APLICEDO

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158http://www.damasorojas.com.ve Dr.DMASOROJAS

INSTITUTO UNIVERSITARIO DETECNOLOGA

JOS ANTONIO ANZOTEGUIMATEMTICAS PARA INGENIEROS

APLICACIONESDEECUACIONESDIFERENCIALESCOMOMODELOSLINEALES

CRECIMIENTO

BACTERIANO.

Uncultivotieneunacantidad inicial 0N debacterias.Cuando 1t h= , lacantidadmedida

de bacterias es0

3

2N . Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de

bacteriaspresentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los

microorganismos.

Primeroseresuelvelaecuacindiferencial

dNkN

dt= (2) sujeta a ( ) 00N N= . A continuacin se define la condicin emprica

( ) 0

31

2N N= parahallark, laconstantedeproporcionalidad.Conello, laecuacin(2)es

separableylineal,alavez.Cuandoseescribeenlaforma

0dN

kNdt

= ,podemosverporinspeccinqueelfactorintegrantees kte .Multiplicamos

ambosladosdelaecuacinporesefactoryelresultadoinmediatoes 0ktd

e Ndt

= .

Integramosambosladosdelaltimaecuacinparallegaralasolucingeneralkte N c

= ,osea ( ) ktN t ce= .

Cuando 0t= , 00N ce c= = y, por consiguiente, ( ) 0ktN t N e= Cuando 1t= , entonces

0 0

3

2

kN N e= ,obien

3

2

ke = .Conlaltimaecuacinobtenemos

3ln 0.4055

2k= = .As

( ) 0.40550tN t N e= .

Paraestablecerelmomentoenquesetriplica lacantidaddebacterias,despejamostde0.4055

0 03 tN N e= ;porconsiguiente,0.4055 ln3t= yas

ln 32.71

0.4055t h=

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Nota:Losproblemasdedescribirelcrecimiento(Seadepoblaciones,bacteriasocapitales)

se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene un

decrecimiento(comoladesintegracinradiactiva),setieneunvalornegativodek.Porlo

tanto, se dice que k es una constante de crecimiento ( 0k> ) o una constante de

descrecimientoodedeclinacin( 0k< ).

PERIODO MEDIO. En fsica, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una

sustanciaradiactiva.Es,simplemente,eltiempoquetranscurreparaquesedesintegreo

transmutelamitaddelostomosenunamuestrainicial, 0A yseconviertanentomosde

otroelemento.Mientrasmayorseasusemivida,msestableesunasustancia.

PERIODO MEDIO DEL PLUTONIO. Un reactor de cra convierte al uranio 238,

relativamenteestable,enplutonio239,un istoporadiactivo.Alcabode15aos,seha

desintegradoel0.043%de lacantidad inicial, 0A deunamuestradeplutonio.Calculeel

periodomediodeeseistopo,silarazndedesintegracinesproporcionalalacantidad

presente.

Sea ( )A t la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento t, la solucin del

problemadevalorinicial:dA

kAdt

= , ( ) 00A A= ( ) 0ktA t A e=

Sisehadesintegradoel0.043%delostomosde 0A ,quedael99.957%.Paracalcularla

constante k (o declinacin) empleamos ( )00.99957 15A A= , esto es, 15

0 00.99957 k

A A e=

Despejamoskytenemos1

ln0.99957 0.0000286715

k= = .Enconsecuencia,

( ) 0.000028670tA t A e =

Sielperiodomedioeselvalorquecorrespondea ( ) 02

AA t = ,despejandoatseobtiene

0.0000286700

2

tAA e

= ,esdecir, 0.000028671

2

te

= Deacuerdoconestaecuacin,

ln 224,180

0.00002867t= Aos

LA

TEORA

DE

DATACIN

CON

RADIOCARBONO. Mtodo que emplea al carbono

radiactivoparadeterminarlasedadesaproximadasdefsiles.Larazndelacantidadde

C l4alcarbonoordinarioen laatmsferaparece serconstantey,enconsecuencia, la

cantidadproporcionaldelistopopresenteentodoslosorganismosvivosesigualquela

delaatmsfera.CuandomuereunorganismolaabsorcindelC l4seaporrespiracino

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alimentacin cesa.As, si secompara la cantidadproporcionaldeC 14presentes,por

ejemplo en un fsil, con la relacin constante que existe en la atmosfera, es posible

obtenerunaestimacinrazonabledesuantigedad.

ANTIGEDADDEUNFSIL.Seanalizunhuesofosilizadoyseencontrquecontenala

centsimapartedelacantidadoriginaldeC 14.Determinelaedaddelfsil.

Elpuntodepartidaes,denuevo, ( ) 0ktA t A e= Paracalcularelvalorde laconstantede

decaimiento aplicamos el hecho que ( )0 56002

AA= , o sea, 56000 0

2

kAA e= Entonces,

15600 ln ln 2

2k= = dedonde

( )ln 20.00012378

5600k= = ;porconsiguiente

( ) 0.000123780 tA t A e = .Tenemos,para ( ) 01000

AA t = ,que 0.000123780 01000

tA A e= ,demodoque

10.00012378 ln ln1000

1000t = = .As

ln100055,800

0.00012378t= aos

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/ CALENTAMIENTO (supondremos quem

T es

constante)(consultargua#3)

ENFRIAMIENTODEUNPASTEL.

Alsacarunpasteldelhorno,sutemperaturaes300F.Despusde3minutos,200F.En

cuntotiemposeenfriarhastalatemperaturaambientede70F?

( )70dT

k Tdt

= , ( ) 300T O = ydeterminarelvalordekdetalmodoque ( )3 200T = .

Laecuacin eslinealyseparable,alavez.Alsepararlasvariables,70

dTkdt

T=

Vemosque 70mT = .Porconsiguiente,debemosresolverelproblemadevalorinicialcuyo

resultadoes1ln 70T kt c = + ,yas 270

ktT c e= + .Cuando 0t= , 300T= demodoque

2300 70 c= + definea 2 230c = .Entonces, 70 230 ktT e= +

Por ultimo, la determinacin ( )3 200T = conduce a3 13

23

k

e = , o sea,

1 13ln 0.19018

3 23k= = As ( ) 0.1901870 230T t e= +

MEZCLAS. Al mezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales de

primerorden(verguademodelosmatemticos)

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Supusimosquelaraznconquecambialacantidaddesal ( )A r ,eneltanquedemezcla

esunaraznneta:

Supongamosqueeltanquemezcladorgrande contiene inicialmente300galonesdeunasolucin de salmuera. Otra solucin de salmuera entra al tanque con una razn de 3

galonesporminuto3min

gal;laconcentracindesalqueentraes 2

lb

gal.Cuandolasolucin

eneltanqueestbienmezclada,saleconlamismarapidezconqueentra.

Si ( )A t denota lacantidaddesal(medidaenlibras)eneltanquealtiempot,entoncesla

raznconlaque ( )A t cambiaesunaraznneta:

1 2

razn con que razn con que

entra la sustancia sale la sustancia

dAR R

dt

= =

Laconcentracindelasolucinentranteera;porconsiguiente,laentradadesalera

1 2 3 6min min

lb gal lbR

gal

= =

;

Ahora,puestoque la solucin saledel tanque con lamisma razn con laqueentra,elnmero de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300galones.Porloquelaconcentracin delasal

eneltanqueas comoenelflujodesalida

es.

( )( )

300 /

A tc t

lb gal=

Porloquelarazndesalidaes2 3

min 300 100 min

gal A lb A lbR

gal

= =

.

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Laraznneta 1 2 6 6100 100

dA A dA AR R

dt dt = = + =

AhoraSepregunta,sihaba50lbdesaldisueltasenlos300galonesiniciales.Cuntasal

habreneltanquepasadoungrantiempo?

Parahallar ( )A t ,resolvemoselproblemadevalorinicial

6100

dA A

dt= , ( )0 50A = .

Aquobservamosquelacondicinadjuntaeslacantidadinicialdesal, ( )0 50A = ynola

cantidadinicialdelquido.

Comoelfactorintegrantedeestaecuacindiferenciallineales 100t

e ,podemosformularla

ecuacinas:

100 1006

t t

d e A edt

=

Al integrar esta ecuacin y despejar A se obtiene la solucin general 100600t

A ce

= + .

Cuando 0t= , 50A = demodoque 550c= .Entonces,lacantidaddesaleneltanqueen

elmomentotestdefinidapor ( ) 100600 550t

A t e

=

Sepuedever,que 600A cuando t .Estoes loquecabraesperarenestecaso;

pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solucin debe ser

( )300 2 600lb

gal lbgal

= .

Enelcasoquelasalmueramezcladasepuedesacaraunflujomayoromenorqueelflujo

de entrada de la otra solucin; por ejemplo, si la solucin bien mezclada del ejemplo

anteriorsaleaunflujomenor,digamosde 2min

gal,seacumularlquidoeneltanqueauna

tasa de ( )3 2 1min min

gal gal = . Cuando haya transcurrido t minutos, en el tanque habr

300 t+ galonesdesalmuera.Laraznconquesalelasales,entonces,

2 2 min 300

gal A lbR t gal

= + .As,

la ecuacin (6) se transforma en 26 300

dA A

dt t= + o sea

26

300

dAA

dt t+ =

+ .

Debecomprobarquelasolucindelaltimaecuacin,sujetaa ( )0 50A = ,es

( ) ( )( ) 27600 2 4.95 10 300A t t x t

= + + .

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Sea ( )h t laalturade lquidoeneltanqueencualquier instante ty ( )V t elvolumende

aguadeltanqueeneseinstante.Lavelocidadv delaguaquesaleatravsdelorificioes:

2v gh= (1),donde g es lagravedad.Laecuacin (1)representa lavelocidadqueuna

gotadeaguaadquiriraalcaerlibrementedesdelasuperficiedelaguahastaelagujero.

En condiciones reales,hayque tomaren cuenta la contraccinque sufreun chorrode

agua en un orificio, por lo que se tendr 2v c gh= (2), donde c es el coeficiente de

descargacomprendidoentre0y1 ( )0 1c< < .

