Aplicaciones Ec. diferencias

7/24/2019 Aplicaciones Ec. diferencias

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APLICACIN DE ECUACINES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

CIRCUITOS

1. Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a unabateraque transmite un voltaje de 20 voltios. i el interru!tor esta inicialmentea!a"ado # se lo$nciende des!u%s de 10 se"undos, !ermaneciendo conectada !orun la!so de 20 e" # lue"o desconectada definitivamente. i inicialmente no ha#car"a en elcondensador # la corriente inicial es cero, determine&

a' La car"a acumulada en el condensador en los tiem!os t=(s, # t=20s.

b' La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiem!os t=)s, # t=*0s.

oluci+n

LQ+RQ+1

cQ= (t)=20u (t10 )20u(t30)

l [LQ ]+l [RQ ]+ l [1cQ]=l [ (t)]

s2Q ( s )+12 sQ ( s )+100Q (s )=20

[

e10 se30 s

s

]s

( 2 Q ( s)+12 sQ ( s)+100)Q ( s)=20[e10 s

s

e10 s

s ]


2/138

Q (s )=20[ e10 s

s(s2+12 s+100)

e10 s

s (s2+12 s+100) ]

A

S+

Bs+C

s2+12 s+100 A s2

+12As+100A+B s2

Cs=1

A= B=1

C=1

1100

s

1

100 ( s+12s2+12 s+100 )

Q (s )=1

5 [e10 s(1s s+6( s+6 )2+64 s+6(s+6)2+64 )e30 s(1s s+6(s+6 )2+64 s+6(s+6)2+64 )]Q (t)=l1 [Q(s )]

Q (t)=1

5 [(1e6 ( t10) cos8 ( t10 )34e6 (t10) sen8( t10))U10 (t)15 ((1e6 ( t10) cos

Cuandot=5 s

Q (5 )=0Condensador descargado

Cuandot=20 s

Q (t)=1

5

1

5e6 (t10)

cos 8 (t10 ) 3

20e6 (

t10 ) sen8(t10)

Q (20 )=1

5

1

5e

60cos80

3

20e60

sen80


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Q (20 )=1

5

1

5e

60(0.110)3

20e

60(0.993)

2. Un circuito en erieLRC t iene una fuera electromotri de(cos-2 t'losvalores de las com!onentes sonR= 2L= 1/enrr# #C =11F inicialmente lacar"a sobre el ca!acitor # la corriente en la resistenciaes cero.

a'e te rminar la ca r"a en e l ca!ac i to r # la co r r ien te comofunc i+ndel tiem!o.

b'eterminar las condiciones de borde # es!eci3car que tiem!o demovimiento es&

Solucin

Lq+Rq+1

cq=E (t)

1.q+2q+ 1

1

17

q=5cos (2 t)(2)

$. 4o /omo"%nea

q +2 q +17 q=0 $. /omo"%nea

2+2+17=0

1,2=

244x172

=264

2 =

28 i2

1,2=14 i

q=et(c1 cos (4 t)+c2 sen ( 4 t))

$. 4o /omo"%nea

qp=Asen(2 t)+Bcos (2t)

q p=2Acos (2 t)2 Bsen(2t)

Q (20 )=2.08x1025 couloms

q+2q +17q=5co

q+2q +17q=5cos (2 t)


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qp=4Asen (2t)4 Bcos(2 t)

Reem!laado la $. 4o /omo"%nea

4Asen(2 t)4 Bcos(2 t)+4Acos (2t)4 Bsen(2t)+17Asen(2 t)+17 Bcos(2 t)=5cos (2 t)

(13A+4 B ) sen(2 t)+ (4A+13 B ) cos (2 t)=5cos (2 t)

13A4 B=04A+13 B=5 }

qp=

9

13sen(2t)+

6

13cos (2t)

