en el tiempo.


36 | Página

CAPÍTULO 3

“Implementación

del diodo de Chua”


37 | Página

Una vez presentadas las bases teóricas se dio paso a la implementación del diodo

de Chua.

3.1 El diodo de Chua.

Dentro del desarrollo de los sistemas caóticos existen varios tipos de circuitos

desarrollados para la generación de caos, entre ellos el circuito de Chua, el cuál se

muestra en la siguiente figura.

Figura. 3.1. Diagrama eléctrico del circuito de Chua.

El circuito de Chua es el sistema caótico con mayor facilidad de implementación

(consultar apéndice D), como podemos observar en la Figura 3.1, es un circuito

simple, autónomo y de tercer orden. El circuito de Chua esta formado por elementos

pasivos no lineales, un inductor o bobina (L), dos condensadores o capacitores (C1 y

C2) y un resistor (R).Pero dentro del diagrama del circuito se observa que existe otro

componente que junto con los demás elementos constituyen el circuito de Chua. El

componente antes mencionado es el elemento activo no lineal que es alimentado por


38 | Página

alguna fuente externa de potencia al que llamamos diodo de Chua (NR; non linear

resistor) o memristor, que es el elemento más importante.

El comportamiento de NR es descriptible a través de una aproximación a segmentos

como una curva de transferencia. Podemos también, llamar a esta curva como una

respuesta de corriente contra voltaje no lineal. Debido a la implementación de este

diodo también llamado resistor activo se da lugar a una curva cuya pendiente es

negativa. Aunque diversos estudios han arrojado resultados en los que la curva de

transferencia puede tener muchas formas, el circuito original de Chua nos especifica

una curva impar o línea por partes, esto es de tres segmentos como se observa en la

siguiente figura.

Figura. 3.2. Muestra de la curva característica de la función lineal (Curva de transferencia del

diodo de Chua).

Para tener una versión más simple y práctica en la implementación electrónica se

consideró utilizar el enfoque propuesto en la referencia [9], debido a que la


39 | Página

implementación del elemento NR requiere solo de amplificadores operacionales

(consultar apéndice A) y resistores como se observa a continuación.

Figura. 3.3. Síntesis del elemento no lineal NR en el circuito de Chua.

3.2 Análisis del diodo de Chua.

Observemos que el circuito sustituye la resistencia no lineal NR o memristor, se

tienen que tomar en cuenta tres puntos de funcionamiento del amplificador

operacional para el análisis del diodo:

Saturación negativa

Comportamiento lineal


40 | Página

Saturación positiva

Donde es el voltaje de entrada del amplificador y el voltaje de offset. Tomando

en cuenta que el amplificador operacional tiene una entrada máxima de voltaje, por lo

tanto, consideramos lo siguiente:

Multiplicamos la ecuación (25) por :

Obtenemos:


41 | Página

Para voltaje máximo de salida:

3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice.

Se estudió el comportamiento del diodo de Chua para ser empleado como circuito

generador de caos. El software Pspice es complejo pero a su vez más exacto en

simulaciones y modelados debido a ello se decidió utilizar dicho software.

Los valores y cantidades de elementos utilizados se muestran a continuación en la

tabla 1, dichos valores tomados para representar no linealidad fueron recomendados

en la referencia [10].

Elemento Valor

OPAM 1, OPAM 2 TL082

R1, R2 220 Ω

R3 1.8 kΩ

R4, R5 22 kΩ

R6 3.3 KΩ

RS 1000 Ω

VSIN 1 10 V,31 Hz

VDC 2 15 V

VDC 3 -15 V

Tabla 1. Valores correspondientes a los elementos empleados para la simulación del diodo de

Chua.


42 | Página

Para comprobar el comportamiento del diodo de Chua y obtener su curva

característica (Figura. 3.2) el prototipo se simuló inyectando una fuente sinusoidal, el

arreglo experimental para medir dicha curva también funciona en la simulación.

Se aplica un voltaje Vs de una función sinusoidal al circuito en serie compuesto por

una resistencia sensible Rs, y el diodo de Chua o elemento no lineal NR, se

recomienda alimentar al TL082 con 15 V como se observa en la siguiente figura.

Figura. 3.4. Circuito utilizado para la simulación en Pspice del diodo de Chua.

La resistencia sensible Rs fue utilizada para poder medir la corriente IR que fluye por

todo el diodo cuando se aplica un voltaje a sus terminales. Por comodidad Rs es

igual a 1000Ω ya que y esta dada en mA.


43 | Página

En la siguiente figura se observa la curva característica del diodo de Chua obtenida

por medio de la simulación con el circuito de la figura 3.4.

Figura. 3.5. Curva característica del diodo de Chua obtenida en la simulación.

3.4 Desarrollo experimental.

En base a los resultados obtenidos en la simulación se permitió determinar la

factibilidad del armado de dicho circuito y se llevó a cabo el arreglo experimental del

prototipo (Figura. 3.6), conectando el circuito con las mismas condiciones utilizadas

en la simulación.


44 | Página

Figura. 3.6. Desarrollo experimental del diodo de Chua.

