Aplicación de Funciones en La Ingenieria de Sistemas (Julio Canepa)

7/24/2019 Aplicacin de Funciones en La Ingenieria de Sistemas (Julio Canepa)

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INTRODUCCION

Las funciones matemticas son de gran importancia para darle solucina muchos problemas de la vida cotidiana, por lo cual para nuestracarrera tambin son muy tiles por el cual podemos estudiar fenmenosen el cual se puede predecir por medio de funciones respuestastangibles o aproximarse a un resultado.

En el presente trabajo, se detallarn las caractersticas de las diferentesfuncionesmatemticasy sus aplicaciones sobre las distintas cienciasyla vida cotidiana.

Las funcionesa las !ue nos dedicaremos son las siguientes"

#uncin$rigonomtrica

#uncin%uadrtica

#uncin &fn 'Lineal(

#uncin Logartmica

#uncin Exponencial

#uncin )olinmica

$ambin hablaremos un poco sobre algunos conceptos bsicos de lasfunciones.
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Funciones Constantes Numricas o Absolutas

*na constante es una expresin !ue tiene un valor +jo. *na constantenumrica se escribe como un nmero real. Estos son ejemplos deconstantes numricas"

27123,7600,0076

Los nmeros negativos son especi+cados con el signo '(. )or ejemplo"

27123,7600,0076

%onstante &bsoluta

*na constante absoluta es a!uella !ue en todos los problemas tienensiempre el mismo valor- existen muchas ms constantes absolutas

)or ejemplo" El nmero PI () o sea la relacin entre el dimetro y elpermetro de una circunferencia en geometra euclidiana en /0- el

nmero e 'la constante neperiana(.

%onstantes &rbitrarias

*na constante &rbitraria, es a!uella a la !ue se le pueden dar diferentesvalores, siempre y cuando no altere a la ecuacin diferencial.

%oncepto de 1ariable

*na variable es la expresin simblica representativa de un elemento noespeci+cado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido portodos los elementoso variables, !ue pueden sustituirse unas a otras es eluniversode variables. 2e llaman as por!ue varan, y esa variacin esobservable y medible.

)or ejemplo" x es una variable del universo {2 ,4 ,6 ,8 } . )or lo tanto,

x puede tener cual!uiera de dichos valores, es decir !ue puede serreempla3ada por cual!uier nmero par menor a 4.

5ntervalo de una variable

Los intervalos son los subconjuntos conexos de /. 6s precisamente,son las nicas partes 5 de / !ue veri+can la propiedad siguiente"si x e y
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pertenecen a 5, x 7 y, entonces para todo 3 tal !ue x 7 3 7 y, 3pertenece a 5. ')( 2e pueden clasi+car los intervalos segn suscaractersticas topolgicas 'intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos,abiertos y cerrados( o segn su caractersticas mtricas 'su longitud"nula, +nita no nula, o in+nita(.2e usan habitualmente dos notaciones" 8a-

b( o 8a- b8 para representar el conjunto de los x tal !ue a 7 x 9 b. Laprimera es la vigente en el mundo anglosajn, la segunda en #rancia yen la francofona. La regla del corchete invertido resulta ms intuitiva siuno se imagina !ue el corchete es una mano !ue tira hacia fuera oempuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el

ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras !ue b no.

$ambin existe una regla mnemotcnica para el uso del parntesis" si sedibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como ':- ;( y ';- 0('es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro parntesis donde

corresponda(, entre los dos intervalos cabe un signo ; 'o lo !uecorresponda segn los intervalos( cabe, apretado pero cabe. 6ientras!ue si los dos intervalos son ':, ;< y 8;, 0(, o ':, ;< y ';, 0( el nmero nocabe, o cabe muy estrangulado. = sea, !ue si los dos intervalos sonabiertos, el nmero ; no pertenece a ninguno, y por tanto hay espaciopara meterlo en medio. &!u estn todos los casos posibles, con a 7 b, yx perteneciente al intervalo, y l su longitud"

; .[a , b] intervalo cerrado de longitud +nita l=ba .axb .

