TRABAJO COLABORATIVO 3

MARIA VERONICA BONILLA CODIGO: 24031525

GRUPO: 100412_2

TutorVICTOR MANUEL BOHORQUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALES JULIO DE 2014

TRABAJO COLABORATIVO No. 3

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:

3 y } - {y} ^ {´} + left (x+1 right ) y=1; y left (0 right ) = {y} ^ {´} left (0 right ) = ¿

paso 1: y=∑n=0

00

cn xn❑⇒y1=∑

n=1

00

ncn xn−1❑

⇒y} sum from {n=2} to {0} {n left (n-1 right ) cn ¿

paso2 :3∑n=2

00

n (n−1 ) cn xn−1+ ( x+1 )∑n=0

00

cnxn=1

paso3 :∑n=0

00

(n+2 ) (n+1 )cn+2xn−¿∑n=0

00

(n+1 ) cn+¿1 xn+∑n=0

00

cn xn+1+∑n=0

00

cn xn=1¿¿

paso4 : [3 (2 ) (1 ) c2−c1+c0 ] 3∑n=0

00

(n+2 ) cn+2 xn−¿∑n=1

00

(n+1 ) cn+2x+¿¿

∑n=1

00

cn−1 x2n+∑

n=1

00

cn xn=16c2−c1+c0−1=0 ,¿−(n+1 )cn+1cn−1

+cn¿ xn=0

Paso 5 : 3 (n+2 ) (n+1 ) cn+2−(n+1 ) cn+1+cn−1+cn=0

paso6 :cn+ 2=(n+1 ) cn+1

cn−¿ cn

3 (n+2 ) (n+1 )¿

paso7 :c3=2c2−¿

c0−¿c1

18=¿ ¿¿¿

¿

paso8 :c3=¿

c1−¿c0+1−3 c

0−3 c

1548=

−4c0+154

¿ ¿

Paso 9

n2 , c4=3c32

−c1−¿ c2

36=¿¿¿¿

c4=−4c0+2c1+1−18c1+3c1−3+3c0

18∗36

c4=23 c1+c0−2

648

Paso 10

c5=4c4

−c2−¿c3

3(5)(4 )¿

¿4 ¿¿¿

c5=−23c1−c0+2−27c1−27−27c0+12c0+6 c1−3

9720

Paso 11

c0+c2 x ,=(c¿¿1−c0+2)

6x2+

(−4 c¿¿0−2c1+1)54

x3 ¿¿

+(−23 c¿¿1−c0−2)

648x4+

(44c¿¿1−38c0−32) x5

9720¿¿

y (0 )=c0+ (0 )❑⇒

c0=0

y´ (0 )=c1+(0 )=0❑⇒

c1=0

y ( x )=16x2+ 1

54x3− 1

324x 4− 4

1215x5

y=0

y´=13x+ 1

18x2− x

3

81− 4

243x4

y´=0

2. Hallar el radio de convergencia de la siguiente serie:

∑n=1

00 ( x−4 )n

n4

lim ¿n→1|an+1

an |=lim ¿n→∞| (x−4 )n+1

(n+1 )4∗n4

( x−4 )n |= lim ¿n→∞|( nn+1 )4

∗(x−4)|

¿ lim ¿n→∞|an+1an |=¿ lim ¿n→∞| n

nnn+

1N

|X=lim ¿ n→∞|x−4|

= lim ¿N→∞ 1

1+1N

X lim ¿N→∞|x−4|

= ( 11+0 )|x−4|

¿|x−4|

|x−4|<1

r=1

Observamos que el radio de convergencia es 1

3. 3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0:y} -y=¿

y´=∑n=0

00

cn xn y´=∑

n=1

00

ncn xn−1

y´=∑n=0

00

cn xny} = sum from {n=2} to {00} {{c left (c-1 right ) c} rsub {n}} {x} ^ {n-2} ¿∑

n=2

00

c (c−1)cnxn−2−∑

n=0

00

cn xn=0

∑n=d

❑

(c+1 ) (n+2 )cn+2 xn=0

∑ [ (n+1 ) (n+2 ) cn+2¿−cn] xn=0¿

(n+1 ) (n+2 )cn+2=0

cn+2=c n(n+1)(n+2 )

n=0 , c2=c0

1 x2=c0

1 x2=c0

2

n=2 , c4=c2

3x 4=

c0

2x 3x 4=c0

4

n=3 , c5=c3

4 x5=

c1

3 x 4 x5=c1

5

n=4 , c6=c4

5 x 6=

c0

4 x5 x 6=c0

6

n=5 , c7=c5

6 x 7=

c1

5x 6 X 7=c1

7

∑n=0

00

Cn xn=C0+C1+C2 x

2+C3 x3+C4 x

4+C5 x5+C6 x

6+C7 x7

¿C0+C1 x+C0 x

2

21=C1

31x3+

C0 x4

41+C1 x

5

5+C6 x

6

6+C7 x

7

7

¿C2+C3 yC1¿C2−C3

4. Mediante las series de potencias podemos desarrollar las ecuaciones diferenciales en forma aproximada por medio de dos métodos: el método de general de solución por series de potencias donde se representa una función f en un intervalo de convergencia, permitiendo así encontrar la solución general y un segundo método donde permite resolver la ecuación diferencial con condiciones

iníciales haciendo uso de las series de Taylor. Usando el teorema de Taylor en el intervalo [0,1] para la ecuación diferencial Y’ = Y 2 − X con condición inicial Y(0) = 1 Identifique el tercero y cuarto término de la serie que permite la solución de la Ecuación diferencial.

y´= y2− x

y} = 2y {y} ^ {2} - ¿

y´} = {2yy} ^ {2} +2 {y} ^ {2 ¿

y=2 yy´ } +6 {y} ^ {´} {y} ^ {

Como el desarrollo gira en torno del del punto x=0 y la condición inicial es y(0) =1 se procede a realizar las sustitución en todas las derivadas. y´=12−0=1

y} =2 left (1 right ) * {1} ^ {2} -1=2-1= ¿

y´ } = 2 left (1 right ) left (1 right ) + {2(1)} ^ {2} =2+2=¿

y=2 (1 ) (4 )+6(1)(1)=8+6=1 4

Teniendo en cuenta el Teorema de Taylor obtendremos la siguiente serie

1+x+ 12 !x2+ 4

3 !x3+ 14

4 !x4… .. .

11−X

, X0= 0

CONCLUSIONES

Se aplicaron los conocimientos teóricos abordados en la unidad 3 tales como: Estudio de series y funciones especiales capitulo 1 2 y 3 del curso Ecuaciones Diferenciales.

La serie de Taylor es una función infinitamente derivable real o compleja definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).

Al terminar este trabajo colaborativo se pudo adquirir muchos conocimientos teóricos sobre el estudio de series y funciones especiales con los cuales podemos resolver las inquietudes que se tenían sobre este tema

BIBLIOGRAFÍA

Gómez Narváez Ricardo, 2011. Módulo Ecuaciones diferenciales, Palmira Valle.

http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/forum/discuss.php?d=63179

Liman M, Kells. (1968). Ecuaciones Diferenciales Elementales, Edición Del Castillo, S.A.