APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ixx
C.G
UBICACIÓN DEL TEMA
Integral definida
b
a
dxf(x)
Teoremas F.del CIntegral (R.Barrow)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
SteinnerSteinner
Varignón
GEOMÉTRICAS FÍSICAS
integral indefinida
f(x).dx
y = f (x)
derivada de una funciónf’(x)
APLICACIONES
lim f (x)x0
continuidad
T.GuldinT.Guldin
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Se desea cubrir el contrafrente
del galpón cuya sección y
medidas se indican. Determine
el costo de hacerlo, si se
utilizarán chapas que cuestan
$35. el m2.
2m
SITUACION PROBLEMÁTICA
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SITUACION PROBLEMÁTICA
Se desea colocar una mampara vidriada en los accesos a la pérgola que se indica. La forma, sección y medidas se indican el croquis que se adjunta. Determine la cantidad de vidrio necesario (m2)
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En el terreno libre de la FAU, adyacente a los talleres, se va a construir un
galpón que servirá de depósito de los elementos empleados en el Proyecto
Bambú. Se desea cubrir con chapas el contrafrente del galpón, cuya
estructura de cubierta está formada por arcos de filigrana con arco superior
de forma parabólica. De acuerdo al análisis de necesidades, las medidas
adecuadas son las indicadas en el gráfico.
Se pide que calcule, en m2 , la superficie a cubrir.
8m
3m4m
cg2
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AREA DE UNA REGIÓN PLANA
y= f(x)
x=bx0
c1 xici cn
c2x1 xnxi-1
x=a
f(c1)f(c2)
f(cn)
R
x1 x2 xi xn
f(ci)f(xi-1) f(xi)
2
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Sea una función f continua y positiva en
el intervalo cerrado [a,b], la medida del
área de la región R del plano, acotada por
la grafica de la función y = f(x), el eje x y
las rectas x = a y x = b está dada por
b
adxxfA ).(
a b
y=f(x)
PDiapositiva 5
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ÁREA ENTRE CURVAS
El área de la región encerrada por las
funciones y= f(x) y y= g(x) en el
intervalo cerrado [a,b] está dada por
b
a
dxxgxfA .)()(
y=f(x)
y=g (x)
a b x
f(x)-g(x)
x
y
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A .M
CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANAMasa de la sección plana
V .MMasa de la sección plana Densidad
Medida del áreade la región plana R
Momento de masa
yMM x . xMM y .
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
M
My x
M
Mx y
x
y
M
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ii x . f(ci) . A . iM
x . f(ci) .n
1i M
dx )( .b
a xfM
xi
f(ci)
a b
y=f(x)
M
Masa de la región plana
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f(ci) 2
1.. i iii MyMMx
x . f(ci) .2
1 n
1i
2 xM dx )( .2
1b
a
2 xfM x
xi
f(ci)
Momento de masa
iii xcifxcifMx .)(.2
1f(ci)
2
1.).(. 2
dx )(. .b
a xfxM y
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
yi
a b
y=f(x)
x
y
b
a
b
ay
dxxf
dxxfx
M
Mx
)(.
)( .
b
a
dxxfxA
x )(.1
b
a
b
ax
dxxf
dxxf
M
My
)(.
)(.2
1 2
b
a
dxxfA
y 2)(2
1
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Determine, aplicando
integrales, el centro de
gravedad de una viga de
sección triangular de base
b y altura h. Verifique con
geogebra.
Determine, aplicando
integrales, el centro de
gravedad de una viga de
sección triangular de base
b y altura h. Verifique con
geogebra.
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•Ecuación de la recta que determina la sección plana:
•Medida del área de la sección plana:
hxb
hy
2
.hbA
)(.1b
a
dxxfxA
x )(2
1 2b
a
dxxfA
y
INTEGRALES
GEOMETRÍA
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. b.h
2
b
0
dxxb
hhxx
b.h
1
b
0
2
dxxb
hhy
b
hh
bh
b
3
.3
x
2
.2
x
2
0
b 3
1 x
h 3
1 y
23
2.
3x
2.
2h2
1
0b
h
b
xxh
bh
b
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TEOREMA DE VARIGNÓN
El momento estático de la resultante de dos o mas fuerzas
concurrentes respecto a un punto contenido en el plano de las
mismas, es igual a la suma algebraica de los momentos estáticos de
las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.
221.1 .F F . xxxR
Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante y trabajamos con secciones planas de área A podremos emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO DE GRAVEDAD de figuras planas:
n
n
iA
ixiA
gx
1
1
.
n
n
iA
iyiA
gy
1
1
.
F1
F2
R=F1+ F2x1
x2
x
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x1
x2
cmgx 86,31612
6).2.8(1.6.2
cmgy 86,11612
1).2.8(3.6.2
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TEOREMA DE STEINER
El momento de inercia de un sólido rígido
respecto a cualquier eje paralelo a un eje
que pasa por el centro de masa, es igual
al momento de inercia con respecto al
eje que pasa por el centro de masa más
el producto de la masa por el cuadrado
de la distancia entre los dos ejes:
2m.d gI xxI
En el caso de secciones rectangulares:
d
x
x
bh
d
x
x2A.d gI xxI
2b.h.d 12
3b.h xxI
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Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda
consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su
sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y
determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica.
Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma:
10
40
20
20
La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su
forma es mas apta para el trabajo de flexión.
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INTEGRAL DEFINIDA
ix).
n
1i if(c
nlim
b
adxxf )(
Sea una función f definida en el intervalo
cerrado [a,b], la INTEGRAL DEFINIDA de f
en [a, b] simbolizada por
está dada por:
Si el límite existe
b
a
dxxf )(
y
y=f(x)
0 a b x
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SEG
UN
DO
TEO
REM
A
FUN
DA
MEN
TA
L D
EL
CÁ
LCU
LO
Si f es una función continua en el intervalo [a,b]
y F(x) es una primitiva particular de f(x) en [a , b]
entonces
F(a) F(b)f(x)dxb
a
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