APENDI

Física III

APENDICE A

1. TRIGONOMETRIA Basandose en la Figura. mostrada, pode

mos definir las siguientes relaciones:

y

senr

, x

cosr

, y

tgx

x

ctgy

, r

secx

, r

cscy

a) Identidades trigonométricas

sentg

cos,

2 2sen cos 1

2 2sec 1 tg , 2 2csc 1 ctg

Suma y diferencia de dos ángulos

sen( ) sen cos cos sen

cos( ) cos cos cos cos

tg tgtg( )

1 tg tg

ctg ctg 1ctg( )

ctg ctg

Relaciones entre funciones de 2 y .

sen 2 2sen cos

2 2cos2 cos sen

2

2tgtg2

1 tg,

2ctg 1ctg 2

2ctg

Relaciones entre funciones de /2 y .

2 1 1sen (1 cos )

2 2

2 1 1cos (1 cos )

2 2

Relaciones entre funciones de 3 y .

3sen3 3sen 4sen

3cos3 4cos 3cos

Suma y diferencia de funciones

1 1sen sen 2sen ( )cos ( )

2 2

1 1cos cos 2cos ( )cos ( )

2 2

1 1cos cos 2sen ( )sen ( )

2 2

Producto de dos funciones

1sen sen [cos( ) cos( )]

2

1cos cos [cos( ) cos( )]

2

Y

X

r

x

y

0

Física III 1

sen cos [sen( ) sen( )]2

Identidades fundamentales

i ie esen

2i,

i ie ecos

2

ie cos isen

Relaciones de funciones recíprocas

1 1 2 1

2

asen a cos 1 a tg

1 a

21 1 2 1 1 a

cos a sen 1 a tga

1 1 1

2 2

a 1tg a sen cos

1 a 1 a

Funciones hiperbólicas

x xe esenh x

2,

x xe ecosh x

2

x x

x x

e etgh x

e e,

x x

x x

e ectgh x

e e

Recíproca de funciones hiperbólicas

1 2senh x n(x 1 x )

1 2cosh x n(x x 1)

1 1 1 xtgh x n( )

2 1 x

1 1 x 1ctgh x n( )

2 x 1

b) Teorema del seno Los lados de un triángulo son proporcio

nales a los senos de los ángulos opuestos,

esto es:

a b c

sen sen sen

c) Teorema del coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado

es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, menos el doble producto

de éstos por el coseno del ángulo com

prendido entre ellos, esto es:

2 2 2a b c 2bccos

2 2 2b a c 2accos

2 2 2c a b 2a bcos

d) Teorema de la tangente En cualquier triángulo, la diferencia de

dos lados cualesquiera es a su suma co

mo la tangente de la mitad de la diferen

cia de los ángulos opuestos es a la tangen

te de la mitad de su suma, esto es:

a b tg[( ) / 2]

a b tg[( ) / 2]

e) Relaciones en los triángulo rectán-gulos

En el triángulo rectángulo ABC, se cum

plen las siguientes relaciones:

c

a b

C

A B

B

A

C

c b

a

h

n m

Física III

2b a m

2c a n

2h mn h b c / a

2 2 2a b c

2

2

b m

nc

Relaciones entre funciones 4 y .

2sen4 4sen cos 8sen cos

4 2cos4 8cos 8cos

3

2 4

4tg 4tgtg4

1 6tg tg

2. CALCULO

a) Desarrollo de series de potencias 1) Desarrollo binomial

n n n 1 n 2 2 n 3 3 nn(n 1) n(n 1)(n 2

(x y) x n x y x y x y ... y2! 3!

, n Z

2) Desarrollo de Taylor

2 3 n' (n)(x a) (x a) (x a)

f (x) f (a) (x a)f (a) f "(a) f "'(a) ... n f ( (a) ...2! 3! n!

2 3' h h

f (x h) f (x) h f (x) f "(x) f "'(x) ...2! 3!

2 3' x x

f (x h) f (h) x f (h) f "(h) f '"(h) ...2! 3!

Si, f (x) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a x b , en

tonces existe un valor de "x" con a x b , tal que se cumple:

2 n 1 n(n 1) (n)(b a) (b a) (b a)

f (b) f (a) (b a)f '(a) f "(a) ... f (a) f (a)2! (n 1)! n!

2 3 n 1 n(n 1)h h h h

f (a h) f (a) h f '(a) f "(a) f '"(a) ... f (a) f (a h)2! 3! (n 1)! n!

para, b a h , 0 1

2 n 1(n 1)

n

(x a) (x a)f (x) f (a) (x a)f '(a) f "(a) ... f (a) R

2! (n 1)!

de donde, (n)

nn

f (a (x a))R (x a)

n!, 0 1

R.SABRERA

Física III 3) Serie de Mclaurin

2 3 n 1n 1

n

x x xf (x) f (0) x f '(0) f "(0) f '"(0) ... x R

2! 3! (n 1)!

de donde, n

n

f (a (x a))R

n!, 0 1

4) Exponenciales

1 1 1 1 1

e 1 ...1! 2! 3! 4! 5!

2 3 4 5x x x x x x

e x ...1! 2! 3! 4! 5!

2 3 4x e e e

e

(x log a) (lxog a) (x log a)a 1 x log a ...

2! 3! 4!

2 3 4x a (x a) (x a) (x a)

e e [1 (x a) ... ]2! 3! 4!

5) Logarítmicas

2 3

e

x 1 1 x 1 1 x 1log x ( ) ( ) ...

x 2 x 3 x (

1x

2)

2 3 4

e

1 1 1log x (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) ...

2 3 4 ( 2 x )

3 5

e

x 1 1 x 1 1 x 1log x 2[ ( ) ( ) ... ]

x 1 3 x 1 5 x 1 ( x 0 )

2 3 4 5

e

1 1 1 1log (1 x) x x x x x ...

2 3 4 5 ( 1 x 0 )

e e 3 5

1 1 1log (n 1) log (n 1) 2[ ... ]

n 3n 5n

3 5

e3 e

x 1 x 1 xlog (a x) log a 2[ ( ) ( ) ... ]

2a x 3 2a x 5 2a x (a 0 , -a< x < )

3 5 2n 1

e

1 x x x xlog 2[x ... ...]

1 x 3 5 2n 1 ( 1 x 1)

2 3

e e 2 3

x a (x a) (x a)log x log a ...

a 2a 3a (0 x 2a )

Física III 6) Trigonométricas

3 5 7x x xsen x x ...

2! 5! 7! ( x R )

2 4 6x x xcos x 1 ...

2! 4! 6! ( x R )

3 5 7 9 2n 2n2n 1nx 2x 17x 62x 2 (2 1)B

tg x x ... x ...3 15 315 2835 (2n)!

(2 2x / 4 y Bn los números de Bernoulli)

2 5 7 2n2n 1n1 x x 2x x 2 B

ctg x ... x ...x 3 45 945 4725 (2n)!

(2 2x y Bn los números de Bernoulli)

24 6 8 2n

n

x 5 61 277secx 1 x x x ... E x ...

2 24 720 8064

(2 2x / 4 y En los números de Euler)

2n 13 5 7 2n 1

n

1 x 7 31 127 2(2 1)cscx x x x ... B x ...

x 6 360 15120 604800 (2n)!

(2 2x y Bn los números de Bernoulli)

31 5 7x 1.3 1.3.5

sen x x x x ....2.3 2.4.5 2.4.6.7

(2 1x 1, sen x

2 2)

31 5 7x 1.3 1.3.5

cos x (x x x ... )2 2.3 2.4.5 2.4.6.7

(2 1x 1, 0 cos x )

3 5 71 x x x

tg x x ...3 5 7

(2x 1)

1

2 5 7

1 1 1 1tg x ...

2 x 3x 5x 7x (x > 1)

1

2 2 7

1 1 1 1tg x ...

2 x 3x 5x 7x (x < -1)

3 5 71 x x x

ctg x x ...2 3 5 7

(2x 1)

2 4 6 8

e

x x x 17xlog cos x ...

2 12 45 2520 (

2 2x / 4 )

Física III

3 4 6

e

x 7x 62xlog tg x loglex ...

3 90 2835 (

2 2x / 4 )

2 4 5 6 7sen x x 3x 8x 3x 56x

e 1 x ...2! 4! 5! 6! 7!

3 4 6cos x x 4x 31x

e e(1 ... )2! 4! 6!

2 3 4 5tg x x 3x 9x 37x

e 1 x ...2! 3! 4! 5!

(2 2x / 4 )

7) Hiperbólicas e hiperbólicas recíprocas

3 5 7 2n 1x x x xsenh x x ...

3! 5! 7! (2n 1)! ( x )

2 4 6 2nx x x xcosh x 1 ...

2! 4! 6! (2n)! ( x )

n 1 2n 2n3 5 7 9 2n 1

n

1 2 17 62 ( 1) 2 (2 1)tgh x x x x x x ... B x ..

3 15 315 2835 (2n)!

3 5 7 n 1 2n2n 1

n

1 x x 2x x ( 1) 2ctgh x ... B x ...

x 3 45 945 4725 (2n)! (0 x )

n2 4 6 8 2n

n

1 5 61 1835 ( 1)sech x 1 x x x x ... E x

2! 4! 6 8! 2n! ( x /2 )

3 5 n 2n 12n 1

n

1 x 7x 31x 2( 1) (2 1)csch x ... B x ...

x 6 360 15120 (2n)! (0 x )

1 3 5 7 n 2n 11 1.3 1.3.5 1.3.5(2n 1)

senh x x x x x ... ( 1) x2.3 2.4.5 2.4.6.7 2.4.6...2n(2n 1)

1

2 4 6

1 1.3 1.3.5cosh x [ n(2x) ]

2.2x 2.4.4x 2.4.6.6x (x > 1)

3 5 7 2n 11 x x x x

tgh x x ... ...3 5 7 2n 1

( x 1)

Física III b) Diferenciales y derivadas

1) Diferenciales

dax a dx d(u v) du dv duv udv vdu

2

u vdu udvd

v v

n n 1dx n x dx y y 1 y

edx yx dx x log xdy

x xde e dx

a x a xde ae dx x x

eda a log adx

1

edlog x x dx 1

a adlog x x log edx x x

edx x (1 log x)dx

2) Derivadas

dsen x cos x dx dcosx sen xdx 2dtgx sec dx

2dctgx csc xdx dsecx tg xsecxdx dcscx ctg xcscxdx

d versx sen xdx 1 2dsen x 1 x dx

1 2dcos x 1 x dx

1 2d tg x 1 x dx

1 2dctg x 1 x dx 1 1 2dsec x x x 1dx

1 1 2dcsc x x x a dx

1 2d vers x 2x x dx dsenh x cosh xdx

dcosh x senh xdx 2dtgh x sech xdx

2dctgh x csch xdx

dsech x sech x tgh xdx dcsch x csch xctgh xdx 1 2dsenh x x 1dx

1 2dcosh x x 1dx

1 2d tgh x 1 x dx 1 2dctgh x x 1dx

1 2dsech x x 1 x dx

1 2dcsch x x x 1dx

c) Integrales

1) Integrales indefinidas

a dx a x a f (x)dx a f (x)dx

(y)

(y)dx dyy'

, siendo y' dy / dx (u v)dx u dx vdx

u dv u v vdu

dv duu dx u v v dx

dx dx

Física III

n 1n x

x dx , (n 1)n 1

f '(x)dx

logf (x)f (x)

, [df (x) f '(x)dx]

dx

log x o log( x)x

f[(x)dx

f (x) , [df (x) f[(x)dx]2 f (x)

x xe dx e

a x a x1e dx e

a

a xa x b

b dxa log b

log x dx x log x x

x xa loga dx a

1 1

2 2

dx 1 x 1 xtg ( ) o ctg ( )

a a a ax a

1

2 2

dx 1 x 1 a xtg ( ) o log

a a 2a a xa x

1

2 2

dx 1 xctg ( )

a ax a

1 1

2 2

dx x xsen ( ) o cos ( )

a aa x

2 2

2 2

dxlog(x x a )

x a

1

2 2

dx 1 acos ( )

a xx x a

2

2 2

dx 1 a a xlog( )

a xx a x

1 1/ 2dx 2 a bx

tg ( )ax ' a bx a

n 1n (a b x)

(a b x) dx(n 1)b

, ( n 1)

dx 1

log(a bx)a bx b

2

dx 1

b(a bx)(a bx)

3 2

dx 1

(a bx) 2b(a bx)