Como ya se mencionó anteriormente este diodo NR o memristor tiene una respuesta

de corriente contra voltaje no lineal, esta es su principal característica,

experimentalmente obtuvimos una curva impar, que tiene forma lineal por partes de

tres segmentos (Figura. 3.7).

Las variables de estado son los voltajes en el condensador uno, condensador dos y

la corriente a través del diodo de Chua [11].


45 | Página

Figura. 3.7. Curva característica del diodo de Chua obtenida en el laboratorio.

Al comparar las tres curvas: teórica (Figura. 3.2), simulada (Figura. 3.5) y

experimental (Figura. 3.7), la similitud en ellas es grande, pero si se observa

detalladamente la pendiente negativa del lado derecho de la figura 3.7 se puede ver

que no es totalmente recta y tiende a tomar una forma de curva, esto se debe a que

en la práctica los elementos y dispositivos no son ideales y en la teoría y la

simulación si lo son.

De esta forma se comprobó que los resultados obtenidos en la implementación

corresponden a los resultados en simulación y teoría.

Con el circuito llevado a la práctica confirmamos que el diodo de Chua funciona

correctamente para poder emplearlo como componente no lineal y generador de

caos dentro del circuito de Chua.


46 | Página

CAPÍTULO 4

“Implementación

del circuito de

Chua”


47 | Página

Ya analizado el diodo de Chua se dio paso a implementar el circuito de Chua

haciendo las pruebas pertinentes para corroborar su funcionamiento.

4.1 Circuito de Chua.

El circuito de Chua del cuál ya se describió su estructura física en el capítulo anterior

es un circuito muy manipulable en el estudio de los sistemas no lineales ya que es

autónomo, lo que significa que no es necesario que lo alimentemos con fuentes de

A.C, para que produzca un comportamiento caótico, solo es necesaria una fuente

sinusoidal para polarizarlo.

Cabe mencionar que presenta una gran dependencia a las condiciones iníciales

como valores de los elementos y voltajes de entrada.

El circuito esta formado por dos partes como se muestra en la siguiente figura.

Figura. 4.1. Partes que conforman el circuito de Chua: A) oscilador amortiguado; B) elemento

no lineal.


48 | Página

La parte A la llamaremos oscilador amortiguado ya que esta formada por elementos

pasivos, condensadores, resistores y bobinas. La parte B es el elemento no lineal

denominado diodo de Chua o memristor. Este elemento actúa como una fuente de

energía de todo el circuito, su función es retroalimentarlo y mantenerlo oscilando [10].

El análisis del diodo de Chua el cuál arroja un sistema de tres ecuaciones autónomas

fue tomado de la referencia [10] dichas ecuaciones se muestran a continuación.

Con estas ecuaciones verificamos por medio de la corriente en la resistencia de

pendiente negativa que:

De esta manera observamos que y son los módulos de cada pendiente que

se aprecian en la figura 3.2.


49 | Página

4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.

Una vez que el diodo de Chua simulado en el capítulo 3 funcionó correctamente

procedimos a conectarlo al circuito de Chua, para llevar acabo la simulación en

conjunto.

Cabe mencionar que se conecto a una fuente sinusoidal de 15V para que en la

pantalla arrojada por Pspice la imagen sea clara y se pueda observar en forma

correcta, este circuito se muestra en la siguiente figura.

Figura. 4.2. Simulación del circuito de Chua.

Los valores para simular la parte A del circuito de Chua fueron recomendados en la

referencia [10] y se muestran en la tabla 2.


50 | Página

Elemento Valor

C1 10 n

C2 100 n

L1 18 mH

Rs 1750Ω

Tabla 2. Valores correspondientes a los elementos empleados para la simulación de la parte A

del circuito de Chua.

Las curvas o señales obtenidas (Figura 4.3) corresponden a los valores de voltajes

del C1 ( ) y C2 ( ).

La señal de color azul muestra y la señal de color amarillo muestra

obtenidas en el dominio del tiempo.

Figura. 4.3. Señales obtenidas en el C1 y C2 de la simulación del circuito de Chua.


51 | Página

Posteriormente obtuvimos las señales en el dominio de la frecuencia (Figura 4.4 y

Figura 4.5) sabiendo que Pspice es capaz de obtener este espectro de una forma

sumamente sencilla.

Simplemente se debe simular la variable seleccionada (en nuestro caso el voltaje en

cada uno de los capacitores) y presionar el botón de transformada rápida de Fourier

(FFT), de inmediato la gráfica se transformará en una señal cuyos puntos máximos

muestran en el eje Y la magnitud de cada onda y en el eje X la frecuencia de dicha

onda.

Figura. 4.4. Transformada rápida de Fourier (FFT) de .


52 | Página


Podemos observar en la figura 4.2 que Rs tiene un valor de 1750Ω, es importante

mencionar que esta resistencia es variable y que este valor es el adecuado para que

junto con las condiciones iniciales el circuito de Chua nos arroje la mejor respuesta

de caos.

Para demostrar esto, la simulación tiene que ser vista en modo XY con las mismas

condiciones que en la simulación en dominio del tiempo, en Pspice a esto se le

conoce como barrido en DC.

Debido a que el barrido en DC aplica como entrada una variable en DC, por lo que,

algunos circuitos que responden a la frecuencia (los que tengan componentes

capacitivos y/o inductivos) no pueden ser adecuadamente estudiados con este

método [11].


