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Apéndice: Afinaciones y temperamentos Alfonso del Corral

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APÉNDICE:AFINACIONES Y TEMPERAMENTOS

INTRODUCCIÓN

La escala de do mayor que se muestra a continuación, con sus respectivas distancias de tono y semitono, es tal y como se concibe hoy en día:

Dichas distancias se miden por medio de los intervalos, que constan a su vez, de una categoría numérica y una especie. El más elemental es el de octava justa que resulta entre una nota y la siguiente con el mismo nombre, es decir, entre do-do’. En el ámbito de una octava, se establecen una serie de intervalos internos entre notas o intervalos con respecto a la nota principal, que llamaremos tónica.

Aunque pueda parecer sorprendente, la distancia entre dos notas cualesquiera forma un continuo de manera que entre ellas hay, en realidad, infinitas. Para poder escuchar todos los sonidos intermedios debemos producir un glissando, por ejemplo, con un violín. El hecho de poder producir infinitas notas entre dos notas cualesquiera supuso una dificultad enorme para la afinación de una escala ya que las distintas notas podrían tener proporciones distintas. Debido a la importancia que ha supuesto el tema de la afinación, haremos un breve recorrido por los principales sistemas desarrollados en occidente: el pitagórico, la entonación justa y el temperamento igual de doce notas.

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Alfonso del Corral Apéndice: Afinaciones y temperamentos

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Frecuencia fundamental

Antes de empezar explicando las cuestiones puramente musicales, daremos algunas nociones sobre física del sonido y la matemática asociada. De esta manera, definiremos el sonido como “la sensación sonora que se produce en el sentido del oído por el movimiento vibratorio de los cuerpos, transmitido por un medio elástico como es el aire”. Se demuestra que, de hecho, un cuerpo no puede producir sonido más que cuando vibra. Los sonidos se distinguen entre sí por tres cualidades esenciales: la altura, la intensidad y el timbre. La altura es la cualidad que permite distinguir un sonido grave de otro agudo. Ésta depende principalmente de la frecuencia (número de vibraciones u oscilaciones por segundo) de la fuente sonora. Así, los sonidos agudos vibran a una frecuencia (f) mayor que los graves. La unidad que representa la frecuencia es el Hertz (Hz). El oído humano sólo puede distinguir sonidos comprendidos entre los 20 y los 20.000 Hz, aproximadamente. El tono, término con el que describimos el sonido no es lo mismo que frecuencia. La frecuencia es una medida física y el tono es una interpretación subjetiva del oído. Es decir, el oído humano no escucha igual que un instrumento científico. La intensidad permite distinguir un sonido fuerte de otro débil y depende de la amplitud de las vibraciones sonoras. El oído humano no podrá percibir un sonido cuya amplitud esté por debajo de un cierto valor mínimo denominado “umbral de audibilidad”. El aumento de las vibraciones provoca una sensación dolorosa. A la intensidad máxima correspondiente al límite soportable por el oído humano se le conoce como “umbral del dolor”. La intensidad sonora se mide en decibelios (dB). Para entender la propiedad del timbre debemos saber que la mayor parte de los sonidos están formados por una frecuencia fundamental más una serie de ondas complejas conocidas como armónicos, cuya frecuencia es mayor que la producida por la frecuencia fundamental. El timbre es la intensidad relativa de estos armónicos y permite que podamos diferenciar varias notas procedentes de distintos instrumentos. Un sonido carente de armónicos (sonido puro) es impersonal, no tiene carácter ni expresión y no puede generarse con ninguno de nuestros instrumentos musicales salvo con el uso de osciladores o dispositivos similares. El instrumento que genera el sonido más puro sería el diapasón, utilizado para la afinación de instrumentos. Al igual que la luz del Sol se descompone siempre de la misma manera en los distintos colores formando el arco iris, una nota es capaz de generar otras notas, todas ellas a unas distancias muy concretas, dadas por la serie armónica. En teoría, la serie se extiende hasta el infinito pero en la práctica el oído humano sólo puede percibir una parte de la misma. La ley, descrita por Joseph Fourier (1768-1830), enunciaba que cada nota, se componía de ella misma y de otras notas, llamadas armónicos, los cuales venían dados por la siguiente serie:

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w4

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Su afinación no se corresponde con nuestro sistema musical


3

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w1

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w3

1011 12 13 14 15 16

Respecto a la figura anterior:

1) Las notas musicales son producto de la vibración del sonido en un medio, en nuestro caso el aire. El número del armónico (situado en cada nota) indica el número de vibraciones respecto al sonido fundamental en el mismo instante de tiempo. De esta manera, si el sonido fundamental es do = 64 Hz, el segundo armónico vibrará a 128Hz (el doble), el tercer armónico a 192 Hz (el triple) y así sucesivamente.