2

xdx 1[a bx a log(a bx)]

a bx b

2 2

xdx 1 a[log(a bx) ]

a bx(a bx) b

3 2 2

xdx 1 1 a[ ]

a bx(a bx) b 2(a bx)

dx 1 a bx

logx(a bx) a x

2 2

dx 1 1 a bxlog

a (a bx) ax(a bx) a

2 2

dx 1 b a bxlog

a x xx (a bx) a

1

2 2

dx 1 xtg

c cc x

R.SABRERA

Física III

2 2

dx 1 c xlog

2c c xc x

2 2

dx 1 x clog

2c x cx c

dx 1 c d x

log( )(a bx)(c dx) a d bc a bx

32

a bx dx (a bx)3b

3

2

2(2a 3bx) (a bx)x a bx dx

15b

a bx dxdx 2 a bx a

x x a bx

dx 2 a bx

ba bx

2

xdx 2(2a bx)a bx

a bx 3b

dx 1 a bx a

log( )x a bx a a bx a

2 2

2 2

dxlog(x x a )

x a

2 2

2 2

x dxx a

x a

2 2 3 2 2 31x (x a ) dx (x a )

3

2 2 3 2 2 2

dx x

(x a ) a x a

2 2 3 2 2

xdx 1

(x a ) x a

2 2 3 2 2 51

x (x a ) dx (x a )5

2 2

22 2 2

dx x a

a xx x a

2 2

2 2

dx 1 a a xlog( )

a xa x

2 2

2 2

x dxa x

a x

2 2 2 2 31

x a x dx (a x )3

2 2 3 2 2 2

dx x

(a x ) a a x

2 2 3 2 2

xdx 1

(a x ) a x

2 2 3 2 2 51x (a x ) dx (a x )

5

2 22 2 1

2 2

x dx x a xa x sen

2 2 aa x

2 2

22 2 2

dx a x

a xx a x

2 2 2 21

2

a x a x xdx sen

x ax

21

2 2 3 2 2

x dx x xsen

a(a x ) a x

Física III

1

2

dx a xcos ( )

a2ax x

1/ 2 1 21 x( ) dx sen x 1 x1 x

1

2 2

dx 1 cx bsen

ca 2bx cx b ac sen x dx cos x

cos x dx sen x tg x dx logcos x

ctg x dx logsen x x

sec x dx log tg( )4 2

1

csc x dx log tg x2

2 1 1

sen x dx cos xsen x x2 2

3 21

sen x dx cos x (sen x 2)3

2 1 1

cos x dx sen x cos x x2 2

x xsen dx a cos

a a

x xcos dx a sen

a a

1sen(a b x)dx cos(a b x)

b

1cos(a b x)dx sen(a b x)

b

dx x

log tgsen x 2

dx x

log tg( )cosx 4 2

2

dxtg x

cos x

dx xtg( )

1 sen x 4 2

dx x

tg1 cosx 2

dx x

ctg1 cosx 2

22 x xsen 2x cos2x

xsen xdx4 4 8

3 22 2 x x 1 xcos2x

x sen xdx ( )6 4 8 4

4 3x sen 2x sen 4x

sen x dx8 4 32

22 x xsen2x cos2x

xcos xdx4 4 8

4 3x sen 2x sen 4x

cos x dx8 4 32

3 21

tg x dx tg x logcos x2

4 31

tg x dx tg x tg x x3

3 21

ctg x dx ctg c logsen x2

4 31

ctg x dx ctg x ctg x x3

21

sen x cos x dx sen x2

Física III

2 2 1 1

sen x cos x dx ( sen 4x x)8 4

m 1m cos x

sen xcos xdxm 1

m 1m sen x

sen xcosxdxm 1

2

sen xdxsecx

cos x

2sen x dx xsen x log tg( )

cos x 4 2

2

cosxdxcscx

sen x

dx

log tgxsen xcosx

2

dx 1 xlog tg

cos x 2sen xcos x

2

dx 1 xlog tg( )

sen x 4 2sen xcosx

2 2

dx2ctg2x

sen xcos x

2

dxctgx

sen x

2tg xdx tg x x

2ctg x dx ctg x x

2sec x dx tg x

2csc x dx ctg x xsen x sen x xcos x

2 2x sen x dx 2xsen x (x 2)cos x xcosxdx cosx xsen x

2 2x cosxdx 2xcosx (x 2)sen x

1 1 2sen xdx xsen x 1 x

1 1 2cos xdx xcos x 1 x

1 1 21tg x dx x tg x log(1 x )

2

1 1 21

ctg x dx x tg x log(1 x )2

1 1 2sec xdx xsec x log(x x 1)

1 1 2csc xdx xcsc x log(x x 1)

1 1 2 2x xsen xsen a x

a a

1 1 2 2x x

cos dx x cos a xa a

1 1 2 2x x a

tg dx x tg log(a x )a a 2

1 2 2x x a

ctg dx x ctg log(a x )a a 2

log xdx x log x x

2 2x xxlog xdx log x

2 4

3 32 x x

x log xdx log x3 9

Física III

p 1 p 1p

2

x xx log(ax)dx log(ax)

p 1 (p 1)

2 2(log x) dx x (lox) 2x log x 2x

nn 1(log x) 1

dx (log x)x n 1

dx

log(log x)x log x

n n 1

dx 1

x(log x) (n 1)(log x)

m m 1

2

log x 1x log xdx x [ ]

m 1 (m 1)

1 1

sen log x dx xsen log x x coslog x2 2

1 1

coslog x dx xsen log x x coslog x2 2

x xe dx e

x xe dx e

a x a x1

e dx ea

a xa x

2

exe dx (a x 1)

a

x

x x

dx elog

1 e 1 e

1 mx

mx mx

dx 1 atg (e )

bm abae be

a xa x

2 2

e (a sen px pcospx)e sen px dx

a p

a xa x

2 2

e (a cospx psen px)e cospxdx

a p

senh x dx cosh x cosh x dx senh x

tgh xdx logcosh x ctgh x dx logsenh x

1 xsech xdx 2tg (e )

xcsch x dx log tgh( )

2

xsenh xdx xcosh x senh x xcosh xdx xsenh x cosh x

2) Integrales definidas

n 1 x

0

x e dx (n)

1

m0

dx 1

m 1x , (m > 1)

p

0

dxcscp

(1 x)x, (p < 1)

p0

dxctgp

(1 x)x, (p < 1)

p 1

0

x dx

1 x sen p, (0 < p <1)

m 1

n0

x dx

nsen(m / n)1 x, (0 < m < n)

Física III

0

dx

(1 x) x

2 20

a dx

2a x, si a 0

/ 2n

0

(n 1/ 2)sen xdx ,

2 (n / 2 1) n > -1

/ 2n

0

(n 1/ 2)cos xdx ,

2 (n / 2 1) n > -1

0

/ 2, si m 0sen mx dx

0, si m 0x

/ 2, si m;0

0 2

0, m 1sen xcosmxdx

/ 4, m 1x

/ 2, m 1

0

cosxdx

x

0

tg xdx

x 2

0

sen kxsen mxdx 0, (k m, k, m Z)

0

coskxcosmxdx 0, (k m, k, m Z)

2 2

0 0

sen mxdx sen mxdx2

2

20

sen xdx

2x

m

2 m0

/ 2e , (m 0)cosmx dx

1 x / 2e , (m 0)

n 1n ax

n 1

(n 1) / a , (n 1)x e dx

n!/ a , (n Z )

2 2

0 0

1cos(x )dx sen(x )dx

2 2

0 0

sen xdx cosxdx

2x x

/ 2 1

20

dx cos a

1 acosx 1 a, (a < 1)

2

20

dx 2

1 a cosx 1 a, (a

2 < 1)

a x

0

1e dx

a

2 2a x

0

e dx2a

(a > 0)

2x

0

1xe dx

2

22 x

0

x e dx4

22n ax

n 1 n0

1.3.5...(2n 1)x e dx

a2 a

2 2 22a

( x a / x )

0

ee dx

2

Física III

nx

0

1e x dx

2n n

n x

0

edx

nx

a x

2 20

ae cosmxdx

a m, (a > 0)

a x

2 20

me sen mxdx

a m, (a > 0)

2 2

2 2b / 4a

a x

0

ee cosbxdx

2a,(a > 0)

1n n

0

(log x) dx ( 1) n!

11/ 2

0

(log1/ x) dx2

11/ 2

0

(log1/ x) dx

1n

0

(log1/ x) dx n!

1

0

3x log(1 x)dx

4

1

0

1x log(1 x)dx

4

1 2

0

log xdx

1 x 12

1 2

0

log xdx

1 x 6

1 2

20

log xdx

81 x

1 2

0

1 x dxlog( )

1 x x 4

1

20

log xdxlog2

21 x

1n n

n 10

(n 1)x log(1/ x) dx

(m 1), (m+1>0)

1 p q

0

(x x )dx p 1log( ), (p 1 0)

log x q 1

1

1/ 20

dx

[log(1/ x)]

x 2

x0

e 1log( )dx

4e 1

2

0

x logsen xdx log22

/ 2

0

sen x logsen x dx log 2 1

/ 2 / 2

0 0

logsen xdx logcosxdx log22

/ 2

0

log tg xdx 0

2 2

0

a a blog(a bcosx)dx log( ), (a b)

2

R.SABRERA

Física III d) Fórmulas para la suma de los números naturales 1) Suma de los "n" primeros números natu

rales.

n

n (n 1)S

2

2) Suma de los "n" primeros números pa

res naturales.

nS n (n 1)

3) Suma de los "n" primeros números im

pares naturales. 2

nS n

4) Suma de los cuadrados de los "n" prime

ros números naturales.

n

n (n 1)(2n 1)S

6

5) Suma de los cubos de los "n" primeros

números naturales.

2 2

n

n (n 1)S

4

e) Promedios 1) Media aritmética (Ma) La media aritmética de "n" cantidades

a1, a2,…,an, viene dado por:

1 2 na

a a ... aM

n

2) Media geométrica (Mg) La media geométrica de "n" cantidades


1/ ng 1 2 nM [a .a .....a ]

3) Media armónica (Mh) La media armónica de "n" cantidades


h1 2 n

nM

1/ a 1/ a ... 1/ a

f) Progresiones

1) Progresión aritmética Si "a" es el primer término de una pro

gresión aritmética, "k" el último, "d" la

diferencia común, "n" el número de tér

minos y "S" la suma de términos, se

cumple:

k a (n 1)d , n

S (a k)2

nS [2a (n 1)d]

2

2) Progresión geométrica Si "a" es el primer término de una pro

gresión geométrica, "k" el último, "r"

la razón común, "n" el número de térmi

nos y "S" la suma de los "n" términos,

en estas condiciones se cumple:

n 1k a r , k r a

Sr 1

,

n(r 1)S a

(r 1)

Si, "n" es infinito y r2<1, entonces, la

suma de los infinitos términos de la pro

gresión es:

aS

1 r

g) Ecuación cuadrática Las dos raíces de una ecuación cuadráti

ca del tipo: 2a x bx c 0 , vienen da

dos por:

2 1/ 2b [b 4a c]x

2a

Si: 2b 4ac 0 , las raíces son reales y

diferentes.

Si: 2b 4ac 0 , las raíces son iguales

y reales.

Si: 2b 4ac 0 , las raíces son comple

jas y diferentes.

Física III También, se cumplen las siguientes rela

ciones:

1 2

bx x

a y 1 2

cx x

a

h) Logaritmo

1) Definición El logaritmo de un número "N" , es el

exponente "x" al que hay elevar otro nú

mero denominado base "b" , para obte

ner dicho número, esto es:

xb N bx log N

Se lee "x" es el logaritmo del número

"N" en la base "b".

2) Operaciones

b b blog M N log M log N

b b b

Mlog log M log N

N

p

b blog M plog M

x

b

1log Nx log N

x

3. GEOMETRIA

a) Triángulos

1) Puntos notables de un triángulo Baricentro Es el punto de intersección de las tres

medianas, en el se encuentra el centro

de gravedad del triángulo.

