Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
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APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Docente: Ing. Jesús Limbert Claros ClarosCarrera: Ingeniería Electrónica
PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Sea N (t ) la cantidad de sustancia o población que está creciendo o decreciendo.
Si dN (t )dt
, es la tasa de cambio de la sustancia en el tiempo, es proporcional a la cantidad de
sustancia presente en un tiempo “ t ” entonces:
Donde: k=¿ constante de proporcionalidad
Ejemplo 1) Se sabe que la población de un estado crece a una tasa proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si después de 10 años la población sea triplicado y después de 20 años la población es de 150000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el estado.
Solución:
SeaN=¿Cantidad de poblacion de un estado en el instante "t"
N0=¿Cantidad de población inicial en el estado
k=¿ Constante de proporcionalidad
dNdt
=¿ Tasa de cambio de la cantidad de población con respecto al tiempo
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
t=0 AñosN=N0hab . N0=? dN (t )dt
=kN (t )
t=10 Años N=3N0hab .
t 0
N0
t
N
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
dN (t )dt
=kN (t )
t=20 AñosN=150000hab .
Resolviendo la ecuación diferencial dN (t )dt
=kN (t )
dNN
=kdt Integrandoln (N )=kt+c Aplicando definición de logaritmosN=ekt+c=ekt∗ec Pero ec=c1
N=ekt∗c11¿
Remplazando las condiciones iníciales en la ecuación 1)
t=0 AñosN=N0hab .
N=ekt∗c1⇒N 0=ek (0 )∗c1⇒ c1=N0 2¿
t=10 Años N=3N0hab .
N=ekt∗c1⇒3N0=ek (10)∗c1⇒3N0=ek ( 10)∗N0⇒3=ek (10)⇒
ln (3 )10
=k 3¿
Reemplazando 2) y 3) en 1)
N=ekt∗c1⇒N=e( ln (3 )
10 )t∗N0 4¿
Si t=20 AñosN=150000hab . En 4)
N=e( ln (3 )
10 )t∗N0⇒ 150000=e
( ln (3)10 )∗20
∗N0⇒N0=150000e ln (3)∗2
Conclusión: El número de habitantes que había inicialmente en el estado es deN0=150000
e ln (3)∗2
hab.
Ejemplo 2) Se sabe que un material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si después de una hora se observa que el 10% del material se ha desintegrado. Halla la vida media del material
Solución:
SeaN=¿Cantidad de material radioactivo en el instante "t"
N0=¿Cantidad inicial de material radioactivo
k=¿ Constante de proporcionalidad
dNdt
=¿ Tasa de cambio de la cantidad de material radioactivo con respecto al tiempo
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
t=0HoraN=N0 t=? N=N0
2
dN (t )dt
=kN (t )
t=1HoraN=N0−10 %N 0=N0−0.1N 0=0.9N0
Resolviendo la ecuación diferencial dN (t )dt
=kN (t )
dN (t )N (t)
=kdt
lnN (t )=kt+c
N (t )=ekt+c=ekt ec Pero ec=c1
N (t )=ektc11¿
Reemplazando condiciones iníciales en 1)
t=0HoraN=N0
N (t )=ektc1⇒ N0=ek ( 0) c1⇒c1=N0 2¿
t=1HoraN=0.9N0
N ( t )=ektc1⇒ 0.9N0=ek (1 )N0⇒0.9=ek⇒ ln 0.9=ln ek⇒ k=ln0.9 3¿
Reemplazando 2) y 3) en 1)
N (t )=ektc1⇒ N (t )=e( ln 0.9) t N0 solucion general
t=? N=N 0
2 N 0
2=e (ln 0.9 )t N 0⇒
12=e (ln 0.9 ) t⇒ ln
12=ln e (ln 0.9 )t⇒ t=
ln(12 )
ln (0.9 )
Conclusión: la vida media del material es de ln( 1
2 )ln (0.9 )
Horas
PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO
La ley de Newton sobre el enfriamiento establece que la tasa de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y el medio circundante.
