Apéndice al Capítulo 5PROCEDIMIENTO NO LINEAL ESTATICOPREFACIO: Este apéndice muestra el Análisis Estático No Lineal como otro tipo de procedimiento de análisis sísmico, también conocido como Análisis por Push-Over, para su revisión y comentarios y para la adopción en una subsecuente edición de las Provisions.

Aunque el Análisis Estático No Lineal ha sido recientemente incluido en Normas de diseño para edificaciones nuevas, el procedimiento mismo no es nuevo y ha sido usado hace algunos años en aplicaciones de investigación y diseño. Por ejemplo el Análisis Estático No Lineal ha sido usado desde hace algunos años como metodología de diseño hidrodinámico de la estructuras de plataformas en el mar, y ha sido adoptado recientemente en algunas Normas para la evaluación sísmica y rehabilitación de estructuras, incluyendo la. Recommended Seismic Design Criteria for New Steel Moment-Frame Buildings (FEMA-350, 2000a), Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings (FEMA 356, 2000b) and Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings (ATC 40, 1996).

El Análisis Estático No Lineal forma parte de las bases del los procedimientos de estimación de pérdidas debidas a un sismo contenidos en el HAZUS (NIBS, 1999), modelo del FEMA de aplicación nacional. Aunque no aparece de manera explícita en estas Provisions, la metodología del Análisis Estático No Lineal también forma parte de las bases del procedimiento de fuerza lateral equivalente para estructuras aisladas en la base y de estructuras con amortiguadores.

Uno de los temas controversiales al respecto de la introducción de esta metodología en las Provisions es la referente a la determinación de la deformación límite, algunas veces denominada deformación objetivo.

Para resolver lo anterior han sido propuestas varias metodologías para estimar el valor de la deformación inducida a una estructura por un movimiento sísmico, y algunas de ellas han sido adoptadas en el procedimiento. La metodología presentada en este apéndice está basada en una correlación estadística del desplazamiento predicho por análisis dinámicos lineales y no lineales de estructuras de manera similar a lo efectuado en el FEMA 356.

Un segundo punto de controversia concierne al limitado consenso en cuanto a los criterios de aceptación usados para determinar lo adecuado de un diseño luego de ser estimadas las fuerzas y deformaciones producidas por el sismo de diseño. Se puede observar que esta limitación aplica igualmente a la metodología no lineal considerando el registro en el tiempo, la cual esta siendo adoptada en las normas.

El Análisis Estático No Lineal proporciona alternativamente un método simplificado para evaluar directamente la respuesta de la estructura ante un evento sísmico, la cual puede ser un alternativa mas atractiva que el mas complejo método de análisis de respuesta no lineal de registro en el tiempo,se espera que la presentación de esta metodología en este apéndice lleve al necesario consenso que permita una posterior integración de esta metodología en las Provisions.

Los usuarios de este apéndice pueden también consultar como guía los Commentary.

A5.1 GENERALIDADES

A5.1.1 Alcance. Este apéndice presenta los lineamientos para el uso del Análisis Estático No Lineal en el análisis y diseño de estructuras.A5.1.2 DefinicionesBase: Ver Sec. 4.1.3. Provisiones 2003 Apéndice al Capítulo 5Cortante basal : Ver Sec. 4.1.3.Edificio: Ver Sec. 4.1.3.Curva de Capacidad: Gráfica entre la fuerza lateral total, Vj, y el desplazamiento lateral del punto de control, δj, determinado por medio de un Análisis Estático No.Componente: Ver Sec. 1.1.4.Punto de Control: Punto usado para determinar el desplazamiento de una estructura en un Análisis Estático No Lineal, determinado de acuerdo Sec. 5.2.1.Carga Muerta: Ver Sec. 4.1.3.Sismo de Diseño : Ver Sec. 1.1.4.Diafragma: Ver Sec. 4.1.3.Desplazamiento Efectivo de Fluencia : Desplazamiento del Punto de Control en la intersección entre el primero y segundo tramo de la curva bilineal usada para la Curva de Capacidad de acuerdo a Sec. A5.2.3.Resistencia Efectiva de Diseño : Fuerza lateral total aplicada al momento de llegar al la intersección del primero y segundo tramo de la curva bilineal usada para la Curva de Capacidad de acuerdo con Sec. A5.2.3.Carga Viva: Ver Sec. 4.1.3.Profesional del Diseño registrado: Ver Sec. 2.1.3.Sistema resistente a Fuerza Sísmica: Ver Sec. 1.1.4.Piso: Ver Sec. 4.1.3.Estructura: Ver Sec. 1.1.4.Desplazamiento Objetivo: Estimado del máximo desplazamiento esperado del Punto de Control, calculado para el Sismo de Diseño.