La solucin Geneal !e la E.D No "o#o$%nea

c1 cos (4 t)+c2 sen (4 t)+ 4

37sen(2 t)+

13

37cos (2t)

q=et

q (0 )=0 ! i (0 )=0

c1cos (4 t)+c2 sen (2 t)+et(4 c1 sen (4 t)+4cos (4 t))+

8

37cos (2 t)+

26

37sen(2t)

i=dq

dt=et

0=(c1 cos0+c2 sen0 )e0 (4 c1 sen0+4cos0 )+

8

37cos0

26

37sen0

0=c1+4 c2+ 8

37

8

37=c1+4 c2

0=c1cos0+c2 sen0+ 4

37sen0+

13

37cos0

A= 4

37" B=


5/138

0=c1+13

37c1=

1337

! 8

37=

13

37+ 4

374 c2 c2=

21148

q=et(1337 cos (4 t) 21148sen(4 t))+ 437sen (2 t)+ 1337cos (2t)

i=dq

d te

t

(1337 cos (4 t) 21148sen(2 t))+et( 1337x 4 cos (4 t)(4)(21)

148 cos (4 t))+ 837 cos (

&. eterminar la car"a del ca!acitor de un circuito en serie LRC cuando t= 0,01(

L ' ()(*") R' 2o+# C ' ()(1 F) E,- ' ( /. 0,(' * Coulo# i,('( A#

Solucin q+R

Lq+

1

CLq=0

q+40 q+2000 q=0

r2+40 r+2000=0

q (t)=e20 t(Acos ( 40t)+Bsen(40 t))

Acos(40 t)+Bsen (40 t)+e20 t(40Asen ( 40t)+40 tcos(40 t))i=20 e20 t

q (0 )=5 i (0 )=0

r=2040


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3. Un circuito en erieLRC t iene una fuera electromotrid e ( c o s -2 t'los valores de las com!onentes sonR= 2L= 1/enrr##C =11F inicialmente la car"a sobre el ca!acitor # la corriente en la

resistenciaes ce ro .

a'e te rminar la ca r"a en e l ca!ac i to r # la co r r ien te comofunc i+ndel tiem!o.

b'eterminar las condiciones de borde # es!eci3car que tiem!o demovimiento es&Solucin

Lq+Rq+1

cq=E (t)

1.q+2q+ 1

1

17

q=5cos (2 t)(2)

$. 4o /omo"%nea

q+2 q +17 q=0 $. /omo"%nea

2+2+17=0

1,2=244x17

2 =

2642

=28 i

2 1,2=14 i

q=et

(c1 cos (4 t)+c2 sen ( 4 t))

$. 4o /omo"%nea

qp=Asen(2 t)+Bcos (2t)

E=5

2

A=5

q+2q +17q=5cos (2 t)

q+2q +17q=5cos (2 t)


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q p=2Acos (2 t)2 Bsen(2t)

qp=4Asen (2t)4 Bcos(2 t)


4Asen(2 t)4 Bcos(2 t)+4Acos (2t)4 Bsen(2t)+17Asen(2 t)+17 Bcos(2 t)=5cos (2 t)

(13A+4 B ) sen(2 t)+ (4A+13 B ) cos (2 t)=5cos (2 t)

13A4 B=04A+13 B=5 }

qp= 9

13sen(2t)+

6

13cos (2t)

La soluci+n 5eneral de la $. 4o /omo"%nea

c1 cos (4 t)+c2 sen (4 t)+ 4

37sen(2 t)+

13

37cos (2t)

q=et

q (0 )=0 ! i (0 )=0

c1cos (4 t)+c2 sen (2 t)+et(4 c1 sen (4 t)+4cos (4 t))+

8

37cos (2 t)+

26

37sen(2t)

i=dq

dt=et

0=(c1 cos0+c2 sen0 )e0 (4 c1 sen0+4cos0)+

8

37cos0

26

37sen0

0=c1+4 c2+ 8

37 8

37=c1+4 c2

0=c1cos0+c2 sen0+ 4

37sen0+

13

37cos0

A= 4

37"B=

1


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0=c1+13

37c1=

1337

! 8

37=13

37+ 4

374 c2 c2=

21148

q=et(1337 cos (4 t) 21148sen(4 t))+ 437sen (2 t)+ 1337cos (2t)

i=dq

dte

t

(1337 cos (4 t) 21148sen(2 t))+et( 1337x 4 cos (4 t)(4)(21)

148 cos(4 t))+ 837 cos (

5.Un circuito en serie LRC tiene una fuente de E,- ' & cos-los valores de lacom!onetesR ' & o+# L ' ()* " 4 C ' ()3F en - ' (la car"a sobre los ca!acitores cero # la corriente en el circuito es 1A. 6eterminar la car"a en el ca!acitor # lacorriente como funci+n del tiem!o7.