Sea T=¿temperatura del cuerpo en un instante "t"
T m=¿ Temperatura del medio circundante (medio que lo rodea)
dTdt
=¿ Tasa o intensidad de cambio de la temperatura con respecto al tiempo
dTdt
>0 , calentamiento
dTdt
<0 , enfriamiento
k=constante de proporcionalidad
Ejemplo 1) Un cuerpo a una temperatura de 50 F se pone en un horno cuya temperatura se mantiene a 150 F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 75 F , halle el tiempo requerido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 100 F.
Solución:
SeaT=¿ temperatura del cuerpo en un instante "t"
T m=¿ Temperatura del medio circundante (medio que lo rodea)
dTdt
=¿ Tasa o intensidad de cambio de la temperatura con respecto al tiempo
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
Cuerpo (T )
Medio Circundante (T m
)
dTdt
=−k (T−T m )
t=0minT=50 F t=?T=100 F dTdt
=−k (T−T m )
t=10minT=75F
T m=150 F Resolviendo la ecuación diferencial dT /dt=−k (T−T m) pero T m=150 dTdt
=−k (T−150 )⇒ dTT−150
=−kdt Integrandoln (T−150 )=−kt+c Aplicando definición de logaritmosT−150=e−kt+c=e−kt∗ec Pero ec=c1
T−150=e−kt∗c1⇒T=e−kt∗c1+150 1¿
Remplazando las condiciones iníciales en la ecuación 1)Si t=0minT=50 F
T=e−kt∗c1+150⇒50=e−k (0 )∗c1+150=c1+150⇒ c1=−100 2¿
sit=10minT=75 F
T=e−kt∗c1+150⇒75=e−k (10 )∗c1+150⇒ c1=−75
e−k (10) ⇒ c1=−75e10 k 3¿
Igualando 2) y 3)
−100=−75e10 k⇒ 10075
=e10k⇒ ln(10075 )=ln e10 k⇒ k=
ln(10075 )
104¿
Reemplazando 2) y 4) en 1)
T=e−kt∗c1+150⇒T=−100e−( ln( 100
75 )10 )t
+150 solucion general
sit=? T=100F ⇒100=−100e
−( ln( 10075 )
10 )t+150
−50=−100e−(ln ( 100
75 )10 )t
⇒ 12=e
−( ln( 10075 )
10 )t⇒ ln
12=ln e
−( ln( 10075 )
10 )t
ln12=−( ln(100
75 )10 ) t⇒ t=
ln12
−( ln(10075 )
10)
Conclusión: El Tiempo requerido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 100 Fes de
ln12
−( ln( 10075 )
10)min .
Ejemplo 2) Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante 0 F . Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 F y después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 20F , Calcular la temperatura inicial de este.
Solución:
Sea T 0=¿ temperatura inicial del cuerpo
T=¿ Temperatura del cuerpo en un instante "t"
T m=¿ Temperatura del medio circundante (medio que lo rodea)
dTdt
=¿ Tasa o intensidad de cambio de la temperatura con respecto al tiempo
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
t=20minT=40 F t=0T=T 0=? dTdt
=−k (T−T m )t=40minT=20 F
T m=0 F
Resolviendo la ecuación diferencial dT /dt=−k (T−T m) pero T m=0 dT /dt=−kT
dTT
=−kdt
lnT=−kt+c Aplicando propiedades de logaritmos
T=e−kt+ c=e−kt∗ec Pero ec=c1
T=e−kt c11¿
Remplazando las condiciones iníciales en la ecuación 1)Si t=20minT=40 F
T=e−kt c1⇒ 40=e−k ( 20) c1⇒c1=40
e−k (20 ) ⇒c1=40 e20 k 2¿
Si t=40minT=20 F
T=e−kt c1⇒20=e−k ( 40)c1⇒c1=20
e−k (40 ) ⇒c1=20e40 k3¿
Igualando 2) y 3) 40 e20 k=20e40 k⇒2=e20 k⇒ ln 2= ln e20 k⇒k= ln220
4¿
Reemplazando 4) en 2)
c1=40e20 k⇒c1=40e20 ( ln2
20 )=40e ln 2⇒ c1=80 5¿
Reemplazando k y c1 en 1)
T=e−( ln2
20 )t80 solucion general
Si t=0T=T 0 En la solución general
T=e−( ln2
20 )t80⇒T 0=e
−( ln220 ) ( 0)
80⇒T 0=80 F
Conclusión: La temperatura inicial del cuerpo es 80 F
CAIDA DE LOS CUERPOS CON RESISTENCIA AL AIRE
Consideremos un cuerpo de masa “m” cayendo verticalmente, que solo sufre la influencia de la gravedad “g” y una resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del cuerpo. Asumimos que la gravedad como también la masa permanece constante y, por conveniencia asumimos la dirección positiva hacia abajo.
