APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LA FISICA

INTEGRANTES

BARRANTES QUISPE, LUIS FELIPEBLAS VEGAA, MAYCOL NUÑEZ GARAY, JORGE SOBREVILLA CORNEJO, LUIS DAVID

¿QUÉ ES UNA INTEGRAL DEFINIDA?

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

¿CÓMO APLICAMOS LA INTEGRAL EN LA FISICA?

La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

TAMBIEN SE APLICAN EN…

Aunque no se trata de una herramienta de uso cotidiano del ingeniero, el cálculo integral tiene aplicaciones en el desarrollo de algunos modelos estocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales. La aplicación de estos modelos va dese la distribución de plantas, hasta la planificación de compras y producción.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1: La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. El odómetro del carro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).

Ejemplo 2: En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares.

Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la fórmula de costo total a través de integrales

INTEGRAL DEFINIDA EN EL ESPACIO RECORRIDO MRU

Un movimiento es rectilíneo cuando el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

El MRU (movimiento rectilíneo uniforme) se caracteriza por:• Movimiento que se realiza

sobre una línea recta.• Velocidad constante; implica

magnitud y dirección constantes.

• La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.

• Aceleración nula.

Como aplicaremos?

La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad media (velocidad o rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante llamado movimiento de un cuerpo.Al representar gráficamente la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la distancia recorrida.La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad.Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo.

APLICACION

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = 

De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: = s(t2) - s(t1)

Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) - s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:

distancia total recorrida durante el intervalo de

tiempo [t1, t2]

PROBLEMA N° 1

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

INTEGRAL DEFINIDA EN EL TRABAJO

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido.

Es decir: W = F · x.

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.

Consideremos una partícula P que se desplaza sobre el eje x, desde el punto (a, 0) al punto (b, 0) por medio de una fuerza f = F(x), x ∈ [a, b].

Dividamos el segmento [a, b] en n partes arbitrarias de longitudes ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xi, . . . , ∆xn, y tomemos en

cada subintervalo [xi−1, xi] un punto arbitrario ti como se muestra a continuación.

FORMULACION

Cuando la partícula se mueve de xi−1 a xi , el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto F(ti)·∆xi . Luego, la suma:

Nos dará la expresión aproximada del trabajo de la fuerza F en todo el segmento [a, b]. La suma:

LUEGO…Existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza f = F(x) al mover una partícula de a a b, a lo largo del eje x. Se tiene entonces que :

Siendo F(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando esta se encuentra en el punto cuya coordenada es x.

Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es

el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.

LEY DE HOOKELa ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle.

F=k⋅(x−x0)donde:• F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el muelle.• k es la constante elástica del muelle, que relaciona fuerza y

alargamiento. Cuanto mayor es su valor más trabajo costará estirar el muelle. Depende del muelle, de tal forma que cada uno tendrá la suya propia.

• x0 es la longitud del muelle sin aplicar la fuerza.• x es la longitud del muelle con la fuerza aplicada.Si al aplicar la fuerza, deformamos permanentemente el muelle decimos que hemos superado su límite de elasticidad.

LEY DE HOOKE

PROBLEMA N°2

¿Qué trabajo debe hacerse para estirar un resorte desde 3 cm hasta 5 cm, si con una fuerza de 1 kg-f se estira en 1 cm? Se sabe, por la ley de Hook, que la fuerza F requerida para estirar un resorte es proporcional a la longitud x de este?

GRACIAS