53 | Página

Por esta razón se tomó como imagen del doble scroll la siguiente figura.

Figura. 4.6. Doble scroll o atractor de Chua [12].

4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en simulación.

Como se estudio en el capítulo uno, la convolución entre la función impulso unitario y

cualquier otra señal tiene como resultado la misma señal, es así como al

implementar un tren de impulsos en la entrada del circuito de Chua se logró conocer

tanto la respuesta al impulso (Figura. 4.8) como la función de transferencia (Figura.

4.9) del circuito de Chua.

Para ello al circuito de simulación (Figura 4.2) se le modificó la fuente de 15V por una

fuente de pulsos cuadrados, como podemos observar en la figura 4.7.


54 | Página

Figura. 4.7. Circuito de Chua con un tren de impulsos para obtener su función característica.

Es importante mencionar que para que el tren de pulsos cuadrados se aproxime a un

tren de impulsos es necesario que la duración de cada pulso cuadrado sea lo mas

pequeño posible.

Debido a lo anterior se tuvieron que ajustar los parámetros de la simulación, donde

TR: el tiempo que tarda la onda en subir, TF: el tiempo que tarda la onda en bajar y

PW: el tiempo que tarda la onda en estado alto, deben ser completamente iguales y

lo más pequeñas que se puedan, por ello decidimos colocar 1µs como valor de

estos.


55 | Página

Figura. 4.8. Respuesta al impulso del circuito de Chua.

Si a esta misma gráfica la observamos en el dominio de la frecuencia podemos

obtener su función de transferencia.

Figura. 4.9. Función de transferencia del circuito de Chua.


56 | Página

4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua.

Manejando las mismas condiciones que en la simulación se llevo acabo la

implementación del diodo del circuito de Chua, primero se construyó un prototipo en

protoboard el cuál se muestra en la figura siguiente.

Figura. 4.10. Prototipo del circuito de Chua en protoboard.

Nuevamente se demostró que el circuito de Chua funciona correctamente ya que se

obtuvieron los mismos resultados vistos previamente en la simulación, la señal de

color azul muestra y la señal de color amarilla muestra (Figura 4.11).


57 | Página

Figura. 4.11. Señales obtenidas de la implementación del circuito de Chua.

Por medio de la herramienta de la transformada rápida de Fourier (FFT) del

osciloscopio se obtuvieron las señales en el dominio de la frecuencia de

(Figura 4.12) y (Figura 4.13) tal y como se realizó en la simulación.



58 | Página


Como ya se mencionó en el capítulo dos, los atractores extraños son aquellos

atractores que exhiben una dependencia extremadamente grande a las condiciones

iniciales o mejor dicho dependen de estas, todas las trayectorias que se encuentren

o comiencen en un atractor extraño se separan de forma exponencial.

El atractor puede considerarse extraño (Figura. 4.6) si el punto ejerce una fuerza de

atracción radial de manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce

trayectorias aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte

de influencia [13].

El circuito de Chua como ya se mostró es un circuito caótico el cual genera como

respuesta un atractor de nombre “atractor de Chua”.

La principal característica del comportamiento caótico es que presenta extrema

sensibilidad a las condiciones iniciales.


59 | Página

De la misma manera que en la simulación, la forma de corroborar que estamos en

las condiciones óptimas para generar caos es viendo el modo XY en el osciloscopio.

En esta ocación fue posible obtener el atractor de Chua o doble scroll, el cuál se

muestra en la siguiente figura.

Figura. 4.14. Doble scroll o atractor de Chua obtenido en el laboratorio .

Como ya se mencionó la figura anterior es obtenida mediante la medición en C1 y C2

en modo XY del osciloscopio.

Observamos que el sistema evoluciona con respecto al tiempo, teniendo dos polos

(extremo del eje de rotación de una esfera o cuerpo redondeado; extremos o bordes

de un circuito, en este caso gráfica; punto, persona o cosa hacia donde se dirige la

atención) y trayectorias que parecieran estar encimadas o remarcadas, pero no es

así.


60 | Página

Observemos que la trayectoria se detiene en un punto, permanece invariante hasta

que una perturbación física lo modifique, en nuestro caso la perturbación física esta

dada por el valor del potenciómetro.

A medida que se llega a un valor (1750 Ω) donde las oscilaciones con un mismo

plano de fase muestran una ruta caótica (Figura 4.14).

Esto significa que hay aparición de caos en el sistema o circuito, no es posible

cuantificar las orbitas ya que no se distinguen de manera clara, pero si sabemos que

están oscilando y manteniendo su fase (estados sucesivos de un sistema en

evolución, tienen la misma intensidad pero retrasadas en el tiempo una respecto de

la otra).

Para la figura 4.14 se encuentra el comportamiento dinámico y el plano de fases para

las condiciones donde el circuito de Chua genera caos.

La gráfica que representa el comportamiento del circuito de Chua (Figura 4.6), se

compone de tres señales correspondientes a cada uno de los planos(X, Y, Z).

X toma el valor del voltaje a través del capacitor C1, Y es el valor del voltaje a través

del capacitor C2, y Z representa el valor de la corriente a través de la bobina

(inductor).