Segunda ley del movimiento de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la
masa por la aceleración Fn=ma=mdvdt
Donde F} rsub {n} ¿ es la fuerza neta sobre el cuerpo y v es la velocidad del cuerpo, ambos en el instante “ t ”
Hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo: la fuerza debido a la gravedad dada por el peso w del cuerpo, que es igual a mg, y la fuerza debido a la resistencia del aire, dada por – kv,
El signo menos es debido a que la fuerza se opone a la velocidad; es decir actúa hacia arriba, la
fuerza neta por consiguiente es: Fn=ma=mdvdt
mg−kv=m dvdt
Ecuación diferencial del movimiento del cuerpo.
Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k=0
Cuando dvdt
=0 , la velocidad limite se define por v l=mgk
Observación: estas ecuaciones no son validas, si la resistencia del aire no es proporcional a la velocidad, sino al cuadrado de la velocidad o si la dirección hacia arriba es tomada como positiva, se debe deducir de nuevo la ecuación diferencial
Ejemplo 1) Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta de una altura de 1000 pies sin velocidad inicial .El cuerpo encuentra resistencia del aire proporcional a su velocidad. Si la
velocidad limite debe ser de 320piesseg
, encontrar a) una expresión para la velocidad del
cuerpo en un momento “t”, b) una expresión para la posición del cuerpo en un momento “t”
y c) el tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 160pieseg
Solución:
Sea v=¿ velocidad del cuerpo en un momento “t”
m=¿ Masa del cuerpo
g=¿ Aceleración de la gravedad
mg
kv
Cuerpo que cae
Tierra
v
Dirección positiva de “x ”
dvdt
+ kmv=g
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
m=10 slugs v=f (t )=? dvdt
+ kmv=g
x=1000 pies x=g ( t )=?
v0=0piesseg
t=? v=160piesseg
v l=320piesseg
Sabemos que v l=mgk⇒k=mg
v l=10∗32
320⇒k=1 1¿
Reemplazando datos en la ecuación diferencial dvdt
+ kmv=g2¿
dvdt
+ 110
v=32
Resolviendo la ecuación diferencial lineal
ve∫p ( t )dt=∫e∫
p (t )dtr (t )dt+c
∫ p ( t )dt=∫ 110
dt= t10
vet
10=∫et
10 32dt+c
vet
10=32e
t10
110
+c⇒ vet
10=320et
10+c
v=320+c e−t10 solucion general
Reemplazando condiciones iníciales en la solución general
Si t=0 v=0
v=320+c e−t10 ⇒0=320+c e
−(0 )10 ⇒c=−3203¿
a) v=f ( t )=320−320e−t10
b) Sabemos que v=dxdt
v=f ( t )=320−320e−t10 ⇒ dx
dt=320−320e
−t10
dx=(320−320e−t10 )dt Integrando ambos miembros
x=320 t−320e
−t10
−110
+c1⇒ x=320 t+3200e−t10 +c1 4¿
si x=0t=0
x=320 t+3200e−t10 +c1⇒ 0=320 (0 )+3200 e
−( 0)10 +c1⇒ c1=−3200 5¿
Reemplazando 5) en 4)
x=320 t+3200e−t10−3200
c) t=? v=160piesseg
v=320−320 e−t10⇒ 160=320−320e
−t10 ⇒−160=−320e
−t10 ⇒ 1
2=e
−t10
ln12=lne
−t10 ↔ ln
12=−t
10⇒ t=−10 ln( 1
2 )=6.9 seg
Conclusión: La expresión para la velocidad del cuerpo en un momento “t” es
v=320−320 e−t10 , la expresión para la posición del cuerpo en un momento “t” es
x=320 t+3200e−t10−3200 y el tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la
