Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...
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Aplicaciones de la ortogonalidad
matricial a procesos estocasticos
Manuel Domınguez de la Iglesia
Instituto de Matematicas C.U., UNAM
XLVII Congreso Nacional de la SMMDurango, 26–31 de octubre de 2014
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Outline
1 Procesos de MarkovPreliminaresMetodos espectrales
2 Procesos de Markov bidimensionalesPreliminaresMetodos espectrales
3 EjemplosUn camino aleatorio en Z
Variante de un camino aleatorio en Z
Walsh’s spiderUn ejemplo de teorıa de representacion de grupos
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Indice
1 Procesos de MarkovPreliminaresMetodos espectrales
2 Procesos de Markov bidimensionalesPreliminaresMetodos espectrales
3 EjemplosUn camino aleatorio en Z
Variante de un camino aleatorio en Z
Walsh’s spiderUn ejemplo de teorıa de representacion de grupos
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales
Sea ω una medida positiva sobre S ⊂ R y consideremos L2ω(S).Una sucesion de polinomios (qn)n es ortogonal si
〈qn, qm〉ω =
∫
S
qn(x)qm(x)dω(x) = ‖qn‖2ωδnm, n,m ≥ 0
Esto implica que (qn)n verifica una relacion de recurrencia a tres terminos(q−1 = 0, q0 = 1)
xqn(x) = anqn+1(x) + bnqn(x) + cnqn−1(x), n ≥ 1
donde an, cn 6= 0, bn ∈ R y q0(x) = 1, q−1(x) = 0.Operador de Jacobi (tridiagonal):
Jq =
b0 a0c1 b1 a1
c2 b2 a2. . .
. . .. . .
q0(x)q1(x)q2(x)...
= x
q0(x)q1(x)q2(x)...
= xq, x ∈ S
El resultado contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales
Sea ω una medida positiva sobre S ⊂ R y consideremos L2ω(S).Una sucesion de polinomios (qn)n es ortogonal si
〈qn, qm〉ω =
∫
S
qn(x)qm(x)dω(x) = ‖qn‖2ωδnm, n,m ≥ 0
Esto implica que (qn)n verifica una relacion de recurrencia a tres terminos(q−1 = 0, q0 = 1)
xqn(x) = anqn+1(x) + bnqn(x) + cnqn−1(x), n ≥ 1
donde an, cn 6= 0, bn ∈ R y q0(x) = 1, q−1(x) = 0.Operador de Jacobi (tridiagonal):
Jq =
b0 a0c1 b1 a1
c2 b2 a2. . .
. . .. . .
q0(x)q1(x)q2(x)...
= x
q0(x)q1(x)q2(x)...
= xq, x ∈ S
El resultado contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales
Sea ω una medida positiva sobre S ⊂ R y consideremos L2ω(S).Una sucesion de polinomios (qn)n es ortogonal si
〈qn, qm〉ω =
∫
S
qn(x)qm(x)dω(x) = ‖qn‖2ωδnm, n,m ≥ 0
Esto implica que (qn)n verifica una relacion de recurrencia a tres terminos(q−1 = 0, q0 = 1)
xqn(x) = anqn+1(x) + bnqn(x) + cnqn−1(x), n ≥ 1
donde an, cn 6= 0, bn ∈ R y q0(x) = 1, q−1(x) = 0.Operador de Jacobi (tridiagonal):
Jq =
b0 a0c1 b1 a1
c2 b2 a2. . .
. . .. . .
q0(x)q1(x)q2(x)...
= x
q0(x)q1(x)q2(x)...
= xq, x ∈ S
El resultado contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales
Sea ω una medida positiva sobre S ⊂ R y consideremos L2ω(S).Una sucesion de polinomios (qn)n es ortogonal si
〈qn, qm〉ω =
∫
S
qn(x)qm(x)dω(x) = ‖qn‖2ωδnm, n,m ≥ 0
Esto implica que (qn)n verifica una relacion de recurrencia a tres terminos(q−1 = 0, q0 = 1)
xqn(x) = anqn+1(x) + bnqn(x) + cnqn−1(x), n ≥ 1
donde an, cn 6= 0, bn ∈ R y q0(x) = 1, q−1(x) = 0.Operador de Jacobi (tridiagonal):
Jq =
b0 a0c1 b1 a1
c2 b2 a2. . .
. . .. . .
q0(x)q1(x)q2(x)...
= x
q0(x)q1(x)q2(x)...
= xq, x ∈ S
El resultado contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Familias clasicas
(Bochner, 1929) Caracterizar familias (qn)n verificando
σ(x)q′′n (x) + τ(x)q′n(x) = λnqn(x), deg(σ) ≤ 2, deg(τ) = 1
La medida positiva ω (simetrica) verifica la ecuacion de Pearson
(σ(x)ω(x))′ = τ(x)ω(x)
1 Hermite: σ(x) = 1, τ(x) = −2x , λn = −2n
ω(x) = e−x2 , x ∈ R, Distribucion Normal o Gaussiana.
2 Laguerre: σ(x) = x , τ(x) = −x + α+ 1, λn = −n
ω(x) = xαe−x , x ∈ [0,+∞), α > −1, Distribucion Gamma.
3 Jacobi: σ(x) = 1− x2, τ(x) = −(α+ β + 2)x + β − α,λn = −n(n + α+ β + 1)
ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , x ∈ [−1, 1], α, β > −1, Distribucion Beta.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Familias clasicas
(Bochner, 1929) Caracterizar familias (qn)n verificando
σ(x)q′′n (x) + τ(x)q′n(x) = λnqn(x), deg(σ) ≤ 2, deg(τ) = 1
La medida positiva ω (simetrica) verifica la ecuacion de Pearson
(σ(x)ω(x))′ = τ(x)ω(x)
1 Hermite: σ(x) = 1, τ(x) = −2x , λn = −2n
ω(x) = e−x2 , x ∈ R, Distribucion Normal o Gaussiana.
2 Laguerre: σ(x) = x , τ(x) = −x + α+ 1, λn = −n
ω(x) = xαe−x , x ∈ [0,+∞), α > −1, Distribucion Gamma.
3 Jacobi: σ(x) = 1− x2, τ(x) = −(α+ β + 2)x + β − α,λn = −n(n + α+ β + 1)
ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , x ∈ [−1, 1], α, β > −1, Distribucion Beta.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Familias clasicas
(Bochner, 1929) Caracterizar familias (qn)n verificando
σ(x)q′′n (x) + τ(x)q′n(x) = λnqn(x), deg(σ) ≤ 2, deg(τ) = 1
La medida positiva ω (simetrica) verifica la ecuacion de Pearson
(σ(x)ω(x))′ = τ(x)ω(x)
1 Hermite: σ(x) = 1, τ(x) = −2x , λn = −2n
ω(x) = e−x2 , x ∈ R, Distribucion Normal o Gaussiana.
2 Laguerre: σ(x) = x , τ(x) = −x + α+ 1, λn = −n
ω(x) = xαe−x , x ∈ [0,+∞), α > −1, Distribucion Gamma.
3 Jacobi: σ(x) = 1− x2, τ(x) = −(α+ β + 2)x + β − α,λn = −n(n + α+ β + 1)
ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , x ∈ [−1, 1], α, β > −1, Distribucion Beta.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Familias clasicas
(Bochner, 1929) Caracterizar familias (qn)n verificando
σ(x)q′′n (x) + τ(x)q′n(x) = λnqn(x), deg(σ) ≤ 2, deg(τ) = 1
La medida positiva ω (simetrica) verifica la ecuacion de Pearson
(σ(x)ω(x))′ = τ(x)ω(x)
1 Hermite: σ(x) = 1, τ(x) = −2x , λn = −2n
ω(x) = e−x2 , x ∈ R, Distribucion Normal o Gaussiana.
2 Laguerre: σ(x) = x , τ(x) = −x + α+ 1, λn = −n
ω(x) = xαe−x , x ∈ [0,+∞), α > −1, Distribucion Gamma.
