APÉNDICE A – Conjuntos ...........................................................

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndices

APÉNDICE A – Conjuntos ..................................................................................................... II Introducción ........................................................................................................................... II

A.1. Formas de describir un conjunto................................................................................. II A.2. Igualdad de conjuntos................................................................................................. II A.3. Conjunto vacío........................................................................................................... III A.4. Conjunto universal ..................................................................................................... III A.5. Representación gráfica de un conjunto...................................................................... III A.6. Subconjunto............................................................................................................... III A.7. Operaciones con conjuntos .......................................................................................IV

A.7.1. Intersección ........................................................................................................IV A.7.2. Unión ...................................................................................................................V A.7.3. Diferencia ...........................................................................................................VI A.7.4. Complemento .....................................................................................................VI

APÉNDICE B – Sistema de Unidades ..................................................................................VI B.1. Sistema Internacional de Unidades (SI).....................................................................VI

B.1.1. Unidades de Magnitudes fundamentales (Unidades de Base) ...........................VII B.1.2. Unidades Suplementarias ..................................................................................VII B.1.3. Unidades Derivadas...........................................................................................VII

B.2. Múltiplos y Submúltiplos ...........................................................................................VII APÉNDICE C – Notación Científica ......................................................................................XI

C.1. Operaciones con notación científica .........................................................................XII C.1.1. Suma y resta .....................................................................................................XII C.1.2. Multiplicación y división......................................................................................XII C.1.3. Potencia de potencia ........................................................................................XIII

APÉNDICE D – Aproximación y Redondeo ....................................................................... XIV APÉNDICE E – Cifras Significativas ................................................................................... XV APÉNDICE F - Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes más usadas...................... XVIII

F.1. Fórmula de cálculo de densidad volumétrica ........................................................ XVIII APÉNDICE G – Trigonometría........................................................................................... XIX

G.1.- Relaciones que existen entre los valores del seno y del coseno cuando el ángulo pertenece al segundo, tercer o cuarto cuadrante referido a los valores de un ángulo del primer cuadrante:........................................................................................................... XIX G.2.- Funciones trigonométricas de ángulos complementarios ...................................... XIX G.3.- Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios ......................................... XIX G.4.- Funciones trigonométricas de ángulos opuestos:.................................................. XIX G.5.- Funciones trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos.......................... XX G.6.- Funciones trigonométricas para el ángulo doble y el ángulo mitad......................... XX G.7.- Sumas y diferencias de senos y cosenos............................................................... XX G.8.- Otras identidades trigonométricas......................................................................... XXI

Apéndice A: Conjuntos FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

II Curso de Ingreso

APÉNDICE A – Conjuntos

Introducción

La noción de conjunto constituye un concepto primitivo que no se definirá en este apéndice y se presentará de modo intuitivo a través de ejemplos.

Para indicar, por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son las vocales de nuestro abecedario, se escribe { }uoieaV ,,,,= .

Es habitual usar letras mayúsculas para designar un conjunto. Para el ejemplo se usó la letra V.

Se observa que los elementos se escriben entre llaves, separados por comas y pueden ir en cualquier orden. Cada elemento figura sólo una vez.

Para indicar que el elemento u pertenece al conjunto V, se escribe Vu∈ . En cambio Vb∉ ,significa que la letra b no pertenece a V.

El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. V tiene 5 elementos, por lo tanto el cardinal del conjunto V es igual a 5 y se simboliza: 5=V .

A.1. Formas de describir un conjunto

• Descripción por extensión: se realiza nombrando todos los elementos del conjunto. Esta descripción puede hacerse sólo cuando el cardinal del conjunto es finito.

• Ejemplo: { }5,4,3,2=A

• Descripción por comprensión: se realiza especificando o enunciando una propiedad que identifique a todos los elementos del conjunto. Cuando el cardinal de un conjunto no es finito o es muy grande resulta necesario usar este tipo de descripción.

Ejemplo: { }5/ <∈= xRxB . Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los números reales menores que 5.