velocidad de 160pieseg
es 6.9 seg
PROBLEMAS DE DILUCIONES
Considere un tanque que contiene inicialmente v0 galones de solución salina que contienea lb de sal. Otra solución salina que contiene b lb de sal por galon, se vierte en el tanque a la tasa
de egalmin
.El problema es encontrar la cantidad de sal que hay en un tanque en un momento
“ t ”
Hagamos Q igual a la cantidad (en libras) de sal en el tanque en un momento. La tasa de
cambio en el tiempo de Q,dQdt
es igual a la tasa a la cual entra la sal en el tanque menos la tasa
a la cual sale de este. La sal entra al tanque a la tasa belbmin
. Para determinar la tasa a la cual
sale del tanque, primero calculamos el volumen de solución salina que hay en el tanque en un momento “ t ”, que es el volumen inicial V 0 más el volumen de solución salina agregada et menos el volumen de solución salina que ha salidoft. Entonces, el volumen de solución salina en cualquier momento es V 0+et−ft
La concentración de sal en el tanque en cualquier momento es Q
V 0+et−ft , de donde se
deduce que la sal sale del tanque a una tasa de f [ QV 0+et−ft ] lbmin . Entonces,
dQdt
=be−f [ QV 0+et−ft ]
Ejemplo 1) Un tanque contiene inicialmente 10 gal de agua pura. Para t=0 , una solución
salina que contiene 12lb de sal por galon se agrega en el tanque a una tasa de2
galmin
,
mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a la misma tasa. Hallar a) la cantidad y b) la concentración de sal en el tanque en cualquier momento “ t ”
Solución:
V 0
fgalmin
egalmin
dQdt
+ f [ QV 0+et−ft ]=be
Sea Q=¿ cantidad de sal en el tanque en un momento “t”
b=¿ Concentración
e=¿ Rapidez con la que entra
f=¿ Rapidez con la que sale
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
V 0=10gal Q=? dQdt
+ f [ QV 0+et− ft ]=beQ=a=0 lb
QV 0+et−ft
=?
b=12lbgal
e=2galmin
f=2galmin
Reemplazando datos en la ecuación diferencial dQdt
+ f [ QV 0+et−ft ]=be1¿
dQdt
+2[ Q10+2 t−2 t ]=1
2(2 )⇒ dQ
dt+[Q5 ]=12¿
Resolviendo la ecuación diferencial lineal 2)
Qe∫p (t )dt=∫ e∫
p (t )dt∗r (t )dt+c
∫ p ( t )dt=∫ 15dt= t
5
Qet5 =∫ e
t5∗1dt+c
Qet5 =
et5
15
+c⇒Qet5=5e
t5+c⇒Q=5+c e
−t5 solucion general
Reemplazando t=0Q=a=0lb en la soluciongeneral
Q=5+c e−t5 →0=5+c e
−05 →c=−5 3¿
Q=5−5e−t5 Solucion particular
Calculando la concentración en un tiempo “t”
QV 0+et−ft
=5−5 e
−t5
10+2 t−2 t=
1−e−t5
2⇒
QV 0+et−ft
=1−e
−t5
24¿
Conclusión: La cantidad de sal en un momento “t” es Q=5−5e−t5 lb y la concentración en
un momento cualquier es QV 0+et−ft
=1−e
−t5
2lbgal
Ejemplo 2) Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con 18lb de sal por
galón. Para t=0, otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galon se agrega en el
tanque a una tasa de 4galmin
, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a una
tasa de 8galmin
. Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando este contiene exactamente 40
gal de solución.
