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Introducción Ecuación de Beltrami y regularidad de las soluciones Resultado sobre regularidad Idea de la demostración Otros resultados

Aplicaciones cuasiconformes y laecuación de Beltrami

Encuentro Nacional de Jóvenes Investigadores enMatemáticas

Victor Alberto Cruz Barriguete

Universidad Tecnológica de la Mixteca

30 de noviembre de 2015

Ecuación de Beltrami UTM


Plan de la presentación

Introducción

Ecuación de Beltrami y regularidad de las soluciones

Resultado sobre regularidad

Idea de la demostración

Otros resultados



Introducción

Figura: L. V. Ahlfors

Matemático finlandés(1907-1996). Intrudujo eltérmino de funcióncuasiconforme (1935) y esconsiderado el desarrolladorprincipal de la teoría de lasaplicaciones cuasiconformesen el plano. Medalla Fields en1936.



¿Por qué se estudian las aplicacionescuasiconformes?

1. Son la generalización natural de las funciones conformes.

2. Muchos teoremas sobre funciones conformes sólo utilizanla propiedad de ser cuasiconformes.

3. Las funciones cuasiconformes son menos rígidas que lasconformes.

4. Juegan un papel muy importante en las ecuaciones enderivadas parciales de tipo elíptico.

5. Aplicación en la geometría diferencial.6. Su reciente aplicación en problemas aplicados.




1. Son la generalización natural de las funciones conformes.2. Muchos teoremas sobre funciones conformes sólo utilizan

la propiedad de ser cuasiconformes.

3. Las funciones cuasiconformes son menos rígidas que lasconformes.







la propiedad de ser cuasiconformes.3. Las funciones cuasiconformes son menos rígidas que las

conformes.








conformes.4. Juegan un papel muy importante en las ecuaciones en

derivadas parciales de tipo elíptico.








derivadas parciales de tipo elíptico.5. Aplicación en la geometría diferencial.

6. Su reciente aplicación en problemas aplicados.







derivadas parciales de tipo elíptico.5. Aplicación en la geometría diferencial.6. Su reciente aplicación en problemas aplicados.



Aplicaciones lineales sobre CConsideremos f : C→ C. Una aplicación lineal sobre C tiene laforma:

f (z) = az

donde a ∈ C.

rθ|a|

r

f (z) = az = |a|eiθ z



Aplicaciones lineales sobre RConsideremos f : C→ C. Una aplicación lineal sobre R tiene laforma:

f (z) = az+bz

donde a,b ∈ C.

r

f (z) = az+bz∣∣ba

∣∣< 1 (|a|−|b|)r

(|a|+ |b|)

r



Consideremos un domio Ω ⊂C y f : Ω → C de clase C 1(Ω,C).Para a ∈ Ω, consideramos:

∂ f (a) =12

(∂ f∂x

+ i∂ f∂y

)(a).

∂ f (a) =12

(∂ f∂x

− i∂ f∂y

)(a).

f es R-diferenciable en a si

f (z) = f (a)+∂ f (a)(z−a)+∂ f (a)(z−a)+R(z)

donde R(z) = o(z−a).



f es C-diferenciable en a si

f (z) = f (a)+∂ f (a)(z−a)+R(z)

donde R(z) = o(z−a).


∂ f (a) =12

(∂ f∂x

+ i∂ f∂y

)(a) = 0.

Si además ∂ f (a) =12

(∂ f∂x

− i∂ f∂y

)(a) = 0, entonces f es

conforme si en a. f es conforme en Ω si lo es en cada a ∈ Ω.




f (z) = f (a)+∂ f (a)(z−a)+R(z)

donde R(z) = o(z−a). f es C-diferenciable en a si

∂ f (a) =12

(∂ f∂x

+ i∂ f∂y

)(a) = 0.


(∂ f∂x

− i∂ f∂y






f (z) = f (a)+∂ f (a)(z−a)+R(z)


∂ f (a) =12

(∂ f∂x

+ i∂ f∂y

)(a) = 0.