A continuación se muestra un caso en que el conjunto puede ser expresado por comprensión y por extensión:

{ }18 dedivisor natural número unesxxC /=

{ }18,9,6,3,2,1=C

A.2. Igualdad de conjuntos

Los conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se nota BA =

Ejemplo: { }53/ quemenoryquemayoresxZxA −∈=

{ }52/ quemenoryqueigualomayoresxZxB −∈=

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice A: Conjuntos

Curso de Ingreso III

Teniendo en cuenta que Z es el conjunto de los números enteros, resulta que:

{ }4321012 ,,,,,,BA −−==

A.3. Conjunto vacío

Se llama así al conjunto que no tiene elementos y para designarlo se utiliza el símbolo ∅ .

Ejemplo: { }9510/ quemenoryquemayordedivisoresxNxF ∈=

Los números naturales mayores que 5 y menores que 9 son 6, 7 y 8, y ninguno de ellos es divisor de 10, de modo que el conjunto F no tiene elementos, ya que ningún x satisface la condición especificada.

Resulta entonces: ∅=F .

A.4. Conjunto universal

Se denomina así al conjunto que contiene todos los posibles elementos del tema en estudio y se simboliza con la letra U.

A.5. Representación gráfica de un conjunto

Para representar conjuntos gráficamente se suele emplear los llamados diagramas de Venn.

Ejemplo: { }viernesjuevesmiércolesmarteslunesS ,,,,=

La representación gráfica permite, como se verá en los temas que se desarrollan a continuación, analizar con mayor claridad la relación existente entre dos o más conjuntos y facilita la obtención de conclusiones.

A.6. Subconjunto

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es subconjunto de B y se simboliza:

BA⊆ ó AB ⊇

La expresión anterior se lee: “A es subconjunto de B”, “A está incluido en B”, “A está contenido en B”, “B incluye a A” o “B contiene a A”.

Es importante destacar que si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, pero existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, entonces se dice que A está contenido estrictamente en B y se simboliza:

lunesmartes

miércolesjueves

viernes

S


IV Curso de Ingreso

BA⊂ ó AB ⊃

Ejemplos:

• El conjunto de los alumnos que cursan la carrera de Ingeniería Mecánica está incluido en el conjunto de los alumnos de la Facultad de Ingeniería.

{ }MecánicaIngeniería carrera ladealumno esxxM /=

{ }Ingeniería deFacultad ladealumno esxxF /=

FM ⊆ ó FM ⊂

Gráficamente:

• El conjunto de los números enteros Z está contenido en el conjunto de los números reales R. Z es subconjunto de R.

RZ ⊂

A.7. Operaciones con conjuntos

A.7.1. Intersección

Dados los conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.

Es decir, el conjunto intersección, que se simboliza BA∩ , tiene los elementos comunes a ambos conjuntos.

{ }BxyAxxBA ∈∈=∩ /

Gráficamente:

Ejemplo:

{ }103 quemenor demúltiplo número esx/xA =

{ }9,7,5,3,1,3−=B

{ }0,1,2,3 −−−=C

FM

A BA ∩∩∩∩ B

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice A: Conjuntos

Curso de Ingreso V

{ }9,3,1=∩ BA

{ }3−=∩CB

∅=∩CA

Se observa que ∅=∩CA , en este caso se dice que los conjuntos A y C son disjuntos.

A.7.2. Unión

Dados los conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

Es decir, el conjunto unión, que se simboliza BA∪ , tiene los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos conjuntos.

{ }BxoAxxBA ∈∈=∪ /

Gráficamente:

Ejemplo:

{ }23/ quemenoryquemayor entero número esxxA −=

{ }7,5,3,1,1−=B

{ }7,5,3,1,0,1,2 −−=∪ BA

A B11−2− 53

70

A B

A ∪∪∪∪ B

A

B

C93 3−

602−

1 751−


VI Curso de Ingreso

A.7.3. Diferencia

Dados los conjuntos A y B, se llama diferencia BA − , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Simbólicamente: { }BxyAxxBA ∉∈=− /Gráficamente:

Ejemplo:

{ }23/ que menoryque mayor entero número esxxA −=

{ }7,5,3,1,1−=B

{ }0,2−=− BA { }7,5,3=− AB

A.7.4. Complemento

Si A es un subconjunto del conjunto universal U, entonces el complemento de A (relativo a U), es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

Simbólicamente:

{ }AxUxAc ∉∈= /

En la figura adjunta, el área sombreada, representa el conjunto complemento de A.