Solucin

Ld

2q

d t2+R

dq

dt+

1

cq=E (t)

0,5 q+3 q+ 1

0,4q=3 cost(2)

$.4o /omo"%nea q+6 q +5 q=0 $. /omo"%nea

2+6+5=0

=6364x5

2

1=1,2=5

q=c1 et+c2e

5 t$. 4o /omo"%nea

qp=# $(t)=6 cost

qp=Asent+Bcostq p=AcostBsent

q+6q +5q=6cost

q+6q +5q=6cost


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qp=AsentBcost


AsentBcost+6Acost6Bsent+5Asent+5Bcost=6cost

(6A+4 B )cost+(4A6B )sent=6cost

6A+4 B=64A6 B=0}

qp= 9

13sent+

6

13cost


q= 9

13sent+

6

13cost+c1 e

t+c2 e5 t

Condici+n de borde

q (t=0 )=i (t=0 )=1A

0= 913sen0+ 613

cos0+c1 e0+c2 e0

0=6

13+c1+c2

-1'

dq

dt=

9

13cost

6

13sentc1 e

t5 e5 t

1= 9

13cos0

6

13sen0c1e

05c2 e0

1= 9

13c15 c2

A=9

3"B=

6

13


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-2'

Resolviendo -1' # -2'

c1=1

2 " c2=

1

26

5. Un circuito en serie LRC tiene una fuente de E,- ' & cos- los valores de la

com!onetesR ' & o+# L ' ()* " 4 C ' ()3F en - ' (la car"a sobre los ca!acitores cero # la corriente en el circuito es 1A. 6eterminar la car"a en el ca!acitor # lacorriente como funci+n del tiem!o7.

Solucin

Ld

2q

d t2+R

dq

dt+

1

cq=E (t)

0,5 q+3 q+ 1

0,4

q=3 cost(2)

$.4o /omo"%nea

q+6 q +5 q=0 $. /omo"%nea

2+6+5=0

=6364x5

2

1=1,2=5

q=c1 et+c2e

5 t$. 4o /omo"%nea

q= 9

13sent+

6

13cost

1

2e

t+ 1

26e

5t

dq

dt=i=

9

13cost

6

13sent+

1

2et+

1

26e5 t

q+6q +5q=6cost

q+6q +5q=6cost


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qp=# $(t)=6 cost

qp=Asent+Bcostq p=AcostBsent

qp=AsentBcost


AsentBcost+6Acost6Bsent+5Asent+5Bcost=6cost

(6A+4 B )cost+(4A6B )sent=6cost

6A+4 B=6

4A6 B=0}

qp= 9

13sent+

6

13cost


q= 9

13sent+

6

13cost+c1 e

t+c2 e5 t

Condici+n de borde

q (t=0 )=i (t=0 )=1A

0=9

13sen0+

6

13cos0+c1 e

0+c2 e0

0=6

13+c1+c2

-1'

dq

dt=

9

13cost

6

13sentc1 e

t5 e5 t

A=

9

3"B=

6

13


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1= 9

13cos0

6

13sen0c1e

05c2 e0

1= 9

13c15 c2

-2'

Resolviendo -1' # -2'

c1=1

2 " c2=

1

26

dq

dt=i=

9

13cost

6

13sent+

1

2et+

1

26e5 t

6. $n el circuito, el condensador est8 car"ado con 100 9 interru!tor se cierra t = 0

e tiene& La utilidad de la constante de tiem!o de esta e:!onencial no es tantacomo en los circuitos de !rimer orden en cuanto a la duraci+n del transitorio, debido

a la !resencia de otros factores e:!onenciales, los de e:!onente ;.

q= 9

13sent+

6

13cost

1

2e

t+ 1

26e

5t


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( R2L )2

%

LC=( 5002x 1 )

2

1

1x 40x 106=37500>0


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?!licando al circuito la se"unda le# de Dirchhoff en t = 0

di

dt=( c (0 )Ri (0)

L =

(100 )500x 01

=100

Eue el valor de la derivada en t=0. ustitu#endo obtenemos ?1&

100= F(G,H(?1 @ **H,G( ?1 = H),H0 ?1

?1=100

387,30=0,26

?si la e:!resi+n de la intensidad queda com!leta&

i= 0,2G-e F(G,H(tB eF**H,G(t' A t I 0.