0

o

a , b.

intervalo cerrado en a, abierto en b 'semicerrado, semi

abierto(, de longitud +nita l=ba .ax. a ,bo intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud +nita

l=ba .a


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A

a ,+

.intervalo 'semi(cerrado de longitud in+nita. a 7 x.

Bo (a ,+)

.a ,+ intervalo abierto de longitud in+nita. a 9 x.

C

.,+ o (,+) o /, intervalo a la ve3 abierto y cerrado, de

longitud in+nita. x pertenece a /.

4.Da intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario.'corresponde al caso a F b(. x F a

;:.D F G el conjunto vaco, intervalo a la ve3 abierto y cerrado. x noexiste.

&mplitud de un 5ntervalo

Hentro de los conceptos fundamentales de la estadstica y larepresentacin gr+ca de variables !ue son continuas, existe unaconveniencia por agrupar los valores de una variable en intervalos !uepor lo general sern del mismo tamaIo- eleccin !ue se hace por ciertoen funcin del nmero de datos de !ue se dispone y de la variacin delos mismos.

%ada intervalo !uedar entonces de+nido por sus lmites superior einferior...a la diferencia entre ambos extremos se le denomina amplituddel intervalo

*n intervalo cual!uiera viene dado por dos nmeros !ue forman suslmites por ejemplo, 0A>: es un intervalo donde el lmite inferior es 0A yel superior es >:, entonces comprende los valores 0A, 0B, 0C, 04, >:- laamplitud es de cinco unidades de medida. '5ncluye ambos lmites(.

%oncepto de #uncin

/elacin entre dos conjuntos !ue asigna a cada elemento del primero unelemento del segundo o ninguno

%ampo de existencia de una #uncin

Ejemplo"


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Jallar el campo de existencia de la funcin f de+nida por

/esolucin"

La funcin anterior asigna a cada nmero x, el valor

El campo de existencia est formado por todos los nmeros reales x,para los !ue su imagen est de+nida mediante la funcin f.

La expresin1

x2 est de+nida para todos los nmeros reales,

salvo para a!uellos !ue anulen el denominador, puesto !ue la

expresin 1/0 no es un nmero real. El denominador x2 se

anula cuando x=2 .

)or tanto, el campo de existencia de la funcin es / D0.

He+nicin de #uncin

*na funcin es una relacin entre dos variables, de forma !ue a cadavalor de la variable independiente , le asocia un nico valor de la

variable dependiente , !ue llamaremos imagen de . Hecimos !ue yes funcin de y lo representamos por

%aractersticas de una #uncin

*na funcin es toda relacin entre dos variables en donde a cada valorde una de ellas !ue se la llama variable independiente, le correspondeun nico valor de la otra variable, !ue se llama variable dependiente. 2epuede simboli3ar"

f(x) :RR/ f(x)=3x 2igni+ca !ue f es una funcin aplicada de

reales en reales, tal !ue a cada valor x del conjunto de partida, le

hace corresponder su triple.

%aractersticas de funciones"

1ariabilidad" se produce entre dos variables.


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%orrespondencia" a cada valor de la variable independiente le

corresponde un nico valor de la variable dependiente. *nicidad" cada valor de la variable independiente tiene !ue tener

una nica imagen.

#ormas de de+nir una funcin"

diagrama de 1enn

tabla

formula

gra+co cartesiano

FUNCION LINEAL

*na funcin es lineal cuando presenta la siguiente frmula"

f(x )=m x+b y=m x+b

m y b son nmeros reales. m se llama pendiente y

representa la inclinacin de la recta. b se llama ordenada al origen

'ordenada del punto de interseccin con el eje y (.

si la pendiente es positiva, el eje x forma con la recta en

sentido antihorario un ngulo menor !ue 90 y se dice !ue la

funcin es creciente, ya !ue al aumentar la variable independientetambin aumentan los valores de la variable dependiente.

si la pendiente es negativa, el eje x forma con la recta en

sentido antihorario un ngulo mayor !ue 90 y menor !ue

180 . la funcin en este caso es decreciente, ya !ue al aumentar

lo valores de la variable independiente, disminuyen los valores dela variable dependiente.

si la pendiente es igual a cero (m=0) , la recta es paralela al eje

de las x , o sea !ue es una recta hori3ontal !ue recibe el

nombre de funcin constante.