Ejemplo: Si U es el conjunto de los números naturales, es decir NU = y{ }17/ ≤∈= xNxA , entonces { }17/ >∈= xNxAc

A B11−2− 53

70

U

A

Ac

A B

A −−−− B

Apéndice B: Sistema de Unidades FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

VI Curso de Ingreso

APÉNDICE B – Sistema de Unidades

Los experimentos involucran la medición de una variedad de cantidades, las que deben expresarse y reproducirse en la forma más precisa posible. El primer paso para asegurar la precisión y reproducibilidad es definir las unidades en las cuales se expresan estas medidas.

Antes de efectuar una medición se debe seleccionar una unidad para cada una de las cantidades a medir. Evidentemente, si se va a informar acerca de los resultados de una medición, debe definirse un patrón.

La necesidad de tener una unidad homogénea para determinada magnitud, obligó al hombre a definir unidades convencionales.

Convencionalmente:

B.1. Sistema Internacional de Unidades (SI)

Este sistema surgió como necesidad de adoptar criterios universalmente aceptados en el uso de unidades de medida.

La República Argentina, miembro fundador en 1875 de la Convención del Metro, tomó parte en las tareas que culminaron con la histórica determinación de la XI Conferencia de Pesas y Medidas en 1960, por la cual quedó instituido el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). La ley 19 511 del 2 de marzo de 1972 estableció para nuestro país el uso obligatorio y excluyente del SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO, constituido por las unidades del SI y algunas otras unidades.

Para propósitos de medición, se pueden distinguir entre dos tipos de cantidades: las fundamentales o de base; las suplementarias y las derivadas.

Las cantidades derivadas son aquellas que pueden relacionarse con las fundamentales por sus definiciones, expresadas como relaciones matemáticas. Las unidades de estas cantidades derivadas son expresadas en función de las unidades de las cantidades fundamentales mediante las relaciones de definición.

Entonces, es necesario solamente determinar las cantidades fundamentales y sus unidades para determinar un sistema de unidades.

1 pulgada = 2,54 cm1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cm

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice B: Sistema de Unidades

Curso de Ingreso

B.1.1. Unidades de Magnitudes fundamentales (Unidades de Base)

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica Ampere A

temperatura Kelvin K

intensidad lumínica candela cd

cantidad de materia mol mol

B.1.2. Unidades Suplementarias


Ángulo Plano radián (rad)

Ángulo Sólido estereorradián sr

B.1.3. Unidades Derivadas

Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación sólo se presentarán algunas de ellas.


Área metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad metro por segundo m/s

B.2. Múltiplos y Submúltiplos

Es conveniente introducir unidades más grandes o más pequeñas, que se relacionan a las unidades normales mediante múltiplos de 10, para las cuales se han creado prefijos especiales que indican la potencia de que se trata.

En este caso se conserva el nombre de la unidad de base precedido de un prefijo que también se simboliza sistemáticamente. Los múltiplos y submúltiplos se simbolizan en la siguiente tabla:

Factor conversión Prefijo Símbolo Ejemplo

10 12 tera T 1 terámetro (Tm) = 1x1012 m

10 9 giga G 1 gigámetro (Gm) = 1x109 m

Apéndice B: Sistema de Unidades FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

VIII Curso de Ingreso

Factor conversión Prefijo Símbolo Ejemplo

10 6 mega M 1 megámetro (Mm) = 1x106 m

10 3 kilo k 1 kilómetro (km) = 1x10 3 m

10 2 hecto h 1 hectómetro (hm) = 1x102 m

10 deca da 1 decámetro (dam) = 10 m

10 -1 deci d 1 decímetro (dm) = 0,1 m

10 -2 centi c 1 centímetro (cm) = 0.01 m

10 -3 mili m 1 milímetro (mm) = 0,001 m

10 -6 micro µ 1 micrómetro (µm) = 10 –6 m

10 -9 nano n 1 nanómetro (nm) = 10 –9 m

10 -12 pico p 1 picómetro (pm) = 10 -12 m

10 -15 femto f 1 femtómetro (fm) = 10 -15 m

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice C: Notación Científica

Curso de Ingreso

APÉNDICE C – Notación Científica

En la ciencia y tecnología es común que el valor de una cantidad en términos de unidades es un número muy grande o muy pequeño. Por ejemplo:

• Masa de la tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg

• Masa del electrón: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg

• Número de Avogadro = 602 000 000 000 000 000 000 000 partículas/mol

• Edad de la Tierra: 4 000 000 000 años

• Velocidad de la luz = 299 790 000 m/s

• Longitud de una célula típica = 0,000 050 m

• Longitud de onda de la luz amarilla = 0,000 000 589 m

• Diámetro del núcleo de un átomo: 0,000 000 000 000 003 m

Para trabajar con estas cantidades sin dificultad, se agrupan las cifras en forma más compacta, expresando los lugares decimales como potencias de diez.

