BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. APLICACIONES LINEALES Y

DIAGONALIZACIÓN(*)

• Aplicaciones lineales.

• Expresión matricial de una aplicación lineal.

• Diagonalización.

En contextos como Sistemas Dinámicos o procesos de cadenas de Markov es preciso

conocer la forma general de una potencia o la exponencial de una matriz cuadrada A, lo

que no resulta fácil de obtener a no ser que la matriz sea diagonal o diagonal por

bloques. Pero si A se puede expresar como producto de tres matrices en la forma

A=PDP-1

con D diagonal

1

00

00

00

−

= P

c

b

a

PA

L

MMM

L

L

entonces:

1

1

00

00

00

00

00

00

−

−

=

=

=

P

c

b

a

P

P

c

b

a

PA

k

k

k

k

k

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

En este tema se abordará la diagonalización de una matriz cuadrada A, es decir será

posible encontrar bajo determinadas circunstancias, si A=PDP-1

con D diagonal.

Para ello es necesario manejar los conceptos de aplicación lineal, matriz asociada a una

aplicación lineal y vector y valor propio.

1. Aplicaciones lineales

Sea mn IRIRf →: una aplicación de IRn en IRm

que a todo vector nIRx ∈ asocia un

vector mIRy ∈ . Se escribe entonces )(xfy = .

Se dice que f es una aplicación lineal si se cumplen las dos condiciones siguientes:

IRIRxxfxf

IRxxxfxfxxfn

n

∈∀∈∀=

∈∀+=+

λλλ ,)()(

',)'()()'(

relaciones llamadas axiomas de linealidad.

De esta definición se deduce inmediatamente la siguiente caracterización de las

aplicaciones lineales:

Es condición necesaria y suficiente para que una aplicación mn IRIRf →: sea una

aplicación lineal que se cumpla:

( ) ( ) ( )'',,,', xfxfxxfIRIRxx n βαβαβα +=+∈∀∈∀ .

La propiedad anterior se puede extender a una combinación lineal de cualquier número

de sumandos, y se puede enunciar diciendo que una aplicación entre espacios

vectoriales es una aplicación lineal si y sólo si transforma combinaciones lineales de

vectores de IRn en las combinaciones lineales de las imágenes en IRm

de esos vectores,

con los mismos coeficientes.

Imagen de una aplicación lineal

Sea mn IRIRf →: una aplicación de IRn en IRm

y sean nIR0 y mIR0 los elementos nulos

de IRn y IRm

respectivamente. Se cumplen las siguientes propiedades:

i) ( ) mn IRIRf 00 = .

ii) ( ) ( )xfxf −=− .

iii) La imagen por f de un subespacio vectorial de IRn es un subespacio vectorial

de IRm. Esto es, si U ⊂ IRn

es un subespacio vectorial de IRn , entonces f(U)

es un subespacio vectorial de IRm.

En particular, la imagen de f, Im(f) = f(IRn ) es un subespacio vectorial de

IRm.

{ }nm IRxIRxfyfIm ∈∈== /)()( .

iv) Si S = { }ree ,,1 K es un sistema de generadores de un subespacio vectorial U

de IRn , f(S) = ( ) ( ){ }refef ,,1 K es un sistema de generadores del subespacio

vectorial f(U) de IRm.

Núcleo de una aplicación lineal

Sea mn IRIRf →: una aplicación de IRn en IRm

. Se llama núcleo de f al conjunto,

Ker(f), de los vectores de IRn cuya imagen por f es el vector mIR0 :

{ }mIRxfIRxfKer n

0)(/)( =∈= .

El núcleo Ker(f) de una aplicación lineal nunca es vacío, ya que al menos contiene al

vector 0 de IRn. (Denotaremos con 0 tanto el vector nulo de IRn

como el de IRm, distin-

guiéndose uno del otro por el contexto).

Se cumplen las siguientes propiedades:

i) El núcleo Ker(f) de toda aplicación lineal mn IRIRf →: es un subespacio

vectorial de IRn.

ii) Si mn IRIRf →: es una aplicación lineal del espacio vectorial IRn en el

espacio vectorial IRm,

dim Ker(f) = dim IRn − dim Im(f)=n- dim Im(f)

o bien,

dim Ker(f) + dim Im(f)= n

A la dimensión de Im(f) se le suele llamar el rango de la aplicación lineal f.