2 2 2 1/ 2a

1m [2b 2c a ]

2

2 2 2 1/ 2b

1m [2a 2c b ]

2

2 2 2 1/ 2c

1m [2a 2b c ]

2

Ortocentro Es el punto de intersección de las tres al

turas

1/ 2a

2h [p(p a)(p b)(p c)]

a

1/ 2b

2h [p(p a)(p b)(p c)]

b

1/ 2c

2h [p(p a)(p b)(p c)]

c

Incentro Es el punto de intersección de las tres bi

sectrices, correspondientes a sus tres án

gulos

1/ 22B [bcp(p a)]

b c

C

B A c

b a ma mb

mc

C

B A c

b a ha

hb hc

c

b a B B

B

C

B A

Física III Circunferencia

Longitud circunferencia : R2C

Radio circunferencia : 2

CR

Longitud de arco : o

o

180

nR

Círculo

Area total círculo : 4

DRA

22

Longitud de arco : RS

Longitud de circunferencia : R2C

Longitud de cuerda : 2 22 R d

Distancia de cuerda : dRh

Angulo central en radianes :

Cubo

Area : 22 r24a6A

Volumen : 33 r8aV

Diagonal : d 3 a

Lado del cubo : a

Radio de la esfera inscrita : r

Esfera

Area total de una esfera : 22 DR4A

Area de zona : 1Z hR2A

Area de luna : 2

L R2A

Volumen de una esfera : 3R

3

4V

Volumen sector esférico : 12

S hR3

2V

Volumen segmento esférico : )hr3(h6

V 23

2331S

de una sola base

Volumen segmento esférico : )hr3r3(h6

V 22

22

2322S

de dos bases

0

R

R

0

R

R

h d

S

a

a a

d

h1

h2

h3

R

r2

r3

Física III Tetraedro

Area : 2 2A 3 a 24 3 r

Volumen : 3 3V 2 a / 2 8 3 r

Radio de la esfera inscrita : r

Tronco de cono

Radio de la base media : 2

Rrrm

Area lateral : g)Rr(AL

Area total : )Rr(g)Rr(A 22

Volumen : )RRrr(h3

1V 22

Generatriz del cono : g

Cilindro

Area lateral : hR2AL

Area total : 2RhR2A

Volumen : hRV 2

Tonel

Volumen : )R2r(h3

1V 22

Radio menor : r

Radio mayor : R

Altura : h

Toroide

Area : Rr4A

Volumen : Rr4V 2

Radio menor : r

Radio mayor : R

a

a

a

a

a a

R

r

rm h g

h

R

h

r

R

R

r

R.SABRERA

Física III Paralelepípedo

Volumen : V a b c

Superficie total : A 2 (a b b c c a)

Diagonal : 2 2 2d a b c

Radio mayor : R

Pirámide o cono

Volumen : 1

V S h3

Area lateral : 1

A p a2

Area de la base : S

Altura : h

Perímetro de la base : p

Paralelogramo

Area : senbahaA

Angulo entre los lados :

Altura : h

Polígono regular de n lados

Area del polígono :

o21 180

A n a ctg4 n

Area sector : 2

S

1 1A R S R

2 2

Area segmento : 2

SEG

1A R ( sen )

2

Perímetro del polígono : p 2 n R senn

Area polígono circunscrito : 2A n R tg

n

d c

b

a

h

a

R

p

h

a

b

a

R

0

Física III Trapecio

Area : (B b) h

A2

Area : hpmA

Area : h

A (B b b ')6

H : altura

Triángulo

Area : 3A 3 3r

3a r

3 2 3 r

4. GEOMETRIA ANALITICA PLANA a) Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas rectangulares (x1; y1), (x2; y2), viene

dado por:

2/1212

212 ])yy()xx[(d

La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas polares (r1; 1), (r2; 2 ), viene dad

por:

2/12121

22

21 )]cos(rr2rr[d

b) Formas que adoptan las ecuaciones de una recta

1) 0CyBxA (forma general )

2) )xx(myy 11 (forma punto pendiente )

3) bxmy (forma pendiente intersección )

4) 1b

y

a

x (forma intersecciones )

c) Pendiente de una recta La pendiente de la recta que pasa por los puntos

P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por:

12

12

xx

yym

b

B

pm h

3

a3

r

Y

X

P1

0

P2

Física III d) Coordenadas del punto medio Las coordenadas del punto medio del segmento

de recta P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por:

2

xxx 21

m y 2

yyy 21

m

e) Angulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas S1, S2 de pendientes

m1 y m2, viene dado por:

21

21

mm1

mmtg

e) Area de un triángulo El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares

de sus vértices son: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), viene

dado por:

)yxyxyxyxyxyx(2

1A 311323321221

Si las coordenadas polares de los vértices del triángulo

son: );r(A 11 , );r(B 22 y );r(C 33 , entonces el área de di

cho triángulo es:

)](senrr)(senrr)(senrr[2

1A 313123321221

CONICAS a) Circulo La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio

"R" , viene dado por:

222 R)ky()hx(

Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante

rior, queda así:

222 Ryx

Y

X P1

0

P2

Pm

Y

X

L1

0

L2

Y

X

(h; k)

B

A C

Area

Física III La ecuación polar de un círculo con el origen sobre

la circunferencia y su centro en el punto C es:

)cos(C2r

Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio

es "a" y el centro está en el punto b, a, en este caso

la ecuación es:

)cos(br2bra 222

b) Elipse La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se

miejes mayor "a" y menor "b" es:

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas

0, la ecuación se convierte en:

1b

y

a

x2

2

2

2

La ecuación polar cuando el polo está en el centro de

la elipse es:

2222

222

cosbsena

bar

c) Hipérbola La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de

ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje

transverso horizontal es:

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e

cuación se reduce a:

1b

y

a

x2

2

2

2

Y

X

0 R

Y

X

0

b

(h; k)

a

Y

X

0 b

a

(h; k)

X

Y

0

Física III siendo "a" el semieje transverso y "b" el semieje

conjugado (vertical).

La ecuación polar que tiene el centro en el polo es:

2222

222

cosbsena

bar

d) Hipérbola equilátera Es aquella hipérbola que tiene por centro el origen y

por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: Cyx

siendo "C" una constante.

e) Parábola La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y

foco en F(h+p; k) es:

)hx(p4)ky( 2

Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se

reduce a:

xp4y2

La ecuación polar cuando el foco está en el polo y

"p" es el semilado recto es:

cos1

pr

Si el vértice está en el polo y "p" tiene el mismo

significado anterior, la ecuación es:

2sen

cosp2r

f) Relaciones entre las coordenadas polares y rectangulares

cosrx senry

22 yxr , )

x

y(tg 1

, 22 yx

ysen ,

22 yx

xcos

X

Y

Y

X

0

V

F

Y

X

V

F

Y

X

r

x

y

0

Física III

g) Angulo sólido Angulo sólido es el espacio comprendido al interior de una circunferencia cónica (vérti

ce), como muestra la Fig., los ángulos sólidos se representan simbólicamente mediante

" ". El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4 .

En el S.I. (Sistema Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener

su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R" con centro en el vértice O,

(como se muestra en la Fig.); y se aplica la relación:

2

S

R

siendo "S" el área del casquete esférico interceptado

por el ángulo sólido.

Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S"

se debe considerar un diferencial de superficie de

área "dS", de modo que la ecuación anterior, queda

así:

2

dSd

R

En algunos casos la superficie " "dS no es per

pendicular a OP y ella forma un ángulo " " con la

normal a " "dS , como muestra la Fig., en éste caso el

ángulo sólido, viene dado por:

2

dScosd

R

5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

a) Transformación de coordenadas

Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistema cartesiano (S), y x1, x2, x3 las

coordenadas de dicho punto en un sistema de coordenadas ortogonales (0), si existe una

transformación biunívoca entre los sistemas (S) y (0), entonces, la terna (x, y, z) podemos

expresarlo en función de la terna (x1, x2, x3), así:

1 2 3x x(x , x , x ) , 1 2 3y y(x , x , x ) , 1 2 3z z(x , x , x )

o viceversa, la terna (x1, x2, x3) en función de la terna (x, y, z), así:

1 1x x (x, y, z) , 2 2x x (x, y, z), 3 3x x (x, y, z)

R

0

S

P

d

0

dS

R.SABRERA

Física III b) Coordenada curvilínea ortogonal En la Figura, las superficies x1=c1, x2=c2, x3=c3 siendo

c1, c2, c3 constantes se llaman superficies coordenadas;

la intersección de cada par de estas superficies definen

las líneas coordenadas L3, L2, L 3. Cuando estas líneas

de coordenadas se cortan en ángulo recto se dice que

el sistema de coordenadas (0) es ortogonal.

c) Vectores unitarios Los vectores unitarios que se utilizan como vectores base para definir el sistema de coor

denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas L1, L2, L 3, vie

nen dados por:

i ii

ii

r / x r / xe

hr / x con (i=1, 2, 3)

donde, ˆ ˆ ˆr x i y j z k o 1 2 3r r(x , x , x ) es el vector de posición del punto P en los

sistemas de coordenadas (S) y (0), respectivamente, y hi con (i=1, 2, 3) los coeficientes

métricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por:

2 2 2 1/ 2i

i i i

yx zh [( ) ( ) ( ) ]

x x x con (i=1, 2, 3)

el sentido del vector unitario ie , con (i=1,2 ,3) es el de crecimiento de xi.

Como ix es un vector normal en el punto P a la superficie i ix c , el vector unitario en

esta dirección y sentido, viene dado por:

* ii

i

xe

x con (i=1, 2, 3)

En conclusión, en cada punto de un sistema de coordenadas curvilíneas se pueden definir

dos sistemas de vectores unitarios ie tangentes a las líneas de coordenadas Li, con (i=1,2,

3) y *ie perpendiculares a las superficies de coordenadas xi=ci con (i=1, 2, 3). Ambos sis

temas de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistema de coordenadas

sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos i ,

j , k , con la diferencia que los vectores unitarios ( ie o *ie ) pueden cambiar de dirección y

sentido de un punto a otro.

d) Elementos de línea, superficie y volumen

Como, i i iˆr / x h e (i=1, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de

coordenadas ortogonal (0), viene dado por:

X

0

Z

Y

u1=c1

u3=c3

u2=c2 P

L1

L2

L3

Física III

1 2 31 2 3

r r rdr dx dx dx

x x x

1 1 1 2 2 2 3 3 3ˆ ˆ ˆdr h dx e h dx e h dx e

y el cuadrado del elemento de longitud es:

2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3ds dr dr h dx h dx h dx

En la Figura., como los vectores unitarios 1e , 2e , 3e son mutuamente perpendiculares

entre si; los elementos de superficie dA1 (formado por L2, L3), dA2 (formado por L1, L3), y

dA3 (formado por L1, L2), vienen dados:

1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3ˆ ˆ ˆ ˆdA (h dx e ) x (h dx e ) h h e x e dx dx h h dx dx



En la Figura, el elemento de volumen en el sistema de coordenadas ortogonal, viene dado

por el triple producto escalar, esto es:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆdV (h dx e ) (h dx e )x(h dx e ) h h h dx dx dx

e) El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana.

Sean: un campo escalar y A un campo vectorial, entonces las expresiones de los opera

dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistema de coordenadas curvi

línea ortogonal, vienen dados por:

3

i 1 2 3i 1i i 1 1 2 2 3 3

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆgrad e e e e

h x h x h x h x

2 3 1 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3

1divA A [ (h h A ) (h h A ) (h h A )]

h h h x x x

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆh e h e h e

1rot A x A

h h h x x x

h A h A h A

L1

L3

L2 P

h2dx2e2

h3dx3e3

h1dx1e1

Física III

2 3 3 12 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

h h h h h h1[ ( ) ( ) ( )]

h h h x h x x h x x h x

1) Coordenadas rectangulares En este sistema de coordenadas: x1=x, x2=y, x3=z, los coeficientes métricos son: h1=1,

h2=1, h3=1, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por:

ˆ ˆ ˆgrad i j kx y z

, yx z

AA AdivA A

x y z

y yz x z xA AA A A Aˆ ˆ ˆrot A x A ( ) i ( ) j ( ) k

y z z x x y

2 2 22

2 2 2x y z

2 2 2 2ds dx dy dz ; dV dxdydz

Las superficies coordenadas son: tres planos mutuamente perpendiculares.

2) Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas: 1x , 2x , 3x z , están relacionados con las coorde

nadas cartesianas por: x cos , y sen , z=z, los coeficientes métricos son: h1=1,

2h , 3h 1, y las expresiones de los operadores diferenciales, son:

1 2 3

1ˆ ˆ ˆgrad e e e

z

321

A1 1 AdivA A ( A )

z

3 32 1 11 2 2 3

A AA A A1 1 1ˆ ˆ ˆrot A x A ( ) e ( ) e ( ( A ) ) e

z z

2 2

2

2 2 2

1 1( )

z

2

2

2

dF( ) d F( ) dF( )1 d 1F( ) F( ) ( )

d d dd

R.SABRERA

Física III

2 2 2 2 2ds d d dz ; dV d d dz

Las superficies coordenadas son: cte. , cilindros concéntricos; cte., planos; y

z=cte. planos.

3) Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas: 1x r , 2x , 3x , están relacionados con las coordena-

das cartesianas por: x rsen cos , y r sen sen , z rcos , los coeficientes métri

cos son: h1=1, 2h r , 3h 1, y las expresiones de los operadores diferenciales son:

1 2 3

1 1ˆ ˆ ˆgrad e e e

r r r sen

2 31 22

A1 1 1divA A (r A ) (sen A )

r rsen rsenr

2 1 13 1 3 2 2 3

A A A1 1 1 1ˆ ˆ ˆrot A [ (sen A ) ]e [ (r A )]e [ (rA ) ]e

r sen r sen r r r

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1(r ) (sen )

r rr r sen r sen

222

2 2

d F(r) dF(r)1 d 2F(r) F(r) (r F(r))

r r drdr dr

2 2 2 2 2 2 2ds dr r d r sen d

2dV r sen drd d

Las superficies coordenadas son: r cte., esferas concéntricos; cte., conos; y =cte.

planos.

Física III

APENDICE B

1. FACTORES DE CONVERSION

Angulo plano

grado minuto segundo radían revolución

1 grado 1 60 3 600 1 745 10-2

2,778 10-3

1 minuto 1,667 10-2

1 60 2,909 10-4

4,630 10-5

1 segundo 2,778 10-4

1,667 10-2

1 4,848 10-6

7,716 10-7

1 radían 57,30 3 438 2,063 105 1 0,1592

1 revolución 360 2,16 104 1,296 10

6 6,283 1

Angulo sólido

1 esfera = 4 esterorradianes = 12,57 esterorradianes

Longitud Angstrom metro pulgada pie yarda milla-T

1Angstrom 1 10-10

39,36 10-10

3,28 10-10

1,09 10-10

6,2 10-14

1 metro 1010

1 39,37 3,28 1,09 0,621 10-3

1 pulgada 2,54 108 0,0254 1 0,083 0,0278 1,578 10

-5

1 pie 30,48 108 0,3048 12 1 0,3333 1,894 10

-4

1 yarda 91,44 108 0,9144 36 3 1 5,68 10

-4

1 milla-T 6,21 106 6,21 10

-4 63360 5280 1760 1

1 milla-N 1852 1010

1852 72912 6076 2025,3 1,15

1 vara 5,292 1010

5,0292 198 16,5 5,5 3,125 10-3

1 legua 4,828 1013

4828,032 190080 15840 5280 3

1 año luz 9,45 1025

9,45 1015

372 1015

31 1015

10,33 1015

5,87 1012

1 parsec 30,84 1025

30,84 1015

1212 1015

101 1015

33,67 1015

19,15 1012

1 braza 1,83 1010

1,8288 72 6 2 1,135 10-3

1 estadio 201,16 1010

201,168 7920 660 220 0,125

Física III

Area

mm2 cm

2 m

2 km

2 plg

2 pie

2

1 mm2 1 10

-2 10

-6 10

-12 15,5 1,076 10

-5

1 cm2 10

2 1 10

-4 10

-10 0,155 1,076 10

-3

1 m2 10

6 10

4 1 10

-6 1550 10,76

1 km2 10

12 10

10 10

6 1 155 10

-5 10,76 10

6

1 plg2 645,2 6,452 6,452 10

-4 6,45 10

-10 1 6,9 10

-3

1 pie2 9,29 10

4 929 9,29 10

-2 9,29 10

-8 144 1

1 yarda2 0,836 10

6 0,836 10

4 0,8361 0,836 10

-6 1296 9

1 milla2 2,15 10

12 2,59 10

10 2,59 10

6 2,59 4,01 10

9 27,87 10

6

1 hectárea 1010

108 10

4 10

-2 1,55 10

7 10,76 10

4

1 acre 4046,8 106 4046,8 10

4 4046,86 4046,8 10

-6 6,27 10

6 43560

1 vara2 25,29 10

6 25,29 10

4 25,2928 25,29 10

-6 3,92 10

4 272,15

1 legua2 23,31 10

12 23,31 10

10 23,31 10

6 23,31 3,6 10

11 25 10

8

Volumen

mm3 cm

3 m

3 km

3 litro pie

3

1 mm3 1 10

-3 10

-9 10

-18 10

-6 3,531 10

-8

1 cm3 10

3 1 10

-6 10

-15 10

-3 3,531 10

-5

1 m3 10

9 10

6 1 10

-9 10

3 35,31

1 km3 10

18 10

15 10

9 1 10

12 35,31 10

9

1 litro 106 10

3 10

-3 10

-12 1 3,531 10

-2

1 galón 3,785 106 3,785 10

3 3,785 10

-3 3,785 10

-12 3,785 133,67 10

-3

1 pie3 2,832 10

7 2,832 10

4 2,832 10

-2 2,832 10

-11 28,321 1

1 plg3 16,39 10

3 16,39 1,639 10

-5 1,639 10

-14 1,639 10

-2 5,787 10

-4

1 cuarto 0,946 106 0,946 10

3 0,946 10

-3 0,946 10

-12 0,946 33,417 10

-3

1 pinta 0,473 106 0,473 10

3 0,473 10

-3 0,473 10

-12 0,473 16,708 10

-3

1 onza 2,365 106 2,365 10

3 2,365 10

-4 2,365 10

-13 0,2365 8,35 10

-3

1 barril 0,159 109 0,159 10

6 0,159 0,159 10

-9 0,159 10

3 5,614

Física III

Tiempo

año día hora minuto segundo

1 año 1 365,2 8,766 10-3

5,259 105 3,156 10

7

1 día 2,738 10-3

1 24 1 440 8,640 104

1 hora 1,141 10-4

4,167 10-2

1 60 3 600

1 minuto 1,901 10-6

6,944 10-4

1,667 10-2

1 60

1 segundo 3,169 10-8

1,157 10-5

2,778 10-4

1,667 10-2

1

Masa

g kg lb onza tonelada

1 g 1 10-3

2,205 10-3

35,27 10-3

9,8 10-7

1 kg 103 1 2,205 35,27 9,8 10

-4

1 lb 453,6 0,4536 1 16 4,46 10-4

1 onza 28,35 2,835 10-2

0,0625 1 2,79 10-5

1 tonelada 1 016 103 1 016 2 240 35 840 1

1 ton. métr 106 10

3 2 204,6 35 274 0,98

1 slug 14,59 103 14,59 32,17 514,8 1,43 10

-2

1 arroba 11,34 103 11,34 25 400 1,11 10

-2

1 quintal 45,36 103 45,36 100 1 600 4,45 10

-2

1 utm 9,8 103 9,8 21,60 345,6 9,6 10

-3

1 uma 1,66 10-24

1,66 10-27

3,66 10-27

5,857 10-26

1,63 10-30

1 cuarto 254,01 103 254,01 560 8 960 0,249

1 dracma 1,772 1,77 10-3

3,9 10-3

6,25 10-2

1,736 10-3

Velocidad mm/s cm/s m/s km/h pie/s milla/h

1 cm/s 10 1 0,01 3,6 10-2

3,281 10-2

2,237 10-2

1 m/s 1000 100 1 3,6 3,281 2,237

Física III 1 km/h 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 0,6214

1 pie/s 304,8 30,48 0,3048 1,097 1 0,6818

1 milla/h 447,0 44,70 0,4470 1,609 1,467 1

1 nudo 514,4 51,44 0,5144 1,852 1,688 1,151

Aceleración mm/s

2 cm/s

2 m/s

2 km/h

2 pie/s

2 plg/s

2

1 cm/s2 10 1 0,01 129,6 3,281 10

-2

1 m/s2 1000 100 1 3,6 3,281 39,37

1 km/h2 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 3,04 10

-3

pie/s2 304,8 30,48 0,3048 3,95 10

3 1 12

plg/s2 25,4 2,54 25,4 10

-3 329,18 83,3 10

-3 1

Fuerza

lbf pdl kgf N dyn ozf

1 pdl 3,108 10-2

1 1,41 10-2

0,1383 1,383 104 0,497

1 lbf 1 32,17 0,4536 4,448 4,448 105 16

1 kgf 2,205 70,93 1 9,80665 9,8 105 35,26

1 N 0,2248 7,233 0,102 1 105 3,597

1 dyn 2,248 10-6

72,32 10-6

1,02 10-6

10-5

1 3,597 10-5

1 tf 2000 64340 907,2 8896,6 8896,6 105 3,20 104

1 tf m 2204,6 70921 1000 9806,6 9806,6 105 3,53 10

4

1 arroba 25 804,25 11,34 111,20 111,20 105 4

1 quintal 100 3217 45,36 444,80 444,80 105 1600

1 ozf 62,49 10-3

2,011 28,36 10-3

0,278014 0,278014 105 1

Presión

lbf/pie2 pdl/pie

2 kgf/m

2 Pa dyn/cm

2 bar Torr

1 atm 2,116 103 68,06 10

3 1,033 104 1,013 10

5 1,013 10

6 1,013 760

1 lbf/pie2 1 32,17 4,8825 47,881 478,81 4,13 10

-6 0,359

Física III

1 lbf/plg2 144 4632,48 703,08 6894,8 68948 5,95 10

-4 51,69

1 pdl/pie2 31 10

-3 1 0,152 1,49 14,9 0,13 10

-6 0,011

1 kgf/m2 0,2048 6,59 1 9,806 98,06 0,85 10

-6 0,073

1 Pa 2,089 10-2

0,672 0,102 1 10 10-5

7,5 10-3

1 bar 24,2 104 7,79 106 1,02 10

4 10

5 10

6 1 8,69 10

4

1 Torr 2,785 89,60 13,6 133,3 1333 0,12 10-4

1

Energía

lbf pie pdl pie kgf m joule ergio 1kWh 1 eV

1 Btu 778 2,502 103 107,55 1055 1,055 10

10 2,93 10

-4 6,59 10

21

1 lbf pie 1 32,17 0,13825 1,356 1,356 107 0,38 10

-6 0,85 10

19

1 pdl pie 3,11 10-2

1 4,3 10-3

4,21 10-2

4,214 105 1,17 10

-8 2,63 10

-17

1 cal 3,087 99,308 0,427 4,186 4,186 107 1,17 10

-6 2,62 10

19

1 kgf m 7,233 232,5 1 9,806 9,806 107 2,72 10

-6 6,12 10

19

1 joule 0,7376 23,729 0,102 1 107 0,28 10

-6 6,20 10

18

1 hp h 1,98 106 63,7 10

6 0,27 10

6 2,68 10

6 2,68 10

13 0,746 1,67 10

25

1 kWh 2.65 106 85,41 10

6 0,37 10

6 3,6 10

6 3,6 10

13 1 2,25 10

25

1 eV 1,18 10-19

38 10-19

0,16 10-19 1,6 10-19

1,6 10-12

4,4 10-26

1

Potencia

lbf pie/s pdl pie/s kgf m/s vatio ergio/s hp cal/s

1 Btu/h 0,216 0,695 2,99 10-2

0,293 0,293 107 3,93 10

-4 7 10

-2

1 lbf pie/s 1 32,17 0,138 1,356 1,356 107 1,82 10

-3 0,324

1 pdl pie/s 3,108 10-2

1 4,3 10-3

4,21 10-2

4,21 105 5,65 .10

-5 10

-2

1 kgf m/s 7,2329 232,68 1 9,806 9,806 107 0,013 2,343

1 vatio 0,7376 23,729 0,102 1 107 1,34 10

-3 0,239

1 hp 550 17693 76,07 746 746 107 1 178,16

1 kW 737,6 2,373 104 101,97 10

3 10

10 1,341 239

1 Btu/s 778 25,028 103 107,58 1055 1,055 10

10 1,414 252

Densidad de masa

g/cm3 kg/m

3 lb/pulg

3 lb/pie

3 utm/m

3

Física III

1 g/cm3 1 10

3 36,2 10

-3 62,5 102,06

1 kg/m3 10

-3 1 0,36 10

-4 6,25 10

-2 0,102

1 lb/pulg3 27,68 2,768 10

4 1 1 728 2,825 10

3

1 lb/pie3 16 10

-3 16 5,79 10

-4 1 1,6345

1 utm/m3 9,798 10

-3 9,798 0,354 10

-3 0,612 1

Carga eléctrica

abcoulomb A h coulomb statcoulomb

1 abcoulomb 1 2,778 10-3

10 2,998 1010

1 ampere-hora 360 1 3600 1,079 1013

1 coulomb 0,1 2,778 10-4

1 2,998 109

1 statcoulomb 3,336 10-11

9,266 10-14

3,336 10-10

1

Corriente eléctrica

abampere ampere statampere

1 abampere 1 10 2,998 1010

1 ampere 0,1 1 2,998 109

1 statampere 3,336 10-11

3,336 10-16

1

Fuerza electromotriz

1 abvoltio voltio statvoltio

abvoltio 1 10-8

3,336 10-11

1 voltio 106 1 3,336 10

-3

1 statvoltio 2,998 1010

299,8 1

Resistencia eléctrica

1 abohmio ohmio statohmio

abohmio 1 10-9

1,113 10-21

1 ohmio 109 1 1,113 10

-12

1 statohmio 8,987 1020

8,987 1011

1

Capacitancia

Física III

abfaradio faradio microfaradio statfaradio

1 abfaradio 1 109 10

15 8,987 10

20

1 faradio 10-9

1 106 8,987 10

11

1 microfaradio 10-15

10-6

1 8,987 105

1 statfaradio 1,113 10-21

1,113 10-12

1,113 10-6

1

2. VALORES DE ALGUNAS PROPIEDADES FISICAS

PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS

Líquido

Densidad

en kg/m3

Calor

J/kg0C

específico

cal/g0C

Coeficiente de

tensión

superficial (N/m)