A5.1.3 NotaciónCd - Ver Sec. 4.1.4.Cs - Ver Sec. 5.1.3C0 - Factor de modificación que relaciona el desplazamiento del Punto de Control con el desplazamiento de un sistema de u grado de libertad representativo, según se determina con la Eq. A5.2-3.C1 - Factor de modificación para calcular la influencia del comportamiento inelástico en la respuesta del sistema, según se determina en la Eq. A5.2-4.g - Aceleración de la gravedad.j - Incremento de la carga lateral.QE - Ver Sec. 4.1.4.QEi - Fuerzas de un elemento individual de acuerdo a Sec. A5.2.9.1R - Ver Sec. 4.1.4.Rd - Ductilidad del sistema según se determina en la Eq. A5.2.-5.Sa - Ver Sec. 3.1.4.T1 - Periodo fundamental de la estructura en la dirección bajo consideración.Te - Periodo fundamental efectivo de la estructura en el la dirección bajo consideración, como se evalúa en la Sec. A5.2.3.TS - Ver Sec. 3.1.4.Vj - Carga lateral total aplicada con incrementos de carga j.

V1 - Carga lateral total aplicada al momento del primer incremento.Vy - Resistencia efectiva a la fluencia determinada desde una curva bilineal acorde con la Curva de Capacidad de acuerdo con Sec. A5.2.3.W - Ver Sec. 1.1.5.wi - Ver Sec. 4.1.4.∆ - Deriva de piso determinada con Sec. A5.2.6.γi - Deformaciones del elemento i.δj - Desplazamiento del Punto de Control bajo el incremento de carga j.δT - Desplazamiento Objetivo del Punto de Control determinado de acuerdo con Sec. A5.2.5.δ1 - Desplazamiento del Punto de Control bajo el primer incremento de carga.δy - Desplazamiento efectivo del Punto de Control determinado desde una curva bilineal adecuada con la Curva de Capacidad según la Sec. A5.2.3.φ i - Amplitud del vector de forma al nivel i, determinada de acuerdo a Sec. A5.2.4.Ω0 - Ver Sec. 4.1.4.

A5.2 PROCEDIMIENTO NO LINEAL ESTATICOEsta sección se debe aplicar donde sea utilizado el procedimiento No Lineal Estático.

A5.2.1 Modelamiento. Se deberá construir un modelo matemático de la estructura que represente la distribución espacial de la masa y la rigidez de este sistema estructural, considerando el efecto de elementos sometidos a niveles inelástico de deformación que excedan los límites de proporcionalidad, igualmente se deben considerar en el análisis los efectos P-Delta.

Para estructuras regulares con sistemas sismoresistentes ortogonales independientes, se permiten usar modelos bidimensionales para representar cada sistema. Para estructuras que tengan irregularidades en planta de los tipos 4 y 5 como se define en la Tabla 4.3-2 o estructuras con sistemas ortogonales no independientes, se deberá usar un modelo en tres dimensiones que incorporen al menos tres grados de libertad para cada nivel de la estructura, consistiendo en dos desplazamientos ortogonales en planta y una rotación alrededor de un eje vertical. Cuando el diafragma no sea rígido comparado con los elementos verticales del sistema sismoresistente, el modelo deberá incluir la flexibilidad del diafragma.

A menos que los elementos de mantienen elásticos, se deberá considerar un modelo fuerza-deformación no lineal, para representar la rigidez de los componentes antes de presentarse la fluencia, la resistencia a la fluencia y las propiedades de rigidez de los elementos después de la fluencia y a varios niveles de deformación posteriores. Las propiedades de los modelos no elásticos de los elementos deberán ser consistentes con los principios de la mecánica estructural o con resultados de laboratorio.