2) Los primeros armónicos (sonidos más graves) contribuyen de manera más notable al fenómeno total del sonido (por ser más intensos) mientras que los últimos (sonidos más agudos) contribuyen en menor medida, pero todos ellos tienen su aportación.

3) El intervalo o distancia entre dos notas es el cociente entre las vibraciones de dos armónicos cualesquiera. De esta manera, las dos primeras notas, que forman un intervalo de octava, se representan matemáticamente como 1:2. A medida que avanza la serie armónica, la distancia entre cada pareja de armónicos consecutivos disminuye.

4) Aquellas notas que se representan con una alteración entre paréntesis indican que su afinación no se corresponde exactamente con la dada por nuestro sistema musical.

En la siguiente figura podemos observar los distintos intervalos que se generan de manera natural en la serie armónica al producir una nota. Estos intervalos se consideran puros ya que son producto de la propia naturaleza del sonido. Una pequeña desviación respecto a los mismos produce “batidos”, efecto que los antiguos consideraban como perteneciente a un intervalo disonante.

Octava justa = 2:1

Para nuestro propósito, solo necesitaremos conocer dos operaciones matemáticas con intervalos:

1) Para sumar intervalos, se multiplican sus razones. Por tanto, una quinta justa (3:2) más una cuarta justa (4:3) da como resultado una octava justa (2:1).

2) Para restar intervalos, se dividen sus razones. Por tanto, una quinta justa (3:2) menos una cuarta justa (4:3) da como resultado una segunda mayor (9:8).

Quinta justa = 3:2

Cuarta justa = 4:3

Sexta mayor = 5:3

Tercera mayor = 5:4

Tercera menor = 6:5

Séptima mayor = 15:8 Semitono mayor = 16:15

Tono mayor = 9:8

Sexta menor = 8:5 Tono menor = 10:9


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Cada una de las maneras de elegir los sonidos que utiliza la música constituye un sistema de afinación. Como sólo tenemos en cuenta el tono de los sonidos, es decir, la frecuencia de su armónico fundamental, podemos identificar un sonido o nota musical con esta frecuencia. Por lo tanto, se trata de elegir en el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos aquéllos que sirven para hacer música y descartar el resto. Los sonidos admitidos por el sistema de afinación se denominarán sonidos afinados o notas musicales. Los sistemas de afinación se dividen en:

1) Afinaciones: cuando todos los números que aparecen multiplicando a una nota patrón son racionales (se pueden expresar por medio de una fracción).

2) Temperamentos: cuando aparece algún número irracional (número que no se puede expresar mediante una fracción).

Por tanto, el término afinación se contrapone al de temperamento puesto que en las primeras los intervalos son justos mientras que en los segundos aparecen intervalos “templados” o aproximados. Esto implica que se ha variado ligeramente la afinación de algunos intervalos, en especial las quintas, para conseguir determinadas ventajas armónicas: terceras aceptables o eliminación de la quinta del lobo, como veremos luego.

Atendiendo a la disposición de las quintas, los sistemas de afinación pueden clasificarse en:

- Sistemas cíclicos: Presentan una disposición de las quintas de forma que no hay ninguna impracticable, sean o no iguales.

- Sistemas regulares: Son aquellos sistemas en los que todas las quintas (o todas menos una) tienen el mismo tamaño.

Los temperamentos, a su vez, pueden dividirse en:

- Temperamento igual: la octava se divide en 12 partes o semitonos iguales. Las quintas quedan ligeramente bajas y las terceras mayores muy altas.

- Temperamentos irregulares: Sistemas en los que más de una quinta es diferente de las demás.

- Temperamentos mesotónicos. En sentido estricto, “de tonos medios” entre el mayor (9/8) y el menor (10/9).