Benzol 880 1 720 0,41 0,03

Agua 1 000 4 190 1,0 0,073

Glicerina 1 200 2 430 0,58 0,064

Aceite de ricino 900 1 800 0,43 0,035

Kerosene 800 2 140 0,051 0,03

Mercurio 13 600 138 0,033 0,5

Alcohol 790 2510 0,6 0,02

PROPIEDADES DE ALGUNOS SOLIDOS

Sólido

Densidad

en kg/m3

Temperatura

de fusión 0C

Calor

J/kg0C

específico

cal/g0C

Calor de

fusión

J/kg

Coeficiente

dilatación

térmica

Aluminio 2 600 659 896 0,214 3.22 105 2,3 10

-5

Hierro 7 900 1 530 500 0,119 2,72 105 1,2 10

-5

Latón 8 400 900 386 0,092 - 1,9 10-5

Hielo 900 0 2 100 0,5 3,35 105 -

Cobre 8 600 1 100 395 0,094 1,76 105 1,6 10

-5

Estaño 7 200 232 230 0,055 5,86 104 2,7 10

-5

Física III

Platino 21 400 1 770 117 0,028 1,13 105 0,89 10

-5

Corcho 200 - 2 050 0,49 - -

Plomo 11 300 327 126 0,030 2,26 104 2,9 10

-5

Plata 10 500 960 234 0,056 8,80 104 1,9 10

-5

Acero 7 700 1 300 460 0,11 - 1,06 10-5

Zinc 7 000 420 391 0,093 1,17 105 2,9 10

-5

PROPIEDADES ELASTICAS DE ALGUNOS SOLIDOS

Sustancia

Resistencia a la

rotura en N/m2

Módulo de

Young en N/m2

Aluminio 1,1 108 6,9 10

10

Hierro 2,94 108 19,6 10

10

Cobre 2,45 108 11,8 10

10

Plomo 0,2 108 1,57 10

10

Plata 2,9 108 7,4 10

10

Acero 7,85 108 21,6 10

10

PERMITIVIDAD RELATIVA (k) DE ALGUNOS DIELECTRICOS

Cera 7,800 Madera 2,5-8

Agua 81 Alcohol, etílico (00 C) 28,4

Kerosene 2 Petróleo 2,1

Aceite 5 Agua (destilada, 00 C) 88,0

Parafina 2 Agua (destilada, 200 C) 80,0

Mica 6 Aire (1 atm) 1,00059

Vidrio 5-10 Aire (100 atm) 1,0548

Nilón 3,5 CO2 (1 atm) 1,000985

Caucho 2-3, 5 Porcelana 6

Azufre 4,0 Ebonita 2,6

Física III

CONDUCTIVIDAD TERMICA DE ALGUNOS SOLIDOS

( en W/moC)

Aluminio 210 Fieltro 0,046 Hierro 58,7

Cuarzo fundido 1,37 Cobre 390 Arena seca 0,325

Corcho 0,050 Plata 460 Ebonita 0,174

RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES ( en m )

Aluminio 2,83 10-8

Germanio (puro) 0,45

Cobre 1,69 10-8

Germanio (5.10-6

% de As) 0,011

Oro 2,44 10-8

Silicio (puro) 640,0

Hierro (00 C) 8,85 10

-8 Silicio (10

-4 % de As) 0,003

Niquel 7,24 10-8

Solución de NaCl 0,044

Plata (00 C) 1,47 10

-8 Ambar 5,0 10

14

Mercurio 95,8 10-8

Vidrio 1020

-1014

Tungsteno 5,51 10-8

Ebonita 1012

-1016

Constatan (Cu60) 44,0 10-8

Mica 1011

-1015

Nicromo 100 10-8

Madera 108-10

11

CONDUCTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES

( en S/m )

Aluminio 3,54 107 Germanio (puro) 2,22

Cobre 5,81 107 Germanio (5.10

-6 % As) 90,9

Oro 4,09 107 Silicio (puro) 1,56 10

-3

Hierro (00 C) 1,53 10

7 Silicio (10

-4 % de As) 3,33 10

-2

Níquel 6,80 107 Solución de NaCl 25

Plata (00 C) 6,14 10

7 Ambar 2,0 10

-15

Tungsteno 1,82 107 Vidrio 10

-20-10

-14

Mercurio 1,82 106 Ebonita 10

-12-10

-16

Física III Constatan (Cu60) 2,04 10

6 Mica 10

-11-10

-15

Nicromo 1,00 106 Madera 10

-8-10

-11

SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA ( e) DE ALGUNOS MATERIALES

Mica 5 Hidrógeno 5,0 10-4

Porcelana 6 Helio 0,6 10-4

Vidrio 8 Nitrógeno 5,5 10-4

Baquelita 4,7 Oxígeno 5,0 10-4

Aceite 1,1 Argón 5,2 10-4

Trementina 1,2 Oxido de carbono 9,2 10-4

Benceno 1,84 Aire 5,4 10-4

Alcohol (etílico) 24 Vapor de agua 7,0 10-3

Agua 78 Aire (100 atm) 5,5 10-2

MOMENTOS DIPOLARES DE ALGUNAS MOLECULAS (m C)

HCl 3,43 10-30

HBr 2,60 10-30

HI 1,26 10-30

CO 0,40 10-30

H2O 6,20 10-30

H2S 5,30 10-30

SO2 5,30 10-30

NH3 5,00 10-30

C2H5OH 1,26 10-30

SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA ( m) DE ALGUNOS MATERIALES

Hidrógeno (1 atm) -2,1 10-9

Oxígeno (1 atm) 2,1 10-6

Nitrógeno 91 atm) -5,0 10-9

Magnesio 1,2 10-5

Sodio 2,4 10-6

Aluminio 2,3 10-5

Cobre -1,0 10-5

Tungsteno 6,8 10-5

Bismuto -1,7 10-5

Titanio 7,1 10-5

Diamante -2,2 10-5

Platino 3,0 10-4

Mercurio -3,2 10-5

GdCl3 2,8 10-3

Física III

MOVILIDAD DE LOS IONES EN LOS ELECTROLITOS (m2/V s)

NO-3 6,4 10

-8 H

+ 3,26 10

-7 K

+ 6,70 10

-8

Cl- 6,8 10

-8 Ag

+ 5,6 10

-8

Código de colores para las resistencias

Colores 1ª Cifra 2ª Cifra Multiplicador Tolerancia

Negro 0 0 Marrón 1 1 x10 1%

Rojo 2 2 x 102 2%

Naranja 3 3 x 103

Amarillo 4 4 x 104

Verde 5 5 x 105 0.5%

Azul 6 6 x 106

Violeta 7 7 x 107

Gris 8 8 x 108

Blanco 9 9 x 109

Oro x 10-1

5%

Plata x 10-2

10%

Sin color 20%

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.)

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

101 deca da 10

-1 deci d

102 hecto h 10

-2 centi c

103 kilo k 10

-3 mili m

106 mega M 10

-6 micro

109 giga G 10

-9 nano n

1012

tera T 10-12

pico p

1015

peta P 10-15

femto f

1018

exa E 10-18

atto a

Física III 3. FORMULAS E IDENTIDADES DEL ANALISIS VECTORIAL 1) ( ) 2) ( )

3) (f g) f g 4) x(f g) xf xg

5) ( f ) f f 6) (f xg) g xf f xg

7) xf 0 8) x f xf xf

9) 2x xf f f 10) x 0

11) f xgxh (f h)g (f g)h 12) ˆ ˆ/ n n

13) ˆ ˆB / n (n )B 14) 2

15) x r 0 16) r 3

17) r r / r 18) 3(1/ r) r / r

19) 3 2(r / r ) (1/ r) 0, si r 0 20) r r '

r r ' ' r r 'r r '

21) F( ) ( F / ) 22) A( ) ( A / )

23) xA( ) x( A / ) 24) (A )B( ) (A )( B / )

25) S Vf ds f dV 26)

C Sf d xf ds

27) S V

ds dV 28) S Vds xf xf dV

29) S V Vf (g ds) f gdV (g )f dV 30)

L Sd ds x

31) x(f xg) f g g f (g )f (f )g

32) (f g) (f )g (g )f f x xg gx xf

33) (exf ) (gxh) (e g)(f h) (e h)(f g)

34) (exf )x(gxh) [e (f xh)]g [e (f xg)]h

35) L S

N MMdx Ndy ( )dxdy

x y

36) 2

V S[ ( ) ( )]dV ( ) ds

37) 2 2

V S[ ]dV ( ) ds

R.SABRERA

Física III 4. ECUACIONES DE MAXWELL EN EL VACIO (S.I.)

Para campos electromagnéticos independientes del tiempo

Ley

Forma integral

Forma diferencial

De Gauss para el campo e

léctrico E

oSE ds q /

oE /

De Gauss para el campo

de inducción magnética B

SB ds 0

B 0

De circulación para el cam

po eléctrico E

LE d 0

xE 0

De circulación para el cam

po de inducción magné

tica

oLB d I

oxB J

Para campos electromagnéticos dependientes del tiempo

Ley

Forma integral

Forma diferencial


eléctrico E

oSE ds q /

oE /


de inducción magnética

B

SB ds 0

B 0

De circulación para el

campo eléctrico E

L S

dE d B ds

dt

xE 0

De circulación para el

campo de inducción mag

nética

o o oL S

dB d I B ds

dt

oxB J

Física III 5. RESUMEN DE FORMULAS DEL ELECTROMAGNETISMO (S.I.)

Nombre Discreta (s) Continua (s)

Ley de Coulomb 1 2123

12

q .qF k r

r

1 2

21 1 12 23

12V V

F k dV r dVr

Fuerza sobre una carga F q E

en el campo eléctrico E

Intensidad del campo eléctrico N

k k

3k 1 k

/ r r ) qE k

r r 3

V

(r r )E k dV

r r´

Campo a una distancia "d"de un

filamento de longitud infinita y

densidad de carga lineal " "

Campo a una distancia "d" de un

filamento de longitud finita " " y

densidad de carga lineal " "

Campo a una distancia "d" del centro

de una espira cuadrada de lados "2a"

y densidad de carga lineal " "

Campo a una distancia "d" de un

plano infinito de densidad de carga

superficial uniforme" "

d

P

o

E2 d

d

l/2

P

o

senE

2 d

P

d

2a

2a

0

2 2 2 2 1/ 2o

8 a dE

4 (a d )(2a d )

o

E2

P

d

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

Física III Campo a una distancia "d"del centro

de un anillo de radio "R", y densidad

de carga lineal uniforme " "

Campo a una distancia "d" del centro

De un disco de radio "R", y densidad

De carga superficial uniforme " "

Campo de planos infinitos paralelos

delgados cargados con densidades

de cargas superficiales

Campo de planos infinitos paralelos

delgados cargados con densidades

de cargas superficiales

Campo de un cascarón esférico de

radio "R", y densidad de carga

superficial uniforme " "

Campo de una esfera compacta de

radio "R", y densidad de carga

volumétrico uniforme " "

2 2 3/ 2o

R dE

2 (d R )

d

P

R

-

A

B

C

2 2o

0, para r R,E

R / r para r R.

o/ en BE

0, en A y C

A

B

C

o/ en A y CE

0, en B

R

r

P

R

r

P

o

3 2o

r / 3 , para r R,E

R / 3 r para r R.