3 Jacobi: σ(x) = 1− x2, τ(x) = −(α+ β + 2)x + β − α,λn = −n(n + α+ β + 1)
ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , x ∈ [−1, 1], α, β > −1, Distribucion Beta.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Familias clasicas
(Bochner, 1929) Caracterizar familias (qn)n verificando
σ(x)q′′n (x) + τ(x)q′n(x) = λnqn(x), deg(σ) ≤ 2, deg(τ) = 1
La medida positiva ω (simetrica) verifica la ecuacion de Pearson
(σ(x)ω(x))′ = τ(x)ω(x)
1 Hermite: σ(x) = 1, τ(x) = −2x , λn = −2n
ω(x) = e−x2 , x ∈ R, Distribucion Normal o Gaussiana.
2 Laguerre: σ(x) = x , τ(x) = −x + α+ 1, λn = −n
ω(x) = xαe−x , x ∈ [0,+∞), α > −1, Distribucion Gamma.
3 Jacobi: σ(x) = 1− x2, τ(x) = −(α+ β + 2)x + β − α,λn = −n(n + α+ β + 1)
ω(x) = (1− x)α(1 + x)β , x ∈ [−1, 1], α, β > −1, Distribucion Beta.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov
Un proceso de Markov con espacio de estados S ⊂ R es una coleccion devariables aleatorias {Xt ∈ S : t ∈ T } indexadas por tiempo T (continuo odiscreto) tal que verifican la propiedad de Markov: un suceso futuro solodepende del presente, no del pasado (falta de memoria).
S discreto (Cadenas de Markov)
La transicion de probabilidades
Pij (t) ≡ Pr(Xt = j |X0 = i), i , j ∈ {0, 1, . . .}
viene en terminos de una matriz estocastica
P(t) =
P00(t) P01(t) · · ·P10(t) P11(t) · · ·
......
. . .
S continuo (proceso de Markov)
Las probabilidades vienen dadas en terminos de una densidad
p(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y |X0 = x), x , y ∈ (a,b) ⊂ R
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov
Un proceso de Markov con espacio de estados S ⊂ R es una coleccion devariables aleatorias {Xt ∈ S : t ∈ T } indexadas por tiempo T (continuo odiscreto) tal que verifican la propiedad de Markov: un suceso futuro solodepende del presente, no del pasado (falta de memoria).
S discreto (Cadenas de Markov)
La transicion de probabilidades
Pij (t) ≡ Pr(Xt = j |X0 = i), i , j ∈ {0, 1, . . .}
viene en terminos de una matriz estocastica
P(t) =
P00(t) P01(t) · · ·P10(t) P11(t) · · ·
......
. . .
S continuo (proceso de Markov)
Las probabilidades vienen dadas en terminos de una densidad
p(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y |X0 = x), x , y ∈ (a,b) ⊂ R
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov
Un proceso de Markov con espacio de estados S ⊂ R es una coleccion devariables aleatorias {Xt ∈ S : t ∈ T } indexadas por tiempo T (continuo odiscreto) tal que verifican la propiedad de Markov: un suceso futuro solodepende del presente, no del pasado (falta de memoria).
S discreto (Cadenas de Markov)
La transicion de probabilidades
Pij (t) ≡ Pr(Xt = j |X0 = i), i , j ∈ {0, 1, . . .}
viene en terminos de una matriz estocastica
P(t) =
P00(t) P01(t) · · ·P10(t) P11(t) · · ·
......
. . .
S continuo (proceso de Markov)
Las probabilidades vienen dadas en terminos de una densidad
p(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y |X0 = x), x , y ∈ (a,b) ⊂ R
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Tres casos importantes
1 Caminos aleatorios: S = {0, 1, 2, . . .}, T = {0, 1, 2, . . .}.
P =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
, bi ≥ 0, ai , ci > 0, ai + bi + ci = 1
P(n) = Pn es la matriz de transicion de probabilidades en el paso n.
2 Procesos de nacimiento y muerte: S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).
P(t) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A, P(0) = I
A =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
, λi , µi > 0
3 Procesos de difusion: S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).
p(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
∂
∂tp(t; x , y) = Ap(t; x , y),
∂
∂tp(t; x , y) = A∗
p(t; x , y)
A =1
2σ2(x)
d2
dx2+ τ (x)
d
dx
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Tres casos importantes
1 Caminos aleatorios: S = {0, 1, 2, . . .}, T = {0, 1, 2, . . .}.
P =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
, bi ≥ 0, ai , ci > 0, ai + bi + ci = 1
P(n) = Pn es la matriz de transicion de probabilidades en el paso n.
2 Procesos de nacimiento y muerte: S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).
P(t) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A, P(0) = I
A =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
, λi , µi > 0
3 Procesos de difusion: S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).
p(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
∂
∂tp(t; x , y) = Ap(t; x , y),
∂
∂tp(t; x , y) = A∗
p(t; x , y)
A =1
2σ2(x)
d2
dx2+ τ (x)
d
dx
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Tres casos importantes
1 Caminos aleatorios: S = {0, 1, 2, . . .}, T = {0, 1, 2, . . .}.
P =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
, bi ≥ 0, ai , ci > 0, ai + bi + ci = 1
P(n) = Pn es la matriz de transicion de probabilidades en el paso n.
2 Procesos de nacimiento y muerte: S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).
P(t) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A, P(0) = I
A =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
, λi , µi > 0
3 Procesos de difusion: S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).
p(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
∂
∂tp(t; x , y) = Ap(t; x , y),
∂
∂tp(t; x , y) = A∗
p(t; x , y)
A =1
2σ2(x)
d2
dx2+ τ (x)
d
dx
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a00 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5b1
0 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a10 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a20 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
c30 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5b2
0 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a20 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a30 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
c40 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a30 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
S
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5
a40 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
Sb
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
· · ·a0 a1 a2 a3 a4 a5
c1 c2 c3 c4 c5 c6
b0
b1 b2 b3 b4 b5b5
0 1 2 3 4 5b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
T
Sb
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ60 1 2 3 4 5b
T
S
t0b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ00 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ10 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6µ20 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3
b
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ10 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3 t4
b
![Page 37: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/37.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ20 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3 t4 t5
b
![Page 38: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/38.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ30 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6
b
![Page 39: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/39.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
λ40 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
b
![Page 40: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/40.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
· · ·λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6µ50 1 2 3 4 5b
T
S
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
b
![Page 41: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/41.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion
Proceso de Ornstein-Uhlenbeck: S = R y σ2(x) = 1, τ(x) = −x
Describe la velocidad de una partıcula browniana masiva bajo lainfluencia de friccion. Es el unico proceso no trivial que es estacionario,Gaussiano y Markoviano.
0 5 10−2
−1
0
1
2
3
X0=0
0 5 10−2
−1
0
1
2
3
X0=3
0 5 10−4
−2
0
2
4
X0=−3
0 5 10−5
0
5
10
15
X0=10
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Dado un operador infinitesimal A, si podemos encontrar una medida ω(x)asociada a A, y un conjunto de autofunciones ortogonales f (i , x) tal que
Af (i , x) = λ(i , x)f (i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de probabilidades de transicion Pij(t).Caso continuo: densidad de transiciones p(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0, π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
Pij(t)
Caso continuo: ψ(y) with
ψ(y) = limt→∞
p(t; x , y)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Dado un operador infinitesimal A, si podemos encontrar una medida ω(x)asociada a A, y un conjunto de autofunciones ortogonales f (i , x) tal que
Af (i , x) = λ(i , x)f (i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de probabilidades de transicion Pij(t).Caso continuo: densidad de transiciones p(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0, π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
Pij(t)
Caso continuo: ψ(y) with
ψ(y) = limt→∞
p(t; x , y)
![Page 44: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/44.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Dado un operador infinitesimal A, si podemos encontrar una medida ω(x)asociada a A, y un conjunto de autofunciones ortogonales f (i , x) tal que
Af (i , x) = λ(i , x)f (i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de probabilidades de transicion Pij(t).Caso continuo: densidad de transiciones p(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0, π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
Pij(t)
Caso continuo: ψ(y) with
ψ(y) = limt→∞
p(t; x , y)
![Page 45: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/45.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
S = T = {0, 1, 2, . . .}.Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aP cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Pq =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= x
q0(x)q1(x)
...
, x ∈ [−1, 1]
Probabilidades de transicion
Pnij = Pr(Xn = j |X0 = i) =
1
‖qi‖2ω
∫ 1
−1
xnqi(x)qj(x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πP = π ⇒ πi =a0a1 · · · ai−1
c1c2 · · · ci=
1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Modelos de urnas relacionados con polinomios de Jacobi (Legendre,
Gegenbauer, Chebyshev).