Nota:Cuandoelvalordelcoeficientededescarga c noseindica,seasumeque 1c=

Segn laLeydeTorricelli, la razncon laqueelagua saleporelagujero (variacindel

volumende lquidoenel tanque respectodel tiempo) sepuedeexpresarcomoelrea

a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto esdV

avdt

= (3)

sustituyendolaecuacin(2)enlaecuacin(3) 2dV

ac ghdt

= (4)

Si ( )A h denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h ,

aplicandoelmtododel volumenpor secciones transversales seobtiene ( )0

h

V A h dh=

derivandorespectode tyaplicandoelteoremafundamentaldelclculo ( )dV dh

A hdt dt

= (5)

Comparandolasecuaciones(3)y(5) ( ) 2dh

A h ac ghdt = (6)

Sean h laalturadelquidoeneltanqueencualquierinstante t, a elreadelorificiode

salida el cual est ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de

descarga y ( )A h el rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferencial

asociadaalproblemadevaciadodeltanquees ( ) 2dh

A h ac ghdt

=

Estaesunaecuacindiferencialdevariablesseparables, lacualalresolversesujetaa la

condicindeconocer laaltura inicial 0h paraeltiempo 0t= ,permiteobtener la leyde

variacindelaalturadelquidoeneltanqueenfuncindeltiempo.

Si,adems,hayaportedelquidoaltanque,laecuacindiferenciales:

( ) 2dh

A h Q ac ghdt

=

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Uncilindrorectocircularde10piesderadioy20piesdealtura,estllenoconagua.Tiene

unpequeoorificioenelfondodeunapulgadadedimetroCundosevaciartodoel

tanque?

LaecuacindiferencialasociadaalosproblemasdeVaciadodetanqueses:

( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Eldimetrodelorificiopordondefluyeelaguafueradeltanque

esde1pulgada,por lo tantoel radioespulgada.Como lasdimensionesdel tanque

estndadasenpie,utilizandolaequivalenciade1pulgada=1

12piesypuestoqueelrea

delorificiodesalidaeselreadeunacircunferencia ( )( )2radio ,resultaqueelrea a

delorificiodesalidaes2

21

24 576a pie

= =

.Elcoeficientededescarga c noestdado

porlotantoseasume 1c= ylagravedades2

32 pies

gseg

=

UNIDADESYNOTACIONES

Elemento Notacin Unidades

Altura ( )h t cm mt pies

Volumen

( )V t

3cm

3mt

3pies

Tiempo t seg seg seg

Gravedad g2

981 cm

seg

29,81

mt

seg

232

pies

seg

readelorificiodesalida a 2cm 2cm 2pies

rea

de

la

seccin

Transversal ( )A h 2cm 2cm 2pies

Coef.

de

descarga

c

SinUnidades

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Paradeterminar ( )A h ,queeselreadelaseccintransversaldeltanqueenfuncindela

altura h , obsrvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son

circunferencias de radio constante 10r pies= . Por lo tanto, el rea de la seccin

transversaleslamisma,independientementedelaaltura h alacualseefecteelcorte.

As, ( ) ( )2

210 100A h pies = =

Sustituyendo a, c, g, y ( )A h en la ecuacin (1)8

100 64576 576

dh hdt h

= =

multiplicandopor1

ysimplificando

1100

72dh hdt = (2)

Laecuacin(2)eslaecuacindiferencialasociadaalproblema;lamismadeberesolverse

sujetaalacondicinqueparaeltiempo0 0t seg= ,laalturainiciales 0 20h pies= ,puesen

elenunciadosedicequeeltanqueesttotalmentelleno.

La ecuacin diferencial (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para

separarlasvariables,laecuacin(2),semultiplicaporelfactor 72h

7200dh dt

h = Integrando

17200 dh dt

h = (3)Ambasintegralessoninmediatas

1 1

2 21 2

12 2dh h dh h h k dt t k

h

= = = + = + Sustituyendo los resultados de las

integralesenlaecuacin(3) 14400 h t k = + (4)

Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracin,seusalacondicininicial,esto

es,sesustituyeen laecuacin(4) 0t seg= y 20h pies= ,resultando 14400 20k= .Este

valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) 14400 14400 20h t =

multiplicandopor1

14400 yelevandoalcuadrado ( )

2

2014400

th t

= +

(5)

Laecuacin (5)es la leyde variacinde la alturade lquidoenel tanqueen cualquier

instante t.

Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparael

cualdejadehaberlquidoeneltanque,sedebesustituir 0h= enlaecuacin(5)

14400 20 64398,75t= =

Luegoeltanquesevacaenuntiempo 64398,75t seg= ,esdecir,17 53min19h seg

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Gravitacin

Universal

Segn la leyde lagravitacinuniversaldeNewton laaceleracinadecada libredeun

cuerpo, como el satlite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran

distanciahasta la superficie terrestrenoes la constanteg.Adems, laaceleracinaes

inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdeelcentrodelaTierra 2k

ar=

dondekeslaconstantedeproporcionalidad.Utiliceelhechodequeenlasuperficiedela

Tierra r R= y a g= paradeterminark.Si ladireccinpositivaeshaciaarriba,utilice la

segundaleyparadeducirlaecuacindiferencialparaladistanciar.

Loprimeroaconoceraqu,esaqueesiguallafuerzagravitacionalenm:2T

mF kM

r= Sin

embargoMdelatierrapodemosescribirlacomo: 33t

MM r

R= Sustituyendoyreduciendo

enlaecuacindelafuerzagravitacional:

3

3

2 2 3

r

mr M

M m mMRF k k k r r r R= = = LaLeyde

la Gravitacin Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partcula

puntualconmasa 1m sobreotraconmasa 2m esdirectamenteproporcionalalproducto

delasmasas,einversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaquelassepara:

Segn lasegunda leydeNewton tenemosque, la fuerzaeselproductode lamasay la

aceleracin, donde esta ltima tambin puede expresarse como la derivada de la

velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posicin respecto del

tiempo:2 2

2 2 3

d r d r mM F ma F m m k r

dt dt R

= = = Eliminandolamasadeambosladosde

laecuacin.2

2 3

d r kM r

dt R=

MODELO

DE

CRECIMIENTO

POBLACIONAL.

Ciertoingenierodecideconstruirunaedificacinenunazonaurbanaconunadinmicade

crecimientodictadaporlasiguienteecuacindiferencial: ( )cosdP

k t Pdt

= dondekesuna

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constantepositivade la funcinP(t)de lazonaescogidaparaelestudio.Eldeseasaber

qu tipodecrecimiento tiene lapoblacin.Grafiqueelcomportamientode laecuacin.

Analiceuna interpretacinpara la solucindeestaecuacin,ydeterminequ clasede

poblacinconsideraquedescribelagrfica.

LaEDpuederesolverseporelmtododelaseparacindevariables: ( )cosdP

k t Pdt =

cos cos ln ksent CdP dP

k tdt k tdt P ksent C P edt P

+= = = + =

DINMICA

DE

CADA

Cuandouncuerpo,comoelparacaidistaqueapareceenlafigura,descendiendoantesde

queseabraelparacadassemuevecongranrapidezenelaire,laresistenciadelmismoes

ms cerca a a una cierta potencia de la velocidad instantnea v(t). Determine una

ecuacin diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la

resistenciadelaireesproporcionalalcuadradodelavelocidadinstantnea.

La segunda ley de Newton podra describir muy bien este principio. Ya dijimos que la

fuerzapodrallevarseaunadiferencialsimple F ma=

dvF m

dt= y aplicando lamisma leya la fuerzaqueprovee la sustentacin tendramos:

2dvm kv mgdt

= + . En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la

condicindelaecuacin,asdeberafluctuarlacadaparaunosvaloresdev(t)de0a140

m/s.

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EJERCICIOS

RESUELTOS.

1.Unatazadecafcalientequeinicialmenteseencuentraa95C,seenfrayllegaa80C

en5minutosmientraspermanece servidaenun cuarto cuya temperaturaesta21C.

Determineenqumomentoelcafestaralatemperaturaidealde50C.

( ) ( ) ( )ln kta a aa

dT dT k T T kdt T T kt C T t Ce T

dt T T = = = + = +

Sabemosquelatemperaturadelcuartoes21C

( ) 21ktT t Ce= +

En 0t= elcafesta95C

( ) ( )

( )

0

0 21 95 95 21 74

74 21

k

kt

T Ce C

T t e

= + = = == +

En 5mint= elcafesta80C

( ) ( )5 0.045359

ln74

5 74 21 80 0.0453 74 215 min

k tCT e k T t e

= + = = = = +

En 1 mint t= elcafesta50C

( ) 10.04531 1

29ln

7474 21 50 20.67 min

0.0453

tT t e t

= + = = =

2.Elsbado24defebrerodel2007alas07h00A.M.unconserjedelbsicoencuentrael

cuerpodeunestudiantedeecuacionesdiferencialesenelauladonderindisuexamenel

da anterior, que se conserva a temperatura constante de 26C. En ese momento la

temperaturadelcuerpoesde28Cypasadahoraymedia latemperaturaesde27.5C.

Considere la temperaturadelcuerpoenelmomentode lamuertede37Cyqueseha

enfriadosegnlaLeydeEnfriamientodeNewton,culfuelahoradelamuerte?

LeydeenfriamientodeNewton:

( )c adT

K T Tdt

=

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dT

dt:(Variacindelatemperaturaconrespectoaltiempo)

cT :(Temperaturadelcuerpo)

aT :(Temperaturadelaula)

t:Tiempoenhoras

26a

T C=

Latemperaturadelcuerpocuandoeshalladoes 28 C

Eltiempoenquelatemperaturaesde28 C es 1t . ( )1 28T t C =

Despusdeunahoraymedialatemperaturadelcuerpodesciendea27.5 C.

