45TECNOLOGA QUMICA Vol. 18, No. 3, 1998

temperatura T y que la pared interna se encuentra auna temperatura T0. Considere que todas las propieda-des fsicas y de transporte permanecen constantes yque el rgimen se encuentra estacionario.

Aplicacin de mtodos discretos para la solucinde problemas de conduccin de calor en

coordenadas cilndricasArmando A. Daz Garca, Teresa L. Hechavarra Gola

Universidad de Oriente

Se presenta la solucin de ecuaciones diferenciales parciales a travs de mtodos numricos quedescriben los fenmenos que ocurren en sistemas complejos de la Ingeniera Qumica. Especficamente,se muestra la solucin aplicando el mtodo de diferencias finitas o tcnicas de discretizacin, deproblemas de transferencia de calor por conduccin en sistemas cilndricos, en rgimen estacionarioy no estacionario. Estas ecuaciones se obtuvieron a travs de balances discretos, de tcnicas defenmenos de transporte o por combinacin de ambos.

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The numerical solution to solve partial differential equations which describe the behaviour of complexsystems of Chemical Engineering, is presented using the method of finite differences. Specifically, it isshowed how to solve problems of heat transmission by conduction in cylindrical systems, in stationaryand not stationary regime. The equations have been obtained through balances in discrete spaces,through transport phenomena techniques or by combinations of both.

Introduccin

Muchos son los problemas de ingeniera en losque interviene el flujo de calor a travs de cuerposcon geometra cilndrica. Algunos de estos proble-mas pueden ser resueltos por ecuaciones diferen-ciales cuya solucin analtica es conocida, pero enotros casos es necesario el uso de mtodos numri-cos, mereciendo particular atencin el flujo de calorno estacionario cuya importancia no siempre estenida en cuenta.

El presente artculo es una continuacin deltrabajo que estn realizando los profesores de laFacultad de Ingeniera Qumica de la Universidad deOriente, para brindar las tcnicas numricas aplica-das cuya importancia ha crecido en los ltimos aosde una manera relevante.

Ecuaciones discretas para la conduccin decalor en direccin radial en rgimenestacionario

Para el desarrollo del mtodo supongamos uncuerpo formado por una envoltura cilndrica degrosor R, en el cual tiene lugar la transferencia decalor por conduccin. Supongamos, adems, que lapared externa est en contacto con un fluido de Fig. 1 Cuerpo cilndrico

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r

q

CpTt

kr r

rTr r

T Tz

S= FHGIKJ + + +

1 12

2

2

2

2

Las ecuaciones para describir el flujo de calorpueden ser deducidas a partir de las ecuaciones deenerga en funcin de las propiedades de transportedesarrolladas en la literatura especializada /1, 3 y 5/.

La ecuacin general para la conduccin del caloren coordenadas cilndricas en funcin de las propie-dades de transporte viene dada por:

(1)

De acuerdo con las caractersticas del problemaplanteado, porque slo hay transferencia de calorpor conduccin en direccin radial de forma estacio-naria y no existe fuente de generacin de calor, laecuacin (1) se simplifica a

la cual puede ser descrita de la forma:

(2)

Discretizando la ecuacin:

de donde

(3)

siendo (3) la ecuacin discreta que describe ladistribucin radial de temperatura en la capa cilndri-ca.

Condiciones lmites de la transferencia decalor por la pared externa

Las condiciones lmites en la pared interior nopresentan dificultades para su aplicacin.

Para el caso de la pared externa en la que tienelugar la conveccin, es necesario determinar laecuacin discreta que describe la relacin entre latemperatura de pared y los puntos vecinos.

De acuerdo con la ecuacin general de energaen funcin de la densidad de flujo de calor para lasituacin planteada viene dada por:

Como el rgimen es estacionario

por lo que

(4)

ecuacin que evaluada para r = R

y

(5)

Como en la pared externa tiene lugar un flujoconvectivo de calor

(6)

Sustituyendo (6) en (5) y arreglando

(7)

De acuerdo con la Ley de Fourier

(8)

Sustituyendo (8) en (7)

(9)

Discretizando nT r = R

Si

10

rddr

rdTdr

FHG

IKJ =

ddr

r qrb g = 0

r q Cr = 2

R q CR = 2

q h T TR R= -b g

r

CpTt

kr r

r qr=FHG

IKJ

1 b g

r q R qr R=

q R r h T Tr R= -b g

q kdTdrr

= -

- = -kdTdr

Rr

h T TRb g

h rk

BiD

=

TT

h rk

T

h rk

R

n

=+

+

- 2

1

D

D

--

= -- kT T

rR

n rh T Tn R

T

R2

D Db g

rd Tdr

dTdr

2

20+ =

TT n T

nnn n=

+ ++

+ -2 21 1

2 1b g

r n r= D

n rT T T

rT T

rn n n n nD

D D+ - +- + +

-FHG

IKJ =2 22 2

20

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r

CpTt

kT

r rTr

= +FHGIKJ

2

2

1

la cual puede ser escrita de la siguiente forma

Discretizandot=pDtr=nDr

(12)

Haciendo y arreglando

(13)

donde (13) es la ecuacin discreta explcita quedescribe la variacin de temperatura con el tiempoen el interior del slido en funcin de la temperaturade los puntos vecinos en un tiempo precedente (p)conocido.

Observe que en este caso, como la ecuacindiscreta resulta explcita deben seleccionarse Dt yDr de manera que:

y n=R2/Dr.