La corriente de la bobina determina la trayectoria y el comportamiento de los

primeros valores del doble scroll en el tiempo, debido a esto se observó como el

sistema se acopla a las dos frecuencias de corte (orbitas).

En los primeros milisegundos de encendido, las trayectorias se forman en

oscilaciones temporales, establecen una circunferencia en un punto de frecuencia, e

inmediatamente trascienden hacia otro punto de corte.


61 | Página

4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en laboratorio.

Para confirmar que la implementación del circuito de Chua arrojó los mismos

resultados que la simulación se decidió obtener la respuesta al impulso (Figura 4.15)

del circuito de Chua en el laboratorio tal y como se realizó en la simulación, los

resultados se muestran a continuación.

Figura. 4.15. Respuesta al impulso del circuito de Chua.

Una vez obtenida la respuesta al impulso del circuito de Chua podemos obtener su

función característica (Figura 4.16), apoyándonos nuevamente de la misma

herramienta en el osciloscopio, la transformada rápida de Fourier (FFT) de igual

manera que se hizo en la simulación.


62 | Página

Figura. 4.16. Función característica del circuito de Chua.

Comparando la figura 4.8 con la figura 4.15 y la figura 4.9 con la figura 4.16 se

observa que tenemos una similitud entre ellas, y si se encuentra un poco de

diferencia es debido a que en la simulación se obtuvo un resultado ideal y en

laboratorio un resultado real, con ello se confirmó una vez más que el circuito de

Chua funciona correctamente, y así se obtuvo la función característica de nuestro

circuito para conocer su respuesta en función del tiempo y de la frecuencia.


63 | Página

CAPÍTULO 5

“Aplicación del

circuito de Chua en

las

telecomunicaciones”


64 | Página

5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y desencriptado de una señal

caótica. En el capítulo anterior se mencionó que el circuito de Chua es de gran utilidad para

producir una señal caótica (cuando obtenemos el doble scroll), esta señal se usa en

la transmisión segura de la información.

El siguiente diagrama a bloques muestra el sistema lineal básico de comunicaciones,

el cual se conforma de un transmisor (Tx), un canal (r (t)) y un receptor (Rx).

Figura. 5.1. Sistema lineal básico de comunicaciones.

La señal caotica se pasa por un buffer para que no se atenue, a esta señal se le

suma la señal del mensaje ( ) una vez sumadas se pasan a

traves de un inversor para que al ser enviadas no cambien su fase. En el receptor

observamos que se tiene un circuito de Chua similar al del transmisor, esto es


65 | Página

necesario para que la sincronización exista y con ello la señal del receptor se

acople perfectamente con la del transmisor . Al recibir la señal se pasa por

otro circuito similar al del transmisor y después se separan comprobando que se

obtiene la señal tal y cuál se envió.

Cabe resaltar que la transformada de Fourier de la señal es

de suma importancia para corroborar si el circuito del sistema básico de

comunicaciones funciona correctamente, si tomamos la señal:

Y calculamos su trasformada de Fourier (para revisar la transformada de Fourier

algunas señales útiles consultar apéndice B).

Para fines analíticos diremos que, y de tal manera que:

De la cuál su representación geométrica se muestra en la siguiente figura.

Figura. 5.2. Representación geométrica de un seno perpetuo en el tiempo.


66 | Página

Ya que la función es un seno perpetuo no cumple con la propiedad de

integrabilidad (ya que no es finita):

Por lo tanto, no podemos usar la integral de Fourier para encontrar la transformada

de la función seno perpetuo de la señal.

Para poder usar la integral de Fourier será necesario multiplicar la señal seno

perpetuo por un pulso cuadrado que tenga las siguientes características.

Pulso cuadrado

Del cuál su representación geométrica se presenta en la siguiente figura.

Figura. 5.3. Representación geométrica de un pulso cuadrado (ventana).


67 | Página

Con ello nuestra función cumplirá con la propiedad de integrabilidad (la señal es

finita) por lo que ahora, calcularemos la transformada de Fourier de la siguiente

señal.

Su representación geométrica la podemos observar a continuación.

Figura. 5.4. Representación geométrica de un seno limitado en el tiempo.

Por lo tanto:


68 | Página

Sustituyendo a la función seno con las ecuaciones de Euler utilizadas en el capítulo

1:

Factorizando:

Aplicando el límite:

Factorizando el signo (-):

Considerando nuevamente la formula de Euler:


69 | Página

Sustituimos la función seno por la función

:

Acomodando la ecuación:

Así la ecuación (43) es la transformada de Fourier de un seno limitado en el tiempo.

Para conocer los parámetros que caracterizan la señal se considera que:

Entonces:

Para conocer los nulos de la función:


70 | Página

Por lo tanto:

Podemos observar la representación geométrica del espectro de la ecuación (43) en

la siguiente figura.

Figura. 5.5. Representación geométrica del espectro de la transformada de Fourier un seno

limitado en el tiempo.

Considerando la siguiente igualdad:

(Seno perpetuo)

De tal manera que si aplicamos el límite a la ecuación (43):


71 | Página

La representación gráfica de la ecuación (44) se muestra a continuación:

Figura. 5.6. Representación geométrica del seno perpetuo.

