APLICACION de Componentes Simetricas .Material Curso

APLICACIONDE

COMPONENTES SIMETRICAS

PARA EL ANALISISDE

SISTEMAS DE POTENCIA

Ingeniero Omar Graterol

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APLICACIÓN DE COMPONENTES SIMETRICAS PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA

“CURSO DE PROTECCIONES ELECTRICAS”

Enero-2010

Sumario

Este curso cubre la aplicación de Componentes Simétricos para el análisis de sistemas de potencia en condiciones de desbalance. Las condiciones de desbalance, ocurren durante situaciones de falla y pueden ser muy difíciles de manejar usando las técnicas de análisis de circuitos básicos. La aplicación de los conceptos de Componentes Simétricos a una red o circuito trifásico de un sistema de potencia en condiciones de desbalance, facilita su análisis.

Conocimientos Específicos o Destrezas a Obtener

Este curso le enseñara los siguientes conocimientos específicos y destrezas:

Entender las diferentes secuencias de los componentes simétricos

Como usar los números complejos o matemáticas complejas para resolver condiciones de falla en un sistema de potencia.

Como convertir cantidades reales en valores por unidad (p.u.)

Como conectar las mallas de las diferentes secuencias para varios tipos de falla.

Entender la correcta aplicación de los componentes simétricos a sistemas de potencia en condiciones de desbalance.

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ContenidoI. Matemáticas básicas de números complejosII. Componentes de SecuenciaIII. Valores Por Unidad (P.U.)IV. Secuencia de RedesV. Ejemplo

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IntroducciónEl análisis de los sistemas eléctricos trifásicos, en estado estacionario, usando los circuitos equivalentes por fase es relativamente fácil de desarrollar. Este método es válido, solamente para sistemas con voltajes y corrientes balanceadas, de igual magnitud en las tres fases y desplazados 120 o y cuando cada fase tiene la misma impedancia. El análisis se hace mucho más difícil, cuando las corrientes y los voltajes están desbalanceados, como ocurre durante fallas no balanceadas. Un ejemplo de fallas no balanceadas, incluyen las fallas de una línea o fase a tierra, doble línea a tierra y fallas línea a línea.

En 1918, Charles Fortescue presento a el “American Institute of Electrical Engineers” (ahora conocido como IEEE) el “Método de Componentes Simétricas aplicado a la solución de redes polifásicas”. Aunque este método es aplicable para sistemas polifásicos de cualquier numero de fases, este será analizado solo para circuitos o redes trifásicas.

La premisa básica de las componentes simétricas, es que un sistema o red trifásica de tres vectores desbalanceados, relacionados entre ellos, puede descomponerse en un sistema de tres conjuntos de vectores. Dos de ellos tienen igual magnitud y están desplazados entre ellos 120º; mientras que el tercero tiene igual magnitud; pero cero desplazamientos entre fases. Los tres set o conjunto de vectores, son conocidos como los conjuntos de vectores de secuencia positiva, negativa y de secuencia cero, que en su conjunto representan el sistema eléctrico.

Para estudiar el uso de las componentes simétricas, primero debemos revisar las matemáticas aplicadas a la solución de componentes simétricas y los cálculos por unidad de un sistema eléctrico. Luego analizaremos los componentes en detalle, incluyendo los esquemáticos y las conexiones entre redes. Finalmente se analizara un ejemplo integrando todos los elementos del análisis de componentes simétricas. Pero primero tendremos la revisión de las matemáticas requeridas.

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I. Matemáticas básicas de números complejosEl uso de las componentes simétricas para el análisis de sistemas eléctricos desbalanceados no siempre es tan directo o fácil. Se requiere de buen entendimiento de los números complejos y de notación y operaciones con vectores. Antes de introducirnos en el análisis de componentes simétricos, necesitamos revisar todo lo relacionado con coordenadas polares y rectangulares, el operador “α” , y multiplicación de matrices.

Coordenadas Polares y RectangularesUn vector escrito en coordenadas polares, puede ser analizado y convertido a coordenadas polares, usando simples ecuaciones trigonométricas. Por lo cual dado una coordinada polar en la forma de “r∠θ”, se puede obtener la coordenada rectangular equivalente según las siguientes formulas:x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)

En notación compleja el resultado puede expresarse en la forma de x+jy.

De la misma forma, una expresión mediante coordenadas rectangulares puede convertirse en coordenadas polares usando las siguientes ecuaciones:r = (x2 + y2)0.5

θ = tan-1 (y/x)Donde,x = Magnitud rectangular en el eje de las X.y = Magnitud rectangular en el eje de las Y.r = Resultante Polar, vector.θ = Angulo Polar, grados.Note que el Angulo en estos ejemplos esta representado en grados y no en radianes. Como un ejemplo de estos cálculos considere la coordenada polar expresada a continuación: 5∠53.13.

La coordenada rectangular será :x = 5 * cos(53.13) ----- Cos(53,3) = 0,597x = 2,988.y = 5 * sin(53.13) ----- Sen (53,3) = 0,801y = 4.

Expresando este resultado como un número complejo el resultado será: 2,988+J4.

Ahora considerando un numero complejo = 1+j1.732. ¿Cuál será su equivalente en notación polar?r = (12 + 1.7322)0.5 = (1 + 3)0,5 = (4)0,5

r = 2.θ = tan-1(1.732/1)

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θ = 60.Por lo cual la equivalencia en notación polar es = 2∠60.Cuando se convierte de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, se debe tener cuidado sobre cual ángulo es que realmente corresponde para presentarlo en el resultado.