2. Expresión matricial de una aplicación lineal

Sea mn IRIRf →: una aplicación lineal de IRn en IRm

. Sean { }nuuB ,,11 K= una base

de IRn y { }mwwB ,,12 K= una base de IRm

. Por último consideremos las imágenes por f

de los vectores de la base B1:

nn aufauf == )(,,)( 11 K

Estas imágenes son vectores de IRm y, por tanto, son combinaciones lineales de los

elementos de la base B2.

mnmnnn

mm

mm

wawawauf

wawawauf

wawawauf

+++=

+++=

+++=

L

M

L

L

2211

22221212

12121111

)(

)(

)(

Cualquier vector nIRx ∈ es combinación lineal de los vectores de la base B1:

nn uxuxuxx +++= L2211

Por tanto:

mnmnmm

nn

mnmnnn

mm

mm

nn

waxaxax

waxaxax

wawawax

wawawax

wawawax

ufxufxufxxfy

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()(

2211

11212111

2211

22221212

12121111

2211

++++

++++=

=++++

++

+++++

++++=

=+++==

LL

L

L

LLL

L

L

Lr

En consecuencia, las coordenadas de mIRxfy ∈= )(r

respecto de B2 son:

),,,( 21 myyyy Lr

= con

nmnmmm

nn

axaxaxy

axaxaxy

+++=

+++=

L

L

L

2211

12121111

Matricialmente:

=

nnmmm

n

m x

x

aaa

aaa

y

y

M

L

LLLL

L

M

1

21

121111

o abreviadamente: Y=AX.

A la matriz A se le llama matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases B1 y B2 de IRn y IRm

. Esta matriz queda determinada por f de forma sencilla, ya que sus

columnas son precisamente las coordenadas respecto de B2 de las imágenes por f de los

vectores de la base B1.

Cambio de bases en una aplicación lineal

Sea mn IRIRf →: una aplicación lineal de IRn en IRm

que tiene como matriz asociada

respecto a las bases B1 y B2 de IRn y IRm, respectivamente, la matriz A, expresándose la

aplicación lineal f en la forma matricial Y = AX.

Sea B’1 otra base de IRn y P la matriz cambio de base B’1 a B1, es decir, que entre la

matriz columna de coordenadas X de un vector nIRx ∈ en B1 y la de las coordenadas X’

del mismo vector en B’1 se tiene la relación X = P X’.

Sea B’2 otra base de IRm y Q la matriz cambio de base B’2 a B2, de modo que la relación

entre las coordenadas de un vector en B2 y sus correspondientes en B’2 es Y = QY’.

Respecto de las bases B’1 y B’2 de IRn y IRm

, la aplicación lineal f tendrá asociada otra

matriz A’, es decir, respecto de estas bases, la aplicación lineal f se expresará así: Y’ =

A’ X’.

Buscamos la relación que pueda existir entre A y A’. Para ello, sustituyendo en la rela-

ción Y = AX las matrices de coordenadas X = P X’ e Y = QY’, se tiene:

QY’=APX’

y puesto que Q es regular, multiplicando a la izquierda por Q-1

, se tiene:

Y’=Q-1

APX’

por lo que la nueva matriz asociada a f en las bases B’1 y B’2 es:

A’= Q-1

AP

En el caso de que f sea una aplicación lineal de IRn en sí mismo, si se efectúa un cambio

de la base B1 a la base B’1 en este espacio, entonces será Q = P y la matriz asociada a

la aplicación lineal f en la nueva base será:

A’= P-1

AP

3. Diagonalización

Puesto que una matriz A está asociada a una aplicación lineal f, se plantea la pregunta

de si es posible representar f mediante una matriz más sencilla, diagonal. Habrá que de-

terminar, por tanto, si existen bases adecuadas en los espacios de partida y de llegada

respecto de las cuales la matriz asociada sea diagonal.

En este apartado se abordará el problema de la diagonalización de una matriz partiendo

de los conceptos de valor propio y subespacio de vectores propios correspondiente y

teniendo en cuenta la interpretación de las columnas de una matriz asociada a una

aplicación lineal.

Valores y vectores propios

Sea nn IRIRf →: una aplicación lineal. Se dice que un vector nIRx ∈≠ 0 es un vector propio o autovector de f si existe IR∈λ tal que:

xxf λ=)(

Al escalar λ , que si existe es único, se le conoce como valor propio o autovalor

asociado al vector propio x .