Las propiedades representativas del comportamiento de los elementos después de la fluencia deben ser consistentes con las provisiones de Sec. 5.3.1. Las resistencias de los elementos no deben exceder los valores esperados luego de considerar la sobre-resistencia de los materiales y la deformación de endurecimiento. Las propiedades de los elementos después de la fluencia deben considerar la degradación de rigidez y resistencia debida al “ablandamiento”, pandeo, o fracturas como es indicado por los principios de la mecánica estructural o por ensayos de laboratorio. El modelo de las columnas deberá reflejar la influencia de la carga axial, cuando esta exceda el 15% de la resistencia a compresión. Para la estructura se deberá asumir una base empotrada o de manera alternativa se podrá asumir de manera realística una suposición que considere la rigidez y sistemas de apoyo de la cimentación, consistentes con las propiedades del tipo de suelo y los principios racionales de la mecánica estructural.

Se deberá seleccionar un Punto de Control para cada modelo. Para estructuras sin pent-house, el Punto de Control debe ser el del centro de masa del piso mas alto de la estructura, Para estructuras con pent-house el Punto de Control debe ser el del centro de masa del nivel de apoyo del pent-house.

A5.2.2 Análisis. La estructura deberá ser analizada para el caso de acciones sísmicas que ocurran de manera simultánea con las cargas y muertas y al menos el 25% de las cargas vivas, reducidas estas últimas como se permite para el área de un solo piso. Las fuerzas laterales se aplicarán en el centro de masas de cada piso y aplicarán de manera proporcional a la obtenida de un análisis modal para el modo fundamental en la dirección bajo consideración, las cargas laterales se incrementarán de manera monotónica.

Para el j-th incremento de carga lateral, la fuerza lateral total aplicada al modelo, deberá ser caracterizada por el término Vj . Los incrementos de carga lateral aplicados al modelo en cada paso serán lo suficientemente pequeños para permitir que sean detectados cambios significantes en el comportamiento individual de cada componente, tales como fluencia, pandeo o falla. El primer incremento en la carga lateral debe resultar en un comportamiento elástico.

Para cada paso del análisis, la carga lateral total aplicada Vj, el desplazamiento lateral del punto de control δj, y las fuerzas y desplazamiento de cada elemento deben ser registrados. El análisis continuará hasta que el desplazamiento del punto de control sea al menos 150% del desplazamiento objetivo determinado en la Sec. A5.2.5. La estructura deberá ser diseñada para que la carga lateral total aplicada no disminuya en ningún paso del proceso hasta llegar a un desplazamiento del punto de control igual al 125% del desplazamiento objetivo.

A5.2.3 Resistencia efectiva de fluencia y Periodo efectivo. De la Curva de Capacidad se extrae una Curva Bilineal de manera tal que su primer tramo la curva bilineal coincida con la curva de capacidad hasta el 60% de la resistencia efectiva a fluencia, el segundo tramo coincida con con la curva de capacidad del desplazamiento objetivo, y el área bajo la curva bilineal iguale al área de la curva de capacidad entre el origen y el desplazamiento objetivo. La resistencia efectiva a la fluencia Vy, corresponde a la carga total lateral aplicada leída en el punto de intersección de los dos tramos de la curva bilineal, El desplazamiento de fluencia efectivo δy, corresponde al desplazamiento del punto de control en la intersección de los dos tramos. El periodo fundamental efectivo Te,se determinará usando la Eq. A5.2-1 así :

Te = T1V1 / δ1Vy / δy (A5.2-1)

donde V1, δ1, y T1 se determinan para el primer incremento de carga lateral

A5.2.4 Vector de Forma. El vector de forma deberá ser igual a la forma del primer modo de la estructura en la dirección bajo consideración, determinado por un análisis modal de la estructura para el primer incremento de carga lateral, y normalizado hasta tener una unidad de amplitud en el nivel del punto de control. Esto permite sustituir la forma de la deformada de la estructura en el paso en el cual el desplazamiento del punto de control es igual al desplazamiento efectivo de fluencia en lugar de la forma del modo, para la determinación del vector de forma

A5.2.5 Desplazamiento Objetivo. El desplazamiento objetivo del punto de control, δT, debe ser determinado usando la Ecuación A5.2-2 como sigue:

δT = C0C1SaTe2π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

g (A5.2-2)

donde la aceleración espectral Sa, es determinada a partir de la Sec. 3.3.4 o de la Sec. 3.4.4 usando el periodo fundamental efectivo Te, g es la aceleración de la gravedad, y los coeficientes C0 y C1 son determinados como sigue :

El coeficiente C0 debe ser calculado con la ecuación A5.2-3 así:

C0 =Wiφi

1=1

n

∑

Wiφi2

1=1

n

∑ (A5.2-3)

donde: wi = porción del peso sísmico, W, al nivel i, φ i = amplitud del vector de forma al nivel i.