Considerando la figura de la derecha, la cual muestra un ejemplo de coordenadas rectangulares, representadas por los puntos en cada cuadrante. El punto “B” en la Fig. 1, es = -1+j1.Usando las formulas presentadas anteriormente, el equivalente polar es:r = (-12+12)0,5 = (2)0,5= 1,414.θ = tan-1(1/-1) = tan-1(-1) θ = -45.

La equivalencia será = 1.414∠-45, pero se debe notar que el ángulo es negativo y esta referenciado al eje de las X. No obstante, cuando el ángulo es referido al lado positivo del eje de las X, el valor seria 135 o. La mayoría de las calculadoras, con este ejemplo, reflejarían un ángulo de 135 o. Este ounto también podría ser reflejado con un ángulo de -225 o, referido al lado positivo del eje de la X. La siguiente tabla, muestra los resultados de los cálculos para los puntos de cada uno de los cuatro cuadrantes indicados en la Fig. 1., para los cuales un calculadora de mano típica mostraría solo los resultados referidos al lado positivo del eje de las X.

Punto Tabla 1.Coordenadas Polares – Convención para expresar el Angulo

Rectangular PolaresR jX r Formula

del ángulo

Angulo dado por

el Calculador

Convención Positiva

A 1 1 1,414 45 45 45B -1 1 1,414 -45 135 135C -1 -1 1,414 45 -135 225D 1 -1 1,414 -45 -45 315

Una forma fácil para resolver este dilema, es adicionar 180 o al ángulo resultante en la nomenclatura polar, cuando este tiene el componente real de la expresión rectangular es

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negativo (Ejemplo -1+j1, -1-j1, etc.). Por otra parte, si el componente imaginario es negativo, se adicionan 360 o al ángulo polar resultante.

Multiplicación de Números ComplejosLa clave para la multiplicación de números complejos, de coordenadas rectangulares, está en el manejo del operador “j”. Hay que recordar que el operador “j”, es igual a la raíz cuadrada de menos uno. Por lo cual “j2” es igual a menos un. Esto expresado en números es:j = Raiz2(-1).yj2 = -1.Considere el siguinete ejemplo. Multiplique 3+j4 * 2+j3. 3 + j4* 2 + j3________ 9j + 12j2

6 + 8j ______________________________________________________________________________________________________________________________________

6 + 17j + 12j2

Ahora como “ j2” es igual a -1, la ecuación resultante se puede simplificar así: 6 + 17j + (12 * -1) = 6 + 17j-12 = -6 + 17j.

Cuando se multiplican coordenadas polares, los valores resultantes se obtienen de la multiplicación de los valores numéricos y la suma de los ángulos.

Por ejemplo, ¿Cuál es el producto de 5∠53.13 y 3.61∠56.31?La resultante del valor numérico será: 5 * 3.61 = 18.05.La resultante del ángulo será: 53.13 + 56.31 = 109.44 o.Entonces el resultado de esta multiplicación será: 18.05∠109.44Este resultado también se puede expresar en coordenadas rectangulares, de la siguiente forma:

x= 18,05 Cos 109,44º = 18,05 Cos 1,91 rad = 18,05*-0,3328119 = -6y= 18,05 Sen 109,44º = 18,05 Sen 1,91 rad = 18,05 * 0,942990 = 17

La resultante expresada en coordenadas rectangulares será : -6+j17.

El Operador “α” El operador “α” es un método abreviado de representar una diferencia o rotación entre fases de 120 o. El operador “α” tiene un valor igual a 1 para 120o :α = 1∠120.Similarmente, α2

= 1∠240 = 1∠−120.En coordenadas rectangulares, el operador “α” es igual a:α = -0.5 + j0.866 y α2

= -0.5 - j0.866.

Matrices

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Matrices en matemáticas es un método para la solución de problemas complejos con ecuaciones múltiples y simultaneas. Una matriz, es un arreglo rectangular de números. Los números pueden ser simples, complejos, o una combinación de ambos.

La matrices son normalmente definidas por el numero de filas y columnas; siempre indicando primero el numero de filas. Por ejemplo, una matriz 2x3, tiene 2 filas y 3 columnas. Además la matrices son normalmente identificadas con letras mayúsculas como por ejemplo la “A”, etc. Los números individuales en una matriz son llamados elementos, y a cada elemento le corresponde a una fila y una columna con los cuales se identifican, por ejemplo el elemento “a11”, para un numero en la primera fila y primera columna. De esta forma un elemento o numero ubicado en “a32”, corresponde al número ubicado en la fila 3 y la columna 2.

Las siguientes matrices son matrices validas y corresponden a ejemplos de los diferentes tipos de matrices según numero de filas y columnas:

Las siguientes ecuaciones pueden ser expresadas en forma de matrices:

3x + 4y = 53x - y = 3

La suma de matrices se efectúa fácilmente, sumando uno con otro, los correspondientes elementos de cada matriz. Para la suma de matrices, las mismas deben tener el mismo

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número de elementos en cada matriz. Por ejemplo ¿Cuál es la suma de las matrices “A” y “B”, indicadas a continuación?

Otra de las actividades comunes en matrices, es la multiplicación de una matriz por un numero escalar; para lo cual solo se multiplica el número escalar, por cada elemento de la matriz. Ejemplo ¿Cuál el resultado de multiplicar la matriz “A” por 3?.

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Para multiplicar dos matrices en las cuales el número de filas en la primera matriz, es igual al número de columnas en la segunda matriz, o sea na matriz 2x1 * una matriz 1x2. Como ejemplo, la forma de multiplicar una matriz del tipo 2x1, por otra matriz del tipo 1x2 es:

Para multiplicar una matriz del tipo 2x2 por otra matriz del tipo 2x2, la forma es:

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Como un ejemplo, se presenta a continuación, la multiplicación de la matriz “A” por la matriz “B”; ¿Cuál es el producto de la matriz “A” * “B”?