Eltiempoenquelatemperaturaesde27.5 C serentonces: 1 1.5t +

( )

( )

( ) ( )

( )

1

ln 26

1.5 27.5

26 ;

ln 2626 26

26 26c

c

c

c c

T Kt C Kt C Kt

c c

T t C

dTK T

dt

dT dT Kdt Kdt T Kt C

T T

e e T Ce T t Ce + +

+ =

=

= = = +

= = = +

Silatemperaturaantesdemorirerade37 C entonces:

( ) ( )0 37 37 26 11 11 26ktcT C C C T t e= = + = = +

Si ( ) ( ) 1 1 11 12

28 11 26 28 11 211

Kt Kt Kt T t C T t e e e

= = + = = =

1 1

1

2 1.7047ln 1.7047

11kt kt k

t

= = =

(Ecuacin1);

Si ( )1 1.5 27.5T t C+ =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11.5 1.5 1.511.5

1.5 11 26 27.5 11 1.5 ;11

K t K t K t T t e e e

+ + + + = + = = =

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( ) ( )1 11

1.5 1.99241.5 ln 1.5 1.9924

11 1.5K t k t k

t

+ = + = = +

(Ecuacin2);

Siseigualaecuacin1y2:

( )1 1 1 11 1

1 1 1

1.7047 1.9924 1.5 1.7047 1.9924 1.7047 2.55705 1.99241.5

2.557051.9924 1.7047 2.55705 8.89

1.9924 1.7047

t t t t t t

t t t horas

= + = + =+

= = =

Porlotantoelestudiantemuri8.89horasantesdeserencontradoesdecir,alas22h06.

3.Supongamosqueunalumnode laUNIVERSIDADesportadordelvirusde lagripeya

pesardeellavaalaescueladondehay5000estudiantes.Sisesuponequelaraznconla

quesepropagaelvirusesproporcionalnosoloalacantidaddeinfectadossinotambina

la cantidaddeno infectados.Determine lacantidaddealumnos infectadosa los6das

despus,siseobservaquealos4daslacantidaddeinfectadoserade50.

: #x deinfectados

5000 : #x desanos

( )( )

( )

5000

5000

15000 ln

5000 5000 5000

5000ln 5000

5000 1

kt

kt

dx dx xkx x kdt kt C

dt x x x

x Cekt C x t

x Ce

= = = +

= + =

En 0, 1t x= =

( ) ( ) ( )0 5000

5000

0

5000 10 1

1 4999 1

ktktCe e

x C x t x t eCe

= = = = =

En 4, 50t x= =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0.25 ln 5020000 0.25

0.25*6 1.5

ln 504 50 50

200006 50 50 353infectados

tk tx e k x t e x t

x

= = = = =

= = =

4.Enuncultivodelevaduralarapidezdecambioesproporcionalalacantidadexistente.

Silacantidaddecultivoseduplicaen4horas,Qucantidadpuedeesperarsealcabode

16horas,conlamismarapidezdecrecimiento?

x:cantidadexistente.

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( ) ( )ln ktdx dx

kx kdt x kt C x t Cedt x

= = = + =

en00,t x x= =

( ) 0 0 00x Ce x C x= = =

en 04, 2t x x= =

( ) ( )

( )( )

( )

( )

ln 2

4 4 40 0 0 0

1644

0 0 0

ln 24 2 2

4

16 2 2 32

t t

kx x e x k x t x e x t x

x x x x

= = = = =

= = =

5.Unobjetoquepesa30Kgsedejacaerdesdeunaalturade40m,conunavelocidadde

3m/s.supngaseque laresistenciadelaireesproporcionala lavelocidaddelcuerpo.Se

sabequelavelocidadlmitedebeser40m/s.Encontrarlaexpresindelavelocidadenun

tiempot.Laexpresinparalaposicindelcuerpoenuntiempotcualquiera.

( ) ( )

( ) ( ) 30

ln ln

1 1300

x

k kt t

m

dv dvmg f m mg kv m

dt dt

dv m k m dt kv mg t C kv mg t C

kv mg k m

v t Ce mg v t Cek k

= =

= = + = +

= + = +

en 0, 3m

t v

s

= =

( ) 01

0 300 3 3 300v Ce C k k

= + = =

en , 40m

t vs

= =

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

0.25

0.25 0.25

0.25

1 300300 40 40 7.5 277.5

37 40

37 40 148 40

148 40

t

t t

t

v Ce k C k k

v t e

dxv t x t v t dt C

dtx t e dt C e t C

x t e t C

= + = = =

= +

= = +

= + + = + +

= + +

en 0, 0t x m= =

( ) ( )

( )

0

0.25

0 148 40 0 0 148

148 40 148t

x e C C

x t e t

= + + = =

= +

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6.La fuerzaresistentedelaguaqueoperasobreunboteesproporcionalasuvelocidad

instantnea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg la resistencia es de 40

Newton. Se conoce que el motor ejerce una fuerza constantes de 50 Newton. En la

direccindelmovimiento.Elbotetieneunamasade420Kg.yelpasajerode80Kg.

a)Determineladistanciarecorridaylavelocidadenlcualquierinstantesuponiendoqueel

botepartedelreposo.

b)Determinelamximavelocidadalaquepuedeviajarelbote.

AplicandolasegundaleydeNewtonseobtiene:

xF ma=

Parte

a) Fm :Fuerzadelmotor

Fr:Fuerzaderesistenciadelagua

Fm :50Newton

Fr kv=

Comolavelocidadesde20m/segylafuerzaderesistenciade40Newton.

Entonces40

2 2

20

Newtonsk k

m

seg

= = =

50x

dvF ma Fm Fr ma kv m

dt= = =

uur

m:masatotaldelsistema 420 80 500 50 500 , 2dv

m kg kg kg kv k dt

= + = = =

500 2 50dv

v

dt

+ =

Ecuacindiferencialseparable

( )

( )

ln 25 250 250 250

500 50 250 2 500 2 25 500

ln 2525 250 250

25 25t t t

Cv

dv dv dt dv dt v

dt v v

dv dt t C v C

v

e e v ke v ke+

= = =

= + = +

= = = +

Silvelocidadiniciales0porpartirdelreposoentonces ( )0 0v = ;0 25 25k k= + =

Laecuacindelavelocidad: 25025 25t

v e

= Comodx

vdt

=

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

250

250 250 250

25 25

25 25 25 25 250 25 25 250

t

t t t

dxe

dt

x t e dt t e C x t t e C

=

= = + + = + +

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Sipartedelreposo ( )0 0x = ; ( ) ( )0 25 250 25 250C C= + =

Laecuacindelmovimientoes: ( ) ( ) ( )25025 25 250 25 250t

x t t e

= +

b)Lavelocidadlmiteomximaes: 250max lim 25 25 25t

t

piesv e

seg

= =

7. Un circuito RL tiene una f.e.m. de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una

inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente para1

5t=

segundos.

( )

( ) 30

19 30 ln 30 9

30 9 30

130 9 30 9

30

t

di di div iR L i dt i t C

dt dt i

i t C i t Ce

= + = + = = +

= + = +

en 0, 0t i= =

( )

( ) ( )

0

30 30

10 9 21

30

121 9 0.7 0.3

30

t t

i Ce c

i t e i t e

= + =

= + = +

en1

5t=

( ) 6 1

0.7 0.3 0.3015

i t e i amp = + =

8.UnaF.e.m.de 5200 te voltiosseconectaenserieconunaresistenciade20Ohmiosy

unacapacitanciade0.01Faradios.Asumiendoque lacarga inicialdelcapacitorescero.

Encuentrelacargaylacorrienteencualquierinstantedetiempo.

dq qR fem

dt C

+ =

EcuacindiferencialparaelcircuitoRC.

R:Resistencia 20R ohmios =

q :Carga

C:Capacitancia 0.01e C F = 5200 tfem e=

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5 520 20 20 100 200.01

t tdq q dqe q edt dt

+ = + =

55 tdq

q edt

+ = Ecuacindiferenciallineal

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 5 5 5 5 5 5

5 5 5

1dt t t t t t t

t t t

u t e e q t u t e dt q t e e e dt dt e t cu t

q t e t c e t e c

= = = = = = +

= + = +

Siinicialmentenohaycargaenelcapacitor,entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 5

5 5

5 5 5 5 5

0 0;0

1;

5

1 1 1

5 5 5 25

t t

t t

t t t t t

q c q t e i t q t dt e tdt

u t du dt dv e dt v e

ti t e tdt e e dt i t e e C

= = = = =

= = = =

= = + = +

Silacargainicialescero,entonceslacorrienteinicialescero:

( ) ( ) 5 51

0 05 25

t tti i t e e

= =

9.Sesabequelapoblacindeciertacomunidadaumentaconunaraznproporcionalala

cantidaddepersonasquetieneencualquiermomento.Silapoblacinseduplicencinco

aos,encuntotiemposetriplicarycuadruplicar?

Dejar( )P P t

= ser la poblacin en el tiempot, y

0P la poblacin inicial. De

dP

kPdt=

obtenemos 0kt

P P e= . Usando ( ) 05 2P P= encontramos1

ln 25

k= y( )ln 2

50

t

P P e= .

Ajustando ( ) 03P t P= tenemos( ) ( )ln 2

5 ln 2 5ln3

3 ln 3 7.9aos5 ln 2

tt

e t= = =

Ajustando ( ) 04P t P= tenemos:( ) ( )ln 2

5 ln 2

4 ln 4 10aos.5

tt

e t= = =

10.Supongaque lapoblacinde lacomunidaddelproblema1esde10000despusdetresaos.Culeralapoblacininicial?Culseren10aos?

Ajustando 10000P= y 3t= enelproblemaanteriorseobtuvo

( )ln2 30.6ln 25

0 010,000 10,000 6597.5P P e= = Entonces ( ) 2ln20 010 4 26,390.P P e P= =

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11. Lapoblacindeuna comunidad crece conuna tasaproporcional a lapoblacinen

cualquiermomento.Supoblacininiciales500yaumentael15%en10aos.Culserla

poblacinpasados30aos?

Dejar ( )P P t= serlapoblacineltiempo t.DedP

ktdt

= y ( ) 00 500P P= = obtenemos

500 ktP e= .Usando ( )10 575P = encontramos1

ln1.1510

k= .

Entonces ( ) 3ln1.1530 500 760P e= aos.

12.Encualquiermomentodado lacantidaddebacteriasenuncultivocreceauna tasa

proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400

individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial de

bacterias?