Cuando el periodo fundamental efectivo de la estructura en la dirección bajo consideración, Te, es mayor que Ts, tal como se define en la Sec. 3.3.4 o en la Sec. 3.4.4, el coeficiente C1 debe ser tomado como 1.0.

De otra manera el valor del coeficiente C1 debe ser calculado usando la Eq. A5.2-4 como sigue:

C1 = 1Rd

1+Rd −1( )TsTe

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (A5.2-4)

donde Rd es dado por Eq. A5.2-5 como sigue :

Rd = SaVy / w (A5.2-5)

donde Ts y Vy han sido definidos anteriormente, Sa es la aceleración espectral de diseño para el periodo fundamental efectivo, Te, y W son definidos en la Sec. 5.2.

A5.2.6 Deriva de Piso. Se toma como la deriva de piso de diseño, ∆, el valor obtenido para cada piso en el paso o incremento en el cual se alcanza el desplazamiento objetivo y no debe exceder la deriva límite especificada en la Sec. 4.5.1 multiplicada por 0.85R/Cd.

A5.2.7 Resistencia de los elementos. En adición a los requerimientos que se deben satisfacer en este Apéndice, la resistencia de los elementos también debe satisfacer los requerimientos de la Sec. 4.2.2 usando E = 0, excepto que la Sección 4.2.2.2 deba ser aplicada cuando las Provisions específicamente requieran la consideración de la sobre-resistencia estructural de acuerdo a la Sec.4.2.2.2, entonces el valor de las fuerzas de un elemento individual, QEi obtenido de el análisis del desplazamiento objetivo puede ser tomado en lugar de la cantidad Ω0QE.

A5.2.8 Distribución de las fuerzas sísmicas de diseño. Las fuerzas laterales usadas para el diseño de los elementos deben ser aplicadas en el centro de masas de cada nivel y se usará una distribución en altura proporcional a la obtenida de un análisis modal para el modo fundamental de respuesta en la dirección bajo consideración.

A5.2.9 Evaluación Detallada. Las Sec. A5.2.9.1 y Sec. A5.2.9.2 no se necesitan cumplir si la resistencia efectiva de fluencia excede el producto del factor de sobreresistencia del sistema dado en la Tabla 4,3-1 y excede el cortante basal sísmico determinado en la Sec. 5,2,1, modificado usando el periodo fundamental efectivo Te en lugar de T para la determinación de Cs.

A5.2.9.1 Deformaciones y Fuerzas requeridas en los Elementos. Para cada análisis estático no lineal el diseño de los parámetros de respuesta, incluyendo las fuerzas de los elementos individuales QEi, y las deformaciones de los elementos γi, deben tomarse como los valores obtenidos de el análisis en el paso en el cual el desplazamiento objetivo es alcanzado.

A5.2.9.2 Elementos. El adecuado funcionamiento de los elementos individuales y sus conexiones para soportar las fuerzas de los elementos QEi, y sus deformaciones γi, deberán ser avaluados a partir de ensayos de laboratorio de componentes similares, El efecto de las cargas de gravedad y otras cargas en la capacidad de deformación de los elementos deberá ser considerada en estas evaluaciones. Las deformaciones de un elemento soporte de cargas verticales no debe exceder (1) dos tercios de la deformación que resulte de la pérdida de capacidad para soportar cargas verticales y (2) dos tercios de la deformación a la cual la resistencia del elemento se deteriora a menos del 70% de la resistencia del elemento según lo modelado.

Alternativamente se puede aceptar que la deformación del elemento es aceptable si su deformación no excede el valor determinado usando el criterio de aceptación para procedimientos no lineales dado por el Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings (FEMA 356) para el nivel de desempeño Life Safety. Las fuerzas actuantes en los elementos se deben juzgar como aceptables si no exceden la capacidad esperada.