Otras matrices pueden ser manejadas de esta forma general.

Uno de los usos de las matrices, es la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Esta aplicación es conocida como la regla de Cramer y requiere que la matriz sea un cuadrado 2x2, 3x3, etc. además requiere encontrar la determinante de la matriz.

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a11

a21

a12

a31

a22

a32 a33

a23

a13 a11

a21

a12

a31

a22

a32

Expansión



La determinante es la reducción de la matriz a un solo valor, para lo cual se requiere expandir la matriz. El proceso de expandir la matriz, es conocido como la menores valores”. Como un ejemplo, usaremos una matriz 3x3:

Matriz expandida. Según la regla de Cramer, con esta matriz expandida y siguiendo las flechas, se plantean las operaciones de la siguiente forma:

(a11* a22* a33)+ (a12* a23* a31)+ (a13* a21* a32)-(a31* a22* a13)- (a32* a23* a11)+ (a33* a21* a12)

La regla de Cramer queda mejor explicada mediante un ejemplo. Considere las siguientes tres ecuaciones para la explicación: 2x + 3y + 4z = 20-x + 2y + 2z = 53x – 3y + 3z = 15¿Cual es el valor de “x” en este ejemplo?

Primero necesitamos encontrar la determinante base. Esta se encuentra expandiendo la matriz a lo largo, incluyendo como extensión la primera y segunda columna. La matriz expandida queda entonces de la siguiente forma:

Las operaciones son las siguientes:

(2*2*3)+(3*2*3)+(4*-1*-3)-(3*2*4)-(-3*2*2)-(3*-1*3) =(12)+(18)+(12)-(24)-(-

12)-(-9)= 39

Determinante Base = 39.

Hoy en día, una forma fácil de encontrar la determinante es usando Excel, mediante la función MDETERM(A1:C3).

2 3 4-1 2 23 -3 3

39Ecuaciones

Determinante

Regla de Cramer en Excel

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Una vez la determinante base es encontrada, se debe encontrar una determinante separada para cada variable en las ecuaciones, mediante la substitución de las constantes en el lado derecho de la ecuación para la columna donde uno desea calcular la variable. En nuestro ejemplo, para resolver o encontrar el valor de x, nosotros debemos substituir las constantes de la primera columna, dando como resultado una determinante que luce como sigue:

Vamos a encontrar el determinante de x:

Las operación son:

(20*2*3)+(3*2*15)+(4*5*-3)-(15*2*4)-(-3*2*20)-(3*5*3) =(60)+(90)+(-60)-(120)-(-

120)-(45)= 105

Determinante de x = 105.

El determinante según Excel será:

20 3 45 2 2

15 -3 3105

EcuacionesDeterminante


Ahora el valor de x, se calcula dividiendo la determinante de x, entre la determinante base:x = 105 / 39 = 2.69.

Las variables “y” y “z”, pueden ser calculadas de la misma forma (Se mantiene la determinante base):

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Determinante de “y” según Excel, será:

2 20 4-1 5 23 15 3

30Ecuaciones

Determinante


Ahora el valor de y, se calcula dividiendo la determinante de y, entre la determinante base:y = 30 / 39 = 0,769

Determinante de “z” según Excel, será:

2 3 20-1 2 53 -3 15

120Ecuaciones

Determinante


Ahora el valor de z, se calcula dividiendo la determinante de z, entre la determinante base:

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z = 120 / 39 = 3,077

Entonces los valores de x, y, z son: x = 2.69 y = 0.769 z = 3.077

Antes de aplicar la regla de Cramer para resolver un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas, las ecuaciones se arreglan de manera que las incógnitas aparezcan de un solo lado, por ejemplo a la izquierda del signo de igualdad, dejando a la derecha los términos independientes. Las incógnitas deben guardar el mismo orden en cada ecuación. Por ejemplo, una ecuación con las incógnitas I1, I2 e I3, I1 puede ser la primera incógnita en cada una de las tres ecuaciones, I2 la segunda y así sucesivamente. Ya vimos que según la regla de Cramer, el valor de cada incógnita, se obtiene dividiendo la determinante de cada incógnita entre la determinante base. Los determinantes de cada incógnita, difieren del determinante base, en una sola columna y esta es la columna correspondiente a la propia incógnita.

Como un ejemplo adicional, tenemos las ecuaciones:

10I1-2I2-4I3 = 32

-2I1+12I2-9I3 = -43

-4I1-9I2+15I3 = 13

Esta es la determinante base, cuyas operaciones son:

(10*12*15)+(-2*-9*-4)+(-4*-2*-9)-(-4*12*-4)-(-9*-9*10)-(15*-2*-2) = (1800)+(-72)+(-72)-(192)-(810)-

(60)=594

I1 I2 I3

Determinante de I1 = 1188

Determinante de I2= -2376

Determinante de I3 = -594

Entonces los valores de I1, I2, I3 son: I1 =1188/594 I2 = -2376/594 I3 = -594/594O sea: I1 = 2 I2 =-4 I3 = -1

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Seguidamente revisaremos los conceptos de componentes de secuencia, aplicados a sistemas eléctricos de potencia.

II. Componentes de SecuenciaLas Corrientes y voltajes en un sistema trifásico, normal, balanceado, son iguales en magnitud con 120 o de separación entre fases, como se indica en la figura 2. En este caso la rotación normal es en el sentido de las agujas del reloj, o sea ABC.