(∂ f∂x

− i∂ f∂y


conforme si en a.

f es conforme en Ω si lo es en cada a ∈ Ω.




f (z) = f (a)+∂ f (a)(z−a)+R(z)


∂ f (a) =12

(∂ f∂x

+ i∂ f∂y

)(a) = 0.


(∂ f∂x

− i∂ f∂y





Geometría de las aplicaciones conformes

r

f (z)≈ f (0)+∂ f (0)z

bf (0)



Geometría de las aplicaciones cuasiconformes

r

f (z)≈ f (0)+∂ f (0)z+∂ f (0)z∣∣∣∂ f (0)∂ f (0)

∣∣∣< 1

bf (0)



Formulación geométrica equivale a formulaciónen términos de edps



Ecuación de Beltrami

Consideremos la ecuación de Beltrami

∂ f (z) = µ(z)∂ f (z) (1)

donde µ es una función medible definida en el plano complejoC y tal que ∥µ∥∞ = k = K−1

K+1 < 1.

Las soluciones de (1) que pertenecen al espacio de SobolevW1,2

loc (C) se llaman K-cuasiregulares. Los homeomorfismoscuasiregulares se llaman K-cuasiconformes.Si f es cuasiconforme y fz = 0 para casi todo punto, entonces fes conforme.



Ecuación de Beltrami

Consideremos la ecuación de Beltrami

∂ f (z) = µ(z)∂ f (z) (1)

donde µ es una función medible definida en el plano complejoC y tal que ∥µ∥∞ = k = K−1

K+1 < 1.Las soluciones de (1) que pertenecen al espacio de SobolevW1,2

loc (C) se llaman K-cuasiregulares. Los homeomorfismoscuasiregulares se llaman K-cuasiconformes.Si f es cuasiconforme y fz = 0 para casi todo punto, entonces fes conforme.



Morrey (1938): Existe esencialmente una soluciónK-cuasiconforme.

Jr. Charles B. Morrey.On the solutions of quasi-linear elliptic partialdifferential equations.Trans. Amer. Math. Soc., 43 (1):126–166,1938.



Problema:

Conocer la regularidad de las soluciones cuasiregulares de laecuación de Beltrami.

En otras palabras,

µ(z) ∈ X(C) =⇒ ¿ f (z) ∈ ?



Problema:

Conocer la regularidad de las soluciones cuasiregulares de laecuación de Beltrami.En otras palabras,

µ(z) ∈ X(C) =⇒ ¿ f (z) ∈ ?



Mori (1956): Las aplicaciones cuasiregulares pertenecen aC 0,α

loc (C) para α = 1K .

Akira Mori.On an absolute constant in the theory ofquasi-conformal mappings.J. Math. Soc. Japan, 8:156–166, 1956.

Schauder (1934): Si el coeficiente de Beltrami µ ∈ C 0,αloc (C)

entonces f ∈ C 1,αloc (C)

J. Schauder.Numerische abschätzungen in elliptischendifferentialgleichungen.Studia Mathematica, (5), 1934.



Ahlfors (1966): Si p > 2 y µ ∈ W1,p(C) entonces f ∈ W2,ploc (C).

Lars V. Ahlfors.Lectures on quasiconformal mappings.The Wadsworth & Brooks/Monterey, CA,1987.With the assistance of Clifford J. Earle, Jr.,Reprint of the 1966 original.



Iwaniec (1992) Si µ ∈ VMO(C) con soporte compacto,entonces f ∈ W1,p

loc (C) para todo 1 < p < ∞.

Tadeusz Iwaniec.Lp-theory of quasiregular mappings.In Quasiconformal space mappings, volume1508 of Lecture Notes in Math., pages 39–64.Springer, Berlin, 1992.



Astala (1994) Sean ∥µ∥∞ ≤ k < 1 y p < 1+ 1k . Entonces

f ∈ W1,ploc (C).