%ero /aces


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En matemtica, se conoce como ra3 'o cero( de una funcin 'de+nida

sobre un cierto cuerpo algebraico( f(x) a todo elemento x

perteneciente al dominiode dicha funcin tal !ue se cumpla" f(x )=0 .

)or ejemplo, dada la funcin"

)lanteando y resolviendo la ecuacin"

)odemos a+rmar !ue 0 y ? son races ya !ue f(2)=0y f(4)=0 .

Clasifcacin de las Funciones

#uncin &fn 'o #uncin Lineal("

2e puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economa'usode la ofertay la demanda( los ecnomos se basan en la linealidad deesta funcin y las leyes de la oferta y la demanda son dos de lasrelaciones fundamentales en cual!uier anlisiseconmico. )or ejemplo,

si un consumidor desea ad!uirir cual!uier producto, este depende delprecioen !ue el artculo est disponible. *na relacin !ue especi+!ue lacantidad de un artculo determinado !ue los consumidores estndispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina leyde

demanda. La leyms simple es una relacin del tipo P=mx+b , donde

P es el precio por unidad del artculo y , m y b son constantes.

*na de las aplicaciones de la funcin lineal en el mbito de la 5ngenierade 2istemas de las empresas es la de representar los costos de lamisma, bajo el supuesto de !ue siguen una tendencia lineal. *naempresa puede clasi+car sus costos de muchas maneras, una de ellasconsiste en considerar los costos totales como la suma de los costos +josms los costos variables. Los costos +jos son a!uellos !ue no dependendel nivel de produccin, es decir, no varan al cambiar la cantidad deproducto !ue se elabore tales como, al!uiler de edi+cios o depreciacinen el caso de ser propios, salarios del personal administrativo comogerentes, contadores y recepcionistas, depreciacin del e!uipo o su
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al!uiler, mantenimiento y depreciacin de la tierra si la empresa lo

re!uiere, entre otros. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y

b son nmeros reales llamados pendiente y ordenada al origen

respectivamente. 2u gr+ca es una recta.

Hada la ecuacin y=mx+b "

2i m=0 , entonces y=b . Es decir, se obtiene la funcin constante,

cuya gr+ca es una recta paralela al eje x !ue pasa por el punto ':,b(.

2i bF:, entonces yFmx. Esta ecuacin tiene por gr+ca una recta !uepasa por el origen de coordenadas ':,:(.

#uncin %uadrtica

El estudio de las funciones cuadrticas resulta de inters no slo enmatemtica sino tambin en fsica y en otras reas del conocimientocomo por ejemplo" la trayectoria de una pelota lan3ada al aire, latrayectoria !ue describe un ro al caer desde lo alto de una montaIa, laforma !ue toma una cuerda Koja sobre la cual se despla3a une!uilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempotranscurrido, cuando una partcula es lan3ada con una velocidadinicial.

)uede ser aplicada en la ingeniera de sistemas, para resolver problemasespec+cos tomando como punto de apoyo la ecuacin de segundogrado, en los mtodos de aproximacin para hacer modelos con base enlos datos- stos nos daran datos de predicciones sobre resultadosfuturos.

Existen fenmenos fsicos !ue el hombre a travs de la historia hatratado de explicarse. 6uchos hombres de cienciashan utili3ado comoherramienta principal para reali3ar sus clculos la ecuacin cuadrtica.

%omo ejemplo palpable, podemos mencionar !ue la altura 2 de unapartcula lan3ada verticalmente hacia arriba desde el sueloest dadapor"

S=v0tg t2

Honde"
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S Es la altura

v0 Es la velocidadinicial de la partcula,

g Es la constante de gravedad

t es el tiempo.