2 2o

dE [1 ]

2 d R

d

P

R

08)

09)

10)

11)

12)

13)

Física III Campo de un segmento esférico

de radio "R", y densidad de

carga superficial uniforme " "

Campo en el eje de simetría de

un cascarón cilíndrico de longitud

" ", y densidad de carga superficial

uniforme " "

Campo en el eje de simetría de

un cilindro compacto de longitud

" ", y densidad de carga volumétrica

uniforme " "

Componente perpendicular del campo

de una superficie plana cargada, que limita

un ángulo sólido " "

Ecuación para las líneas de fuerza de E y xE dx E dy

Tensor Maxwelliano de tensión eléctrica 21 1

T (E E E )4 2

o

E4

2 2 2 2o

2 2 2 2o

R R( ), z

2 R (z ) R zE

R R( ), z

2 R ( z) R z

2

2o

rE ( )( )

4 R

0

E

R r

z

P

O

eje

l

R

z

P

O

eje

l

R

E

P

2 2 2 2

o

2 2 2 2

o

[ (z ) R z R ], z2

E

[2z ( z) R z R ], z2

14)

15)

16)

17)

18)

19)

R.SABRERA

Física III

Flujo de E a través de una superficie S E SE dS

Densidad de líneas de campo eléctrico oD E

Número de líneas del campo eléctrico EN

Ley de Gauss en su forma integral E n oSE dS Q /

Ley de Gauss en su forma diferencial oE /

Momento dipolar de un dipolo eléctrico p qd

Potencial eléctrico de un dipolo eléctrico 2

o

pcosV(r, )

4 r

Componentes radial (Er) y tangencial (E ) r 3o

2pcosE

4 r,

3o

psenE

4 r

del campo E de un dipolo eléctrico

Campo eléctrico de un dipolo eléctrico 2 1/2

3o

pE [3cos 1]

4 r

Momento del momento dipolar de un dipolo M pxE

Trabajo para alinear un dipolo eléctrico W p E

Energía de interacción de un dipolo con E W p E

Energía de interacción entre dos dipolos 1 2 1 1 2 2 1 23 5

o 2 1 2 1

1 p p 3p (r r )p (r r )W [ ]

4 r r r r

Momento del cuádrupolo 2Q 2qd

Potencial eléctrico de un cuádruplo 2

2

3o

qdV (3cos 1)

4 r

Componentes del campo eléctrico de 2

r 4o

3qdE (3cos 1)

4 r,

4o

3qdE (sen 2 )

4 r

Campo eléctrico de un cuadrupolo 4 2 1/ 2

4o

3qdE (5cos 2cos 1)

4 r

Trabajo para desplazar una carga "q" W q E d

un cuadrupolo eléctrico

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

R.SABRERA

Física III

Circulación del campo eléctrico E CE W / q E d

Condición de campo eléctrico conservativo rot E 0 o CE E d 0

Definición de energía potencial eléctrica B AW U U U

Diferencia de energía potencial entre B y A B

B A oA

U U q E d

Energía potencial eléctrica en un punto P P

P oU q E d

Energía potencial de interacción de Q1 y Q2 1 2Q QU k

r

Energía potencial de una carga en un N

i j

io ijj i

q .q1U

4 . r

sistema de "N" cargas puntuales

Energía potencial de un sistema de "N" N N

i j

So iji j j 1

q .q1U

8 r

cargas puntuales

Definición de potencial eléctrico en un punto P P

PP

o

UV E d

q

Potencial eléctrico de una carga puntual "q" q

V kr

Potencial eléctrico de un sistema de N

k

kk 1

qV k

r

"N" cargas puntuales

Potencial eléctrico de un cuerpo cargado D

dqV k

r

Diferencia de potencial eléctrico entre B y A

B

BA B A

A

V V V E dr

Ecuación de las líneas equipotenciales x yE dx E dy

Cargas después del contacto de dos esferas de '1 1 1 2 1 2Q (R / R R )(Q Q )

radios R1, R2 con cargas iniciales Q1 Q2, '2 2 1 2 1 2Q (R / R R )(Q Q )

Potencial eléctrico a una distancia "d" de un

filamento de longitud infinita y densidad de

carga lineal uniforme " "

d

P

o

CV n( )

2 d

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

Física III Potencial eléctrico a una distancia "d" de un

filamento de longitud " " y densidad de

carga lineal uniforme " "

Potencial eléctrico a una distancia "z" del

centro de una espira de lados " " y densidad

de carga lineal uniforme " "

Potencial eléctrico a una distancia 'd"del

centro de una espira circular de radio "R"

y densidad de carga lineal uniforme " "

Potencial eléctrico a la distancia "d" de una

superficie plana muy grande de densidad de

carga superficial uniforme " "

Potencial eléctrico a una distancia "d" del

centro de un disco de radio "R", y densidad

de carga superficial uniforme " "

Potencial eléctrico de un cascarón cilíndrico

muy largo de radio "R", y densidad de carga


2 2

o

( / 2) dV n[ ]

2 d 2d

d

P

l/2 l/2

P

l

l

z

2 2

2 2 2 2o

z 2( / 2)2V n[ ]

z ( / 2) 2 z ( / 2)

2 2 1/2o

RV

2 (d R )

d

P

R

o

V d2

P

d

2 2

o

V [ d R d]2

d

P

R

P

R

R l

l>>R

r

54)

55)

56)

57)

58)

59)

Física III

P

cV 2 k n( ), r R

r y P

cV 2 k n( ), r R

r

Potencial eléctrico de un cilindro muy

largo compacto de radio "R", y densidad

de carga longitudinal uniforme " "

Potencial eléctrico de un cascarón esférico

de radio "R", y densidad de carga superficial

uniforme " "

Potencial eléctrico de una esfera compacta

de radio "R", y densidad de carga volumétrico

uniforme " "

Potencial eléctrico de un hemisferio compacto

de radio "R", y densidad de carga volumétrica

uniforme " "

Potencial eléctrico de un segmento esférico

hueco de radio "R", y densidad de carga


P

R

R l

l>>R

r

P2

r2k n( ), r R

RV

rk [1 ( ) ], r R

R

r

P

R

o

P 2o

R / , r R,V

R / r, r R.

r

P

R

2 2o

P 3o

(3R r ) / 6 , r R,V

R / 3 r, r R.

0

R

P

d

2 2 3/2 3 2 3P

o

V [2(d R ) 2d 3R d 2R ]12

R

0 0

oo

RV (1 cos )

2

60)

61)

62)

63)

64)

R.SABRERA

Física III

El gradiente del potencial eléctrico E gradV V

Componentes cartesianas del campo E x

VE

x ; y

VE

y y z

VE

z

Componentes polares planas del campo E r

VE

r ;

1 VE

r

Componentes cilíndricas del campo E V

E ; 1 V

E y z

VE

z

Componentes esféricas del campo E r

VE

r ;

1 VE

r y

1 VE

r sen

Carga puntual "Q" frente a una placa a potencial nulo (V=0)

Componente normal del campo eléctrico en la placa

n 3oo

2Qd 'E

4 r

Fuerza eléctrica entre la placa y la carga "Q"

2

2o

1 QF

16 d

Carga puntual "Q" frente a una esfera conductora a V=0

Carga imagen y distancia al centro esfera

2

i

a aQ Q y b

d d

Densidad de carga superficial inducida en la esfera

2 2'

2 2 1/ 2

Q(d a )

4 a (d a 2dacos )

La ecuación de Laplace y Poisson

2V en coordenadas cartesianas rectangulares

2V en coordenadas polares planas

Q d

d Q

a

0

2

o

0 LaplaceV

/ Poisson

2

2 2o

01 V 1 V(r )

/r r r r

2 2 2

2 2 2o

0V V V

/x y z

65)

66)

67)

68)

69)

70)

71)

73)

72)

74)

75)

76)

Física III 2V en coordenadas cilíndricas

2V en coordenadas esféricas

Energía del campo eléctrico E en el vació 2

o

1U E dV

2

Energía eléctrica de un conductor cargado S V

1 1U V dS V dv

2 2

Densidad de energía eléctrica en el vació 2

o

U 1u E

V 2

Intensidad de corriente eléctrica dQ

I en vAdt

Velocidad media o arrastre de los electrones e

eEv

m

Señal eléctrica alterna senoidal oA(t) A sen( t )

Valor pico a pico de la señal alterna senoidal 2Ao

Valor medio de la señal alterna senoidal T

m0

1A A(t)dt

T

Valor eficaz de la señal alterna senoidal T 2 1/2

ef0

1A [ A (t)dt]

T

Factor de forma de la señal alterna senoidal ef

m

AF

A

Definición de densidad de corriente eléctrica I

JA

Vector densidad de corriente eléctrica J nqv

Intensidad de corriente por un conductor

A A

I J dS Jcos dS

Relación para un conductor de sección variable 1 2

2 1

J A

J A

Densidad de corriente para un medio continuo J v

2

2 2

2

2 2 2o

1 V 1 V(r ) (sen )

r rr r sen

01 V

/r sen

2 2

2 2 2o

01 V 1 V V(r )

/r r r r z

77)

78)

79)

80)

81)

82)

83)

84)

85)

86)

87)

88)

89)

90)

91)

92)

Física III

Resistencia eléctrica de un conductor RS

Resistencia en función de la temperatura o oR R [1 (T T )]

Resistividad macroscópica de un material VA V

I J

Resistividad microscópica de un material e2

m v

n e

Resistividad en función de la temperatura o o m o(T T )

Cambio en fracción de la resistividad om o

o

(T T )

Coeficiente de resistividad de un material 1 d

dT

Conductividad macroscópica de un material J

ó J EE

Conductividad microscópica de un material 2

e

1 n e

m v

Densidad electrónica de un material AN .z.n

A

Energía cinética media del movimiento térmico se 2c

1 3m.v k.T

2 2

Velocidad media de los se en el gas electrónico N 1/2

ii 1

1v [ v ]

N

Velocidad cuadrática media de los se N 2 1/2

c ii 1

1v [ v ]

N

Ley de Wiedemann-Franz 2K k

3 ( ) Te

Conductancia eléctrica de un conductor 1 I

GR V

Ley de Ohm para conductores ohmicos V

R cte.I

Analogía entre electricidad e hidráulica ABV IR y ABP QC

Potencia eléctrica consumida en una resistencia 2

2 VP VI I R

R

93)

94)

95)

96)

97)

98)

99)

100)

101)

102)

103)

104)

105)

106)

107)

108)

109)

110)

Física III Potencia instantánea en corriente alterna (C.A) P(t) VIcos VIcos(2 t )

Potencia active (P) de una corriente alterna (C.A) 2P IVcos IZIcos I R

Potencia fluctuante de una corriente alterna (C.A) P(t) VIcos(2 t )

Potencia reactiva (Q) de una corriente alterna (C.A) 2L CQ IVsen I (X X )

Reactancias inductiva (XL) y capacitiva (XC) L C

1X L, X

C

Potencia aparente (S) de una corriente alterna (C.A) ˆS P jQ

Factor de potencia (F) de una corriente alterna P

F cosS

Primera ley de Faraday m k Q k I t

Segunda ley de Faraday x

1 Ak Ck

F z, F=10

-3 C

-1

Ley unificada de Faraday 1 A

m QF z

Coeficiente de disociación en un electrolito n '

n, n ' # de iones disociados

Recombinación electrolítica o2

1 CC.n

Cuantización de las cargas en un electrolito A

z.FQ

N

Densidad de corriente en un electrolito J =q+no+< v >+ q-no-< v >

Velocidad media de los iones (+) y (-) v u E , v u E

Carga eléctrica debido a los iones (+) A

Fq e.z z

N y o oq n q n

Ley de Ohm en un electrolito oA

FJ z n (u u )E

N

Resistividad de un electrolito A

o

N

F.z n (u u )

Energía cinética media mínima partículas ionizantes 2

i

1 mm.v (1 ).W

2 M

Corriente de saturación S oI e N

111)

112)

113)

114)

115)

116)

117)

118)

119)

120)

121)

122)

123)

124)

125)

126)

127)

128)

129)

130)

R.SABRERA

Física III

Ecuación de continuidad para J J 0t

La ecuación de Laplace para J J 0

Densidad de carga del equilibrio electrostático t/o(r) (r)e

Tiempo de relajación Ct

Trabajo de las fuerzas de Coulomb 2

C 1 21E d V V

Fuerza electromotriz 2

12 E1E d

Fuerza electromotriz de Thomson 2

1

dT

Diferencia de potencial entre dos puntos a, b 1 2N N

ab k k

k 1 k 1

V IR ( )

Diferencia de potencial en los bornes de una pila ab

1V ( )