Por lo tanto, graficando el valor absoluto de la transformada de Fourier tendremos:

Figura. 5.7. Representación geométrica de la magnitud del seño perpetuo.


72 | Página

Considerando que la transformada de Fourier es puramente imaginaria, es necesario

calcular el espectro de fase Vs frecuencia (Figura. 5.8), por lo tanto:

Figura. 5.8. Espectro de fase vs frecuencia de un seno perpetuo.


73 | Página

5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones.

Previamente realizados los circuitos de Chua, se pasó a construir el prototipo del

sistema lineal básico de comunicaciones, de igual manera que se realizó el diodo y el

circuito de Chua primero probamos el prototipo en protoboard como se muestra en la

siguiente figura.

.

Figura. 5.9. Prototipo del sistema.

Debido a que se presentaron problemas en el momento de conectar el circuito de

Chua con el sistema básico de comunicaciones por que se tenían bastantes cables,

se decidió que para una mejor manipulación y presentación los circuitos fueran

llevados a Pcb (consultar apéndice C).

Una vez diseñado el Pcb de cada circuito se prosiguió a llevarlos a su

implementación como se muestra en la figura 5.10.


74 | Página

Figura. 5.10. Pcb de cada uno de los circuitos.

5.3 Pruebas

Se decidió una vez conectado el circuito mostrar las figuras con las cuáles se

comprobó que la señal enviada fuera la misma que la señal recibida.

Primero, se sincronizaron ambos circuitos de Chua, los dos debian de arrojar la

figura de un atractor doble scroll (Figura. 4.14) y solo en esas condiciones y con esos

valores se tendría sincronización en ambos lados del sistema, tanto en transmisor

como en receptor.

Una vez que fueron sincronizados dichos circuitos se prosiguió a sumar la señal del

mensaje con la señal del circuito de Chua que arroja el

como se muestra en la figura 5.11.


75 | Página

Figura. 5.11. Señal caótica (azul) y la señal del mensaje (amarilla).

Previamente sincronizados y una vez comprobado que los circuitos tenian las

mismas condiciones iniciales que en la simulación se decidio conectar el canal 1 del

osciloscopio en la señal del mensaje y el canal 2 del

osciloscopio en la señal .

Es importante mencionar que la señal que se obtuvó en el receptor es la misma a la

enviada en el transmisor (Figura. 5.12) gracias al enmascaramiento caótico (Chaos

Masking (CM)) que fue posible mediante el circuito de Chua generador de caos.


76 | Página

Figura. 5.12. (1) Sincronizacióin en fase señal del mensaje ; (2) señal

desencriptada .

La figura 5.13 muestra otra forma de comprobar que la sincronización fue correcta,

se colocó el osciloscopio en el modo XY para ver su sincronización en fase, ya que si

después separamos ó desconectamos uno de los dos canales se vera nuevamente

el atractor de Chua o doble scroll (Figura 4.14).


77 | Página

Figura 5.13. Sincronizacion en fase vs .

5.4 Consideraciones generales para un buen funcionamiento del circuito de

Chua.

Llevar acabo la implementación del circuito de Chua fue complicado, esto debido a

errores humanos asi como a variaciones en los dispositivos y elementos que

componen el circuito de Chua.

En la simuación es muy importante precisar que aunque diversos estudios [ 8-10, 13]

mecionan que el circuito de Chua se excita mediante una fuente externa, no precisan

el tipo de fuente que se necesita, siendo este uno de los problemas ya que primero

se exito el circuito con una fuente de corriente directa o pila como se puede observar

en la figura 5.14.


78 | Página

Figura 5.14. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de CD o pila.

Y solo se obtuvó un gráfica mostrando una linea recta equivalente al valor de la

fuente que colocaba, como se observa en la siguiente figura.

Figura 5.15. Grafica obtenida mediante la alimentacion del circuito de Chua con una fuente de

CD o pila.


79 | Página

Para obtener un óptimo resultado se decidió seguir la recomendación de la referencia

[10] y fue asi como se obtuvieron los resultados requeridos (Figura 4.3).

Una de las consideraciones más importantes al llevar el circuito a la práctica es

revisar bien y en ocaciones mas de dos veces las conexiones a tierra, asi como las

conexiones de los elementos que componen nuestro circuito, ya que los dispositivos

conectados en protoboard tienden a botarse debido a la defectos de fabrica de éste,

para evitar este último problema recomendamos ensamblar los dispositivos lo mas

cerca a la superficie del protoboard, con esto tambien se evitaran problemas de

ruido. Se recomienda alimentar el circuito de Chua con 15V, ya que es la fuente

correcta para su buen funcionamiento, ya que cuando se comenzaron las pruebas

con el circuito se descubrio que una fuente mas pequeña (5V) no exitaba lo suficiente

a los capacitores (Figura 5.16) y una fuente mas grande arrojaba mucho ruido

(Figura 5.17).

Figura 5.16. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de 5V.


80 | Página

Figura 5.17. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de 20V.

Como se mencionó en el capítulo 1, el circuito de Chua es un circuito muy sensible a

las condiciones iniciales, debido a ello Rs no debe variar y debe colocarse en un

valor de 1750Ω, para nuestro caso, puede variar 5Ω, pero si se revasa ese margen

de error la gráfica en tiempo y la obtencion del atractor de Chua es imposible.