La funcin cuadrtica responde a la frmula" y=a x2+bx+c con a 0 .

2u gr+ca es una curva llamada parbola cuyas caractersticas son"

2i a es mayor a : es cncava y admite un mnimo.

2i a es menor a : es convexa y admite un mximo.

1rtice" )untos de la curva donde la funcin alcan3a el mximo o elmnimo.

Eje de simetra" x=xv .

5nterseccin con el eje y .

5ntersecciones con el ejex

" se obtiene resolviendo la ecuacin desegundo grado.

#uncin Logartmica

La geologa como ciencia re!uiere del planteamiento de ecuacioneslogartmicas para el clculode la intensidad de un evento, tal como es elcaso de un sismo. La magnitud / de un terremoto est de+nida como

R=log(A /A0) en la escala de /ichter, donde A es la intensidad yA0 es una constante. ' A es la amplitud de un sismgrafo estndar,

!ue est a ;:: ilmetros del epicentro del terremoto(.

Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella oplaneta utili3an ciertos clculos de carcter logartmico. La ecuacinlogartmica les permite determinar la brillante3 y la magnitud.
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En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las

cuales se puede mencionar el clculodel volumen L en decibeles de

un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin L=10log(I/I0) ,

donde I es la intensidad del sonido'la energa cayendo en una unidad

de rea por segundo(, I0 es la intensidad de sonidoms baja !ue el

odohumano puede or 'llamado umbral auditivo(. *na conversacin envo3 alta tiene un ruidode fondo de A@ decibeles. El logaritmo en baseb de un nmero a es igual a N , si la base b elevada a N da

como resultado logb a=N bN=a

#uncin Exponencial

2e aplica a la !umicay fsica. En algunos elementos radioactivos son detal naturale3a!ue su cantidad disminuye con respecto al tiempo, secumple la ley exponencial y se dice !ue el elemento decrece o decae. En

la !umica, el )J es la]JM[, donde ]JM[de una sustancia se de+ne

como" J F Log concentracin de iones de una sustancia expresada enmoles por litro. El )Jdel aguadestilada es B. *na sustancia con un )Jmenor !ue B, se dice !ue es cida, mientras !ue su )J es mayor !ue B,se dice !ue es base. Los ambientalistas miden constantemente el )J del

aguade lluvia debido al efecto daIino de la lluvia cida !ue se originapor las emisiones de dixido de a3ufre de las fbricas y plantaselctricas !ue trabajan con carbn.

=tras de la aplicacin de las funciones exponencial fue con eldescubrimiento del )olonio 'elemento radioactivo( descubierto por 6arie%urie en ; C4C decae exponencialmente de acuerdo a la funcin"

m=m0 e0,005 t

, donde m0 es la masa inicial del )olonio, m es la masa

al cabo de un tiempo y t es el tiempo en das.

El crecimiento poblacional 'Hemografa( de una regin o poblacin enaIos, parece estar sobre una curva de caracterstica exponencial !ue

sugiere el modelomatemtico dado por" N=N0 ekt

, donde No es la

poblacin inicial, t es el tiempo transcurrido en aIos y es unaconstante. 'En ;B4C, el economista ingls$homas 6althus observ !ue
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la relacin N=N0 ekt

era vlida para determinar el crecimiento de la

poblacin mundial y estableci, adems, !ue como la cantidad dealimentos creca de manera lineal, el mundo no poda resolver elproblema del hambre. Esta lgubre prediccin ha tenido un impacto tan

importante en el pensamientoeconmico, !ue el modeloexponencial decrecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo6althusiano(.

