APLICACIÓN DE LA DERIVADA de MARLENY LLANOS
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APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Dada una hoja cuadriculada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadradas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.
Solución:
El lado del Cuadrado cortado =X entonces el volumen dela caja es:
V (X )=X (a+2 X )2 ,0<X< a2
V ' (X )=(a+2 X )2−4 X (a−2 X)
V ' (X )=(a−2X ) (a−6 X )=0⇒X=a2,X=a
6
V' ' (X )=−8 A+24 X⇒V ' ' ( a6 )=−8a+4 a=−4a<0
⇒ ∃ máximo en = a6
Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es X = a6
2. Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadas cuadradas, hallar sus dimensiones, deforma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.
Solución:
Datos del problema:
A=XY=64⇒Y=64X,d=√Y 2+ X ²
4
❑
f ( x )=√ 4096X ²
❑
+ X ²4
❑❑
=√16384+X42 X
Entonces
f ( x )=x= X4−163842 X ²√16384+X4
=0 ⇒ X4−16384=0 ,de donde X=±8 4√2
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Como Y =64X
⇒Y=4 4√2√2
Luego las dimensiones son 4 4√2√2 y 8√2 pulgadas.
3. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener como volumen, encuéntrese las dimensiones que requieren la mínima cantidad de material.
Solución:
Datos del problema: V¿ π r2hde dondeh= v
π r2
At=π r2+¿ 2πrh entonces At=2π r2 + 2vr
At (r )=2π r2+ 2v
r
A 't (r )=4 π r2−2v
r 2=0 ⇒ r=3√ V
2 π
❑
A ' 't (r)=4 π+−4vr3
⇒A ' 't ¿)=12π>0⇒existeminimoenr=3√ V2 π
, h=3√ 4Vπ4. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados
paralelos a los ejes de la elipse.
Solución:
La Ecuación dela elipse es: Xa2
2
+ Yb2
2
=1
De donde: y =ba
√a2−x2
Condición del problema: A=xy = bxa
√a2−x2 ⇒ A ( x )=bxa
√a2−x2, derivando dAdx
=ba
√a2−x2− bx2
a√a2−x2❑ = 0 ⇒ x= a
√2 como y =
ba
√a2−x2 ⇒ y= b
√2
Luego las dimensiones del rectángulo son:2 x=a
√2=√2a , 2 y=
2b
√2 = √2b
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5. Una estatua de 6 mts. De altura tiene su base a 2 mts. Arriba del nivel del ojo de un observador. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ángulo subtendido desde su ojo por la estatua sea máxima.
Solución:
Sea x la incógnita correspondiente a θmáximo sea β=θ+α ,de dondeθ=β−α
tgθ= tg(¿ β−α )= tg β−tgα1+ t gα .tgβ
¿
Además tgα=2x, tgβ=6
x
⇒ tg θ= tg β−tgα1+ t gα . tgβ
=
6x−2x
1+12
x2
=4 x
x2+12
tgθ= 4 x
x2+12⇒ θ=arc .tg( 4 x
x2+12 ) , derivando:
dθdx
=
Dx ( 4 xx2+12 )
1+ 16 x2
(x2+12) ²
=¿❑
4 (x2+12 )−4 x (2 x)( x2+12) ²
(x2+12 ) ²+16 x ²( x2+12) ²
¿= 48−4 x ²x4+40 x ²+144
dθdx
= 48−4 x ²x4+40 x ²+144
=0⇒ x=¿ ¿±2√3Por lo tanto analizando para x=2√3 se obtiene que sea máximo.