A5.2.10 Revisión del Diseño. La revisión del diseño del sistema resistente a fuerzas sísmicas y el soporte del análisis estructural deberá ser efectuado por un grupo independiente, compuesto por al menos dos personas las cuales sean profesionales del diseño estructural debidamente registrados y otros con experiencia en métodos de análisis sísmicos y en la teoría y aplicación de análisis sísmico no lineal y comportamiento estructural bajo cargas sísmicas. La revisión del diseño deberá incluir (1) revisión general de los criterios sísmicos empleados en el análisis incluyendo el desarrollo del espectro especifico del sitio y (2) revisión de de la determinación del desplazamiento objetivo y la resistencia efectiva a la fluencia de la estructura.

Para las estructuras con resistencia efectiva a la fluencia menor que el producto de el factor de sobreresistencia del sistema dado en la Tabla 4.3-1 y cortante basal sísmico determinado en la Sec. 5.2.1 modificado usando el periodo fundamental efectivo Te en lugar de T para la determinación de Cs, la revisión de diseño debe incluir como mínimo :

1. Revisar de los criterios de aceptación usados para demostrar el adecuado funcionamiento de los elementos estructurales y del sistema bajo el efecto de las demandas de fuerzas y deformaciones calculadas junto con datos de laboratorio y otros datos usados para verificar dichos criterios. La revisión de acuerdo a los criterios de aceptación para procedimientos no lineales dados en el Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings (FEMA 356) quedan a discreción del grupo de revisión.

2. Revisión de el diseño final del sistema estructural y la memoria de cálculo. El grupo de diseño deberá entregar un reporte que identifique, con el alcance de revisión, cualquier no conformidad con las Provisions.

REFERENCIASATC 40 (SSC, 1996) Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, SSC Report No. 96-01, Seismic Safety Commission, State of California, Sacramento, California. Developed by the Applied Technology Council, Redwood City, California.FEMA 350 (FEMA, 2000a), Recommended Seismic Design Criteria for New Steel Moment-FrameBuildings, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.FEMA 356 (FEMA, 2000b), Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.HAZUS (NIBS, 1999), HAZUS99 Technical Manual, National Institute of Building Science, Washington, D.C. Developed by the Federal Emergency Management Agency through agreements with the National Institute of Building Sciences.

Apéndice al Capítulo 5PROCEDIMIENTO NO LINEAL ESTATICOA5.2 PROCEDIMIENTO NO LINEAL ESTATICOEl procedimiento no lineal estático se entiende que provee un acercamiento simplificado para determinar de una manera directa el comportamiento y respuesta no lineal de una estructura para diferentes niveles de desplazamiento lateral desde una respuesta elástica inicial hasta el desarrollo de un mecanismo de falla y el inicio del colapso. La respuesta es calibrada por la medida de la resistencia de la estructura para varios incrementos de desplazamiento lateral.

Usualmente el cortante resistido por el sistema al momento de la fluencia del primer elemento de la estructura es definido como la “resistencia elástica”, aunque esta pueda no corresponder a la de toda la estructura. Cundo se emplean métodos lineales tradicionales de diseño, usando el factor R, esta resistencia elástica no será menor que el cortante basal de diseño, si la estructura se somete a mayores cargas laterales que las correspondientes con la resistencia elástica un número de elementos pueden fluir y eventualmente formar mecanismos. Para la mayoría de las estructuras es posible la formación de múltiples configuraciones de mecanismos, siendo el mecanismo causado por el esquema de fuerzas de menor valor, es el que seguramente aparecerá antes que los otros posibles mecanismos, este mecanismo se considera como Mecanismo Dominante. Se pueden utilizar métodos standard de análisis plástico o análisis límite, para determinar la resistencia correspondiente a cada mecanismo, sin embargo, dado un “estado límite” no se puede determinar la deformación al inicio de este mecanismo. Si después de la fluencia el elemento es capaz incrementar la deformación hasta el endurecimiento del refuerzo, el mecanismo presentará un incremento en la fuerza siendo aun estable el mecanismo. Por otra parte puede considerarse como una versión flexible de la estructura aporticada original, Figura CA5.2-1, la cual muestra la resistencia lateral de la estructura contra la deformación, curva de pushover, para una hipotética estructura, ilustra estos conceptos.