Solución:
Sea Q = cantidad de sal en el tanque en un momento “t”
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
V 0=80gal V=40 galQ=? dQdt
+ f [ QV 0+et−ft ]=bea=80
gal∗18
lbgal
=10 lb
b=1lbgal
e=4galmin
f=8galmin
Reemplazando datos en la ecuación diferencial dQdt
+ f [ QV 0+et−ft ]=be1¿
dQdt
+8[ Q80+4 t−8t ]=4
Resolviendo la ecuación diferencial lineal de primer ordendQdt
+8[ Q80−4 t ]=4
Qe∫p (t )dt=∫ e∫
p (t )dt∗r (t )dt+c∫ p ( t )dt=∫ 880−4 t
dt=−2∫ duu
=−2 lnu=−2 ln (80−4 t )
Qe−2 ln (80−4 t )=∫e−2 ln (80−4 t )∗4 dt+c
Qe ln (80−4 t )−2
=∫ eln ( 80−4 t )−2
∗4dt+c
Q
(80−4 t )2=∫ 1
(80−4 t )2∗4 dt+c
∫ 1
(80−4 t )2∗4 dt=−∫ dw
w2=−∫w−2dw= 1
w= 1
(80−4 t )
Q
(80−4 t )2= 1
(80−4 t )+c
Q= (80−4 t )+c (80−4 t )2=4 (20−t )+16 c (20−t )2
Q=4 (20−t )+c1 (20−t )2 2¿
sit=0Q=a=10lb
10=4 (20−0 )+c1 (20−0 )2⇒ c1=−740
3¿
Reemplazando 3) en 2) Q=4 (20−t )− 740
(20−t )24 ¿
Sabemos que V ( t )=V 0+et−ft=80+4 t−8 t=80−4 t
40=80−4 t⇒ t=10min .
Reemplazando t=10min en 4)
Q(t )=4 (20−t )− 740
(20−t )2⇒Q(10)=4 (20−10 )− 740
(20−10 )2
Q (10 )=22.5 lb
Conclusión: La cantidad de sal en el tanque es 22.5 lb , cuando este contiene exactamente 40 gal de solución
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES
La ecuación básica que rige la cantidad de corriente I (en Amperios) en un circuito simple (figura 1) que consiste de un resistor R (en Ohmios), un condensadorL (en Henrios), y una fuerza electromotriz (f.e.m.)E(en voltios) es:
Según la segunda ley de kirchoff EL+ER=E
LdIdt
+RI=E
Para circuitos RC que consiste en una resistencia, una capacitancia C (en Faradios), una f.e.m. y ninguna inductancia (figura 2), la ecuación que rige la cantidad de carga eléctrica q (en culombios) del conductor es:
Según la segunda ley de kirchoff
ER+EC=E
RI+ qC
=E⇔Rdqdt
+ qC
=E
Ejemplo 1) En un circuito eléctrico simple una F.E.M. de 220v esta conectada a una resistencia de 20ohms y una inductancia de 15henrios el circuito no contiene corriente al cerrarse el mismo.
a) Cuál es la corriente al cabo de 0.1 seg .b) Encuentre “t” cuando la corriente alcanza 2amperios
CR
E
L
RI
E
dIdt
+ RIL
= EL
dqdt
+ qRC
=ER
c) Cuál es la corriente de equilibrio
Solución:
Sea I ( t )=¿ corriente en un instante "t"
R=¿ La resistencia (ohms)
E=¿ La fuerza electromotriz (Volts)
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
E=220volts t=0.1 seg I=? dIdt
+ RIL
= ELR=20ohms
t=? I=2 A
L=15henrios I eq=?