Sin embargo si ocurre una falla de línea a tierra en la fase A, la corriente en la fase A, será mucho más grande en comparación con las otras dos fases sanas, y su representación vectorial será alterada como se muestra en la figura 3, incluida a continuación:

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La condición asimétrica y des balanceada mostrada en la Figura 3, puede resolverse como un sistema balanceado, como se muestra en la figura 4, mediante el uso de componentes de secuencia para representar el sistema trifásico.

El componente de la corriente de secuencia positive mostrado en la Figura 4, es balanceado en magnitud con 120 o de separación entre fases y rotación de acuerdo a las agujas del reloj, exactamente igual como el sistema original, balanceado y con la misma secuencia de rotación. El componente de corriente de secuencia negativa, es igualmente balanceado, con 120 o de separación entre fases, pero con rotación contraria a las agujas del reloj. El componente de corriente de secuencia cero, tiene igual magnitud, no tiene separación entre fases o su separación entre fases es cero.

Si observamos la Figura 4, notaremos que la corriente de secuencia positive esta identificada con el sub-índice 1; por lo cual las Corrientes de fase en esta secuencia se indican como Ia1 , Ib1 y Ic1 . De la misma forma en la Figura 4, se puede ver que las corrientes de secuencia negativa usan el sub-índice 2; y las de secuencia cero, el sub-índice 0. Combinando los componentes de secuencia, para definir con base a estos componentes, las corrientes originales Ia , Ib y Ic, se definen como sigue:Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2

Ib = Ib0 + I b1 + Ib2

Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2

Debido a que los componentes de corriente de secuencia cero son iguales en magnitud, con cero separaciones entre fases, o sea de la misma dirección, las mismas serán iguales para las diferentes fases:Ia0 = Ib0 = Ic0

Tambien debido a que los components de secuencia psoitiva son iguales en magnitude y separados por 120 o , se puede usar el operador “α” para representar las diferentes fases.La fase “C” esta 120 o adelantada de la fase “A” ; por lo cual se puede indicar:

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Ic1 = αIa1

La fase “B” esta 120 o atrasada con respecto a la fase “A”, por lo cual se puede indicar: Ib1 = α2Ia1

Basado en lo anterior, las Corrientes originales pueden ser escritas en términos de las Corrientes en la fase “A”, usando el operador “α”, mediante las siguientes expresiones:

Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2

Ib = Ia0 + α2I a1 + αIa2

Ic = Ia0 + αIa1 + α2Ia2

Se considera normal por convención designar todas las Corrientes referenciadas a la fase “A” , para lo cual se usa el operador “α” (impreso algunas veces como “a”), siendo Ia0 igual a I0, etc.

Si nosotros factorizamos las expresiones de las corrientes de secuencia, y la expresamos en forma de una matriz, la matriz resultante será la siguiente:

Veces se escribe en forma abreviada como se indica a continuación:Iabc = [A] I012

En la próxima sección veremos las bases para usar los valores por-unidad (p.u.), utilizados para simplificar los cálculos de un sistema eléctrico.

III. Valores Por Unidad (P.U.)

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Los sistemas eléctricos en una red pública o en la industria en general, tienen muchas transformaciones de voltaje y corriente. El voltaje en el punto de generación, a la salida de una planta eléctrica, es elevado a los niveles de los voltajes de transmisión, y luego bajado a los voltajes de distribución y de los centros de carga, hasta llegar a los voltajes de utilización. Para facilitar el manejo de estas cantidades y sus correspondientes análisis, es conveniente expresar las diferentes variables del sistema en cantidades por unidad (P.U.) de sus correspondientes valores base. Esto nos permite modelar una red pública, con sus transformaciones de voltaje, corriente, etc., en una base común sin las complicaciones de las transformaciones y cambios de sus variables como resultado de las transformaciones.Los valores por-unidad están definidos como la relación entre la cantidad real y su valor base, expresado como un decimal. Para modelar un sistema eléctrico en valores por-unidad, se deben elegir los valores base de por lo menos dos de las cuatro cantidades o variables (Voltaje, Corriente, Impedancia o Potencia). Las otras dos cantidades o variables, se establecen automáticamente mediante la aplicación de la ley de Ohm.

Las bases mas comunes para el análisis de una red pública (Utility), son la potencia y el voltaje. Nosotros usaremos 100 MVA como la base de potencia y 115 kV (Voltaje Línea a Línea) como el voltaje base. El voltaje base (VBase ) para convertir al sistema por-unidad, está basado en el voltaje nominal real (VActual) en ese punto del circuito; sin embargo la potencia base (PBase ) es constante en el circuito. Las formulas para convertir a valores por-unidad, se indican a continuación:

VPU = VActual / VBase

PPU = PActual / PBase

IPU = (IActual * 1.732 * VBase) / PBase

ZPU = (ZActual * PBase) / (VBase)2

Algunas veces es necesario, convertir desde una base a otro valor base. Por ejemplo, las impedancias de los generadores y de los transformadores son indicados en sus especificaciones, con base a sus potencias nominales de cada unidad; y si estas no son iguales, se requiere convertir los valores p.u., a sus nuevas bases según sea requerido. En este caso los valores p.u., se determinan como se indica a continuacion:

ZPU Nueva = ZPU Vieja * (VBase Vieja / VBase Nueva)2 * (PBase Nueva) / PBase vieja)

DondeVPU = Voltaje, p.u.PPU = Potencia, p.u.IPU = Corriente, p.u.ZPU = Impedancia, p.u.VActual = Voltaje Actual, kilovolts.VBase = Voltaje Base, 115 kV.PActual = Potencia Actual, Megavolt-amps (MVA).PBase = Potencia Base, 100 MVA.IActual = Corriente Actual, amps.ZActual = Impedancia Actual, ohms.ZPU Vieja = Impedancia en la base original, p.u.