![Page 46: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/46.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
S = T = {0, 1, 2, . . .}.Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aP cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Pq =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= x
q0(x)q1(x)
...
, x ∈ [−1, 1]
Probabilidades de transicion
Pnij = Pr(Xn = j |X0 = i) =
1
‖qi‖2ω
∫ 1
−1
xnqi(x)qj(x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πP = π ⇒ πi =a0a1 · · · ai−1
c1c2 · · · ci=
1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Modelos de urnas relacionados con polinomios de Jacobi (Legendre,
Gegenbauer, Chebyshev).
![Page 47: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/47.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
S = T = {0, 1, 2, . . .}.Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aP cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Pq =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= x
q0(x)q1(x)
...
, x ∈ [−1, 1]
Probabilidades de transicion
Pnij = Pr(Xn = j |X0 = i) =
1
‖qi‖2ω
∫ 1
−1
xnqi(x)qj(x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πP = π ⇒ πi =a0a1 · · · ai−1
c1c2 · · · ci=
1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Modelos de urnas relacionados con polinomios de Jacobi (Legendre,
Gegenbauer, Chebyshev).
![Page 48: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/48.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Caminos aleatorios
S = T = {0, 1, 2, . . .}.Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aP cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Pq =
b0 a0c1 b1 a1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= x
q0(x)q1(x)
...
, x ∈ [−1, 1]
Probabilidades de transicion
Pnij = Pr(Xn = j |X0 = i) =
1
‖qi‖2ω
∫ 1
−1
xnqi(x)qj(x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πP = π ⇒ πi =a0a1 · · · ai−1
c1c2 · · · ci=
1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Modelos de urnas relacionados con polinomios de Jacobi (Legendre,
Gegenbauer, Chebyshev).
![Page 49: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/49.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aA cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Aq =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= −x
q0(x)q1(x)
...
Probabilidades de transicion
Pij(t) = Pr(Xt = j |X0 = i) =1
‖qi‖2ω
∫
∞
0
e−xt
qi(x)qj (x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πA = 0 ⇒ πi =λ0λ1 · · · λi−1
µ1µ2 · · ·µi
=1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Laguerre, Meixner (modelos de crecimiento lineal, Charlier (cola
M/M/∞), Krawtchouk (modelo de Ehrenfest).
![Page 50: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/50.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aA cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Aq =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= −x
q0(x)q1(x)
...
Probabilidades de transicion
Pij(t) = Pr(Xt = j |X0 = i) =1
‖qi‖2ω
∫
∞
0
e−xt
qi(x)qj (x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πA = 0 ⇒ πi =λ0λ1 · · · λi−1
µ1µ2 · · ·µi
=1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Laguerre, Meixner (modelos de crecimiento lineal, Charlier (cola
M/M/∞), Krawtchouk (modelo de Ehrenfest).
![Page 51: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/51.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aA cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Aq =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= −x
q0(x)q1(x)
...
Probabilidades de transicion
Pij(t) = Pr(Xt = j |X0 = i) =1
‖qi‖2ω
∫
∞
0
e−xt
qi(x)qj (x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πA = 0 ⇒ πi =λ0λ1 · · · λi−1
µ1µ2 · · ·µi
=1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Laguerre, Meixner (modelos de crecimiento lineal, Charlier (cola
M/M/∞), Krawtchouk (modelo de Ehrenfest).
![Page 52: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/52.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de nacimiento y muerte
S = {0, 1, 2, . . .}, T = [0,∞).Teorema espectral (Karlin-MacGregor, 1959): existe una medida ω asociada aA cuyos polinomios ortogonales (qn)n satisfacen (q−1 = 0, q0 = 1)
Aq =
−λ0 λ0
µ1 −(λ1 + µ1) λ1
. . .. . .
. . .
q0(x)q1(x)
...
= −x
q0(x)q1(x)
...
Probabilidades de transicion
Pij(t) = Pr(Xt = j |X0 = i) =1
‖qi‖2ω
∫
∞
0
e−xt
qi(x)qj (x)dω(x)
Medida invariante
Vector no nulo π = (π0, π1, . . . ) ≥ 0 tal que
πA = 0 ⇒ πi =λ0λ1 · · · λi−1
µ1µ2 · · ·µi
=1
‖qi‖2ω
Ejemplos: Laguerre, Meixner (modelos de crecimiento lineal, Charlier (cola
M/M/∞), Krawtchouk (modelo de Ehrenfest).
![Page 53: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/53.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion
S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).Si existe una medida positiva ω simetrica con respecto a A y lacorrespondiente familia de funciones ortonormales (φn)n verifican
Aφn(x) =1
2σ2(x)φ′′n (x) + τ(x)φ′n(x) = λnφn(x)
Densidad de probabilidades de transicion
p(t; x , y) =∞∑
n=0
eλntφn(x)φn(y)ω(y)
Medida invariante
ψ(y) tal que A∗ψ(y) = 0 ⇒ ψ(y) =1
∫
Sω(x)dx
ω(y)
Ejemplos: Hermite (proceso de Orstein-Uhlenbeck), Laguerre (procesocuadratico de Bessel), Jacobi (modelo de Wright-Fisher).
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion
S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).Si existe una medida positiva ω simetrica con respecto a A y lacorrespondiente familia de funciones ortonormales (φn)n verifican
Aφn(x) =1
2σ2(x)φ′′n (x) + τ(x)φ′n(x) = λnφn(x)
Densidad de probabilidades de transicion
p(t; x , y) =∞∑
n=0
eλntφn(x)φn(y)ω(y)
Medida invariante
ψ(y) tal que A∗ψ(y) = 0 ⇒ ψ(y) =1
∫
Sω(x)dx
ω(y)
Ejemplos: Hermite (proceso de Orstein-Uhlenbeck), Laguerre (procesocuadratico de Bessel), Jacobi (modelo de Wright-Fisher).
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion
S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).Si existe una medida positiva ω simetrica con respecto a A y lacorrespondiente familia de funciones ortonormales (φn)n verifican
Aφn(x) =1
2σ2(x)φ′′n (x) + τ(x)φ′n(x) = λnφn(x)
Densidad de probabilidades de transicion
p(t; x , y) =∞∑
n=0
eλntφn(x)φn(y)ω(y)
Medida invariante
ψ(y) tal que A∗ψ(y) = 0 ⇒ ψ(y) =1
∫
Sω(x)dx
ω(y)
Ejemplos: Hermite (proceso de Orstein-Uhlenbeck), Laguerre (procesocuadratico de Bessel), Jacobi (modelo de Wright-Fisher).
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion
S = (a, b) ⊆ R, T = [0,∞).Si existe una medida positiva ω simetrica con respecto a A y lacorrespondiente familia de funciones ortonormales (φn)n verifican
Aφn(x) =1
2σ2(x)φ′′n (x) + τ(x)φ′n(x) = λnφn(x)
Densidad de probabilidades de transicion
p(t; x , y) =∞∑
n=0
eλntφn(x)φn(y)ω(y)
Medida invariante
ψ(y) tal que A∗ψ(y) = 0 ⇒ ψ(y) =1
∫
Sω(x)dx
ω(y)
Ejemplos: Hermite (proceso de Orstein-Uhlenbeck), Laguerre (procesocuadratico de Bessel), Jacobi (modelo de Wright-Fisher).
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Indice
1 Procesos de MarkovPreliminaresMetodos espectrales
2 Procesos de Markov bidimensionalesPreliminaresMetodos espectrales
3 EjemplosUn camino aleatorio en Z
Variante de un camino aleatorio en Z
Walsh’s spiderUn ejemplo de teorıa de representacion de grupos
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Polinomios ortogonales matriciales
Polinomios matriciales sobre la recta real:
Anxn + · · ·+ A1x +A0, Ai ∈ C
N×N
Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM)Ortogonalidad: matriz peso W soportada en S ⊂ R (definida positiva conmomentos finitos) y un producto interno matricial (L2
W(S ;CN×N)):
〈P,Q〉W =
∫
S
P(x)W(x)Q∗(x) dx
Una sucesion de POM (Qn)n (〈Qn,Qm〉W = ‖Qn‖2Wδnm) verifica una relacion de
recurrencia a tres terminos (Q−1 = 0,Q0 = I)
xQn(x) = AnQn+1(x) +BnQn(x) + CnQn−1(x), det(Cn) 6= 0
Operador de Jacobi (tridiagonal por bloques)
JQ =
B0 A0
C1 B1 A1
C2 B2 A2
. . .. . .
