Aplicacion integral doble
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II [email protected] APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE FÓRMULA DEL VALOR PROMEDIO El valor promedio de la función f (x, y) sobre la región rectangular R está dado por la fórmula: = 1 ∬ ( , ) ⅆ ℝ EJEMPLO * 1.Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es (, ) = 100 0,6 0,4 . Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325. SOLUCIÓN: (, ) = 100 0,6 0,4 A= área de R X: unidades de trabajo → 200 ≤ ≤ 250 Y: unidades de capital → 300 ≤ ≤ 325 = (250 - 200) X (325 - 300) → R = 1250 En la fórmula: = 1 ∬ ( , ) ⅆ ℝ = 1 1250 ∫(∫ 100 0,6 0,4 ⅆ 250 200 ) 325 300 ⅆ = 100 1250 ∫(∫ 0,6 0,4 ⅆ 250 200 ) 325 300 ⅆ = 2 25 ∫ 1,6 1,6 . 0,4 | 200 250 325 300 ⅆ = 2 25 ∫ [4291,25 0,4 − 3002,81 0,4 ] 325 300 ⅆ = 2 25 ∫[ 32211 25 0,4 ] 325 300 ⅆ = 2 25 × 32211 25 ∫ [ 0,4 ] 325 300 ⅆ = 64422 625 × 1,4 1,4 | 300 325 = 64422 625 × [2346,97 − 2098,17] = 64422 625 × 1244 5 → = 25645 ,109
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE
FÓRMULA DEL VALOR PROMEDIO
El valor promedio de la función f (x, y) sobre la región rectangular R está dado
por la fórmula: 𝑉𝑃 =1
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐴
ℝ
EJEMPLO *
1.Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es 𝒇 (𝐱, 𝐲) = 100𝑿0,6𝒀0,4. Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325.
SOLUCIÓN:
𝒇 (𝐱, 𝐲) = 100𝑿0,6𝒀0,4 A= área de R
X: unidades de trabajo → 200 ≤ 𝑥 ≤ 250 Y: unidades de capital → 300 ≤ 𝑦 ≤ 325
= (250 - 200) X (325 - 300)
→ R = 1250
En la fórmula: 𝑉𝑃 =1
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐴
ℝ
𝑣𝑝 =1
1250∫ (∫ 100𝑥0,6𝑦0,4ⅆ𝑥
250
200
)
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =100
1250∫ (∫ 𝑥0,6𝑦0,4ⅆ𝑥
250
200
)
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =2
25∫
𝑥1,6
1,6. 𝑦0,4|
200
250325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =2
25∫ [4291,25𝑦0,4 − 3002,81𝑦0,4]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =2
25∫ [
32211
25𝑦0,4]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =2
25×
32211
25∫ [𝑦0,4]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =64422
625×
𝑦1,4
1,4|
300
325
𝑣𝑝 =64422
625× [2346,97 − 2098,17]
𝑣𝑝 =64422
625×
1244
5
→ 𝑣𝑝 = 25645,109
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
BIBLIOGRAFIA:
Cálculo aplicado para administración, economía v ciencias sociales (octava edición-pag.569)
Laurence d., Hoffmann
Gerald l Bradley
Kenneth h. Rosen
MOISES VILLENA (Integración Múltiple: Ejercicios propuestos-pag.167) *