Un intervalo formado por dos sonidos f1 y f2 es justo si f2 es uno de los armónicos que aparece en la serie armónica de f1.


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AFINACIÓN PITAGÓRICA

Pitágoras nació en Samos hacia el 570 a.C y murió en Metaponte el 480 a.C. Sobre el año 512 a.C fundó una escuela que tuvo gran influencia en el sur de Italia y Grecia a la cual acudían personas de todas las edades, que formaron una comunidad científica, filosófica y religiosa dedicada esencialmente al estudio de las matemáticas, la astronomía, la música, la fisiología y la medicina.

Es difícil reconstruir el pensamiento de Pitágoras porque no nos ha quedado ningún escrito suyo; por este motivo, más que de Pitágoras, hablaremos de escuela pitagórica y del conjunto de doctrinas que dicha escuela promovía. Para todos ellos, los números eran la clave del universo y la música no se podía separar de éstos. Se le atribuye a Pitágoras el descubrimiento de que los intervalos de octava (ej. do–do’), quinta (ej. do–sol) y cuarta (ej. do–fa) - reconocidas hacía tiempo como consonancias -, estaban relacionadas con los números.

Para Pitágoras, sólo resultan intervalos consonantes cuando se generan con las proporciones más simples. Ahora nosotros sabemos que esas proporciones son los intervalos generados por los primeros armónicos.

Hay diferentes métodos para averiguar la frecuencia a la que vibra una cuerda. Uno de ellos se basaba en el monocordio. Este instrumento consiste en una única cuerda tensada sobre una caja de resonancia que, mediante un puente deslizante, puede dividirse en distintas partes con la ayuda de una regla. Cuando se divide una cuerda, los segmentos cuyas longitudes tienen la proporción 2:1 hacen sonar una octava, 3:2 una quinta y 4:3 una cuarta, tal como se muestra en la siguiente figura:

Si hacemos sonar 3/4 de la cuerda, producimos la cuarta (relación 4:3)

Si hacemos sonar 2/3 de la cuerda, producimos la quinta (relación 3:2)

Hacemos sonar una nota (unísono) al pulsar una cuerda de longitud L (relación 1:1)

Si hacemos sonar la mitad de la cuerda (L/2), producimos la octava (relación 2:1)

L

L

L

L2

23

34


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Aunque la música griega no utiliza acordes, la consonancia es el motor de todo el entramado armónico: estructura los sistemas (cuarta, quinta y octava) y organiza las tensiones de la melodía. Los teóricos hablan de consonancia en términos de sonidos simultáneos ya que el oído detecta con facilidad si dos notas son consonantes por la ausencia de pulsaciones o batidos. Ello explica que la noción de consonancia esté ligada a la de mezcla: dos sonidos son consonantes si su mezcla es perfecta y forma una sola unidad. Este concepto de consonancia como mezcla encuentra su fundamentación en el concepto pitagórico de razón numérica próxima entre los movimientos que constituyen los sonidos. La gran virtud de la afinación pitagórica está en poder deducir numéricamente cualquier intervalo de la escala diatónica a partir de las dos primeras razones numéricas, o bien los dos primeros intervalos que aparecen en el efecto físico-armónico): octava (2:1) y quinta (3:2). La adición de octavas genera sonidos equivalentes (do–do’), pero no nuevos. La adición de quintas genera nuevos sonidos, pero la segunda quinta crea un intervalo que excede la octava. Por lo tanto, si sumamos quintas (↑3:2) y restamos las octavas correspondientes (↓2:1) podemos calcular todos los intervalos en el ámbito de una octava, tal y como se muestra a continuación:

1) Conociendo los intervalos que están perfectamente afinados, calculamos el resto de notas de la escala diatónica sumando quintas justas (↑3:2) y restando octavas justas(↓2:1):

2) Conociendo los intervalos que están perfectamente afinados, calculamos el resto de notas de la escala diatónica sumando quintas justas (↑3:2) y restando cuartas justas(↓4:3):

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Intervalos perfectamente afinados