Figura CA5.2-1 Relación Resistencia Deformación para una Estructura Aporticada

Si la estructura desarrolla un mecanismo, esta presenta una cantidad sustancial de deformación que ocasione que elementos de la estructura puedan fallar por fractura, pandeo, etc, cesando de contribuir a la resistencia del sistema estructural, en este caso la resistencia de la estructura disminuirá y un nuevo incremento en la deformación. En el caso de presentarse la falla de elementos o grupos de elementos esenciales, la estructura total puede perder capacidad de soportar cargas verticales. Igualmente puede ocurrir una perdida de capacidad de soportar carga si la deformación empieza a ser mayor de manera que los efectos P-delta exceden la rigidez lateral residual de la estructura. Dadas las condiciones que definen el colapso y su la deformación asociada es definida como la “deformación última”, esta deformación puede ser determinada por un procedimiento no lineal estático y también por análisis plástico o límite.

Como se muestra en la Figura CA5.2-1, algunas estructuras presentan un rango de comportamiento entre el desarrollo de la primera fluencia y el desarrollo de un mecanismo, cuando la estructura se deforma mientras van fluyendo secuencialmente, o fluencia progresiva, la relación entre las fuerzas aplicadas y las deformaciones no pueden ser determinadas por un simple análisis límite, se hacen necesarios otros métodos de análisis.El propósito del procedimiento estático no lineal es el de proveer un método simplificado para determinar la respuesta estructural para niveles de deformación en los que se puede analizar convenientemente usando metodologías de estado límite

A5.2.1 Modamiento. En este procedimiento la estructura se modelará usando elementos que tienen unas propiedades de rigidez dependientes de la cantidad de deformación impuesta al elemento. Todos los elementos que puedan estar sujetos a deformaciones o fuerzas mayores que las correspondientes a la fluencia, deben ser modeladas con propiedades no lineales. Como mínimo las propiedades de rigidez no lineal, usando un modelo bilineal, deben incluir la rigidez elástica inicial, la resistencia a la fluencia, deformación a la fluencia, y las características post-fluencia incluyendo el punto de pérdida de resistencia y su deformación asociada o el punto de completa fractura o pérdida de estabilidad.

A5.2.2 Cargas Laterales. El análisis se desarrolla por medio de la aplicación de un patrón incremental de cargas laterales distribuidas a través de la estructura. Por lo anterior se efectúa el registro del desarrollo del análisis y de la distribución interna de cargas y deformaciones, así como de la amplitud de la carga en la medida que esta es progresivamente incrementada, por otra parte se registra la relación resistencia-deformación y los eventos característicos que ocurren en la medida que el análisis progresa.

La relación resistencia-deformación típica toma una forma similar a la mostrada en la Figura CA5.2-1. se debe notar que el análisis estático no lineal puede ser usado para determinar el orden de fluencia de los elementos en el “rango de fluencia progresiva” , ver la Figura CA5.2-1, y las resistencias y deformaciones asociadas , el análisis también puede identificar las deformaciones asociadas con las fracturas o fallas de los componentes o de la estructura en general.Sin embargo esto es exacto solo si el parámetro de cargas aplicado induce un parámetro de deformaciones en la estructura que sea similar al que pueda ser inducido por el movimiento sísmico. Esto puede ser controlado hasta cierto punto, a través de la aplicación de un parámetro de cargas apropiado, sin embargo este método es generalmente limitado en su aplicación a estructuras que tengan una reducida participación de modos superiores.

La secuencia predicha para la relación fuerza-deformación por el análisis es una función de la configuración del set de cargas monotónicamente incrementadas, en orden a capturar el comportamiento dinámico de la estructuras, la relación fuerza-deformación debe ser apropiadamente definida como la distribución instantánea de fuerzas inerciales cuando ocurre la máxima respuesta de la estructura. Por lo tanto la configuración de cargas puede redefinirse para cada punto del push-over, proporcionalmente a la configuración instantánea de las fuerzas inerciales, como una configuración es dependiente de las características modales instantáneas de la estructura y su combinación. Dado que la estructura está en el rango no lineal, las características modales dependen de las propiedades modificadas debido a las deformaciones inelásticas, afectandose por lo tanto la distribución de cargas en cada paso.