1 r / R

Resistencia de compensación

2g

xg S

rR

r R

Resistencia equivalente para conexión serie e 1 NR R ... R

Resistencia equivalente para conexión paralelo 1 1 1e 1 NR R ... R

Corriente en un galvanómetro balístico o

N BAqI

Corriente en un galvanómetro k

INAB

Resistencia desconocida en el puente Weatstone

2g

xg S

rR

r R

f.e.m desconocida en un potenciómetro 1x S

1S

R

R

Primera ley de Kirchoff (Regla de nodos) kk( ) I 0

Segunda ley de Kirchoff (Regla de mallas) N M

k k k

k 1 k 1

( )I R ( )

131)

132)

133)

134)

135)

136)

137)

138)

139)

140)

141)

142)

143)

144)

145)

146)

147)

148)

Física III

Resistencia en paralelo (Shunt) con un amperímetro 0 0S

0

I RR

I I

Resistencia en serie con un voltímetro a 00

VR R

I

Cantidad de calor disipado por efecto Joule 2

2 VQ 0,24 i R t 0,24 t

R

Cálculo microscópico del efecto Joule V

P J EdV

Movilidad de los electrones en un conductor v

E

Fuerza electromotriz en una bobina de inducción d di(t)

(t) Ldt dt

Energía eléctrica almacenada en una bobina 2

M

1W LI

2

Inductancia equivalente para conexión en serie e 1 NL L ... L

Inductancia equivalente para conexión en paralelo 1 1 1e 1 NL L ... L

Impedancia equivalente para conexión en serie 1 NZ Z ... Z

Impedancia equivalente para conexión en paralelo 1 1 1e 1 NZ Z ... Z

Voltaje total en un circuito eléctrico RL 2 2 1/2LV I[R X ] IZ

Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RL 1 1LX L

tg ( ) tg ( )R R

Voltaje total en un circuito eléctrico RC 2 2 1/2CV I[R X ]

Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RC C1 1X 1 / Ctg ( ) tg ( )

R R

Susceptibilidad eléctrica de un dieléctrico io o(k 1)

E

Constante dieléctrica o o

k 1

Capacidad especifica de inducción o ok

Vector desplazamiento dieléctrico oD k E

149)

150)

151)

152)

153)

154)

155)

156)

157)

158)

159)

160)

161)

162)

163)

164)

165)

166)

167)

Física III

Teorema de gauss para dieléctricos

S

D dS q (carga libre)

Ley de Snell en dieléctricos 1 1

2 2

tg k

tg k

Vector de polarización en dieléctricos N

e e, i

i 1

1P p

V

Vector de polarización para dieléctrico neutro e o o oP n E E

Vector de polarización para dieléctrico polar e o eP n p

Fórmula de Debye-Langevin

2o c

o

n p

3 kT

Densidad superficial de cargas de polarización p e ˆP n

Densidad volumétrica de cargas de polarización p ediv P

Relación entre D , E y P o eD E P

Carga inducida en una esfera conductora i

k 1q ( )q

k

Trabajo de extracción de un electrón en un metal W e(V V')

Capacidad eléctrica q

CV

Capacidad de un condensador plano paralelo oAC

d

Capacidad de un condensador cilíndrico o2

Cn(b / a)

Capacidad de un condensador esférico o

a bC 4

(b a)

Capacidad equivalente para conexión en serie 1 1 1e 1 NC C ... C

Capacidad equivalente para conexión en paralelo e 1 NC C ... C

Carga instantánea en proceso de carga condensador t/RCabq(t) V C (1 e )

Intensidad de corriente en un proceso de carga t /RCabV

I(t) eR

168)

169)

170)

171)

172)

173)

174)

175)

176)

177)

178)

179)

180)

181)

182)

183)

184)

185)

186)

R.SABRERA

Física III Constante de tiempo en un proceso de carga t R C

Carga instantánea en un proceso de descarga t / RCq(t) Q.e

Energía eléctrica almacenada en un condensador 2

21 Q 1 1W qV CV

2 C 2 2

Densidad de energía eléctrica en un condensador 2 2

o o abE Vw

2 2d

Fuerza eléctrica entre las placas de un condensador 22 2

o

o o

E AD A QF

2 2 2 A

Coeficientes de potencial sistema de "N" cargas N

i ij jj 1V p Q

Energía de un sistema de "N" conductores N

j jj 1

1W Q V

2

Coeficientes de capacidad de "N" conductores N

i ij jj 1Q c V

Intensidad de corriente eléctrica de desplazamiento D DS S

DI J dS ( ) dS

t

La ley de Biot-Savart para calculo de B o3

C

I d x rB

4 r

La ley de Biot-Savart para calculo de modulo de B o2

C

I senB d

4 r

Cálculo de B en un medio o sustancia magnética o mB B B

Campo de inducción magnética a una distancia

"d" del extremo de un imán


"d" de un filamento rectilíneo muy largo que

conduce una corriente "I"

d

q

P

B=? IMAN

N

o2

qB

4 d

I

B

d

o IB

2 d

187)

188)

189)

190)

191)

192)

193)

194)

195)

196)

197)

198)

199)

200)

Física III Campo de inducción magnética a una distancia

"d" de un filamento rectilíneo finito que


Campo de inducción magnética en el centro

de una espira rectangular de lados "a", "b"

que conduce una corriente "I"


"d" del centro de una espira cuadrada de lados

"2a" que conduce una corriente "I"


"d" del centro de un anillo de radio"R" que


Campo de inducción magnética en el centro de

un filamento en forma de arco circular de

radio "R" que conduce una corriente "I"

Campo de inducción magnética a una distancia "d"

del centro de un anillo de radio "R", densidad de

carga lineal " " que gira con frecuencia " "

I

d

B

o IB (sen sen )

4 d

b

a

0

I

I

I

I

B

2 2 1/2o 8I(a b )

B4 a b

2o

2 2 2 2 1/2

2 IaB

(a d )(2a d )

R

d

0

2o

2 2 3/2

IRB

2 (d R )

R R

B

I

o IB

4 R

I

I

R

d

0

P

P

d

I

I

2a

2a

201)

202)

203)

204)

205)

206)

Física III

Campo de inducción magnética en puntos

del eje de simetría de un solenoide de "N"

vueltas, que conduce una corriente "I"

Campo de inducción magnética de un

toroide de radios interno 1"R " , externo

2"R " que conduce una corriente "I"

Campo de inducción magnética de un

compacto de radio "R", muy largo que


Campo de inducción magnética en P de un

anillo de radio "R", que conduce corriente

"I", cuando d>>R

Campo de inducción magnética en P de un

disco de radio "R", densidad de carga

superficial " ", y que gira con frecuencia

angular " "

3o

2 2 3/2

RB

2 (d R )

1

2 P

l

R

o2 1

I NB (cos cos )

2

Rm

I I

0 R1

R2

o1 2

1 2

INR r R

B 2 r

0 r R o r R

R I

o2

o

I r, r R

2 RB

I, r R.

2 r

I

I

0 P

R

d 2

o3

IRB

4d

P

R

d

2 2

o2 2 1/2

R 2dB [ 2d]

2 (R d )

207)

208)

209)

210)

211)

R.SABRERA

Física III Campo de inducción magnética a una distancia

"d" del centro de un anillo de radio "R", densidad

de carga lineal " " , que gira alrededor de su diámetro

con frecuencia angular " "

Campo de inducción magnética en puntos

del eje de simetría de un cilindro hueco

rotante de radio "R", y densidad de carga

superficial " "


"d" del centro de una espira hexagonal de lados "a"

que conduce una corriente "I"

Campo de inducción magnética en puntos del

plano que contiene una banda de corriente "I"

de ancho "w" a una distancia "d"


"d" de una banda de corriente "I" de ancho "w"

R

P

d

3o

3

RB , d R

4d

R

d

P

h

o

2 2 2 2

R d d hB ( )

2 d R (d h) R

P

a

a

a

a

a

a d

2o

2 2 2 2

3 3 IaB

(4d 3a ) d a

d P

I

w

oI wB n(1 )

2 w d

d

P

I

0

W

1o I wB ( ) tg ( )

w 2d

212)

213)

214)

215)

216)

R.SABRERA

Física III Campo de inducción magnética en el punto P,

de N vueltas de corriente "I" que se encuentran

sobre un tronco de cono

Campo de inducción magnética en el punto

P, creado por dos espiras circulares que

conducen corrientes "I" (x<<2b)

Campo de inducción magnética generado

por una esfera hueca de radio "R", densidad

de carga superficial " " que gira alrededor

de su diámetro


"d" del centro de un disco de radio "R", densidad

de carga superficial " ", que rota alrededor de su

diámetro

Campo de inducción magnética generado

por una esfera sólida rotante de radio "R",

densidad de carga volumétrica " "

a

b

I

P

2oI N bB sen cos n( )

2(b a) a

2b x 0

P

a

a

I

I

2 2 22o

2 2 3/2 2 2

I a 3 (4b a )B [1 x ...]

2(a b ) (a b )

R 0

P

z

4 3o

o

2 R / 3z , para z RB

2 R / 3, para z R

R

P

d

4o

3

R1B , d R

16 d

5 3o

2o

2 R /15z , para z RB

R / 3, para z 0

R 0

P

z

217)

219)

218)

220)

221)

Física III Campo de inducción magnética en el centro

de la base de un cilindro sólido rotante de

"R", densidad de carga volumétrica " "


"d" de la base mayor de un segmento esférico

hueco de densidad de carga superficial " "

Campo de inducción magnética en el vértice P

de un cono regular hueco rotante de altura "h",

ángulo de vértice " " y densidad de carga

superficial " "


de un cono regular sólido rotante de altura "h",

ángulo de vértice " " y densidad de carga

volumétrica " "


de una pirámide de base circular de radio "R"

con densidad de carga superficial " "

P

h

R

2 2oB h ( R h h)2

0

R

d

P

2o

1B R[ sen (cos 2)]

3 2 2

R

P

2oB R sen2

R

P

2o2

1 2cosB R ( )

4 1 cos

R

R

P

oB (8 5 2) R2

222)

224)

223)

225)

226)

Física III Campo de inducción magnética en el vértice

P de un paraboloide de ecuación cz=x2+y

2,

altura "H", densidad de carga superficial " "

Campos de inducción magnética, creados por

dos bandas de de densidades de corriente "J" ,

separados por una distancia "d"


"d" del centro de una superficie circular de

radio "R", con densidad de corriente "J"


"d" del centro de una superficie cuadrada de

lados "a", con densidad de corriente "J"

Campo de inducción magnética de una esfera

Compacta de radio "R", densidad de carga

Volumétrica " " , y se desplaza con velocidad

"v"

y

x

z

0

H

1H c[1 ]

1 H / c

d

J

J

(I)

(II)

(III)

o

o

J, zona I

B 0, zona II

J zona III

P

R

0

d

J

o

2 2

J dB (1 )

2 d R

J

P

a

a

d

0

oJ 1B ( )

2 1 4d / a

v 0

B

A

R

A 2o

4 vrsenB

(3)(4 )c

3

B 2 2o

4 vR senB

(3)(4 )r c

227)

228)

229)

230)

231)

R.SABRERA

Física III

Relación de campos de una carga puntual que 2

1B v x E

c

se desplaza con velocidad "v"

Definición de intensidad magnética o

BH

Fuerza magnética sobre una carga puntual F q v x B

Fuerza de Lorentz sobre una carga puntual F qE qvxB

Fuerza magnética sobre un conductor curvilíneo

V

F J xBdV

Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo F I xB

Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos o 1 2I IF

2 d

Torque magnético sobre un circuito de corriente M x B

Momento magnético de un circuito de corriente M I S

Periodo de las oscilaciones transversales de un imán 1/ 2

o

2 IT 2 ( )

mB

Periodo de las oscilaciones longitudinales de un imán 3

1/2

o o

2 2MRT 2 ( )

3 NIm

Diferencia de potencial de equilibrio en el efecto Hall 1 2

IBV V V R

d

Campo eléctrico transversal en el efecto Hall HE R B x J

La constante de Hall o

AR

n q

La conductividad eléctrica en el efecto Hall 2e

h

Campo de inducción en función del potencial vectorial B rot A

Potencial vectorial magnético de una densidad "J" 1

o 12 1V

2 1

J(r )A(r ) dV

4 r r

Potencial vectorial de un circuito distante o 22 2

2

m x rA(r )

4 r

232)

235)

233)

234)

236)

237)

238)

239)

240)

241)

242)

243)

244)

245)

246)

248)

247)

249)

Física III

Campo magnético de un circuito eléctrico distante o 2 22 3 5

2 2

m 3(m r ) rB(r ) [ ]

4 r r

Componente radial Hr de un dipolo magnético r 3

2mcosH

4 r

Componente tangencial H de un dipolo magnético 3

msenH

4 r

Modulo de la intensidad magnética de un dipolo 2 1/ 2

3

1 mH (3cos 1)

4 r

Potencial escalar V y campo de inducción B oB V

Potencial escalar magnético de un circuito pequeño 232

m rV

4 r

Potencial escalar de un circuito de corriente grande I

V(P)4

Longitud de onda de De Broglie h h

mv p

Cantidad de movimiento de De Broglie h

p k2

Vector número de onda ˆk (2 / )n

Carga especifica en un espectrómetro de Dempster 2 2

q 2. V

m B r

Periodo de una partícula en un cicrotrón 2

2 WT

Be.c

Campo de inducción magnética en un cicrotrón 2

o

2 WB

Te.c

Periodo de resonancia en un ciclotrón o 2

2 m 2 WT T

B q B q

Condición de funcionamiento en un sicrotrón oe.Tmcte.