Kari Astala.Area distortion of quasiconformal mappings.Acta Math., 173(1):37–60, 1994.



Clop et al. (2009) Si µ ∈ W1,2(C) tiene soporte compacto,entonces f ∈ W2,q

loc (C) para todo q < 2.

A. Clop, D. Faraco, J. Mateu, J. Orobitg, andX. Zhong.Beltrami equations with coefficient in theSobolev space W1,p.Publ. Mat., 53(1):197–230, 2009.

Ejemplo de Vasili’ev: µ(z) = zz

12log |z|−1 ∈ W1,2

loc (C) pero

f (z) = z(1− log |z|) ∈ W2,2loc (C).



Mateu et al. (2009) Si µ ∈ C 0,ε(Ω) entonces la aplicacióncuasiconforme f ∈ C 1,ε ′(Ω), donde Ω es undominio acotado de clase C 1,ε .

Joan Mateu, Joan Orobitg, and Joan Verdera.Extra cancellation of even Calderón-Zygmundoperators and quasiconformal mappings.J. Math. Pures Appl. (9), 91(4):402–431, 2009.



Teorema [C.-Mateu-Orobitg]Supongamos que µ ∈ As

p,q(C) tiene soporte compacto con∥µ∥∞ ≤ k < 1. Entonces toda solución cuasiregular de laecuación de Beltrami tiene primeras derivadas parciales enAs

p,q(C) de manera local.

Cruz, V., Mateu, J. and Orobitg, J.Beltrami equation with coefficient in Sobolev and Besovspaces.Canadian Journal of Mathematics (2013) 1–19.



En nuestro caso, consideramos para s > 0, 1 < p < ∞ y1 < q < ∞:

Asp,q(C) =

Fs

p,q(C) Espacio de Triebel-LizorkinBs

p,q(C) Espacio de Besov

Suponiendo adicionalmente que sp > 2, los espacios defunciones As

p,q(C) son álgebras multiplicativas de funcionescontinuas.



Teorema de Factorización de StoilowToda aplicación cuasiregular es la composición de una funcióncuasiconforme y una aplicación holomorfa. En otras palabras,

g(z) = H f (z)

donde g es K-cuasiregular, H es holomorfa y f esK-cuasiconforme.



Consideremos Transformada de Cauchy de h

Ch(z) =1π

∫C

h(w)z−w

dA(w)

Transformada de Beurling de h

Bh(z) =− 1π

VP∫C

h(w)(z−w)2 dA(w)

La relación entre C y B es

∂C(h) = B(h).



Solución PrincipalCuando µ tiene soporte compacto y |µ| ≤ k < 1, entoncesexiste una única aplicación cuasiconforme normalizada por lacondición f (z) = z+O

(1z

)en ∞.

La solución principal satisface las identidades

∂ f (z) = 1+B(∂ f )(z),f (z) = z+C(∂ f )(z).



ProposiciónSupongamos que µ tiene soporte compacto con ∥µ∥∞ ≤ k < 1 yque f (z) = z+Ch(z) es la solución principal de la ecuación deBeltrami. Sean s > 0, 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ y sp > 2. Siµ ∈ As

p,q(C), entonces h ∈ Asp,q(C).



Idea de la demostración en el caso Asp,q(C)

Consideremos la solución principal

f (z) = z+Ch(z)

Entonces, la función h satisface la ecuación funcional

(I −µB)h(z) = µ(z)

El problema se reduce a mostrar que:

h(z) = (I −µB)−1µ(z).



Siguiendo el esquema de Iwaniec, definimos

Pm = I +µB+ · · ·+(µB)m

y así

(I −µB)Pn−1 = Pn−1(I −µB) = I − (µB)n

= I −µnBn +K

donde K = µnBn − (µB)n.



Afirmación:I −µB : As

p,q(C)→ Asp,q(C)

es un operador de Fredholm.

La afirmación se sigue de:1. I −µnBn : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es invertible para todo n

suficientemente grande.