Debido a que el uso de una relación carga-deformación la cual es dependiente de la configuración de la carga, la cual a su vez es variable en la medida que la estructura cambia sus propiedades de rigidez a medida que aparecen las rótulas plásticas, puede requerir de una labor dispendiosa con una inherente falta de certeza para su aplicación en un proceso completo de registro en el tiempo de respuesta no lineal, se puede llegar a un esfuerzo que puede ser inapropiado para el acercamiento simplificado que desea proveer el procedimiento estático no lineal. Por lo tanto la configuración de carga y su intensidad son evaluadas de manera aproximada en el procedimiento estático no lineal.

Algunas aproximaciones están disponibles, incluyendo las siguientes :

1.- Una distribución aproximada proporcional al modelo de respuesta elástico como el usado en el procedimiento de fuerza horizontal equivalente.

Fi =wihik

wjhikj∑ V

(CA5.2-1)

donde, F, w, h y V son las fuerzas inerciales de piso, peso de piso, altura de piso y cortante basal respectivamente; k es un coeficiente de relativo al periodo fundamental efectivo, entre 1 y 2 como se define en las Provisions Sec. 5.2.3.

2.- Una mejor aproximación, es la de usar el modo dominante de vibración, como el primer modo en estructuras de altura moderada.

Fi =wiφ iwjφ i

j∑ V

(CA5.2-2)donde, φi es la forma del modo dominante, esta aproximación permite obtener la distribución tridimensional de las fuerzas inerciales cuando esta consideración sea necesaria.

3.- Una aproximación aún mas completa se logra al usar los modos de vibración mas significativos, en este caso considerando los modos que reunan una masa modal participativa mayor al 90%, la configuración de cargas es dada por :

Fi =wiφ idwiφ id∑

Γi / Γd( ) Sai / Sad( )[ ]∑ 2[ ]1/ 2Γi / Γd( )2 Sai / Sad( )[ ]∑

2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

1/ 2 V

(CA5.2-3)

Donde, Γi y Sai son el factor de participación modal y la aceleración espectral, respectivamente y el

sufijo d indica el modo dominante.

Γi = wiφ i∑ donde la forma del modo, φ, está normalizada por la

masa, esto es

wiφ i2 / g∑ = 1.

4. Una aproximación que toma en cuenta la contribución de los modos altos y los cambios en la carga debido a la fluencia de la estructura. En este caso la configuración de la carga descrita por la Eq. CA5.2-3) es calculada y revaluada cuando las características modales de la estructura cambian cuando esta fluye. Este procedimiento se denomina “Analisis de Push Over Adaptativo”

Las Provisions adoptan el mas simple de estos acercamiento, el del punto 1, aunque no excluye el uso de los acercamientos mas complejos, Existen opciones de software comercial de análisis no lineal estático y algunas plataformas de análisis de dominio público.

A5.2.3 Desplazamiento Objetivo. El análisis no lineal se debe continuar incrementando el modelo de carga lateral hasta que la deflexión en el punto de control exceda el 150% del desplazamiento objetivo, La deflexión inelástica esperada para cada nivel debe ser determinada por la combinación de los valores de los modos elásticos como se obtiene de las Sec. 5.3.5 y 5.3.6 multiplicadas por el factor

C =1− TS / T1( )Rd

+ TS / T1( ) (CA5.2-4)

donde Ts es el periodo característico del espectro de respuesta, definido como el periodo asociado con la transición desde el segmento de aceleraciones constantes al segmento de velocidad constante del espectro y Rd es la relación entre el cortante basal de diseño y la resistencia a la fluencia total para el mecanismo dominante, la cual se obtiene con Rd = R/Ωo, siendo R y Ωo dados en la Tabla 4.3-1. La combinación será realizada tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados para cada valor modal o por la técnica completa de combinación cuadrática

La recomendación que vincula la deformación inelástica esperada con la deformación elástica está basada en el acercamiento original sugerido por Newmark y por posteriores estudios de algunos otros investigadores, como se describe a continuación.