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VBase Vieja = Voltaje en la Base Original, kilovolts.PBase Vieja = Potencia en la Base Original, MVA.

Consideremos el siguientes ejemplo, donde una línea de transmisión de 115 kV cuya impedancia expresada en forma rectangular es 4+j5 ohmios, esta en serie con un transformador de 115 kV:12.47 kV, de 20 MVA , con una impedancia del 7.5%; de donde sale una línea de distribución en 12.47 kV, con una impedancia expresada en forma rectangular de 3+j6-ohms. Asumiendo un voltaje base de 115 kV y una potencia base de 100 MVA, ¿Cuales son los valores p.u. para este sistema?

Para la primera linea de transmission, la impedancia p.u. es:ZPU = (ZActual * PBase) / (VBase)2

ZPU = (4+j5 * 100) / (115)2 = (4+j5)*0,00756 = 0.0302+j0.0378

Convirtiendo este valor de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, la impedancia p.u. es:r = (x2 + y2)0.5

θ = tan-1 (y/x)

r= (0,03022+0,03782)0,5 = 0,048θ = tan-1

(0,0378/0,0302) = tan-11,25= 0,896 rad. = 51,38 oZPU = 0.048∠51.38.

Para el transformador se asumirá que toda impedancia del transformador es reactiva; o sea de desprecia la resistencia. La impedancia p.u. sera:

ZPUTx= 7,5% = 0,075 p.u. ZPU Nueva = ZPU Vieja * (VBase Vieja / VBase Nueva)2

* (PBase Nueva) / PBase vieja)ZPUTx = (0.075 * (115/115)2

* (100 / 20) = j0.375.

Aunque realmente no es necesario, ya que podemos operar la impedancia en la forma rectangular, vamos a convertir esta impedancia expresada en forma rectangular a la forma polar; esto facilita o simplifica el cálculo. La impedancia p.u. de la segunda linea es:ZActual = 3+j6r = (x2 + y2)0.5

θ = tan-1 (y/x)

r= (32+62)0,5 = (45)0,5= 6,71θ = tan-1

(6/3) = tan-12= 1,107 rad. = 63,43 oZActual = 6,71∠63,43.ZPU = (ZActual * PBase) / (VBase)2

ZPU = (6.71∠63.43 * 100) / (12.47)2 = 4.32∠63.43

En coordenadas polares ZPU =1.93+j3.86.

Notese que para la segunda linea, el voltaje base es el voltaje nominal del sistema en este punto (12,47 kV).

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Ahora que hemos completado la conversión a p.u., no se consideran los diferentes niveles de voltaje y para el análisis; por lo cual las impedancias pueden ser simplemente sumadas unas con otras aunque sean de diferentes niveles de voltaje.

La impedancia total del circuito será entonces:

ZCircuito = 0.0302+j0.0378 + j0.375 + 1.93+j3.86 = 1.96+j4.27

Por supuesto que después del análisis usando valores p.u., los valores deben ser convertidos a valores actuales o reales. Las formulas anteriores pueden ser re-arregladas para encontrar los valores actuales o reales. Por ejemplo, ¿Cuál es el valor actual de una corriente p.u. de 3.58∠-39?

Re-arreglando la formula de corriente p.u., tenemos:

IActual = (IPU * PBase) / (1.732 * VBase)IActual = (3.58∠-39 * 100) / (1.732 * 115) * 1,000IActual = 1,797∠-39 amps.

Notese que aunque usamos 115 kV como voltaje base, pero la potencia base fue usada en MVA, el valor obtenido de corriente se multiplico por 1000 para igualar las unidades o corregir las diferentes unidades de las dos bases usadas. Esta multiplicación no será necesaria, cuando usemos las unidades con bases equivalentes (Ejemplo kV y kVA en lugar de kV y MVA).

Ahora que ya vimos y tenemos las bases de matemáticas complejas, sistemas por-unidad, y los componentes del sistema, pasaremos a estudiar las secuencias de redes aplicadas a sistemas eléctricos.

IV. Secuencia de RedesEl primer paso para calcular los voltajes y Corrientes de secuencia, es ajustar o poner a punto la red para el análisis de secuencia de la red.

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Cada dispositivo en un circuito, puede ser representado por sus correspondientes componentes de secuencia positiva, negativa y de cero secuencia. La primera parte de esta sección incluye los esquemáticos de secuencia para dispositivos típicos de una red pública, como por ejemplo generadores, líneas de transmisión y transformadores. La segunda parte cubre la conexión de los diagramas de fallas, o los diagramas de conexión de secuencias de redes eléctricas.

Esquemáticos de los Componentes de SecuenciaEl diagrama de la Figura 5, es el esquemático de los componentes de secuencia para un generador. La secuencia cero está representada por una simple impedancia X0, en serie con una impedancia equivalente a 3 veces la impedancia de neutro (3Zn); sin embargo la impedancia de neutro es frecuentemente considerada despreciable, en cuyo caso este término no aparece representado. La secuencia positiva tiene una fuente de voltaje (a 1 p.u. del voltaje) en serie con la impedancia de secuencia positiva. La reactancia que se usa para la secuencia positiva, es la reactancia sub-sincrónica “Xd”, aunque esta refleja el valor inicial de corriente durante una condición de falla, que generalmente es más alta y en todo caso transitoria. La impedancia de secuencia negativa es la misma que la impedancia de la secuencia positiva. Nótese que la fuente de voltaje esta solamente en la secuencia positiva. La secuencia positiva representa el sistema en condiciones normales de operación, es decir en ausencia de falla.