2. K : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es un operador compacto.



Afirmación:I −µB : As

p,q(C)→ Asp,q(C)

es un operador de Fredholm.

La afirmación se sigue de:1. I −µnBn : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es invertible para todo n

suficientemente grande.2. K : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es un operador compacto.



I −µnBn : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es invertible

Se sigue de:

1. bn =((−1)n)

πzn−1

zn+1 es el núcleo de la iterada de la

transformada de Beurling Bn

2. La constante de Calderón-Zygmund es

∥bn(z)|z|2∥∞ +∥∇bn(z)|z|3∥∞ ≤ Cn2

3. Dado que ∥gm∥Asp,q(C) ≤ C∥g∥m−1

∞ ∥g∥Asp,q(C) se tiene

∥µnBn(f )∥Asp,q(C) ≤ Cn2∥µ∥n−1

∞ ∥µ∥Asp,q(C)∥f∥As

p,q(C).



K : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es compacto

K es suma finita de operadores que tienen como factor alconmutator [µ,B].

El conmutator [µ,B] : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es compacto y

∥[µ,B] f∥Asp,q(C) ≤ C∥µ∥As

p,q(C)∥f∥Asp,q(C)

Consideramos µnn∈N ⊂ C∞c (C) tal que µn → µ , entonces

∥[µn,B] f −[µ,B] f∥Asp,q(C)≤C∥µn−µ∥As

p,q(C)∥f∥Asp,q(C)→ 0



Haciendo g = Cf con f ∈ Asp,q(C), escribimos

µB(f )−B(µf ) = B(∂ µCf )−∂ µ Cf

Si φ ∈ C ∞c (D), entonces φCf ∈ As+1

p,q(C) y usando la

inclusión As+1p,q (D) en As

p,q(D) es compacta. [µ,B] : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es compacto.






p,q(C) y usando la


p,q(D) es compacta.

[µ,B] : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es compacto.






p,q(C) y usando la


p,q(D) es compacta. [µ,B] : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es compacto.



De la expresión

(I −µB)Pn−1 = Pn−1(I −µB) = I − (µB)n

= I −µnBn +K

Concluimos que I −µB es de FredholmAfirmación:

I − tµB es una homotopía del operador identidad I en eloperador de Beltrami I −µB para t ∈ [0,1].

índice(I) = índice(I −µB) = 0Sea T : X → Y

índice(T) = dimker(T)− dimcoker(T)

donde coker(T) = Y/T(X).



Asp,q(C)⊂ Lp(C).

µ ∈ Asp,q(C)⊂ VMO(C) implica que

I −µB : Lp(C)→ Lp(C) es inyectivo. I −µB : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es inyectivo.

I −µB : Asp,q(C)→ As

p,q(C) es suprayectivo.



Asp,q(C)⊂ Lp(C).


I −µB : Lp(C)→ Lp(C) es inyectivo.


p,q(C) es inyectivo. I −µB : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es suprayectivo.



Asp,q(C)⊂ Lp(C).


I −µB : Lp(C)→ Lp(C) es inyectivo. I −µB : As

p,q(C)→ Asp,q(C) es inyectivo.


p,q(C) es suprayectivo.



Otros resultados

Consideremos

I1(L2,1(C)) = f : ∃g ∈ L2,1(C) f = I1 ∗g

ProposiciónSupongamos que µ tiene soporte compacto con ∥µ∥∞ ≤ k < 1 yque f (z) = z+Ch(z) es la solución principal de la ecuación deBeltrami. Si µ ∈ I1(L2,1(C)), entonces h ∈ I1(L2,1(C)).



ProposiciónSupongamos que µ tiene soporte compacto con ∥µ∥∞ ≤ k < 1 yque f (z) = z+Ch(z) es la solución principal de la ecuación deBeltrami. Si µ ∈ Is(L

2s ,1(C)) para 0 < s < 2, entonces

h ∈ Is(L2s ,1(C)).