t=0 I=0
Reemplazando datos en la ecuación diferencial dIdt
+ RIL
= EL
dIdt
+ 20 I15
=22015
⇒ dIdt
+ 4 I3
=443
1¿
Resolviendo la ecuación diferencial lineal
I e∫p ( t )dt=∫e∫
p ( t )dtr ( t )dt+c
∫ p ( t )dt=∫ 43dt= 4
3t
I e4 t3 =∫e
4 t3 44
3dt+c→ I e
4 t3 =
443e
4 t3
43
+c
I e4 t3 =11e
4 t3 +c⇒ I ( t )=11+c e
−4 t3 soluciongeneral
Reemplazando las condiciones iníciales en la solución general
sit=0 I=0
I ( t )=11+c e−4 t
3 ⇒0=11+c e−4 (0 )
3 ⇒ c=−112¿
Reemplazando 2) en la solución general para hallar la solución particular de I (t)
I ( t )=11−11e−4 t
3 3¿
a) t=0.1 seg I=? I ( t )=11−11e−4 t
3 ⇒ I=11−11 e−4 (0.1 )
3
I=1.37 Amperiosb) t=? I=2 A
I (t )=11−11e−4 t
3 ⇒ 2=11−11e−4 t
3 ⇒−9=−11e−4 t
3 ⇒ 911
=e−4 t
3
ln911
=lne−4 t
3 ⇒− 4 t3
=ln( 911)⇒ t=−3
4ln( 9
11)=0.15 seg 4¿
c) La corriente de equilibrio cuantot→∞ en la ecuación 3)
limt →∞
I (t )=limt →∞
(11−11 e−4 t
3 )
I eq=limt→∞ (11− 11
e4 t3 )=11− 11
e4 (∞ )
3
=11−0
I eq=11 Amperios
d) Conclusión: la corriente al cabo de 0.1 seg . es 1.37 Amperios , en 0.15seg la corriente alcanza 2amperios y la corriente de equilibrio es de 11 A.
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Consideremos una familia de curvas monoparametricas en el plano xy definida por
F ( x , y , c )=01¿
Donde “c” es el parámetro .El problema es hallar otra familia de curvas, de un parámetro, llamada trayectorias ortogonales de la familia 1) y está dada analíticamente por G ( x , y , c )=0 2¿
F ( x , y , c )=0
x
G ( x , y , c )=0
y
De manera que cada curva de esta familia 2) corte en ángulos rectos a cada curva de la familia original 1)
Procedimiento:
Derivamos 1) con respecto de “x ” , después eliminamos c entre esta derivada y 1). Esto nos da una ecuación relacionando x , y e y’, que resolvemos para y’ obteniendo la ecuación
diferencial de la forma dydx
=f ( x , y )3¿
Las trayectorias ortogonales de 1) son las soluciones de la ecuación diferencial
dydx
= −1f (x , y)
4¿
Ejemplo 1) Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2− y2=c2
Solución:
Sea F ( x , y , c )=x2− y2−c2
DATOS INCOGNITAS ECUACIÓN DIFERENCIAL
F ( x , y , c )=0 G ( x , y , c )=0 dydx
= −1f (x , y)
Derivando con respecto a “x”
2 x−2 ydydx
=0⇒2 x=2 ydydx⇒ dydx
= xy= f (x , y )1¿
Reemplazando 1¿ en la ecuación diferencial
dydx
= −1f (x , y)
⇒ dydx
=−1xy
⇒ dydx
=− yx
2¿
Resolviendo la ecuación diferencial 2)
dydx
=− yx⇒ dy
y=−dx
x Integrando ambos miembros
ln ( y )=−ln ( x )+c⇔ ln ( y )=−ln ( x )+ ln (c )⇔ ln ( y )=ln( cx )⇔ y= cx
Conclusión: Las trayectorias ortogonales a F (x , y , c)=0 , son las curvas y=cx
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