↑3:2

1:1 4:3 3:2 2:1

↑3:2 ↑3:2 ↑3:2 ↑3:2

↓2:1 ↓2:1

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1:1 4:3 3:2 2:1

↑3:2 ↑3:2 ↑3:2

↓4:3 ↓4:3


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En ambos casos llegamos al mismo resultado, la escala mayor diatónica con sus respectivas proporciones matemáticas para la afinación de cada intervalo:

Para conocer el intervalo que separa a cada una de las notas de la escala, restamos dos intervalos consecutivos:

La afinación pitagórica se centra en afinar perfectamente los intervalos de octava, quinta y cuarta a costa de desafinar las terceras. La tercera mayor (ej. do–mi) sigue la proporción 81:64 mientras que la tercera menor (ej. la–do) sigue la proporción 32:27, relaciones complejas que las hacen sonar desafinadas respecto a los intervalos generados por la naturaleza. Hay un hecho importante en la afinación pitagórica: los intervalos básicos de octava y quinta son inconmensurables entre sí. Con esto queremos decir que por mucho que avancemos en el círculo de quintas (por muchas quintas que sumemos), jamás llegaremos a un número de octavas exacto. Las doce quintas justas que son necesarias para recorrer el círculo completo no igualan a siete octavas, sino que las sobrepasan. Esta diferencia, conocida como comma pitagórica, provoca que el círculo de quintas no se cierre, formando así una espiral indefinida.

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1:1 9:8 81:64 27:16 243:1284:3 3:2 2:1

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9:8 9:8 9:8 9:8 9:8256:243 256:243

(3:2)12 = 129,7527 = 128

12 quintas ≠ 7 octavas

La nota inicial no está fijada

La nota con que iniciamos el ciclo de quintas dependía del músico por lo que no siempre era la misma. Este hecho dificultaba la práctica musical de dos músicos cualesquiera ya que el hecho de haber escogido notas iniciales distintas provocaba que cada músico tuviese afinadas un conjunto distinto de notas.


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Escogeremos, por ejemplo, la nota do como inicio del ciclo de quintas. Los sonidos llamados enarmónicos no coinciden nunca pero esto no pareció ser un hecho problemático en la música griega hasta que se empezó a aumentar el número de alteraciones en las obras de finales de la Edad Media. Si se desea cerrar la espiral para formar un círculo, es preciso que una de las quintas no tenga la proporción 3:2 sino que sea una comma pitagórica menor. Tal quinta era conocida como quinta del lobo. Solía situarse entre las notas sol# y miÑ y era musicalmente impracticable.

Veamos las ventajas melódicas que se dan con la afinación pitagórica. Para ello, escribiremos la frecuencia (expresada en Hertz) de cada una de las notas de la escala de do mayor y la compararemos con la frecuencia de las notas de la escala de sol mayor y re mayor.

dosol

re

la

mi

sifa#

do#

sol#

re#

la#

mi#si#

El si# es más agudo que el do

dosol

re

la

mi

sifa#

do#

sol#

miÑ

siÑ

fa

Qui

nta

del l

obo

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264 297 334,12 352 396 445,5 501,18 528

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& w w w# w w w w#w

396 445,5 501,2 264 297 334,1 375,9 396

297 334,1 375,9 396 445,5 501,2 563,8 297


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Como podemos observar, modular con la afinación pitagórica es relativamente sencillo. Para el caso de sol mayor, tendremos una nueva nota que será fa# y para el caso de re mayor nos encontraremos con las nuevas notas fa# y do#, teniendo el resto de las notas afinadas como en do mayor. Sin embargo, a pesar de tener una serie de ventajas en cuanto a la modulación, existen también una serie de problemas armónicos, ya que no somos capaces de conseguir ninguna tríada perfectamente afinada.