#unciones $rigonomtricas

Las funciones trigonomtricas son valores sin unidades !ue dependende la magnitud de un ngulo. 2e dice !ue un ngulo situado en un planode coordenadas rectangulares est en su posicin normal si su vrtice

coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del

eje x . En la +gura >, el punto ) est situado en una lnea recta !ue

pasa por el origen y !ue forma un ngulo con la parte positiva del

eje x . Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas

segn el cuadrante '5, 55, 555, 51( en !ue se encuentre el punto P - x

ser cero si el punto P est en el eje y o y ser cero si P est en

el eje x . La distancia entre el punto y el origen es siempre positiva

e igual a x2+y2 , aplicando el teorema de )itgoras.
http://www.monografias.com/trabajos7/alim/alim.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/genesispensamto/genesispensamto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#trihttp://www.monografias.com/trabajos7/alim/alim.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/genesispensamto/genesispensamto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#tri


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Las seis funciones trigonomtricas ms utili3adas se de+nen de lasiguiente manera"

%omo la x y la y son iguales si se aIaden 2 radianes al ngulo

Nes decir, si se aIaden >A:ON es evidente !ue sin (+2)=sin . Lo

mismo ocurre con las otras cinco funciones. Hadas sus respectivasde+niciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

2i el punto ), de la de+nicin de funcin trigonomtrica, se encuentra en

el eje y, la x es cero- por tanto, puesto !ue la divisin por cero no estde+nida en el conjunto de los nmeros reales, la tangente y la secantede esos ngulos, como 4:O, 0B:O y 0B:O no estn de+nidas. 2i el punto) est en el eje x, la y es :- en este caso, la cotangente y la cosecantede esos ngulos, como :O, ;C:O y ;C:O tampoco est de+nida. $odos losngulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a :.%omo r es

siempre mayor o igual !ue la x o la y, los valores del sin y cos

varan entre 1y+1 . La tan y la cot !ue son ilimitadas, y pueden

tener cual!uier valor real. La !ec y la c!c " pueden ser mayor o igual

!ue +1 o menor o igual !ue 1 .%omo se ha podido ver en los

anteriores apartados, el valor de las funciones trigonomtricas nodepende de la longitud de r, pues las proporciones son slo funcin del

ngulo. 2i es uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo

'+gura ?(, las de+niciones de las funciones trigonomtricas dadas ms
http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#trihttp://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#tri


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arriba se pueden aplicar a como se explica a continuacin. 2i el

vrtice A estuviera situado en la interseccin de los ejes x e y

de la +gura >, si A# descansara sobre la parte positiva del eje x y si

$ es el punto

P de manera !ue

A$=AP=, entonces el

sin=y /=a /c , y as sucesivamente"

Los valores numricos de las funciones trigonomtricas de ciertosngulos se pueden obtener con facilidad. )or ejemplo, en un tringulo

rectngulo issceles, se tiene !ue =45 y !ue b=a , y adems se

sabe, por el $eorema de )itgoras, !ue c2=b2+a2 . He a!u se deduce

!ue c2=2a2 o !ue c=2a . )or tanto"

#unciones )olinmicas


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Expresin matemticaformada por una suma de productosde nmerosreales 'o ms generalmente de nmeros de cual!uier anillo(, porpotencias enteras de una variable generalmente representada por la

letra x - es decir, un polinomio es una expresin del tipo

P (x )=a+bx+c x2

+% x

3

+e x

4

+& , en la !ue la mayor potencia de la variablese la llama grado del polinomio.

%oncepto de %urva

En matemticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitivade lnea continua, de una dimensin, !ue vara de direccinpaulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipseo lacircunferencia, y de curvas abiertas la parbola, la hiprbola o lacatenaria. La rectasera el caso lmite de una curva de radio in+nito.

Pra+ca de una funcin

En matemticas, la gr+ca de una funcin f:'( es la visuali3acin

de la correspondencia entre los elementos del conjuntodominioy los delconjunto imagen mediante su representacin iconogr+ca. $ambin
http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Catenariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagenhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Catenariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen


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puede de+nirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados

(x , f(x)) de la funcin f - es decir, como un subconjunto del producto

cartesiano ' )( .