. . .
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= x
Q0(x)Q1(x)Q2(x)
...
= xQ, x ∈ S
Al contrario tambien es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Duran (1997): caracterizar familias de POM (Qn)n verificando
DQn(x) ≡ F2(x)Q′′n (x) + F1(x)Q
′n(x) + F0(x)Qn(x) = Qn(x)Γn
donde deg(Fj(x) ≤ j) y Γn ∈ RN×N .Equivalente a la simetrıa de D con respecto al producto interno, i.e.(DP,Q)
W= (P,DQ)
W, para todos polinomios matriciales P,Q.
Ecuaciones de simetrıa o ecuaciones de Pearsonmatriciales
F∗2(x)W(x) = W(x)F2(x)
F∗1(x)W(x) = (W(x)F2(x))
′ −W(x)F1(x)
F∗0(x)W(x) =
1
2(W(x)F2(x))
′′ − (W(x)F1(x))′ +W(x)F0(x)
Nuevos ejemplos y metodos: Desde 2002, Duran, Grunbaum,Pacharoni, Tirao, Castro, Roman, MdI...
Nuevos fenomenos: POM verificando ecuaciones diferenciales deorden impar, varios operadores de segundo orden asociados a unamisma familia de POM y viceversa, familias de operadores escalera...
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Duran (1997): caracterizar familias de POM (Qn)n verificando
DQn(x) ≡ F2(x)Q′′n (x) + F1(x)Q
′n(x) + F0(x)Qn(x) = Qn(x)Γn
donde deg(Fj(x) ≤ j) y Γn ∈ RN×N .Equivalente a la simetrıa de D con respecto al producto interno, i.e.(DP,Q)
W= (P,DQ)
W, para todos polinomios matriciales P,Q.
Ecuaciones de simetrıa o ecuaciones de Pearsonmatriciales
F∗2(x)W(x) = W(x)F2(x)
F∗1(x)W(x) = (W(x)F2(x))
′ −W(x)F1(x)
F∗0(x)W(x) =
1
2(W(x)F2(x))
′′ − (W(x)F1(x))′ +W(x)F0(x)
Nuevos ejemplos y metodos: Desde 2002, Duran, Grunbaum,Pacharoni, Tirao, Castro, Roman, MdI...
Nuevos fenomenos: POM verificando ecuaciones diferenciales deorden impar, varios operadores de segundo orden asociados a unamisma familia de POM y viceversa, familias de operadores escalera...
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Duran (1997): caracterizar familias de POM (Qn)n verificando
DQn(x) ≡ F2(x)Q′′n (x) + F1(x)Q
′n(x) + F0(x)Qn(x) = Qn(x)Γn
donde deg(Fj(x) ≤ j) y Γn ∈ RN×N .Equivalente a la simetrıa de D con respecto al producto interno, i.e.(DP,Q)
W= (P,DQ)
W, para todos polinomios matriciales P,Q.
Ecuaciones de simetrıa o ecuaciones de Pearsonmatriciales
F∗2(x)W(x) = W(x)F2(x)
F∗1(x)W(x) = (W(x)F2(x))
′ −W(x)F1(x)
F∗0(x)W(x) =
1
2(W(x)F2(x))
′′ − (W(x)F1(x))′ +W(x)F0(x)
Nuevos ejemplos y metodos: Desde 2002, Duran, Grunbaum,Pacharoni, Tirao, Castro, Roman, MdI...
Nuevos fenomenos: POM verificando ecuaciones diferenciales deorden impar, varios operadores de segundo orden asociados a unamisma familia de POM y viceversa, familias de operadores escalera...
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Duran (1997): caracterizar familias de POM (Qn)n verificando
DQn(x) ≡ F2(x)Q′′n (x) + F1(x)Q
′n(x) + F0(x)Qn(x) = Qn(x)Γn
donde deg(Fj(x) ≤ j) y Γn ∈ RN×N .Equivalente a la simetrıa de D con respecto al producto interno, i.e.(DP,Q)
W= (P,DQ)
W, para todos polinomios matriciales P,Q.
Ecuaciones de simetrıa o ecuaciones de Pearsonmatriciales
F∗2(x)W(x) = W(x)F2(x)
F∗1(x)W(x) = (W(x)F2(x))
′ −W(x)F1(x)
F∗0(x)W(x) =
1
2(W(x)F2(x))
′′ − (W(x)F1(x))′ +W(x)F0(x)
Nuevos ejemplos y metodos: Desde 2002, Duran, Grunbaum,Pacharoni, Tirao, Castro, Roman, MdI...
Nuevos fenomenos: POM verificando ecuaciones diferenciales deorden impar, varios operadores de segundo orden asociados a unamisma familia de POM y viceversa, familias de operadores escalera...
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Duran (1997): caracterizar familias de POM (Qn)n verificando
DQn(x) ≡ F2(x)Q′′n (x) + F1(x)Q
′n(x) + F0(x)Qn(x) = Qn(x)Γn
donde deg(Fj(x) ≤ j) y Γn ∈ RN×N .Equivalente a la simetrıa de D con respecto al producto interno, i.e.(DP,Q)
W= (P,DQ)
W, para todos polinomios matriciales P,Q.
Ecuaciones de simetrıa o ecuaciones de Pearsonmatriciales
F∗2(x)W(x) = W(x)F2(x)
F∗1(x)W(x) = (W(x)F2(x))
′ −W(x)F1(x)
F∗0(x)W(x) =
1
2(W(x)F2(x))
′′ − (W(x)F1(x))′ +W(x)F0(x)
Nuevos ejemplos y metodos: Desde 2002, Duran, Grunbaum,Pacharoni, Tirao, Castro, Roman, MdI...
Nuevos fenomenos: POM verificando ecuaciones diferenciales deorden impar, varios operadores de segundo orden asociados a unamisma familia de POM y viceversa, familias de operadores escalera...
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov bidimensionales
Ahora tenemos una proceso de Markov con dos componentes o bidimensional
{(Xt ,Yt) : t ∈ T }
indexado por tiempo T y con espacio de estados S × {1, 2, . . . ,N}, S ⊂ R.La primera componente se denomina nivel mientras que la segundacomponente se llama fase.Ahora las probabilidades de transicion son a valores matriciales.
S discreto: probabilidades de transicion por bloques
(Pij )i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
La matriz por bloques es estocastica.
S continuo: densidad de transicion matricial
Pij(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y ,Yt = j |X0 = x ,Y0 = i)
Cada entrada debe ser no negativa y
P(t; x ,A)eN ≤ eN , eN = (1, 1, . . . , 1)T
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov bidimensionales
Ahora tenemos una proceso de Markov con dos componentes o bidimensional
{(Xt ,Yt) : t ∈ T }
indexado por tiempo T y con espacio de estados S × {1, 2, . . . ,N}, S ⊂ R.La primera componente se denomina nivel mientras que la segundacomponente se llama fase.Ahora las probabilidades de transicion son a valores matriciales.
S discreto: probabilidades de transicion por bloques
(Pij )i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
La matriz por bloques es estocastica.
S continuo: densidad de transicion matricial
Pij(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y ,Yt = j |X0 = x ,Y0 = i)
Cada entrada debe ser no negativa y
P(t; x ,A)eN ≤ eN , eN = (1, 1, . . . , 1)T
![Page 71: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/71.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov bidimensionales
Ahora tenemos una proceso de Markov con dos componentes o bidimensional
{(Xt ,Yt) : t ∈ T }
indexado por tiempo T y con espacio de estados S × {1, 2, . . . ,N}, S ⊂ R.La primera componente se denomina nivel mientras que la segundacomponente se llama fase.Ahora las probabilidades de transicion son a valores matriciales.
S discreto: probabilidades de transicion por bloques
(Pij )i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
La matriz por bloques es estocastica.
