aCentro de enseñanza técnica industrial

Aplicaciones a las Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Variables separables, Homogéneas, Exactas por factor integrante, Lineales y de Bernoulli

Luis A. León González

07/03/2011

Contiene aplicaciones de cada una de las ecuaciones diferenciales de primer orden como son: Variables separables, Homogéneas, Exactas, Exactas por factor integrante, Lineales y de Bernoulli.

Ecuación Diferencial por variables separablesCrecimiento y descomposición

Existen en el mundo físico, en biología, medicina, demografía, economía,etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposición varía en forma proporcional a la

cantidad presente, es decir, dxdt

=kx con x (t 0 )=x0 , o sea que

dxdt

−kx=0

Que es una ED de variables separables o lineal en x de primer orden y cuya solución es x=C ekt

Como x ( t0 )=x0=Cek t0→C=x0e−k t o

Por lo tanto la solución particular es x=x0 e−k to ekt=x0e

k ( t−to )

En particular cuando t=0, entonces x=x0 ekt

Ecuación Diferencial LinealCaída con resistencia del aire

Por la segunda ley de Newton (ver textos de Física), se llega a qué:

md2 xdt 2 =mg−kv

Dividiendo entre md2 xdt2 =g− k

mv

dvdt

=g− km

v

Obtenemos la Ecuación Diferencial Lineal en v

dvdt

+ km

v=g

Hallemos el factor integrante

μ=e∫ k

mdt=e

ktm

Resolviéndola

vektm=∫e

ktm (g )dt+C

vektm=m

k(g ) e

ktm dt+C

v=mk

(g )+Ce−km

t

Supongamos que las condiciones iniciales son t=0, v=0 (es decir, parte del reposo), entonces

0=mgk

+C⇒C=−mgk

v=mgk

−mgk

¿

Obsérvese que cuando t→∞, v →mgk

Resolviendo para x y teniendo como condiciones iniciales t=0 y x=0 se llega a que

x=mgk

t−m2gk2

(1−e−km

t)

Ecuación Diferencial ExactasTrayectorias octogonales

En ingeniería se presentan a menudo el problema geométrico de encontrar una familia de curvas (trayectorias octogonales) que interceptan octogonalmente en cada punto de una familia dada de curvas.

Por ejemplo, es posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las líneas equipotenciales. Consideremos la familia de curvas descrita por la ecuación F(x,y) = K donde K es un parámetro real.

I) Usando diferenciación implícita, demostrar que, para cada curva de la familia, la pendiente está dada por

dydx

=−∂ F

∂x∂ F∂ y

II) Usando que la pendiente de una curva octogonal (perpendicular) a una curva es la inversa de la pendiente de la curva dada, demuestra que las curvas octogonales a la familia F(x,y) = K satisfacen la ecuación diferencial

∂F∂ y

( x , y )dx−∂F∂ x

( x , y )dy=0

III) Utilizando la ecuación diferencial procedente, demuestra que las trayectorias octogonales de la familia de circunferencias x2+ y2=K son rectas que pasan por el origen

Ecuación Diferencial LinealModelado de Concentración/Desleimiento de Soluciones

Otro de los problemas típicos donde se aplican exitosamente las ecuaciones diferenciales son los problemas de manejo de concentración de sustancias en soluciones líquidas. El principal objetivo, consiste en plantear el problema en término del problema de valores iniciales que gobierna el fenómeno (ecuación diferencial + condiciones iniciales). Para ello, en este tipo de problemas, siempre utilizaremos la regla intuitiva de

Tasa de Cambio de la Concentración = Tasa de Ingreso - Tasa de Egreso

Así, tendremos que para un problema típico en el cual inicialmente se encuentran diluidos en un recipiente (un tanque) y0 gr de una sustancia en V0 litros de un líquido. A este tanque le cae otro líquido con una concentración distinta de la misma sustancia a ventrada

lit/min, mientras que vsalida lit/min salen del tanque. Si suponemos que dentro del tanque sucede algún proceso de homogenización de la solución, la pregunta típica es que queremos saber la cantidad de sustancia que se encuentra en el tanque en un tiempo t: A la concentración de la sustancia en el líquido de entrada (gr/lit), en un tiempo t; la denotaremos como C (t) gr/lit. La figura (3) ilustra este proceso.

Para empezar notemos que, en esta situación el volumen no es constante. Por lo tanto, con el mismo espíritu de la \ley de balanceo" que hemos propuesto, si las velocidades de ingreso y egreso son constantes, nos queda que la variación del volumen inicial viene dada por la diferencia de estas velocidades, esto es

V ' (t )=V entrada−V salida

V (t )=V 0(V ¿¿entrada−V salida) t ¿

Con lo cual también hemos integrado una ecuación diferencial para encontrar como variará el volumen con el tiempo.