7. eterminar la car"a q-t' en el ca!acitor de un circuito en serie LRC cuando L '()2*/enrr#R ' 1( o+#) C ' ()((1 F) E,- ' () 0,( ' 0. coulo# 4 i,( ' (A

Solucin

0 8R

Lq+

1

CLq=

E

L


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0 8R

Lq+

1

CLq=0

0 810

0,25q+

1

0,0010,025q=0 0 8 3( q 8 3(((0 ' (

2 8 3( 8 3((( ' ( '4016004x 4000

2

'4014400

2 =

40120i2

' 9 2( : 5(iubamorti"uador

q= eF20t -?cos-G0t' @ J sen -G0t''

0,( ' 0 i,( ' (

i' ' 92(eq 92(-,Acos,5(- 8 ; sen ,5(-8 e 92(-,95(A sen,5(- 8 5(; cos,5(-

( ' 92(A 8 5(;

0 ' A

7.


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SolucinPa-e aa sabemos que la ecuaci+n diferencial !ara el voltaje de la ca!acitancia enestecircuito es&

d(c(t)dt

+ 1

RC(c (t)=

1

RC(in(t)

/aciendo una com!araci+n con la si"uiente ecuaci+n diferencial se !uedever que&

dx( t)dt x (t)=$(t)

$( t)= 1

RC) (t)=

1

RC)*C

=1RC

e tal forma que la soluci+n !ara el voltaje del condensador es&

)c(t + t )=e (tt )x (t )+

t

t

e ( t,) $( ,) d,

0+t

t

e

1RC

(t,))*C

RCd,

,=RC


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)c(t + t )=[)*CRC](

RC) - e1

RC(tt)

muestra la res!uesta en el tiem!o. Como se !uede ver en estado estable el voltajede la ca!acitancia tiende a ser i"ual que el voltaje de entrada dela fuente VDC.

5rafica

Pa-e a sabemos que la ecuaci+n diferencial !ara el voltaje de la ca!acitancia en estecircuito es&

d )c (t)

dt +

1

RC)c ( t)=

1

RC) (t)

/aciendo una com!araci+n con la si"uiente ecuaci+n diferencial se !uede ver que&

)c(t + t )=)*C[1e

1

RC(tt) ]


18/138

dx( t)dt x (t)=$(t)

$( t)= 1

RC) (t)=

1

RC)*C

=1RC

e tal forma que la soluci+n !ara el voltaje del condensador es&

)c

(t + t )=e (tt )x (t )+

t

t

e( t,) $( ,) d,

)co e1RC

( tt )+

t

t

e

1RC

(t,))*C

RCd,

)c(t + t )=)co e1RC

(tt)+( )*CRC) (RC) e

1RC

(t,)

)c(t + t )=)co e1RC(tt)+)c -(1e

1RC( tt )

)

Recordando que M = RC !odemos escribir esta ecuaci+n como&

)c(t + t )=)co e(tt )

, +)*c -(1e(tt )

, )

,=RC


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5rafica

i factoriamos las dos e:!onenciales la e:!resi+n toma la si"uiente forma&

)c(t + t )=)*C+()co)*C)e(tt)

,

$n esta nueva forma no !odemos distin"uir entre la res!uesta natural # la forada.i calculamos el lmite cuando el tiem!o tiende a infinito -el estado estable',tenemos&

)c(. )=limt /.

)c(t)=)*C+()co)*C) ( 0 )=)*C

)c(. )=)*C

e manera que !odemos reescribir la soluci+n como&

)c (t)=)c(. )+()c(.)) . e(tt)

,

?hora vamos a resolverlo !or el m%todo de coeficientes indeterminados !ara tIto.