Dejar ( )N N t= serelnmerodebacteriasenelmomento ty 0N elnmeroinicial.De

dNkN

dt= obtenemos 0

ktN N e= . Usando ( )3 400N = y ( )10 2000N = encontramos

0400 kt

N e= o

1

3

0

400ke

N

=

.De ( )10 2000N = tenemosentonces

310

77310 3

0 0 0 010 10

0 3 3

400 2000 20002000 201

400 400

kN e N N NN

= = =

13.Cuandopasaunhazverticaldeluzporunasustanciatransparente,larapidezconque

decrecesu intensidad I esproporcionala ( )I t ,donde,trepresentaelespesor,enpies,

delmedio.Enaguademar clara, la intensidada3piesbajo la superficiees25%de la

intensidad inicial I del haz incidente, cul es la intensidad del haz a 15 pies bajo la

superficie?

Dejar ( )I I t= serlaintensidad, telespesor,y ( ) 00I I= .

Si dI kIdt

= y ( ) 03 0.25I I= entonces1, ln 0.253

kt

oI I e k= = ,y ( ) 015 0.00098I I= .

14.Cuandoelinterssecapitaliza(ocompone)continuamente,encualquiermomentola

cantidaddedinero,S,aumentaaunatasaproporcionala lacantidadpresente:dS

rSdt

=

dondereslatasadeintersanual.

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a)Calculelacantidadreunidaaltrminodecincoaos,cuandosedepositan$5000enuna

cuentadeahorroquerindeel3

5 %4

deintersanualcompuestocontinuamente.

b)Encuntosaossehabrduplicadoelcapitalinicial?

c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de( )5 4

0.05755000 1

4S

= +

Este valor representa la cantidad reunida cuando el inters se

capitalizacadatrimestre.

DedS

rSdt

= obtenemos 0rt

S S e= donde ( ) 00S S= .

a)Si0

$5000S = y 5.75%r= entonces ( )5 $6665.45S = .

b)Si ( ) $10,000S t = entonces 12t= aos.

c) $6651.82S .

15.ElPb 209,istoporadiactivodelplomo,sedesintegraconunaraznproporcionalala

cantidadpresenteencualquiermomentoytieneunperiodomediodevidade3.3horas.

Si al principio haba 1 gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que se

desintegreel90%?

Dejar ( )N N t= ser la cantidadde plomo en el momento t. DedN

kNdt

= y ( )0 1N =

obtenemos ktN e= .Usando ( ) 13.3 2N = encontramos 1 1ln3.3 2

k= .Cuando 90% de la

iniciativahadecado,0.1 gramospermanecer.Ajustando ( ) 0.1N t = tenemos

1 1ln

3.3 2 1 3.3ln 0.10.1 ln ln 0.1 10.9613.3 2

ln2

t te t

= = = Horas.

16.Cuando 0t= ,haba100miligramosdeunasustanciaradiactiva.Alcabode6horas,

esacantidaddisminuyel3%.Si la razndedesintegracin,encualquiermomento,es

proporcionalalacantidaddelasustanciapresente,calculelacantidadquequedadespus

de24horas.

Dejar ( )N N t= ser la cantidadenel tiempo t.DedN

ktdt

= y ( )0 100N = obtenemos

100 ktN e= .Usando ( )6 97N = encontramos1

ln0.976

k= .

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Entonces ( ) ( )

( )1

ln0.97 24 4624 100 100 0.97 88.5N e

= = mg.

17.Calculeelperiodomediodevidadelasustanciaradiactivadelproblema6.

Ajustando ( ) 50N t = enelproblema8seobtiene

1ln1 250 100 ln 136.5

12ln0.97

6

kte kt t = = =

Horas

18.a)ElproblemadevalorinicialdA

kAdt

= , ( ) 00A A= eselmodelodedesintegracinde

unasustancia radiactiva.Demuestreque,engeneral,elperiodomediodevida,T,de la

sustanciaes( )ln 2

T

k

= .

b)Demuestrequelasolucindelproblemadevalorinicialenlapartea)sepuedeescribir

( ) 0 2i

TA t A

=

c) SiunasustanciaradioactivatienelavidamediaTdescritaenlaparte(a)cuntodurar

unacantidadinicial 0A deellaparadecaerhasta 01

8A ?

a) La solucin dedA

kAdt

= es ( ) 0kt

A t A e= . Dejando 01

2A A= y resolviendo para t se

obtienelavidamedia( )ln 2

T k= .

b)Desde( )ln 2

kT

= tenemos ( )( )ln 2

0 0 2

t t

T TA t A e A

= =

c)Escribiendo 0 01

28

t

TA A

= como 32 2t

T

= yresolviendopara tobtenemos 3t T= .As,

comocantidadinicial 0A decaera 01

8A entresvidasmedias.

19.Enun trozodemaderaquemadaocarbnvegetalsedeterminqueel85.5%desu

Cl4 se haba desintegrado. Con la informacin del ejemplo 3 determine la edad

aproximadade lamadera.stossonprecisamente losdatosqueusaron losarquelogos

parafecharlosmuralesprehistricosdeunacavernaenLascaux,Francia

Supongamos que 0kt

A A e= y 0.00012378k= . Si ( ) 00.145A t A= entonces 15,600t

aos.

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20.ElsudariodeTurnmuestraelnegativode la imagendelcuerpodeunhombreque

parecequefuecrucificado,muchaspersonascreenqueeselsudariodelentierrodeJess

deNazaret. En1988elVaticanootorgautorizacinparadatarconcarbonoelsudario.

Tres laboratorios cientficos independientes analizaron el pao y concluyeron que el

sudario tena una antigedad de 660. Una antigedad consistente con su aparicin

histrica.Usandoestaantigedad,determinequporcentajede lacantidadoriginalde

c14quedabaenelpaoen1988.

De ejemplo anterior, la cantidad de carbono presente en el momento t es

( ) 0.000123780t

A t A e= . Dejando 660t= y resolviendo para 0A tenemos

( ) ( )0.0001237 6600 0660 0.921553A A e A= = .

As,aproximadamente 92% de lacantidadoriginaldeC14semantuvoen la telacomo

del1988 .

21.Untermmetrosesacadeunrecintodondelatemperaturadelairees70Fyselleva

alexterior,donde la temperaturaes10F.Pasado1

2minutoel termmetro indica50F.

Culeslalecturacuando 1t= min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetro

lleguea15F?

Supongamosque ( )10dT

k Tdt

= demodoque 10 ktT ce= + .Si ( )0 70T = y1

502

T

=

entonces 60c= y2

2ln3

k

=

de modo que ( )1 36.67T = . Si ( ) 15T t = entonces

3.06t= minutos.

22.Un termmetro se llevadeun recinto interiorhastaelambienteexterior,donde la

temperaturadelairees5F.Despusdeunminuto,eltermmetroindica55F,ydespus

decincomarca30F.Culeralatemperaturadelrecintointerior?

Supongamos que ( )5dT

k Tdt

= de modo que 5 ktT ce= + . Si ( )1 55T = y ( )5 30T =

entonces1

ln 24

k= y 59.4611c= demodoque ( )0 64.4611T = .

23.Siunabarrametlicapequea,cuya temperatura iniciales20C sedejacaerenun

recipienteconaguahirviente,cuntotiempotardaraenalcanzar90Csisesabequesu

temperaturaaument2Cenunsegundo?Cuntotiempotardarenllegara98C?

Supongamosque ( )100dT

k Tdt

= demodoque 100 ktT ce= + Si ( )0 20T = y ( )1 22T =

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Entonces 80c= y39

ln40

k

=

demodoque ( ) 90T t = implica 82.1t= segundos.

Si ( ) 98T t = entonces 145.7t= segundos.

24.

Un termmetroque indica 70Fsecolocaenunhornoa temperaturaconstante.A

travsdeunaventanadevidriodelhorno,unobservadorregistraque latemperaturaes

de 110F.Pasado1

2minutoeltermmetroindica145F.Culeslalecturacuando 1t=

min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F?

Uso de la separacin de variables para resolver ( )mdT

k T Tdt

= obtenemos

( ) ktmT t T ce= + Usando ( )0 70T = encontramos 70 mc T= , as ( ) ( )70 kt

m mT t T T e= + .

Usandolasobservacionesdadas,seobtiene

( )

( ) ( )

21

70 1102

1 70 145

k

m m

k

m m

T T T e

T T T e

= + =

= + =

Entonces( )( )

2 110

70

km

m

Te

T

=

y

( )2 2 2

2 2

2 2

110110 145145

70 70 7012100 220 10150 250 390

k k

mm mm

m m m

m m m m m

TT Te e T

T T TT T T T T

= = = =

+ = + =

LaTemperaturaenelhornoes390.

25.Un tanque contiene 200 1de aguaenque sehandisuelto30 gde sal y leentran

4min

Ldesolucincon1gdesalporlitro;estbienmezclado,ydelsalelquidoconel

mismoflujo 4min

L

.Calcule lacantidadA(t)degramosdesalquehayeneltanqueen

cualquiermomentot.

De 450

dA A

dt= obtenemos 50200

t

A ce

= + . Si ( )0 30A = entonces 170c= y

50200 170t

A e

= .

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26.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoqueentraaguapura

De 050

dA A

dt= obtenemos 50

t

A ce

= .Si ( )0 30A = entonces 30c= y 5030t

A e

= .

27.

Un

tanque

tiene

500

gal

de

agua

pura

y

le

entra

salmuera

con

2

Ib.

de

sal

por

galn

a

unflujode 5min

gal.Eltanqueestbienmezclado,ysaledelelmismoflujodesolucin

Calcule lacantidadA(t)de librasdesalquehayeneltanqueencualquiermomentot.

Culeslaconcentracindelasolucineneltanquealos5minutos?

De 10100

dA A

dt= obtenemos 1001000

t

A ce

= + . Si ( )0 0A = entonces 1000c= y

1001000 1000t

A e

= .

En ( )5, 5 48.77t A= puntos.

28.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoque lasolucinsaleaunflujode10min

gal,

permaneciendoiguallodems.Cundosevacaeltanque?

De( )

10 210 10

500 10 5 100

dA A A

dt t t = =

obtenemos ( )

21000 10 100A t c t= + . Si

( )0 0A = entonces1

10c= .Acontinuacin,eltanqueestvacoen100 minutos.

29.

