Aplicación de las integrales definidas a los centros de gravedad
Aplicación Integrales Definidas
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ESCUELA DE CONTADORES AUDITORES DE SANTIAGO
Carrera de Contador Audito
Guía V Aplicaciones de las integrales indefinidas.
Conceptos previos:
Como ya sabe la variación de una cantidad “y” con respecto a otra cantidad “x” se estudia usualmente en
términos de dos conceptos: la variación promedio y la variación marginal. La variación marginal puede
obtenerse diferenciando o derivando una función, tal función puede obtenerse integrando su variación
marginal. En este capítulo se verán aplicaciones del Calculo Integral en el caso de las funciones costo,
ingreso y consumo. Una aplicación semejante se presentará para la formación de capital.
Costo
Si el costo total ¨y¨ de producir y comercializar ¨x¨ unidades, esta función es ( )y f x , luego el costo
promedio por unidad es la función ( )
( )y f x
g xx x
, La función costo marginal será ( )dy
y f xdx
.
Es decir, el costo marginal es la primera derivada, ( )f x , de la función costo total ( )y f x , con
respecto a x. Por lo tanto, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo marginal,
esto es: ( ) ( )y f x dx f x K
Para obtener la única función costo total al integrar la correspondiente función costo marginal, debe
especificarse una condición inicial lo cual permite valorar la constante de integración correspondiente.
Frecuentemente tal especificación se hace en términos de un costo fijo o inicial, es decir, el valor del costo
cuando x = 0, es decir, no hay producción.
Ejemplo:
En un fábrica de chocolates la función costos marginales está dada por la relación
2( ) 2500 ln( 20 20436,02C x x , donde “x” representa kilos de chocolate producido. Determine la
función costo de la fábrica considerando que sus costos fijos ascienden a 2000 unidades monetarias.
Calcule el costo que le significa a la fábrica producir 25 kilos de chocolate.
Solución:
5000ln( 20)
20
xy
x es función costo marginal
La función costo se obtiene integrando la función costo marginal así la función es
25000ln( 20)
( ) 2500 ln( 2020
xC x dx x K
x
La constante K se obtiene valorando la función costo obtenida C(0)=2000, luego K = -20436,02 así la
función requerida por el problema es:
2( ) 2500 ln( 20 20436,02C x x
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Para determinar el costo de los 25 kilos de chocolate se evalúa la función obtenida haciendo x = 25, lo
que produce un costo de C(25) = 19710,77 unidades monetarias
Ingreso
Para una cierta función de demanda:
( )y f x
en el cual ¨ y ¨ es precio por una cantidad ¨ x ¨ de unidades a vender, el ingreso total R es el producto
de ¨ x ¨ e ¨ y ¨ , es decir:
( ) ( )R x xy xf x
El ingreso marginal en función de la cantidad demandada es la derivada de la función ingreso con
respecto a ¨ x ¨, esto es:
( )dR
R xdx
Por lo tanto, la función ingreso total es la integral con respecto a ¨ x ¨ de la función ingreso marginal,
es decir:
( ) ( )R x R x dx K
Para tener la única función ingreso total debe existir una condición inicial que permita calcular el valor de
la constante de integración. Para evaluar la constante puede aplicarse la condición inicial de que el
ingreso es cero o nulo si la cantidad demandada es nula o cero.
Note que el ingreso promedio es el precio por unidad, por lo cual ingreso promedio y función demanda
son idénticas.
Ejemplo
En una fábrica de calzado se ha determinado que su función ingreso marginal esta dado por la relación
2129600 3y x x , siendo “x” pares de calzado comercializado. Determine la función ingreso de
esta fábrica
Solución
2129600 3y x x es función ingreso marginal
2 21( ) 129600 3 129600 3
9I x x x dx x K
Para calcular la constante K se valora la función ex x = 0 pues si no hay venta el ingreso es nulo es decir I
= 0, luego K = 40
Así la función ingreso es:
21( ) 129600 3 40
9I x x
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Utilidad
La función utilidad en una empresa depende da las funciones ingreso y costo, así la función utilidad es
la diferencia entre las funciones ingreso y costo. La función utilidad marginal será la diferencia entre el
ingreso marginal y el costo marginal.
Ejemplo
La función utilidad marginal en una cierta empresa está dada por la relación ln(2 3)y x donde x
son unidades producidas y comercializadas. Determine:
a) la función utilidad considerando que la producción y venta de 50 unidades produce una utilidad de 300
dólares.
b) la utilidad que genera la producción y venta de 100 unidades.
Solución:
ln(2 3)y x es función utilidad marginal
La función utilidad se obtiene integrando la utilidad marginal, así
3
( ) ln(2 3) ln(2 3) ln(2 3)2
U x x dx x x x x K
La constante K se obtiene valorando la función obtenida de acuerdo a los datos del problema dado, esto
es con x = 50, U = 300, obteniendo asi un valor para la constante K = 115,1737, con lo que la función
utilidad del problema propuesto es :
3( ) ln(2 3) ln(2 3) 111,3114
2U x x x x x
La parte b del problema se obtiene valorando x = 100 en la función utilidad obtenida para obtener la
correspondiente utilidad.
Luego la utilidad es U(100) = 550.6018 dólares
Ejercicios Propuestos
1.- La función costo marginal de una fábrica de abrigos es ( 20) 25y x x , donde “x” es número de
abrigo confeccionado. Determine la función costo de esta fábrica si se han considerado que los costos fijos
ascienden a 300 dólares.
2.-El costo marginal en dólares de una industria que fabrica carteras está dado por la función
3600( )
500
xC x donde “x” representa número de carteras producidas.
Determine la función costo de la fábrica si sus costos fijos ascienden a 300 dólares.
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3.- Suponga que el ingreso marginal en una fabrica esta dado por la función 2( ) 2400 18 8R x x x ,
donde “x” representa número de unidades fabricadas y comercializadas. Determine la función ingreso de
esta fábrica.
(Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso, además si no vende no tiene
ingreso, es decir el ingreso es nulo o cero si x = 0)
4.- El costo marginal y el ingreso marginal en una operación petrolera están dadas pos las funciones
2/3( ) 18C x t , 2/3( ) 81 3R x t respectivamente, donde C (costo) y
R (ingreso) están medidos en millones de dólares y t en años. Determine el tiempo que debe permanecer
la operación para que la utilidad sen máxima y determine la utilidad en este periodo.
5.- El costo marginal en dólares en un fábrica de pernos esta dado por la relación
2 1
1
x xy
x, donde
“x” es número de pernos producidos. Determine la función costo de la fábrica considerando que sus
costos fijos son de 24 dólares, calcule el costo de producir 15 pernos.
6.- La función utilidad marginal en dólares lograda al producir y vender “x” productos es
26 8 1y x x . Determine la función si cuando se producen y venden 100 unidades la utilidad total es
de 20500 dólares, calcule la utilidad que produce la producción y venta de 250 unidades.