Para la construcción de la ecuación diferencial, procedemos de manera similar y si describimos la cantidad de sustancia en el tanque como y (t) ; nos queda que la tasa de cambio de la cantidad de sustancia en el tanque será

y ' (t )=V entrada( Litmin )C ( t )( grLit )−V salida ( Litmin )¿ Tasa de ingreso Tasa de egreso

Por lo tanto la ecuación diferencial tomará la forma típica de una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea

y ' (t )+ y ( t )V salida

V 0+ (V entrada−V salida) t=V entradaC ( t )

Figura 3: Soluciones y tanques

que tendrá por solución

y (t )=y0

(−V 0 )−( V salida

V entrada−V salida)

( (V entrada+V salida) t−V 0 )( V salida

V entrada−V salida)— ((−V entrada+V salida) t−V 0)−V entrada+V salida∫

0

t

V entradaC (u ) (u (V entrada−V salida)+V 0)( V salida

V entrada−V salida)du

Respuesta a las condiciones inicialesRespuesta a la excitación externa

Nótese lo genérico de esta solución. Por un lado, la concentración de la sustancia, C (t); en la solución que entra al sistema es distinta a la concentración de la sustancia presente en el tanque, más aún, puede ser variable con el tiempo. Por otro lado esta solución presenta una singularidad (un infinito) cuando la velocidad de ingreso es igual a la velocidad de egreso. Para este caso en el cual el volumen del tanque permanece constante tendremos que resolver la ecuación diferencial

y ' (t )+ y ( t )V salida

V 0

=V entradaC ( t )

y (t )=¿

Tal y como hemos mencionado varias veces (y seguiremos mencionando) la solución general para una ecuación diferencial no homogénea se compone de dos soluciones, la solución de la ecuación diferencial homogénea más la solución de la no homogénea.

y general ( x )= yhomog é nea ( x )+ ynohomog é nea ( x )

Este ejemplo nos permite constatar el sentido cada una de estas soluciones, vale decir

y (t )= y0 e−v salida t

v +e−v salida t

v ∫0

t

C (u)V entrada e(V salidau

V )du

Respuesta a las condiciones iniciales Respuesta a la Excitación externa

En esta es una visión que debemos conservar, en general para todas las ecuaciones lineales no homogéneas independientes del orden de la ecuación diferencial, así recordando, dada una ecuación diferencial y su solución tal que se cumple la condición inicial y (0) = y0 entonces siempre es posible

ddx

y ( x )+ p ( x ) y ( x )=g ( x )

y ( x )= y0 e∫0

x

−p (u )du+e

∫0

x

−p (u )du

∫0

x

g(u)e∫ p (u)dudu

Solución homogénea Solución no homogénea

donde ahora vemos claramente que la solución de la homogénea da cuenta a las condiciones iniciales del proceso y la solución de la no homogénea provee la respuesta a la excitación externa al sistema.

Este comportamiento de las soluciones es útil si nos planteamos que al tratar de \limpiar" una piscina, a la cual le hemos añadido el doble de la cantidad de sulfatos permitida, y queremos saber cuánto tiempo tenemos que mantener abierta una entrada de 120 lits/min de agua sin sulfatos y la salida de la piscina que responde a 60 lits/min. La piscina en cuestión tiene 20 m de longitud, 10 m de ancho y 2 m de profundidad. Siguiendo los pasos anteriormente planteados, tendremos que

y ' (t )+ y ( t )( V salida

V 0+(V entrada−V salida ) t )=0

y ' (t )+ y (t )( 60( Litmin )4 x105 Lit+60( Litmin )t )=0

y (t )=2000(y0

3 t+2000)

Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm)3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit. Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de

y0=20002 y0

3 t+2000

t ≈6,666.66minutos ‼!

Ecuación Diferencial de BernoulliDinámica de fluidos

La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía, el cual fue aplicado a ellos por el físico suizo Daniel Bernoulli (1700−1782), obteniendo como resultado una ecuación muy útil en este estudio, que se conoce con su nombre.Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energía mecánica de una porción de éste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que los une.Si m es la porción de masa considerada, su rapidez, la altura sobre el nivel tomado como base, la presión y la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo−energía cinética:

Si ahora se divide a todos los términos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendrá la ecuación de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservación de la energía por unidad de masa. Si el fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo, donde

, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:

Así como la estática de una partícula es un caso particular de la dinámica de la partícula, igualmente la estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de fluidos. Por lo tanto, la ecuación (6.10) debe contener a la ecuación (6.5) para la ley de la variación de presión con la altura para un fluido en reposo. En efecto, considerando un fluido en reposo, y reemplazando

En la ecuación de Bernoulli, se obtiene:

Que es precisamente la ecuación fundamental de la estática de fluidos.

Ejemplo:

La presión del agua que entra a un edificio es 3 atmósfera, siendo el diámetro de la tubería 2[cm] y su rapidez de

Si el baño de un departamento del 4º piso está a 6[m] de la entrada y la tubería tiene un diámetro de 4[cm], calcule:

La presión y rapidez del agua en el baño,La presión en el baño si se corta el agua a la entrada.Solución.

a. Usando la ecuación de Bernoulli a la entrada (región 1) y en el baño del 4º piso (región):

y la ecuación de continuidad,

Donde:

Encontramos:

b. Si el agua se corta en la entrada, donde