Un tanque estparcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 Ib de sal

disuelta.Leentrasalmueracon1

2lb desalporgalnaunflujode6

min

gal.Elcontenidodel

tanqueestbienmezcladoydelsaleunflujode 4min

galdesolucin.Calculelacantidad

delibrasdesalquehayeneltanquealos30minutos.

De( )4 2

3 3100 6 4 50

dA A A

dt t t = =

+ + obtenemos ( )

250 50A t c t

= + + + . Si ( )0 10A =

entonces 100,000c= y ( )30 64.38A = libras.

30.

Enelejemplo terico (dadoalprincipiodeestegua),el tamaodel tanquecon la

solucinsalinanoaparecientrelosdatos.Comosedescribienlapgina78elflujocon

queentra la solucin al tanquees igual,pero la salmuera sale conun flujode 2min

gal.

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25/69




Puestoque la salmuera seacumulaenel tanqueauna rapidezde 4min

gal,encualquier

tanquefinitoterminaraderramndose.

Supongaqueeltanqueestabiertoporarribayquesucapacidadtotalesde400galones.

a)Cundosederramareltanque?

b)Cuntaslibrasdesalhabreneltanquecuandosecomienzaaderramar?

c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera contina entrando al flujo de

3min

gal,queelcontenidoestbienmezcladoyquelasolucinsiguesaliendoaunflujode

2min

gal. Determine un mtodo para calcular la cantidad de libras de sal que hay en el

tanquecuandot=150min.

d)Calculelaslibrasdesaleneltanquecuando t .Surespuestacoincideconloque

cabraesperar?

a) Inicialmenteel tanquecontiene 300 galonesdesolucin.La salmuerasebombeaen

unaproporcindegal

3min

y lasolucinsebombeaaunavelocidaddegal

2min

,elcambio

netoesunaumentodegal

1min

.As,en100 minutoseltanquecontendrsucapacidadde

400 galones.

b) La ecuacin diferencial que describe la cantidad de sal en el tanque es

( ) ( )

2

6 300

A

A t t =

+

con

solucin

( ) ( )( )7 2

600 2 4.95 10 300A t t t

= + +

0 100t

As,lacantidaddesaleneldepsitocuandosedesbordaes:

( ) ( )( ) 27100 800 4.95 10 400 490.625 lbsA

= =

c)Cuandoeldepsito estdesbordando la cantidadde sal enel tanque se rigepor la

ecuacindiferencial

gal lb lb gal 33 2 3 6

min gal 400 gal min 400

dA A A

dt

= =

( )100 490.625A =

Resolviendo

la

ecuacin

obtenemos

( )

3

400

800

t

A t ce

= + .

Los

rendimientos

de

las

condicionesiniciales 654.947c= ,demodoque

( )3

400800 654.947t

A t e

= Cuando ( )150, 150 587.37lbst A= = .

d)como t ,lacantidaddesales800lbs,queesdeesperar

( ) lbs

400 gal 2 800 lbsgal

=

.

7/25/2019 APLICEDO

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31.

Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie LR con 0.1 h de

inductanciay50 deresistencia.Determinelacorrientei(t),si ( ) 0i O = .Hallelacorriente

cuando i

Asumir ( ) , 0.1, 50di

L Ri E t L R

dt

+ = = = y ( ) 50E t = de modo que 5003

5

ti ce

= + . Si

( )0 0i = entonces3

5c= y ( )

3lim

5ti t

= .

32. Resuelva la ecuacin ( )di

L Ri E tdt

+ = suponiendo que ( ) 0E t E sen wf= y que

( ) 00i i= .

Asumir ( ) ( ) 0,di

L Ri E t E t E sen tdt

+ = = y ( ) 00i i= demodoque

0 0

2 2 2 2 2 2cos

Rt

LE R E L

i sen t t ceL R L R

= +

+ + .

Desde ( ) 00i i= obtenemos0

0 2 2 2

E Lc i

L R

= +

+ .

33. Se aplicauna fuerzaelectromotrizde100 volts aun circuitoen serieRC,donde la

resistenciaes200 y lacapacitanciaes 410 f .Determine lacargaq(t)delcapacitar,si

( )0 0q = .Hallelacorriente ( )i t

Asumir ( ) 41 , 200, 10dqR q E t R Cdt c

+ = = =

y ( ) 100E t = demodoque 501100

tq ce= + .

Si ( )0 0q = entonces1

100c= y 50

1

2

ti e

= .

34.

Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la

resistenciaes1000 ylacapacitanciaes 5 10x f .Determinelacarga ( )q t delcapacitar,

si ( ) 0.4i O = amp.Hallelacargacuando t

Asumir( )

61

, 1000, 5 10

dq

R q E t R Cdt c

+ = = =

y( ) 200E t

= . Entonces

2001

1000

tq ce= + y 200200 ti ce= . Si ( )0 0.4i = Entonces

( )1

, 0.005 0.003coulombs500

c q= = y ( )0.005 0.1472ampsi = .As1

1000t q

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35.Seaplicaunafuerzaelectromotriz ( ) 1: 20,0 20

0, 20

tE t

t

=

>auncircuitoenserieLR,en

quelainductanciaes20hylaresistenciaes2.Determinelacorriente,i(r),si ( )0 0i = .

Para0 20t

la

ecuacin

diferencial

es20 2 120

di

idt + = .

Un

factor

de

integracin

es 10

t

e ,

as 10 106t t

de i e

dt

=

y 10160

t

c e

+ . Si ( )0 0i = entonces 1 60c = y 1060 60t

i e

= . Para

20t> laecuacindiferenciales 20 2 0di

idt

+ = y 102

t

i c e

= .

En 20t= queremos 2 22 60 60c e e = demodoque ( )22 60 1c e= .As

( )

( )

10

2 10

60 60 , 0 20;

60 1 , 20.

t

t

e ti t

e e t

= >

36. Supongaqueun circuitoen serieRC tieneun resistor variable. Si la resistencia,en

cualquier momento t es 1 2R k k t= + , donde 1k y 2 0k > son constantes conocidas, la

ecuacin ( ) ( )

Rt

R RL t tL Lei t e E t dt ce

L

= + setransformaen ( ) ( )1 21dq

k k t q E t dt C

+ + = .

Demuestrequesi ( ) 0E t E= y ( ) 00q q= ,entonces ( ) ( ) 2

1

10 0 0

1 2

Ckkq t E C q E C k k t

= + + Separacindelasvariablesqueobtenemos

( ) 2

0

0 1 2 1 21

1 2 20 1 2

1ln ln

C

k

qE

dq dt q CC E k k t c c

q k k t C k E k k t

C

= = + + =

+ +.

Ajustando ( ) 00q q= encontramos2

00

1

1

C

k

qE

C

k

,as

( )

2

2 2

1

1000

0 10 01 1

21 2

CC

CCk

k k

qqEE

q kqCCE E

C C k k t k k t k

= = + +

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( )2 2

1 1

0 1 10 0 0 0 0

2 2

Ck Ck q k kqE E q E C q E C

C C k k t k k t

= = + + +

37.

Una

ecuacin

diferencial

que

describe

la

velocidad

v

de

una

masa

m

en

cada

sujeta

a

unaresistenciadelaireproporcionalalavelocidadinstantneaesdv

m mg kwdt

= ,enque

kesunaconstantedeproporcionalidadpositiva.

a)Resuelvalaecuacin,sujetaalacondicininicial ( ) 0v O v= .

b)Calculelavelocidadlmite(oterminal)delamasa.

c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio deds

vdt

= , deduzca una

ecuacinexplcitaparas,sitambinsesabequ ( ) 00s s= .

a)Dedv

m mg kvdt

= obtenemoskt

mgm

v cek

= + .Si ( ) 00v v= entonces 0

gmc v

k= y la

solucindelProblemadevaloriniciales 0

kt

mgm gm

v v ek k

= +

b)Como t lavelocidadlmiteesgm

k.

c)Deds

vdt

= y ( )0 0s = obtenemos 0 0

kt

mgm m gm m gm

s t v e vk k k k k

= +

38.Qutanalto?(Sinresistenciadelaire)Supongaqueunapequeabaladecanque

pesa16librasse

disparaverticalmentehaciaarriba,comosemuestraenlafigura

conuna

velocidadinicialdev0=300pies/s.Larespuestaalapregunta"Qutantosubelabalade

can?"dependedesiseconsideralaresistenciadelaire.

a)

Supongaquesedesprecialaresistenciadelaire.Siladireccinespositivahaciaarriba

entoncesunmodeloparalabaladelcanestdadopor2

2

d sg

dt= .Puestoque ( )

dsv t

dt=

la ltima ecuacin diferencial es la misma que la ecuacindv

g

dt

= donde se toma

232

piesg

s= g.Encuentrelavelocidad ( )v t delabaladecanaltiempot.

b)Utiliceelresultadoqueseobtuvoenel incisoa)paradeterminar laaltura ( )s t de la

baladecanmedidadesdeelniveldelsuelo.Determinelaalturamximaquealcanzala

bala.

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a)La integracinde2

2

d sg

dt= seobtiene ( )

dsv t gt c

dt= = + .De ( )0 300v = encontramos

300c= ,porloquelavelocidades ( ) 32 300v t t= + .

b) La integracindeunayotrautilizando ( )0 0s = obtenemos ( ) 216 300s t t t = + . Laaltura

mxima se alcanza cuando 0v= , es decir, a 9.375at = . La altura mxima ser

( )9.375 1406.25fts = .

39.

Qu

tan

rpido?

(Resistencia linealdelaire)Repitaelproblemaanterior,peroesta

vezsupongaquelaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidadinstantnea.Estaes

laraznporlaquelaalturamximaquealcanzalabaladelcandebesermenorquela

del inciso b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante de

proporcionalidadesk=0.0025.

Cuandolaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidad,elmodelodelavelocidadesdv

m mg kvdt

= (utilizando el hecho de que la direccin positiva es hacia arriba).

Resolviendo la ecuacin diferencial mediante separacin de variables obtenemos

( )kt

mmg

v t cek

= + .De ( )0 300v = obtenemos ( ) 300kt

mmg mg

v t ek k

= + +

.