A continuación se muestran las grafícas obtenidas para cuatro variaciones: Rs=

1500Ω (Figura 5.18), 1650Ω (Figura 5.19), 1800Ω (Figura 5.20) y 2000Ω (Figura

5.21).


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Figura 5.18. Gráfíca obtenida con un valor de Rs = 1500Ω


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Figura 5.19. Gráfica obtenida con un valor de Rs = 1650Ω




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Debido a que el prototipo armado es un poco inestable, cabe mencionar que se

presentaron problemas previos en la manipulación del osciloscopio, se recomienda

leer primero el manual del osciloscopio a usarse, esto evitara fallas y pérdida de

tiempo.


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Conclusiones

El circuito de Chua desde su construcción resulta ser un dispositivo aunque simple,

muy eficiente, y al ser implementado con un sistema básico de comunicaciones

fungió como pieza fundamental para la sincronización de transmisor y receptor y así

poder enviar una señal de manera confiable. El circuito de Chua no realiza

encriptación ni es la solución para ello, solo es un respaldo a nivel hardware.

La técnica que se utilizó es la de enmascaramiento caótico de la señal, que no es

más que la suma de la señal de la portadora de la información con la señal caótica y

su posterior separación utilizando una copia exacta del circuito de Chua en el

receptor, ya que tanto el transmisor como el receptor deben contar con el mismo tipo

de circuito para que la comunicación sea llevada acabo exitosamente, no es un clon

exactamente, es una copia por lo que en la práctica nada es ideal, se trató de buscar

los valores mas cercanos para cada uno de los elementos que conforman el circuito

de Chua y el sistema básico de comunicaciones, si esto no es así no habrá

comunicación, para corroborar si el circuito tanto simulado como práctico funcionaron

correctamente se tuvo que utilizar el análisis de Fourier que es una herramienta

básica en el manejo de comunicaciones.

La importancia de lo antes dicho radica en que este dispositivo puede ser

manipulado a conveniencia del usuario, debido a que él únicamente podrá conocer la

información enviada y/o recibida, para emplearla de acuerdo a sus necesidades.

En el aspecto personal, el desarrollar esta Tesis, nos dejo un gran aporte, ya que

supimos dar valor a nuestro tiempo, debido a que, el elaborar un trabajo de esta

índole requiere de constancia y horas de estudio para poder comprender la magnitud

del tema que seleccionamos, además del dinero invertido en consultar libros o

comprarlos así como adquirir el material para realizar la implementación del circuito,

en algunas ocasiones comprar nuevamente los elementos por que llegaron a

dañarse o simplemente no eran los adecuados para el correcto funcionamiento del

proyecto.


85 | Página

Comprendimos también que el analizar y el construir son procesos muy diferentes

ya que al analizar solo abordamos aspectos teóricos y fundamentos, y el construir

requiere primero, un amplio conocimiento del tema, para después llevarlo a la

práctica y tener un sistema tangible.

Durante el desarrollo de la Tesis, se vivieron momentos de tensión y algunas

discrepancias, qué aunque por instantes hicieron tedioso el proceso, dejaron ver que

el tener diferentes formas de pensar es bueno, ya que se puede observar el

problema desde diferentes ángulos, y que valores como la tolerancia,

responsabilidad, compromiso y muchos otros son necesarios tanto para culminar un

proyecto como para trabajar en equipo.

Por ultimo y no menos importante, comprendimos que los conocimientos adquiridos

durante nuestra etapa escolar empleados dentro de este trabajo, sirvieron para

corroborar resultados o detectar errores, al llevarlos de una simple hoja de papel a la

implementación de un sistema, como fue el caso del método de Fourier.


86 | Página

Bibliografia

- Robert F. Coughlin. Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales,

Prentice – Hall, 1993.

- Stanley I. Grossman. Algebra lineal, segunda edicion, grupo editorial

Iberoamerica, 1987.

- Stefano Bregni. Synchronization of digital telecommunications networks, John

Wiley & Sons, 2002.

- Paul Horowitz, Winfield hill. The art of electronics, 2nd edition, Cambridge

University Press, 1980.

- Lathi B.P. Sistemas de comunicación, 2da edición, Interamericana S.A de C.V,

México D.F, 1986.


87 | Página

Referencias

[1] Mainzer, K. Thinking in complexity: The complex dynamics of matter, mind and

mankind. Springer - Verlag, 1994; pp. 47 – 58.

[2] Stewart, I. Portraits of chaos. 1992; pp. 42 – 47.

[3] Marion, R.A, The Edge of organization: A chaos and complexity theory of

social structure. 1995; pp. 22 – 24.

[4] Berry, M.V, Percival, I. Weiss, N. Dynamical chaos, 1987; pp.1 – 9.

[5] Monroy, Olivares Cesar. Teoría del Caos: Tecnologías emergentes de

computo. 1997; pp. 186.

[6] Guemez. Caos determinista. Departamento de física aplicada. 2004; pp. 51.

[7] Carmona López Miguel Ángel. Sincronización y comunicación basada en

variables sistemas de control en tiempo real. Departamento de ingeniería telemática.

UAH. pp. 2.