Este modo de expresar los números se llama notación científica.

Los números anteriores se expresan así en notación científica:

• Masa de la tierra = 5,98 1024 kg

• Masa del electrón = 9,11 10-31 kg

• Número de Avogadro = 6,02 1023 partículas/mol

• Edad de la Tierra: 4 109 años

• Velocidad de la luz = 2,9979 108 m/s

• Longitud de una célula típica = 5 10-5 m

• Longitud de onda de la luz amarilla = 5,89 10-7 m

• Diámetro del núcleo de un átomo: 3 10-15 m

En general para expresar un número en NOTACIÓN CIENTÍFICA se lo debe escribir de la siguiente forma:

donde: N es un número real de una sola cifra entera distinta de cero (1≤ N < 10) y nes un número entero.

La notación científica permite captar rápidamente el orden de magnitud de una cantidad por medio del exponente n.

Así, por ejemplo:

• 2,34 106 representa millones de los que hay 2,34

N 10n

Apéndice C: Notación Científica FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

XII Curso de Ingreso

• 3 10-4 representa diezmilésimos de los que hay 3

Por otra parte, el uso de la notación científica facilita notablemente las operaciones a realizar.

C.1. Operaciones con notación científica

C.1.1. Suma y resta

Los números expresados en notación científica se pueden sumar y restar directamente si tienen el mismo exponente en la potencia de diez. En este caso, se suman o restan los coeficientes manteniendo el mismo exponente.

Ejemplos:

a. 121212 10 8,1 104,9 103,2 =+

b. -10-10-10 10 7,2 102,7 -108,9 =

Si los exponentes de las potencias de diez no son iguales, deben igualarse antes de realizar la operación.

Ejemplos:

a. 88886 10 3,04 103100,04 103104 =+=+

b. -7-7-7-8-7 10 4,6 100,4 -105104-105 ==

c. -5-5-5-5-7 10 5,868-105,9 -100,032 105,9 -103,2 ==

C.1.2. Multiplicación y división

Los números en notación científica se pueden multiplicar y dividir aun cuando no tengan el mismo exponente en la potencia de diez. Primero se multiplican o dividen los números que anteceden a la potencia de diez y luego se opera con las potencias de diez.

Ejemplos:

a. -12-13-6-7 101,21012107,5101,6 ==⋅

�Para escribir estos números en la calculadora se deberá marcar:

N EXP n ó

N EXP n TECLA +/- (para el caso en que n sea un número negativo)

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice C: Notación Científica

Curso de Ingreso

b. 57-

-210 4

10 210 8 =

c. 10 2,7 102710 2

10 6109 02-

5-7==⋅

d. 2621

51038,1

1011038,1

⋅=⋅

⋅− kg

kg

C.1.3. Potencia de potencia

Al elevar una potencia a un exponente dado se obtiene otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes dados.

Ejemplos:

a. 1234 10 =)(10

b. -2044-5 10 4=)10(4

Apéndice D: Aproximación y Redondeo FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ

XIV Curso de Ingreso 2008

APÉNDICE D – Aproximación y Redondeo

Para operar con números decimales de muchas cifras, se emplean valores aproximados.

Por ejemplo: Dado el número real 5 ; es un número irracional, por lo cual tiene un número infinito de cifras decimales no periódicas. La calculadora da una aproximación:

977406723625 ,≅

Las aproximaciones pueden ser por defecto o por exceso.

La aproximación por defecto es cuando el cálculo aproximado es menor que el número dado.

La aproximación por exceso es cuando el cálculo aproximado es mayor que el número dado.

En el ejemplo la aproximación es por defecto, es decir: 597740672362 <, . El número

racional 2,236068 es una aproximación por exceso, es decir: 50682362 >, .