La Figura 6 representa el esquemático de secuencia de una línea de transmisión. Una línea de transmisión está compuesta naturalmente por una resistencia y una reactancia

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en serie, y en algunos casos con unas capacitancias en paralelo. La reactancia en serie es relativamente pequeña y es usualmente ignorada para muchos de los cálculos de fallas al igual que la capacitancia, la cual es relativamente alta (Reactancia capacitiva baja). Las secuencias positiva y negativa son iguales, pero la secuencia cero puede ser normalmente un valor diferente.

El esquemático de secuencia de un transformador varia según las conexiones del transformador (conexión delta o estrella del primario y secundario). La Figura 7 muestra las conexiones para un transformador conectado en estrella-estrella (Y-Y), el cual como se puede ver, es igual al esquemático de la línea de transmisión. Por cierto que la

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secuencia cero, tiene la impedancia del neutro en serie, pero al igual que en el esquemático del generador, generalmente se ignora.

Es importante destacar, que las corrientes de cero secuencia no circulan por el transformador conectado el delta. La Figura 8 muestra el esquemático de secuencia para un transformador conectado en estrella-delta (Y-D)

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Conexiones de Secuencia en Redes EléctricasUsando los esquemáticos de los equipos componentes de una red eléctrica, la misma puede ser modelada incluyendo todas las tres secuencias. Para el análisis de fallas, el circuito equivalente debe ser modelado desde el punto de vista de la falla. Luego la red

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que incluye las tres secuencias (Positiva, Negativa y Cero), reducida a una simple impedancia o una impedancia y fuente de voltaje para la secuencia positiva. Una vez que la red es reducida a un simple valor, los diferentes componentes de red son interconectados para representar el tipo de falla bajo estudio. Por ejemplo, la Figura 9 muestra las conexiones de secuencia de una falla trifásica. Como se puede ver para una falla trifásica, la malla de la falla no está interconectada.

En contraste con la falla trifásica, mostrada en la Figura 9, una falla de simple linea a tierra, si esta interconectada, como se muestra en la Figura 10. Para estas fallas de linea a tierra, la red integrada está conectada en serie, con la corriente de secuencia positiva fluyendo hacia el circuito de secuencia cero, y a su vez la corriente de secuencia cero

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fluye hacia el circuito de secuencia negativa, y la corriente de secuencia negative fluye hacia el circuito de secuencia positive. La impedancia de falla, si existiera, será multiplicada por tres para representar el efecto en la falla para los tres componentes de secuencia.

La siguiente falla analizada y mostrada en la Figura 11, es una falla línea a línea. En este caso la malla de secuencia cero, no está envuelta en la falla y las secuencias positiva y negativa están en paralelo. Ver esta conexión en la Figura 11.

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El caso final muestra una falla de doble línea a tierra, la cual se muestra en la Figura 12. En este caso, al contrario que la falla de simple línea a tierra, las tres secuencias están conectadas en paralelo.

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Las mallas de secuencia y las componentes simétricas, se entienden major mediante un ejemplo. La siguiente sección incluye un ejemplo de un sistema eléctrico fallado y la aplicación de componentes simétricos.

V. EjemploLlevando a la práctica todo lo anterior, ahora convertiremos el siguiente circuito en sus respectivas mallas de secuencia, incluyendo sus valores, y esquemáticos para obtener

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los valores de la falla en el punto “C”. El circuito está formado por dos generadores con sus transformadores elevadores, interconectados por una línea de transmisión de 115 kV. Asumiremos que la falla ocurre en el punto medio entre los dos generadores. Ver la Figura 13.

El Generador #1 es de 30 MVA, 25 kV, Impedancia de secuencia positiva de 22%, Impedancia de secuencia cero de 8%.

El transformador elevador Tx1, eleva el voltaje de 25 kV a 115 kV, con una potencia de 40 MVA, conectado Y-Y, con una impedancia del 15%.

El Generator #2 es de 40 MVA, 13.2 kV, Impedancia de 15%, Impedancia de secuencia cero de 6%.

El transformador elevador Tx2, eleva el voltaje de 13,2 kV a 115 kV, con una potencia de 50 MVA, conectado D-Y, con una impedancia del 8,5%.

La línea de transmisión line #1 es una línea en 115 kV, con 8-ohmios de impedancia y una impedancia de secuencia cero de 16-ohmios. (El impacto de la Resistencia de la línea es despreciable y en esta caso se omite para los cálculos de falla)

La línea de transmisión line #2 es una línea en 115 kV, con 6-ohmios de impedancia y una impedancia de secuencia cero de 15-ohmios. (El impacto de la Resistencia de la línea es despreciable y en esta caso se omite para los cálculos de falla)

En la Tabla 2 se muestra un resumen de los parámetros de este circuito:

Tabla 2Componentes del Sistema

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Componente MVA Nominal

Voltaje (kV)

X1 X2 X0

Generador 1 30 25 22% 22% 8%Generador 2 40 13,2 15% 15% 6%Transformador 1 40 25/115 8% 8% 8%Transformador 2 50 13,2/115 8,5% 8,5% 8,5%Linea 1 - 115 0+j8 Ω 0+j8 Ω 0+j16 ΩLinea 2 - 115 0+j6 Ω 0+j6 Ω 0+j15 Ω

Para efectuar los análisis de la falla correspondientes a este problema, seguiremos el siguiente procedimiento: 1. Se determinan las impedancias de los componentes y se convierten a valores p.u., en una base común.2. Se dibujan los circuitos de las secuencias positive, negativo y de secuencia cero.3. Se reducen los circuitos a un circuito equivalente con una simple impedancia.4. Se conecta el circuito equivalente para representar el tipo de falla en studio.5. Se analiza la falla.6. Se convierten los valores p.u., a valores reales.