Condiciones lmites

La condicin lmite en la pared interior no sepresenta en el clculo, ya que basta con evaluar elpunto de temperatura conocida T0. La condicinlmite en la pared interior puede determinarse por unbalance no estacionario en el retculo de masa M1 yvolumen V1 = A1 Dr

De acuerdo con esto:

donde TNT-1; punto vecino a TR

Como M1 = r V1 = r A1 Dr

(10)

Observe que la ecuacin (9) es discretizada en lapared (para r = R y Tn2 es la temperatura vecina a TR).

Perfil de temperatura

El perfil de temperatura en el cuerpo cilndricoseleccionado como ejemplo estar descrito por elsiguiente sistema de ecuaciones

Desde hasta

vendr dada por

(11)

Tenga en cuenta que r = nDr y que el menor valorde r en este caso es R1/Dr, por lo que n = 0 no tienesignificado fsico en este caso, ya que el centrogeomtrico est situado fuera del cuerpo slidodonde tiene lugar la transferencia de calor.

La ecuacin (11) genera un nmero n-1 deecuaciones.

La ecuacin restante la suministra la condicinlmite

Resolviendo el sistema de n ecuaciones, con mvariables se dispone del perfil estacionario de tem-peraturas.

Ecuaciones discretas para conduccin decalor no estacionaria en direccin radial

Supongamos la misma situacin planteada en elacpite anterior, con la diferencia que la temperatu-ra de la pared interior se mantiene constante e iguala la temperatura inicial del slido que comienza acalentarse por la transferencia convectiva del fluidoexterno.

Por la ecuacin de energa en funcin de laspropiedades de transporte

TT Bi T

BiRn=

++

- 2

1

TT n T

nnn n=

+ +

++ -2 21 1

2 1b g

nR

r0= int

Dn

Rr

ext1 1= -D

r

CpTt

kr r

rTr

= FHGIKJ

T Tt

kCp

T T Tr n r

T Tr

np

np

np

np

n np

np+

+ - +- =- +

+-F

HGIKJ

12 2

2

22 1D D D Dr

T Fon

T Fon

T Tnp np np np+ + -= - +FHG

IKJ

FHG

IKJ + +

FHG

IKJ +

FHG

IKJ2 2 21 2

11

1

k tCp r

FoDDr 2

=

1 1 21

0> - +FHGIKJ Fo n

M CpTt

kr

A T T h A T TNTp Rp Rp2 2 2 2

= + + +- Db g b g

Cp rdTdt

kr

T T h T TNTp Rp Rpr D D= + + +- 2b g b g

TT Bi T

BiRn=

++

2

1

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h rk

BiD

=Haciendo y

(14)

ecuacin discreta explcita que describe la variacinde temperatura de la pared exterior en funcinde la temperatura del punto precedente y de losvecinos.

Observe que al ser explcita la ecuacin se debecumplir que

Conclusiones

Aunque el caso tratado para rgimen estaciona-rio tiene solucin analtica sencilla cuando k esconstante, se cree conveniente desarrollarlo por larazn que permite mostrar de forma sencilla lavalidez de uno u otro mtodo para la obtencin de lasecuaciones que describen la temperatura de pareden las condiciones lmites.

Aclara, adems, situaciones que se presentancuando se aplica mecnicamente la ecuacinr = n Dr, ya que n = 0 es el centro geomtrico que noest contenido en el cuerpo y los valores de Tcomienzan en Tno donde no = R1/Dr.

Por otro lado, se debe destacar que cuando lasrestricciones que gobiernan la estabilidad y conver-gencia de las funciones no permiten el clculo deforma satisfactoria, entonces es mejor aplicar unesquema de discretizacin totalmente implcito, elcual conduce a la obtencin de un sistema deecuaciones lineales que converge para cualquier

valor de Dr y/o Dt; cuestin esta que se tratar enprximos artculos.

Nomenclatura

A1: rea de transferencia de calor, m2

Bi: nmero de Biot, adimensionalCp: capacidad calorfica, kJ/kg CC1: constante de integracinFo: nmero de Fourier, adimensionalh : coeficiente de transferencia de calor en la inter-

fase slido-fluido, kJ/s.m2.Ck : conductividad trmica, kJ/s.m.Cn : nmero de intervalosqr: densidad del flujo de calor en direccin r, kJ/s.m

2

r : distancia radial, mR : radio, mS : fuente de generacin de calor, kJ/s.m3

T : temperatura, Ct : tiempo, s

Bibliografa

1. BIRD, R. B., W. E. STEWART Y E. N. LIGHTFOOT:Fenmenos de transporte, Ed. Revert, Barcelo-na, Espaa, 1964

2. CARNAHAM, H., S. LUTHER y J. BRICE: AppliedNumerical Methods, Ed. John Wiley and Sons,Inc. New York, 1972.

3. GARCELL, G., A. DIAZ y C. SURIS: Transferenciade cantidad de movimiento, calor y masa, Ed.Pueblo y Educacin, La Habana, 1988.

4. JENSON, V. G. y G. V. JEFFREYS: MathematicalMethods in Chemical Engineering, Ed. Cienciay Tcnica, La Habana, 1969.

5. WELTY, WICKS y WILSON: Fundamentals ofMomentum Heat and Mass Transfer, Ed. WileyInternational, 1969.

k tCp r

FDDr 2 0

=

T Fo Bi T Fo T Fo Bi TRp Rp NTp+ - = - + + +1 21 1b gc h

0 1 1 1 - + Fo Bib g