Las nicas funciones !ue se pueden visuali3ar de forma completa son lasde una sola variable, representables como un sistema de coordenadascartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable deldominio y cada ordenada representa el valor correspondiente delconjunto imagen. 2i la funcin es continua, entonces la gr+ca formaruna curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visuali3arlas deforma unvoca mediante una proyeccin geomtrica, pero a partir detres variables tan solo es posible visuali3ar cortes de la funcin para los

!ue los valores de todas las variables excepto dos permane3canconstantes.

El concepto de gr+ca de una funcin se generali3a a la gr+ca de unarelacin. Qotar !ue si bien cada funcin tiene una nica representacingr+ca, pueden existir varias funciones !ue tengan la misma pero condominios y codominiosdiferentes.

Ejemplos"

La gr+ca de la funcin

es D';,a(, '0,d(, '>,c(.

0( )'x( F x> >x0 M 0x B
http://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenadoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenadoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Codominio


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Eercicios de Eem!los de A!licaciones de las Funciones"

Problema #*n lan3ador de peso puede ser modelado usando la ecuacin

y=0,0241x2

+x+5,5 - donde x es la distancia recorrida en pies y yes la altura 'medida tambin en pies(- !ue tan largo es el tiroR

2olucin"

El lan3amiento termina cuando la pesa llega a tocar el suelo, por lo !uey=0 y esno nos lleva a tener una ecuacin de la forma"

0=0,0241x2+x+5,5

*sando la frmula de la ecuacin cuadrtica tenemos !ue"

a x2+bx+c=0 x=

b *b24 ac2a

/eempla3amos los valores y procederemos a hallar x , asi"

x=1*(1 )

24 (0,0241 ) (5,5 )

2 (0,0241 ) ={x1=46,4x2=4,9

%omo podemos ver, la solucin es x=46,4+e! ya !ue la otra solucin

no es vlida ya !ue nos resulta una distancia negativa.

2i !ueremos saber dnde se encontrar el peso en su mxima alturapodemos hacer una gr+ca para hallar tal distancia


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He la gr+ca se puede observar !ue en aproximadamente la distanciadesde el punto de lan3amiento a 0; pies, se encuentra la bala en sumxima altura la cual seria ;@,CB;4pies aprox.


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Problema $

*n algodonero recoge 30-g cada hora, y demora media hora

preparndose todos los das cuando inicia la jornada. La funcin lineal!ue representa esta situacin es"

y=30 t 15

Honde y representa los Sg de algodn recogido y t el tiempo

transcurrido en horas.

$abule y gra+!ue la funcin lineal- Tcunto algodn ha recogido elalgodonero en una jornada de C horasR

2olucin"

/eempla3ando valores en la funcin lineal tenemos !ue"

y=30 (8 )15=225-g

)or lo !ue en una jornada de trabajo de CJ, el algodonero lograrecolectar 00@g de algodn.

La tabla y su gr+ca se muestran a continuacin"


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Problema %

*na poblacin de aves, cuenta inicialmente con @: individuos y setriplica cada 0 aIos.

;. T%ul es la frmula de la funcin !ue representa el crecimiento de lapoblacin de avesR

0. T%untas aves hay despus de ? aIosR

>. THespus de cunto tiempo la poblacin de aves ser de ;:::individuosR

2olucin";. *sando la frmula de la ecuacin exponencial tenemos !ue"

f(x )=50 (3x/2 )

0. &hora las aves !ue hay pasado ? aIos es la siguiente"

f( 4 )=50 (34 /2 )=50 (32 )=50 (9 )=450Ave!

>. El tiempo !ue tarda en !ue la poblacin de aves sea ;::: se calculaasi"

1000=50 (3x/2 )20=3x /2

&hora aplicamos la ley de los logaritmos y tenemos !ue"

ln20=x

2ln 3 x=2( ln20l /3)=5,45a0o!

&hora tabulemos valores y gra+!uemos la funcin, como se muestra acontinuacin"


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Aplicación de Funciones en La Ingenieria de Sistemas (Julio Canepa)

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