En la práctica el redondeo consiste en aumentar en una unidad la última cifra conservada siempre que la primera omitida sea mayor o igual que 5.

En el ejemplo anterior al aproximar 5 a los centésimos, resulta: 2425 ,≅

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice G: Trigonometría

Curso de Ingreso XV

APÉNDICE E – Cifras Significativas

Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de medición posee una graduación mínima:

Se podrá afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada o determinada “a ojo”, así por ejemplo, se puede estimar L = 33,5 cm.

En este caso (cuando se realizó una medición directa con un instrumento de medición conocido) las cifras significativas del valor medido, están determinadas por todos los dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito estimado.

En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar así:

33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m

Es notorio que el número de cifras significativas es tres.

En realidad, la precisión asociada con la medida de una cantidad depende no sólo del aparato de medición utilizado, sino de otros factores, como: técnica de medición utilizada y número de mediciones efectuadas.

Apéndice G: Trigonometría FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

Curso de Ingreso XVI

La precisión o incertidumbre en la medición de una cantidad permite definir el número de cifras significativas asociadas con esa cantidad.

Por ejemplo, si como resultado de una medición se obtiene: %, 189643642 ± significa que la incertidumbre es alrededor de 6. Entonces, el número tiene sólo 3 cifras significativas, y, debe expresarse como: %1643 ± ó 6643 ± .

Si no se especifica la precisión en la medida de una cantidad física, pueden considerarse que todas son cifras significativas, y la última cifra es la afectada por la incertidumbre en una unidad de su orden. En este caso, el número de cifras significativas es la cantidad de dígitos que el mismo posee, sin tener en cuenta los ceros a la izquierda.

Cuando se realizan una serie de operaciones algebraicas usando números con una precisión establecida, el procedimiento más simple es realizar las operaciones, sin tener en cuenta la cantidad de cifras significativas. El resultado debe expresarse con el mismo número de cifras significativas que el menos preciso de los números.

Ejemplos:

• 1 234,56 m tiene 6 cifras significativas.

• 1 002,5 m tiene 5 cifras significativas

• 0,000 456 m tiene 3 cifras significativas

• 0,004 56 kg tiene 3 cifras significativas

• 400,00 g tiene 5 cifras significativas

• 0,010 20 m tiene 4 cifras significativas

Para los números expresados en notación científica se siguen las reglas anteriores en su parte numérica. La potencia no se tiene en cuenta en el número de cifras significativas.

Ejemplos:

• El número 4100923, tiene 4 cifras significativas.

• m1041 2, tiene dos cifras significativas

Existen varias reglas usadas para expresar las incertezas que vale la pena enfatizar.

Por ejemplo si se mide la aceleración de la gravedad g, sería absurdo escribir el resultado como:

g = (9,79 ± 0,02385) m/s2.

¡No hay forma de conocer la incerteza en la medición con cuatro cifras significativas!

En trabajos de gran precisión, las incertezas se establecen a veces con dos cifras significativas, pero para nuestros propósitos es posible establecer la siguiente regla:

Regla para establecer las incertezas Las incertezas experimentales deben ser redondeadas en la mayor parte

de los casos a una sola cifra significativa.


Curso de Ingreso XVII

Por lo tanto, si un cálculo resulta en una incerteza 2m/s 0.02385 =∆g , la respuesta debe

redondearse a 2m/s 0.02 =∆g , y el resultado anterior debe escribirse

g = 9,79± 0.02 m/s2.

Esta regla tiene sólo una excepción significativa. Si el primer dígito en la incerteza x∆ es un 1, entonces puede ser mejor mantener dos cifras significativas en x∆ .

Por ejemplo, supongamos que un cálculo resulta en una incerteza x∆ = 0,14. Redondear este número a x∆ = 0.1 resulta en una disminución substancial (del orden del 40%!), de forma tal que podemos afirmar que es más correcto en este caso retener dos cifras significativas, escribiendo la incerteza como x∆ = 0,14.

Una vez que se ha estimado la incerteza en la medición, deben considerarse las cifras significativas del valor medido. Un resultado escrito como

rapidez = (605 1.78 ± 30) m/s

es obviamente ridículo. La incerteza de 30 significa que el dígito 5 podría ser realmente tan pequeño como 2 o tan grande como 8. Claramente, los dígitos siguientes 1, 7 y 8 no tienen ningún significado y debieran ser redondeados. Es decir que la forma correcta de escribir este resultado es

rapidez = (605 10 ± 3 10) m/s.