S continuo: densidad de transicion matricial
Pij(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y ,Yt = j |X0 = x ,Y0 = i)
Cada entrada debe ser no negativa y
P(t; x ,A)eN ≤ eN , eN = (1, 1, . . . , 1)T
![Page 72: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/72.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de Markov bidimensionales
Ahora tenemos una proceso de Markov con dos componentes o bidimensional
{(Xt ,Yt) : t ∈ T }
indexado por tiempo T y con espacio de estados S × {1, 2, . . . ,N}, S ⊂ R.La primera componente se denomina nivel mientras que la segundacomponente se llama fase.Ahora las probabilidades de transicion son a valores matriciales.
S discreto: probabilidades de transicion por bloques
(Pij )i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
La matriz por bloques es estocastica.
S continuo: densidad de transicion matricial
Pij(t; x , y) ≡∂
∂yPr(Xt ≤ y ,Yt = j |X0 = x ,Y0 = i)
Cada entrada debe ser no negativa y
P(t; x ,A)eN ≤ eN , eN = (1, 1, . . . , 1)T
![Page 73: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/73.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = {0, 1, 2, . . .} y
(Pij )i′j′ = Pr(Xn+1 = j ,Yn+1 = j′|Xn = i ,Yn = i
′) = 0 para |i − j | > 1.
i.e. una matriz de transicion de probabilidades por bloques estocastica
P =
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
Tiempo continuo: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = [0,+∞). La matriz P esta ahora dada por
(Pij)i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
y satisface la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A
En ambos casos, la distribucion invariante (n, t → ∞) es
π = (π0;π1; · · · ) ≥ 0, πi ∈ RN
tal que πP = π (caso discreto) o πA = 0 (caso continuo).
![Page 74: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/74.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = {0, 1, 2, . . .} y
(Pij )i′j′ = Pr(Xn+1 = j ,Yn+1 = j′|Xn = i ,Yn = i
′) = 0 para |i − j | > 1.
i.e. una matriz de transicion de probabilidades por bloques estocastica
P =
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
Tiempo continuo: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = [0,+∞). La matriz P esta ahora dada por
(Pij)i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
y satisface la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A
En ambos casos, la distribucion invariante (n, t → ∞) es
π = (π0;π1; · · · ) ≥ 0, πi ∈ RN
tal que πP = π (caso discreto) o πA = 0 (caso continuo).
![Page 75: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/75.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = {0, 1, 2, . . .} y
(Pij )i′j′ = Pr(Xn+1 = j ,Yn+1 = j′|Xn = i ,Yn = i
′) = 0 para |i − j | > 1.
i.e. una matriz de transicion de probabilidades por bloques estocastica
P =
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
Tiempo continuo: Espacio de estados {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N},tiempo T = [0,+∞). La matriz P esta ahora dada por
(Pij)i′j′ (t) ≡ Pr(Xt = j ,Yt = j′|X0 = i ,Y0 = i
′)
y satisface la ecuacion retardada y la ecuacion de evolucion
P′(t) = AP(t), P
′(t) = P(t)A
En ambos casos, la distribucion invariante (n, t → ∞) es
π = (π0;π1; · · · ) ≥ 0, πi ∈ RN
tal que πP = π (caso discreto) o πA = 0 (caso continuo).
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Espacio de estados
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 77: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/77.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente B0: transiciones de fases en el nivel 1
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 78: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/78.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente A0: transiciones de nivel 1 a nivel 2
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 79: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/79.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente C1: transiciones de nivel 2 a nivel 1
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 80: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/80.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente B1: transiciones de fases en el nivel 2
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 81: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/81.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente A1: transiciones de nivel 2 a nivel 3
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 82: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/82.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Coeficiente C2: transiciones de nivel 3 a nivel 2
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 83: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/83.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Todos las transiciones
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 84: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/84.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 4 fases)
Caso especial de An,Bn,Cn tridiagonal
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1 5 9 13 17
2 6 10 14 18
3 7 11 15 19
4 8 12 16 20
![Page 85: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/85.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion cambiantes
El espacio de estados es ahora (a, b)× {1, 2, . . . ,N} y el tiempo T = [0,∞).La matriz de densidad P(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de
evolucion
∂
∂tP(t; x , y) = AP(t; x , y),
∂
∂tP(t; x , y) = P(t; x , y)A∗
donde A es un operador diferencial matricial
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d1
dx1+Q(x)
d0
dx0
Tenemos que A(x) y B(x) son matrices diagonales y Q(x) es el operadorinfinitesimal de un proceso de Markov continuo, i.e.
Qii(x) ≤ 0, Qij(x) ≥ 0, i 6= j , Q(x)eN = 0
La distribucion invariante es ahora un vector por filas (t → ∞)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)), 0 ≤ ψj (y) ≤ 1,
(∫ b
a
ψ(y)dy
)
eN = 1
que verifica
ψ(y)A∗ ≡1
2(ψ(y)A(y))′′ − (ψ(y)B(y))′ +ψ(y)Q(y) = 0
![Page 86: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/86.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion cambiantes
El espacio de estados es ahora (a, b)× {1, 2, . . . ,N} y el tiempo T = [0,∞).La matriz de densidad P(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de
evolucion
∂
∂tP(t; x , y) = AP(t; x , y),
∂
∂tP(t; x , y) = P(t; x , y)A∗
donde A es un operador diferencial matricial
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d1
dx1+Q(x)
d0
dx0
Tenemos que A(x) y B(x) son matrices diagonales y Q(x) es el operadorinfinitesimal de un proceso de Markov continuo, i.e.
Qii(x) ≤ 0, Qij(x) ≥ 0, i 6= j , Q(x)eN = 0
La distribucion invariante es ahora un vector por filas (t → ∞)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)), 0 ≤ ψj (y) ≤ 1,
(∫ b
a
ψ(y)dy
)
eN = 1
que verifica
ψ(y)A∗ ≡1
2(ψ(y)A(y))′′ − (ψ(y)B(y))′ +ψ(y)Q(y) = 0
![Page 87: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/87.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos de difusion cambiantes
El espacio de estados es ahora (a, b)× {1, 2, . . . ,N} y el tiempo T = [0,∞).La matriz de densidad P(t; x , y) verifica la ecuacion retardada y la ecuacion de
evolucion
∂
∂tP(t; x , y) = AP(t; x , y),
∂
∂tP(t; x , y) = P(t; x , y)A∗
donde A es un operador diferencial matricial
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d1
dx1+Q(x)
d0
dx0
Tenemos que A(x) y B(x) son matrices diagonales y Q(x) es el operadorinfinitesimal de un proceso de Markov continuo, i.e.
Qii(x) ≤ 0, Qij(x) ≥ 0, i 6= j , Q(x)eN = 0
La distribucion invariante es ahora un vector por filas (t → ∞)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)), 0 ≤ ψj (y) ≤ 1,
(∫ b
a
ψ(y)dy
)
eN = 1
que verifica
ψ(y)A∗ ≡1
2(ψ(y)A(y))′′ − (ψ(y)B(y))′ +ψ(y)Q(y) = 0
![Page 88: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/88.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 3 fases)
N = 3 fases y S = R con
Aii (x) = i2, Bii(x) = −ix , i = 1, 2, 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
T
S
Bivariate Ornstein−Uhlenbeck process
2
![Page 89: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/89.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 3 fases)
N = 3 fases y S = R con
Aii(x) = i2, Bii(x) = −ix , i = 1, 2, 3.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
T
S
Bivariate Ornstein−Uhlenbeck process
2
1
![Page 90: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/90.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 3 fases)
N = 3 fases y S = R con
Aii (x) = i2, Bii(x) = −ix , i = 1, 2, 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
T
S
Bivariate Ornstein−Uhlenbeck process
2
1
3
![Page 91: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/91.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 3 fases)
N = 3 fases y S = R con
Aii (x) = i2, Bii(x) = −ix , i = 1, 2, 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
T
S
Bivariate Ornstein−Uhlenbeck process
2
1
3
2
![Page 92: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/92.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Representacion estocastica (N = 3 fases)
N = 3 fases y S = R con
Aii (x) = i2, Bii(x) = −ix , i = 1, 2, 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
T
S
Bivariate Ornstein−Uhlenbeck process
2
1
3
2
3
![Page 93: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/93.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Ahora, dado un operador infinitesimal matricial A, si podemos encontraruna matriz peso W(x) asociada a A, y un conjunto de autofuncionesortogonales matriciales F(i , x) tal que
AF(i , x) = F(i , x)Λ(i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de transicion de probabilidades P(t).Caso discreto: densidad de transiciones P(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0,π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
P·j(t) ∈ RN
Caso continuo: ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) con
ψj(y) = limt→∞
P·j(t; x , y)
![Page 94: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/94.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Ahora, dado un operador infinitesimal matricial A, si podemos encontraruna matriz peso W(x) asociada a A, y un conjunto de autofuncionesortogonales matriciales F(i , x) tal que
AF(i , x) = F(i , x)Λ(i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de transicion de probabilidades P(t).Caso discreto: densidad de transiciones P(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0,π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
P·j(t) ∈ RN
Caso continuo: ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) con
ψj(y) = limt→∞
P·j(t; x , y)
![Page 95: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/95.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Metodos espectrales
Ahora, dado un operador infinitesimal matricial A, si podemos encontraruna matriz peso W(x) asociada a A, y un conjunto de autofuncionesortogonales matriciales F(i , x) tal que
AF(i , x) = F(i , x)Λ(i , x)
entonces es posible encontrar una representacion espectral de
Probabilidades de transicion
Caso discreto: matriz de transicion de probabilidades P(t).Caso discreto: densidad de transiciones P(t; x , y).