Cada vector propio está asociado a un único valor propio, sin embargo, en general

existirán distintos vectores propios asociados a un mismo valor propio.

Sea A la matriz que determina f en una cierta base B de IRn, sea I la matriz identidad de

orden n, y sea X la matriz columna de las coordenadas del vector x en la base B.

Entonces la condición de vector propio se escribe:

AX= λ I X

o equivalentemente:

(A- λ I)X=0

Esta ecuación matricial equivale a un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones en las n

incógnitas que corresponden a las n coordenadas de x . Los vectores propios asociados

a λ serán las soluciones no triviales de este sistema, que admite alguna de estas

soluciones si y sólo si:

| A- λ In |=0

o en forma desarrollada:

0

21

11211

=

−

−

λ

λ

nnnn

n

aaa

aaa

L

LLLL

L

El determinante anterior genera al desarrollarlo un polinomio en λ de grado n, que se

denomina polinomio característico de la matriz A, y la ecuación obtenida al igualarlo a

0, se llama la ecuación característica de la aplicación lineal f o de la matriz A.

Los vectores propios cumplen las siguientes propiedades:

i) Si x es un vector propio de la aplicación lineal f, asociado al valor propio λ ,

también lo es el vector xµ , asociado al mismo valor propio, donde µ es un

escalar cualquiera no nulo.

ii) Si x y 'x son dos vectores propios asociados al mismo valor propio λ , toda

combinación lineal de dichos vectores también es un vector propio asociado al

mismo autovalor puesto que:

( ) ( ) ( ) ( )'''''''' xxxxxfxfxxf µµλλµµλµµµµ +=+=+=+

Como consecuencia de i) y ii), el conjunto de los vectores propios asociados a un valor

propio, constituye un subespacio vectorial de IRn, llamado subespacio propio asociado a

dicho valor propio.

iii) El polinomio característico de una matriz A asociada a una aplicación lineal f de

IRn en IRn

, resulta invariante ante un cambio de base en IRn.

iv) Si hxxx ,,, 21 K son h vectores propios asociados a h valores propios distintos

hλλλ ,,, 21 K , entonces { }hxxx ,,, 21 K es un sistema libre.

Diagonalización de una matriz cuadrada

• Sea A la matriz asociada a nn IRIRf →: respecto a una base B de IRn.

Supongamos que se obtienen n autovalores, todos reales y distintos y sean

nxxx ,,, 21 K autovectores asociados a dichos valores propios. Estos vectores

forman una base B’ de IRn, respecto de la cual f tiene una matriz asociada A’

cuyas columnas son las coordenadas de ( ) ( ) nnn xxfxxf λλ == ,,111 K referidas

a la base B’, por lo que A’ será una matriz diagonal

A’=

nλ

λ

λ

L

LLLL

L

L

00

00

00

2

1

.

Se dice entonces que la matriz A es diagonalizable, ya que existe una matriz

diagonal A’ que representa la misma aplicación lineal f en cierta base. Si

denotamos con P la matriz de cambio de base de B’ a B, se tiene A’ = P−1

AP.

Si B es la base canónica de IRn, las columnas de P son los n vectores propios

nxxx ,,, 21 K .

• Una matriz A cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si todos los valores

propios iλ (i = 1…, h) de A son reales, y para todo iλ con orden de

multiplicidad iα , el rango de la matriz A − iλ I es igual a n − iα .

Bibliografía

• Barbolla, R. y Sanz, P. (1998). Álgebra lineal y teoría de matrices. Ed. Prentice

Hall. • Caballero, R. E., Calderón, S. y Galache, T. P. (2000). Matemáticas aplicadas a la

economía y a la empresa. 434 ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide.

• Grossman, S. I. (1997). Álgebra lineal. Ed. McGraw-Hill.

• Hernández, E. (1999). Álgebra y geometría. Ed. Addison-Wesley/U.A.M.

• Kolman, B. (1999). Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Ed. Prentice Hill.

• Martínez Salas. (1992). Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova.

• Sanz, P., Vázquez, F. J. y Ortega, P. (1998). Álgebra lineal. Cuestiones, ejercicios y tratamiento en Derive. Ed. Prentice Hall.

(*) En este tema se ha utilizado como fuente, tanto para la estructuración de los

contenidos como en la inclusión de algunos párrafos, el siguiente libro: Álgebra lineal y teoría de matrices. R. Barbolla y P. Sanz. Ed. Prentice Hall. (1998).