Dominios acotados Ω

Teorema [C.-Mateu-Orobitg]Consideremos Ω un dominio acotado del plano con frontera declase C 1,ε y µ es medible con soporte en Ω que satisface∥µ∥∞ = k < 1. Si ϕ(z) = z+C(h)(z) es la solución principal dela ecuación de Beltrami, 1 < p < ∞, 0 < s ≥ 1 y sp > 2,entonces :

1. Si µ ∈ Ws,p(Ω) entonces h ∈ Ws,p(Ω).

2. Si µ ∈ Bsp,p(Ω) entonces h ∈ Bs

p,p(Ω).



Dominios acotados Ω

Teorema [C.-Mateu-Orobitg]Consideremos Ω un dominio acotado del plano con frontera declase C 1,ε y µ es medible con soporte en Ω que satisface∥µ∥∞ = k < 1. Si ϕ(z) = z+C(h)(z) es la solución principal dela ecuación de Beltrami, 1 < p < ∞, 0 < s ≥ 1 y sp > 2,entonces :

1. Si µ ∈ Ws,p(Ω) entonces h ∈ Ws,p(Ω).2. Si µ ∈ Bs

p,p(Ω) entonces h ∈ Bsp,p(Ω).



Prats (2015) Generalizaron el resultado de regularidad de lassoluciones de la ecuación de Beltrami en Ws,p(Ω)para s ∈ N.

Martí Prats.Sobolev regularity of quasiconformalmappings on domains.Preprint,http://arxiv.org/abs/1507.04332


http://arxiv.org/abs/1507.04332


El primer obstáculo

Teorema [C.-Mateu-Orobitg]Consideremos Ω un dominio acotado de Rn con frontera declase C 1,ε y consideremos un operador T de CalderónZygmund de tipo par.

Si TχΩ ∈ Bsp,p(Ω) con 0 < s < 1, n < sp < ∞, entonces

TΩ : Bsp,p(Ω)→ Bs

p,p(Ω). Si TχΩ ∈ Ws,p(Ω) con 0 < s < 1, n < sp < ∞, entonces

TΩ : Ws,p(Ω)→ Ws,p(Ω). Si TχΩ ∈ W1,p(Ω) con , n < p < ∞, entonces

TΩ : W1,p(Ω)→ W1,p(Ω).



Prats y Tolsa (2015) Generalizaron el resultado de acotación deoperadores truncados en Ws,p(Ω) para s ∈ N.

Martí Prats and Xavier Tolsa.A T(P) theorem for Sobolev spaces ondomains.J.Functional Analysis (268), (10):2946–2989,2015.

Prats y Saksman (2015) Acotación de operadores truncados enFs

p,q(Ω).

Martí Prats and Eero Saksman.A T(1) theorem for fractional Sobolev spaceson domainshttp://arxiv.org/abs/1507.03935


http://arxiv.org/abs/1507.03935


Algunos problemas

Estudiar la invertibilidad del operador de Beltrami I −µBen otros espacios de funciones X(C)

Estudiar la invertibilidad del operador I −µB en otrosespacios de funciones X(Ω)

Estudiar la invertibilidad del operador generalizado deBeltrami I −µB−νB en otros espacios de funciones X(C)y X(Ω)



Estudiar el operador A-armónico

L u = div(A∇u)

E. g. [ Iwaniec y Sbordone (1997)] ParaA ∈ VMO(Rn,Rn×n), si 1 < p < ∞ y F ∈ Lp(Rn,Rn), laecuación diferencial

div(A∇u) = divF

entonces u ∈ W1,p(Rn)

T. Iwaniec and C. Sbordone.Riez transform and eliptic PDEs with VMOcoefficientsJournal d’Analyse Mathématique(74) (1998)



Estudiar R∗ARφ = R∗F dondeR = (R1, . . . ,Rn) : Lp(Rn)→ Lp(Rn,Rn)



GRACIAS


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