B 2

La ley de Ampere para circuitos magnéticos oBC B d I

Flujo magnético a través de una superficie "S" B SB dS

250)

251)

252)

253)

254)

255)

256)

257)

258)

259)

260)

261)

262)

263)

264)

265)

Física III

Ley de Gauss para campos magnéticos div B 0

Ley de Ohm para circuitos magnéticos mmm R

Reluctancia de un circuito magnético con "S" constante imi

o

RS

Reluctancia de un circuito magnético con "S" variable 0

om

S

dR

Reluctancia total para una conexión en serie n

m mii 1R R

Reluctancia para una conexión en paralelo n 1 1

m mii 1R [ R ]

Primera ley de Kirchoff para circuitos magnéticos n

mii 10,

Segunda ley de Kirchoff para circuitos magnéticos k k

mi mi mii 1 i 1R ( )

Trabajo de desplazamiento de un conductor m

m mW I d i

Densidad de corriente de desplazamiento D

DJ

t

Razón entre las densidades de corriente CJ y DJ C

D

J

J

Continuidad de la componente normal de B 2 1n (B B ) 0

Discontinuidad de componente tangencial de H 2 2 1 Sn x(H H ) J

Continuidad del flujo de inducción magnética 2 1V

BdV (S ) (S )

Definición de fuerza electromotriz C

WE d

q

f.e.m inducida en una bobina rotante de "N" espiras NBS sen

Ley de Faraday Bd

dt

f.e.m en función del potencial vectorial magnético A dt

Voltaje de salida (V2) en un transformador 22 1

1

NV ( ) V

N

266)

267)

268)

269)

270)

271)

272)

273)

274)

275)

276)

277)

278)

279)

280)

281)

282)

283)

284)

Física III Potencia entregada y consumida en un transformador 1 1 2 2V I V I

Definición de flujo de autoinducción a

S

B dS

Autoindiccón para un contorno no ferromagnético a LI

Ley de Faraday para un contorno no ferromagnético aL

d diL

dt dt

Expresión para el coeficiente de autoinducción o3

S

d x rL dS

2 r

Coeficiente de autoinducción para un

solenoide muy largo

Coeficiente de autoinducción para un

solenoide de coeficiente k=l/d

Coeficiente de autoinducción para

cilindros coaxiales de radios 1"R " ,

2"R " y longitud " "

Coeficiente de autoinducción de un

un toroide de sección transversal

rectangular de lados "a", 'b"

Coeficiente de autoinducción para

Una línea de transmisión

2oL N S /

2o

1

1 RL . n( )

2 R

2oL k N S/

I N

S

l

I N

S

l

2 2o

1

1 RL N b n( )

2 R

o

1 dL n( )

R

R1

R2

l

N

R1

R2

b

a

I

d

R

R

l

294)

293)

292)

291)

290)

289)

288)

287)

286)

285)

R.SABRERA

Física III

Voltaje de salida (V2) en un transformador 22 1

1

NV ( ) V

N

Intensidad de corriente en un circuito eléctrico R-L R t/L R t/L

oI(t) I e (1 e )R

Tiempo de relajamiento en un circuito eléctrico R-L c

Lt

R

Energía magnética en una bobina inductora 2

M

1W LI

2

Densidad de energía en una bobina inductora 2

M o

1w H

2

Inducción mutua para dos bobinas de corriente 212

d

dt

Flujo magnético de inducción mutual para dos bobinas 21 21 1 11 11 2M I , M I

Coeficiente de inducción mutual para un núcleo hierro 1 221

m

N .NM

R

Expresión de Neumann para calculo de 21"M " 2 2

o21 C C

d ' dM

4 r r '

Coeficiente de autoinducción para conexión en serie e 1 2 kkL L L ... L

Coeficiente de autoinducción para conexión paralelo 1 1 1 1

e 1 2 kkL L L ... L

Fuerza electromotriz generada en un disco de Faraday 21

B R2

Momento magnético orbital del electrón L L

em L g L

2m

Momento angular en el estado estacionario del electrón L ( 1)

Momento dipolar orbital del electrón L

em ( 1)

2m

Momento magnético orbital del átomo Z

L L,kk 1m m

Espín del electrón z

hS

2 4

Momento magnético dipolar de espín S S

em S g S

m

295)

296)

297)

298)

299)

300)

301)

302)

303)

304)

305)

306)

307)

308)

309)

310)

311)

312)

Física III

Proyección del momento magnético dipolar en el eje-z S, Z B

em

2m

Momento magnético dipolar de un electrón e S Lm g S g L

Velocidad angular de presesión de la órbita del electrón oL

eH

2m

Momento angular orbital inducido (teorema de Largor) 2

oe Sm H

4 m

Torque magnético sobre un electrón moviéndose B eBxm

Energía magnética de un electrón en un campo B eW m B

Vector de magnetización de un material N

nk

V 0 V 0k 1

m 1M Lim Lim m

V V

Campo magnetizante en un material magnetizado o

1H B M

Susceptibilidad magnética de un medio m

M

H

Permeabilidad magnética de un material o m(1 )

Permeabilidad magnética relativa del material m mo

k 1

Susceptibilidad diamagnética de una sustancia 2

Z 2o om 1k 1

n er

6m

Susceptibilidad paramagnética de una sustancia 2

o om

n mH

3k T

Permeabilidad magnética de un cuerpo ferromagnético B

(H)H

Período de las oscilaciones en un circuito CLC o

2T 2 LC

Amplitud de la intensidad de corriente en un CLC oo o o

QI Q

LC

Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC oo

QV

C

315)

316)

314)

313)

317)

318)

319)

320)

321)

322)

323)

324)

326)

325)

327)

328)

329)

Física III

Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC oo

QV

C

Energía eléctrica máxima de E en un CLC 2

E o

1W CV

2

Energía magnética máxima de B en un CLC 2

M o

1W LI

2

Carga en oscilación sobreamortiguada de un CRLC 2R(1 1 (4L / R C)t / 2L

oq(t) q e

Carga en oscilac. criticam. amortiguado de un CRLC R t / 2Lq(t) e (A Bt)

Carga en oscilación infraamortiguado en CRLC Rt/2L

o o

2

q e sen( t )q(t)

1 R C / 4L

Coeficiente de amortiguamiento o atenuación R

2L

Frecuencia angular de la oscilación infraamortiguada 2 1/ 2[(1/ LC) (R / 2L) ]

Fase inicial de la oscilación infraamortiguada 1 2 1/ 2o tg [(4L/ R C) 1]

Amplitud de las oscilaciones inframortiguadas R t / 2Lo

2

qA e

1 R C/ 4L

Periodo de las oscilaciones infraamortiguadas 2

2 4 LT

4L / C R

Decremento logarítmico de una amortiguación A(t)

n TA(t T)

Tiempo de relajación de las oscilaciones amortiguadas 1

N T

Relación entre " " y " " 2 2 1/2o

o

[1 ( ) ( ) ]2

Factor de calidad del sistema oscilante 2 T 2

2 2Q

1 e 1 e

Rapidez de cambio de la energía del sistema oscilante 2dE

R Idt

Pm en un oscilador armónico amortiguado forzado o o

1P I cos

2

330)

331)

332)

333)

334)

335)

336)

337)

338)

339)

340)

341)

343)

344)

345)

342)

346)

Física III

Valor eficaz de la corriente y f.e.m en un OAAF oef

II

2 ; o

ef2

Valor máximo de la corriente en un OAAF oo, maxI

R

Frecuencia de resonancia en un OAAF r o

1

LC

Relación entre E y B para ondas electromagnéticas E cB

Velocidad de propagación de las O.E en el vació 8

o o

mc f 3 10

s

Velocidad de la luz en el vació 1/2 8

o o

mc [ ] 3 10

s

Velocidad de propagación de una O.E.en un medio v f

Ecuación para la componente E de una O.E. 2

2

2

1 EE 0

tc

Ecuación para la componente H de una O.E. 2

2

2

1 HH 0

tc

Densidad de energía de una onda electromagnética 2 2o o

Ew E H2 2

Energía del campo electromagnético 2oV

W E dV

Vector de Poynting P ExH

Penetración de rayos gamma en una pared d0I(d) I e

Energía de un fotón h c

E

Ley de Snell para la refracción i i R Rn sen n sen

Indice de refracción ocn

v

Angulo crítico en reflexión interna total 1 RC

i

nsen ( )

n

La fuente se aleja del receptor en reposo (E. Doppler) 0

1

fvf

1 (v / v)

La fuente se acerca al receptor en reposo (E. Doppler) 0

1

ff

1 (v / v)

El efecto Doppler electromagnético 2 1/ 2

0

[1 (v / c) ]f f

1 (v / c) cos

347)

348)

349)

350)

351)

352)

353)

354)

355)

356)

357)

358)

360)

359)

361)

362)

363)

364)

365)

366)

Física III CONSTANTES FISICAS UNIVERSALES

Magnitud Símbolo Valor

01. Unidad masa atómica 1 u.m.a 1,6605655(86) 10-27

kg

02. Carga elemental e 1,6021892(46) 10-19

C

03. Carga especifica electrón e/me 1,7588047(49) 10-11

C/kg

04. Longitud onda Compton (n) C, n=h/(mnc) 1,3195909(22) 10-15

m

05. Longitud onda Compton (p) C, p=h/(mpc) 1,3214099(22) 10-15

m

06. Longitud onda Compton (e) C, e=h/(mec) 2,4263089(40) 10-12

m

07. Magnetón de Bhor B=eh/2m 9,274078(36) 10-24

J/T

08. Magnetón Nuclear n=eh/2mp 5,050824(20) 10-27

J/T

09. Momento magnético protón p 1,410617(55) 10-26

J/T

10. Momento magnético electrón e 9,284832(36) 10-24

J/T

11. Masa en reposo del neutrón mn 1,6749543(86) 10-27

kg

12. Masa en reposo del protón mp 1,6726485(86) 10-27

kg

13. Masa en reposo del electrón me 0,9109534(47) 10-30

kg

14. Volumen de 1 mol gas perfecto Vo=RTo/Po 0,02241383(70) m3/mol

15. Constante de Boltzman K=R/NA 1,380662(44) 10-23

J/K

16. Constante universal gases R 8,31441(26) J/mol K

17. Constante de gravitación G 6,672(41) 10-11

N m2/kg

2

18. Constante de Planck 6,6266176(36) 10-34

J/Hz

19. Constante de radiación primera c1=2 hc2 3,741832(20) 10

-16 W m

2

20. Constante de radiación segunda c2=hc/k 0,01438786(45) m K

21. Constante de Stefan-Boltzman =2k

4/60h

3c

2 5,6703(71) 10

-8 W/m

2K

4

22. Constante de estructura fina = oce2/2h 0,0072973506(60)

23. Constante de Faraday F=NAe 9,648456(27) 104 C/mol

24. Constante eléctrica o=1/( oc2) 8,85418782(7) 10

-12 F/m

25. Radio de Bhor ao= /(4 R ) 0,52917706(44) 10-10

m

26. Radio clásico del electrón Ro= oe2/4 me 2,8179380(70) 10

-15 m

27. Velocidad de la luz en el vació c 299792458(1,2) m/s

28. Aceleración de caída libre g 9,80665 m/s2

29. Número de Avogadro NA 6,022045(31) 1023

mol-1

30. Energía en reposo neutrón mnc2 939,5731(27) MeV

31. Energía en reposo protón Mpc2 938,2796(27) MeV

32. Energía en reposo electrón Mec2 0,5110034(14) MeV

33. Constante magnética o 12,5663706144 H/m

34. Constante de Rydberg R = 2o mec

3e

4/8h

3 1,097373177(83) 10

7m

-1

35. Cuanto de flujo magnético o=h/2e 2,0678506(54) 10-15

Wb

Física III

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