En un estudio de 1991, Nassar and Krawinkler publicaron unas expresiones simplificadas derivadas de un estudio sobre los factores de reducción de resistencia calculados a partir de quince movimientos sísmicos, registrados en el oeste de US. Estos registros fueron obtenidos en sitios con roca y aluviones aunque la influencia de las condiciones de sitio no fue explícitamente considerada. Se examino la sensibilidad del factor de reducción de resistencia con respecto a la distancia al epicentro, al nivel de fluencia, a la relación de deformación de endurecimiento y a la degradación de la rigidez. El estudio concluye que la distancia al epicentro y la degradación de la rigidez no muestran influencia en los factores de reducción de resistencia y proponen la siguiente relación para la relación entre el desplazamiento inelástico y el desplazamiento predicho por el análisis elástico :

Rd = 1+1c r2 − 1( )⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ lr ≥ 1 (CA5.2-5)

donde,

c =Ta

1+ Ta +bT (CA5.2-6)

En lo anterior, T, es el periodo de vibración de la estructura y r es la relación de resistencia. Rd es definida a continuación.

En 1994, Chang y Mander desarrollaron un estudio basado en cinco registros sísmicos, obteniendo el siguiente factor de magnificación dinámica inelástica que relaciona el desplazamiento máximo inelástico con el desplazamiento elástico espectral.

Rd = 1− 1r⎛ ⎝

⎞ ⎠ TpvT

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ n

+1r ≥ 1 (CA5.2-7)

donde TPV es el periodo al cual ocurre la máxima respuesta de velocidad espectral, y

n = 1.2 + 0.025r for TPV # 1.2 seg. (CA5.2-8) n = 1.2 for TPV > 1.2 seg. (CA5.2-9)

En 1992, Vidic, Fajfar, and Fischinger recomendaron simplificar las expresiones a partir de un estudio de factores de reducción de resistencia calculado a partir de 20 registros sísmicos grabados en el oeste de US y en el sismo de 1979 en Montenegro Yugoeslavia. Se consideraron sistemas con degradamiento de rigidez bilineal, modelo Q, comportamiento histerético y amortiguamiento viscoso proporcional con la masa y la rigidez instantánea, resultando la siguiente expresión :

Rd = 1− 1r⎛ ⎝

⎞ ⎠ ToT +

1r ≥ 1 (CA5.2-10)

donde T es el periodo dominante de la estructura, T0 = 0.65 µ0.3T1, y

T1 = 2π φevφea

VA (CA5.2-11)

donde V y A son la velocidad pico y aceleración pico del terreno respectivamente. Para los veinte movimientos considerados en el estudio, los factores de amplificación φea y φev son 2.5 y 2.0,respectivamente.

Miranda y Bertero (1994) sugieren simplificar la expresión a partir de un estudio de los factores de reducción de resistencia a partir de 124 registros sísmicos en un amplio rango de condiciones de suelo. El estudio considera un 5% de amortiguamiento para sistemas bilineales al estar sujetos a ductilidades a desplazamiento entre 2 y 6. Basados en las condiciones de sitio donde se localizaba la estación de registro, los movimientos fueron clasificados en tres grupos : roca y suelos blandos. En adición a la influencia de las condiciones del suelo, el estudio considera la influencia de la magnitud y distancia al epicentro del sismo en los factores de reducción de resistencia, el estudio concluye que

las condiciones del suelo influencian significativamente los factores de reducción, particularmente para sitios con suelos blandos, y la magnitud y distancia del epicentro no tienen un efecto importante en los factores de reducción de resistencia. El estudio produce la siguiente expresión para el factor de reducción de resistencia :

Rd = 1− 1r⎛ ⎝

⎞ ⎠ Φ +

1r (CA5.2-12)

con,

Φ = 1+1

10T − µT −12T exp −

32 lnT − 35⎛ ⎝

⎞ ⎠

2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (CA5.2-13)

Φ = 1+1

12T − µT −25T exp −2 lnT − 15

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (CA5.2-14)

(CA5.2-15)donde T es el periodo de vibración de la estructura y Tg es el periodo característico del movimiento de tierra.

La formulación recomendada contenida en las Provisions es una combinación de las recomendaciones de Krawinkler y otros y las de Vidic y otros con algunas modificaciones. La Provisions requiere que el análisis se continúe hasta que se llegue a una deflexión del punto de control que exceda en un 150% la del desplazamiento objetivo, esto con la intención de calcular la inexactitudes que puedan llevar importantes variaciones en el desplazamiento en el rango inelástico, debidas tanto a las simplificaciones en la formulación como a las pequeñas variaciones en la resistencia, debidas a el modelamiento o a variaciones en la construcción,.

A5.2.5 Revisión del Diseño. Ver Comentario Sec. 5.5.4.