[8] Sierra Moreno César. Métodos de sincronización de sistemas caóticos. pp. 2.

[9] G. Conde S, G. M. Ramírez A. Estudio de dos circuitos caóticos. Revista

boliviana de física. 2007; Vol. No 13, pp. 59,60.

[10] Ronquillo Arvizu Rey David. Caos determinista y su aplicación en las

telecomunicaciones. Tesis. 2010; pp. 64 - 77.

[11] Mauricio Espinoza, Analisis y diseño de circuitos analogicos asistido por

computadora. 2008; Edicion. No 1, pp.18,39.

[12] Prof. Massimiliano de Magistris. Modulo di teoria dei circuiti, “Una

implementazione del circuito di CHUA con operazionali”. Dipartimento di ingegneria

elettrica. Università di Napoli, IItaly, 2008; Vol. No 1, pp.12.

[13] Rosa María Benito Zafrilla. El caos: La tercera revolución científica de la física

del siglo XX. 1999; Vol. No 1, pp. 51 – 61.


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Apéndice A

Amplificador operacional.

El amplificador operacional (OPAM) es un circuito integrado monolítico que en

primera aproximación proporciona una ganancia y una resistencia de entrada infinita.

Originalmente los amplificadores operacionales se empleaban para operaciones

matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, integración, derivación, etc.) en

calculadoras analógicas, de ahí su nombre.

El modelo ideal de un amplificador operacional es un circuito tiene dos entradas y

una salida, una ganancia infinita, una impedancia de entrada infinita, un ancho de

banda también infinito, una impedancia de salida nula, un tiempo de respuesta nulo y

ningún ruido.

El esquema de su modelo ideal se puede observar en la siguiente figura:

Figura. A.1. Modelo ideal de un amplificador operacional.

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Resta

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora_anal%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ganancia_(electr%C3%B3nica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Impedancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Ancho_de_banda

http://es.wikipedia.org/wiki/Ancho_de_banda

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruido


89 | Página

Como la impedancia de entrada es infinita también se dice que las corrientes de

entrada son cero. La salida es la diferencia de las dos entradas multiplicada por un

factor (ganancia). Por lo tanto:

El símbolo de un amplificador se puede observar en la siguiente figura:

Figura. A.2. Símbolo de un amplificador operacional.

Sus terminales son:

- : Entrada no inversora (terminal positiva).

- : Entrada inversora (terminal negativa).

- : Salida.

- : Alimentación positiva.

- : Alimentación negativa.

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica


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Tipos de configuraciones del amplificador operacional.

Configuración comparador.

Esta es una aplicación sin retroalimentación, su diagrama básico se puede observar

en la siguiente figura.

Figura. A.3. Símbolo de un amplificador operacional.

Su función consiste en comparar las dos entradas y tiene una salida en función de

qué entrada sea mayor. Se puede usar para adaptar niveles lógicos.


91 | Página

Configuración seguidor.

En esta configuración (Figura A.4) el circuito proporciona a la salida la misma

tensión que a la entrada.

Figura. A.4. Configuración seguidor.

Se usa como un buffer, para eliminar efectos de carga o para adaptar impedancias

(conectar un dispositivo con gran impedancia a otro con baja impedancia y

viceversa).

Como la tensión en las dos terminales de entrada es igual, tenemos que:

Esta configuración presenta la ventaja de que la impedancia de entrada es

elevadísima, la impedancia de salida prácticamente nula.

http://es.wikipedia.org/wiki/Buffer

http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_de_carga


92 | Página

No inversor.

Como podemos observa en la figura A.5, el voltaje de entrada, ingresa por la terminal

positiva, pero como conocemos que la ganancia del amplificador operacional es muy

grande, el voltaje en la terminal positiva es igual al voltaje en la terminal negativa.

Figura. A.5. Configuración no inversor.

Si podemos conocer el voltaje en la terminal negativa podemos calcular la relación

que existe entre el voltaje de salida con el voltaje de entrada haciendo uso de un

divisor de tensión, entonces:

Por lo tanto:


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Sumador inversor.

En esta configuración (Figura A.6) la salida es la inversa de la suma de las tensiones

de entrada, la terminal negativa esta conectada a tierra, debido a ello estará a 0V.

Desde cada una de las entradas circula una corriente hacia la entrada inversora, que

no tiene otro camino de salida que dirigirse a la salida del amplificador a través de la

resistencia de realimentación.

Figura. A.6. Configuración sumador inversor.

Aplicando la primera Ley de Kirchhoff y la Ley de Ohm, se obtiene el voltaje de salida

en función de las de entradas, debido a ello:

Entonces:

Es importante mencionar que la expresión se simplifica bastante si se usan

resistencias del mismo valor.


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Restador Inversor.

Cabe destacar que este tipo de configuración (Figura A.7) tiene una resistencia de

entrada baja, también la tensión de salida es proporcional a la diferencia de las

tensiones de entrada.

Figura. A.7. Configuración restador inversor.

Si conectamos resistencias independientes R1, R2. R3 y R4, tememos la siguiente

expresión.

De igual manera que en la configuración inversor esta expresión puede simplificarse

con resistencias iguales y la impedancia diferencial entre dos entradas es:


95 | Página

Integrador ideal.