Medida o distribucion invariante
Caso discreto: π = (π0,π1, . . .) ≥ 0 con
πj = limt→∞
P·j(t) ∈ RN
Caso continuo: ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) con
ψj(y) = limt→∞
P·j(t; x , y)
![Page 96: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/96.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = {0, 1, 2, . . .}.
Teorema espectral (Grunbaum, Dette et al., 2006): ∃* W sobre [−1, 1]asociada a P con POM (Qn)n verificando PQ = xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pnij =
(∫ 1
−1
xnQi (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫ 1
−1
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Tiempo continuo: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = [0,∞)
Teorema espectral (Detter-Reuther, 2010): ∃* W sobre [0,∞) asociado aA con POM (Qn)n verifican AQ = −xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pij (t) =
(∫
∞
0
e−xt
Qi(x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫
∞
0
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Medida invariante (MdI, 2011)
π = (π0;π1; · · · ) ≡ (Π0eN ;Π1eN ; · · · ) tal que πP = π (tiempo discreto) oπA = 0 (tiempo continuo)
Πn = (CT1 · · ·CT
n )−1
Π0(A0 · · ·An−1) =
(∫
sop(W)
Qn(x)W(x)Q∗
n(x)dx
)−1
![Page 97: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/97.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = {0, 1, 2, . . .}.
Teorema espectral (Grunbaum, Dette et al., 2006): ∃* W sobre [−1, 1]asociada a P con POM (Qn)n verificando PQ = xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pnij =
(∫ 1
−1
xnQi (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫ 1
−1
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Tiempo continuo: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = [0,∞)
Teorema espectral (Detter-Reuther, 2010): ∃* W sobre [0,∞) asociado aA con POM (Qn)n verifican AQ = −xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pij (t) =
(∫
∞
0
e−xt
Qi(x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫
∞
0
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Medida invariante (MdI, 2011)
π = (π0;π1; · · · ) ≡ (Π0eN ;Π1eN ; · · · ) tal que πP = π (tiempo discreto) oπA = 0 (tiempo continuo)
Πn = (CT1 · · ·CT
n )−1
Π0(A0 · · ·An−1) =
(∫
sop(W)
Qn(x)W(x)Q∗
n(x)dx
)−1
![Page 98: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/98.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Procesos quasi de nacimiento y muerte
Tiempo discreto: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = {0, 1, 2, . . .}.
Teorema espectral (Grunbaum, Dette et al., 2006): ∃* W sobre [−1, 1]asociada a P con POM (Qn)n verificando PQ = xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pnij =
(∫ 1
−1
xnQi (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫ 1
−1
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Tiempo continuo: {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, . . . ,N}, T = [0,∞)
Teorema espectral (Detter-Reuther, 2010): ∃* W sobre [0,∞) asociado aA con POM (Qn)n verifican AQ = −xQ (Q−1 = 0,Q0 = I)
Pij (t) =
(∫
∞
0
e−xt
Qi(x)W(x)Q∗
j (x)dx
)(∫
∞
0
Qj (x)W(x)Q∗
j (x)dx
)−1
Medida invariante (MdI, 2011)
π = (π0;π1; · · · ) ≡ (Π0eN ;Π1eN ; · · · ) tal que πP = π (tiempo discreto) oπA = 0 (tiempo continuo)
Πn = (CT1 · · ·CT
n )−1
Π0(A0 · · ·An−1) =
(∫
sop(W)
Qn(x)W(x)Q∗
n(x)dx
)−1
![Page 99: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/99.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Modelos de difusion cambiantes
Espacio de estados: (a, b)× {1, 2, . . . ,N}. Tiempo: T = [0,∞)Si existe una matriz peso W simetrica con respecto a A cuyas funcionesortonormales matriciales (Φn)n verifiquen
AΦn(x) =1
2A(x)Φ′′
n (x) + B(x)Φ′n(x) +Q(x)Φn(x) = Φn(x)Γn
Probabilidad de transicion matricial (MdI, 2012)
P(t; x , y) =
∞∑
n=0
Φn(x)eΓntΦ
∗n(y)W(y)
Distribucion invariante (MdI, 2012)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) tal que ψ(y)A∗= 0
⇒ ψ(y) =
(
∫ b
a
eTNW(x)eNdx
)−1
eTNW(y)
![Page 100: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/100.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Modelos de difusion cambiantes
Espacio de estados: (a, b)× {1, 2, . . . ,N}. Tiempo: T = [0,∞)Si existe una matriz peso W simetrica con respecto a A cuyas funcionesortonormales matriciales (Φn)n verifiquen
AΦn(x) =1
2A(x)Φ′′
n (x) + B(x)Φ′n(x) +Q(x)Φn(x) = Φn(x)Γn
Probabilidad de transicion matricial (MdI, 2012)
P(t; x , y) =
∞∑
n=0
Φn(x)eΓntΦ
∗n(y)W(y)
Distribucion invariante (MdI, 2012)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) tal que ψ(y)A∗= 0
⇒ ψ(y) =
(
∫ b
a
eTNW(x)eNdx
)−1
eTNW(y)
![Page 101: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/101.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Modelos de difusion cambiantes
Espacio de estados: (a, b)× {1, 2, . . . ,N}. Tiempo: T = [0,∞)Si existe una matriz peso W simetrica con respecto a A cuyas funcionesortonormales matriciales (Φn)n verifiquen
AΦn(x) =1
2A(x)Φ′′
n (x) + B(x)Φ′n(x) +Q(x)Φn(x) = Φn(x)Γn
Probabilidad de transicion matricial (MdI, 2012)
P(t; x , y) =
∞∑
n=0
Φn(x)eΓntΦ
∗n(y)W(y)
Distribucion invariante (MdI, 2012)
ψ(y) = (ψ1(y), ψ2(y), . . . , ψN(y)) tal que ψ(y)A∗= 0
⇒ ψ(y) =
(
∫ b
a
eTNW(x)eNdx
)−1
eTNW(y)
![Page 102: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/102.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Indice
1 Procesos de MarkovPreliminaresMetodos espectrales
2 Procesos de Markov bidimensionalesPreliminaresMetodos espectrales
3 EjemplosUn camino aleatorio en Z
Variante de un camino aleatorio en Z
Walsh’s spiderUn ejemplo de teorıa de representacion de grupos
![Page 103: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/103.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
Primer ejemplo relacionado con POM (Karlin-McGregor, 1959).
· · · · · ·p p p p p p
q q q q q q−2 −1 0 1 2
La matriz de transicion de probabilidades es doblemente infinita
P =
. . .. . .
. . .
q 0 p
q 0 p
q 0 p
. . .. . .
. . .
En esta situacion el teorema espectral no es aplicable, ya que necesitamosuna matriz de Jacobi semi-infinita. Para ello renombramos los estados
n = 0, 1, 2, . . .→ 2n + 1, y n = −1,−2, . . .→ 2n
y doblamos la rama negativa para ponerla como dos lıneas paralelas
![Page 104: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/104.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
Primer ejemplo relacionado con POM (Karlin-McGregor, 1959).