Paso #1. Conversión a valores p.u.Usando la Table 2 nosotros podemos convertir cada uno de los valores de secuencia positive, negativo y cero secuencia.1-a. Se convierten las impedancias a una base común. Usaremos como bases.100MVA115 kV.

Para los valores de la Tabla 2 dados en % de la capacidad nominal de los equipos (Generadores y Transformadores), se obtienen los valores p.u., dividiendo por 100, y luego se convierten a la nueva base, usando la siguiente fórmula:

ZPU Nueva = ZPU Vieja * (VBase Vieja / VBase Nueva)2 * (PBase Nueva) / Pbase Vieja)

Para el generador #1, la secuencia positive y negativa es como sigue:Gen1X1 y X2 = 0.22 * (25/115)2

* (100/30) = 0.0347 p.u..La secuencia cero es:Gen1X0 = 0.08 * (25/115)2 * (100/30) = 0.0126 p.u..

Para el generador #2, la secuencia positive y negativa es como sigue:Gen2X1 y X2 = 0.15 * (13.2/115)2

* (100/40) = 0.0049 p.u..La secuencia cero es:Gen2X0 = 0.06 * (13.2/115)2

* (100/40) = 0.0020 p.u..

Para el transformador #1, la secuencia positiva, negativa y secuencia cero, las cuales son iguales, es como sigue:Transformador1 X1 = 0.08 * (115/115)2

* (100/40) = 0.2000 p.u..X1 =X2 = X0 = 0.2000 p.u..

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Para el transformador #2, la secuencia positiva, negativa y secuencia cero, las cuales son iguales, es como sigue:Transformador2 X1 = 0.085 * (115/115)2 * (100/50) = 0.1700 p.u..X1 =X2 = X0 = 0.1700 p.u..

Los valores p.u. para las líneas de transmisión (LT), se determinan mediante la siguiente fórmula:ZPU = (ZActual * SBase) / (VBase)2

Para la LT #1, la secuencia positive y negativa es como sigue:TL1X1 y X2 = (8 * 100) / 1152

= 0.0605 p.u..La secuencia cero es:TL1X0 = (16 * 100) / 1152

= 0.1210 p.u..Para la LT #2, la secuencia positive y negativa es como sigue:TL2X1 y X2 = (6 * 100) / 1152 = 0.0454 p.u..La secuencia cero es:TL2X0 = (15 * 100) / 1152

= 0.1134 p.u..

Etapa 2. Dibuje los circuitos de secuencia positive, negativa y cero secuencia.

Usando el circuito de la Figura 13, podemos dibujar los circuitos de secuencia positive, negativa y cero secuencia como se indican en las siguientes figuras. La Figura 14 es el circuito esquemático para la secuencia positiva de las dos fuentes de suministro indicadas en el circuito de la Figura 13. Los componentes individuales están conectados, basados en los diagramas indicados previamente en la sección IV.

La Figura 15 muestra el esquemático de la secuencia negativa, la cual es la misma que la secuencia positiva, excepto que las fuentes de voltaje no están presentes. Las fuentes de voltaje, se muestran solo en los esquemáticos de la secuencia positiva, excepto para el caso de existan algunos motores.

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La Figura 16 es el esquemático de Cero secuencia. Al igual que el esquemático de la secuencia negativa, este circuito no tiene fuentes de voltaje. Nótese que el transformador #2, el cual está conectado entre los nodos “D” y “E”, con su conexión en Y-D, impide la circulación de corriente de secuencia cero desde el generador #2 hasta el punto de la falla en el nodo “C”.

Etapa #3. Reduzca los circuitos a un circuito equivalente, con una simple impedancia.

Los circuitos presentados en la Etapa #2 se reducen a una simple impedancia.

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En el caso de la secuencia positiva con dos fuentes de voltaje, se reduce a una sola fuente de voltaje, para lo cual se utilizan las técnicas estándar de reducción. Específicamente en este caso, con la falla en el nodo “C”, quedarían las impedancias A, B y C en serie (0,2952 p.u.) , y las impedancias D, E y F en serie también (0,2203 p.u.), y finalmente estas dos en paralelo, dando como resultado una simple impedancia de secuencia positiva de 0.1262 p.u.. Las dos fuentes de voltaje, también se consideran en paralelo, con 1 p.u. c/u. dando como resultado una sola fuente de 1 p.u..

En el caso de la secuencia negativa, sin fuentes de voltaje, quedarían las impedancias A, B y C en serie (0,2952 p.u.) , y las impedancias D, E y F en serie también (0,2203), y finalmente estas dos en paralelo, dando como resultado una simple impedancia de secuencia negativa de 0.1262 p.u..

En el caso de la secuencia cero, sin fuentes de voltaje, quedarían las impedancias A, B y C en serie (0,3336 p.u.) , y las impedancias D, E en serie también (0,2834 p.u.), y finalmente estas dos en paralelo, dando como resultado una simple impedancia de secuencia cero de 0.1532 p.u..

La Figura 17 muestra los circuitos resultantes:

Etapa #4. Conexión de los circuitos equivalentes para el tipo de falla bajo estudio.

Los circuitos equivalentes mostrados en la Figura 17, pueden ser conectados para el tipo de falla bajo estudio. En la sección IV, se indico como se deben conectar estos circuitos

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para una falla monofásica a tierra; por lo cual el circuito equivalente de estos circuitos conectados, quedara de la siguiente forma:

Para una falla monofásica a tierra, según se muestra en la Figura 18, la conexión es un circuito serie, con la fuente de voltaje y todas las impedancias en serie.