Antes del año 1000, prácticamente toda composición musical era monódica. Por aquel entonces la principal motivación de los teóricos era la de estudiar las relaciones entre notas en un contexto melódico. Cuando en el siglo XI surgió la polifonía (varias notas sonando simultáneamente), se cantaban solo los intervalos de octava, quinta y cuarta, ya que eran los únicos que estaban perfectamente afinados (resultando agradables al oído) mientras que las terceras eran consideradas disonancias que debían evitarse. Los avances en la teoría y en la notación musical durante los siglos XI, XII y XIII permitieron que los músicos pusieran por escrito la polifonía y desarrollaran progresivamente variedades más elaboradas de composición, como lo fueron el organum, el conductus y el motete, que dieron pie a los conceptos de: dirección, tensión y resolución, rasgos característicos de la música occidental. La música polifónica exige que una nota pueda cambiar su significado tonal en cualquier momento, pasando de ser tercera de un acorde a quinta o séptima de los acordes sucesivos. Sin embargo, ningún sistema de afinación permite que la misma nota desempeñe todas estas funciones sin variar su altura. Por lo tanto, si queremos que en todo momento los intervalos estén afinados con respecto a la serie armónica, las distintas notas de la escala tienen que poder variarse en altura. Esto era posible con instrumentos sin trastes como el violín pero imposible con instrumentos de notas fijas, como el clave.

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3:2

3:2 3:2 3:2

3:2 3:2

81:64

1024:729

32:27 32:27

81:64 81:6432:27 32:27


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ENTONACIÓN JUSTA

El uso cada vez más frecuente de las terceras, hizo necesario un nuevo sistema de afinación, conocida como la entonación justa, basada en mantener puras las terceras, según la relación 5:4 (tercera mayor pura) y 6:5 (tercera menor pura). En torno a 1300, el teórico inglés Walter Odington observó que las terceras mayores y menores de la afinación pitagórica podían considerarse como consonancias ya que se aproximaban a las proporciones simples, anteriormente citadas. Además, se afinaban en la práctica según esta proporción. Esto supuso el fundamento para el reconocimiento de las terceras (y por inversión las sextas) como consonancias en la teoría y práctica musical. Veamos cómo obtener los intervalos de la escala diatónica en la entonación justa con el uso de las terceras puras (5:4) y las cuartas (4:3):

Veamos la escala de do mayor con sus respectivas proporciones matemáticas para la afinación de cada intervalo, observando que todos ellos siguen las proporciones dadas por la naturaleza del sonido:

Para conocer el intervalo que separa a cada una de las notas de la escala, restamos dos intervalos consecutivos:

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1:1 4:35:4 3:2 2:1

↑5:4 ↑5:4

↓4:3

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1:1 9:8 4:35:4 3:2 5:3 15:8 2:1

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9:8

Encontramos dos tipos de tono

9:8 9:816:15 16:1510:9 10:9


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Veamos los problemas melódicos que podían darse con la entonación justa, utilzando el mismo método que utilizamos anteriormente con la afinación pitagórica.

Uno de los inconvenientes de la entonación justa es su dificultad para cambiar de escala ya que una simple modulación a sol mayor produce dos notas distintas. La nota fa# era de esperar ya que es la sensible de la escala pero lo que no era obvio era que, respecto de sol mayor, la nota la se afinara ligeramente más aguda que con respecto a do mayor. Si nuestra intención es modular a re mayor nos encontraremos serios problemas para encontrar afinadas nuestras notas ya que, además de las dos notas que caracterizan a esta escala (fa# y do#), las notas mi y la deberán ser más agudas. Con el fin de afinar la mayor parte de las terceras dentro de la escala mayor diatónica con la relación 5:4, otros intervalos deben estar desafinados, lo que hace que algunos acordes sean inutilizables a menos que se varíe la altura de las notas. Por otro lado, como los músicos utilizaban cada vez más notas ajenas a la escala mayor diatónica, el hecho de mantener puras las quintas y las terceras provocaba que algunas notas (ej. sol# y laÑ) fueran distintas, creando un problema a los intérpretes de instrumentos de teclado o de instrumentos con trastes, como el laúd, que no podían variar la altura de las notas durante la interpretación de la obra.

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264 297 330 352 396 440 495 528