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d0

dt+

1

RC0=

1

RC(*C

0+ 1

RC0=

1

RC(*C

0=(*C

La ecuaci+n homo"%nea tiene como ecuaci+n caracterstica

(+ 1RC)=0

Conra12 ( =1RC) " demaneraquela soluci3n4omog5nea ser6 :

)c(t)=0 - et=0 e

1RC

t

)c(t + t )=)c (t)+)Cp (t)=0 -e1RC

t

+)*C

?hora calculamos la condici+n inicial&

)c(t )=0 -e

1RC

t

+)*C=)

co

0=) co)*C

e

1RC

t=[ )co)*C] - e

1RC

t

Reem!laando K en la soluci+n com!leta tenemos&

)Cp(t + t )=(*C


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)c(t + t )=[ )co)*C] - e1RC

t

- e1RC

t

+)*C

)c(t + t )=[ )co)*C] - e1RC

(tt)+)*C

1(. Paa el cicui-o RC encon-aol-ios ,/# una corriente de I,-am!eres ,Aen eltiem!o t . $l circuito contiene tambi%n un resistor de una resistencia de / o+#ios,?# un inductor con una inductancia de L henrios -/'.La le# de hm establece que la cada de voltaje debida al resistor es R O La cada

de voltaje debida al inductor es L,!I@!-. Una de las le#es deDirchhoff e:!resaque la suma de las cadas de voltaje es i"ual al voltaje $-t',suministrado. emodo que se tiene

que es una ecuaci+n diferencial de !rimerorden. La soluci+n !ro!orciona lacorriente O en el tiem!o t

u!on"a que en el circuito la resistencia es de 12 # la inductanciaes de */ila batera !ro!orciona un voltaje constante de G0 9 # el interru!tor se

cierracuandot P 0 de manera que la corriente em!iea con el valor O -0' P0, encontrar.

a O-t'b la corriente al cabo de 1se"undoc el valor lmite de la corriente.

Solucinas Da#>a 20enermos. );eri$uar el nmero de enermos que Da#r' al ca#o dedoce d>as.

Solucin:Llamamos P,tal nmero de !ersonas enfermas en el momento t, que loe:!resaremos en das -a la vista de los datos'.La le# que nos dicen en el enunciado, se e:!resa as&P,t ' k P,t ,1(((( 9 P,t

$sta ecuaci+n es de variables se!aradas, # quedara&d8

8(1048)=;dt

)que !ara inte"rarlo necesitaramos descom!oner el !rimer t%rmino enfracciones sim!les&

1

8(100008)=A

8+ B

100008< 1=A (1048 )+B8/

Resolviendo las inte"rales se lle"a a qu%&1

104

ln ( 8 (t)1048 ( t) )=;t+c

des!ejando P,-)8(t)

1048( t)

=C - e104;t

8 (t)=C -(1048 (t))e10

4;t

obteniendo as

que&

A= 1

104

8 (t)=10

4Ce104;t

1+Ce104;t


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@.).A.,.M Nombre: CristianZurita Cabrera Facultad Ciencias de la Computacin y TelecomunicacionesMateria Ecuaciones DiferencialesCarrera: Ing Inform!tica M"T#$% &C &EM&T'E ()#$(*


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59/138


&.La !oblaci+n de una comunidad de bacterias crece a ra+n !ro!orcional a su

!oblaci+n en cualquier momento t. ?l cabo de H horas se observa que ha#*00 individuos.


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3.e sabe que la !oblaci+n de cierta comunidad aumenta con una ra!ide!ro!orcional a la cantidad de !ersonas que tiene en cualquier momento t.i la !oblaci+n se du!lic+ en ( aKos, 6$n cu8nto tiem!o se tri!licar8 #cuadru!licar87

Solucino -iene una can-i!a! inicial P !e ac-eias. Cuan!o -' 1 +) la can-i!a!

!e ;ac-eias es !e3

28 . Si la ai!e !e ceci#ien-o es oocional a la

can-i!a! !e ac-eias P ,- en el #o#en-o !e -) calcule el -ie#o necesaioaa -ilica la can-i!a! inicial !e #icoo$anis#os.

Solucin

Aplicaciones Ec. diferencias

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