La configuración integrador (Figura A.8) no se usa comúnmente en la práctica ya que

cualquier señal pequeña de DC en la entrada puede ser acumulada en el capacitor

hasta saturarlo por completo; sin mencionar la característica de offset del mismo

amplificador operacional, que también es acumulada. Este circuito se usa de forma

combinada en sistemas retroalimentados que son modelos basados en variables de

estado (valores que definen el estado actual del sistema) donde el integrador

conserva una variable de estado en el voltaje de su condensador.

Figura. A.8. Configuración integrador ideal.

Como su nombre lo dice este tipo de configuración Integra e invierte la señal ( y

son funciones dependientes del tiempo), por lo tanto:

Donde:

= Voltaje de salida en el origen del tiempo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_el%C3%A9ctrico


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Derivador ideal

En la configuración derivador ideal (Figura A.9) la salida del circuito es proporcional a

la derivada en el tiempo del voltaje de entrada. Su análisis es similar al del inversor,

únicamente que la intensidad de entrada es la correspondiente a la intensidad del

capacitor.

Figura. A.9. Configuración derivador ideal.

Su función específica es derivar e invertir la señal respecto al tiempo, como se

muestra en la siguiente expresión:

Este circuito se usa como filtro, pero es importante mencionar que no es común

utilizarlo en la práctica porque no es estable. Esto se debe a que al amplificar más

las señales de alta frecuencia se termina amplificando mucho el ruido.


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Apéndice B

Tabla de transformadas de Fourier de algunas señales útiles.


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99 | Página

Apéndice C

Elaboración de un Pcb mediante Circuit Wizard.

Circuit Wizard es un software de desarrollo y elaboración de Pcb, ofrece

herramientas básicas y de fácil manejo para el usuario, así como una gran flexibilidad

en la manipulación de modificaciones a un Pcb más elaborado y detallado.

Dentro de la implementación del circuito de Chua y del sistema básico de

comunicaciones se decidió llevar acabo la elaboración del Pcb de cada uno de estos

circuitos, para evitar complicaciones de conexión y problemas con ruido para ello se

decidió utilizar el software Circuit Wizard.

Primero se realizó el diagrama eléctrico (Figura C.1) a manera de simulación

haciendo uso del icono “Gallery” que contiene elementos y fuentes que forman parte

del circuito.

Figura. C.1. Diseño de un diagrama eléctrico en Circuit Wizard.


100 | Página

Una vez que el circuito se terminó, se prosiguió a convertirlo en Pcb utilizando el

icono “Convert to Pcb Layout” (Figura C.2), el software convierte el circuito a Pcb en

la forma que el usuario lo acomodó, y en conexiones que no pueden ser encimadas

utiliza cables para solucionar el problema.

Es importante mencionar que el Pcb que nos presentó el software no fue el correcto,

ya que en circuitos que ocupan amplificadores operacionales es importante tener un

solo plano de tierra para evitar ruido y tener un mejor funcionamiento del circuito.

Figura. C.2. Conversión de un diagrama eléctrico a Pcb.

Cuando obtuvimos el primer Pcb se acomodó de manera que se siguieran las

recomendaciones antes mencionadas, primero los componentes fueron colocados

para que cuando llegara el momento de soldar y perforar la tablilla no tuviéramos

complicaciones de espacio.


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Otra recomendación importante es que todo el Pcb fuera completamente de pistas de

conexión y no tener cables sueltos al final del diseño ya que dichos cables también

generan ruido o fallas al momento de conectar el circuito.

Para lo antes mencionado Circuit Wizard tiene una proyección llamada “Real World”,

como podemos observar en la siguiente figura.

Figura. C.3. Pcb en proyección Real World.

El problema general de todo Pcb es el tener un solo plano de tierra para evitar ruido y

que en las pistas de conexión no tengamos ángulos de 90°, para ello es

recomendable trabajar en la proyección “Artwork” (Figura C.4), debido que en esta

opción tendremos una proyección de como quedara nuestro Pcb en su forma final y a

su vez podemos cambiar los ángulos de las pistas y mover nuestros componentes de

manera que el circuito quede lo mejor detallado que se pueda y con el principal

objetivo de trabajar con un solo plano de tierra.


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En la siguiente figura podemos observa el esquema del Pcb terminado y detallado,

corrigiendo los errores de conexión y siguiendo las recomendaciones antes

mencionadas para un mejor funcionamiento del Pcb.

Figura. C.3. Pcb en proyección Artwork.


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Apéndice D

Costos.

A continuación se presenta una tabla con el costo correspondiente a los elementos

utilizados en la implementación del circuito de Chua, así como el valor total del

mismo.

Concepto Monto ($)

Material 511

Papelería 1 500

Internet 1 000

Transporte 4 800

Recursos humanos 5 000

Total 12 811

Tabla D.1. Gastos realizados en el proceso de la implementación del circuito de Chua.

Es importante mencionar que, en el mercado no se encuentra un circuito de Chua

disponible para su comercialización, ya que los investigadores que han trabajado en

el solo se han dedicado a su estudio y mejoramiento sin fines de lucro.

Debido a lo anterior se hizo un estimado del costo total del circuito con base en la

tabla antes mencionada, obteniendo la cifra de $1000 como precio al público.

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