La regla general es:

Regla para escribir los resultados

Regla para escribir los resultados La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de

magnitud (estar en la misma posición decimal) que la incerteza.

Ejemplo:

La medición 92.81m con una incerteza de 0.3m debe escribirse: (92.8 ± 0.3) m.

Si la incerteza es 3 m; el resultado de la medición debe expresarse: (93 ± 3) m

Se debe tener en cuenta que se hace referencia a cómo expresar el resultado final. Las reglas de redondeo obviamente no se aplican a cálculos intermedios.

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ Apéndice F: Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes

Curso de Ingreso XVIII

APÉNDICE F - Fórmulas de Perímetros, Áreas y Volúmenes más usadas

Figura Geométrica Perímetro Área

Triángulo L:Equilátero 3

bL:Isósceles +2 2hb ⋅

Cuadrado 4.L L2

Rectángulo 2b + 2h b.h

Trapecio b + B + 2L ( )

2h.bB +

Rombo 4 L2

dD ⋅

Circunferencia 2πR = π. D ---------

Círculo ------------ π.R2

Cuerpo Geométrico Volumen

Cubo a3

Paralelepípedo largo x ancho x alto

Cilindro recto π R2 h

Cono circular recto 3

1π R2 h

Esfera 34πR3

F.1. Fórmula de cálculo de densidad volumétrica

VM=δ

M: Masa del Cuerpo

V: Volumen que ocupa el cuerpo


Curso de Ingreso XIX

APÉNDICE G – Trigonometría

G.1.- Relaciones que existen entre los valores del seno y del coseno cuando el ángulo pertenece al segundo, tercer o cuarto cuadrante referido a los valores de un ángulo del primer cuadrante:

• Si IIc∈α

( )α−π=α sensen

( )α−π−=α coscos

• Si IIIc∈α

( )π−α−=α sensen

( )π−α−=α coscos

• Si IVc∈α

( )α−π−=α 2sensen

( )α−π=α 2coscos

G.2.- Funciones trigonométricas de ángulos complementarios

Si βα y son complementarios, se cumple:

β=αβ=αβ=α

ecgtg

sen

cosseccot

cos

G.3.- Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios

Si βα y son suplementarios, se cumple:

β−=αβ=α

β−=αβ−=αβ−=α

β=α

ecec

ggtgtg

sensen

coscossecsec

cotcot

coscos

G.4.- Funciones trigonométricas de ángulos opuestos:

El opuesto de un ángulo α es -α.

Apéndice G: Trigonometría FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ

Curso de Ingreso XX

( )( )

( )( ) α−=α−

α−=α−α=α−α=α−

ggtgtg

sensen

cotcot

coscos

G.5.- Funciones trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos

( )( )( )( )

( )

( )βα+β−α=β−α

βα−β+α=β+α

βα+βα=β−ααβ−βα=β−αβα−βα=β+ααβ+βα=β+α

tgtgtgtgtg

tgtgtgtgtg

sensensensensen

sensensensensen

1

1

..cos.coscoscos.cos...cos.coscoscos.cos.

G.6.- Funciones trigonométricas para el ángulo doble y el ángulo mitad

α−

α=α

α−α=α

αα=α

2

22

122

cos2cos

cos.22

tgtgtg

sen

sensen

α+α=

αα−=α

α+±=α

α−±=α

cos1cos1

2

2cos1

2cos

2cos1

2

sensen

tg

sen

G.7.- Sumas y diferencias de senos y cosenos

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

222coscos

2cos

2cos2coscos

2cos

22

21cos

coscos21coscos

coscos21

β−αβ+α−=β−α

β−αβ+α=β+α

βαβ±α=β±α

β−α+β+α=βα

β−α+β+α=βα

β+α−β−α=βα

sensen

sensensen

sensensen

sensen

m


Curso de Ingreso XXI

G.8.- Otras identidades trigonométricas

( )

( )2

2cos12

2cos1cos

2

2

α−=α

α+=α

sen

APÉNDICE A – Conjuntos ...........................................................

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