Laintegracinyelusode ( )0 0s = encontramos ( ) 300 1kt

mmg m mg

s t t ek k k

= + +

Ajustando16

0.0025, 0.532k m= = = y 32g= tenemos

( ) 0.0051,340,000 6,400 1,340,000 ts t t e= y ( ) 0.0056,400 6,700 tv t e= +

Laalturamximasealcanzacuando 0v= ,esdecir,a 9.162a

t = .Laalturamximaser

( )9.162 1363.79fts = ,queesmenorquelaalturamximaenlapartea).

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40. Una paracaidista pesa 125 libras y su paracadas y equipojuntos pesanjuntos 35

libras.Despusdesaltardelavindesdeunaalturade15OOOpies,laparacaidistaespera

15 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad del

modelodelproblema35tieneelvalork=05durante lacada libreyk=10despusde

queseabrielparacadas.Supongaquesuvelocidad inicialalsaltardelavines iguala

cero.Cules lavelocidadde laparacaidistayqudistanciaharecorridodespusde20

segundos de que salt del avin? Vea la figura. Cmo se compara la velocidad de la

paracaidista a los20 segundos con su velocidad terminal? Cunto tardaren llegar al

suelo?[Sugerencia:Piense.enfuncindedosdiferentesPVI]

De ( )0 0v = obtenemos ( ) 1kt

mmg

v t ek

=

.Dejarque

1600.5, 5

32k m= = = y 32g=

tenemos( ) ( )

0.1320 1 tv t e= . La integracin, nos encontramos con

( ) 0.1320 3200 ts t t e= + . En 15t= , cuando el paracadas se abre, ( )15 248.598v = y

( )15 5514.02s = .Enestepuntoelvalorde k cambiaa 10k= ylanuevavelocidadinicial

es 0 248.598v = .Suvelocidadconelparacadasabierto (conel tiempomedidodesdeel

instantedelaapertura)es ( ) 216 232.598 tpv t e= + .La integracin,nosencontramoscon

( ) 216 116.299 tps t t e= . Veinte segundos despus de salir del avin cinco segundos

despus de que el paracadas se abre. Su velocidad en este momento es

( )5 16.0106 secpft

v =

y

ha

cado

( ) ( )15 5 5514.02 79.9947 5594.01ftps s+ = + = .

Su

velocidadmximaes ( )lim 16pt

v t

= ,por loque casihaalcanzado suvelocidad terminal

cinco segundosdespusdequeelparacadas seabre.Cuando seabreelparacadas, la

distanciaalsueloes15,000 5514.02 9485.98ft = .

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Resolviendo ( ) 9485.98ps t = obtenemos 592.874 9.88mint s= = .Por lotanto, la llevar

aproximadamente 9.88 minutospara llegaralsuelodespusdequesuparacadasseha

abiertoyuntotalde( )592.874 15

10.1360

+= minutosdespusdequeellasaledelplano.

41.

Evaporacin

de

una

gota

de

lluvia.Cuandocaeunagotade lluvia,sta seevaporamientrasconservasuformaesfricaSisehacensuposicionesadicionalesdequelarapidez

a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su rea superficial y que se

desprecia laresistenciadelaire,entoncesunmodelopara lavelocidadv(t)de lagotade

lluviaes ( )

( ) 0

3 k

k

dvv g

dt t r

+ =+

Aqu es ladensidaddelagua,0

r eselradiode lagotade

lluvia en 0, 0t k= < es la constante de proporcionalidad y la direccin hacia abajo se

considerapositiva.

a)

Determine

v(t)

si

la

gota

de

lluvia

cae

a

partir

del

reposo.

b)Demuestrequeelradiodelagotadelluviaeneltiempotes ( ) 0( ) kr t t r = +

e)Si 0 0.01 ; 0.007r pie r pies= = 10segundosdespusdeque lagotacaedesdeunanube,

determineeltiempoenelquelagotadelluviasehaevaporadoporcompleto.

a)Laecuacindiferencialesdeprimerorden,lineal.Dejarquek

b

= ,elfactorintegrante

es ( ) ( )03

3

0

bdt

bt re r bt

+ = + .Entonces

( ) ( )3 3

0 0

dr bt v g r bt

dt + = +

y ( ) ( )3 4

0 04

gr bt v r bt c

b+ = + + .

La solucin de la ecuacin diferencial es ( ) ( ) ( ) 3

0 04

gv t r bt c r bt

b

= + + +

. Usando

( )0 0v = encontramos4

0

4

grc

b= ,demodoque

( ) ( )( )

4 4

0 00 03 3

0

0

4 444

gr g r g g kv t r bt r t

b kb r bt ktk r

= + = +

+ +

.

b) Integrandodr k

dt = obtenemos

ktr

c=

+ . Usando ( ) 00r r= tenemos 0c r= , as

( )0

ktr t

r=

+ .

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c)Si 0.007ftr= cuando 10t s= ,acontinuacin, la solucinde ( )10 0.007r = parak

,

obtenemos 0.0003k

= y ( ) 0.01 0.0003r t t= . Resolviendo ( ) 0r t = obtenemos

33.3t= ,porloquelagotadeaguasehanevaporadoporcompletoa33.3 segundos.

42.Laecuacindiferencial ( )cosdP

k t Pdt

= ,enquekesunaconstantepositiva,seusacon

frecuencia para modelar una poblacin que sufre fluctuaciones estacionales anuales.

DetermineP(t)ygrafiquelasolucin.Supongaque ( ) 00P P=

Separandolasvariablesobtenemos 1cos ln k sentdP k t dt P k sen t c P c e

P= = + =

Si ( ) 00P P= entonces 1 0c P= y 0k sent

P P e= .

43.EnunmodelodemogrficodelapoblacinP(t)deunacomunidad,sesuponequedP dB dD

dt dt dt = , en donde

dB

dt y

dD

dt son las tasas de natalidad y mortalidad,

respectivamente.

a)DetermineP(t)si 1dB k Pdt

= y 2dD k Pdt

= .

b)Analiceloscasos 1 2k k> , 1 2k k= y 1 2k k<

a)Para ( )1 2dP

k k Pdt

= obtenemos( )1 2

0

k k tP P e

= donde ( )0 0P P= .

b)Si 1 2k k> entonces P como t .Si 1 2k k= entonces 0P P= paracada t.Si 1 2k k<

entonces 0P como t .

44.

En

el

siguiente

sistema

de

ecuaciones

diferenciales

aparece

al

estudiar

una

serie

de

elementosquesedesintegranporsuradioactividad 1 1 2;dx dy

x x ydt dt

= =

Determine ( ); ( )x t y t sujetasa ( ) 00x x= ( ) 00y y=

Laprimeraecuacinsepuederesolverporseparacindevariables.Obtenemos 11

tx c e

= .

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Para ( ) 00x x= obtenemos 1 0c x= y as 10t

x x e = . La segunda ecuacin se convierte

entonces

1

0 1 2

tdyx e y

dt

= o 12 0 1tdy

y x edt

+ =

queeslineal.Unfactordeintegracines2

t

e

.As( ) ( )2 1 2 12 1 2 2

1 2

0 10 1 0 1 2

2 1

0 12

2 1

t tt t t t

t t

xde y x e e x e e y e c

dt

xy e c e

= = = +

= +

De ( ) 00y y= obtenemos( )

( )0 2 0 1 0 1

2

2 1

y y xc

=

.Lasolucines

1 20 1 0 2 0 1 0 1

2 1 2 1

t tx y y xy e e

y

= +

45.Cuandosetieneencuentaloolvidadizodeunindividuo,larapidezconquememoriza

estdefinidapor ( )1 2dA

k M A k Adt

= , enque 1 0k > , 2 0k > ( )A t es la cantidadde

materialmemorizadoenel tiempo t,Mes lacantidad totalpormemorizaryMAes la

cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solucin. Suponga que

( )0 0A = .DetermineelvalorlmitedeAcuando t einterpreteelresultado

a)Resolviendo ( )1 2 0k M A k A = para A nosencontramosconlasolucindeequilibrio

( )1

1 2

k MAk k

= + .Desdelafaseretratovemosque ( ) ( )

1

1 2

limt

k MA tk k

= + .

Desde 2 0k > ,elmaterialnuncasercompletamentememorizadoymayorseael 2k es,

menorserlacantidaddematerialsememorizaeneltiempo.

b)Escribir laecuacindiferencialen laforma ( )1 2 1dA

k k A k M

dt

+ + = .Acontinuacin,un

factordeintegracines ( )1 2k k t

e +

,y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 11

1 2 1 2

k k t k k t k k t k k t k k t k M k M de A k Me e A e c A ce

dt k k k k

+ + + + + = = + = + + +

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Usando ( )0 0A = obtenemos 11 2

k Mc

k k=

+ y ( )( )1 21

1 2

1 k k tk M

A ek k

+= +

. Como

1

1 2

, k M

t Ak k

+

.

46.Laraznconquesediseminaunamedicinaeneltorrentesanguneosedescribeconla

ecuacindiferencialdx

r kxdt

= ,ryksonconstantespositivas.Lafuncinx(t)describela

concentracindelfrmacoensangreenelmomentot.Determineelvalorlmitede ( )x t

cundo t .Encuntotiempolaconcentracineslamitaddelvalorlmite?Suponga

que ( )0 0x =

a)Resolviendo 0r kx = para x nosencontramos con la solucindeequilibrior

xk

= .

Cuando , 0r dx

xk dt

< > y donde , 0r dx

xk dt

> < . Desde la fase retrato vemos que

( )limt

rx t

k= .

b)Dedx

r kxdt = y ( )0 0x = obtenemosktr r

x ek k

= asquer

x k como t .Si

( )2

rx T

k= entonces

( )ln 2T

k= .

47.

Supongaqueunforensequellegaalaescenadeuncrimenvequelatemperaturadelcadveres82F.Propongadatosadicionales,peroverosmiles,necesariosparaestablecer

una hora aproximada de la muerte de la vctima, aplicando la ley de Newton del

enfriamiento.