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& w w w# w w w w#w

396 445,5 495 264 297 330 371,3 396

297 334,12 371,3 396 445,5 495 557 297

& w w w w w w w w w

& w w w w w w w w w w w w

3:2

5:4

5:4 5:4

3:2 3:2 3:2

40:27 3:2

6:5

6:56:5

32:27

64:45


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TEMPERAMENTO IGUAL

Se entiende por temperamento aquel sistema de afinación de compromiso que surgió ante la imposibilidad de tener todos los intervalos perfectamente afinados. Fue descrito por primera vez por los teóricos de finales de 1500, pero no fue puesto en práctica hasta dos siglos más tarde ya que sus terceras estaban muy desviadas, intervalo que debía estar perfectamente afinado en la música del Renacimiento. Temperar es “templar”, “suavizar” las consonancias de tal forma que se logre un equilibrio entre todas ellas con la finalidad de hacer practicable una escala. Desde el momento en que aparecieron los temperamentos, surgieron decenas de propuestas para solucionar el problema de la afinación, pero el más conocido hoy en día es el temperamento igual de doce notas, donde la octava (único intervalo perfectamente afinado) se divide en doce partes iguales, cada una de ellas correspondientes a un semitono temperado. En el temperamento igual de doce notas, todos los semitonos son iguales, por lo que nos encontramos con notas distintas que representan el mismo sonido (ej. re#=miÑ). Éstas son conocidas como notas equisonantes o enarmónicas y como dichas notas representan el mismo sonido, el que lo escribamos de una manera u otra dependerá del contexto. La practicidad del sistema temperado, donde el mismo sonido puede ser representado con distintos nombres favoreció su aceptación. Por lo tanto, nuestro sistema musical funciona sólo con doce sonidos o bien, diecisiete notas, tal como se muestra a continuación:

Aunque la guitarra y el piano utilizan este temperamento, ninguno de ellos lo hace de una manera pura ya que los armónicos que generan cada una de las notas afinadas en dichos instrumentos nunca pueden estar afinados según este sistema. Es decir, se limitan a tener temperadas las frecuencias fundamentales, dejando desafinados los armónicos superiores. Los afinadores electrónicos dividen la octava en 1200 partes, llamadas cents. Esto significa que con el temperamento igual, cada semitono corresponde a 100 cents. Resulta más sencillo visualizar la desviación de las notas si se miden en esta unidad, así que elaboremos un cuadro comparando los tres sistemas descritos anteriormente:

Do Do#/ReÑ Re Re#/MiÑ Mi Fa Fa#/SolÑ Sol Sol#/LaÑ La La#/SiÑ Si

Dos notas para un mismo sonido

Do Re Mi Fa Sol La Si Do

Afinación pitagórica 0 204 408 498 702 906 1110 1200

Entonación justa 0 204 386 498 702 884 1088 1200

Temperamento igual 0 200 400 500 700 900 1100 1200


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En el temperamento igual, ninguna nota salvo la octava, está afinada según la serie armónica. Por otro lado, vemos en el caso de la nota mi, que hay tres valores distintos, expresados en cents. Pero, ¿esta diferencia la podemos apreciar? Tras muchos experimentos en laboratorio y con criterios estadísticos, el musicólogo N. A. Garbuzov (1880-1955), estableció que dos notas que disten entre sí ±12 cents (este valor varía con la persona y con el intervalo), se escuchan como si fueran la misma nota. Por este motivo, podemos decir que las cuartas y las quintas temperadas suenan muy bien (2 cents de diferencia respecto a las puras) pero que las terceras suenan altas (+14 cents respecto a las puras). A pesar de las terceras excesivamente altas en el temperamento igual, nuestro oído se ha acostumbrado tanto a ellas, que si oyésemos las terceras puras, probablemente nos sonarían algo apagadas. Ante la imposibilidad física de tener todos los intervalos de una escala perfectamente afinados, las afinaciones y temperamentos estudiados tienen las siguientes características:

1) La entonación justa permite armonías más perfectas pero la modulación a otras escalas genera problemas.

2) El temperamento igual crea armonías imperfectas (por el hecho de corregir todos los intervalos puros) pero permite la modulación a cualquier escala.

Como la afinación de una escala y su modulación a otras es incompatible, debemos valorar qué es lo más importante para nosotros. La decisión fue tomada en el s.XIX, momento en el que empezó a predominar el temperamento igual de doce notas. Según lo estudiado, distinguiremos entre afinación y temperamento. Nos referiremos a afinación cuando el objetivo del sistema sea conseguir consonancias puras, como lo es la afinación pitagórica con las quintas y octavas; o la entonación justa con el intento de combinar terceras y quintas puras. Por otro lado, nos referiremos a temperamentos cuando exista un “ajuste” de consonancias de manera que el sistema adquiera algunas ventajas, como lo es la modulación a otras escalas.

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Bibliografía:

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