· · · · · ·p p p p p p
q q q q q q−2 −1 0 1 2
La matriz de transicion de probabilidades es doblemente infinita
P =
. . .. . .
. . .
q 0 p
q 0 p
q 0 p
. . .. . .
. . .
En esta situacion el teorema espectral no es aplicable, ya que necesitamosuna matriz de Jacobi semi-infinita. Para ello renombramos los estados
n = 0, 1, 2, . . .→ 2n + 1, y n = −1,−2, . . .→ 2n
y doblamos la rama negativa para ponerla como dos lıneas paralelas
![Page 105: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/105.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
Primer ejemplo relacionado con POM (Karlin-McGregor, 1959).
· · · · · ·p p p p p p
q q q q q q−2 −1 0 1 2
La matriz de transicion de probabilidades es doblemente infinita
P =
. . .. . .
. . .
q 0 p
q 0 p
q 0 p
. . .. . .
. . .
En esta situacion el teorema espectral no es aplicable, ya que necesitamosuna matriz de Jacobi semi-infinita. Para ello renombramos los estados
n = 0, 1, 2, . . .→ 2n + 1, y n = −1,−2, . . .→ 2n
y doblamos la rama negativa para ponerla como dos lıneas paralelas
![Page 106: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/106.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
· · ·
· · ·
p p p
q q q
p q
q q q
p p p
1
2
3
4
5
6
La matriz de transicion de probabilidades es semi-infinita por bloques
P =
0 q p
p 0 0 q
q 0 0 0 p
p 0 0 0 q
. . .. . .
. . .. . .
. . .
=
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
con B0 =
(
0 q
p 0
)
, Bk = 0, k ≥ 1,
Ak =
(
p 00 q
)
, k ≥ 0 y Ck =
(
q 00 p
)
2, k ≥ 1.
![Page 107: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/107.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
· · ·
· · ·
p p p
q q q
p q
q q q
p p p
1
2
3
4
5
6
La matriz de transicion de probabilidades es semi-infinita por bloques
P =
0 q p
p 0 0 q
q 0 0 0 p
p 0 0 0 q
. . .. . .
. . .. . .
. . .
=
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
con B0 =
(
0 q
p 0
)
, Bk = 0, k ≥ 1,
Ak =
(
p 00 q
)
, k ≥ 0 y Ck =
(
q 00 p
)
2, k ≥ 1.
![Page 108: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/108.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
En este caso, la matriz peso 2× 2 asociada a este ejemplo es(p + q = 1)
W(x) =1
√
4pq − x2
(
1 x/2qx/2q p/q
)
, |x | <√
4pq
Los correspondientes polinomios ortogonales son
Pk(x) =
(
(q/p)k/2Uk(x∗) −(q/p)(k+1)/2Uk−1(x
∗)
−(p/q)(k+1)/2Uk−1(x∗) (p/q)k/2Uk(x
∗)
)
donde x∗ = x/2√pq y (Uk)k son los polinomios de Chebyshev de
segunda especie que verifican
Uk+1(x) + Uk−1(x) = 2xUk(x), U−1(x) = 0, U0(x) = 1
![Page 109: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/109.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un camino aleatorio en Z
En este caso, la matriz peso 2× 2 asociada a este ejemplo es(p + q = 1)
W(x) =1
√
4pq − x2
(
1 x/2qx/2q p/q
)
, |x | <√
4pq
Los correspondientes polinomios ortogonales son
Pk(x) =
(
(q/p)k/2Uk(x∗) −(q/p)(k+1)/2Uk−1(x
∗)
−(p/q)(k+1)/2Uk−1(x∗) (p/q)k/2Uk(x
∗)
)
donde x∗ = x/2√pq y (Uk)k son los polinomios de Chebyshev de
segunda especie que verifican
Uk+1(x) + Uk−1(x) = 2xUk(x), U−1(x) = 0, U0(x) = 1
![Page 110: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/110.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Fuerza atractiva o repulsiva desde el centro
Considerado por Grunbaum en 2008
· · · · · ·q q q p p p
p p q q q q−2 −1 0 1 2
De nuevo la matriz de transicion de probabilidades es doblementeinfinita. Haciendo lo mismo que en el ejemplo anterior convertimosesta matriz en una matriz de Jacobi semi-infinita por bloques
· · ·
· · ·
p p p
q q q
q q
p p p
q q q
1
2
3
4
5
6
![Page 111: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/111.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Fuerza atractiva o repulsiva desde el centro
La matriz de transicion de probabilidades es semi-infinita por bloques
P =
0 q p
q 0 0 p
q 0 0 0 p
q 0 0 0 p. . .
. . .. . .
. . .. . .
=
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
con B0 =
(
0 q
q 0
)
, Bk = 0, k ≥ 1, Ak = pI2, k ≥ 0 y Ck = qI2, k ≥ 1.
En este caso, la matriz peso 2× 2 asociada a este ejemplo es (p + q = 1)
W(x) =
√
4pq − x2
1− x2
(
1 x
x 1
)
|x | <√
4pq
+ χ{0<p<1/2}(1− 2p)π
[(
1 −1−1 1
)
δ−1 +
(
1 11 1
)
δ1
]
![Page 112: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/112.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Fuerza atractiva o repulsiva desde el centro
La matriz de transicion de probabilidades es semi-infinita por bloques
P =
0 q p
q 0 0 p
q 0 0 0 p
q 0 0 0 p. . .
. . .. . .
. . .. . .
=
B0 A0
C1 B1 A1
. . .. . .
. . .
con B0 =
(
0 q
q 0
)
, Bk = 0, k ≥ 1, Ak = pI2, k ≥ 0 y Ck = qI2, k ≥ 1.
En este caso, la matriz peso 2× 2 asociada a este ejemplo es (p + q = 1)
W(x) =
√
4pq − x2
1− x2
(
1 x
x 1
)
|x | <√
4pq
+ χ{0<p<1/2}(1− 2p)π
[(
1 −1−1 1
)
δ−1 +
(
1 11 1
)
δ1
]
![Page 113: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/113.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Walsh’s spider con 3 ramas
Considerado por Grunbaum en 2010.
. ..
· · ·
. . .
q q q
p p x1
x2
p
p
q
q
q
x3
p
p
q
q
q
1
2
3
4
5
6
7
· · ·
· · ·
· · ·
x1 p p
q q q
q x2 p p p
q q qq x3
p p p
q q q
1
2
4
5
7
8
3 6 9
![Page 114: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/114.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Walsh’s spider con 3 ramas
La matriz de transicion de probabilidades P tiene como coeficientes
B0 =
0 x2 x3q 0 0q 0 0
, A0 =
x1 0 00 p 00 0 p
Bk = 0, k ≥ 1, Ak = pI3, k ≥ 1 y Ck = qI3, k ≥ 1.
En este caso, la matriz peso 3× 3 asociada a este ejemplo es(p + q = 1, x1 + x2 + x3 = 1, |x | < √
4pq)
W(x) =
√
4pq − x2
1− x2
1 x x
x 1 1x 1 1
+ (1− x2)
0 0 00 x∗ x1+x3−1
px2
0 x1+x3−1px2
1−p−x3px3
+ χ{0<p<1/2}(1− 2p)π
1 −1 −1−1 1 1−1 1 1
δ−1 +
1 1 11 1 11 1 1
δ1
donde x∗ = 2(x1−p)px2
+ (x1+x3−1)(x1−x3−p)px22
.
![Page 115: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/115.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Walsh’s spider con 3 ramas
La matriz de transicion de probabilidades P tiene como coeficientes
B0 =
0 x2 x3q 0 0q 0 0
, A0 =
x1 0 00 p 00 0 p
Bk = 0, k ≥ 1, Ak = pI3, k ≥ 1 y Ck = qI3, k ≥ 1.