Etapa #5. Análisis de la falla.

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Para analizar la falla usaremos las técnicas estándar de reducción de circuitos, con lo cual se simplifica el circuito. En la Figura 19 se muestra el circuito equivalente para una falla monofásica a tierra.

Como se trata de un circuito en serie, con la fuente y las impedancias en serie, la técnica de reducción simplemente la suma de las impedancias.

A partir de este circuito, ahora podemos calcular la corriente que fluye en el circuito, según se indica a continuación:

I = (1∠0) / (0+j0.4056) = -j2.4655.Conversión de (0+j0.4056)r = (x2 + y2)0.5

θ = tan-1 (y/x)

r= (02+0,40562)0,5 = (0,16451136)0,5= 0,4056θ = tan-1

(0,4056/0) = tan-1= 90 o0+j0.4056= 0.4056∠-90oI= (1∠0) / (0,4056∠-90o) = -(1/0,4056) = -j2.4655

Debido a que la falla de una línea a tierra (Falla monofásica), es un circuito serie, I1 = I2

= I0. Ahora con las corrientes determinadas, es fácil definir la secuencia de fases.V0 = (-j0.1532) * (-j2.4655) = -0.3777V1 = 1∠0 – (-j0.1262)*(-j2.4655) = 0.6889V2 = (-j0.1262) * (-j2.4655) = -0.3111Las Corrientes de fase pueden ahora determinarse, usando la matriz de componentes de secuencia.Basado en que todas las Corrientes de secuencia son –j2.4655, las Corrientes de fase son:Ia = (1 * -j2.4655) + (1 * -j2.4655) + (1 * -j2.4655) = 0-j7.397Ib = (1 * -j2.4655) + (1∠240 * -j2.4655) + (1∠120 * -j2.4655) = 0+j0Ic = (1 * -j2.4655) + (1∠120 * -j2.4655) + (1∠240 * -j2.4655) = 0+j0

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Estos valores son los esperados para este tipo de falla. La corriente en la fase “A” tiene un valor significativo, el cual se debe a la falla en la fase “A”, mientras que en las otras fases el valor de corriente es “Cero”.

Los voltajes de fase, se obtienen de forma similar.

Los voltajes de secuencia encontrados fueron: V0 =-0.3777, V1 = 0.6889, V2 = -0.3111.

Los voltajes de fase son:Va = (1 * -0.3777) + (1 * 0.6889) + (1 * -0.3111) = 0Vb = (1 * -0.3777) + (1∠240 * 0.6889) + (1∠120 * -0.3111) = 1.035∠237Vc = (1 * -0.3777) + (1∠120 * 0.6889) + (1∠240 * -0.3111) = 1.035∠123

Nuevamente se ve, que este es el voltaje esperado, en la fase “A”, el voltaje colapso por la falla y llego a “cero”, y las fases restantes se convierten en asimétricas, debido a la condición de falla en la fase “A”..

Etapa #6. Convertir los valores p.u., en valores reales.

La etapa final es convertir los voltajes y las Corrientes de fase en valores reales o actuales.

Rearreglando las formulas de la sección III, se puede encontrar los valores actuales de corriente, según lo siguiente:IActual = (Ip.u. * PBase)/ (1.732 * VBase)VActual = Vp.u. * VBase

Ia = (−j7.397 ∗ 100) / (1.732 ∗ 115) ∗ 1,000 = 3,710∠-90 amps.(Recuerde que por las diferencias en las unidades de voltaje y corriente, debemos multiplicar los valores de corriente por 1000)

Como se indico previamente, Ib = Ic = 0 amps.Va = 0 Volts.Vb = 1.035∠237 * 115 = 119.0∠237 kV.Vc = 1.035∠123 * 115 = 119.0∠123 kV.

Otros tipos de fallas, como la doble línea a tierra y falla línea a línea, usando el mismo procedimiento, teniendo el cuidado de usar las conexiones apropiadas para cada tipo de falla y reduciendo el circuito a sus correspondientes voltajes e impedancias equivalentes.

El conjunto de diagramas correspondientes a este ejemplo, son validos únicamente para una falla en el punto “C”. Para fallas en otras ubicaciones, se deben definir sus

diagramas correspondientes.

Conclusión

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La aplicación de las componentes simétricas permiten manejar una red de tres vectores desbalanceados, relacionados entre ellos, y luego resolverla como tres conjuntos de vectores. Dos de estos conjuntos de vectores tienen igual magnitud y están desplazados 120 o uno del otro; mientras que el tercer conjunto tiene igual magnitud pero “cero” desplazamiento entre fases. Para usar los componentes simétricos nosotros debemos conocer las conexiones de las redes de secuencia para los diferentes tipos de falla y y las conexiones de secuencia de los diferentes componentes.Aplicando los conocimientos de los componentes simétricos a las redes de sistemas eléctricos trifásicos, se pueden analizar los casos de redes eléctricas trifásicas desbalanceados. Con el análisis de componentes simétricos, la solución de muchos casos se facilita, pero la misma puede ser tediosa y consume bastante tiempo; por lo cual hoy en día la mayoría de los ingenieros electricistas que tenemos que enfrentar estos cálculos, usamos sofisticados programas computarizados, para modelar las fallas que implican condiciones desbalanceadas . Aun así, es importante entender cómo se utilizan los componentes simétricos para analizar sistemas eléctricos en condiciones de falla.

APLICACION de Componentes Simetricas .Material Curso

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