Esnecesarioconocer latemperaturadelairedesdeelmomentode lamuertehastaque

llegueelmdicoforense.Vamosasuponerquelatemperaturadelaireesunaconstante

65F .PorlaleydeNewtondeenfriarentoncestenemos

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( ) ( )65 , 0 82dT

k T Tdt

= = Usodelalinealidadolaseparacindevariablesobtenemos

65 ktT ce= + .De ( )0 82T = obtenemos 17c= ,asque 65 17 ktT e= + .Paraencontrar k

necesitamosmsinformacinporloqueasumimosquelatemperaturadelcuerpoen

2t= horaera75F .Entonces2

75 65 17 k

e= + y 0.2653k= y ( ) 0.2653

65 17 t

T t e

= + .

En el momento de la muerte, a ( )0 98.6FT t = , as0.265398.6 65 17 te= + , que da

2.568t= . Por lo tanto, el asesinato tuvo lugar alrededor de 2.568 horas previas al

descubrimientodelcuerpo.

48.ElSr.Prezcolocaalmismotiempodostazasdecafenlamesadeldesayunador.De

inmediatoviertecremaen su taza,conunajarraqueestabadesdehacemuchoenesa

mesa.Leeeldiariodurantecincominutosytomasuprimersorbo.LlegalaSra.Prezcinco

minutosdespusdeque las tazas fueron colocadasen lamesa, vierte crema la suya y

tomaunsorbo.Supongaque laparejaagregaexactamentelamismacantidaddecrema.

Quin y por qu toma su caf ms caliente? Base su aseveracin en ecuaciones

matemticas.

Vamos a suponer que la temperatura de la habitacin y la crema es 72F , y que la

temperatura del caf cuando se ponga primero en la tabla es 175F . Si dejamos que

( )1T t representanlatemperaturadelcafentazaSr.Jone`senelmomento t,entonces

( )1 1 72dT

k T

dt

= ,loqueimplica 1 172 kt

T c e= + .Enelmomentode 0t= ElSr.Jonesagrega

cremaparaelcafqueinmediatamentereducesutemperaturaenunacantidad,as

que ( )1 0 175T = .As ( )1 1175 0 72T c = = + ,loqueimplica 1 103c = ,asque

( ) ( )1 72 103 ktT t e= + .En ( ) ( ) 515, 5 72 103

kt T e= = + .Ahoradejamosque ( )2T t

representanlatemperaturadelcafentazaseoraJone.De 2 272 kt

T c e= + y ( )2 0 175T =

obtenemos 2 103c = ,asque ( )2 72 103 ktT t e= + .Ent ( ) 525, 5 72 103

kt T e= = + .Cuandola

cremaseagregaalcafLaseoraJone`s,latemperaturasereducirenunimporte.

Utilizandoelhechodeque 0k< tenemos

( ) ( ) ( )5 5 5 52 15 72 103 72 103 72 103 5k k k k T e e e e T = + < + = + =

As,latemperaturadelcafenelSr.Jonecopaesmscaliente.

VACIADODETANQUES

49. Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeo

orificio situado en el fondodel tanque,de 2pulgadas cuadradasde rea,presentaun

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escape.Sieltanqueestinicialmentellenohastalastrescuartaspartesdesucapacidad,

determine:

a)Cundoestaralamitaddesucapacidad?

b)Cundoestarvaco?

a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses

( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Como lasdimensionesdeltanqueestndadasenpie,ypuesto

que1pulg=1/12pies,entonceshaciendolaconversin,elreaorificiodesalidaser

2 2 21 12pulg 2144 72

a pies pies

= = =

Elcoeficientededescargaes 1c= ylagravedad2

32 pies

gseg

=

Como puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque van a ser

cuadradosde ladosconstantese igualesa12pies, independientementede laalturaa la

cual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de las seccin transversal ser

( ) 2144A h pies=

Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque est

inicialmente llenohasta3/4desucapacidad,resultaque laaltura inicialser iguala3/4

de laaltura total.As,como laaltura totaldel tanquees 12t

h pies= ,entonces laaltura

iniciales 03

94

th h pies= = .Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)

1 8144 64

72 72dh h dt h dt = = simplificando

1144

9dh h dt = (2)

La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanque

planteado

y

debe

resolverse

sujeta

a

la

condicin

( )0 9h pies= .

La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicalaecuacin(2)porelfactor9 1296

dh dt h h

= integrando

1296 dh

dth

= (3)

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Ambas integrales son inmediatas1

21 22

dhh dh h k dt t k

h

= = + = + sustituyendo

losresultadosdelasintegralesenlaecuacin(3) 2592 h t k = + (4)Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial

( )0 9h =

,

esto

es,

se

sustituye

en

la

ecuacin

(4)

0t seg=

y

9h pies=

,

resultando

7776k= . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4)

2592 7776h t = multiplicando por1

2592 y elevando al cuadrado

( )2

32592

th t

= +

(5)Laecuacin(5)eslaleydevariacindelaalturadellquidoenel

tanqueencualquierinstante t.Sequieredeterminareltiempoparaelcualelvolumendelquidoeneltanqueesigualalamitaddesucapacidad;esdecir,cuando laalturade lquidoenel tanquees iguala6

pies.Paraello,sesustituye 6h pies= en laecuacin(5)

2

6 32592

t = + elevandoa la

1

2 entonces, 6 3

2592

t= + Multiplicando por ( )1 3 6

2592

t = sumando 3 y

multiplicandopor2592 ( )2592 3 6 7776 6350,4 1425,6t= = = Deaquque,debetranscurriruntiempo 1425,6 23min45t seg seg= = ,paraqueeltanque

sevacehastalamitaddesucapacidad.Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparaquelaalturadelquidoeneltanqueseacero,sesustituye 0h= enlaecuacin(5)ysebusca

t;

2

3 02592

t

+ = elevandoa1

2 entonces; 3 02592

t

+ = multiplicandopor ( )2592

7776 0t = despejando t 7776t seg=

Luego,debentranscurrir 7776seg,esdecir,2horas9min36seg,paraqueeltanquese

vacetotalmente.

50.Untanqueenformadeconocircularrecto,dealturaHradioR,vrticepordebajode

la base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si212 , 5 , 1pulgH pies R pies a= = = y 0,6c=

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Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanquees

( ) 2A h dh ac gh dt= (1)

Elreadeorificiode salidaes 21pulga= pero como lasdimensionesdel tanqueestn

dadasenpies,hayquerealizarlaconversin.

Puestoque1

1pulg12

pies= ,entonces2

2 21 11pulg12 144

a pies pies

= = =

Elcoeficientededescargaes 0,6c= ylagravedades2

32 pies

gseg

= .

Segn puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque son

circunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efecte la seccin

transversal.Sea h laalturaalacualseefectaelcortey r elradiodelacircunferencia.El

readelaseccintransversalesvariableyestdadapor ( ) 2A h r= (2)

Para expresar r en funcin de h , debe hacerse una abstraccin, en el sentido de

visualizareltanque,nocomounslido,sinocomounafiguraplana.Observandoeltanque

defrentecomounafiguraplanasevetalycomosemuestraFigura.Si seubican los ejes coordenadosde tal formaque el vrticedel cono coincida con el

origendelsistemadecoordenadas,entoncessetieneunafigurasimtricarespectodeleje

y,talycomosemuestraenlaFigura.

Porsimetra,sersuficientetrabajarconunodelostringulos.

Por semejanza de tringulos (ver Figura) se tiene entonces la siguiente relacin de

proporcin5

12

r

h= despejando

5

12r h= (3)sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2)

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( )2

25 25

12 144A h h h

= =

Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)

225 1 6 64144 144 10

h dh h dt

=

Multiplicandopor144 2 24

255

h dh h dt = (4)

Laecuacin(4)eslaecuacindiferencialasociadaalvaciadodetanqueplanteadoenesteproblemaydeberesolversesujetaa lacondicin inicialqueparael tiempo 0t= seg, la

alturaes 12h= pies,estoes ( )0 12h = .


variablessemultiplicaporelfactor5

24 h ,entonces

2125

24

hdh dt

h

= integrando

2125

24

hdh dt

h

= (5)Ambasintegralessoninmediatas

1 3 522 2 2 2

1 2

2

5

hdh h h dh h dh h k dt t k

h

= = = + = + Sustituyendo los resultadosde las

integralesenlaecuacin(5)5

2125 2

24 5h t k

= +

efectuandooperaciones

5

225

12h t k

= + (6)

Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracinseusalacondicininicial

( )0 12h = ,estoes,sesustituyeenlaecuacin(6) 0t= seg.y 12h= pies,resultando

( )5

225

1212

k

= .Estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6)

( )5 52 2

25 2512

12 12h t

= (7)multiplicandopor

12

25

yelevandoala

2

5

( ) ( )

25 52

1212

25h t t

= +

(8)Laecuacin(8)es la leydevariacinde laalturadel lquido

eneltanqueencualquierinstante t.

El tiempodevaciado totalseobtienecuando laalturade lquidoenel tanquees 0h=

pies.Sustituyendoestevalorenlaecuacin(7) ( )5

225

0 1212

t

= despejando t

( )5

225

12 3264,8312

t seg

= =

Deaquque,eltanquedemoraenvaciarse3264,83seg,esdecir,54min25seg

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51.UnatazahemisfricaderadioRestllenadeagua.Sihayunpequeoorificioderadio

renelfondodelasuperficieconvexa,determineeltiempodevaciado

Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses:

( ) 2A h dh ac gh dt= (1) Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque se

encuentrallenoentonceslaalturainicialdelquidoeneltanqueesR,talycomopuede

observarseenlaFig.1,esdecir, ( )0h R=

Elorificiodesalidatieneradio r,porlotanto,elreadelorificiodesalidaes 2a r= .

Seac elcoeficientededescargay g lagravedad.

Lasseccionestransversalesdeltanquehemisfrico,soncircunferenciasderadiovariable,

segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de la

seccintransversal.Porsercircunferencia,elreaes ( ) 2A h x= (2)

Sedebeestablecerunarelacinentreelradiox ylaaltura h ,detalformaqueelreade

laseccintransversalquedeexpresadaenfuncindelaalturah .

Observandoel tanquede frente comouna figuraplanayubicndoloenun sistemade

coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Figura. Puesto que la

resultante es simtrica respecto del eje y, ser suficiente trabajar con la mitad de la

figura.

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Eltringuloqueseforma,tienecomobaseelradio .x,altura. ( )R h .e .HipotenusaR.

Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Figura ( )22 2R x R h= +

desarrollando 2 2 2 22R x R Rh h= + + simplificando 2 22x Rh h= (3) sustituyendo la

ecuacin(3)enlaecuacin(2)( ) ( )

22A h Rh h= (4)

Ahorasesustituyen ( )A h yaenlaecuacin(1) ( )2 22 2Rh h dh r c gh dt = (5)La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variablessemultiplicalaecuacin(5)porelfactor2

1

2r c gh ,entonces:

( )22

12

2Rh h dh dt

r c gh = (6)Apartirde la ecuacindiferencial (5) y sabiendoque

paraeltiempo 0t= laalturaes h R= ,sedebedeterminareltiempodevaciadov

t ,esto

eseltiempoparaelcuallaalturadelquidoeneltanqueescero.Seplanteaas,elproblemadevalordefrontera

( )

( )

2

2

2

2

0

0v

Rh hdh dt

r c gh

h R

h t

=

=

=

Integrando la ecuacin diferencial (6) de formadefinida: el tiempo vara entre 0t= y

vt t=

( vt

tiempo

a

determinar)

la

altura

vara

entre

h R=

y

0h=

0 2

20

1 2

2

vt

R

Rh hdh dt

r c g h

=

(7)

Resolviendolasintegralesdefinidas

3 50 1 32 2 2 2

2 2

0 0 0

0 0

5 5 5

2 2 2

00

2 2 4 22

3 5

4 2 14

3 5 15

v

v

R R

R R R

R

tt

v

Rh h Rh h R h hdh dh R h dh h dh

h h

R R R

dt t t

= = + = + =

= + = = =

sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)5

2

2

1 14

152 v

Rt

r c g

=

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Porlotanto,eltiempoquedemoraenvaciarseeltanquees2

2

14

15 2

R Rt

r c g=

52. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva4

3y x=

alrededordel eje y. Siendo las11:27de lamaana se retiraun tapnqueesten el

fondoyenesemomentolaprofundidaddelaguaeneltanquees12pies.Unahorams

tardelaprofundidaddelaguahadescendidoalamitad.Determine

a)Aquhoraestarvacoeltanque?

b)Aquhoraquedaraeneltanque25%delvolumendelquidoinicial?

a)Lacurva4

3y x= quesehacegiraralrededordeleje y paragenerareltanquetienesu

vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la mxima profundidad de

lquidoeneltanque,estoes, 12y= lavariablex querepresentaelradiodegirotomael

valor ( )3

412 6, 45x= = .EnlaFig.1semuestralaformaaproximadadeltanque.

La

ecuacin

diferencial

asociada

a

un

problema

de

vaciado

de

tanque

es

( ) 2A h dh ac gh dt= (1)

Elcoeficientededescargaes 1c= y lagravedades2

32 pies

gseg

= .Elreaadelorificiode

salidadebedeterminarse.

Lasseccionestransversalessoncircunferenciasderadiovariable r.Por lo tanto,elrea

delasseccionestransversaleses ( ) 2A h r= (2)

Elradio r debeexpresarseenfuncindelaaltura h .Paraellodebeobservarseeltanque

comounafiguraplana,vistadesdeelfrente.LaFiguramuestralacurvaplana

4

3y x=

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ObserveenlaFig.2queelpunto ( ),P r h pertenecea lacurva4

3y x= ;estoquieredecir

quelascoordenadasdelpunto P satisfacenlaecuacindelacurva.

Sustituyendo ,x r y h= = entonces4

3h r= Despejando r3

4r h= (3) sustituyendo la

ecuacin(3)enlaecuacin(2) ( )32A h h=

Unavezqueelreadelaseccintransversaldeltanquehaquedadoexpresadaenfuncin

delaaltura,sesustituyen ( ) ,A h c y g enlaecuacin(1)3

2 64h dh a h dt = (4)

Laecuacin (4)es laecuacindiferencial asociada alproblemadevaciadoplanteado y

deberesolversesujetaadoscondiciones:laprimeracondicinesqueparaeltiempo 0t=

seg, la altura es 12h= pies; la segunda condicin es que luego de unade iniciado el

proceso de vaciado, es decir, para 3600t= seg, la altura de lquido en el tanque ha

descendidoalamitad,estoes, 6h= pies.

Porlotanto,loquedeberesolverseeselproblemadevalordefrontera

( )

( )

3

2 8

0 12

3600 6

h dh a h dt

h

h

=

=

=


variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor1 1

64 8h h =

3

2

8

hdh a dt

h

=

(5) integrando definidamente; el tiempo vara entre 0t= seg y

3600t= seg;laalturavaraentre 12h= piesy 6h= pies3

6 36002

12 08

hdh a dt

h

=

(6)Resolviendolasintegrales

( ) ( )3

12 2 26 12 3600223600

0

12 6 06

12 6

72 18 54 36002 2 2

h hdh h dh dt t h

= = = + = + = = =

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) ( )54 36008

a

=

multiplicandopor 1

3600,entonces

1 27

3600 4a

=

simplificando

3600a

=

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Estevalorqueseobtuvoparaa(readelorificiodesalida)sesustituyeenlaecuacin(5)

1600

3

2 3

8 1600

hdh dt

h

=

multiplicandopor1600

3ysimplificando

200

3h dh dt = (7)

Sepidedeterminarel tiempo vt quedemoraenvaciarseel tanque,esdecir,el tiempoparaelcual laalturade lquidoenel tanquesehacecero.Paraellosedeberesolverel

problemadevalordefrontera

( )

( )

200

3

0 12

0v

h dh dt

h

h t

=

=

=

Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t= segy

vt t= ;laalturavaraentre 12h= piesy 0h= pies

0

12 0

200

3

vt

h dh dt = (8)Resolviendolasintegralesdefinidas

120 12 2

0

12 0 00

722

v

v

tt

v

hh dh h dh dt t t = = = = = sustituyendo los resultados de las

integralesenlaecuacin(8) ( )200

72 48003

vt

= =

Deaqusetieneque,eltanquedemoraenvaciarse 4800t= seg,loqueequivalea1hora

y20min.Sielprocesodevaciadoseinicioalas11:27am,entoncesparasaberaquhora

eltanqueestarvaco,debesumarseeltiempodevaciadov

t alas11:27.Luego,eltanque

estarvacoalas12:47pm.

b)Parasaberaquhoraquedaeneltanqueel25%desucapacidad,sedebecomenzar

por establecer cul es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de su

capacidad.

Comoseconocelaalturainicialdelquidoeneltanque,elvolumentotalsedeterminapor

elmtododelvolumenporseccionestransversales

( ) ( )0

125 5

12 3 2 22

0 0

0

2 122

5 5

h hV A h dh h dh

= = = = luegoel25%delvolumentotales

( ) ( )5 5

2 22 12 122525%

100 5 10V

= =

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Conocidoelvolumen cuando restael25%de lquidoenel tanque,utilizandoelmismo

mtodoporseccionestransversales,sepodrdeterminarculeslaalturadelquidoenel

tanqueenestecaso ( )25%

0

25%

h

V A h dh= sustituyendo ( )A h y25%V( ) 25%

5322

0

12

10

h

h dh

= (9)

Resolviendo la integral definida( )

( )

25%

25%

53 522 2

25%

00

2 12 2

5 5

h

h

h dh h

= = sustituyendo el

resultadodelaintegralenlaecuacin(9)( )

( )

5

52

225%

12 2

10 5h

= multiplicandopor

5

2

( ) ( )

5

5 2

225%

12

4h = elevandoa

2

5entonces

( )25% 2

5

126,89

4

h = =

Unavezconseguida laalturade lquidoenel tanquecuandoquedael25%delvolumen

total, seprocedeabuscarel tiempoquedemoraen llegaraesaaltura.Paraellodebe

resolverseelproblemadevalordefrontera

( )

( )( )

25% 2

5

200

3

0 12

12

4

h dh dt

h

h t

=

= =

Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t= segy

25%t t= ;laalturavaraentre 12h= piesy

( )2

5

12

4

h=

( )2

5 25%

12

4

12 0

200

3

t

h dh dt = (10)Resolviendolasintegralesdefinidas

( )

( ) ( )( )

2

5 25%

25%

22

55

122

124 12 2

25%2 0121212 05

44

1 12

72 72 23,75 48,252 24

tth

h dh h dh dt t t

= = = + = + = = =

sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)

( )25%200

48,25 3216,663

t

= =

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Deaqu se tieneque,el tanquedemora 3216,66t= segenvaciarsehastael25%desu

capacidadinicial,loqueequivalea53miny36seg.Sielprocesodevaciadoseinicioalas

11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanquetendrsloel25%desucapacidad,

hayqueagregaralas11:27los53miny36seg.Luegotendrel25%desucapacidadalas

12:20:36

pm.

53.El tanqueque semuestraen la figuraest totalmente llenode lquido. Se iniciael

procesodevaciado,porunaperforacincircularderea 21cm ubicadaenlabaseinferior

deldepsito.Sisehaestablecidoelcoeficientededescarga 0,447c= y lagravedades

210

mg

seg=

Determine:

a)Tiempoquedebetranscurrirparaquequedeeneltanqueuncontenidoequivalenteal

18,75%desucapacidad

b)Tiempodevaciadototaldeltanque

SOLUCIN:

Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses

( ) 2A h dh ac gh dt= = (1)

Elreadelorificiodesalidaes 21a cm= ,perocomolasdimensionesdeltanqueestnen

metros debe efectuarse la conversin. Puesto que 21 0,01 10cm mt mt = = , entonces

( ) ( )222 2 4 21 1 10 10a cm cm mt mt = = = = .Enelenunciadodelproblemadanelcoeficiente

dedescarga 3447.10c = ylagravedad2

10 mt

gseg

=

SegnpuedeobservarseenlaFigura,lasseccionestransversalessonrectngulos,dosdelos lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y losotrosdos lados de longitud

variable r.Elreadelaseccintransversalesentonces ( ) 8A h r= (2)

Debeexpresarselalongitud r enfuncindelaaltura h .Paraellosiseobservaeltanque

de frente, como una figura en una plana, ubicada en un sistema de coordenadas

cartesianasrectangulares,severcomolomuestralasiguienteFigura

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