En este caso, la matriz peso 3× 3 asociada a este ejemplo es(p + q = 1, x1 + x2 + x3 = 1, |x | < √
4pq)
W(x) =
√
4pq − x2
1− x2
1 x x
x 1 1x 1 1
+ (1− x2)
0 0 00 x∗ x1+x3−1
px2
0 x1+x3−1px2
1−p−x3px3
+ χ{0<p<1/2}(1− 2p)π
1 −1 −1−1 1 1−1 1 1
δ−1 +
1 1 11 1 11 1 1
δ1
donde x∗ = 2(x1−p)px2
+ (x1+x3−1)(x1−x3−p)px22
.
![Page 116: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/116.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un ejemplo de representacion de grupos
Sea N ∈ {1, 2, . . .}, α, β > −1, 0 < k < β + 1 y Eij denota la matriz con1 en la entrada (i , j) y 0 en cualquier otro caso.Para x ∈ (0, 1), tenemos un par simetrico {W,A}(Grunbaum-Pacharoni-Tirao, 2002) donde
W(x) = xα(1 − x)βN∑
i=1
(
β − k + i − 1i − 1
)(
N + k − i − 1N − i
)
xN−iEii
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d
dx+Q(x)
d0
dx0
A(x) = 2x(1− x)I, B(x) =
N∑
i=1
[α+1+N− i − x(α+β+2+N− i)]Eii
Q(x) =
N∑
i=2
µi (x)Ei ,i−1 −N∑
i=1
(λi (x) + µi(x))Eii +
N−1∑
i=1
λi (x)Ei ,i+1,
λi (x) =1
1− x(N − i)(i + β − k), µi (x) =
x
1− x(i − 1)(N − i + k).
![Page 117: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/117.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un ejemplo de representacion de grupos
Sea N ∈ {1, 2, . . .}, α, β > −1, 0 < k < β + 1 y Eij denota la matriz con1 en la entrada (i , j) y 0 en cualquier otro caso.Para x ∈ (0, 1), tenemos un par simetrico {W,A}(Grunbaum-Pacharoni-Tirao, 2002) donde
W(x) = xα(1 − x)βN∑
i=1
(
β − k + i − 1i − 1
)(
N + k − i − 1N − i
)
xN−iEii
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d
dx+Q(x)
d0
dx0
A(x) = 2x(1− x)I, B(x) =
N∑
i=1
[α+1+N− i − x(α+β+2+N− i)]Eii
Q(x) =
N∑
i=2
µi (x)Ei ,i−1 −N∑
i=1
(λi (x) + µi(x))Eii +
N−1∑
i=1
λi (x)Ei ,i+1,
λi (x) =1
1− x(N − i)(i + β − k), µi (x) =
x
1− x(i − 1)(N − i + k).
![Page 118: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/118.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un ejemplo de representacion de grupos
Sea N ∈ {1, 2, . . .}, α, β > −1, 0 < k < β + 1 y Eij denota la matriz con1 en la entrada (i , j) y 0 en cualquier otro caso.Para x ∈ (0, 1), tenemos un par simetrico {W,A}(Grunbaum-Pacharoni-Tirao, 2002) donde
W(x) = xα(1 − x)βN∑
i=1
(
β − k + i − 1i − 1
)(
N + k − i − 1N − i
)
xN−iEii
A =1
2A(x)
d2
dx2+ B(x)
d
dx+Q(x)
d0
dx0
A(x) = 2x(1− x)I, B(x) =
N∑
i=1
[α+1+N− i − x(α+β+2+N− i)]Eii
Q(x) =
N∑
i=2
µi (x)Ei ,i−1 −N∑
i=1
(λi (x) + µi(x))Eii +
N−1∑
i=1
λi (x)Ei ,i+1,
λi (x) =1
1− x(N − i)(i + β − k), µi (x) =
x
1− x(i − 1)(N − i + k).
![Page 119: Aplicaciones de la ortogonalidad matricial a procesos ...](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062620/62b6f16b5e884e5de733d923/html5/thumbnails/119.jpg)
Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un proceso quasi de nacimiento y muerte
Transicion de probabilidades pentadiagonal (α = β = 0, k = 1/2, N = 2)
P =
5
9
2
9
2
92
9
7
18
4
45
3
105
36
1
18
107
225
3
50
27
1001
6
4
75
23
50
6
175
2
714
75
2
75
597
1225
4
147
40
1471
5
6
245
47
98
8
441
5
18. . .
. . .. . .
. . .. . .
Medida invariante tal que πP = π
π =
(
2
3,2
3;16
15,6
5;54
35,12
7;128
63,20
9;250
99,30
11;432
143,42
13;686
195,56
15; · · ·
)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Un proceso quasi de nacimiento y muerte
Transicion de probabilidades pentadiagonal (α = β = 0, k = 1/2, N = 2)
P =
5
9
2
9
2
92
9
7
18
4
45
3
105
36
1
18
107
225
3
50
27
1001
6
4
75
23
50
6
175
2
714
75
2
75
597
1225
4
147
40
1471
5
6
245
47
98
8
441
5
18. . .
. . .. . .
. . .. . .
Medida invariante tal que πP = π
π =
(
2
3,2
3;16
15,6
5;54
35,12
7;128
63,20
9;250
99,30
11;432
143,42
13;686
195,56
15; · · ·
)
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Espacio de estados
· · ·
· · ·
.22 .27 .27
.14 .23 .20
.56
.39
.48 .49
.46 .48
.22 .05 .02.22 .06 .03
.09 .03 .02
.06 .03 .02
.30 .29 .28
.17 .20 .21
1 3 5
2 4 6
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Una variante del modelo de Wright-Fisher
El modelo de difusion de Wright-Fisher con solo efectos de mutacionconsidera una poblacion grande de tamano constante M de dos tipos A yB
A1+β
2−−→ B, B1+α2−−→ A, α, β > −1
A medida que M → ∞, este modelo se puede describir como un procesode difusion cuyo espacio de estados es S = [0, 1] con coeficiente demovimiento y coeficiente de difusion
τ(x) = α+ 1− x(α + β + 2), σ2(x) = 2x(1− x), α, β > −1
Las N fases de nuestro proceso de Markov bidimensional son variacionesdel modelo de Wright-Fisher con modificaciones en los coeficientes demovimiento:
Bii(x) = α+ 1 + N − i − x(α+ β + 2 + N − i), Aii (x) = 2x(1− x)
Ahora hay un parametro extra k ∈ (0, β + 1) en Q(x), que mide como se
mueve el proceso a traves de todas las fases.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Una variante del modelo de Wright-Fisher
El modelo de difusion de Wright-Fisher con solo efectos de mutacionconsidera una poblacion grande de tamano constante M de dos tipos A yB
A1+β
2−−→ B, B1+α2−−→ A, α, β > −1
A medida que M → ∞, este modelo se puede describir como un procesode difusion cuyo espacio de estados es S = [0, 1] con coeficiente demovimiento y coeficiente de difusion
τ(x) = α+ 1− x(α + β + 2), σ2(x) = 2x(1− x), α, β > −1
Las N fases de nuestro proceso de Markov bidimensional son variacionesdel modelo de Wright-Fisher con modificaciones en los coeficientes demovimiento:
Bii(x) = α+ 1 + N − i − x(α+ β + 2 + N − i), Aii (x) = 2x(1− x)
Ahora hay un parametro extra k ∈ (0, β + 1) en Q(x), que mide como se
mueve el proceso a traves de todas las fases.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Una variante del modelo de Wright-Fisher
El modelo de difusion de Wright-Fisher con solo efectos de mutacionconsidera una poblacion grande de tamano constante M de dos tipos A yB
A1+β
2−−→ B, B1+α2−−→ A, α, β > −1
A medida que M → ∞, este modelo se puede describir como un procesode difusion cuyo espacio de estados es S = [0, 1] con coeficiente demovimiento y coeficiente de difusion
τ(x) = α+ 1− x(α + β + 2), σ2(x) = 2x(1− x), α, β > −1
Las N fases de nuestro proceso de Markov bidimensional son variacionesdel modelo de Wright-Fisher con modificaciones en los coeficientes demovimiento:
Bii(x) = α+ 1 + N − i − x(α+ β + 2 + N − i), Aii (x) = 2x(1− x)
Ahora hay un parametro extra k ∈ (0, β + 1) en Q(x), que mide como se
mueve el proceso a traves de todas las fases.
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Ejemplos graficos
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Procesos de Markov Procesos de Markov bidimensionales Ejemplos
Estudio de la distribucion invariante